带电粒子在有界匀强磁场中的运动问题探析

带电粒子在有界匀强磁场中的运动问题探析 甘肃省 兰州市第五十八中学 李秀明 邮编730060

【摘要】带电粒子在有界匀强磁场中的运动类问题，因其能有效考察学生数理结合能力、图形图像能力、空间思维能力而成为历年高考的热点之一。本文从带电粒子在匀强磁场中运动的基本物理模型出发，结合数学知识探究解决此类问题的一般规律。

【关键词】带电粒子 匀强磁场

一、 带电粒子在匀强磁场中的受力特点和运动规律

电量为q 的带粒子以速度v 垂直进入匀强磁场B 时，受到的洛仑兹力f=qvB 始终与运动方向垂直，因此在匀强磁场中做匀速圆周运动，且有： F 向=f=r v 2m

解得：圆周运动半径r=qB m v 圆周运动周期T=qB m 2v r

2ππ=

二、 带电粒子在有界匀强磁场中的运动规律

当带电粒子穿越有界匀强磁场区域时，带电粒子在磁场中垂直磁场方向的平面内的运动轨迹为一段圆弧，两端点的半径和圆弧围成一个扇面，其几何尺寸与圆周运动的半径相联系，在磁场中运动的时间与扇面的圆心角相对应。解决这类问题的核心是正确画出在磁场中运动的扇面，然后利用半径公式求解相关距离，利用周期公式求解在磁场中运动所需时间。

例一、如图1所示，带电量为q 的正电荷以速度

v 从a 点射入垂直纸面向里的匀强磁场B 中，入射方向与磁场边界的夹角为θ，求出射点到入射点间的距

离及带电粒子在磁场中运动的时间。 解析：（1）、带电粒子在磁场中运动轨迹如图，

根据带电粒子在磁场中圆周运动规律和几何关系知：圆周半径：r=qB m v ① 出射点b 到入射点a 之间的距离：L=2rsin ②

解得：L=θsin qB

mv 2

结论：两点间距离与带电粒子的比荷、入射速度、入射方向、磁感应强度都有关。

v

v

正电荷 负电荷

图6

图5 （2）、根据几何关系和对称性可知，带电粒子在磁场中运动的圆弧对应的圆心角为θπ2-2，因此：

T 2t 2-2πθπ= ③

而T=qB

m 2π ④ 解得：()qB m 2-2t θπ

=

结论：带电粒子在磁场中运动的时间与速度v 无

关。

三、带电粒子在圆形磁场区域内的运动问题

规律：

（一）、若带电粒子射入方向指向磁场的圆心，则

射出方向必定通过磁场的圆心，如图2。

（二）、若带电粒子射入方向不指向磁场圆心，则应

根据几何图形和对称性作轨迹对应的扇形，轨迹的圆心可以用入射点和出射点半径的交点或一条半径与轨迹对应的弦线的垂直平分线的交点来确定，如图3。

（三）、若同种带电粒子以不同大小的速度从同一

位置沿同一方向射入相同的圆形磁场，则速度越大，运动轨迹半径越大，射出点与射入点之间的距离越大，

但圆弧对应的圆心角越小，在圆形磁场中运动的时间越短,如图4。

（四）、若同种带电粒子以大小相同的速度从同一位置沿不同方向射入相同的圆形磁场，则其运动轨迹半径相同，射出点的位置随射入方向变化而变化。一般来说：

1.当轨迹半径r 大于等于磁场半径R 时，带点粒子

可以从圆形磁场边界的任何位置射出,出射点到入射点的最大距离为磁场的直径，如图5；

2．当轨迹半径r 小于磁场半径R 时，带点粒子只能从圆形磁场边界的部分位置射出，射出位置的范围常

用“旋转圆法”确定，如图5。

以带电粒子的入射点a 为圆心，旋转带电

粒子在磁场中做圆周运动的轨迹圆，轨迹圆与

磁场边界的焦点b 即为带电粒子的出射点。

结论：a 、b 两点的距离等于带电粒子在

磁场中圆周运动半径r 的2倍时，a 、b 两点

间距离最远，如图6。 图4 图3

例二（2017年高考全国卷Ⅱ第18题）、如图6，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P 为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P 点，在纸面内沿不同的方向射入磁场，若粒子射入的速度为V 1，这些粒子在磁场边界的出射点分布

在六分之一圆周上；若粒子射入速度为，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P 为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P 点，在纸面内沿不同的方向射入磁场，若粒子射入的速度为V 1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆

周上；若粒子射入速度为V 2，相应的出射点分布在三分之一圆周上，

不计重力及带电粒子之间的相互作用，则V 2：V 1为： A. 3：2 B.2：1 C.3：1 D.3：2

解析：根据“旋转圆法”可知：当磁场边界上两点的距离等于带电粒子在磁场中圆周运动半径r 的2倍时，带电粒子射入、射出圆形磁场区域的两点间距离最远,因此:

当粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上时，两边界点所夹磁场的圆心角为60o ，这时2r 1=R ，即圆周运动

轨迹半径r 1=2R

当粒子在磁场边界的出射点分布在三分之一圆周上时，两边界点所夹磁场的圆心角为120o ，这

时圆周运动轨迹半径r 2=R 23，如图7。

根据带电粒子在磁场中圆周运动半径公式：r=qB m v 得：

V 2：V 1=r 2：r 1=3：1

答案为：C

小结：解决带电粒子在有界匀强磁场中的运动类问题，其关键是正确画出其在磁场中运动的扇面，然后利用半径公式求解相关距离，利用周期公式求解在磁场中运动所需时间。

【参考文献】

1．人教社高中《物理》选修3-1教师教学用书

2. 2017年普通高等学校招生全国统一考试大纲《物理》

3．网络资源