黑龙江省高考数学试题及答案
1977年黑龙江省高考数学试卷
一、解答题（共16小题，满分100分）1．（6分）（1977•黑龙江）解方程．2．（6分）（1977•黑龙江）解不等式|x|＜5．3．（6分）（1977•黑龙江）已知正三角形的外接圆半径为cm，求它的边长．4．（6分）（1977•黑龙江）．5．（6分）（1977•黑龙江）cos78°•cos3°+cos12°•sin3°（不查表求值）．6．（6分）（1977•黑龙江）．7．（8分）（1977•黑龙江）解方程．8．（8分）（1977•黑龙江）求数列2，4，8，16，…前十项的和．9．（8分）（1977•黑龙江）圆锥的高为6cm，母线和底面半径成30°角，求它的侧面积．10．（8分）（1977•黑龙江）求过点（1，4）且与直线2x﹣5y+3=0垂直的直线方程．11．（8分）（1977•黑龙江）如果△ABC的∠A的平分线交BC于D，交它的外接圆于E，求证AB•AC=AD•AE．12．（8分）（1977•黑龙江）前进大队响应毛主席关于“绿化祖国”的伟大号召，1975年造林200亩，又知1975年至1977年这三年内共造林728亩，求后两年造林面积的年平均增长率是多少？13．（8分）（1977•黑龙江）解方程lg（2x+2x﹣16）=x（1﹣lg5）．14．（8分）（1977•黑龙江）已知三角形的三边成等差数列，周长为36cm，面积为54cm2，求三边的长．15．（1977•黑龙江）如图，AP表示发动机的连杆，OA表示它的曲柄．当A在圆上作圆周运动时，P 在x轴上作直线运动，求P点的横坐标．为什么当α是直角时，∠P是最大？16．（1977•黑龙江）求曲线y=sinx在[0，π]上的曲边梯形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积．参考答案与试题解析一、解答题（共16小题，满分100分）1．（6分）（1977•黑龙江）解方程．考点：方根与根式及根式的化简运算．专题：计算题．分析：令被开方数大于等于0，将方程两边平方得到不等式组，解不等式组求出方程的解．解答：解：原方程同解于解得x=4故x=4是原方程的根．点评：本题考查解无理方程时，常通过平方将根号去掉，但要注意原方程有意义即开偶次方根的被开方数大于等于0．2．（6分）（1977•黑龙江）解不等式|x|＜5．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题．分析：先去掉绝对值然后再根据绝对值不等式的解法进行求解．解答：解：∵|x|＜5．∴﹣5＜x＜5．点评：此题考查绝对值不等式的解法，解题的关键是去掉绝对值，此类题目是高考常见的题型．3．（6分）（1977•黑龙江）已知正三角形的外接圆半径为cm，求它的边长．考点：圆周角定理.专题：计算题．分析：利用三角形外接圆的圆心距、半径及三角形边长的一半构成的直角三角形计算即可．解答：解：设正三角形的边长为a，则．它的边长为18cm．点评：本题主要考查圆中的有关线段，方法是利用直角三角形进行计算．属于基础题．4．（6分）（1977•黑龙江）．考点：方根与根式及根式的化简运算．专题：计算题．分析：先化简m2﹣2ma+a2=（m﹣a）2再利用求值公式求得．解答：解：当m≥a时，=m﹣a．当m＜a时，=a﹣m．点评：从形式上观察，确定问题的转化．5．（6分）（1977•黑龙江）cos78°•cos3°+cos12°•sin3°（不查表求值）．考点：两角和与差的正弦函数．分析：先根据诱导公式将cos78°化为sin12°，再根据两角和与差的正弦公式可得答案．解答：解：原式=sin12°•cos3°+cos12°•sin3°=sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=．点评：本题主要考查两角和与差的正弦公式，属基础题．6．（6分）（1977•黑龙江）．考点：反三角函数的运用．专题：计算题．分析：先求出的值，为再利用反正弦求出那个角的正弦值为，可知此角为解答：解：由已知=因为sin=所以．答：=点评：本题考查反三角函数，此是一反正弦求角的题，解决此类问题一般是逆向求解，欲求三角函数值对应的角，先找那个角的三角函数值等于这个值．7．（8分）（1977•黑龙江）解方程．考点：有理数指数幂的化简求值．专题：计算题．分析：将方程中的各项化为同底数的，通过等价变形，求出未知数的值．解答：解：方程即：3x+1﹣3x=18，3x（3﹣1）=18，3x=9=32，∴x=2．点评：本题考查有理指数幂的化简求值．8．（8分）（1977•黑龙江）求数列2，4，8，16，…前十项的和．考点：等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：由题设可知，．解答：解：由题设可知，此等比数列的首项a1=2公比q=2，∴．点评：本题考查等比数列的前n项和公式，解题时注意此等比数列的首项a1=2公比q=2．9．（8分）（1977•黑龙江）圆锥的高为6cm，母线和底面半径成30°角，求它的侧面积．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：通过圆锥的高为6cm，母线和底面半径成30°角，求出圆锥的底面半径，圆锥的母线，然后求出它的侧面积．解答：解：由题设条件可知，圆锥底面半径R=，圆锥母线，∴侧面积．点评：本题是基础题，考查圆锥的几何体的特征，正确求出圆锥的母线长，底面半径，是解题的关键，考查计算能力．10．（8分）（1977•黑龙江）求过点（1，4）且与直线2x﹣5y+3=0垂直的直线方程．考点：两条直线垂直的判定；直线的一般式方程．专题：计算题．分析：本题考查的知识点是直线的一般式方程及两条直线垂直的判定，要求过点（1，4）且与直线2x﹣5y+3=0垂直的直线方程．我们可先根据两条直线平行斜率之积为﹣1，求出直线的斜率，再将已知点代入即可求解．解答：解：因为直线2x﹣5y+3=0的斜率为，所以所求直线的斜率为．所求直线的方程为5x+2y﹣13=0．点评：在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．11．（8分）（1977•黑龙江）如果△ABC的∠A的平分线交BC于D，交它的外接圆于E，求证AB•AC=AD•AE．考点：相似三角形的判定；与圆有关的比例线段．专题：证明题．分析：欲证比例线段AB•AC=AD•AE，可通过证明三角形相似得到，连接BE（如图），利用同弧所对的圆周角相等和∠A的平分线结合即可证明．解答：证明：连接BE（如图）∵∠CAE=∠EAB，∠ACB=∠AEB，∴△ACD∽△AEB，∴．∴AB•AC=AD•AE．点评：本题主要考查与圆有关的比例线段和相似三角形的判定，证明乘积式的问题可转化证明比例式，最终转化为证明两个三角形相似得到．12．（8分）（1977•黑龙江）前进大队响应毛主席关于“绿化祖国”的伟大号召，1975年造林200亩，又知1975年至1977年这三年内共造林728亩，求后两年造林面积的年平均增长率是多少？考点：数列的应用；等比数列的性质．专题：计算题；应用题．分析：设后两年造林面积的年平均增长率为x，依照题意可得200+200（1+x）+200（1+x）2=728，200（1+x）2+200（1+x）﹣528=0，解方程可知后两年造林面积的年平均增长率．解答：解：设后两年造林面积的年平均增长率为x，依照题意可得200+200（1+x）+200（1+x）2=728，200（1+x）2+200（1+x）﹣528=0，（1+x）2+（1+x）﹣2.64=0，[（1+x）﹣1.2][（1+x）+2.2]=0，1+x=1.2，x=0.2=20%1+x=﹣2.2，x=﹣3.2（不合题意，舍去）故后两年造林面积的年平均增长率为20%．点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，合理地建立方程．13．（8分）（1977•黑龙江）解方程lg（2x+2x﹣16）=x（1﹣lg5）．考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：解对数方程与解对数不等式类似，首先要将等号两边化成底数相等的对数式，观察到已知方程的表达式中出现的对数为常用对数，故将两边都化为常用对数式，然后再根据对数相等则真数也相等的原则，转化的一般方程．解答：解：∵lg（2x+2x﹣16）=x（1﹣lg5）=xlg2=lg2x，∴原方程可化为：2x+2x﹣16=2x∴2x=16∴x=8．点评：解对数方程一般分以下几个步骤：①首先要将等号两边化成底数相等的对数式，②然后再根据对数相等则真数也相等的原则，转化的一般方程．③解方程④代入验证，排除增根．14．（8分）（1977•黑龙江）已知三角形的三边成等差数列，周长为36cm，面积为54cm2，求三边的长．考点：数列的应用；等差数列的性质．分析：设三角形三边的长分别为a﹣d，a，a+d，则依题意有，解这个方程组后能够求出此三角形的三边长．解答：解：设三角形三边的长分别为a﹣d，a，a+d，则依题意有由（1）得a=12（cm）．代入（2）得，36﹣d2=27，d2=9d=±3故此三角形的三边长分别为9cm，12cm，15cm．点评：本题考查数列的性质及其应用，解题时要注意公式的合理选用．15．（1977•黑龙江）如图，AP表示发动机的连杆，OA表示它的曲柄．当A在圆上作圆周运动时，P在x轴上作直线运动，求P点的横坐标．为什么当α是直角时，∠P是最大？考点：在实际问题中建立三角函数模型．专题：计算题．分析：过A作AB⊥OP，设x为点P的横坐标，根据OP=OB+BP表示出x的表达式，根据虽然∠P 随连杆位置的变化而改变但连杆上下摆动的幅度是一样，可得到∠P的最大值是一样，即只需0≤α≤π内∠P变化的情况，根据正弦定理可知，因为当时sinα的值最大，进而可得到sin∠P的值也最大，再由正弦函数的性质可知此时P最大．解答：解：过A作AB⊥OP设x为点P的横坐标，则x=OP=OB+BP=因为∠P随连杆位置的变化而改变，但连杆上下摆动的幅度是一样的，所以∠P的最大值是一样的．故可以考虑0≤α≤π内∠P变化的情况，由正弦定理得在0≤α≤π内，当时，sinα的值最大，因而sin∠P的值也最大∵OA＜AP，∴∠P＜α，即∠P总是锐角．在内，sin∠P是单调上升的，所以时，∠P最大．点评：本题主要考查正弦定理和正弦函数的性质的应用．三角函数的内容比较散，公式比较多，不容易记忆，一定要在平时多积累多练习到考试时方能够做到灵活运用．16．（1977•黑龙江）求曲线y=sinx在[0，π]上的曲边梯形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积．考点：定积分．专题：计算题．分析：欲求曲线y=sinx在[0，π]上的曲边梯形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积，可利用定积分计算，即求出被积函数y=πsin2x在0→π上的积分即可．解答：解：设旋转体的体积为V，则==．故旋转体的体积为：．点评：本小题主要考查定积分、定积分的应用、三角函数的导数、三角函数的二倍角公式等基础知识，考查考查数形结合思想．属于基础题．。
2005年黑龙江省高考数学试卷Ⅱ(理)【附答案、word版本,可再编辑;B4纸型两栏】
1 / 62005年黑龙江省高考数学试卷Ⅱ（理）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1. 函数f(x)=|sin x +cos x|的最小正周期是（ ） A.π4B.π2C.πD.2π2. 正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P ，Q ，R 分别是AB ，AD ，B 1C 1的中点．那么，正方体的过P ，Q ，R 的截面图形是( ) A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形3. 函数y =√x 23−1(x ≤0)的反函数是（ ） A.y =√(x +1)3(x ≥−1) B.y =−√(x +1)3(x ≥−1) C.y =√(x +1)3(x ≥0)D.y =−√(x +1)3(x ≥0)4. 已知函数y =tan ωx 在(−π2，π2)上是减函数，则（ ） A.0<ω≤1B.−1≤ω<0C.ω≥1D.ω≤−15. 设a 、b 、c 、d ∈R ，若a+bic+di 为实数，则（ ）A.bc +ad ≠0B.bc −ad ≠0C.bc −ad =0D.bc +ad =0 6. 已知双曲线x 26−y 23=1的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为（ ） A.3√65B.5√66C.65D.567. 锐角三角形的内角A 、B 满足tan A −1sin 2A =tan B ，则有（ ） A.sin 2A −cos B =0 B.sin 2A +cos B =0 C .sin 2A −sin B =0D.sin 2A +sin B =08. 已知点A(√3, 1)，B(0, 0)C(√3, 0)．设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC →=λCE →，其中λ等于（ ） A.2B.12C.−3D.−139. 已知集合M ={x|−4≤x ≤7}，N ={x|x 2−x −6>0}，则M ∩N 为（ ）A.{x|−4≤x <−2或3<x ≤7}B.{x|−4<x ≤−2或3≤x <7}C.{x|x ≤−2或x >3}D.{x|x <−2或x ≥3}10. 点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量v →=(4, −3)（即点P 的运动方向与v →相同，且每秒移动的距离为|v →|个单位．设开始时点P 的坐标为(−10, 10)，则5秒后点P 的坐标为（ ） A.(−2, 4)B.(−30, 25)C.(10, −5)D.(5, −10)11. 如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则（ ） A.a 1a 8>a 4a 5 B.a 1a 8<a 4a 5 C.a 1+a 8>a 4+a 5 D.a 1a 8=a 4a 512. 将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为( ) A.√3+2√63B.2+2√63C.4+2√63D.4√3+2√63二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13. 圆心为(1, 2)且与直线5x −12y −7=0相切的圆的方程为________． 14. 设a 为第四象限的角，若sin 3asin a =135，则tan 2a =________．15. 在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有________个．16. 下面是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥． ②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥． ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥． 其中，真命题的编号是________．（写出所有真命题的编号）三、解答题（共6小题，17~20、22每题12分，21题14分，满分74分）17. 设函数f(x)=2|x+1|−|x−1|，求使f(x)≥2√2的取值范围．。
2025届黑龙江省哈尔滨市第九中学高考压轴卷数学试卷含解析
2025届黑龙江省哈尔滨市第九中学高考压轴卷数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知抛物线24y x =的焦点为F ，P 为抛物线上一点，(1,1)A ，当PAF ∆周长最小时，PF 所在直线的斜率为（ ） A ．43-B ．34-C ．34D ．432．设i 是虚数单位，复数1ii+=（ ） A ．1i -+B ．-1i -C ．1i +D ．1i -3．若平面向量,,a b c ，满足||2,||4,4,||3a b a b c a b ==⋅=-+=，则||c b -的最大值为（ ）A ．523+B ．523-C ．2133+D ．2133-4．已知圆锥的高为3，底面半径为3，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积的比值为( ) A ．53B ．329C ．43D ．2595．如图，设P 为ABC ∆内一点，且1134AP AB AC =+，则ABP ∆与ABC ∆的面积之比为A ．14 B ．13 C ．23D ．166．若AB 为过椭圆22116925x y +=中心的弦，1F 为椭圆的焦点，则△1F AB 面积的最大值为（ ）A ．20B ．30C ．50D ．607．i 是虚数单位，复数1z i =-在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．已知函数()2331x x f x x ++=+，()2g x x m =-++，若对任意[]11,3x ∈，总存在[]21,3x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．17,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[)17,9,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦C ．179,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．4179,,2⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭9．若命题：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题：在边长为4的正方形内任取一点，则的概率为，则下列命题是真命题的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知非零向量a ，b 满足()2a b a -⊥，()2b a b -⊥，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 11． “2a =”是“直线210ax y +-=与(1)20x a y +-+=互相平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件12．已知函数()()sin ,04f x x x R πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭的最小正周期为π,为了得到函数()cos g x x ω=的图象,只要将()y f x =的图象( )A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024年黑龙江省高考数学真题及参考答案
2024年黑龙江省高考数学真题及参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知1i z =--，则||z =().A.0B.1D.22.已知命题:R p x ∀∈，|1|1x +>；命题:0q x ∃>，3x x =.则().A.p 和q 都是真命题B.p ⌝和q 都是真命题C.p 和q ⌝都是真命题D.p ⌝和q ⌝都是真命题3.已知向量a ，b 满足||1a = ，|2|2a b += ，且(2)b a b -⊥ ，则||b =().A.12B.22C.32D.14.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg ）并部分整理如下表所示.根据表中数据，下列结论正确的是()A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB.100块稻田中的亩产量低于1100kg 的稻田所占比例超过80%C.100块稻田亩产量的极差介于200kg 到300kg 之间D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg 到1000kg 之间5.已知曲线22:16(0)C x y y +=>，从C 上任意一点P 向x 轴作垂线PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为().A.221(0)164x y y +=> B.221(0)168x y y +=>C.221(0)164y x y +=> D.221(0)168y x y +=>6.设函数2()(1)1f x a x =+-，()cos 2g x x ax =+，当(1,1)x ∈-时，曲线()y f x =和()y g x =恰有一个交点，则a =()A.-1B.12C.1D.27.已知正三棱台111ABC A B C -的体积为523，6AB =，112A B =，则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为().A.12 B.1C.2D.38.设函数()()ln()f x x a x b =++，若()0f x ≥，则22a b +的最小值为().A.18B.14C.12D.1二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
黑龙江省2021年高考数学试卷和答案解析(理科)(乙卷)
2021年黑龙江省高考数学试卷（理科）（乙卷）1.设，则()A. B. C. D.2.已知集合，，则()A. B.S C.T D.Z3.已知命题p：，；命题q：，，则下列命题中为真命题的是()A. B. C. D.4.设函数，则下列函数中为奇函数的是()A. B. C. D.5.在正方体中，P为的中点，则直线PB与所成的角为()A. B. C. D.6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有()A.60种B.120种C.240种D.480种7.把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则()A. B. C. D.8.在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为()A. B. C. D.9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高.如图，点E，H，G在水平线AC 上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高()A. B.C. D.10.设，若为函数的极大值点，则()A. B. C. D.11.设B是椭圆C：的上顶点，若C上的任意一点P都满足，则C的离心率的取值范围是()A. B.C. D.12.设，，，则()A. B. C. D.13.已知双曲线C：的一条渐近线为，则C的焦距为__________.14.已知向量，，若，则__________.15.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则__________.16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为______写出符合要求的一组答案即可17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备新设备旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和求，，，；判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高18.如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，，M为BC中点，且求BC；求二面角的正弦值.19.记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知证明：数列是等差数列；求的通项公式.20.已知函数，已知是函数的极值点.求a；设函数证明：21.已知抛物线C：的焦点为F，且F与圆M：上点的距离的最小值为求p；若点P在M上，PA，PB为C的两条切线，A，B是切点，求面积的最大值.22.在直角坐标系xOy中，的圆心为，半径为写出的一个参数方程；过点作的两条切线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程.23.已知函数当时，求不等式的解集；若，求a的取值范围.答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查复数的基本运算，利用待定系数法建立方程是解决本题的关键，是基础题．利用待定系数法设出，a，b是实数，根据条件建立方程进行求解即可．【解答】解：设，a，b是实数，则，则由，得，得，得，得，，即，故选：2.【答案】C【解析】【分析】本题考查集合的包含关系，以及交集运算，属于基础题.首先判断集合T中任意元素都是集合S的元素，从而得出集合T是集合S的子集，然后即可求它们的交集.【解答】解：因为当时，集合T中任意元素所以，于是故答案选：3.【答案】A【解析】【分析】本题考查了命题真假的判断，解题的关键是掌握全称命题和存在性命题真假的判断方法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．先分别判断命题p和命题q的真假，然后由简单的复合命题的真假判断法则进行判断，即可得到答案．【解答】解：对于命题p：，，当时，，故命题p为真命题，为假命题；对于命题q：，，因为，又函数为单调递增函数，故，故命题q为真命题，为假命题，所以为真命题，为假命题，为假命题，为假命题，故选：4.【答案】B 【解析】【分析】本题考查了函数奇偶性和函数的图象变换，解题的关键是确定的对称中心，考查了逻辑推理能力，属于中档题．先根据函数的解析式，得到的对称中心，然后通过图象变换，使得变换后的函数图象的对称中心为，从而得到答案．【解答】解：因为，所以函数的对称中心为，所以将函数向右平移一个单位，向上平移一个单位，得到函数，该函数的对称中心为，故函数为奇函数．故选：5.【答案】D【解析】解法一：，是直线PB与所成的角或所成角的补角，设正方体的棱长为2，则，，，，，直线PB与所成的角为解法二：，直线PB与所成角为，在正中，BP是的平分线，直线PB与所成的角为故选：法一：由，得是直线PB与所成的角或所成角的补角，由此利用余弦定理，求出直线PB与所成的角．法二：，从而直线PB与所成角为，在正中，BP是的平分线，由此能求出直线PB与所成的角．本题考查异面直线所成角和余弦定理，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查排列组合的应用，利用先分组后排列的方法是解决本题的关键，是基础题．5人先选2人一组，然后4组全排列即可．【解答】解：5名志愿者选2个1组，有种方法，然后4组进行全排列，有种，共有种.故选：7.【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查函数的图像变换规律，属基础题．由题意利用函数的图像变换规律，得出结论．【解答】解：把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，把函数的图像，向左平移个单位长度，得到的图像；再把图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，可得的图像．故选：8.【答案】B 【解析】解：由题意可得可行域：，可得三角形的面积，故选：由题意可得可行域：，可得三角形的面积，结合几何概型即可得出结论．本题考查了线性规划知识、三角形的面积、几何概型、对立事件的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.【答案】A【解析】【分析】本题考查解三角形在实际问题中的应用，属于中档题．连接DF延长交AB于M，记，，解直角三角形可得，高表高.【解答】解：连接DF，延长交AB于M，则，记，，则而，所以故，所以高表高故选：10.【答案】D【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的极值、极值点，考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论思想，属于较难题.根据，且为函数的极大值点，利用导数来判断a，b该满足的条件，为此需要判断函数在左右的单调性，本题需要分，并且，，并且，，并且，，并且共5种情况讨论，由此可以推出：并且或并且，然后可判断选项的正确性.【解答】解：因为，所以当时，函数在单调，无极值，不合条件；当时，因为，所以，①若并且时，，由，得：或，由，得：，所以这时在上单调递增，在上单调递减，是函数的极大值点，符合条件；②若，并且时，，由，得：或，由，得：，所以这时在上单调递减，在上单调递增，是函数的极小值点，不符合条件；③若，并且时，，由，得：，由，得：或，这时在上单调递减，在上单调递增，是函数的极小值点，不符合条件；④若，并且时，，由，得：，由，得：或，所以这时在上单调递增，在上单调递减，是函数的极大值点，符合条件；因此，若为函数的极大值点，则a，b必须满足条件：并且或并且由此可见，A，B均错误；又总有成立，所以C错误，D正确.故选11.【答案】C 【解析】【分析】本题重点考查椭圆的性质，属于一般题.设求得，利用正弦函数的性质求得，进而可求离心率的范围.【解答】解：设由题意，得，则当时不等式成立；当时，而，，，又故椭圆离心率的取值范围是故选：12.【答案】B 【解析】【分析】本题考查了不等式的大小比较，导数和函数的单调性和最值的关系，考查了转化思想，属于较难题．构造函数，，，利用导数和函数的单调性即可判断．【解答】解：，，，令，，令，则，，，，，在上单调递增，，，即，，取，则，即，同理令，，再令，则，，，，，在上单调递减，，，即，同样的，取，则，即，故选：13.【答案】4【解析】【分析】本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的渐近线方程的分析，属于基础题．根据题意，由双曲线的性质可得，解可得m的值，即可得双曲线的标准方程，据此计算c的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线C：的一条渐近线为，则有，解可得，则双曲线的方程为，则，其焦距；故答案为：14.【答案】【解析】【分析】本题主要考查向量数量积的坐标运算，向量垂直的充要条件，考查方程思想与运算求解能力，属于基础题．利用向量的坐标运算求得，再由，可得，即可求解的值．【解答】解：因为向量，，则，又，所以，解得故答案为：15.【答案】【解析】【分析】本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属基础题．由题意和三角形的面积公式以及余弦定理得关于b的方程，解方程可得．【解答】解：的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，，又，负值舍故答案为：16.【答案】②⑤或③④【解析】【分析】该题考查了三棱锥的三视图，需要学生掌握三视图中各个图形边长的等量关系，以及对于三视图中特殊线条能够还原到原立体图形中，需要较强空间想象，属于中等题．通过观察已知条件正视图，确定该正视图的长和高，结合长、高、以及侧视图视图中的实线、虚线来确定俯视图图形．【解答】解：观察正视图，推出正视图的长为2和高1，②③图形的高也为1，即可能为该三棱锥的侧视图，④⑤图形的长为2，即可能为该三棱锥的俯视图，当②为侧视图时，结合侧视图中的直线，可以确定该三棱锥的俯视图为⑤，当③为侧视图时，结合侧视图虚线，虚线所在的位置有立体图形的轮廓线，可以确定该三棱锥的俯视图为④．故答案为：②⑤或③④．17.【答案】解：由题中的数据可得，，，；；，，所以，故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．【解析】本题考查了样本特征数的计算，解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式，考查了运算能力．利用平均数和方差的计算公式进行计算即可；比较与的大小，即可判断得到答案．18.【答案】解：连结BD，因为底面ABCD，且平面ABCD，则，又，，PB，平面PBD，所以平面PBD，又平面PBD，则，所以，又，则有，所以∽，则，所以，解得；因为DA，DC，DP两两垂直，故以点D为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，所以，，，，设平面AMP的法向量为，则有，即，令，则，，故，设平面BMP的法向量为，则有，即，令，则，，故，所以，设二面角的平面角为，则，所以二面角的正弦值为【解析】本题考查了空间中线段长度求解以及二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．连结BD，利用线面垂直的性质定理证明，从而可以证明平面PBD，得到，证明∽，即可得到BC的长度；建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后求出平面的法向量，由向量的夹角公式以及同角三角函数关系求解即可．19.【答案】解：证明：当时，，由，解得，当时，，代入，消去，可得，所以，所以是以为首项，为公差的等差数列．由题意，得，由，可得，由，可得，当时，，显然不满足该式，所以【解析】由题意当时，，代入已知等式可得的值，当时，将，代入，可得，进一步得到数列是等差数列；由，可得，代入已知等式可得，当时，，进一步得到数列的通项公式．本题考查了等差数列的概念，性质和通项公式，考查了方程思想，是基础题．20.【答案】解：由题意，的定义域为，令，则，，则，因为是函数的极值点，则有，即，所以，当时，，且，令，因为，则在上单调递减，所以当时，，当时，，所以时，是函数的一个极大值点．综上所述，；证明：由可知，，要证函数，即需证明，因为当时，，当时，，所以需证明，即，令，则，所以，当时，，当时，，所以为的极小值点，所以，即，故，所以，即函数【解析】本题考查了导数的综合应用，主要考查了利用导数研究函数的极值问题，利用导数证明不等式问题，此类问题经常构造函数，转化为证明函数的取值范围问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于难题．确定函数的定义域，令，由极值的定义得到，求出a的值，然后进行证明，即可得到a的值；将问题转化为证明，进一步转化为证明，令，利用导数研究的单调性，证明，即可证明．21.【答案】解：点到圆M上的点的距离的最小值为，解得；由知，抛物线的方程为，即，则，设切点，，则易得，从而得到，设：，联立抛物线方程，消去y并整理可得，，即，且，，，，点P到直线AB的距离，①，又点在圆M：上，故，代入①得，，而，当时，【解析】本题考查圆锥曲线的综合运用，考查直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属于拔高题．由点F到圆M上的点最小值为4建立关于p的方程，解出即可；对求导，由导数的几何意义可得出直线PA及PB的方程，进而得到点P的坐标，再将AB的方程与抛物线方程联立，可得，以及点P到直线AB的距离，进而表示出的面积，再求出其最小值即可．22.【答案】解：的圆心为，半径为1，则的标准方程为，的一个参数方程为为参数由题意可知两条切线方程斜率存在，设切线方程为，即，圆心到切线的距离，解得，所以切线方程为，因为，，所以这两条切线的极坐标方程为【解析】本题主要考查圆的参数方程，普通方程与极坐标方程的转化，考查运算求解能力，属于基础题．求出的标准方程，即可求得的参数方程；求出直角坐标系中的切线方程，再由，即可求解这两条切线的极坐标方程．23.【答案】解：当时，，，或或，或，不等式的解集为，若，则，两边平方可得，解得，即a的取值范围是【解析】将代入中，根据，利用零点分段法解不等式即可；利用绝对值三角不等式可得，然后根据，得到，求出a的取值范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．。
2025届黑龙江省牡丹江市高考仿真卷数学试卷含解析
2025届黑龙江省牡丹江市高考仿真卷数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数2(0x y aa -=>且1a ≠的图象恒过定点P ，则函数1mx y x n+=+图象以点P 为对称中心的充要条件是( ) A ．1,2m n ==- B ．1,2m n =-= C ．1,2m n ==D ．1,2m n =-=-2．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是（ ）．A ．15B ．25C ．310D ．143．设双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的一个焦点为F （c ,0）（c ＞0）5线被圆x 2+y 2﹣2cx ＝0截得的弦长为5 ）A ．221205x y -=B ．22125100x y -=C ．221520x y -=D ．221525x y -=4．已知函数32,1()ln ,1(1)x x x f x a x x x x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪+⎩，若曲线()y f x =上始终存在两点A ，B ，使得OA OB ⊥，且AB 的中点在y轴上，则正实数a 的取值范围为（ ）A ．(0,)+∞B ．10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭D ．[e,)+∞5．双曲线1C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的一个焦点为(c,0)F （0c >），且双曲线1C 的两条渐近线与圆2C ：222()4c x c y -+=均相切，则双曲线1C 的渐近线方程为（ ）A ．30x y ±=B ．30x y ±=C ．50x y ±=D ．50x y ±=6．已知复数z 满足()1z i i =-，(i 为虚数单位)，则z =( ) A ．2B ．3C ．2D ．37．已知函数()f x 是奇函数，且22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x -=+----，若对11[,]62x ∀∈，(1)(1)f ax f x +<-恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(3,1)--B ．(4,1)--C ．(3,0)-D ．(4,0)-8．已知函数||()()x x f x x R e=∈，若关于x 的方程()10f x m -+=恰好有3个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(212),e eB ．(20,)2e eC ．(11,1)e+D ．21,12()ee+ 9．过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线与抛物线在第一象限交于点A ，与准线在第三象限交于点B ，过点A 作准线的垂线，垂足为H .若tan 2AFH ∠=，则AF BF=（ ）A ．54B ．43 C ．32D ．210．设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则S T （ ）A ．∅B ．1{|}2x x <-C ．5{|}3x x >D ．15{|}23x x -<< 11．已知函数有三个不同的零点（其中），则的值为( )A ．B ．C ．D ．12．已知函数ln(1),0()11,02x x f x x x +>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，若m n <,且 ()()f m f n =，则n m -的取值范围为（ ）A ．[32ln 2,2)-B ．[32ln 2,2]-C ．[1,2)e -D ．[1,2]e -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2012黑龙江省高考数学试题及答案(免费)
数学（理科）选择题已知集合}5,4,3,2,1{=A ，},,|),{(A y x A y A x y x B ∈-∈∈=，则B 中所含元素的个数为 A. 3 B. 6 C. 8 D. 10D.法一：按x y -的值为1，2，3，4计数，共432110+++=个；法二：其实就是要在1，2，3，4，5中选出两个，大的是x ，小的是y ，共2510C =种选法.将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由一名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有A. 12种B. 10种C. 9种D. 8种 A.只需选定安排到甲地的1名教师2名学生即可，共1224C C 种安排方案.下面是关于复数iz +-=12的四个命题： :1P 2||=z:2P i z 22= :3P z 的共轭复数为i +1:4P z 的虚部为1-其中的真命题为A. 2P ，3PB. 1P ，2PC. 2P ，4PD. 3P ，4PC.221,21 z i z i i ==--=-+.设21,F F 是椭圆:E 12222=+by a x )0(>>b a 的左右焦点，P 为直线23a x =上的一点，12PF F △是底角为︒30的等腰三角形，则E 的离心率为A.21B.32 C.43 D.54C.画图易得,21F PF △是底角为30的等腰三角形可得212PF F F =，即3222a c c ⎛⎫-= ⎪⎝⎭, 所以34c e a ==.已知}{n a 为等比数列，274=+a a ，865-=a a ，则=+101a a A.7B. 5C.5-D. 7-D.472a a +=,56478a a a a ==-,474,2a a ∴==-或472,4a a =-=,14710,,,a a a a 成等比数列，1107a a ∴+=-.如果执行右边的程序框图，输入正整数N )2(≥N 和实数N a a a ,,,21 ，输出A ，B ，则A. B A +为N a a a ,,,21 的和B.2BA +为N a a a ,,,21 的算术平均数 C. A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最大的数和最小的数 D. A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最小的数和最大的数 C.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 B.由三视图可知，此几何体是底面为俯视图三角形，高为3的三棱锥，1132323932V =⨯⨯⨯⨯=.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于A ，B ，两点，34||=AB ，则的实轴长为 A.2B. 22C. 4D. 8C.易知点()4,23-在222x y a -=上，得24a =，24a =.已知0>ω，函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ单调递减，则ω的取值范围是A. ]45,21[B. ]43,21[C. ]21,0(D. ]2,0(A. 由322,22442Z k k k ππππππωπωπ+≤+<+≤+∈得，1542,24Z k k k ω+≤≤+∈， 15024ωω>∴≤≤ .已知函数xx x f -+=)1ln(1)(，则)(x f y =的图像大致为B.易知ln(1)0y x x =+-≤对()1,x ∈-+∞恒成立，当且仅当0x =时，取等号.11. 已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC △是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2=SC ，则此棱锥的体积为 A.62 B.63 C.32 D.22 A.易知点S 到平面ABC 的距离是点O 到平面ABC 的距离的2倍.显然O ABC -是棱长为1的正四面体，其高为63，故136234312O ABC V -=⨯⨯=，226S ABC O ABC V V --==设点P 在曲线xe y 21=上，点Q 在曲线)2ln(x y =上，则||PQ 的最小值为A. 2ln 1-B.)2ln 1(2- C. 2ln 1+D.)2ln 1(2+B.12x y e =与ln(2)y x =互为反函数，曲线12x y e =与曲线ln(2)y x =关于直线y x =对称，只需求曲线12x y e =上的点P 到直线y x =距离的最小值的2倍即可.设点1,2x P x e ⎛⎫⎪⎝⎭，点P 到直线y x =距离122xx e d -=.令()12x f x e x =-，则()112x f x e '=-.由()0f x '>得ln 2x >；由()0f x '<得ln 2x <，故当ln 2x =时，()f x 取最小值1ln 2-.所以122x x e d -=122xe x-=，min 1ln 22d -=.所以()min min ||221ln 2PQ d ==-.填空题已知向量a ，b 夹角为︒45，且1=||a ，102=-||b a ，则=||b .32.由已知得，()22222244||-=-=-a b a b a a b +b 2244cos 45=- a a b +b242210=-=b +b ，解得=b 32..设y x ,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+-≥-0031y x y x y x 则y x Z 2-=的取值范围为 .[]3,3-.画出可行域，易知当直线2Z x y =-经过点()1,2时，Z 取最小值3-；当直线2Z x y =-经过点()3,0时，Z 取最大值3.故2Z x y =-的取值范围为[]3,3-.某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）服从正态分布)50,1000(2N ，且各元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为38.由已知可得，三个电子元件使用寿命超过1000小时的概率均为12，所以该部件的使用寿命超过1000小时的概率为211311228⎡⎤⎛⎫--⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.数列}{n a 满足12)1(1-=-++n a a n n n ，则}{n a 的前60项和为 . 1830.由1(1)21n n n a a n ++-=-得，22143k k a a k --=-……①元件1 元件2元件321241k k a a k +-=-……②,再由②-①得,21212k k a a +-+=……③由①得, ()()()214365S S a a a a a a -=-+-+-+奇偶…()6059a a +-159=+++…117+()11173017702+⨯==由③得, ()()()3175119S a a a a a a =++++++奇…()5959a a ++21530=⨯=所以, ()217702301830S S S S S S =+=-+=+⨯=60奇奇奇偶偶解答题已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，0sin 3cos =--+c b C a C a . (Ⅰ) 求A ；(Ⅱ) 若2=a ，ABC △的面积为3，求b ，c .(Ⅰ)法一:由cos 3sin 0a C a C b c +--=及正弦定理可得sin cos 3sin sin sin sin 0A C A C B C +--=, ()sin cos 3sin sin sin sin 0A C A C A C C +-+-=,3sin sin cos sin sin 0A C A C C --=, sin 0C > ,3sin cos 10A A ∴--=,2sin 106A π⎛⎫∴--= ⎪⎝⎭,1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,0A π<< ，5666A πππ∴-<-<，66A ππ∴-=3A π∴=法二:由正弦定理可得sin sin a C c A =，由余弦定理可得 222cos 2a b c C ab+-=.再由cos 3sin 0a C a C b c +--=可得，2223sin 02a b c a c A b c ab+-⋅+--=，即222223sin 220a b c bc A b bc +-+--=，222223sin 220a b c bc A b bc +-+--=2223sin 12b c a A bc +--+=，即3sin cos 1A A -=，2sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 0A π<< ，5666A πππ∴-<-<， 66A ππ∴-=3A π∴=(Ⅱ)3ABC S = △，13sin 324bc A bc ∴==，4bc ∴=， 2,3a A π==， 222222cos 4a b c bc A b c bc ∴=+-=+-=， 228b c ∴+=.解得2b c ==.某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.(Ⅰ) 若花店某天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，N n ∈）的函数解析式；(Ⅱ) 花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列、数学期望及方差； （ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.(Ⅰ) ()()1080,1580,16 n n y n -≤⎧⎪=⎨≥⎪⎩（n N ∈）； (Ⅱ) （ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 的分布列为X 6070 80 P0.10.20.7X 的数学期望()E X =60×0.1+70×0.2+80×0.7=76，X 的方差()D X =(60-762)×0.1+(70-762)×0.2+(80-762)×0.7=44.（ⅱ）若花店计划一天购进17枝玫瑰花，X 的分布列X 55 65 75 85 P0.10.20.160.54X 的数学期望()E X =55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4，因为76.4>76，所以应购进17枝玫瑰花.如图，直三棱柱111C B A ABC -中，121AA BC AC ==，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1 (Ⅰ) 证明：BC DC ⊥1(Ⅱ) 求二面角11C BD A --的大小.证明：设112AC BC AA a ===， 直三棱柱111C B A ABC -， 12DC DC a ∴==，12CC a =，22211DC DC CC ∴+=，1DC DC ∴⊥. 又1DC BD ⊥ ，1DC DC D = ，1DC ∴⊥平面BDC .BC ⊂ 平面BDC ,1DC BC ∴⊥.(Ⅱ)由 (Ⅰ)知，12DC a =，15BC a =，又已知BD DC ⊥1，3BD a ∴=. 在Rt ABD △中，3,,90BD a AD a DAB ==∠= ， 2AB a ∴=.222AC BC AB ∴+=，AC BC ∴⊥.法一：取11A B 的中点E ，则易证1C E ⊥平面1BDA ，连结DE ，则1C E ⊥BD ， 已知BD DC ⊥1，BD ∴⊥平面1DC E ，BD ∴⊥DE ，1C DE ∴∠是二面角11C BD A --平面角.在1Rt C DE △中，111212sin 22aC EC DE C Da ∠===，130C DE ∴∠= .即二面角11C BD A --的大小为30.法二：以点C 为坐标原点，为x 轴，CB 为y 轴,1CC 为z 轴,建立空间直角坐标系C xyz -.则()()()()11,0,2,0,,0,,0,,0,0,2A a a B aD a a C a .()()1,,,,0,DB a a a DC a a =--=- ，设平面1DBC 的法向量为()1111,,n x y z =，则1111110n DB ax ay az n DC ax az ⎧=-+-=⎪⎨=-+=⎪⎩,不妨令11x =,得112,1y z ==,故可取()11,2,1n = . 同理,可求得平面1DBA 的一个法向量()21,1,0n =.设1n 与2n 的夹角为θ,则 121233cos 262n n n n θ⋅===⨯, 30θ∴= . 由图可知, 二面角的大小为锐角,故二面角11C BD A --的大小为30..设抛物线:C py x 22=)0(>p 的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B 、D 两点(Ⅰ) 若90BFD ∠=︒，ABD △面积为24，求p 的值及圆F 的方程；(Ⅱ)若A 、B 、F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 的距离的比值.由对称性可知,BFD △为等腰直角三角形,斜边上的高为p ,斜边长2BD p =.点A 到准线l 的距离2d FB FD p ===.由42ABD S =△得,11224222BD d p p ⨯⨯=⨯⨯=, 2p ∴=.圆F 的方程为()2218x y +-=.(Ⅱ)由对称性,不妨设点(),A A A x y 在第一象限,由已知得线段AB 是圆F 的在直径,90o ADB ∠=,2BD p ∴=,32A y p ∴=,代入抛物线:C py x 22=得3A x p =. 直线m 的斜率为333AF p k p ==.直线m 的方程为3302p x y -+=. 由py x 22= 得22x y p =,x y p '=. 由33x y p '==得, 33x p =.故直线n 与抛物线C 的切点坐标为3,36p p ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭, 直线n 的方程为3306p x y --=. 所以坐标原点到m ，n 的距离的比值为343312pp=已知函数121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+. (Ⅰ) 求)(x f 的解析式及单调区间；(Ⅱ) 若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值如图，D ，E 分别为ABC △边AB ，AC 的中点，直线DE 交ABC △的外接圆于F ，G 两点.若AB CF //，证明：(Ⅰ) BC CD =；(Ⅱ) GBD BCD ∽△△.(Ⅰ) ∵D ，E 分别为ABC △边AB ，AC 的中点，∴//DE BC . //CF AB ,//DF BC ,CF BD ∴ 且 =CF BD ，又∵D 为AB 的中点，CF AD ∴ 且 =CF AD ，CD AF ∴=.//CF AB ，BC AF ∴=.CD BC ∴=.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，BC GF ，GB CF BD ∴==， BGD BDG DBC BDC ∠=∠=∠=∠BCD GBD ∴△∽△.已知曲线1C 的参数方程是2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ.正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为)3,2(π. (Ⅰ)点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(Ⅱ) 设P 为1C 上任意一点，求2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围.(Ⅰ)依题意，点A ，B ，C ，D 的极坐标分别为.所以点A ，B ，C ，D 的直角坐标分别为(1,3)、(3,1)-、(1,3)--、(3,1)-； (Ⅱ) 设()2cos ,3sin P ϕϕ，则 2222||||||||PD PC PB PA +++ ()()2212cos 33sin ϕϕ=-+-()()2232cos 13sin ϕϕ+--+- ()()2212cos 33sin ϕϕ+--+--()()2232cos 13sin ϕϕ+-+-- 2216cos 36sin 16ϕϕ=++[]23220sin 32,52ϕ=+∈.所以2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围为[]32,52.已知函数|2|||)(-++=x a x x f .(Ⅰ) 当3a =-时，求不等式3)(≥x f 的解集；(Ⅱ) |4|)(-≤x x f 的解集包含]2,1[，求a 的取值范围.(Ⅰ) 当3a =-时，不等式3)(≥x f ⇔ |3||2|3x x -+-≥⇔ ()()2323x x x ≤⎧⎪⎨----≥⎪⎩或()()23323x x x <<⎧⎪⎨-++-≥⎪⎩或()()3323x x x ≥⎧⎪⎨-+-≥⎪⎩ ⇔或4x ≥.所以当3a =-时，不等式3)(≥x f 的解集为{1x x ≤或}4x ≥.(Ⅱ) ()|4|f x x ≤-的解集包含]2,1[，即|||2||4|x a x x ++-≤-对[]1,2x ∈恒成立， 即||2x a +≤对[]1,2x ∈恒成立，即22a x a --≤≤-对[]1,2x ∈恒成立， 所以2122a a --≤⎧⎨-≥⎩，即30a -≤≤.所以a 的取值范围为[]3,0-..。
2015年黑龙江省高考数学试卷
2015年黑龙江省高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分1．（5分）已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，则A∪B=（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，0）C．（0，2）D．（2，3）2．（5分）若为a实数，且=3+i，则a=（）A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．43．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显着B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．（5分）=（1，﹣1），=（﹣1，2）则（2+）=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．25．（5分）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．5 B．7 C．9 D．116．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）已知三点A（1，0），B（0，），C（2，）则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）A．B．C．D．8．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名着《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0 B．2 C．4 D．149．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）A．2 B．1 C．D．10．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144π D．256π11．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．12．（5分）设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，）∪（1，+∞）B．（，1）C．（）D．（﹣∞，﹣，）二、填空题13．（3分）已知函数f（x）=ax3﹣2x的图象过点（﹣1，4）则a= ．14．（3分）若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为．15．（3分）已知双曲线过点且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程是．16．（3分）已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a= ．三．解答题17．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC（Ⅰ）求．（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B．18．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）频数2814106（1）做出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4．过E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．20．椭圆C ：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．21．设函数f（x）=lnx+a（1﹣x）．（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．四、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N 两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．五、选修4-4：坐标系与参数方程23．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C 3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．六、选修4-5不等式选讲24．（10分）设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．2015年黑龙江省高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分1．（5分）已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，则A∪B=（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，0）C．（0，2）D．（2，3）【解答】解：∵A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，∴A∪B={x|﹣1＜x＜3}，故选：A．2．（5分）若为a实数，且=3+i，则a=（）A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4【解答】解：由，得2+ai=（1+i）（3+i）=2+4i，则a=4，故选：D．3．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显着B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【解答】解：A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A正确；B2004﹣2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D错误．故选：D．4．（5分）=（1，﹣1），=（﹣1，2）则（2+）=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：因为=（1，﹣1），=（﹣1，2）则（2+）=（1，0）?（1，﹣1）=1；故选：C．5．（5分）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．5 B．7 C．9 D．11【解答】解：由等差数列{a n}的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得a3=1．则S5==5a3=5．故选：A．6．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=，∴剩余部分体积为1﹣=，∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．故选：D．7．（5分）已知三点A（1，0），B（0，），C（2，）则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：因为△ABC外接圆的圆心在直线BC垂直平分线上，即直线x=1上，可设圆心P（1，p），由PA=PB得|p|=，得p=圆心坐标为P（1，），所以圆心到原点的距离|OP|===，故选：B．8．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名着《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0 B．2 C．4 D．14【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=14，b=18满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=4满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=10满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=6满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=2满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=2不满足条件a≠b，输出a的值为2．故选：B．9．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）A．2 B．1 C．D．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵，a3a5=4（a4﹣1），∴=4，化为q3=8，解得q=2则a2==．故选：C．10．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144π D．256π【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣AOB===36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π，故选：C．11．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：当0≤x≤时，BP=tanx，AP==，此时f（x）=+tanx，0≤x≤，此时单调递增，当P在CD边上运动时，≤x≤且x≠时，如图所示，tan∠POB=tan（π﹣∠POQ）=tanx=﹣tan∠POQ=﹣=﹣，∴OQ=﹣，∴PD=AO﹣OQ=1+，PC=BO+OQ=1﹣，∴PA+PB=，当x=时，PA+PB=2，当P在AD边上运动时，≤x≤π，PA+PB=﹣tanx，由对称性可知函数f（x）关于x=对称，且f（）＞f（），且轨迹为非线型，排除A，C，D，故选：B．12．（5分）设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，）∪（1，+∞）B．（，1）C．（）D．（﹣∞，﹣，）【解答】解：∵函数f（x）=ln（1+|x|）﹣为偶函数，且在x≥0时，f（x）=ln（1+x）﹣，导数为f′（x）=+＞0，即有函数f（x）在[0，+∞）单调递增，∴f（x）＞f（2x﹣1）等价为f（|x|）＞f（|2x﹣1|），即|x|＞|2x﹣1|，平方得3x2﹣4x+1＜0，解得：＜x＜1，所求x的取值范围是（，1）．故选：B．二、填空题13．（3分）已知函数f（x）=ax3﹣2x的图象过点（﹣1，4）则a= ﹣2 ．【解答】解：根据条件得：4=﹣a+2；∴a=﹣2．故答案为：﹣2．14．（3分）若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为8 ．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（3，2）将A（3，2）的坐标代入目标函数z=2x+y，得z=2×3+2=8．即z=2x+y的最大值为8．故答案为：8．15．（3分）已知双曲线过点且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程是x2﹣y2=1 ．【解答】解：设双曲线方程为y2﹣x2=λ，代入点，可得3﹣=λ，∴λ=﹣1，∴双曲线的标准方程是x2﹣y2=1．故答案为：x2﹣y2=1．16．（3分）已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a= 8 ．【解答】解：y=x+lnx的导数为y′=1+，曲线y=x+lnx在x=1处的切线斜率为k=2，则曲线y=x+lnx在x=1处的切线方程为y﹣1=2x﹣2，即y=2x﹣1．由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，故y=ax2+（a+2）x+1可联立y=2x﹣1，得ax2+ax+2=0，又a≠0，两线相切有一切点，所以有△=a2﹣8a=0，解得a=8．故答案为：8．三．解答题17．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC（Ⅰ）求．（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B．【解答】解：（Ⅰ）如图，由正弦定理得：，∵AD平分∠BAC，BD=2DC，∴；（Ⅱ）∵∠C=180°﹣（∠BAC+∠B），∠BAC=60°，∴，由（Ⅰ）知2sin∠B=sin∠C，∴tan∠B=，即∠B=30°．18．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）频数2814106（1）做出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．【解答】解：（Ⅰ）通过两个地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值，B 地区的用户满意度评分的比较集中，而A地区的用户满意度评分的比较分散．（Ⅱ）A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．记C A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”，C B表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”，由直方图得P（C A）=（0.01+0.02+0.03）×10=0.6得P（C B）=（0.005+0.02）×10=0.25∴A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4．过E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．【解答】解：（Ⅰ）交线围成的正方形EFGH如图所示；（Ⅱ）作EM⊥AB，垂足为M，则AM=A1E=4，EB1=12，EM=AA1=8．因为EFGH为正方形，所以EH=EF=BC=10，于是MH==6，AH=10，HB=6．因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为．20．椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．【解答】解：（1）椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上，可得，，解得a2=8，b2=4，所求椭圆C方程为：．（2）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），把直线y=kx+b代入可得（2k2+1）x2+4kbx+2b2﹣8=0，故x M==，y M=kx M+b=，于是在OM的斜率为：K OM==，即K OM?k=．∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．21．设函数f（x）=lnx+a（1﹣x）．（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=lnx+a（1﹣x）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=﹣a=，若a≤0，则f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，若a＞0，则当x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，（Ⅱ），由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上无最大值；当a＞0时，f （x）在x=取得最大值，最大值为f（）=﹣lna+a﹣1，∵f（）＞2a﹣2，∴lna+a﹣1＜0，令g（a）=lna+a﹣1，∵g（a）在（0，+∞）单调递增，g（1）=0，∴当0＜a＜1时，g（a）＜0，当a＞1时，g（a）＞0，∴a的取值范围为（0，1）．四、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N 两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，∴AD是∠CAB的角平分线，又∵圆O分别与AB、AC相切于点E、F，∴AE=AF，∴AD⊥EF，∴EF∥BC；（2）解：由（1）知AE=AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分线，又∵EF为圆O的弦，∴O在AD上，连结OE、OM，则OE⊥AE，由AG等于圆O的半径可得AO=2OE，∴∠OAE=30°，∴△ABC与△AEF都是等边三角形，∵AE=2，∴AO=4，OE=2，∵OM=OE=2，DM=MN=，∴OD=1，∴AD=5，AB=，∴四边形EBCF的面积为×﹣××=．五、选修4-4：坐标系与参数方程23．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．【解答】解：（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，∴x2+y2=2y．同理由C 3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程：，联立，解得，，∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），．（2）曲线C1：（t为参数，t≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），∵A，B都在C1上，∴A（2sinα，α），B．∴|AB|==4，当时，|AB|取得最大值4．六、选修4-5不等式选讲24．（10分）设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【解答】证明：（1）由于（+）2=a+b+2，（+）2=c+d+2，由a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，则＞，即有（+）2＞（+）2，则+＞+；（2）①若+＞+，则（+）2＞（+）2，即为a+b+2＞c+d+2，由a+b=c+d，则ab＞cd，于是（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，（c﹣d）2=（c+d）2﹣4cd，即有（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即为|a﹣b|＜|c﹣d|；②若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即有（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd，由a+b=c+d，则ab＞cd，则有（+）2＞（+）2．综上可得，+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．2020-2-8。
2024年黑龙江省高考数学试卷(新高考Ⅱ)
2024年黑龙江省高考数学试卷（新高考Ⅱ）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(★)(5分)sin405°+cos(-270°)等于()A．B．C．D．2．(★)(5分)若点(sinα，cosα)位于第四象限，则角α在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．(★)(5分)已知向量，向量，且∥，则x=()A．1B．5C．9D．104．(★)(5分)若，的夹角为30°，则的值为()A．B．C．D．5．(★)(5分)为了得到函数y=sin(2x-)的图象，可以将函数y=cos2x的图象()A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度6．(★★)(5分)已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数的图象()A．关于直线x=对称B．关于点(，0)对称C．关于直线x=-对称D．关于点(，0)对称7．(★)(5分)已知函数f(x)=cos(ωx+θ)为奇函数(0＜θ＜π)，其图象与直线y=1的某两个交点的横坐标分别为x1、x2，且|x2-x1|的最小值为π，则() A．B．C．D．8．(★★)(5分)已知函数y=Asin(ωx+φ)，(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的图象如图所示，则该函数的解析式是()A．y=2sin()B．y=2sin()C．y=2sin(2x+)D．y=2sin(2x-)9．(★)(5分)点O在△ABC内部且满足，则△ABC的面积与凹四边形ABOC的面积之比是()A．B．C．D．10．(★★)(5分)判断下列命题的真假，其中全是真命题的组合是()①若、均为非零向量，则是的充分不必要条件；②若、是两个非零向量，则是的充要条件；③在△ABC中，若，则△ABC是锐角三角形；④在△ABC中，与向量垂直．A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．(★★)(5分)化简：=．12．(★★)(5分)已知，则=．13．(★)(5分)已知向量与夹角为120°，且，则等于4．14．(★★)(5分)已知f(x)=2cos(ωx+φ)+b,对于任意的实数x,都有f(-x)=f(x)成立，且f()=-1，则实数b的值为-3或1．15．(★★)(5分)已知||=1，||=，=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n(m、n∈R)，则等于3．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．(★★)(12分)如图，已知梯形ABCD中，AB∥DC，且AB=2CD，E、F分别是DC、AB的中点，设，试用、为基底表示、．17．(★★★)(12分)已知点M(x,5)、N(-2，y)，点P(1，1)在直线MN上，且，求点M，N的坐标．18．(★★★)(12分)已知函数，．求f(x)的最大值和最小值．19．(★★★)(12分)已知A，B(A＜B)是Rt△ABC的两锐角，若存在一正实数使sinA，sinB是方程25x2-(10+5k)x+2k+2=0的两根．求：(Ⅰ)k的值；(Ⅱ)cos(A-B)的值．20．(★★★★★)(13分)如图，某单位准备绿化一块直径AB=a的半圆形空地，△ABC以外地方种草，△ABC的内接正方形PQMN为一水池，其余的地方种花，设∠BAC=θ，△ABC的面积为S1，正方形PQMN的面积为S2．(Ⅰ)试用a,θ表示S1、S2；(Ⅱ)当a固定θ变化时，求θ为何值时，取得最小值？最小值是多少？21．(★★★★★)(14分)设x轴、y轴正方向上的单位向量分别是、，坐标平面上点A n、B n(n∈N*)分别满足下列两个条件：①且=+；②且=．(1)求及的坐标；(2)若四边形A n B n B n+1A n+1的面积是a n，求a n(n∈N*)的表达式；(3)对于(2)中的a n，是否存在最小的自然数M，对一切(n∈N*)都有a n＜M成立？若存在，求M；若不存在，说明理由．。
2018年黑龙江省高考数学试卷(文科)(全国新课标ⅱ)含答案
2018年黑龙江省高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）i（2+3i）=（）A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i2．（5分）已知集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，则A∩B=（）A．{3}B．{5}C．{3，5}D．{1，2，3，4，5，7}3．（5分）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．4．（5分）已知向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=（）A．4 B．3 C．2 D．05．（5分）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（）A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.36．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x7．（5分）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4 B． C． D．28．（5分）为计算S=1﹣+﹣+…+﹣，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（）A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3D．i=i+49．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（）A．B．C．D．10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C． D．π11．（5分）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，则C的离心率为（）A．1﹣B．2﹣C．D．﹣112．（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f （1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）A．﹣50 B．0 C．2 D．50二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2017年黑龙江省高考数学试卷(文科)(全国新课标ⅱ)(解析版)
2017年黑龙江省高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝（）A．{1，2，3，4}B．{1，2，3}C．{2，3，4}D．{1，3，4} 2．（5分）（1+i）（2+i）＝（）A．1﹣i B．1+3i C．3+i D．3+3i3．（5分）函数f（x）＝sin（2x+）的最小正周期为（）A．4πB．2πC．πD．4．（5分）设非零向量，满足|+|＝|﹣|则（）A．⊥B．||＝||C．∥D．||＞||5．（5分）若a＞1，则双曲线﹣y2＝1的离心率的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，2）C．（1，）D．（1，2）6．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A．90πB．63πC．42πD．36π7．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值是（）A．﹣15B．﹣9C．1D．98．（5分）函数f（x）＝ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（4，+∞）9．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩10．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的a＝﹣1，则输出的S＝（）A．2B．3C．4D．511．（5分）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）A．B．C．D．12．（5分）过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（）A．B．2C．2D．3二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）函数f（x）＝2cos x+sin x的最大值为．14．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝2x3+x2，则f（2）＝．15．（5分）长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为．16．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b cos B＝a cos C+c cos A，则B ＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17至21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，a1＝﹣1，b1＝1，a2+b2＝2．（1）若a3+b3＝5，求{b n}的通项公式；（2）若T3＝21，求S3．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面P AD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB ＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°．（1）证明：直线BC∥平面P AD；（2）若△PCD面积为2，求四棱锥P﹣ABCD的体积．19．（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下：（1）记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较．附：K2＝．20．（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：+y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝．（1）求点P的轨迹方程；（2）设点Q在直线x＝﹣3上，且•＝1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C 的左焦点F．21．（12分）设函数f（x）＝（1﹣x2）e x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≤ax+1，求a的取值范围．选考题：共10分。
2024届黑龙江省名校联盟高考模拟测试数学试题及答案
黑龙江名校联盟2024届高三模拟测试数学试卷（本试卷满分150分，考试时间120分钟.）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名､准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上.2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效.一､选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数z 满足23i z z +=--，则z =（ ）A.2C.32.已知0,0x y <<，且22x y +=-，则42x y +的最小值为（ ）A.1C.2D.3.已知集合,A B ，若{}3log 1A xx =∣…，且(]0,2A B ⋂=，则集合B 可以为（ ）A.{}24xx <∣ B.02x x x ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭∣…C.{yy =∣D.{x y =∣4.已知函数()()cos ,02,(0)x x f x x x π⎧⎪=⎨<⎪⎩…，则43f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ）A.2B.-2C.-4D.45.已知()()1,,,2a m b n == ，向量b 在向量a 方向上的投影向量为12a - ，且ab + 与向量()2,1--共线且方向相反，则（ ）A.1mn=- B.2m n +=C.2m n -= D.1mn =6.若,,A B C 分别为ABC 的三个内角，则“sin sin A B >”是“()cos cos 0A A C ++<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.若正四棱柱1111ABCD A B C D -与以正方形ABCD 的外接圆为底面的圆柱的体积相同，则正四棱柱与该圆柱的侧面积之比为（ ）A.2πD.2π8.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若123a a ==，且*2,n n ∀∈N …都有()114n n n S S S -+--=0，则（）A.{}12n n S S --是等比数列B.13,121,2n n n a n -=⎧=⎨+⎩…C.3,121,2n n n a n =⎧=⎨-⎩… D.548S =二､多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若202320240,0S S <>，则下列结论正确的是（ ）A.{}n a 是递增数列B.10131012a a <C.1012n S S …D.10151008S S >10.关于函数()121cos 224f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象和性质，下列说法正确的是（ ）A.58x π=是函数()f x 的一条对称轴B.7,08π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心C.将曲线1sin22y x =向左平移38π个单位可得到曲线()y f x =D.函数()f x 在,02π⎛⎤- ⎥⎝⎦的值域为12⎡⎤⎢⎥⎣⎦11.已知直线:220l ax y a -+-=与圆222:(4)(1)(0)C x y r r -+-=>相交于不同的两点,,M N O 为坐标原点，则（）A.直线l 过定点()2,2-B.()2,r ∞∈+C.当3r =时，[]4,6MN ∈D.当5r =时，CM CN ⋅最小值为-2512.在正四棱柱中11111,4,2,,ABCD A B C D AA AB E F -==分别为棱1,AB CC 的中点，记α为过1D EF 三点所作该正四棱柱的截面，则下列判断正确的是（ ）A.异面直线EF 与直线1AA 所成角的余弦值为23B.α与平面11BCC B 的交线与1BC 平行C.截面α为五边形D.D 点到截面α三､填空题：本题4个小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()cos 1f x x x =-+，则当0x …时，()f x =__________.14.在平行四边形ABCD 中，()3,,,2BE ED CE AB AD λμλμλμ==+∈+=R__________.15.已知球O 的体积为323π，其内接三棱锥D ABC -的底面ABC 为直角三角形，且90ACB ∠= ，则三棱锥D ABC -的体积的最大值为__________.16.已知()f x '为函数()f x 的导函数，且定义域均为R ，若函数12x f ⎛⎫+⎪⎝⎭'与()f x x -都是偶函数，写出函数()f x x的一个对称中心为__________；()()()()()()()()1121213131412023120241f f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-++-++-+++-+='''''''⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ __________.四､解答题：共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知等差数列{}n a 公差与等比数列{}n b 公比相同，12361,4,3a b b a ==-=-.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记数列{}n c 是将数列{}n a 和{}n b 中的项从小到大依次排列而成的新数列，求数列{}n c 前60项的和60S .18.（本小题满分12分）已知函数()e ,xf x x x =∈R .（1）求函数()e xf x x =单调区间；（2）若过点()()1,P t t ∈R 可以作曲线()y f x =的3条切线，求实数t 的取值范围.19.（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，,45,PB AD DAB CDA AD ∠∠⊥== ∥BC ，且24,AD PB AB ===，PD =.（1）证明：平面PCD ⊥平面PAB ；（2）求平面PCD 与平面PBC 夹角的余弦值.20.（本小题满分12分）已知圆()22:2210,R C x mx y m y m m -++-+-=∈.（1）证明：圆C 过定点；（2）当0m =时，点P 为直线:163x yl +=上的动点，过P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，求四边形PACB 面积最小值，并写出此时直线AB 的方程.21.（本小题满分12分）某校高中“数学建模”实践小组欲测量某景区位于“观光湖”内两处景点A ，C 之间的距离，如图，B 处为码头入口，D 处为码头，BD 为通往码头的栈道，且100m BD =，在B 处测得,46ABD CBD ππ∠∠==，在D 处测得23,34BDC ADC ππ∠∠==（,,,A B C D 均处于间一测量的水平面内）（1）求,A C 两处景点之间的距离；（2）栈道BD 所在直线与,A C 两处景点的连线是否垂直？请说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数()e ln,02xxf x a a =+<.（1）当e a =-时，求函数()f x 的极值；（2）证明：()22ln 0f x a a a ⎛⎫++-⎪⎝⎭….参考答案与解析1.【答案】B【解析】依题意，令i,,z x y x y R =+∈，则i z x y =-，所以23i 3i z z x y +=-=--，所以1,1x y =-=，即1i z =-+，所以z == B.2.【答案】A【解析】因为0,0x y <<，所以242221x y x y +=+≥==，当且仅当222x y =，即21x y ==-时，等号成立，故选A.3.【答案】D【解析】因为3log 1x ≤，所以03x <≤，所以集合(]0,3A =，对于A 选项，不等式24x <的解为(]2,0,2x A B <⋂≠，所以A 选项不合题意；对于B 选项，不等式02xx ≤-等价于()2020x x x -≠⎧⎨-≤⎩，解得[)(]0,2,0,2B A B =⋂≠，所以B 选项不合题意；对于C选项，{[)(]0,,0,2yy A B ∞==+⋂≠∣，所以C 选项不合题意；对于D选项，{(](],2,0,2x y A B ∞==-⋂=∣，符合题意，故选D.4.【答案】C【解析】依题意，44112cos cos cos ,413333222f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=-=--==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-，故选C 5.【答案】A【解析】依题意12a ba a aa ⋅⋅==- ，所以22112n m m +=-+①，又a b + 与向量()2,1--共线，()1,2a b n m +=++，所以()()1220n m -+++=②，由①②联立，解得11m n =-⎧⎨=⎩或711m n =-⎧⎨=-⎩，又a b + 与向量()2,1--方向相反，所以711m n =-⎧⎨=-⎩舍去，所以11m n =-⎧⎨=⎩，故选A6.【答案】C【解析】依题意可知，在ABC 中，由正弦定理可知sin sin a bA B=，若sin sin A B >，则a b >，于是A B >，且(),0,A B π∈，函数cos y x =在()0,π上单调递减，所以cos cos A B <，又()cos cos A C B +=-，则()cos cos cos A A C B <-+=，所以满足充分性；且以上过程可逆，因此也满足必要性，故选C.7.【答案】B【解析】依题意，设正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为a ，高为1h ，圆柱的高为2h ，则圆柱的底面，则有2212a h h π⎫=⎪⎪⎭，整理得122h h π=，正四棱柱与圆柱的侧面积之比= B.8.【答案】D【解析】依题意，因为()1140n n n S S S -+--=，即()11122422,2n n n n n S S S S S S n +---=-=-≥，又()21122230S S a a -=+-⨯=，所以12,2n n S S n -=≥，又113S a ==，所以数列{}n S 是以3为首项，2为公比的等比数列，所以132n n S -=⨯，所以51234523,1,33612244832,2n n n a S a a a a a n -=⎧==++++=++++=⎨⋅≥⎩，故选D.9.【答案】AC【解析】依题意，()12023202310122023202302a a S a +==<，所以10120a <，()()1202410121013202420242024022a a a a S ++==>，所以101210130a a +>，所以101310120a a >->，所以数列{}n a 的公差大于0，且10131012a a >，所以A 选项正确，B 选项不正确；所以1012S 最小，即1012n S S ≤，所以C 选项正确；101510081015101410131012101110101009101270S S a a a a a a a a -=++++++=<，所以D 选项不正确，故选AC.10.【答案】ABD【解析】依题意，因为()121121cos 2cos 22424f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1515cos 24cos 22424x x πππ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令552,,,428k x k k Z x k Z ππππ-=∈=+∈，当0k =时，58x π=，所以58x π=是函数()f x 的一条对称轴，所以A 选项正确（另解：因为5121511cos 2cos4824822f ππππ⎛⎫⎛⎫=-⨯== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即当58x π=时，函数()f x 取得最大值，所以58x π=是函数()f x 的一条对称轴）；令572,,,4228k x k k Z x k Z πππππ-=+∈=+∈，当70,8k x π==，所以7,08π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心，所以B 选项正确（另解：因为7121717cos 2cos 0824822f ππππ⎛⎫⎛⎫=-⨯== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即78x π=是函数()f x 的零点，所以7,08π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心）.对于C 选项，因为()15151313cos 2sin 2sin 2sin 2242422428f x x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦又将曲线1sin22y x =向左平移38π个单位可得到曲线1313sin 2sin 22824y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以C 选项不正确；因为()1211313cos 2cos 26cos 2242424f x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当,02x π⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，则332,444x πππ⎛⎫⎛⎤+∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以函数()f x 的值域为12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以D 选项正确，故选ABD11.【答案】CD【解析】由直线220ax y a -+-=，可化为()()220a x y -+-+=，即直线l 过定点()2,2P ，所以A 选项不正确；因为直线l 与圆C 有总有两个公共点，可得点()2,2P 在圆C 内部，所以222(24)(21)r -+-<，解得r >，所以B 不正确；当3r =时，圆C 的方程为22(4)(1)9x y -+-=，可得圆心()4,1C ，又()2,2P则CP =，可得MN 长的最小值为4=，最大值即为直径6，所以C 选项正确；当5r =时，圆C 的方程为22(4)(1)25x y -+-=，则cos 25cos CM CN CM CN MCN MCN∠∠⋅=⋅=当直线l 过圆心()4,1C ，此时cos 1MCN ∠=-，可得cos AOB ∠的最小值-1，所以CM CN ⋅的最小值为-25故选CD.12.【答案】ACD 【解析】如图，对于A 选项，异面直线EF 与直线1AA 所成的角，即为直线EF 与直线1CC 所成角，连接EC ，则EFC ∠即为直线EF 与直线1CC 所成的角，在Rt EFC 中，1122FC CC ==，EC ==，则3EF ==，所以2cos 3FC EFC EF ∠==，所以A 选项正确；延长DC 交1D F 延长线于H ，连接EH 交BC 于I ，延长HE 交DA 延长线于K ，连接1D K 交1AA 于J ，则五边形1D FIEJ 即为平面1D EF 截该四棱柱得到的截面.即截面α为五边形，所以C 选项正确；α与平面11BCC B 的交线即为FI ，则FI ∥1D K ，又1BC ∥1111,AD AD D K D ⋂=，所以FI 与1BC 不平行，所以B 选项不正确；对于D 选项，由于1112HC HF FC HD HD DD ===，所以2HC CD ==，又14AE KA KE HD KD KH ===，所以23KA =，111ΔKD KH D H KD H ====为等腰三角形，KF ==，所以1ΔKD H的面积为1Δ112KD H S D H KF =⨯==设D 点到截面α的距离为h ，则11D DHK D D KH V V --=，11Δ111323D KH DK HD DD S h ⨯⋅⨯=⨯⨯即1181443233h ⎛⎫⨯⨯⨯⨯=⨯⎪⎝⎭，解得h =D 点到截面α，所以D 选项正确，故选ACD.13.【答案】()cos 1f x x x =+-【解析】当()()0,0,cos 1x x f x x x >-<-=---+，又因为()f x 为R 上的奇函数，所以()()()cos 1f x f x x x -=-=---+，解得()cos 1f x x x =+-，又()00cos010f =+-=，所以当()0,cos 1x f x x x ≥=+-.14.【答案】54-【解析】依题意，可知4BD BE =，则()4CD CB CE CB -=- ，整理得13134444CE CD CB BA BC =+=- ，1344CE AB AD =-- 所以524λμ+=-15.【答案】25681【解析】设AB 的中点为1O ，四面体ABCD 的外接球的球心为O ，因为90ACB ∠= ，所以1O 为ACB 外接圆的圆心，即点1O 为四面体ABCD 的外接球过,,A B C 三点的截面圆的圆心，圆1O 的半径为r ，则2AB r =，因为22224AC BC AB r +==，所以22211222ABCAC BC S AC BC r +=⋅≤⋅=，当且仅当AC BC =时，取等号，即当且仅当ACB 为等腰直角三角形时，ACB 的面积最大，连接1O O 并延长交球面于一点，若使得四面体ABCD 的体积最大，则该交点应为点D ，1DO 即为四面体ABCD 的高，设[)1,0,2OO x x =∈，则有2214,2x r DO x +==+，则()()()2232111112482423333333ABC ABCD V S DO r x x x x x x =⋅≤+=-+=--++四面体，令()321248(02)3333f x x x x x =--++≤<，则()()()2441232333f x x x x x ='--+=-+-，当203x <<时，()0f x '>，当223x <<时，()0f x '<，所以()f x 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,23⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以max 2256()381f x f ⎛⎫==⎪⎝⎭，所以三棱锥D ABC -的体积的最大值为25681.故答案为25681.16.【答案】()0,1；0【解析】依题意，因为()f x x -为偶函数，所以()()f x x f x x -=-+，即()()2f x f x xx-+=-，令()()f x h x x=，则()()2h x h x +-=，所以()h x 关于点()0,1对称，所以函数()f x x的一个对称中心为()0,1，因为12x f ⎛⎫+⎪⎝⎭'均为偶函数，所以1122x x f f ⎪''⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x '的图象关于直线1x =对称，即()()()()11,2f x f x f x f x '+=-+=''-'，又因为()()f x x f x x -=-+，所以()()11f x f x -=--'+'，所以()()2f x f x '+-='，()()()()22,422f x f x f x f x ''++''=+++=，所以()()4f x f x ='+'，即函数()f x '是周期为4的周期函数，()()411f f -='-'，即()()()()31,04f f f f =''-=''()()()()()()112,222,22f f f f f f ''+-=+-=='''-'，所以()()221f f '=-='()()312f f '+='，所以()()041f f '=='，所以()()242f f '+='所以()()1f x f x ⋅'+'也是周期为4的周期函数，()()()()()()112121313141f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-++-++-+++''''⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣'⎦'()()2023120241f f '='⎡⎤⎡⎤-+⎣⎦⎣⎦()()()()()()()()1212123231f f f f f f f f =⋅+--+⋅+--+''''''''()()()()()()()()3434120232024202320241f f f f f f f f '⋅+--++⋅+-''''''-'()()()()()()()()1223202320244120242023f f f f f f f f =⋅'''''⋅+⋅+++-'''-()()()()()()()()()()5061223344520242025f f f f f f f f f f ⎡⎤='⋅+'''''''+''+-⎣⎦()()120242023f f '--'+()()()()()()()()()()()()506122334450110f f f f f f f f f f f f ⎡⎤=''''''''+'⋅+++'-'-'⎣⎦2023-()()()()()()()()()()506132*********f f f f f f f f ⎡⎤=⎦'''''''++-+-'-⎣()()()506221102023f f f =⨯⨯-+-'''-0=17.【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差和等比数列{}n b 的公比为()0t t ≠，因为()362153b a b t a t -=⋅-+=-，即()4153t t -+=-，解得2t =，所以()2212121,22n n n n a n n b b -=+-=-==.（2）数列{}n b 中的项从小到大依次为2,4,8,16,32,64,128,，而506099,119a a ==依题意可知新数列{}n c 的前60项中，数列{}nb 的项只有前6项，数列{}n a 有54项，所以()()601357107248163264S =+++++++++++()5411071262+=+3042=.18.【解析】（1）函数()f x 的定义域为R ，()()1x x x f x e xe e x =+=+'，令()0f x '>，解得1x >-，所以函数()f x 的单调递增区间是()1,∞-+令()0f x '<，解得1x <-，所以函数()f x 的单调递减区间是(),1∞--（2）由题意可得()()1e xf x x =+'，设切点坐标为()00,x y ，则切线斜率()001e xk x =+⋅，所以切线方程为()()00000e 1e x x y x x x x -=+⋅-，将()1,P t 代入得()2001x t exx =-++.因为存在三条切线，即方程()2001x t e xx =-++有三个不等实数根，则方程()2001x t exx =-++有三个不等实数根等价于函数()0200,1x y t y e x x ==-++的图像有三个交点，设()()21e xg x x x =-++，则()()()12e xg x x x =--+'，当()2,1x ∈-时，()()0,g x g x '>单调递增；在(),2∞--和()1,∞+上，()()0,g x g x '<单调递减，()252e g -=-，当x <或x >时，()0g x <，画出()()21e xg x x x =-++的图象如图，要使函数()20,1x y t y exx ==-++的图像有三个交点，需()20g t <<，即250t e -<<，即实数t 的取值范围25,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，19.【解析】（1）连接BD ，因为45,4BAD AB AD ∠=== ，由余弦定理可得21622410BD =+-⨯= ，所以BD =，在PBD 中，2,PD PB BD ===，则222PD PB BD =+，所以PB BD ⊥，又,PB AD AD BD D ⊥⋂=所以PB ⊥底面ABCD ，依题意可知ABCD 为等腰梯形，AB =，可得2BC =，取AD 中点H ，连接BH ，则2,BC DH BC ==∥DH ，所以四边形BCDH 为平行四边形，DC ∥BH又2BH BA AH ===，所以BH AB ⊥，又,BH PB PB AB B⊥⋂=所以BH ⊥平面PAB ，所以DC ⊥平面PAB ，又DC ⊂平面PCD ，所以面PCD ⊥平面PAB .（2）解法1：如图，建立空间直角坐标系，())()()0,0,0,,,0,0,2B C D P ，)())2,,PC DC BC =-==，设平面PCD 法向量为(),,m x y z =，则20,0PC m z DC m ⋅=--=⋅==，取1z =-，得()1m =-同理，设面PBC 法向量为(),,n a b c =，则20,0PC m c BC n ⋅=-=⋅==，取1a =，得()1,1,0n =，由题意，cos ,||||m n m n m n ⋅〈〉===设平面PCD 与平面PCB 的夹角为θ，则cos |cos ,|m n θ=〈〉=解法2：由（1）可知，PB ⊥平面,ABCD PB ⊂平面,PBC ∴平面PBC ⊥平面ABCD ，过D 作DH BC ⊥，则DH ⊥平面PBC 垂足为,H PC ⊂平面PBC ，则DH PC ⊥，过H 作PC 的垂线，垂足为E ，连DE ，由于,,,,HE PC DH PC HE DH H HE DH ⊥⊥⋂=⊂平面DEH ，所以PC ⊥平面,DEH DE ⊂平面DEH ，故PC DE ⊥，则DEH ∠.2,PB BC AB CD ====，所以4BCP π∠=，sin1,1,sin44DH CD CH DH HE HC ππ======，cos HE DEH DE ∠===所以平面PCD 与平面PBC20.【解析】（1）依题意，将圆C 的方程()222210x mx y m y m -++-+-=化为()2241120x y y x y m ++-+--=令120x y --=，即12x y =-，则22(12)410y y y -++-=恒成立，解得1,0x y ==，即圆C 过定点()1,0（2）当0m =时，圆22:(2)5C x y ++=，直线:163x y l +=设(),P s t ，依题意四边形PACB的面积22PAC S S == ，当PA 取得最小值时，四边形PACB 的面积最小，又PA =，即当PC 最小时，四边形PACB 的面积最小，圆心()0,2C -到直线:163x yl +=的距离即为PC 的最小值，即min min ||PC ==min S ==PACB面积最小值为，此时直线PC 与直线l 垂直，所以直线PC 的方程为22y x =-，与直线l 联立，解得()2,2P ，以PC 为直径的圆的方程为()()()2220x x y y -++-=即22240x y x +--=，又圆22:410C x y y ++-=，两式作差可得直线AB 方程2430x y ++=21.【解析】（1）由题意可知，在BCD 中，2,,10063CBD BDC BD ππ∠∠===所以2366BCD πππ∠π=--=，所以BCD 为等腰三角形，所以100BD DC ==，在ABD 中，2377,2,434121246ABD ADB BAD πππππππ∠∠π∠π==--==--=，100BD =，由正弦定理：sin sin BD ADBAD ABD∠∠=，即10012=，解得AD =在ACD中，3100,4AD DC ADC π∠===，由余弦定理：AC ==所以,A C两处景点之间的距离为（2）在BCD中，由余弦定理BC ==，在ABD 中，因为712ADB π∠=，71sin sinsin 12432ADB πππ∠⎛⎫==+== ⎪⎝⎭由正弦定理：sin sin sin BD AD ABBAD ABD ADB∠∠∠==，即10012=，解得50AB =()BD AC BD BC BA BD BC BD BA⋅=⋅-=⋅-⋅10010050=⨯-⨯(100150100501=⨯-⨯+0≠所以栈道BD 所在直线与,A C 两处景点的连线不垂直.注：第（2）问其他解法，可参考以上标准酌情给分.22.【解析】（1）当a e =-时，()()ln,0,2xxf x e e x ∞=-∈+所以()(),0,xef x e x x∞=-∈+'令()20xef x e x=+'>'在()0,∞+恒成立，所以函数()f x '在()0,∞+单调递增，且()10f '=，所以当()()0,1,0x f x ∈'<，函数()f x 在()0,1上单调递减；当()()1,,0x f x ∞∈+'>，函数()f x 在()1,∞+上单调递增；所以函数()f x 在1x =处取得极小值()()11ln2f e =+，无极大值；..（2）当0a <时，()()ln,0,2xxf x e a x ∞=+∈+所以()(),0,xaf x e x x∞=+∈+'.令()()()2,0xa g x f x g x e x==-'>'在()0,∞+恒成立所以函数()g x 在()0,∞+单调递增，且当0x →时，()xa f x e x ∞=+→-'；当x ∞→+时，()x af x e x∞=+→+'，所以函数()xaf x e x=+'在()0,∞+存在唯一零点0x ，即()000000,x x a a f x e e x x '=+==-，且当()()00,,0x x f x ∈'<，函数()f x 在()00,x 上单调递减；当()()0,,0x x f x ∞∈+'>，函数()f x 在()0,x ∞+上单调递增所以函数()f x 在0x x =处取得极小值()000ln2xx f x e a =+要证不等式()22ln 0f x a a a ⎛⎫++-≥ ⎪⎝⎭成立，即证()022ln 0f x a a a ⎛⎫++-≥ ⎪⎝⎭成立，即000022ln2ln ln ln 222xx x a e a a a a a a x a ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫+++-=++-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦002ln x a a a x a -⎛⎫=++- ⎪⎝⎭()002aa x a x -=+-+()0012a x ax ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭()220a a ≥-+=当且仅当001x x =时，即01x =时，等号成立，所以()22ln 0f x a a a ⎛⎫++-≥ ⎪⎝⎭注：第（2）问其他解法，可参考以上标准酌情给分.。
2022年黑龙江省高考数学试卷理科真题及参考答案
2022年黑龙江高考数学理科真题及参考答案注意事项1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{}5,432,1，，=U ，集合M 满足{}3,1=M C U ，则（）A.M∈2 B.M∈3 C.M∉4 D.M∉52.若i z 21-=，且0=++b z a z ，其中a ，b 为实数，则（）A.2,1-==b a B.2,1=-=b a C.2,1==b a D.2,1-=-=b a3.已知向量a ，b 1=3=3=-，则=⋅b a （）A.2- B.1- C.1D.24.嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星.为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{}n b ：1111a b +=，212111a a b ++=，32131111a a a b +++=，……，以此类推，其中() 2,1=∈*k Na k .则（）A.51b b < B.83b b < C.26b b < D.74b b <5.设F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，点A 在C 上，点()0,3B ，若BF AF =，则=AB （）A.2B.22 C.3D.236.执行右图的程序框图，输出的=n （）A.3B.4C.5D.67.在正方体1111D C B A ABCD -，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则（）A.平面EF B 1⊥平面1BDDB.平面EF B 1⊥平面BD A 1C.平面EF B 1∥平面AC A 1D.平面EF B 1∥平面DC A 118.已知等比数列{}n a 的前3项和为168，4252=-a a ，则=6a （）A.14B.12C.6D.39.已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O ，底面的四个顶点均在球O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A.31B.21 C.33 D.2210.某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为1p ，2p ，3p ，且0123>>>p p p .记该棋手连胜两盘的概率为p ，则（）A.p 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛，p 最大C.该棋手在第二盘与乙比赛，p 最大D.该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大11.双曲线C 的两个焦点1F ，2F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且53cos 21=∠NF F ，则C 的离心率为（）A.25 B.23 C.213 D.21712.已知函数()x f ，()x g 的定义域为R ，且()()52=-+x g x f ，()()74=--x f x g .若()x g y =的图象关于直线2=x 对称，()42=g ，则()=∑=221k k f （）A.21-B.22-C.23-D.24-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
黑龙江省高考数学试题及答案
2012年黑龙江省数学理科本试卷包括必考题和选考题两部分;第1-21题为必考题;每个考生都必须作答.一、选择题：本大题共12小题;在每小题给出的四个选项中;只有 一项是符合题目要求的.1. 已知集合}5,4,3,2,1{=A ;},,|),{(A y x A y A x y x B ∈-∈∈=;则B 中所含元素的个数为 A. 3 B. 6 C. 8 D. 102. 将2名教师;4名学生分成两个小组;分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动;每个小组由一名教师和2名学生组成;不同的安排方案共有 A. 12种 B. 10种 C. 9种 D. 8种3. 下面是关于复数iz +-=12的四个命题： :3P z 的共轭复数为i +1:4P z 的虚部为1-其中的真命题为A. 2P ;3PB. 1P ;2PC. 2P ;4PD. 3P ;4P4. 设21,F F 是椭圆:E 12222=+b y a x )0(>>b a 的左右焦点;P 为直线23ax =上的一点;12PF F △是底角为︒30的等腰三角形;则E 的离心率为A.21B.32 C.43 D.54 5. 已知}{n a 为等比数列;274=+a a ;865-=a a ;则=+101a aA.7B. 5C.5-D. 7-6. 如果执行右边的程序框图;输入正整数N )2(≥N 和 实数N a a a ,,,21 ;输出A ;B ;则A. B A +为N a a a ,,,21 的和B.2BA +为N a a a ,,,21 的算术平均数C. A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最大的数和最小的数D. A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最小的数和最大的数7. 如图;网格纸上小正方形的边长为1;粗线画出的 是某几何体的三视图;则此几何体的体积为 A. 6 B. 9 C. 12 D. 188. 等轴双曲线C 的中心在原点;焦点在x 轴上;C 与抛物线x y 162=的准线交于A ;B ;两点;34||=AB ;则的实轴长为A.2B. 22C. 4D. 89. 已知0>ω;函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ单调递减;则ω的取值范围是A. ]45,21[B. ]43,21[C. ]21,0(D. ]2,0(10. 已知函数xx x f -+=)1ln(1)(;则)(x f y =的图像大致为11. 已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上;ABC △是边长为1的正三角形;SC 为球O 的直径;且2=SC ;则此棱锥的体积为A.62 B.63 C.32 D.22 12. 设点P 在曲线xe y 21=上;点Q 在曲线)2ln(x y =上;则||PQ 的最小值为A. 2ln 1-B.)2ln 1(2- C. 2ln 1+D.)2ln 1(2+二、填空题.本大题共4小题;每小题5分.13.已知向量a ;b 夹角为︒45;且1=||a ;102=-||b a ;则=||b .14. 设y x ,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+-≥-0031y x y x y x 则y x Z 2-=的取值范围为 .15. 某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成;元件1或元件2正常工作;且元件3正常工作;则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命单位：小时服从正态分布)50,1000(2N ;且各元件能否正常工作互相独立;那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 .16. 数列}{n a 满足12)1(1-=-++n a a n nn ;则}{n a 的前60项和为 .三、解答题：解答题应写出文字说明;证明过程或演算步骤.17. 本小题满分12分 已知a ;b ;c 分别为ABC △三个内角A ;B ;C 的对边;0sin 3cos =--+c b C a C a . Ⅰ 求A ；Ⅱ 若2=a ;ABC △的面积为3;求b ;c .18. 本小题满分12分 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花;然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完;剩下的玫瑰花做垃圾处理. Ⅰ 若花店某天购进16枝玫瑰花;求当天的利润y 单位：元关于当天需求量n 单位：枝;N n ∈的函数解析式； Ⅱ 花店记录了100天玫瑰花的日需求量单位：枝;整理得下表：日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. ⅰ若花店一天购进16枝玫瑰花;X 表示当天的利润单位：元;求X 的分布列、数学期望及方差； ⅱ若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花;你认为应购进16枝还是17枝 请说明理由. 19. 本小题满分12分如图;直三棱柱111C B A ABC -中;121AA BC AC ==;D 是棱1AA 的中点;BD DC ⊥1 Ⅰ 证明：BC DC ⊥1Ⅱ 求二面角11C BD A --的大小.20. 本小题满分12分设抛物线:C py x 22=)0(>p 的焦点为F ;准线为l ;A 为C 上一点;已知以F 为圆心;FA 为半径的圆F 交l 于B 、D 两点Ⅰ 若90BFD ∠=︒;ABD △面积为24;求p 的值及圆F 的方程；Ⅱ若A 、B 、F 三点在同一直线m 上;直线n 与m 平行;且n 与C 只有一个公共点;求坐标原点到m ;n 的距离的比值. 21. 本小题满分12分已知函数121()(1)(0)2x f x f ef x x -'=-+.Ⅰ 求)(x f 的解析式及单调区间；Ⅱ 若b ax x x f ++≥221)(;求b a )1(+的最大值 请考生在第22、23、24题中任选一题作答;如果多做;则按所做第一题记分;作答时请写清题号.22. 本小题满分10分选修4—1：几何证明选讲 如图;D ;E 分别为ABC △边AB ;AC 的中点;直线DE 交ABC △的 外接圆于F ;G 两点.若AB CF //;证明： Ⅰ BC CD =；Ⅱ GBD BCD ∽△△.23. 本小题满分10分选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩ϕ为参数;以坐标原点为极点;x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系;曲线2C 的极坐标方程是2=ρ.正方形ABCD 的顶点都在2C 上;且A ;B ;C ;D 依逆时针次序排列;点A 的极坐标为)3,2(π.Ⅰ点A ;B ;C ;D 的直角坐标；Ⅱ 设P 为1C 上任意一点;求2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围.24. 本小题满分10分选修4—5：不等式选讲 已知函数|2|||)(-++=x a x x f .Ⅰ 当3a =-时;求不等式3)(≥x f 的解集；Ⅱ |4|)(-≤x x f 的解集包含]2,1[;求a 的取值范围.2012年全国卷新课标——数学理科答案1解析选D.法一：按x y -的值为1;2;3;4计数;共432110+++=个；法二：其实就是要在1;2;3;4;5中选出两个;大的是x ;小的是y ;共2510C =种选法.2解析选A.只需选定安排到甲地的1名教师2名学生即可;共1224C C 种安排方案. 3解析选C.经计算; 221,21 z i z i i ==--=-+.4解析选C.画图易得;21F PF △是底角为30的等腰三角形可得212PF F F =;即3222a c c ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; 所以34c e a ==. 5解析选D.472a a +=;56478a a a a ==-;474,2a a ∴==-或472,4a a =-=;14710,,,a a a a 成等比数列;1107a a ∴+=-.6解析选C. 7 解析选B.由三视图可知;此几何体是底面为俯视图三角形;高为3的三棱锥;113932V =⨯⨯=.8 解析选C.易知点(-在222x y a -=上;得24a =;24a =.9解析选A. 由322,22442Z k k k ππππππωπωπ+≤+<+≤+∈得;1542,24Z k k k ω+≤≤+∈; 15024ωω>∴≤≤.10 解析选B.易知ln(1)0y x x =+-≤对()1,x ∈-+∞恒成立;当且仅当0x =时;取等号.11 解析选A.易知点S 到平面ABC 的距离是点O 到平面ABC 的距离的2倍.显然O ABC -是棱长为1的正四面体;故13O ABC V -==;2S ABC O ABC V V --==12 解析选B.12x y e =与ln(2)y x =互为反函数;曲线12x y e =与曲线ln(2)y x =关于直线y x =对称;只需求曲线12x y e =上的点P 到直线y x =距离的最小值的2倍即可.设点1,2x P x e ⎛⎫⎪⎝⎭;点P到直线y x =距离d =.令()12x f x e x=-;则()112xf x e '=-.由()0f x '>得ln 2x >；由()0f x '<得ln 2x <;故当ln 2x =时;()f x 取最小值1ln 2-.所以d=1x e x-=min d =.所以)min min ||21ln 2PQ d ==-. 13解析由已知得;()22222244||-=-=-a b a b a a b+b 2244cos 45=-a a b +b2410=-=b +b ;解得=b 14 解析[]3,3-.画出可行域;易知当直线2Z x y =-经过点()1,2时;Z 取最小值3-；当直线2Z x y =-经过点()3,0时;Z 取最大值3.故2Z x y =-的取值范围为[]3,3-.15 解析38. 由已知可得;三个电子元件使用寿命超过1000小时的概率均为12;所以该部件的使用寿命超过1000小时的概率为211311228⎡⎤⎛⎫--⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.16 解析1830.由1(1)21nn n a a n ++-=-得;22143k k a a k --=-……① 21241k k a a k +-=-……②;再由②-①得;21212k k a a +-+=……③由①得; ()()()214365S S a a a a a a -=-+-+-+奇偶…()6059a a +-159=+++…117+()11173017702+⨯==由③得; ()()()3175119S a a a a a a =++++++奇…()5959a a ++ 所以; ()217702301830S S S S S S =+=-+=+⨯=60奇奇奇偶偶.17 解：Ⅰ法一:由cos sin 0a C C b c --=及正弦定理可得sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=;()sin cos sin sin sin 0A C A C A C C -+-=;sin cos sin sin 0A C A C C --=;sin 0C >;cos 10A A --=;2sin 106A π⎛⎫∴--= ⎪⎝⎭;1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭;0A π<<;5666A πππ∴-<-<;法二:由正弦定理可得sin sin a C c A =;由余弦定理可得 222cos 2a b c C ab +-=.再由cos sin 0a C C b c +--=可得;222sin 02a b c a A b c ab+-⋅+--=;即2222sin 220a b c A b bc +-+--=;22212b c a A bc +--+=;cos 1A A -=;2sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭;1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭;0A π<<;5666A πππ∴-<-<;ⅡABC S △;1sin 24bc A ∴==4bc ∴=; 2,3a A π==; 222222cos 4a b c bc A b c bc ∴=+-=+-=; 228b c ∴+=.解得2b c ==.18 解：Ⅰ ()()1080,1580,16 n n y n -≤⎧⎪=⎨≥⎪⎩n N ∈；X 的数学期望()E X =60×0.1+70×0.2+80×0.7=76;X 的方差()D X =(60-762)×0.1+(70-762)×0.2+(80-762)×0.7=44.X 的数学期望()E X =55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4;因为76.4>76;所以应购进17枝玫瑰花. 19 Ⅰ 证明：设112AC BC AA a ===; 直三棱柱111C B A ABC -;1DC DC ∴=; 12CC a =;22211DC DC CC ∴+=;1DC DC ∴⊥.又1DC BD⊥;1DC DC D =;1DC ∴⊥平面BDC .BC ⊂平面BDC ;1DC BC ∴⊥.Ⅱ由 Ⅰ知;1DC ;1BC =;又已知BD DC ⊥1;BD ∴=. 在Rt ABD △中;,,90BD AD a DAB ==∠=; AB ∴=.222AC BC AB ∴+=;AC BC ∴⊥.法一：取11A B 的中点E ;则易证1C E ⊥平面1BDA ;连结DE ;则1C E ⊥BD ; 已知BD DC ⊥1;BD ∴⊥平面1DC E ;BD ∴⊥DE ;1C DE ∴∠是二面角11C BD A --平面角.在1Rt C DE △中;1111sin 2C EC DE C D∠===;130C DE ∴∠=.即二面角11C BD A --的大小为30.法二：以点C 为坐标原点;为x 轴;CB 为y 轴;1CC 为z 轴;建立空间直角坐标系C xyz -.则()()()()11,0,2,0,,0,,0,,0,0,2A a a B aD a a C a .()()1,,,,0,DB a a a DC a a =--=-;设平面1DBC 的法向量为()1111,,n x y z =;则11111100n DB ax ay az n DC ax az ⎧=-+-=⎪⎨=-+=⎪⎩;不妨令11x =;得112,1y z ==;故可取()11,2,1n =. 同理;可求得平面1DBA 的一个法向量()21,1,0n =. 设1n 与2n 的夹角为θ;则1212cos 26n n n n θ⋅===; 30θ∴=. 由图可知; 二面角的大小为锐角;故二面角11C BD A --的大小为30.20 解: Ⅰ由对称性可知;BFD △为等腰直角三角形;斜边上的高为p ;斜边长2BD p =.点A 到准线l的距离d FB FD ==.由ABD S =△;11222BD d p ⨯⨯=⨯=2p ∴=.圆F 的方程为()2218x y +-=.Ⅱ由对称性;不妨设点(),A A A x y 在第一象限;由已知得线段AB 是圆F 的在直径;90o ADB ∠=;2BD p ∴=;32A y p ∴=;代入抛物线:C py x 22=得A x . 直线m的斜率为AF k ==.直线m 的方程为02x +=. 由py x 22=得22x y p=;x y p '=.由x y p '==; 3x p =.故直线n 与抛物线C 的切点坐标为,36p⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭; 直线n 的方程为06x --=.所以坐标原点到m ;n3=.21 解: Ⅰ 1()(1)(0)x f x f e f x -''=-+;令1x =得;(0)1f =;再由121()(1)(0)2x f x f ef x x -'=-+;令0x =得()1f e '=.所以)(x f 的解析式为21()2xf x e x x =-+.()1x f x e x '=-+;易知()1x f x e x '=-+是R 上的增函数;且(0)0f '=.所以()00,()00,f x x f x x ''>⇔><⇔< 所以函数)(x f 的增区间为()0,+∞;减区间为(),0-∞.Ⅱ 若b ax x x f ++≥221)(恒成立; 即()()21()102xh x f x x ax b e a x b =---=-+-≥恒成立;()()1x h x e a '=-+;1当10a +<时;()0h x '>恒成立; ()h x 为R 上的增函数;且当x →-∞时; ()h x →-∞;不合题意;2当10a +=时;()0h x >恒成立; 则0b ≤;(1)0a b +=;3当10a +>时; ()()1xh x e a '=-+为增函数;由()0h x '=得()ln 1x a =+;故()()()0ln 1,()0ln 1,f x x a f x x a ''>⇔>+<⇔<+当()ln 1x a =+时; ()h x 取最小值()()()()ln 111ln 1h a a a a b +=+-++-. 依题意有()()()()ln 111ln 10h a a a a b +=+-++-≥; 即()()11ln 1b a a a ≤+-++;10a +>;()()()()22111ln 1a b a a a ∴+≤+-++;令()()22ln 0 u x x x x x =->;则()()22ln 12ln u x x x x x x x '=--=-;()00()0u x x u x x ''>⇔<<<⇔>所以当x =; ()u x 取最大值2e u =.故当1a b +==; ()1a b +取最大值2e . 综上; 若b ax x x f ++≥221)(;则 b a )1(+的最大值为2e . 22 证明：Ⅰ ∵D ;E 分别为ABC △边AB ;AC 的中点;∴//DE BC .//CF AB ;//DF BC ;CFBD ∴且 =CF BD ; 又∵D 为AB 的中点;CF AD ∴且 =CF AD ;CD AF ∴=.//CF AB ;BC AF ∴=.CD BC ∴=.Ⅱ由Ⅰ知;BC GF ;GB CF BD ∴==; BGD BDG DBC BDC ∠=∠=∠=∠ BCD GBD ∴△∽△.23 解：Ⅰ依题意;点A ;B ;C ;D 的极坐标分别为.所以点A ;B ;C ;D 的直角坐标分别为、(、(1,-、1)-； Ⅱ 设()2cos ,3sin P ϕϕ;则 2222||||||||PD PC PB PA +++ 2216cos 36sin 16ϕϕ=++[]23220sin 32,52ϕ=+∈.所以2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围为[]32,52. 24 解：Ⅰ 当3a =-时;不等式3)(≥x f ⇔ |3||2|3x x -+-≥⇔ ()()2323x x x ≤⎧⎪⎨----≥⎪⎩或()()23323x x x <<⎧⎪⎨-++-≥⎪⎩或()()3323x x x ≥⎧⎪⎨-+-≥⎪⎩ ⇔或4x ≥.所以当3a =-时;不等式3)(≥x f 的解集为{1x x ≤或}4x ≥.Ⅱ ()|4|f x x ≤-的解集包含]2,1[;即|||2||4|x a x x ++-≤-对[]1,2x ∈恒成立;即||2x a +≤对[]1,2x ∈恒成立;即22a x a --≤≤-对[]1,2x ∈恒成立; 所以2122a a --≤⎧⎨-≥⎩;即30a -≤≤.所以a 的取值范围为[]3,0-.。
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2012年黑龙江省数学（理科）本试卷包括必考题和选考题两部分，第1-21题为必考题，每个考生都必须作答.一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合}5,4,3,2,1{=A ，},,|),{(A y x A y A x y x B ∈-∈∈=，则B 中所含元素的个数为 A. 3 B. 6 C. 8 D. 102. 将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由一名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 A. 12种 B. 10种 C. 9种 D. 8种3. 下面是关于复数iz +-=12的四个命题： :3P z 的共轭复数为i +1:4P z 的虚部为1-其中的真命题为A. 2P ，3PB. 1P ，2PC. 2P ，4PD. 3P ，4P4. 设21,F F 是椭圆:E 12222=+b y a x )0(>>b a 的左右焦点，P 为直线23ax =上的一点，12PF F △是底角为︒30的等腰三角形，则E 的离心率为A.21B.32 C.43 D.54 5. 已知}{n a 为等比数列，274=+a a ，865-=a a ，则=+101a aA.7B. 5C.5-D. 7-6. 如果执行右边的程序框图，输入正整数N )2(≥N 和 实数N a a a ,,,21 ，输出A ，B ，则A. B A +为N a a a ,,,21 的和B.2BA +为N a a a ,,,21 的算术平均数C. A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最大的数和最小的数D. A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最小的数和最大的数7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的 是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 A. 6 B. 9 C. 12 D. 188. 等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于A ，B ，两点，34||=AB ，则的实轴长为A.2B. 22C. 4D. 89. 已知0>ω，函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ单调递减，则ω的取值范围是A. ]45,21[B. ]43,21[C. ]21,0(D. ]2,0(10. 已知函数xx x f -+=)1ln(1)(，则)(x f y =的图像大致为11. 已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC △是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2=SC ，则此棱锥的体积为A.62 B.63 C.32 D.22 12. 设点P 在曲线xe y 21=上，点Q 在曲线)2ln(x y =上，则||PQ 的最小值为A. 2ln 1-B.)2ln 1(2- C. 2ln 1+D.)2ln 1(2+二、填空题.本大题共4小题，每小题5分.13.已知向量a ，b 夹角为︒45，且1=||a ，102=-||b a ，则=||b .14. 设y x ,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+-≥-0031y x y x y x 则y x Z 2-=的取值范围为 .15. 某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）服从正态分布)50,1000(2N ，且各元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 .16. 数列}{n a 满足12)1(1-=-++n a a n nn ，则}{n a 的前60项和为 .三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，0sin 3cos =--+c b C a C a .(Ⅰ) 求A ；(Ⅱ) 若2=a ，ABC △的面积为3，求b ，c .18. （本小题满分12分） 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理. (Ⅰ) 若花店某天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，N n ∈）的函数解析式； (Ⅱ) 花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. （ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列、数学期望及方差； （ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.19. （本小题满分12分）如图，直三棱柱111C B A ABC -中，121AA BC AC ==，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1 (Ⅰ) 证明：BC DC ⊥1(Ⅱ) 求二面角11C BD A --的大小.20. （本小题满分12分）设抛物线:C py x 22=)0(>p 的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B 、D 两点 (Ⅰ) 若90BFD ∠=︒，ABD △面积为24，求p 的值及圆F 的方程；(Ⅱ)若A 、B 、F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 的距离的比值. 21. （本小题满分12分） 已知函数121()(1)(0)2x f x f ef x x -'=-+.(Ⅰ) 求)(x f 的解析式及单调区间；(Ⅱ) 若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值 请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分，作答时请写清题号.22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，D ，E 分别为ABC △边AB ，AC 的中点，直线DE 交ABC △的 外接圆于F ，G 两点.若AB CF //，证明： (Ⅰ) BC CD =；(Ⅱ) GBD BCD ∽△△.23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ.正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为)3,2(π.(Ⅰ)点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(Ⅱ) 设P 为1C 上任意一点，求2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围.24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数|2|||)(-++=x a x x f .(Ⅰ) 当3a =-时，求不等式3)(≥x f 的解集；(Ⅱ) |4|)(-≤x x f 的解集包含]2,1[，求a 的取值范围.2012年全国卷新课标——数学理科答案（1）【解析】选D.法一：按x y -的值为1，2，3，4计数，共432110+++=个；法二：其实就是要在1，2，3，4，5中选出两个，大的是x ，小的是y ，共2510C =种选法. （2）【解析】选A.只需选定安排到甲地的1名教师2名学生即可，共1224C C 种安排方案.（3）【解析】选C.经计算， 221,21 z i z i i ==--=-+.（4）【解析】选C.画图易得,21F PF △是底角为30的等腰三角形可得212PF F F =，即3222a c c ⎛⎫-= ⎪⎝⎭, 所以34c e a ==. （5）【解析】选D.472a a +=,56478a a a a ==-,474,2a a ∴==-或472,4a a =-=,14710,,,a a a a 成等比数列，1107a a ∴+=-.（6）【解析】选C. （7） 【解析】选B.由三视图可知，此几何体是底面为俯视图三角形，高为3的三棱锥，113932V =⨯⨯=.（8） 【解析】选C.易知点(-在222x y a -=上，得24a =，24a =.（9）【解析】选A. 由322,22442Z k k k ππππππωπωπ+≤+<+≤+∈得，1542,24Z k k k ω+≤≤+∈， 15024ωω>∴≤≤.(10) 【解析】选B.易知ln(1)0y x x =+-≤对()1,x ∈-+∞恒成立，当且仅当0x =时，取等号.(11) 【解析】选A.易知点S 到平面ABC 的距离是点O 到平面ABC 的距离的2倍.显然O ABC -是棱长为1的正四面体，其高为3134312O ABC V -=⨯=，26S ABC O ABC V V --==(12) 【解析】选B.12x y e =与ln(2)y x =互为反函数，曲线12x y e =与曲线ln(2)y x =关于直线y x =对称，只需求曲线12x y e =上的点P 到直线y x =距离的最小值的2倍即可.设点1,2x P x e ⎛⎫⎪⎝⎭，点P 到直线y x =距离d =. 令()12x f x e x=-，则()112xf x e '=-.由()0f x '>得ln 2x >；由()0f x '<得ln 2x <，故当ln 2x =时，()f x 取最小值1ln 2-.所以d=1x e x -=，min d =所以)min min ||21ln 2PQ d ==-. (13) 【解析】由已知得，()22222244||-=-=-a b a b a a b+b 2244cos 45=-a a b +b2410=-=b +b，解得=b (14) 【解析】[]3,3-.画出可行域，易知当直线2Z x y =-经过点()1,2时，Z 取最小值3-；当直线2Z x y =-经过点()3,0时，Z 取最大值3.故2Z x y =-的取值范围为[]3,3-.(15) 【解析】38. 由已知可得，三个电子元件使用寿命超过1000小时的概率均为12，所以该部件的使用寿命超过1000小时的概率为211311228⎡⎤⎛⎫--⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.(16) 【解析】1830.由1(1)21nn n a a n ++-=-得，22143k k a a k --=-……① 21241k k a a k +-=-……②,再由②-①得,21212k k a a +-+=……③由①得, ()()()214365S S a a a a a a -=-+-+-+奇偶…()6059a a +-159=+++…117+()11173017702+⨯==由③得, ()()()3175119S a a a a a a =++++++奇…()5959a a ++ 所以, ()217702301830S S S S S S =+=-+=+⨯=60奇奇奇偶偶.(17) 解：(Ⅰ)法一:由cos sin 0a C C b c --=及正弦定理可得sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=,()sin cos sin sin sin 0A C A C A C C -+-=,sin cos sin sin 0A C A C C --=,sin 0C >,cos 10A A --=,2sin 106A π⎛⎫∴--= ⎪⎝⎭,1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,0A π<<，5666A πππ∴-<-<，法二:由正弦定理可得sin sin a C c A =，由余弦定理可得 222cos 2a b c C ab +-=.再由cos sin 0a C C b c +--=可得，222sin 02a b c a A b c ab+-⋅--=，即2222sin 220a b c A b bc +-+--=，22212b c a A bc +--+=cos 1A A -=，2sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0A π<<，5666A πππ∴-<-<，(Ⅱ)ABC S =△1sin 24bc A bc ∴==4bc ∴=， 2,3a A π==， 222222cos 4a b c bc A b c bc ∴=+-=+-=， 228b c ∴+=.解得2b c ==.(18) 解：(Ⅰ) ()()1080,1580,16 n n y n -≤⎧⎪=⎨≥⎪⎩（n N ∈）；X 的数学期望()E X =60×0.1+70×0.2+80×0.7=76，X 的方差()D X =(60-762)×0.1+(70-762)×0.2+(80-762)×0.7=44.X 的数学期望()E X =55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4，因为76.4>76，所以应购进17枝玫瑰花. (19) (Ⅰ) 证明：设112AC BC AA a ===， 直三棱柱111C B A ABC -，1DC DC ∴=， 12CC a =，22211DC DC CC ∴+=，1DC DC ∴⊥.又1DC BD ⊥，1DCDC D =，1DC ∴⊥平面BDC .BC ⊂平面BDC ,1DC BC ∴⊥.(Ⅱ)由 (Ⅰ)知，1DC =，1BC ，又已知BD DC ⊥1，BD ∴=. 在Rt ABD △中，,,90BD AD a DAB ==∠=， AB ∴=.222AC BC AB ∴+=，AC BC ∴⊥.法一：取11A B 的中点E ，则易证1C E ⊥平面1BDA ，连结DE ，则1C E ⊥BD ， 已知BD DC ⊥1，BD ∴⊥平面1DC E ，BD ∴⊥DE ，1C DE ∴∠是二面角11C BD A --平面角.在1Rt C DE △中，1111sin 2C EC DE C D∠===，130C DE ∴∠=.即二面角11C BD A --的大小为30.法二：以点C 为坐标原点，为x 轴，CB 为y 轴,1CC 为z 轴,建立空间直角坐标系C xyz -.则()()()()11,0,2,0,,0,,0,,0,0,2A a a B aD a a C a .()()1,,,,0,DB a a a DC a a =--=-，设平面1DBC 的法向量为()1111,,n x y z =，则11111100n DB ax ay az n DC ax az ⎧=-+-=⎪⎨=-+=⎪⎩,不妨令11x =,得112,1y z ==,故可取()11,2,1n =. 同理,可求得平面1DBA 的一个法向量()21,1,0n =. 设1n 与2n 的夹角为θ,则1212cos 26n n n n θ⋅=== 30θ∴=. 由图可知, 二面角的大小为锐角,故二面角11C BD A --的大小为30.(20) 解: (Ⅰ)由对称性可知,BFD △为等腰直角三角形,斜边上的高为p,斜边长2BD p =.点A 到准线l的距离d FB FD ==.由ABD S =△,11222BD d p ⨯⨯=⨯=2p ∴=.圆F 的方程为()2218x y +-=.(Ⅱ)由对称性,不妨设点(),A A A x y 在第一象限,由已知得线段AB 是圆F 的在直径,90o ADB ∠=,2BD p ∴=,32A y p ∴=,代入抛物线:C py x 22=得A x . 直线m的斜率为AF k ==.直线m 的方程为02x +=. 由py x 22= 得22x y p=,x y p '=.由x y p '==, 3x p =.故直线n 与抛物线C 的切点坐标为,36p⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭, 直线n 的方程为06x --=.所以坐标原点到m ，n3=.(21) 解: (Ⅰ) 1()(1)(0)x f x f e f x -''=-+,令1x =得,(0)1f =,再由121()(1)(0)2x f x f ef x x -'=-+,令0x =得()1f e '=.所以)(x f 的解析式为21()2xf x e x x =-+.()1x f x e x '=-+,易知()1x f x e x '=-+是R 上的增函数,且(0)0f '=.所以()00,()00,f x x f x x ''>⇔><⇔< 所以函数)(x f 的增区间为()0,+∞,减区间为(),0-∞.(Ⅱ) 若b ax x x f ++≥221)(恒成立, 即()()21()102xh x f x x ax b e a x b =---=-+-≥恒成立，()()1x h x e a '=-+,(1)当10a +<时,()0h x '>恒成立, ()h x 为R 上的增函数,且当x →-∞时, ()h x →-∞,不合题意;(2)当10a +=时,()0h x >恒成立, 则0b ≤,(1)0a b +=;(3)当10a +>时, ()()1xh x e a '=-+为增函数,由()0h x '=得()ln 1x a =+,故()()()0ln 1,()0ln 1,f x x a f x x a ''>⇔>+<⇔<+当()ln 1x a =+时, ()h x 取最小值()()()()ln 111ln 1h a a a a b +=+-++-. 依题意有()()()()ln 111ln 10h a a a a b +=+-++-≥, 即()()11ln 1b a a a ≤+-++,10a +>,()()()()22111ln 1a b a a a ∴+≤+-++,令()()22ln 0 u x x x x x =->,则()()22ln 12ln u x x x x x x x '=--=-,()00()0u x x u x x ''>⇔<<<⇔>所以当x =, ()u x 取最大值2e u =.故当1a b +==, ()1a b +取最大值2e . 综上, 若b ax x x f ++≥221)(，则 b a )1(+的最大值为2e . (22) 证明：(Ⅰ) ∵D ，E 分别为ABC △边AB ，AC 的中点，∴//DE BC .//CF AB ,//DF BC ,CFBD ∴且 =CF BD ， 又∵D 为AB 的中点，CF AD ∴且 =CF AD ，CD AF ∴=.//CF AB ，BC AF ∴=.CD BC ∴=.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，BC GF ，GB CF BD ∴==， BGD BDG DBC BDC ∠=∠=∠=∠ BCD GBD ∴△∽△.(23) 解：(Ⅰ)依题意，点A ，B ，C ，D 的极坐标分别为.所以点A ，B ，C ，D 的直角坐标分别为、(、(1,-、1)-； (Ⅱ) 设()2cos ,3sin P ϕϕ，则 2222||||||||PD PC PB PA +++ 2216cos 36sin 16ϕϕ=++[]23220sin 32,52ϕ=+∈.所以2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围为[]32,52. (24) 解：(Ⅰ) 当3a =-时，不等式3)(≥x f ⇔ |3||2|3x x -+-≥⇔ ()()2323x x x ≤⎧⎪⎨----≥⎪⎩或()()23323x x x <<⎧⎪⎨-++-≥⎪⎩或()()3323x x x ≥⎧⎪⎨-+-≥⎪⎩ ⇔或4x ≥.所以当3a =-时，不等式3)(≥x f 的解集为{1x x ≤或}4x ≥.(Ⅱ) ()|4|f x x ≤-的解集包含]2,1[，即|||2||4|x a x x ++-≤-对[]1,2x ∈恒成立，即||2x a +≤对[]1,2x ∈恒成立，即22a x a --≤≤-对[]1,2x ∈恒成立， 所以2122a a --≤⎧⎨-≥⎩，即30a -≤≤.所以a 的取值范围为[]3,0-.。