黑龙江省高考数学试题及答案

2012年黑龙江省数学（理科）

本试卷包括必考题和选考题两部分，第1-21题为必考题，每个考生都必须作答.

一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1. 已知集合}5,4,3,2,1{=A ，},,|),{(A y x A y A x y x B ∈-∈∈=，则B 中所含元素的个数为 A. 3 B. 6 C. 8 D. 10

2. 将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由一名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 A. 12种 B. 10种 C. 9种 D. 8种

3. 下面是关于复数i

z +-=

12

的四个命题： :3P z 的共轭复数为i +1

:4P z 的虚部为1-

其中的真命题为

A. 2P ，3P

B. 1P ，2P

C. 2P ，4P

D. 3P ，4P

4. 设21,F F 是椭圆:E 12222=+b y a x )0(>>b a 的左右焦点，P 为直线23a

x =上的一点，

12PF F △是底角为︒30的等腰三角形，则E 的离心率为

A.

2

1

B.

3

2 C.

4

3 D.

5

4 5. 已知}{n a 为等比数列，274=+a a ，865-=a a ，则=+101a a

A.7

B. 5

C.5-

D. 7-

6. 如果执行右边的程序框图，输入正整数N )2(≥N 和 实数N a a a ,,,21 ，输出A ，B ，则

A. B A +为N a a a ,,,21 的和

B.

2

B

A +为N a a a ,,,21 的算术平均数

C. A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最大的数和最小的数

D. A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最小的数和最大的数

7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的 是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 A. 6 B. 9 C. 12 D. 18

8. 等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于A ，B ，

两点，34||=AB ，则的实轴长为

A.2

B. 22

C. 4

D. 8

9. 已知0>ω，函数)4

sin()(π

ω+

=x x f 在),2(ππ

单调递减，则ω的取值范围是

A. ]4

5

,21[

B. ]43,21[

C. ]2

1,0(

D. ]2,0(

10. 已知函数x

x x f -+=

)1ln(1

)(，则)(x f y =的图像大致为

11. 已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC △是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2=SC ，则此棱锥的体积为

A.

6

2 B.

6

3 C.

3

2 D.

2

2 12. 设点P 在曲线x

e y 2

1=

上，点Q 在曲线)2ln(x y =上，则||PQ 的最小值为

A. 2ln 1-

B.

)2ln 1(2- C. 2ln 1+

D.

)2ln 1(2+

二、填空题.本大题共4小题，每小题5分.

13.已知向量a ，b 夹角为︒45，且1=||a ，102=-||b a ，则=||b .

14. 设y x ,满足约束条件⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧≥≥≤+-≥-0

031y x y x y x 则y x Z 2-=的取值范围为 .

15. 某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3

正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的

使用寿命（单位：小时）服从正态分布

)50,1000(2N ，且各元件能否正常工作互相独立，

那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 .

16. 数列}{n a 满足12)1(1-=-++n a a n n

n ，则}{n a 的前60项和为 .

三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. （本小题满分12分）

已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，

0sin 3cos =--+c b C a C a .

(Ⅰ) 求A ；

(Ⅱ) 若2=a ，ABC △的面积为3，求b ，c .

18. （本小题满分12分） 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理. (Ⅰ) 若花店某天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，N n ∈）的函数解析式； (Ⅱ) 花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数

10

20

16

16

15

13

10

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. （ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列、数学期望及方差； （ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.

19. （本小题满分12分）

如图，直三棱柱111C B A ABC -中，

12

1

AA BC AC ==，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1 (Ⅰ) 证明：BC DC ⊥1

(Ⅱ) 求二面角11C BD A --的大小.

20. （本小题满分12分）

设抛物线:C py x 22

=)0(>p 的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆

心，FA 为半径的圆F 交l 于B 、D 两点 (Ⅰ) 若90BFD ∠=︒，ABD △面积为24，求p 的值及圆F 的方程；

(Ⅱ)若A 、B 、F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，