《高等数学》期末试卷1(同济六版上)及参考答案[2]

《高等数学》试卷（同济六版上）

一、选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分）

1、若函数x

x x f =)(，则=→)(lim 0

x f x （ ）.

A 、0

B 、1-

C 、1

D 、不存在 2、下列变量中，是无穷小量的为（ ）. A 、1ln

(0)x x +→ B 、ln (1)x x → C 、cos (0)x x → D 、22(2)4

x x x -→- 3、满足方程0)(='x f 的x 是函数)(x f y =的（ ）.

A 、极大值点

B 、极小值点

C 、驻点

D 、间断点 4、函数)(x f 在0x x =处连续是)(x f 在0x x =处可导的（ ）.

A 、必要但非充分条件

B 、充分但非必要条件

C 、充分必要条件

D 、既非充分又非必要条件

5、下列无穷积分收敛的是（ ）.

A 、⎰+∞0

sin xdx B 、dx e x ⎰+∞-0

2 C 、dx x ⎰

+∞

1

D 、dx x

⎰+∞01

二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）

6、当k= 时，2

,

0(),

x e x f x x k x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩在0=x 处连续.

7、设x x y ln +=,则

_______________dx

dy

=. 8、曲线x e y x

-=在点（0，1）处的切线方程是 .

9、若⎰+=C x dx x f 2sin )(，C 为常数，则()____________f x =

10、定积分dx x x

x ⎰-+5

54231

sin =____________.

三、计算题（本题共6小题，每小题6分，共36分）

11、求极限 x

x x 2sin 2

4lim

-+→.

12、求极限 2

cos 1

2

0lim x

t x e dt

x -→⎰

.

13、设)1ln(25x x e y +++=，求dy .

14、设函数)(x f y =由参数方程⎩

⎨⎧=+=t y t x arctan )1ln(2所确定，求dy dx 和22dx y d .

15、求不定积分212sin 3dx x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭

⎰.

16、设,0

()1,01x e x f x x x ⎧<⎪

=⎨≥⎪+⎩，求20

(1)f x dx -⎰.

四、证明题（本题共2小题，每小题8分，共16分）

17、证明：dx x x n

m )1(1

-⎰=dx x x m n )1(1

-⎰ (N n m ∈,).

18、利用拉格朗日中值定理证明不等式：当0a b <<时，ln b a b b a

b a a

--<<.

五、应用题（本题共2小题,第19小题8分，第20小题10分,共18分）

19、要造一圆柱形油罐，体积为V ，问底半径r 和高h 各等于多少时，才能使表面积最小？ 20、设曲线2x y =与2y x =所围成的平面图形为A ，求 （1）平面图形A 的面积；

（2）平面图形A 绕y 轴旋转所产生的旋转体的体积.

《高等数学》试卷（同济六版上）答案

一．选择题（每小题3分，本题共15分） 1-5 DBCAB 二．填空题（每小题3分，本题共15分）

6、1

7、

1x

x

+ 8、1y = 9、2cos 2x 10、0 三、计算题（本题共6小题，每小题6分，共36分）

11、解：x x x 2sin 2

4lim

-+

→x →= 3分

01128

x →== 6分

12、解：

2

cos 1

2

lim

x

dt

e

x

t x ⎰-→2

cos

0sin lim 2x

x xe x

-→-= 3分

1

2e

=-

6分 13、解：

)

111(112

2

x

x

x y ++

++=

' 4分

211

x +=

6分

14、解：t t t t dx dy 211211

22=

++= 3分

2

22

2

321

12()241d y t d dy dx

t dt

t dt dx dx

t t -

+==

=-+ 6分

15、解：212122

sin(3)sin(3)(3)23

dx d x x x +=-++⎰

⎰ 3分

12

cos(3)2C x

=++ 6分 16、解：

⎰⎰

⎰⎰--+==-01

1

1

1

20

d )(d )(d )(d )1(x x f x x f x x f x x f 01

10

d 1x

x

e dx x -=++⎰⎰ 3分

1

010

|ln(1)x e x -=++

11ln 2e -=-+ 6分

四、证明题（本题共2小题，每小题8分，共16分） 17、证明：1

1

(1)(1)m n m n x x dx t t dt -=--⎰⎰ 4分

1

1

(1)(1)m n

m n

t t dt x x dx

=-=-⎰⎰ 8分

18、、证明：设f (x )=ln x , [,]x a b ∈，0a b <<

显然f (x )在区间[,]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件, 根据定理, 有

()()'()(),.f b f a f b a a b ξξ-=-<< 4分

由于1()f x x '=

, 因此上式即为 l n l n b a

b a ξ

--=.

又由.a b ξ<< b a b a b a

b a

ξ---∴

<< 当0a b <<时，

ln b a b b a b a a

--<< 8分

五、应用题（本题共2小题,第19小题8分，第20小题10分,共18分） 19、解：2V r h π=

∴表面积222

2

222222V V S r rh r r r r r

ππππππ=+=+=+ 4分 令2

2'40V

S r r π=-

=

得 r =

2h =

答：底半径r =

2h =，才能使表面积最小。 8分