分布函数例题

多元正态分布条件分布例题

多元正态分布条件分布例题
多元正态分布是指具有多个随机变量的正态分布。

它的概率密度函数可以用矩阵符号来表示。

对于一个具有n个变量的多元正态分布，其概率密度函数可以写作：
f(x) = (1 / ( (2π)^(n/2) |Σ|^0.5 )) exp(-0.5 (x-μ)' Σ^(-1) (x-μ))。

其中，x是一个n维向量，μ是一个n维向量，Σ是一个n×n 的对称正定矩阵，|Σ|表示Σ的行列式。

这个概率密度函数描述了多元正态分布的形状和分布情况。

现在让我们来看一个条件分布的例题。

假设我们有一个二维多元正态分布，其均值向量为μ = [1, 2]，协方差矩阵为Σ = [[2, 1], [1, 2]]。

我们想要求在给定X1 = 1 的条件下，X2 的条件分布。

首先，我们可以计算边缘分布，即X1的边缘分布。

X1的边缘
分布仍然是一个正态分布，其均值和方差可以通过均值向量和协方差矩阵的对应元素得到。

然后，我们可以计算条件分布。

在给定X1 = 1 的条件下，X2 的条件分布也是一个正态分布，其均值和方差可以通过边缘分布的均值和方差以及协方差矩阵的相关元素计算得到。

通过这个例题，我们可以理解多元正态分布的条件分布是如何计算的，以及如何利用均值向量和协方差矩阵来描述多元正态分布的形状和分布情况。

麦克斯韦速率分布例题

麦克斯韦速率分布例题23/22/2()4π()2πm kT m f e kT-=v v v 麦克斯韦速率分布函数m 为分子质量，T 为气体热力学温度， k 为玻耳兹曼常量k = 1.38×10-23 J / K23/22/2d ()d 4π()d 2πm kT N m f e N kT-==v v v v v 1. 平均速率8 1.59πm kT RT m M ==0()d f ∞=⎰v v v v 23 1.73mkT RT m M ==v 2. 方均根速率3. 最概然速率 22 1.41p m mkT RT RT m M M ===v例: 试求氮分子及氢分子在标准状况下的平均速率。

解（1）氮分子平均速率（2）氢分子平均速率 ●以上计算表明，除很轻的元素如氢、氦之外，其它气体的平均速率一般为数百米的数量级11888.31273m s 454m s 3.140.028m RT M π--⨯⨯==⋅=⋅⨯v 311.7010m s -=⨯⋅v根据麦克斯韦速率分布率，试证明速率在最概然速率v p ~v p +Δv 区间内的分子数与温度成反比( 设Δv 很小)T 23/2/22()4π()2πm kT m f e kT -=v v v 2/322π4v v v v p e p --=11π4)(--=e f p p v v 将最概然速率代入麦克斯韦速率分布定律中，有例证v v v ∆=∆≈∆-12π4)(e kT m N Nf N p T N 1∝∆m kT 2p =v p v f (v )vO ( 速率分布曲线 )T例在温度为300K 时，空气中速率在 (1)v p 附近；(2)10v p 附近，速率区间Δv ＝1m/s 内的分子数占分子总数的比率是多少？麦克斯韦速率分布为解式中v p 为最概然速率 mkT 2p =v 当T =300K 时，空气分子的最概然速率为p 3mol 2228.31300m/s 415m s 2910kT RT m M -⨯⨯====⨯v vv v v v v v v ∆∆∆2p 223p 22223π4π2π4--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=e e kT m N N kT m 相对于最概然速率的速率分布(1)在v= v p 附近，Δv ＝1m/s 内单位速率区间的分子数占分子总数的比率为22p 213p Δ441e Δe 1415ππ 0.0020.2%N N --==⨯⨯==v v v v v (2)在v= 10v p 附近， Δv ＝1m/s 的速率区间内的分子数占分子总数的比率为22p p 2(10)p 3p 1004442(10)4e π4100e 1 2.010415π2.010%N N ----∆=∆=⨯⨯=⨯=⨯v v v vv谢谢大家！。

经验分布函数例题

例4随机观察总体X ，得到一个容量为10的样本值：
3.2, 2.5, -2， 2.5, 0, 3, 2, 2.5, 2, 4 求X 经验分布函数.
解：把样本值按从小到大的顺序排列为
5.25.22202=<=<<-4
2.335.2<<<=
于是得经验分布函数为
,
4,14
2.3,10/92.33,10/835.2,10/75
.22,
10/420,10/202,10/12,0)(10⎪⎪⎪
⎪⎪⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎨
⎧≤<≤<≤<≤<≤<≤<≤--<=x
x x x x x x x x F
其中如5.22<≤x 时, 因事件
}{x X ≤包含的样本值个数
,
4=k 故
事件
}
X≤发生的频率为,10/4从而.10/4)(10=x F
{x
是一个阶梯注: 经验分布函数)(x F
n
形函数, 当样本容量增大时, 相邻两阶梯的跃度变低, 阶梯宽度变窄, 容易想像, 这样的阶梯形折线几乎就是一条曲线, 如果设总体X的分布
函数为),(x F那么)(x F
n非常接近于).(x F
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一维随机变量函数的分布

fX
2 ye
y
y 2
y fX y
1 0 ey
y
y0
2y
求随机变量Y=g(X)的密度函数的另一种方法：公式法
定理2.4.1 若随机变量X和随机变量Y=g(X)的
密度函数分别为 f X (x)， fY (y),
当 y=g(x) 是严格单调可微函数，且g´(x) ≠0
x0 x0
试求：Y X 2 的密度函数
当 y 0 时, FY (y) P{Y y} P{X 2 y}
P{ y X y} FX y FX y
fY
(
y)

FY
(
y
)

y
FX

y FX
y
y

.
P{aX b y} P{X y b}
a
yb FX ( a )
a 0
a 0
例2. 已知随机变量X ~ U(2,4) ,
求Y X 2的概率密度函数。
1
f (x)

2
2 x4
0, 其它
1.当y≤0时， FY ( y) P{Y y} P{ X 2 y} =0
(2)Y ln X
x0 x0
(3)Y e 2X
y3
(1)Y 2X 3
x h( y) 2
fY
( y)
fX (
y
2
3 )
y
3 2 y

1 4
e
(
y3 4
)
,
0

已知概率密度求分布函数例题

已知概率密度求分布函数例题假设有一个随机变量X，其概率密度函数为f(x)。

我们需要求出它的分布函数F(x)。

分布函数F(x)表示随机变量X小于等于x的概率。

分布函数的定义为：F(x)=P(X≤x)我们可以通过对概率密度函数进行积分来求得分布函数：F(x) = ∫[a, x] f(t) dt其中，a是随机变量X的定义域的下限值。

下面通过一个例题来说明如何通过已知的概率密度函数求解分布函数。

例题：假设有一个随机变量X，其概率密度函数为：f(x) = kx (0 ≤ x ≤ 2)=0(其他)求X的分布函数F(x)。

解答：首先，我们需要确定常数k的值。

由概率密度函数的性质知道，对于连续型随机变量X，其概率密度函数f(x)满足：∫[a, b] f(x) dx = 1根据上述性质，我们可以得到：∫[0, 2] kx dx = 1求解上述积分，我们得到：k/2*[x^2]([0,2])=1k=1/[2^2-0^2]=1/4因此，常数k的值为1/4接下来，我们可以根据已知的概率密度函数来计算分布函数。

情况1：当x<0时，F(x)=P(X≤x)=0，因为x小于0的概率为0。

情况2：当0≤x≤2时F(x) = ∫[0, x] 1/4 * t dt=1/4*[t^2/2]([0,x])=1/4*(x^2/2-0^2/2)=1/8*x^2情况3：当x>2时，F(x)=P(X≤x)=1，因为x大于2的概率为1综上所述，我们可以得到分布函数F(x)的表达式：F(x)=0(x<0)=1/8*x^2(0≤x≤2)=1(x>2)上述就是通过已知的概率密度函数求解分布函数的方法和例题的详细步骤。

通过计算概率密度函数的定积分可以得到分布函数的表达式。

随机变量函数的分布 (2)

2
2
[(
x
ห้องสมุดไป่ตู้
)
2
(
z
x
)2
]
2
令t x
1
1 [t2 ( z2 t)2 ]
e 2 2
dt
2 2
1
1 2[(t z2 )2 ( z2 )2 ]
e 2 2
2
2 dt
2 2
1
1 2(t z2 )2
e 2 2
2
2 ( )
2
1
1 (z2)2
e 2 2 2 dt
2 ( )
2
1
e
(z 2(
0 ,
z0,
于是 Z max X ,Y 的概率密度为
fmax z Fmax z
e y , 0 x 1, y 0
f (x, y)
f
X
(
x
)
fY
(
y)
0,
其他
e y , 0 x 1, y 0
f (x, y) 0,
其他
第二步求Z =2X+Y的分布函数
Fz (z) P2X Y z f ( x, y)dxdy 2x yz
0,
z
2 dx
0
z2 x e ydy 1 1 z 1 ez ,
例题13
设X,Y 服从区域 G={(x,y)| 0 X 1, 0 Y 2 }
的均匀分布, Z =Max(X ,Y) 求 P(Z>1/2)=?
解: p{z 1} 1 p{z 1}
2
2
1 p{X 1 且Y 1}
2
2
1 1 1 7 24 8
例题14
设x1,X2,X3…Xn 独立同分布, 求Y=Min(X1,..Xn)×n 的分布函数

2.3随机变量的分布函数

2 3 5 5 F (0) F ( ) 0 2 6 6 P{0 X 1} P{X 1} P{X 0} P{X 0} 5 1 2 F (1) F (0) P{ X 0} 1 6 2 3
2
用分布函数表示概率
P(a X b) P( X b) P( X a) F (b) F (a)
0, x 1, 1 3 例求 1 P{ X }; 2 P{ X 0}; 1 2 2 , 1 x 0, 3 3 P{0 X 1}. F ( x) 5 解:(2) , 0 x 1, 6 1 , x 1. 3 3 P{ X 0} P{x 0} P{x }
(3) P{ X b} F(b) P{X b} (4) P{a X b} F(b) F(a) P{ X b}
(5) P{a X b} F (b) F (a) P{X a}
例
设随机变量X分布函数为 F(x)=A+Barctanx(-∞<x<+∞), 确定A,B的值，并计算P{-1<X≤1}
xi x
即
F ( x ) pk ,
xk x
这里和式是对所有满足 xk x 的k 求和的. 分布函数F ( x )在x xk (k 1,2,)处有跳跃, 其跳跃值为
pk P{ X xk }.
例设离散型随机变量 X 的分布列为
X
1
1 3
0
1 2
1
1 6
求 X 的分布函数 F x
P(0 X 1 / 3) P( X 0) P(0 X 1 / 3)

随机变量的分布函数

1 e 2π
t2 2
d t , x .
标准正态分布的图形
Xμ 引理若X ~ N ( μ, σ ), 则 Z ~ N (0,1). σ
2
若 X ~ N ( ,
2)
x ,则 F ( x)
P (a X b) F (b) F (a ) b a P( X a) 1 F (a) a 1
F (b 0 ) F ( a )
P (a X b) F (b 0) F (a 0)
sin x, 0 x 例1.设F ( x) , F ( x)是否为r.v的分布函数. 其他 0,
例2.r.v. X 的分布函数 A Be F ( x) 0, 求A, B.
F ( x ) 1; F () lim F ( x) 0, F ( ) lim x
( 2) F ( x1 ) F ( x2 ), ( x1 x2 );
(3) lim F ( x) F ( x0 ), ( x0 ).
x x0
用分布函数表示概率
7 7 41 ( 3) P {1 X } F ( ) F (1) . 2 2 48
课堂练习: 设r.v. X 的概率密度为f ( x) Ae , x 求 : (1) A; (2) P{0 X 1}; (3) X 的分布函数.
x
二、常见连续型随机变量的分布
(1) P { X 1000 } 1 P { X 1000 } 1 F (1000 )
e

1 2
0.607.
( 2) P{ X 2000 X 1000}

随机变量的函数分布例题和知识点总结

随机变量的函数分布例题和知识点总结在概率论与数理统计中，随机变量的函数分布是一个重要的概念。

理解和掌握这一概念对于解决许多实际问题以及深入研究概率理论都具有关键意义。

接下来，我们将通过一些具体的例题来加深对随机变量函数分布的理解，并对相关知识点进行总结。

首先，让我们来明确一下什么是随机变量的函数分布。

给定一个随机变量 X，若通过某种函数关系 Y ＝ g(X) 定义了另一个随机变量 Y，那么我们关心的就是 Y 的概率分布，这就是随机变量的函数分布。

一、例题分析例 1：设随机变量 X 服从区间0, 1上的均匀分布，求 Y ＝ 2X ＋ 1 的概率分布。

由于 X 服从区间0, 1上的均匀分布，其概率密度函数为：＼f_X(x) ＝＼begin{cases}1, ＆ 0 ＼leq x ＼leq 1 ＼＼0, ＆＼text{其他}＼end{cases}＼对于 Y ＝ 2X ＋ 1，我们可以通过反解 X 得到：＼（X ＝＼frac{Y 1}｛2}＼）然后计算 Y 的分布函数＼（F_Y(y)＼）：＼＼begin{align}F_Y(y)＆＝P(Y\leq y)＼＼＆＝P(2X ＋ 1\leq y)＼＼＆＝P(X\leq ＼frac{y 1}｛2}）＼＼＼end{align}＼当＼（y ＜ 1\）时，＼（F_Y(y) ＝ 0\）当＼（1\leq y\leq 3\）时，＼＼begin{align}F_Y(y)＆＝＼int_{0}＾｛＼frac{y 1}｛2}｝1dx\＼＆＝＼frac{y 1}｛2}＼end{align}＼当＼（y ＞ 3\）时，＼（F_Y(y) ＝ 1\）对＼（F_Y(y)＼）求导，可得 Y 的概率密度函数＼（f_Y(y)＼）为：＼f_Y(y) ＝＼begin{cases}＼frac{1}｛2}，＆ 1 ＼leq y ＼leq 3 ＼＼0, ＆＼text{其他}＼end{cases}＼例 2：设随机变量＼（X\）服从标准正态分布＼（N(0, 1)＼），求＼（Y ＝ X^2\）的概率分布。

分布函数怎么求例题

分布函数怎么求例题要求解一个分布函数的例题，我们需要明确所给的分布函数类型和相关参数。

常见的分布函数包括离散分布函数和连续分布函数。

下面我将从这两个方面给出求解例题的方法。

1. 离散分布函数的例题求解：假设我们有一个离散分布函数，例如二项分布。

二项分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = C(n,k) p^k (1-p)^(n-k)，其中n表示试验次数，k表示成功次数，p表示每次试验成功的概率，C(n,k)表示组合数。

我们可以通过以下步骤求解例题：确定给定的参数值，如n=10，p=0.3。

根据概率质量函数的公式，代入参数值计算每个可能取值的概率。

求解特定问题，例如求取X=5的概率，代入k=5，计算出P(X=5)的值。

2. 连续分布函数的例题求解：假设我们有一个连续分布函数，例如正态分布。

正态分布的概率密度函数可以表示为：f(x) = (1 / (σ √(2π))) e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))，其中μ表示均值，σ表示标准差。

我们可以通过以下步骤求解例题：确定给定的参数值，如μ=50，σ=10。

根据概率密度函数的公式，代入参数值计算特定取值的概率密度。

求解特定问题，例如求取X≤60的概率，计算出P(X≤60)的值。

无论是离散分布函数还是连续分布函数，我们可以使用数学工具（如计算器或统计软件）来进行计算。

此外，还可以使用统计表格或图表来查找特定取值的概率。

对于更复杂的分布函数，可能需要使用特定的数值方法或近似方法来求解。

总结起来，求解分布函数的例题需要明确分布函数类型和相关参数，然后根据概率质量函数或概率密度函数的公式，代入参数值进行计算，最后得出特定问题的概率或概率密度。

分布函数密度函数典型例题

f(x) 0 x 0
求随机变量Y=ex的概率密度
9
例题10
假设随机变量X服从参数为2 的指数分布,证明 Y=1-e-2x在区间（0，1）上服从均匀分布
10
例题11 假设一电路装有三个同种电器元件,其工作状态相互独立,且
无故障工作时间都服从参数为的指数分布,当三个元件都无
故障时,电路正常工作,否则整个电路不能正常工作,式求电路正常工作时间T的概率分布.
11
例题12
设X N(2, 2 ),且P(2<X<4)=0.3,求:
P(X<0)=?
12
例题13
设随机变量X服从正态分布N(,2 ) , 二次方程y2 4 y X 0无实根的概率为1/2,则= ?
13
4
例题5
设随机变量X,Y均服从正态分布, X~N( ,42 ) Y~N( ,52 ),记p1=P(X -4),p2 =P(Y +5),则( )
(1)对于任意实数 ,都有p1 p2 (2)对于任意实数 ,都有p1 p2 (3)只对的个别值,才有p1 p2 (4)对于任意实数 ,都有p1>p2
例题1
设随机变量X ~ b(2, p),Y ~ b(3, p),若PX 1 5 / 9
则P{Y 1}=
1
例题2 假设一厂家生产的每台仪器,以概率0.7可以直接出厂,以概率 0.3需要进一步调试,经过调试后以概率0.8可以出厂,以概率0.2 定为不合格产品不能出厂,现该厂生产了n台(n≥2)仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立),求: (1)全部出厂的概率α (2)其中恰好有两台不能出厂的概率β (3)至少有两台不能出厂的概率
5
例题6
设随机变量X的密度函数为f(x),且f(x)=f(-x), F(x)是X的分布函数,则对于任意实数a,有( )

已知分布律求分布函数例题

已知分布律求分布函数例题在统计学中，分布函数是用来说明总体随机变量X的取值可能性的一种统计函数。

它是研究不等可能性的分布和累积分布的重要工具，可以用来解释随机变量在总体中的取值特性。

因此，解决已知分布律求分布函数例题具有重要的教学意义。

一般来说，解决已知分布律求分布函数例题，可以分为两个步骤：（1）已知分布律求累积分布函数：首先，根据给出的分布律，求出总体随机变量X的累积分布函数F(X)，即概率分布函数P(x)的积分函数，这是求解本题的第一步。

（2）已知累积分布函数求分布函数：其次，根据总体随机变量X的累积分布函数F(X)，求出总体随机变量X的分布函数f(x)，即概率分布函数P(x)的导数，这是求解本题的第二步。

下面以具体例题来说明如何解决已知分布律求分布函数的问题。

例题1：已知，总体X的概率分布函数为P(x)=2x，求X的累积分布函数F(X)和分布函数f(X)。

解：（1）求累积分布函数F(X)：令其积分得，F(x)=∫2x=x2+C，其中C为常数，取x=0时，即F(0)=0，可得C=0，故F(x)=x2。

（2）求分布函数f(X)：即F(x)的导数，即f(x)=dF(x)/dx=2x。

由以上，可得X的累积分布函数F(X)=x2，分布函数f(X)=2x。

可见，解决已知分布律求分布函数例题，主要有两个步骤：一是已知分布律求累积分布函数；二是已知累积分布函数求分布函数。

通过上述例题1的计算，可以得出，已知总体X的概率分布函数P(x)=2x，总体X的累积分布函数F(X)=x2，分布函数f(X)=2x。

通过本文，可以更深入理解解决已知分布律求分布函数例题的步骤、思路和结果。

综上，解决已知分布律求分布函数的例题，对深入理解统计学中的概率分布和累积分布具有十分重要的教学意义。

学习者可以借助于上述步骤及示例，加深对解决该类问题的理解，促进统计学知识的掌握和运用。

分布函数怎么求例题

分布函数怎么求例题分布函数是概率论中一个重要的概念，用于描述随机变量在不同取值范围内的概率分布。

分布函数的求解对于理解随机现象和进行概率分析具有重要意义。

本文将介绍分布函数的求解方法，并通过例题进行解析。

同时，探讨分布函数在实际应用中的意义。

一、分布函数的概念与意义分布函数是一个关于随机变量取值的非负函数，通常用F(x)表示。

分布函数具有以下三个性质：1.单调性：当随机变量X的取值范围为[x1, x2]时，F(x1) ≤ F(x2) ≤ 1。

2.右连续：分布函数的图像在x轴右侧是连续的。

3.累积分布函数：F(x)表示随机变量X小于等于x的概率，即P(X ≤ x)。

二、求解分布函数的方法求解分布函数的关键在于确定随机变量的概率密度函数或概率质量函数。

以下为求解分布函数的常用方法：1.查阅概率密度函数表：对于常见的连续型随机变量，如正态分布、泊松分布等，可以查阅相应的概率密度函数表，直接得到分布函数。

2.利用概率质量函数：对于离散型随机变量，可以通过给出的概率质量函数（概率分布列）求解分布函数。

3.转化法：将随机变量转化为易于求解的另一种随机变量，再求解分布函数。

三、例题解析例题1：求正态分布N(μ, σ)的分布函数。

解：正态分布的密度函数为f(x) = (1 / (σ * sqrt(2π))) * exp(-(x-μ) /2σ)。

通过积分密度函数，可以得到分布函数：F(x) = ∫[f(x)dx] = (1 / (σ * sqrt(2π))) * ∫[exp(-(x-μ) / 2σ)dx] = (1 / (σ * sqrt(2π))) * exp(-μ / 2σ) * ∫[exp(-t / 2)dt] = (1 / (σ * sqrt(2π))) * exp(-μ / 2σ) * (sqrt(2) / 2)例题2：求指数分布Exp(λ)的分布函数。

解：指数分布的密度函数为f(x) = λ * exp(-λx)。

边缘分布函数的例题

边缘分布函数的例题假设我们有一个数据集，其中包含了两个随机变量X和Y的取值。

X 表示一些班级学生的年龄，Y表示学生的身高。

我们想要了解X和Y之间的关系，以及它们各自的概率分布。

首先，我们可以通过绘制散点图来观察X和Y的关系。

假设我们有以下数据：X:[16,18,20,22,16,18,20,22]Y:[160,170,175,180,155,165,170,175]我们可以使用Python中的matplotlib库来绘制散点图：import matplotlib.pyplot as pltX=[16,18,20,22,16,18,20,22]Y=[160,170,175,180,155,165,170,175]plt.scatter(X, Y)plt.xlabel("Age")plt.ylabel("Height")plt.title("Scatter plot of Age and Height")plt.show从散点图中可以看出，年龄和身高之间似乎存在一定的正相关关系。

接下来，我们将使用边缘分布函数来计算X和Y的概率分布。

边缘概率分布函数的计算步骤如下：1.首先，我们需要计算X和Y的取值范围。

在这个例子中，X的取值范围为[16,22]，而Y的取值范围为[155,180]。

2.接下来，我们将X和Y的取值范围按照一定的间隔划分为若干个区间。

对于X来说，假设我们将其划分为4个区间，即[16,18)，[18,20)，[20,22)；对于Y来说，假设我们将其划分为5个区间，即[155,160)，[160,165)，[165,170)，[170,175)，[175,180)。

3.然后，我们分别计算每个区间中的样本个数。

在本例中，我们可以得到以下结果：X区间[16,18)：2个样本X区间[18,20)：2个样本X区间[20,22)：4个样本Y区间[155,160)：1个样本Y区间[160,165)：2个样本Y区间[165,170)：2个样本Y区间[170,175)：2个样本Y区间[175,180)：1个样本4.计算每个区间中的样本个数在总样本个数中所占的比例，即概率。

已知概率密度求分布函数例题

已知概率密度求分布函数例题概率密度函数(ProbabilityDensityFunction，简称PDF)又称做概率密度，它是概率论中最重要的概念，是指某一随机变量的概率取值的函数，它表示由该随机变量取值所确定的概率分布。

而根据概率密度求分布函数，即是把已知的概率密度函数带入定义，求出未知的概率分布函数，其实就是求出已知概率密度函数的积分。

二、概率密度函数定义概率密度函数也称为概率质量函数，即概率密度函数定义如下：概率密度函数f(x)可用来描述一个随机变量X的概率分布，只要满足下列条件：（1）f(x) 0；（2）$int_{-infty}^{infty} f(x)dx=1$ ;（3）$P(a leq X leq b)=int_{a}^{b}f(x)dx$从上面定义可知，PDF的特点是概率取值和随机变量取值之间存在某种关系，而这种关系正式性地由概率密度函数描述。

三、已知概率密度函数求分布函数首先，我们定义一个随机变量X及其对应概率密度函数f(x)，并假设X服从均匀分布。

已知概率密度函数：$f(x)=1$ ,当$0leq xleq 1$$f(x)=0$,他的情况根据以上概率密度函数，我们可以得出其分布函数F(x)：$F(x)=int_{-infty}^{x}f(t)dt=0$,$x<0$$F(x)=int_{-infty}^{x}f(t)dt=int_{0}^{x}f(t)dt=int_{0}^{x}1dt=x$,$ 0leq x leq 1$ $F(x)=int_{-infty}^{x}f(t)dt=int_{0}^{x}f(t)dt=1$,$x>1$四、实际例题某随机变量X服从正态分布，概率密度函数为：$f(x)=frac{1}{sqrt{2pi}}e^{-frac{x^2}{2}}$设X的概率分布函数为F(x)，求F(x)的表达式？解：实际上求解上述分布函数就是求解下列积分：$F(x)=int_{-infty}^{x}f(t)dt=int_{-infty}^{x}frac{1}{sqrt{2 pi}}e^{-frac{t^2}{2}}dt$根据贝塔定理，有$F(x)=frac{1}{2}[1+erf(frac{x}{sqrt{2}})]$其中erf(x)为正态分布概率分布函数，且$erf(x)=frac{2}{sqrt{pi}}int_{0}^{x}e^{-t^2}dt$综上所述，正态分布的概率分布函数为：$F(x)=frac{1}{2}[1+erf(frac{x}{sqrt{2}})]$五、总结以上我们通过一个具体的例题，详细介绍了从已知概率密度函数求分布函数的步骤，其中重点介绍了定义、概率密度函数与分布函数之间的联系，以及如何利用已知概率密度函数求出分布函数。

分布函数怎么求例题

分布函数怎么求例题【最新版】目录1.分布函数的定义与性质2.求解分布函数的方法3.例题解析正文分布函数是概率论中一个重要的概念，用于描述随机变量取某个值的概率。

分布函数的求解对于理解随机变量的性质和应用具有重要意义。

下面我们将介绍分布函数的定义与性质，以及求解分布函数的方法，并通过一个例题进行解析。

一、分布函数的定义与性质分布函数，又称累积分布函数，用 F(x) 表示，描述了随机变量 X 取值小于等于 x 的概率。

具体来说，F(x) 表示随机变量 X 取值在负无穷到 x 之间的概率。

分布函数具有以下性质：1.单调递增：随着 x 的增加，F(x) 的值也递增，即随机变量取值小于等于 x 的概率随着 x 的增加而增加。

2.右连续：分布函数在 x 的右侧是连续的，即不存在跳跃。

3.0≤F(x)≤1：分布函数的值在 0 到 1 之间，表示随机变量取值的概率在 0 到 1 之间。

4.F(-∞)=0，F(+∞)=1：当 x 趋于负无穷时，随机变量取值的概率为 0；当 x 趋于正无穷时，随机变量取值的概率为 1。

二、求解分布函数的方法求解分布函数的方法主要有两种：1.对于离散型随机变量，可以通过计算每个取值的概率，然后将这些概率值代入分布函数的定义式求解。

2.对于连续型随机变量，可以通过计算某个区间内取值的概率，然后将这些概率值用积分表示，最后求解积分得到分布函数。

三、例题解析假设随机变量 X 服从均匀分布，求 X 的分布函数。

解：由于 X 服从均匀分布，其取值范围为 (-∞,+∞)，我们可以将整个取值范围划分为无数个区间，每个区间的宽度为Δx。

对于每个区间，我们可以计算 X 取值在该区间内的概率，然后将这些概率值用积分表示，得到分布函数的表达式。

设区间 [x, x+Δx]，X 取值在该区间内的概率为 f(x)Δx，由于均匀分布的概率密度函数为 f(x)=1/（无穷小），所以 f(x)Δx=1/（无穷小）Δx。

0,
(1)
F
(
x)
1 3
/ /
2, 4,
1,
x 3,
1
3 x 4, 4 x 5,
(2)
F
(
x)
0.5 0.4
x 5.
1
x 1 1 x 0 0 x1
x1
Chap2.3 分布函数
例4 在区间[a ,b]内随机掷一个质点, X 这个质点的
坐标, 设该质点落入[a ,b]内任何子区间内的概率与这个子区间长度成正比。求 X 的分布函数F (x)？
F(x) 1;
0.2 0.5 1
解： ii)
P
1 2
X
1
0
x 1 1 x 0 0 x1
x1
P
1 2
X
1
P
X
1 2
PX
1
F
1
F
1 2
PX
1
1
0.2
0.5
0.3
Chap2.3 分布函数
思考某同学在计算离散型随机变量的分布函数时，
得到如下的结果，试判断计算是否正确。
i) PX x F( x)
ii) PX x 1 F( x)
函数的增量
iii) Px1 X x2 F( x2 ) F( x1)
iv) PX x F( x) F( x )
特别地， F (x) 在 x 处连续
PX x 0
Chap2.3 分布函数
例2 设 X
PX k
3 4 5
解： X的可能取值范围：[a ,b]
x, F( x) PX x x a : F( x) PX x a P() 0
x b: F(x) P(S) 1

X+Y分布例题

解：Fmax z PM z P max X1, X2, , Xn z
PX1 z, X2 z, , Xn z 独立 PX1 z PX2 z PXn z
FX1 z FX2 z FXn z
同分布 F zn
例7 N min X1, X2, , Xn Fmin z
例6 设 X,Y 独立同 N(0,1) 分布
f z X2 Y 2
解：(X, Y) 的密度
f x, y
1
1 x2 y2
e2
,
x, y R2
2
FX2Y2 z P X 2 Y 2 z
x2 y2z
1
2
e
1 2
x2
y2
dxdy
1
2
2
z r2
d e 2 rdr
0
0
z
z0
同分布 1 1 F zn
例8 X:设备寿命 (小时), X服从指数分布，
密度为： f
x
0.001
e
0.001 x
,
x 0,
0,
x 0.
现检验了100台这样的设备，
求寿命最短时间小于10小时的概率。
解：记 Xi 第 i 台设备寿命 i 1,2, ,100.
题意: 求 P min X1, X2, , X100 10
x
,
x 0, x 0.
fY
y
2e 0,
2
y
,
y 0, y 0.
解：z, fXY z
fX
x
fY
z
x dx
z 0 : 无解
z0: 0 x z
e x 2e2 z x
z 0: fXY z 0
z