对 数 运 算 法 则
对数加减法法则范文
对数加减法法则范文对数加法法则：1.对数相加时，可以将两个对数相加作为一个对数的结果。
对于任意实数a，b，以及正实数c，有logc(ab) = logc(a) +logc(b)。
这个法则的推导可以通过指数的性质进行，即根据指数法则可知：c^(logc(ab)) = ab = c^(logc(a) + logc(b))，从而可将两者相等。
这个法则在计算上非常有用，因为其允许我们将一个复杂的对数问题简化为两个较小的对数的加法。
例如，计算log10(1000)可以使用对数加法法则：log10(1000) = log10(10) + log10(100) = 1 + 2 = 32.对数相加时，可以通过指数运算进行计算。
对于任意实数a，b，以及正实数c，有a^b*a^c=a^(b+c)。
将这个性质应用于对数运算，可以得出对数之和的规则。
具体来说，如果logc(a) + logc(b)等于一个对数，那么这个对数就是c底下的一个数。
例如，计算log2(8)可以使用对数加法法则：log2(8) = log2(4 * 2) = log2(4) + log2(2) = 2 + 1 = 3对数减法法则：1.对数相减时，可以将两个对数相减作为一个对数的结果。
对于任意实数a，b，以及正实数c，有logc(a/b) = logc(a) - logc(b)。
这个法则的推导可以通过指数的性质进行，即根据指数法则可知：c^(logc(a/b)) = a/b = c^(logc(a) - logc(b))，从而可将两者相等。
2.对数相减时，可以通过指数运算进行计算。
对于任意实数a，b，以及正实数c，有(a^b)/(a^c)=a^(b-c)。
将这个性质应用于对数运算，可以得出对数之差的规则。
具体来说，如果logc(a) - logc(b)等于一个对数，那么这个对数就是c底下的一个数。
例如，计算log10(10/2)可以使用对数减法法则：log10(10/2) = log10(10) - log10(2) = 1 - 0.3010 = 0.699总结：对数加减法法则是计算对数加减运算的基本原则。
对数的概念及运算法则
对数的概念及运算法则对数是数学中的一个概念，它表示一个数相对于一些给定的底数的幂。
在日常生活中，对数经常被用来解释指数增长或减少的情况。
首先，对数的定义是：对于给定的正数a（a ≠ 1），将正数x表达为底数a的幂的等式，即x = a^m (m为任意实数)，称m为x的以a为底的对数，记作m =log[底数a](x)，即m = loga(x)。
对数有以下几个重要特点：1.底数必须是一个正数，并且不能等于12.对数函数中x的取值范围为正实数，因为负数和0的对数不存在。
3.对数的结果m可以是任意实数，包括正数、负数和零。
对数具有一些重要的性质和运算法则，下面介绍其中的一些：1.换底公式：对于任意给定的x和任意的正数a、b（a、b≠1），有以下等式成立：loga(x) = logb(x) / logb(a)换底公式可以将一个对数用另一个底数的对数表示，这样在计算和比较对数时更加方便。
2.加减法法则：对于任意给定的正数a、b和任意的正数x、y，有以下等式成立：loga(x * y) = loga(x) + loga(y)loga(x / y) = loga(x) - loga(y)加减法法则可以将对数的乘法和除法分解为对数的加法和减法，简化对数运算。
3.乘方法则：对于任意给定的正数a和任意的正数x和正整数n，有以下等式成立：loga(x^n) = n * loga(x)乘方法则可以将对数中的指数化简为对数本身的乘法。
4.对数的乘法和除法法则：对于任意给定的正数a、b和任意的正数x，有以下等式成立：loga(x^b) = b * loga(x)loga(b^x) = x * loga(b)乘法和除法法则可以将指数中的对数化简为对数本身的乘法或除法。
5.对数的幂次法则：对于任意给定的正数a、b和任意的正数x，有以下等式成立：a^(loga(x)) = x如果a ≠ 1，则loga(a^x) = x幂次法则可以将对数中的幂次化简为原指数。
对数四则运算
对数四则运算对数是一种特殊的数学运算方法，用它可以快速解决复杂的数学问题。
对数的运用可以有效提高数学解题的速度，成为解决复杂的数学问题的重要工具。
数四则运算是指使用对数技巧解决遇到的数学题目，借助这种运算可以完成相对复杂的数学问题。
本文将介绍这种运算方法的基本原理和具体做法，以及在实际应用中常见的问题。
一、对数四则运算的基本原理1.数运算的基本原理：对数作为一种技巧，非常适合用来处理具有一定规律的数学题目。
这种运算的核心原理是使用对数的特性来解决数学问题，从而提高解题的效率。
2.数的特征：对数的特征是它的数值大小有排列规律，可以利用这种规律进行快速运算。
3.数的运用：数的特性使它可以用于解决复杂的数学问题，可以将数学题目中的运算转化为对数的运算，从而更容易求解。
二、常见的对数四则运算1.法：两个数字相加，将它们用相同的底数表示，就可以用对数运算来计算它们的和：给定两个数a和b，用相同的底数表示，可以得出：loga+logb=log(a+b)即能够将加法转化为对数的乘法。
2.法：两个数相减，可以将减法转化为加法：给定两个数a和b，用相同的底数表示，可以得出：loga-logb=log(a-b)即能够将减法转化为对数的加法。
3. 乘法：两个数相乘，可以将乘法转化为加法：给定两个数a和b，用相同的底数表示，可以得出：loga*logb=log(a*b)即能够将乘法转化为对数的加法。
4.法：两个数相除，可以将除法转化为减法：给定两个数a和b，用相同的底数表示，可以得出：loga÷logb=log(a÷b)即能够将除法转化为对数的减法。
三、实际应用中的问题1.底号问题：必须使用相同的底号才能够把两个数相加、减、乘、除等，如果使用不同的底号，则需要先将数字转换成相同底号表示形式才能够进行计算。
2.殊情况：有时候在计算某个数字对数的时候，会遇到0或负数，这种情况下需要加以特殊处理，例如：计算log(-1)，需要用到虚数的特殊解法。
对数的运算与化简
对数的运算与化简数学中，对数是指将一个数值与某个基数进行指数运算得到的结果。
对数在实际问题中经常出现，并且在数学和科学领域中具有重要的应用。
对数的运算与化简是数学中的基本技巧之一，本文将介绍对数的基本运算法则以及一些常见的化简方法。
一、对数的基本定义和运算法则对数的定义：设a和b是正数，并且a≠1，对数的运算法则主要涉及以下几个方面：1. 指数与对数的互换性质：如果a^x = b，那么x = log_a(b)。
其中a表示底数，b表示真数。
2. 对数的加减法：log_a(b) + log_a(c) = log_a(b × c)log_a(b) - log_a(c) = log_a(b / c)3. 对数的乘除法：log_a(b^m) = m × log_a(b)log_a(b / c) = log_a(b) - log_a(c)4. 对数的幂运算：log_a(b^m) = m × log_a(b)以上是对数的基本定义和运算法则，通过应用这些法则可以对对数进行运算和化简。
二、对数化简的一般方法对数的化简是指将复杂的对数表达式转化为简单的形式，在数学计算和证明中经常用到。
下面介绍一些常见的对数化简方法。
1. 合并对数：如果一个对数表达式中存在多个对数相同的项，可以通过合并对数的方式化简。
例如：log_a(b) + log_a(c) = log_a(b × c)log_a(b) - log_a(c) = log_a(b / c)2. 转化为指数形式：对数可以通过指数运算进行转化。
例如，对数表达式log_a(b)可以转化为指数形式a^x = b。
这样可以更方便地进行计算和化简。
3. 逆运算消除对数：对数的逆运算是指数运算，通过进行逆运算可以将对数表达式转化为常数。
例如，对数表达式log_a(a^x) = x可以直接化简为x。
4. 对数的换底公式：如果需要对不同底数的对数进行比较或运算，可以利用换底公式进行化简。
对数与对数运算说课稿（精选5篇）
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篇一§2.2.1对数与对数运算说课稿大家好，我是。
，我今天的讲课内容是对数与对数的运算。
我将从以下5个方面来进行今天的说课，第一是教学内容分析，第二是学生的学情分析，第三是教学方法的策略，第四是教学过程的设计，第五的教学反思。
一、教学内容分析对数与对数的运算是人教版高中教材必修一第二章第二节第一课时的内容。
本节课是第一课时，主要讲的就是认识对数和对数的一些基本运算性质。
本节课的学习蕴含着转化化规的数学思想，类比与对比等基本数学方法。
在上节课，我们学习了指数函数以及指数函数的性质，是本节课学习对数与对数的运算的基础，而下节课，我们又将学习对数函数与对数函数的性质，这节课恰好为下节课的学习做了一个铺垫。
二、学生学情分析接下来我将从认知、能力、情感三个方面来进行学生的学情分析。
首先是认知，该阶段的高中生已经学习了指数及指数函数的性质，具备了学习对数的基础知识；在能力方面，高一的学生已经初步具备运用所学知识解决问题的能力，但是大多数同学还缺乏类比迁移的能力；而在情感方面，大多数学生有积极的学习态度，能主动参与研究，但是还有部分的学生还是需要老师来加以引导的。
三、教学方法的策略根据教材的要求以及本阶段学生的具体学习情况，我制定了一下的教学目标。
首先是知识与技能，理解对数与指数的关系，能进行指对数互化并可利用对数的简单性质求值；接着是过程与方法，通过探究对数和指数之间的互化，培养发现问题、分析问题、解决问题的能力；最后是情感态度与价值观，通过对问题转化过程的引导，培养学生敢于质疑、勇于开拓的创新精神。
基于以上的分析，我制定了本节课的重难点。
本节课的教学重点是对数的定义，对数式与指数式的互化，对数的运算法则及其推导和应用；本节课的难点是对数概念的理解和对数运算法则的探究和证明；本节课我所采用的教学方法是探究式教学法，分为以下几个环节：教师创设问题情境，启发式地讲授，讲练结合，引导学生思考，最后鼓励学生自主探究学习。
对数与对数运算教
对数与对数运算教教学目标1．并记忆对数的定义，对数与指数的互化，对数恒等式及对数的性质．2．并掌握对数运算法则的内容及推导过程．3．运用对数的性质和对数运算法则解题．教学重点与难点重点是对数定义、对数的性质和运算法则．难点是对数定义中涉及较多的难以记忆的名称，以及运算法则的推导．教学过程设计师：（板书）已知国民生产总值每年平均增长率为7.2％，求后国民生产总值是原来的多少倍？生：设原来国民生产总值为1，则后国民生产总值y=（1+7.2％）20=1.07220，所以后国民生产总值是原来的1.07220倍．师：这是个实际应用问题，我们把它转化为数学中知道底数和指数，求幂值的问题．也就是上面学习的指数问题．师：（板书）已知国民生产总值每年平均增长率为7.2％，问经过多年年后国民生产总值是原来的4倍？师：（分析）仿照上例，设原来国民生产总值为1，需经x年后国民生产总值是原来的4倍．列方程1.072x=4．我们把这个应用问题转化为知道底数和幂值，求指数的问题，这是上述问题的逆问题，即本节的对数问题．师：（板书）一般地，如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，就是ab=N，那么数b就叫做以a为底N的对数，记作logaN=b，其中a叫做底数，N叫做真数，式子logaN叫做对数式．师：请同学谈谈对对数这个定义的认识．生：对数式logaN实际上就是指数式中的指数b的一种新的记法．生：对数是一种新的运算．是知道底和幂值求指数的运算．（此刻并不奢望学生能说出什么深刻认识，只是给他们自己一个去思维认识对数这个定义的机会．）师：他们说得都非常好．实际上ab=N这个式子涉及到了三个量a，b，N，由方程的观点可得“知二求一”．知道a，b可求N，即前面学过的指数运算；知道b（为自然数时），N可求a，即初中学过的开记作logaN=b．因此，对数是一种新的运算，一种知道底和幂值求指数的运算．而每学一种新的运算，首先要学习它的记法，对数运算的记法为logaN，读作：以a为底N的对数．请同学注意这种运算的写法和读法．师：实际上指数与对数只是数量间的同一关系的两种不同形式．为了更深入认识并记忆对数这个概念，请同学们填写下列表格．（打出幻灯）式子名称abN指数式对数式ab=NlogaN=b练习1 把下列指数式写成对数形式：练习2 把下列对数形式写成指数形式：练习3 求下列各式的值：（两名学生板演练习1，2题（过程略），一生板演练习三．）因为22=4，所以以2为底4的对数等于2．因为53=125，所以以5为底125的对数等于3．（注意纠正学生的错误读法和写法．）师：由定义，我们还应注意到对数式logaN=b中字母的取值范围是什么？生：a＞0且a≠1；b∈R；N∈R．师：N∈R？（这是学生最易出错的地方，应一开始让学生牢牢记住真数大于零．）生：由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因而ab=N中N总是正数．师：要特别强调的是：零和负数没有对数．师：定义中为什么规定a＞0，a≠1？（根据本班情况决定是否设置此问．）生：因为若a＜0，则N取某些值时，b可能不存在，如b=log （-2）8不存在；若a=0，则当N不为0时，b不存在，如log02不存在；当N为0时，b可以为任何正数，是不唯一的，即log00有无数个值；若a=1，N不为1时，b不存在，如log13不存在，N为1时，b可以为任何数，是不唯一的，即log11有无数多个值．因此，我们规定：a＞0，a≠1．（此回答能培养学生分类讨论的数学思想．这个问题从ab=N 出发回答较为简单．）师：下面我来介绍两个在对数发展过程中有着重要意义的对数．师：（板书）对数logaN（a＞0且a≠1）在底数a=10时，叫做常用对数，简记lgN；底数a=e时，叫做自然对数，记作lnN，其中e是个无理数，即e≈2.718 28……．练习4计算下列对数：lg10000，lg0.01，2log24，3log327，10lg105，5log51125．师：请同学说出结果，并发现规律，大胆猜想．生：2log24=4．因为log24=2，而22=4．生：3log327=27．因为log327=3，而33=27．生：10lg105=105．生：我猜想alogaN=N，所以5log51125=1125．师：非常好．这就是我们下面要学习的对数恒等式．师：（板书）alogaN=N（a＞0，a≠1，N＞0）．（用红笔在字母取值范围下画上曲线）（再次鼓励学生，并提出更高要求，给出严格证明．）（学生讨论，并口答．）生：（板书）证明：设指数等式ab=N，则相应的对数等式为logaN=b，所以ab=alogaN=N．师：你是根据什么证明对数恒等式的？生：根据对数定义．师：（分析小结）证明的关键是设指数等式ab=N．因为要证明这个对数恒等式，而现在我们有关对数的知识只有定义，所以显然要利用定义加以证明．而对数定义是建立在指数基础之上的，所以必须先设出指数等式，从而转化成对数等式，再进行证明．师：掌握了对数恒等式的推导之后，我们要特别注意此等式的适用条件．生：a＞0，a≠1，N＞0．师：接下来观察式子结构特点并加以记忆．（给学生一分钟时间．）师：（板书）2log28=？2log42=？生：2log28=8；2log42=2．师：第2题对吗？错在哪儿？师：（继续追问）在运用对数恒等式时应注意什么？（经历上面的错误，使学生更牢固地记住对数恒等式．）生：当幂的底数和对数的底数相同时，才可以用公式alogaN=N．（师用红笔在两处a上重重地描写．）师：最后说说对数恒等式的作用是什么？生：化简！师：请打开书74页，做练习4．（生口答．略）师：对对数的定义我们已经有了一定认识，现在，我们根据定义来进一步研究对数的性质．师：负数和零有没有对数？并说明理由．生：负数和零没有对数．因为定义中规定a＞0，所以不论b 是什么数，都有ab＞0，这就是说，不论b是什么数，N=ab永远是正数．因此，由等式b=logaN可以看到，负数和零没有对数．师：非常好．由于对数定义是建立在指数定义的基础之上，所以我们要充分利用指数的知识来研究对数．师：（板书）性质1：负数和零没有对数．师：1的对数是多少？生：因为a0=1（a＞0，a≠1），所以根据对数定义可得1的对数是零．师：（板书）1的对数是零．师；底数的对数等于多少？生：因为a1=a，所以根据对数的定义可得底数的对数等于1．师：（板书）底数的对数等于1．师：给一分钟时间，请牢记这三条性质．师：在初中，我们学习了指数的运算法则，请大家回忆一下．生：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am·an=am+n．同底数幂相除，底数不变，指数相减，即am÷an=am-n．还有（am）n=amn；师：下面我们利用指数的运算法则，证明对数的运算法则．（板书）（1）正因数积的对数等于同一底数各个因数的对数的和．即loga（MN）=logaM+logaN．（请两个同学读法则（1），并给时间让学生讨论证明．）师：（分析）我们要证明这个运算法则，用眼睛一瞪无从下手，这时我们该想到，关于对数我们只学了定义和性质，显然性质不能证明此式，所以只有用定义证明．而对数是由指数加以定义的，显然要利用指数的运算法则加以证明，因此，我们首先要把对数等式转化为指数等式．师：（板书）设logaM=p，logaN=q，由对数的定义可以写成M=ap，N=aq．所以M·N=ap·aq=ap+q，所以loga（M·N）=p+q=logaM+logaN．即师：这个法则的适用条件是什么？生：每个对数都有意义，即M＞0，N＞0；a＞0且a≠1．师：观察法则（1）的结构特点并加以记忆．生：等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是一个降级运算．师：非常好．例如，（板书）log2（32×64）=？生：log2（32×64）=log232+log264=5+6=11．师：通过此例，同学应体会到此法则的重要作用——降级运算．它使计算简化．师：（板书）log62+log63=？生：log62+log63=log6（2×3）=1．师：正确．由此例我们又得到什么启示？生：这是法则从右往左的使用．是升级运算．师：对．对于运算法则（公式），我们不仅要会从左往右使用，还要会从右往左使用．真正领会法则的作用！（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数．师：仿照研究法则（1）的四个步骤，自己学习．（给学生三分钟讨论时间．）生：（板书）设logaM=p，logaN=q．根据对数的定义可以写成M=ap，N=aq．所以师：非常好．他是利用指数的运算法则和对数的定义加以证明的．大家再想一想，在证明法则（2）时，我们不仅有对数的定义和性质，还有法则（1）这个结论．那么，我们是否还有其它证明方法？师：非常漂亮．他是运用转化归结的思想，借助于刚刚证明的法则（1）去证明法则（2）．他的证法要比书上的更简单．这说明，转化归结的思想，在化难为易、化复杂为简单上的重要作用．事实上，这种思想不但在学习新概念、新公式时常常用到，而且在解题中的应用更加广泛．师：法则（2）的适用条件是什么？生：M＞0，N＞0；a＞0且a≠1．（2）的结构特点并加以记忆．生：等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算．师：（板书）lg20-lg2=？师：可见法则（2）的作用仍然是加快计算速度，也简化了计算的方法．例1 计算：解（1）log93+log927=log93×27=log981=2；（3）log2（4+4）=log24+log24=4；（由学生判对错，并说明理由．）生：第（2）题错！在同底的情况下才能运用对数运算法则．（板书）（3）题错！法则（1）的内容是：（4）题错！法则（2）的内容是：师：通过前面同学出现的错误，我们在运用对数运算法则时要特别注意什么？生：首先，在同底的情况下才能从右往左运用法则（1）、（2）；其次，只有在正因数的积或两个正数的商的对数的情况下，才能从左往右运用运算法则（2）．（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．即loga（N）n=n·logaN．师：（分析）欲证loga（N）n=n·logaN，只需证Nn=an·logaN=（a·logaN）n，只需证N=alogaN．由对数恒等式，这是显然成立的．师：（板书）设N＞0，根据对数恒等式有Nn=（alogaN）n=an·logaN．根据对数的定义有（3）的适用条件是什么？生：a＞0，a≠1；N＞0．师：观察式子结构特点并加以记忆．生：从左往右仍然是降级运算．师：例如，（板书）log332=log525=5log52．计算（log232）3．（找一好一差两名学生板书．）错解：（log232）3=log2（25）3=log2215=15．正确解：（log232）3=（log225）3=（5log22）3=53=125．（师再次提醒学生注意要准确记忆公式．）（4）正数的正的方根的对数等于被开方数的对数除以根指数．即（4）的适用条件是什么？（3）和法则（4）可以合在一起加以记忆．即logaNα=αlogaN（α∈R）．（师板书）例2 用logax，logay，logaz表示下列各式：（生板书）（注意（3）的第二步不要丢掉小括号．）（师板书）例3 计算：（1）log2（47×25）=log247+log225=7log24+5log22=7×2+5×1=19．师：请大家在笔记本上小结这节课的主要内容．作业课本P78．第1，2，3，4题．课堂教学设计说明本节的教学过程是：1．际问题引入，给出对数定义；2．认识对数定义；3．式与指数式的互化；4．恒等式alogaN=N；5．的性质；6．运算法则；7．·小结·作业．。
对数之间的运算法则
对数之间的运算法则对数是数学中常用的一种运算方法，它有着独特的运算法则。
本文将介绍对数之间的运算法则，包括对数的乘法法则、对数的除法法则、对数的幂法法则以及对数的换底法则。
一、对数的乘法法则对数的乘法法则是指两个数的对数相加等于这两个数的乘积的对数。
例如，log_a(b) + log_a(c) = log_a(b * c)。
这个法则可以帮助我们简化复杂的乘法运算，将乘法转化为加法运算。
二、对数的除法法则对数的除法法则是指两个数的对数相减等于这两个数的商的对数。
例如，log_a(b) - log_a(c) = log_a(b / c)。
这个法则可以帮助我们简化复杂的除法运算，将除法转化为减法运算。
三、对数的幂法法则对数的幂法法则是指一个数的对数与指数相乘等于这个数本身。
例如，log_a(b^c) = c * log_a(b)。
这个法则可以帮助我们求解指数运算中的对数值。
四、对数的换底法则对数的换底法则是指用一个底数的对数表示另一个底数的对数。
换底法则可以将对数从一个底数转化为另一个底数的对数。
具体来说，log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)。
这个法则在实际计算中非常有用，可以将对数运算转化为常用的底数进行计算。
通过运用对数之间的运算法则，我们可以简化复杂的数学运算，提高计算的效率。
同时，对数法则的应用也有助于我们理解数学中的一些概念和关系，拓宽数学思维。
在实际运用中，对数的乘法法则和除法法则常常被用于处理大数乘除运算，例如在科学计算、金融领域中的复利计算等。
对数的幂法法则则可以用于求解指数方程，解决一些与指数相关的问题。
对数的换底法则则可以将不常用的底数转化为常用的底数，方便计算和比较。
对数之间的运算法则是数学中重要且实用的工具。
通过熟练掌握这些法则，我们可以更加灵活地运用对数进行计算，并且深入理解数学中的一些概念和关系。
在实际应用中，对数运算法则可以帮助我们简化复杂的数学计算，提高计算的效率和准确性。
学案3：4.3.2 对数的运算
4.3.2 对数的运算1．对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： (1)log a (MN )＝ ． (2)log a MN ＝ ．(3)log a M n ＝ (n ∈R )． 名师点拨对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．例如，log 2[(－3)·(－5)]＝log 2(－3)＋log 2(－5)是错误的． 2．换底公式log a b ＝ (a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0)． 名师点拨牢记换底公式的三个常用推论(1)推论一：log a c ·log c a ＝1.此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数． (2)推论二：log a b ·log b c ·log c a ＝1.(3)推论三：log amb n ＝nm log a b .此公式表示底数变为原来的m 次方，真数变为原来的n 次方，所得的对数值等于原来对数值的nm倍．自我检测1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)积、商的对数可以化为对数的和、差．( ) (2)log a (xy )＝log a x ·log a y .( ) (3)log 2(－5)2＝2log 2(－5)．( )2.已知a >0且a ≠1，则log a 2＋log a 12＝( )A ．0B ．12C ．1D ．23.计算log 510－log 52等于( ) A ．log 58 B ．lg 5 C ．1D ．24.(1)lg 10＝__________；(2)已知ln a ＝0.2，则ln ea ＝__________．5.log 35·log 56·log 69＝________． 讲练互动探究点1 对数运算性质的应用 例1 计算下列各式： (1)log 5325； (2)log 2(32×42)；(3)log 535－2log 573＋log 57－log 595；(4)lg 25＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.规律方法对数式化简与求值的基本原则和方法(1)基本原则对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． (2)两种常用的方法①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)． 跟踪训练 计算下列各式的值： (1)lg 5100； (2)log 345－log 35； (3)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2； (4)lg 3＋25lg 9＋35lg 27－lg 3lg 81－lg 27.探究点2 换底公式的应用 例2 计算：(1)log 29·log 34；(2)log 52×log 79log 513×log 734.反思反馈利用换底公式求值的思想与注意点跟踪训练1．log 916·log 881的值为( ) A ．18B ．118C ．83D ．382.1log 1419＋1log 1513＝________． 3．计算：(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 52＋log 254＋log 1258)．探究点3 对数运算中的综合问题例3 已知log 189＝a ，18b ＝5，求log 3645(用a ，b 表示)． 互动探究1．(变问法)若本例条件不变，如何求log 1845(用a ，b 表示)?2．(变条件)若将本例条件“log 189＝a ，18b ＝5”改为“log 94＝a ，9b ＝5”，则又如何求解呢？ 规律方法解对数综合应用问题的3种方法(1)统一化：所求为对数式，条件转为对数式． (2)选底数：针对具体问题，选择恰当的底数．(3)会结合：学会换底公式与对数运算法则结合使用． 跟踪训练1．已知log 142＝a ，用a 表示log 27.2．已知2x ＝3y ＝a ，若1x ＋1y＝2，求a 的值．达标反馈1．log 242＋log 243＋log 244＝( ) A ．1 B ．2 C ．24D.122．若a >0，a ≠1，x >y >0，n ∈N *，则下列各式： (1)(log a x )n ＝n log a x ； (2)(log a x )n ＝log a x n ； (3)log a x ＝－log a 1x ；(4)nlog a x ＝1n log a x ；(5)log a x n ＝log a n x .其中正确的有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个 3．计算log 219·log 3125·log 514＝( )A ．8B ．6C ．－8D ．－6 4．已知a 2＝1681(a >0)，则log 23a ＝________．5．计算下列各式的值． (1)3log 72－log 79＋2log 7⎝⎛⎭⎫322； (2)lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40.巩固提升 A 基础达标1．化简12log 612－2log 62的结果为( )A ．62B ．122C ．log 63D ．122．若lg x －lg y ＝t ，则lg ⎝⎛⎭⎫x 23－lg ⎝⎛⎭⎫y 23＝( ) A ．3t B ．32tC ．tD ．t 23．设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m 的值为( ) A ．12B ．9C ．18D ．27 4．如果lg x ＝lg a ＋3lg b －5lg c ，那么( ) A ．x ＝ab 3c 5B ．x ＝3ab5cC ．x ＝a ＋3b －5cD ．x ＝a ＋b 3－c 3 5．已知2x ＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 等于( )A ．3B ．8C ．4D ．log 48 6．log 48－log 193＝________．7．已知m ＞0，且10x ＝lg(10m )＋lg 1m ，则x ＝________．8．若lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，则xy ＝__________．9．用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式： (1)lg(xyz )；(2)lg xy 2z ；(3)lg xy 3z .10．计算下列各式的值： (1)log 3(813)；(2)2lg （lg a 100）2＋lg （lg a ）；(3)log 6112－2log 63＋13log 627.B 能力提升11．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN 最接近的是( )(参考数据：lg 3≈0.48)A ．1033B ．1053C ．1073D ．109312．设a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，且1a ＋1b ＝1，则m ＝________．13．计算下列各式的值：(1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514.(2)[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64.14．若a ，b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值．C 拓展探究15．已知2y ·log y 4－2y －1＝0，log x 5x ·log 5x ＝－1，试问是否存在一个正数P ，使得P ＝1x －y ？参考答案新知初探1．(1)log a M ＋log a N (2)log a M －log a N (3)n log a M 2．log c b log c a自我检测1.【答案】(1)√ (2)× (3)×2.【答案】A4.【答案】(1)12 (2)0.85.【答案】2【解析】log 35·log 56·log 69＝lg 5lg 3·lg 6lg 5·lg 9lg 6＝lg 9lg 3＝2lg 3lg 3＝2. 讲练互动探究点1 对数运算性质的应用 例1 解：(1)原式＝13log 525＝13log 552＝23.(2)原式＝log 232＋log 242＝5＋4＝9.(3)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55＝2log 55＝2.(4)原式＝2lg 5＋2lg 2＋(1－lg 2)(1＋lg 2)＋(lg 2)2＝2(lg 5＋lg 2)＋1－(lg 2)2＋(lg 2)2＝2＋1＝3.跟踪训练 解：(1)原式＝lg 10015＝15lg 100＝15×2＝25.(2)原式＝log 3455＝log 39＝log 332＝2.(3)原式＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2＝lg 10(lg 5－lg 2)＋2lg 2＝lg 5－lg 2＋2lg 2＝lg 5＋lg 2＝1.(4)原式＝lg 3＋45lg 3＋910lg 3－12lg 34lg 3－3lg 3＝⎝⎛⎭⎫1＋45＋910－12lg 3（4－3）lg 3＝115.探究点2 换底公式的应用 例2 解：(1)由换底公式可得， log 29·log 34＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3lg 2·2lg 2lg 3＝4.(2)原式＝log 52log 513×log 79log 734＝log 132×log 349＝lg 2lg 13×lg 9lg 413＝12lg 2－lg 3×2lg 323lg 2＝－32.跟踪训练【解析】原式＝log 3224·log 2334＝2log 32·43log 23＝83.2.【答案】log 310【解析】1log 1419＋1log 1513＝lg 14lg 19＋lg 15lg13＝－2lg 2－2lg 3＋－lg 5－lg 3＝lg 2lg 3＋lg 5lg 3＝1lg 3＝log 310.3．解：法一：原式＝⎝⎛⎭⎫log 253＋log 225log 24＋log 25log 28(log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125) ＝⎝⎛⎭⎫3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22(log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55) ＝⎝⎛⎭⎫3＋1＋13log 25·(3log 52)＝13log 25·log 22log 25＝13. 法二：原式＝⎝⎛⎭⎫lg 125lg 2＋lg 25lg 4＋lg 5lg 8(lg 2lg 5＋lg 4lg 25＋lg 8lg 125) ＝⎝⎛⎭⎫3lg 5lg 2＋2lg 52lg 2＋lg 53lg 2(lg 2lg 5＋2lg 22lg 5＋3lg 23lg 5) ＝⎝⎛⎭⎫13lg 53lg 2⎝⎛⎭⎫3lg 2lg 5＝13.探究点3 对数运算中的综合问题 例3 解：因为18b ＝5，所以b ＝log 185. 所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 18（5×9）log 18（2×18）＝log 185＋log 189log 182＋log 1818＝a ＋b 1＋log 182 ＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b 2－log 189＝a ＋b 2－a.互动探究1．解：因为18b ＝5，所以log 185＝b ，所以log 1845＝log 189＋log 185＝a ＋b . 2．解：因为9b ＝5，所以log 95＝b . 所以log 36 45＝log 945log 936＝log 9（5×9）log 9（4×9）＝log 95＋log 99log 94＋log 99＝b ＋1a ＋1. 跟踪训练1．解：因为log 142＝a ，所以log 214＝1a .所以1＋log 27＝1a .所以log 27＝1a－1.由对数换底公式，得log 27＝log 27log 22＝log 272. 所以log 27＝2log 27＝2⎝⎛⎭⎫1a －1＝2（1－a ）a. 2．解：因为2x ＝3y ＝a ，所以x ＝log 2a ，y ＝log 3a ，所以1x ＋1y ＝1log 2a ＋1log 3a＝log a 2＋log a 3＝log a 6＝2，所以a 2＝6，解得a ＝± 6.又因为a >0，所以a ＝ 6.达标反馈1．l 【答案】A【解析】log 242＋log 243＋log 244＝log 24(2×3×4)＝log 2424＝1.2．【答案】A【解析】根据对数的运算性质log a M n ＝n log a M (M >0，a >0，且a ≠1)知(3)与(5)正确．3．【答案】C【解析】log 219·log 3125·log 514＝log 23－2·log 35－2·log 52－2＝－8log 23·log 35·log 52＝－8. 4．【答案】2【解析】由a 2＝1681(a >0)得a ＝49， 所以log 2349＝log 23⎝⎛⎭⎫232＝2. 5．解：(1)原式＝log 723－log 79＋log 7⎝⎛⎭⎫3222＝log 789＋log 798＝log 7⎝⎛⎭⎫89×98＝log 71＝0. (2)原式＝lg 2×58lg 5040＝lg 54lg 54＝1. 巩固提升A 基础达标 1．【答案】C【解析】原式＝log 612－log 62＝log 6122＝log 6 3.2．【答案】A【解析】lg ⎝⎛⎭⎫x 23－lg ⎝⎛⎭⎫y 23＝3lg x 2－3lg y 2＝3lg x y＝3(lg x －lg y )＝3t . 3．【答案】B【解析】由题意得lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg m lg 8＝log 416＝log 442＝2，所以lg m lg 3＝2， 即lg m ＝2lg 3＝lg 9.所以m ＝9，选B.4．【答案】A【解析】因为lg x ＝lg a ＋3lg b －5lg c ＝lg a ＋lg b 3－lg c 5＝lg ab 3c 5，所以x ＝ab 3c 5. 5．【答案】A【解析】因为2x ＝3，所以x ＝log 23.又log 483＝y ， 所以x ＋2y ＝log 23＋2log 483＝log 23＋2(log 48－log 43)＝log 23＋2⎝⎛⎭⎫32log 22－12log 23 ＝log 23＋3－log 23＝3.故选A.6．【答案】2【解析】log 48＝log 2223＝32， log 193＝－12， 所以原式＝32－⎝⎛⎭⎫－12＝2. 7．【答案】0【解析】lg(10m )＋lg 1m ＝lg 10＋lg m ＋lg 1m＝1， 所以10x ＝1＝100，所以x ＝0.8．【答案】4【解析】因为lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，x －2y ＞0，xy ＝（x －2y ）2.由xy ＝(x －2y )2，知x 2－5xy ＋4y 2＝0，所以x ＝y 或x ＝4y .又x ＞0，y ＞0且x －2y ＞0，所以舍去x ＝y ，故x ＝4y ，则x y＝4. 9．解：(1)lg(xyz )＝lg x ＋lg y ＋lg z .(2)lg xy 2z＝lg(xy 2)－lg z ＝lg x ＋2lg y －lg z . (3)lg xy 3z＝lg(xy 3)－lg z ＝lg x ＋3lg y －12lg z . 10．解：(1)原式＝log 381＋log 33＝log 334＋log 3312＝4＋12＝92. (2)原式＝2lg （100lg a ）2＋lg （lg a ）＝2[lg 100＋lg （lg a ）]2＋lg （lg a ）＝2[2＋lg （lg a ）]2＋lg （lg a ）＝2. (3)法一：原式＝－log 6(22×3)－2log 63＋13log 633 ＝－(log 622＋log 63)－2log 63＋log 63＝－(2log 62＋log 63)－2log 63＋log 63＝－2(log 62＋log 63)＝－2log 6(2×3)＝－2.法二：原式＝log 6112－log 632＋log 62713 ＝log 6312×9＝log 6136＝log 66－2＝－2. B 能力提升11．【答案】D【解析】因为lg 3361＝361×lg 3≈361×0.48≈173，所以M ≈10173，则M N ≈101731080＝1093，故选D. 12．【答案】10【解析】因为a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，所以1a ＝1log 2m ＝log m 2，1b ＝1log 5m ＝log m 5，因为1a ＋1b＝1，所以log m 2＋log m 5＝log m 10＝1，所以m ＝10.13．解：(1)原式＝log 535＋log 550－log 514＋2log 12212＝log 535×5014＋log 122＝log 553－1＝2. (2)原式＝[(log 66－log 63)2＋log 62·log 6(2×32)]÷log 64＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫log 6632＋log 62·（log 62＋log 632）÷log 622＝[(log 62)2＋(log 62)2＋2log 62·log 63]÷2log 62＝log 62＋log 63＝log 6(2×3)＝1.14．解：原方程可化为2(lg x )2－4lg x ＋1＝0，设t ＝lg x ，则原方程可化为2t 2－4t ＋1＝0.所以t 1＋t 2＝2，t 1t 2＝12.由已知a ，b 是原方程的两个根， 则t 1＝lg a ，t 2＝lg b ，即lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12， 所以lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝(lg a ＋lg b )⎝⎛⎭⎫lg b lg a ＋lg a lg b＝（lg a ＋lg b ）[（lg b ）2＋（lg a ）2]lg a lg b＝(lg a ＋lg b )·（lg b ＋lg a ）2－2lg a lg b lg a lg b＝2×22－2×1212＝12. 即lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝12.C 拓展探究15．解：由2y ·log y 4－2y －1＝0得2y ⎝⎛⎭⎫log y 4－12＝0，所以log y 4＝12，即y ＝16. 由log x 5x ·log 5x ＝－1得log x 5x ＝－1log 5x ，则log x 5x ＝－log x 5>0. 12(log x 5＋1)＝(－log x 5)2，整理得2(log x 5)2－log x 5－1＝0，解得log x 5＝－12(log x 5＝1舍去)， 所以1x＝25. 所以P ＝1x －y ＝25－16＝3， 即存在一个正数P ＝3，使得P ＝1x －y 成立．。
指数与对数的运算总结
指数与对数的运算总结指数和对数是数学中的重要概念，它们在各个领域中都有广泛的应用。
通过对指数和对数的运算规则的学习和掌握，我们可以更好地理解和解决实际问题。
本文将总结指数和对数的运算规则，并通过例子来说明其应用。
一、指数的运算规则指数运算是指以某个数为底数，用整数表示的运算。
以下是指数运算的几个重要规则：1.指数和底数相等时，结果为1当指数和底数相等时，即a^a，结果为1。
例如：2^2 = 42.指数相同，底数相乘当指数相同时，底数相乘。
例如：2^3 × 3^3 = (2 × 3)^3 = 6^3 = 2163.指数相同，底数相除当指数相同时，底数相除。
例如：8^2 ÷ 4^2 = (8 ÷ 4)^2 = 2^2 = 44.指数相加，底数不变当指数相加时，底数不变。
例如：6^2 × 6^3 = 6^(2 + 3) = 6^5 = 77765.指数相减，底数不变当指数相减时，底数不变。
例如：25^3 ÷ 25^2 = 25^(3 - 2) = 25^1 = 25二、对数的运算规则对数是指底数的几次方等于一个数的运算，常用的对数有以10为底的常用对数和以e为底的自然对数。
以下是对数运算的几个重要规则：1.乘法转换成加法对数的乘法可以转换成对数的加法。
例如：log(a × b) = log(a) + log(b)2.除法转换成减法对数的除法可以转换成对数的减法。
例如：log(a ÷ b) = log(a) - log(b)3.指数转换成乘法对数中的指数可以转换成乘法。
例如：log(a^b) = b × log(a)4.对数运算与指数运算相反对数运算与指数运算相反。
例如：log(a^b) = b × log(a) 等价于 a^b = 10^(b × log(a))三、指数和对数的应用指数和对数在实际问题中有广泛的应用。
数字的正负数乘除法运算
数字的正负数乘除法运算在数学中，我们经常会遇到对数字进行正负数乘除法运算的情况。
正负数的乘除法运算有一些特殊的规则和性质，掌握了这些规则和性质，我们可以更加轻松地解决相关的问题。
本文将介绍正负数乘除法运算的基本规则和性质，并通过实例来说明如何进行这些运算。
1. 正负数的乘法运算正负数相乘的结果有以下几种情况：- 两个正数相乘，结果仍为正数。
- 两个负数相乘，结果仍为正数。
- 一个正数和一个负数相乘，结果为负数。
举例来说，如果我们要计算 3 × (-2)，我们可以使用以下步骤：- 取绝对值相乘：3 × 2 = 6- 再确定符号：一个正数和一个负数相乘，结果为负数，所以最终结果为 -6。
通过上述步骤，我们可以得出：3 × (-2) = -6。
2. 正负数的除法运算正负数相除的结果也有一些规律：- 两个正数相除，结果仍为正数。
- 两个负数相除，结果仍为正数。
- 一个正数和一个负数相除，结果为负数。
比如，我们要计算 (-8) ÷ 4，可以按照以下步骤进行：- 取绝对值相除：8 ÷ 4 = 2- 根据符号规则，一个正数和一个负数相除，结果为负数，所以最终结果为 -2。
综上所述，(-8) ÷ 4 = -2。
3. 符号的运算顺序当对多个数进行乘法和除法运算时，符号的运算顺序也是需要注意的。
正负数的乘除法运算优先级高于加减法运算。
举例来说，如果我们要计算 -5 + 3 × 2，可以按照以下步骤进行：- 先进行乘法运算：3 × 2 = 6- 再进行加法运算：-5 + 6 = 1所以，-5 + 3 × 2 = 1。
4. 括号的运用括号在数学运算中起到分组和优先级控制的作用。
使用括号可以改变计算的顺序和结果。
比如，我们要计算 2 × (-3 + 4)，可以按照以下步骤进行：- 先进行括号内的加法运算：(-3 + 4) = 1- 再进行乘法运算：2 × 1 = 2所以，2 × (-3 + 4) = 2。
指数与对数的运算法则
指数与对数的运算法则一、指数的运算法则在数学中，指数是一种表示乘法的简便方式，用于表示以某个数为底的乘方。
指数的运算法则是指在进行指数运算时遵循的规则和原则。
1. 相同底数相乘，指数相加当两个相同底数的指数相乘时，其结果为底数不变，指数相加的乘方。
例如，若a和b为任意实数，且n和m为任意整数，则有：a^n * a^m = a^(n+m)2. 相同底数相除，指数相减当两个相同底数的指数相除时，其结果为底数不变，指数相减的乘方。
例如，若a和b为任意实数，且n和m为任意整数，则有：a^n / a^m = a^(n-m)3. 指数与指数相乘，底数不变，指数相乘当两个指数相乘时，其结果为底数不变，指数相乘的乘方。
例如，若a为任意实数，且n和m为任意整数，则有：(a^n)^m = a^(n*m)4. 乘方的乘方，底数不变，指数相乘当一个乘方再次乘方时，其结果为底数不变，指数相乘的乘方。
例如，若a为任意实数，且n和m为任意整数，则有：(a^n)^m = a^(n*m)这些法则可以用于简化指数的复杂运算，使计算更加简便和高效。
二、对数的运算法则对数是指数的逆运算，用于求解指数方程。
对数的运算法则是指在进行对数运算时遵循的规则和原则。
1. 对数的定义对数的定义是：若幂等于a，则称b为以底数为a的对数，记作logₐb。
其中，a为底数，b为真数。
2. 对数的乘法法则当进行对数乘法运算时，即求两个数的乘积的对数，其结果等于两个数的对数相加。
即：logₐ(a*b) = logₐa + logₐb3. 对数的除法法则当进行对数除法运算时，即求两个数的比值的对数，其结果等于两个数的对数相减。
即：logₐ(a/b) = logₐa - logₐb4. 对数的幂法法则当进行对数幂运算时，即对一个数求幂的对数，其结果等于幂乘以对数。
即：logₐ(a^m) = m * logₐa这些法则可以用于简化对数的复杂运算，使计算更加简便和高效。
数学中的指数与对数定律
数学中的指数与对数定律数学中的指数与对数是一对重要的概念，它们在解决各种数值问题时起着极其重要的作用。
指数和对数之间有一系列的定律和性质，它们帮助我们简化计算，解决复杂的数学问题。
本文将介绍数学中的指数与对数定律。
一、指数定律指数是表示一个数要连乘几次的简写形式。
在数学中，我们常用字母n表示指数。
例如，2的n次方可以写作2^n，读作“2的n次方”或“2的指数n”。
1. 乘法法则：对于相同的底数，指数相加。
例如，a^m * a^n = a^(m+n)。
这个规则表明，在进行乘法运算时，指数相加，底数保持不变。
2. 除法法则：对于相同的底数，指数相减。
例如，a^m / a^n = a^(m-n)。
这个规则表明，在进行除法运算时，指数相减，底数保持不变。
3. 幂法法则：对导数运算和求幂运算的结果进行指数运算。
例如，(a^m)^n =a^(m*n)。
这个规则表明，在进行幂运算时，将指数相乘。
二、对数定律对数是指用某个数的幂来表示另一个数的运算。
对数在解决指数运算中的未知数问题时非常有用。
通常，我们用log表示对数运算。
1. 对数定义：对于一个正数x和一个底数a（a>0且a≠1），x=loga(b)定义为a的多少次幂等于b。
例如，log2(8)等于3，表示2的3次方等于8。
2. 对数换底公式：对于不同的底数，我们可以通过换底公式将其转化为同一底数的对数。
换底公式为loga(b) = logc(b) / logc(a)，其中c为一个正数。
3. 对数乘法法则：loga(b * c) = loga(b) + loga(c)。
这个规则表明，在进行乘法运算时，对数相加。
4. 对数除法法则：loga(b / c) = loga(b) - loga(c)。
这个规则表明，在进行除法运算时，对数相减。
5. 对数幂法法则：loga(b^m) = m * loga(b)。
这个规则表明，在进行幂运算时，对数乘以幂指数。
三、应用举例指数与对数定律在各个数学领域都有广泛的应用。
对数的运算
1 a
b＝－logab.
[典例 2] (1)计算(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)的值； (2)已知 log189＝a,18b＝5，用 a，b 表示 log3645 的值．
[解] (1)法一：原式＝log253＋lloogg22245＋lloogg2258· log52＋lloogg55245＋lologg515825 ＝3log25＋22lloogg2225＋3lloogg2252log52＋22lloogg5525＋33lloogg5525 ＝3＋1＋13log25·(3log52) ＝13log25·lloogg2225＝13.
答案：1
C．6
D．1
()
知识点二 换底公式 (一)教材梳理填空
logcb logab＝ logca
对数换底公式．
(a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1)．我们把上式叫做
[微思考] 换底公式中底数c是特定数还是任意数？
提示：是大于0且不等于1的任意数．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)由换底公式可得 logab＝lloogg－ －22ba.
()
(2)log2M＋log3N＝log6(MN)．
()
(3)log23·log32＝1.
()
答案：(1)× (2)× (3)√
2．填空：
(1)logab·logba＝________；
(2)logab·logbx＝________；
(3)logamNn＝________.
答案：(1)1
(2)logax
log(c＋b)a＋log(c－b)a＝2log(c＋b)a·log(c－b)a.
使用查表法 实现log 对数运算的步骤
一、概述在数学和计算机领域中，对数运算是一种常见且重要的运算方式。
对数运算可以帮助我们简化复杂的计算过程，使得数值计算更加高效准确。
在实际的计算过程中，我们常常需要对数函数进行计算，而查表法便是一种有效实现对数运算的方式之一。
二、对数运算的概念1. 对数运算是指以某个数为底数，使得该底数的几次方等于目标数。
以 2 为底数，2 的几次方等于 8，则可以得出 2 的对数等于 3。
对数运算的数学表达式为 loga x = b，其中 a 为底数，x 为目标数，b 为对数。
2. 对数运算可以转化为指数运算，即 loga x = b 可以转化为 a^b = x。
三、查表法实现对数运算的步骤1. 确定对数的底数和目标数在进行对数运算之前，首先需要确定对数的底数和目标数。
底数通常为常数，而目标数则为需要进行对数运算的数值，可以是实数或复数。
2. 准备对数表对数表是存储不同底数和目标数对应的对数值的表格。
对数表可以通过数学软件或者书籍进行查询或者生成。
通常，对数表的列标包括底数、目标数和对数值。
3. 查找对数值根据确定的底数和目标数，在对数表中查找对应的对数值。
首先找到目标数所在的行，然后在该行中找到对应的底数列，即可得到对数值。
4. 结果验证查表法得到的对数值可以通过反向运算进行验证。
即将底数的对应次方值计算出来，检查是否等于目标数。
如果结果相符，则说明查表法得到的对数值是正确的。
四、查表法实现对数运算的优缺点1. 优点（1）简单易行：查表法不需要进行复杂的数学计算，只需要在对数表中进行查找即可得到对数值。
（2）节省时间：对数表包含了大量常见对数值的对应关系，可以大大节省对数运算的时间。
（3）准确性高：对数表经过验证和整理，所得到的对数值通常准确无误。
2. 缺点（1）受限于对数表：查表法实现对数运算的前提是需要有相应的对数表，受限于已有的对数表内容。
（2）对数精度限制：对数表中的对数值通常是有限精度的，可能无法满足特定精度要求的对数计算。
初中数学复习如何简化指数和对数函数的运算
初中数学复习如何简化指数和对数函数的运算指数和对数函数是初中数学中重要的知识点之一，掌握其运算方法对于数学学习的深入和应用非常关键。
本文将从简化指数运算和简化对数运算两个方面进行论述，帮助同学们更好地理解和掌握这两个运算过程。
一、简化指数运算指数运算是通过幂运算来简化复杂的数学表达式。
在简化指数运算时，我们需要牢记以下两个基本规律：1. 乘幂法则：对于相同的底数，指数相加等于将底数乘积的指数。
例如，对于a的m次方乘以a的n次方，可以简化为a的m+n次方。
2. 除幂法则：对于相同的底数，指数相减等于将底数除以指数的差。
例如，对于a的m次方除以a的n次方，可以简化为a的m-n次方。
在运用这两个基本规律时，应注意与数的运算法则相结合，同时要进行合理的拆分和整合。
下面以具体的例子来说明简化指数运算的过程。
例1：简化指数运算将5的2次方乘以5的4次方除以5的3次方。
解析：我们可以利用乘幂法则和除幂法则将该运算式简化为以下形式：5^(2+4-3) = 5^3 = 125简化后的结果为125。
例2：简化指数运算将3的4次方的平方除以3的2次方。
解析：我们可以利用乘幂法则和除幂法则将该运算式简化为以下形式：(3^4)^2 / 3^2 = 3^(4×2-2) = 3^6 = 729简化后的结果为729。
通过上述例子，我们可以看到，在简化指数运算中，我们需要熟练掌握乘幂法则和除幂法则，并结合其它数的运算法则进行综合运算。
熟练运用这些规则可以极大地简化指数运算的过程，提高运算效率。
二、简化对数运算对数函数是指数函数的逆运算，是一种特殊的函数关系。
在简化对数运算时，我们主要需要掌握以下两个基本规律：1. 对数幂法：对于底数为a的对数，其幂运算为a的指数。
例如，对于以2为底的对数log2x，其幂运算为2的x次方等于x。
2. 对数乘除法：对于相同底数的对数，乘法运算等于指数相加，除法运算等于指数相减。
例如，对于以2为底的对数，log2(x×y) = log2x + log2y，log2(x/y) = log2x - log2y。
对数法的知识点总结
对数法的知识点总结一、对数的定义对数是指数运算的倒数。
通常来说，对数是一个数对应的指数。
比如，log2(8) = 3，表示2的多少次方等于8。
在这里，log2表示以2为底的对数，8是对数的真数，3是对数的值。
对数的底数必须大于0且不等于1，对数的真数必须大于0。
对数常用符号log来表示，底数和真数用括号括起来。
对数的定义是指数的一个有用的补充。
指数表示一个数重复相乘的次数，而对数表示一个数重复乘积的次数。
例如，2的3次方等于8，那么log2(8) = 3。
可以看出，对数和指数是互相对立的，通过对数可以方便地解决指数运算不易解决的问题。
二、对数的性质对数有一些重要的性质，比如乘法性质、除法性质、幂次性质和换底性质等。
这些性质是对数运算的基础，也是对数问题的解决关键。
1. 乘法性质：loga(m*n) = loga(m) + loga(n)，其中a > 0且a ≠ 1，m和n都是大于0的实数。
这个性质表示两个数的乘积的对数等于这两个数的对数之和。
2. 除法性质：loga(m/n) = loga(m) - loga(n)，其中a > 0且a ≠ 1，m和n都是大于0的实数。
这个性质表示两个数的商的对数等于这两个数的对数之差。
3. 幂次性质：loga(m^p) = p * loga(m)，其中a > 0且a ≠ 1，m是大于0的实数，p是任意实数。
这个性质表示一个数的幂次的对数等于这个数的对数乘以幂次。
4. 换底性质：loga(b) = logc(b) / logc(a)，其中a、b、c都是大于0且不等于1的实数。
这个性质表示底数不同的对数可以相互换底，该性质在解决对数问题时非常有用。
这些性质对于解决对数问题非常重要，可以大大简化对数的运算和求解。
三、对数的运算规则对数的运算规则是指对数的加减乘除和幂次运算法则，它们是对数运算的基础，可以帮助我们解决各种对数问题。
1. 加减法规则：对数的加减法规则是乘法性质和除法性质的直接应用。
数学各种运算定律和公式
数学各种运算定律和公式数学是一门研究数量、结构、空间以及变化的科学，它拥有多种运算定律和公式。
下面我将介绍一些常见和重要的数学运算定律和公式。
一、基础运算定律1.加法运算定律加法具有结合律（a+b）+c=a+（b+c）、交换律a+b=b+a、和零元素性质a+0=a。
2.减法运算定律减法具有减法反运算性质a-b+b=a。
3.乘法运算定律乘法具有结合律（a*b）*c=a*（b*c）、交换律a*b=b*a和乘法分配律a*（b+c）=a*b+a*c。
4.除法运算定律除法具有除法反运算性质a/b*b=a。
然而，除法没有结合律和交换律。
5.幂运算定律幂运算具有幂与幂的乘法规则a^m*a^n=a^(m+n)、幂与乘法的交换规则（a*b）^n=a^n*b^n和幂与除法的交换规则（a/b）^n=a^n/b^n。
二、代数运算公式1.二次方程求根公式对于二次方程 ax^2 + bx + c = 0，其求根公式为 x = (-b ±sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a。
2.因式分解公式通过因式分解，可以将一个多项式表示为两个或多个更简单的因式的乘积。
3.勾股定理对于直角三角形，a^2+b^2=c^2，其中a和b是直角的两条直角边，c是斜边。
4.平方差公式(a+b)(a-b)=a^2-b^2，可以用于将平方差形式转化为因式分解形式，或将因式分解形式转化为平方差形式。
1.直线相关性质包括平行线之间的性质（如同位角相等、内错角相等、对顶角相等等）和相交线之间的性质（如交角的补角相等等）。
2.三角形相关性质包括等边三角形的性质（如三边相等、三角内角相等等）、等腰三角形的性质（如底边角相等等）以及直角三角形的性质（如勾股定理等）等。
3.正弦定理和余弦定理对于任意三角形ABC，正弦定理为a/sinA = b/sinB = c/sinC，余弦定理为c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC。
1.导数的四则运算法则对于函数f(x)和g(x)，导数的四则运算法则包括常数乘积法则、求和法则、差法则和乘积法则。
log加减法运算法则
log加减法运算法则
log加减法运算法则指的是对于两个实数a和b，以及底数为c的对数函数，
log(ac)与log(bc)的和或者差，可以化简为log函数里面的乘积或者商。
具体来说，
如果需要计算log(ac) + log(bc)，则可以将其化简为log(abc)，而如果需要计算
log(ac) - log(bc)，则可以化简为log(a/b)。
这个法则可以用来简化复杂的对数运算。
需要注意的是，这个法则只适用于同一底数的对数函数之间的加减运算，如果底数不同，则需要先使用换底公式将其转化为同一底数的对数函数，再使用log加减法运算法则进行化简。
此外，还需要注意对数函数的定义域和值域，以及底数的取值范围。
对于定义在正实数集合上的对数函数，其定义域为正实数集合，值域为实数集合；而对于以其他数为底的对数函数，其定义域和值域的范围可能有所不同。
底数的取值范围也需要根据具体情况来确定。
总之，log加减法运算法则是对数运算中的一个重要的化简法则，可以用来简
化复杂的对数运算，但需要注意对数函数的定义域和值域以及底数的取值范围。
对数公式的运算
对数公式的运用1．对数的概念如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即a b=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：log a N=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．由定义知：①负数和零没有对数；②a>0且a≠1，N>0；③log a1=0，log a a=1，a logaN=N(对数恒等式)，log a a b=b。
特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log10N，简记为lgN；以无理数e(e=2．718 28…)为底的对数叫做自然对数，记作log e N，简记为lnN．2．对数式与指数式的互化式子名称a b=N指数式a b=N(底数)(指数)(幂值)对数式log a N=b(底数) (真数) (对数)3．对数的运算性质如果a>0，a≠1，M>0，N>0，那么(1)log a(MN)=log a M+log a N．(2)log a（M/N）=log a M-log a N．(3)log a M n=nlog a M(n∈R)．问：①公式中为什么要加条件a>0，a≠1，M>0，N>0?②log a a n=? (n∈R)③对数式与指数式的比较．(学生填表)式子a b=N，log a N=b名称：a—幂的底数b—N—a—对数的底数b—N—运算性质：a m·a n=a m+na m÷a n= a m-n(a>0且a≠1，n∈R) log a MN=log a M+log a Nlog a MN=log a M n= (n∈R) (a>0，a≠1，M>0，N>0)难点疑点突破对数定义中，为什么要规定a＞0，，且a≠1?理由如下：①a＜0，则N的某些值不存在，例如log-28=?②若a=0，则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一，可以为任何正数?③若a=1时，则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一，可以为任何正数?为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数?解题方法技巧1．(1)将下列指数式写成对数式：①54=625；②26=64；③3x=27；④13m=5．73．(2)将下列对数式写成指数式：①log216=4；②log2128=7；③log327=x；④lg0．01=-2；⑤ln10=2．303；⑥lgπ=k．解析由对数定义：a b=N，log a N=b．解答(1)①log5625=4．②log264=6．③log327=x．④log135．73=m．解题方法指数式与对数式的互化，必须并且只需紧紧抓住对数的定义：a b=N log a N=b(2)①24=16，②27=128，③3x=27，④10-2=0．01，⑤e2．303=10，⑥10k=π．2．根据下列条件分别求x的值：(1)log8x= -2/3；(2)log2(log5x)=0；(3)log x27=3×；(4)log x(2+)= -1．解析(1)对数式化指数式，得：x==?(2)log5x=20=1．x=?(3)3×3log32=? ．27=x?(4) 2+=x-1=1/x．x=?解答(1)x===2-2=1/4．(2)log5x=20=1，x=51=5．(3)log x27=3×=3×2=6，∴x6=27=33=()6，故x=．(4) +=x-1=1/x，∴x=1/(+)=．解题技巧①转化的思想是一个重要的数学思想，对数式与指数式有着密切的关系，在解决有关问题时，经常进行着两种形式的相互转化．②熟练应用公式：log a1=0，log a a=1，alog a M=M，log a a n=n．3．已知log a x=4，log a y=5，求A=〔x5/12·y-1/3〕的值．解析：思路一，已知对数式的值，要求指数式的值，可将对数式转化为指数式，再利用指数式的运算求值；思路二，对指数式的两边取同底的对数，再利用对数式的运算求值?解答：解法一∵log a x=4，log a y=5，∴x=a4，y=a5，∴A=x(5/12)y(-1/3)=(a4)5/12(a5)-1/3=a5/3·a-5/3=a0=1．解法二对所求指数式两边取以a为底的对数得log a A=log a(x(5/12)y(-1/3))=(5/12)log a x-(1/3)log a y=(5/12)×4-(1/3)×5=0，∴A=1．解题技巧有时对数运算比指数运算来得方便，因此以指数形式出现的式子，可利用取对数的方法，把指数运算转化为对数运算．4 ．设x，y均为正数，且x·y1+lgx=1(x≠1/10)，求lg(xy)的取值范围．解析一个等式中含两个变量x、y，对每一个确定的正数x由等式都有惟一的正数y与之对应，故y是x的函数，从而lg(xy)也是x的函数．因此求lg(xy)的取值范围实际上是一个求函数值域的问题，怎样才能建立这种函数关系呢?能否对已知的等式两边也取对数?解答∵x>0，y>0，x·y1+lgx=1，两边取对数得：lgx+(1+lgx)lgy=0．即lgy=-lgx/(1+lgx) (x≠1/10，lgx≠-1)．令lgx=t，则lgy=-t/(1+t) (t≠-1)．∴lg(xy)=lgx+lgy=t-t/(1+t)= t2/(1+t) (t≠-1)．(解题规律：对一个等式两边取对数是解决含有指数式和对数式问题的常用的有效方法；而变量替换可把较复杂问题转化为较简单的问题．)设S=t2/(1+t)，得关于t的方程t2-St-S=0因为它一定有实数解．∴Δ=S2+4S≥0，得S≤-4或S≥0，故lg(xy)的取值范围是(-∞，-4〕∪〔0，+∞)．5 ．求值：(1)lg25+lg2·lg50+(lg2)2；(2)2log32-log3(32/9)+log38-52log53；(3)设lga+lgb=2lg(a-2b)，求log2a-log2b的值；(4)求7lg20·(1/2)lg0.7的值．解析：(1)25=52，50=5×10。
指数与对数运算-高考复习
loga =__________
logaM-logaN
a>0,且 a≠1,M>0,N>0
nlogaM
logaMn=__________(n∈R)
换底公式
lo g
logab=lo g (a>0,且
a≠1;c>0,且 c≠1;b>0)
常用结论
1.lg 2+lg 5=1.
1
n
2.换底公式的变形:logab= ,logab·logbc·logcd=logad,lo b = logab.
(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示并用幂的运算法
则解答.
考点二
对数的运算(多考向探究预测)
考向1 对数式的化简与计算
例 2(1)(2024·河南平顶山模拟)若 2lg(x-2y)=lg x+lg
A.4
B.1
1
或4
C.1 或 4
y
y,则 的值为(
1
D.4
D )
解析 (1)∵2lg(x-2y)=lg(x-2y)2=lg x+lg y=lg(xy),∴(x-2y)2=xy,
0.1
10
=
1
10
10
≈
1
1.259
≈0.8.
研考点
精准突破
考点一
指数幂的运算
1
例
2
16 -2
0.25 4
3
1(1)( ) +(-8) +8 ×
49
1
16 -2
解析 (1)(49)
2+
2
4
0.25
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二进制数的运算方法---【转载】
二进制数的运算方法
电子计算机具有强大的运算能力，它可以进行两种运算：算术运算和逻辑运算。
1．二进制数的算术运算
二进制数的算术运算包括：加、减、乘、除四则运算，下面分别予以介绍。
（1）二进制数的加法
根据“逢二进一”规则，二进制数加法的法则为：
0＋1＝1＋0＝1
1＋1＝0 （进位为1）?
1＋1＋1＝1 （进位为1）
例如：1110和1011相加过程如下：
（2）二进制数的减法
根据“借一有二”的规则，二进制数减法的法则为：
0－1＝1 （借位为1）
例如：1101减去1011的过程如下：
（3）二进制数的乘法
二进制数乘法过程可仿照十进制数乘法进行。
但由于二进制数只有0或1两种可能的乘数位，导致二进制乘法更为简单。
二进制数乘法的法则为：
0×1＝1×0＝0
例如：1001和1010相乘的过程如下：
由低位到高位，用乘数的每一位去乘被乘数，若乘数的某一位为1，则该次部分积为被乘数；若乘数的某一位为0，则该次部分积为0。
某次部分积的最低位必须和本位乘数对齐，所有部分积相加的结果则为相乘得到的乘积。
（4）二进制数的除法
二进制数除法与十进制数除法很类似。
可先从被除数的最高位开始，将被除数（或中间余数）与除数相比较，若被除数（或中间余数）大于除数，则用被除数（或中间余数）减去除数，商为1，并得相减之后的中间余数，否则商为0。
再将被除数的下一位移下补充到中间余数的末位，重复以上过程，就可得到所要求的各位商数和最终的余数。
例如：100110÷110的过程如下：
所以，100110÷110＝110余10。
2．二进制数的逻辑运算
二进制数的逻辑运算包括逻辑加法（“或”运算）、逻辑乘法（“与”运算）、逻辑否定（“非”运算）和逻辑“异或”运算。
（1）逻辑“或”运算
又称为逻辑加，可用符号“＋”或“∨”来表示。
逻辑“或”运算的规则如下：
0＋0＝0或0∨0＝0
0＋1＝1或0∨1＝1
1＋0＝1或1∨0＝1
1＋1＝1或1∨1＝1
可见，两个相“或”的逻辑变量中，只要有一个为1，“或”运算的结果就为1。
仅当两个变量都为0时，或运算的结果才为0。
计算时，要特别注意和算术运算的加法加以区别。
（2）逻辑“与”运算
又称为逻辑乘，常用符号“×”或“· ”或“∧”表示。
“与”运算遵循如下运算规则：
0×1＝0或0·1＝0或0∧1＝0
1×0＝0或1·0＝0或1∧0＝0
1×1＝1或1·1＝1或1∧1＝1
可见，两个相“与”的逻辑变量中，只要有一个为0，“与”运算的结果就为0。
仅当两个变量都为1时，“与”运算的结果才为1。
（3）逻辑“非”运算
又称为逻辑否定，实际上就是将原逻辑变量的状态求反，其运算规则如下：
可见，在变量的上方加一横线表示“非”。
逻辑变量为0时，“非”运算的结果为1。
逻辑变量为1时，“非”运算的结果为0。
（4）逻辑“异或”运算?
“异或”运算，常用符号“”或“”来表示，其运算规则为：
00＝0 或 00＝0
01＝1 或 01＝1
10＝1 或 10＝1
11＝0 或 11＝0
可见：两个相“异或”的逻辑运算变量取值相同时，“异或”的结果为0。
取值相异时，“异或”的结果为1
以上仅就逻辑变量只有一位的情况得到了逻辑“与”、“或”、“非”、“异或”运算的运算规则。
当逻辑变量为多位时，可在两个逻辑变量对应位之间按上述规则进行运算。
特别注意，所有的逻辑运算都是按位进行的，位与位之间没有任何联系，即不存在算术运算过程中的进位或借位关系。
下面举例说明。
【例1.1】如两变量的取值?X＝00FFH，Y＝5555H
求Z1＝X∧Y；Z2＝X∨Y；Z3＝；Z4＝XY的值。
解：X＝0000000011111111
Y＝0101010101010101
则：Z1＝0000000001010101＝0055H
Z2＝0101010111111111＝55FFH
Z3＝1111111100000000＝FF00H
Z4＝0101010110101010＝55AAH
一个好的策略是验证X是否是居中的元素。
然后进行折半查找。
如果小于，同样的策略查找左边的序列，如果大于同样的策略查找右边的序列。
即，P的加法构成了一个群S，由于S属于G，故S是G的子群。
y_test_pred_proba = clf.predict_proba(x_test)
综合这两种情况，用更口语化的方式，分配率可统一表述为：相加之
后的相乘与相乘之后的相加相等。
为了描述对数的性质，我们还是先把对数的图像画出来，然后直接看图说话比较简单些。
分a1 和 0a1两种情况
二进制数的逻辑运算包括逻辑加法（“或”运算）、逻辑乘法（“与”运算）、逻辑否定（“非”运算）和逻辑“异或”运算。
一个四元数的自身点积是个标量。
四元数除以一个标量等效于乘上此标量的倒数，而使四元数的每个元素皆除以此一除数。
0x00,0x00,0x00,0x00,0x00,0x00,0x00,0x01};
此外，运算的安全性和效率也是设计离散对数椭圆曲线方案的考虑因素。
对复数z(z不为0)，考虑将它换算成三角形式z=r(cosA+isinA)?。