频率与概率
频率与概率的关系
频率与概率的关系
事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.
要点诠释：
（1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率；
（2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；
（3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.
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随机事件的频率与概率
随机事件的频率与概率1.随机事件的频率随机事件的频数与频率：在相同的条件下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例n n A f A n )(为事件A 出现的频率． 2.随机事件的概率一般来说，随机事件A 在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件A 发生的频率会逐渐稳定在区间[0，1]中的某个常数上，这个常数可以用来度量事件A 发生的可能性的大小，称为事件A 的概率，记作P(A)．3.频率与概率的区别和联系(1) 频率本身是随机的，在试验前不能确定。
做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同。
(2) 概率是一个确定的数，与每次试验无关。
是用来度量事件发生可能性大小的量。
(3) 频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率。
例1.某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表所示：(1)计算表中击中10环的各个频率；(2)这名运动员射击一次，击中10环的概率是多少分析：(1)分清m ，n 的值，用公式nm 计算； (2)观察各频率是否与某一常数接近，且在它附近摆动．解：(1)(2)从上表可以看出，这名运动员击中10环的频率在附近波动，且射击次数越多，频率越接近，故可以估计，这名运动员射击一次，击中10环的概率约为.点评：在相同条件下，随着试验次数的增加，随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们就可以用这个常数来刻画该随机事件发生的可能性的大小，而将频率作为其近似值．从中要进一步体会频率与概率的定义及它们的区别与联系．如果随机事件A 在n 次试验中发生了m 次，当试验的次数n 很大时，我们可以将事件A 发生的频率n m 作为事件A 发生的概率的近似值，即P(A)≈nm . 例2.为了估计水库中的鱼的尾数，可以使用以下方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2000尾，给每尾鱼作上记号，不影响其存活，然后放回水库．经过适当的时间，让其和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，例如500尾，查看其中有记号的鱼，设有40尾，试根据上述数据，估计水库内鱼的尾数．分析：用样本估计总体．解：设水库中鱼的尾数为n,n 是未知的，现在要估计n 的值，将n 的估计值记作nˆ. 假定每尾鱼被捕的可能性是相等的，从库中任捕一尾鱼，设事件A 为“带有记号的鱼”，易知P(A)＝n2000． 第二次从水库中捕出500尾鱼，其中带有记号的鱼有40尾，即事件A 发生的频数n A =40，由概率的统计定义知50040)(≈A P . 所以500402000≈n ． 解得n≈25 000，即nˆ＝25 000.故可以估计水库中约有鱼25000尾．点评:随着试验次数的变化，事件发生的频率也可能发生变化，但总体来看频率趋于一个稳定值，所以我们也可借助于频率来对一些实际问题作出估计． 例3.某校举办2021年元旦联欢晚会，为了吸引广大同学积极参加活动，特举办一次摸奖活动．凡是参加晚会者，进门时均可参加摸奖，摸奖的器具是黄、白两色的乒乓球，这些乒乓球的大小和质地完全相同．另有一只密封良好且不透光的立方体木箱（木箱的上方可容一只手伸入）.拟按中奖率为101设大奖，其余109则为小奖，大奖奖品的价值为40元，小奖奖品的价值为2元．请你运用概率的有关知识设计一个摸奖方案以满足校方的要求． 分析：借助于现有的乒乓球，使一种情况产生的可能性为101即可,并将其定为大奖的条件．解：方案一：在箱子里放10个乒乓球，其中1个黄色的，9个白色的．摸到黄球时为大奖，摸到白球时为小奖．方案二：在箱子里放5个乒乓球，3个白色的，2个黄色的．每位参加者在箱子里摸两次，每次摸一个乒乓球，并且第一次摸出后不放回．当摸到2个黄色乒乓球时为大奖，其他情况视为小奖．点评：概率知识来源于生活、生产实残，由实际问题可以总结出发生某一事件的可能性的大小，在实际生活中设计某一活动的实施方案，一般可以以希望得到的统计数据为依据，还要注意与实际相结合．。
频率与概率知识点总结
频率与概率知识点总结频率与概率是概率论中非常重要的概念，它们在统计学、数据分析、风险管理等领域都有着广泛的应用。
本文将对频率与概率的概念、性质、常见计算方法以及应用进行全面的总结。
一、频率的概念频率是指某一事件在一定时间或次数内发生的次数。
频率通常由次数除以总数得到，可以用来描述某一事件出现的概率大小。
频率的计算通常使用简单的数学方法，适用于各种具体的事件。
频率的性质1. 频率的取值范围为[0, 1]。
因为频率是事件发生的次数与总数的比值，所以其取值范围必然在0到1之间，表示事件发生的概率。
2. 频率的和为1。
在多次实验中，各个事件的频率之和等于1，这是因为所有事件发生的可能性都包括在内。
3. 频率与事件的发生次数成正比。
频率是事件的发生次数与总数的比值，所以事件发生的次数增加时，其频率也会增加。
频率的计算方法频率的计算通常使用下面的公式：频率 = 事件发生的次数 / 总数频率的应用频率广泛应用于统计学、数据分析、市场调研等领域。
通过对样本进行频率统计，可以得到样本中各个事件发生的概率大小，从而为决策提供参考依据。
二、概率的概念概率是描述某一事件发生可能性的数值，表示事件发生的可能性大小。
概率的分析通常使用概率分布、基本概率、条件概率等方法，适用于各种抽样实验、随机变量等概率事件。
概率的性质1. 概率的取值范围为[0, 1]。
因为概率是事件发生的可能性大小，所以其取值范围必然在0到1之间，表示事件发生的概率。
2. 概率的和为1。
在多个互斥事件的情况下，各个事件的概率之和等于1，这是因为所有事件发生的可能性都包括在内。
3. 概率与频率有关。
概率也可以用频率表示，即概率等于事件发生的频率。
在多次实验中，事件的频率趋于稳定时，可用频率代替概率。
概率的计算方法概率的计算通常使用下面的公式：概率 = 事件发生的次数 / 总数概率的应用概率广泛应用于统计学、概率论、数据分析、风险管理等领域。
通过对概率的分析，可以评估各种事件发生的可能性大小，为风险管理、模型建立、决策制定等提供参考依据。
频率与概率的概念、古典概率
频率与概率的联系
频率是概率的近似值，当实验或观察 次数足够多时，频率趋近于概率。
在长期实践中，人们常常根据频率来 估计概率，从而做出相应的决策。
概率是频率的极限值，即当实验或观 察次数趋于无穷时，频率的值就是该 事件的概率。
如何选择频率或概率方法
01
在实际应用中，应根据 具体情况选择使用频率 或概率方法。
02
古典概率
古典概率的定义
古典概率是指在一系列等可能 事件中，某一事件发生的概率。
古典概率的定义基于事件的等 可能性，即每个事件发生的可 能性是相等的。
古典概率通常用于描述那些可 以重复进行且结果已知的实验， 例如掷骰子、抽签等。
古典概率的计算方法
计算公式
$P(A) = frac{有利于A的基本事件数}{全部 基本事件数}$
频率与概率的关系
频率是概率的估计
通过大量试验或观察，我们可以得到某一事件的频率，这个频率可以作为该事 件概率的一个估计值。
概率是频率的极限
当试验次数趋于无穷时，频率趋于概率。也就是说，如果一个随机事件的频率 在长期观察中稳定在某个值附近，那么我们可以认为这个值就是该事件的概率。
频率与概率的优缺点
频率和概率在统计学、决策理论、贝叶斯推断等领域中都有广泛应用。
如何更好地理解和应用频率与概率
• 了解频率与概率的基本定义和性质：掌握概率的基本性质，如概率的取值范围 、独立性、互斥性等，有助于更好地理解和应用频率与概率。
• 掌握概率计算方法：了解概率的基本计算方法，如加法公式、乘法公式、全概 率公式等，有助于计算复杂事件的概率。
可观察性
频率可以直接通过试验或观察获 得，不需要复杂的数学模型或理 论。
可验证性
概率与统计中的频率与概率的计算
概率与统计中的频率与概率的计算在概率与统计中，频率和概率是两个重要的概念。
它们都与事件发生的可能性有关，但在计算方法和应用上有所不同。
频率是指某个事件在重复试验中发生的次数与总试验次数的比值。
它用来描述随机事件在实际观察中的相对频繁程度。
频率可以用来估计概率，特别是在试验次数较少或无穷大的情况下不能直接计算概率时，频率是一种常用的近似计算方法。
频率的计算公式为：频率 = 某个事件发生的次数 / 总试验次数例如，某个骰子六个面的数字出现次数分别为1、2、3、4、5、6，则各个数字出现的频率分别为1/6，2/6，3/6，4/6，5/6，6/6。
与频率相比，概率是事件发生的理论上的可能性。
概率可以用数值表示，范围在0到1之间。
概率越接近于1，事件发生的可能性越大；概率越接近于0，事件发生的可能性越小。
概率的计算方法包括经典概率和统计概率。
经典概率是基于等可能性原理的计算方法。
当每个事件发生的可能性相等时，事件A的概率可以用下式计算：概率A = A发生的情况数 / 总情况数例如，一枚硬币正面朝上的概率可以用1/2表示，因为正面朝上的情况只有一种，总情况数为两种（正面和反面）。
统计概率是基于统计数据的计算方法。
当无法保证每个事件发生的可能性相等时，可以通过实验或观察得到事件发生的频率，进而估计概率。
例如，通过投掷一枚硬币100次，正面朝上的频率为60次，反面朝上的频率为40次。
则可以估计硬币正面朝上的概率为60/100=0.6。
在实际应用中，频率和概率都有其独特的作用。
频率可以用来描述实际观察中的现象和实验结果，是验证概率理论的基础。
而概率则可以用来预测事件发生的可能性，是决策和风险管理的重要工具。
总结起来，频率和概率在概率与统计中扮演着重要的角色。
频率描述了事件在实际观察中的相对频繁程度，可以用来估计概率；而概率则是事件发生的理论上的可能性。
它们的计算方法和应用略有不同，但都是研究和理解随机事件的重要工具。
简述概率和频率的关系
简述概率和频率的关系概率和频率是概率统计学中两个重要的概念，它们之间有着密切的关系。
概率是指某个事件发生的可能性大小，通常用一个介于0和1之间的数来表示。
在概率论中，我们可以通过定义一个概率空间来描述随机试验的所有可能结果及其对应的概率。
这样，我们就可以对随机试验中不同事件发生的可能性进行量化和比较。
概率可以帮助我们预测事件的发生概率，从而做出相应的决策。
频率是指某个事件在多次试验中出现的次数。
在统计学中，我们通常通过实验的重复运行来观察事件发生的频率，并用频率来估计概率。
频率是对概率的一种近似估计，当试验次数足够大时，频率会逐渐接近概率。
这是因为随着试验次数的增加，事件发生的频率会趋于稳定，逐渐接近事件的真实概率。
概率和频率之间的关系可以通过大数定律来解释。
大数定律是概率论中的一个重要原理，它指出当独立重复实验次数趋于无穷大时，事件发生的频率将趋于事件的概率。
也就是说，当我们进行足够多次的试验时，事件发生的频率会逐渐接近事件的概率值。
举个例子来说明概率和频率的关系。
假设我们抛掷一枚公平硬币，事件A表示出现正面的情况。
根据概率的定义，硬币出现正面的概率为0.5。
如果我们进行100次抛硬币的实验，记录下出现正面的次数，那么事件A的频率就是正面出现的次数除以总的实验次数。
当试验次数足够大时，事件A的频率会逐渐接近0.5，即事件A的概率。
概率和频率的关系也可以从另一个角度来理解。
概率是一种理论上的概念，是对事件发生可能性的一种度量。
而频率是通过实际观察和实验获得的数据，是对概率的一种估计。
通过频率的观察和统计，我们可以验证和检验概率的理论结果，从而增加对事件发生模式和规律的认识。
总结起来，概率是描述事件发生可能性的理论概念，而频率是通过实验观察到的事件发生次数。
概率和频率之间的关系可以用大数定律来解释，即当试验次数足够大时，事件发生的频率会逐渐接近事件的概率。
概率和频率相辅相成，互相验证和补充，共同构成了概率统计学的基础。
初中数学知识点：频率与概率的关系
初中数学知识点：频率与概率的关系
事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.
要点诠释：
（1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率；
（2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；
（3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.
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频率的稳定性-频率与概率
案例二：电力系统中的频率稳定性问题
电力系统中的频率稳定性问题
在电力系统中，频率的稳定性对于保证电力系统的稳定运行至关重要。频率不稳定会导致电力系统的负荷波动， 严重时甚至可能导致系统崩溃。
解决电力系统频率稳定性问题的方法
解决电力系统中的频率稳定性问题需要从多个方面入手，如优化电源配置、进行负荷管理、采用稳定的控制系统 等。
条件概率
一个事件发生的概率，在另一个事件 已经发生的情况下。
期望值
随机变量的平均值，或期望值，通常 表示为E(X)。
方差
衡量随机变量偏离其期望值的程度。
CHAPTER 03
频率稳定性的影响因素
系统因素
设备稳定性
设备的稳定性和可靠性对频率稳 定性有重要影响。设备故障或异 常运行可能会导致频率波动，影
案例三：运动状态的频率稳定性研究
运动状态下的频率稳定性研究
对于运动状态下的系统，如机械振动、电磁振荡等，频率的稳定性是保证系统稳定运行的关键。
提高运动状态下的频率稳定性的方法
提高运动状态下的频率稳定性需要从多个方面入手，如优化机械结构设计、选择合适的材料、进行动 态调整等。
案例四：工业生产过程中的频率稳定性控制
频率稳定性案例分析
案例一：通信系统的频率稳定性优化
频率稳定性在通信系统中的重要性
在通信系统中，频率的稳定性直接影响到信号的传输质量和速度。频率不稳定 会导致信号失真、传输错误等问题，从而影响通信质量。
频率稳定性优化的方法
为了提高通信系统的频率稳定性，可以采用多种方法，如采用高精度的频率源 、进行频率校准、采用稳定的传输介质等。
要点一
工业生产过程中的频率稳定性控 制
在工业生产过程中，尤其是化工、制药等领域，生产过程 中对于温度、压力、流量等参数的频率稳定性要求较高。
概率和频率区别
概率和频率区别这是概率和频率区别，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。
概率和频率区别第1篇概率是一个稳定的数值，也就是某件事发生或不发生的概率是多少。
频率是在一定数量的某件事情上面，发生的数与总数的比值。
频率是有限次数的试验所得的结果，概率是频数无限大时对应的频率。
联系与区别1、他们都是统计系统各元件发生的可能性大小；2、频率一般是大概统计数据经验值，概率是系统固有的准确值；3、频率是近似值，概率是准确值；4、频率值一般容易得到，所以一般用来代替概率。
概率和频率区别第2篇对事件发生可能性大小的量化引入“概率”。
独立重复试验总次数n，事件A 发生的频数μ，事件A发生的频率Fn(A)=μ/n，A的频率Fn(A)有没有稳定值?如果有，就称频率μ/n的稳定值p为事件A发生的概率，记作P(A)=p(概率的统计定义)。
P(A)是客观的，而Fn(A)是依赖经验的。
数学频率和概率的区别卡尔达诺的数学著作中有很多给赌徒的建议。
这些建议都写成短文。
然而，首次提出系统研究概率的是在帕斯卡和费马来往的一系列信件中。
这些通信最初是由帕斯卡提出的，他想找费马请教几个关于由Chevvalier de Mere提出的问题。
Chevvalier de Mere是一知名作家，路易十四宫廷的显要，也是一名狂热的赌徒。
问题主要是两个：掷骰子问题和比赛奖金分配问题。
研究支配偶然事件的内在规律的学科叫概率论。
属于数学上的一个分支。
概率论揭示了偶然现象所包含的内部规律的表现形式。
所以，概率，对人们认识自然现象和社会现象有重要的作用。
比如，社会产品在分配给个人消费以前要进行扣除，需扣除多少，积累应在国民收入中占多大比重等，就需要运概率和频率区别第3篇教学目标(一)教学知识点1.如何收集与处理数据.2.会绘制频数分布直方图与频数分布折线图.3.了解频数分布的意义，会得出一组数据的频数分布.(二)能力训练要求1.初步经历数据的收集与处理的过程，发展学生初步的统计意识和数据处理能力.2.通过经历调查、统计、研讨等活动，发展学生实践能力与合作意识.(三)情感与价值观要求通过学习，培养学生勇于提出问题，大胆设计，勇于探索与解决问题的能力.教学重点1.了解频数分布的意义，会得出一组数据的频数分布直方图、频数分布折线图.2.数据收集与处理.教学难点1.决定组距与组数.2.数据分布规律.教学方法交流探讨式教具准备投影片教学过程Ⅰ.导入新课[师]请大家一起回忆一下，我们如何收集与处理数据.[生]1.首先通过确定调查目的，确定调查对象.2.收集有关数据.3.选择合理的数据表示方式统计数据.4.根据所收集的数据进行数据计算.根据特征数字，估计总体情况，设计可行的计划与方案，并不断实施与改进方案.[师]这位同学总结得很好.你能否帮卖雪糕的李大爷设计一种方案，确定各种牌子的雪糕应进多少?[生]首先应开展调查.统计一下李大爷每天卖出的a、b、c、d、e五个牌子雪糕的数量.。
频率与概率的关系公式
频率与概率的关系公式
频率(Frequency)和概率(Probability)之间的关系也可用简单的公式表示：
Frequency = Number of Occurrences of Event / Number of Opportunities to Occur。
Probability = Number of Successful Events / Number of Trials。
从上面两个公式可以得出：Frequency = Probability * Total Trials 。
举个例子来说，假设有一个抛硬币的实验，硬币可以抛出正面或者反面，那么频率就是正面出现的次数除以总次数，而概率就是正面出现的次数除以总次数。
也就是说：Frequency = Probability * Total Trials，其中Total Trials是总次数。
该公式可以应用于各类概率问题，用来描述发生某种事件的概率。
假如把抛硬币的实验换成投掷一个三角形的实验，那么概率就是正面出现的次数除以总次数，而频率就是正面出现的次数除以总次数。
可以用频率与概率的关系公式来描述这种情况：Frequency = Probability * Total Trials。
总的来说，频率与概率的关系是：频率等于概率乘以总试验次数。
这个关系可以用来计算各种概率实验的结果，帮助我们更好的理解概率的概念。
《频率与概率》课件
贝叶斯定理应用
贝叶斯定理在统计学、机器学习、决策理论等领域有广泛应用， 尤其是在处理不确定性和主观概率方面。
全概率公式
全概率公式定义
全概率公式用于计算一个复杂事件发生的概率，该复杂事件可以分 解为若干个互斥且完备的子事件。
市场调查
在市场调查中，全概率公式可以用于计算某个事件发生的概率，例如消费者购买某产品的概率，可以通过考虑不 同市场细分和购买行为的条件概率来计算。
感谢您的观看
THANKS
概率的乘法性质是指一个事件发生后，另一个事件接着发生的概率等于前一事 件的概率乘以后一事件的概率。
详细描述
如果事件A和事件B有因果关系，即B的发生依赖于A的发生，那么 P(AB)=P(A)P(B)。如果事件A和事件B没有因果关系，那么P(AB)=P(A)P(B)。
条件概率与独立性
总结词
条件概率是指在某个已知条件下，一个事件发生的概率。独立性是指两个事件之 间没有相互影响。
中心极限定理的实例
在投掷骰子实验中，随着投掷次数的增加，出现3.5次朝上的频率 逐渐接近正态分布。
大数定律与中心极限定理的应用
在统计学中的应用01 Nhomakorabea大数定律和中心极限定理是统计学中的基本原理，用于估计样
本均值和方差，以及进行假设检验和置信区间的计算。
在金融领域的应用
02
大数定律和中心极限定理用于金融风险管理和资产定价，例如
方差
方差是随机变量取值与其期望的差的 平方的平均值，表示随机变量取值的 离散程度。
05
大数定律与中心极限定理
揭示频率与概率之间的关系
揭示频率与概率之间的关系一、频率与概率的区别与联系（1）区别：频率是随着试验次数的改变而改变，即频率是随机的，而试验前是不确定的，而概率是一个确定的常数，是客观存在的，与试验次数无关，是随机事件自身的一个属性。
（2）联系：在相同的条件下，随着试验次数的增加，随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，所以可用频率作为概率的近似值，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，概率是频率的近似值。
二、频率与概率应注意的问题①求一个事件的概率的基本方法是做大量的重复试验。
②只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件A 的概率。
③概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值。
④概率反应了随机事件发生的可能性的大小。
⑤概率的值越接近1表明事件发生的可能性越大，反过来值越接近0，则事件发生的可能性越小。
三、典型例题精析例1：某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下所示射击次数n 10 20 50 100 200 500 击中10环次数m8 19 44 93 178 453 击中10环频率n m（1）计算表中击中10环的各个频率；（2）这名射击运动员射击一次，击中10环的概率为多少？分析：（1）逐个将n 、m 值代入公式n m进行计算．（2）观察各频率能否在一常数附近摆动，用多次试验的频率估测概率。
解：（1）射击次数n 10 20 50 100 200 500 击中10环次数m8194493178453击中10环频率n m0.8 0.95 0.88 0.93 0.89 0.906 （2）这名射击运动员射击一次，击中10环的概率约是0.9．点评：利用概率的统计定义求事件的概率是求一个事件概率的基本方法，通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，就用事件发生的频率趋近的常数作为事件的概率。
例2：为迎接2008年奥运会，某工厂大批生产奥运会吉祥物----福娃，该工厂对甲乙两职工生产福娃进行了测试，然后进行了统计，下表是统计结果。
高中数学频率与概率
况出现了8次,若用A表示“正面朝上”这一事件,则A
的( )
A.概率为 4
5
C.频率为8
B.频率为 4
5
D.概率接近于8
2.下面是某批乒乓球质量检查结果表:
抽取球数 50 优等品数 45
优等品出 现的频率
100 200 500 1000 2000 92 194 470 954 1902
(1)在上表中填上优等品出现的频率. (2)中常常用随机事件发生的概率来估 计某个生物种群中个别生物种类的数量、某批次的产 品中不合格产品的数量等.
【习练·破】某中学为了了解高中部学生的某项行为 规范的养成情况,在校门口按系统抽样的方法:每2分钟 随机抽取一名学生,登记佩戴胸卡的学生的名字.结 果,150名学生中有60名佩戴胸卡.第二次检查,调查了 高中部的所有学生,有500名学生佩戴胸卡.据此估计该 中学高中部一共有多少名学生.
C.任意取定10 000个标准班,其中大约9 700个班A发生 D.随着抽取的标准班数n不断增大,A发生的频率逐渐稳 定在0.97,在它附近摆动
【思维·引】 抓住事件的概率是在大量试验基础上得到,它只反映事 件发生的可能性大小来判断.
【解析】1.选D.一对夫妇生两小孩可能是(男,男),(男, 女),(女,男),(女,女),所以A不正确;中奖概率为0.2是 说中奖的可能性为0.2,当摸5张票时,可能都中奖,也可 能中一张、两张、三张、四张,或者都不中奖,所以B不 正确;10张票中有1张奖票,10人去摸,每人摸到的可能 性是相同的,即无论谁先摸,摸到奖票的概率都是0.1, 所以C不正确,D正确.
提示:概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大 小,概率意义下的“可能性”是大量随机事件的客观规 律,与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的.
频率与概率(优秀)
停在红色区域的概率吗？
对于这些问题，既
可以通过分析用计算的
方法预测概率，也可以
通过重复试验用频率来
估计概率。
1
能，可以通过理论分析，预言概率为 2
练习 （课本147页练习）用力旋转如图的转盘甲和转盘
乙的指针，求两个指针都停在红色区域的概率.
【解】
转盘甲
转盘乙
在转盘甲中，P（指针停在红色区域）=
在转盘乙中，P（指针停在红色区域）=
P（至少一个点. 数为2）= 36
例：抛掷一枚普通的硬币3次．有人说连续掷出三个正面和先掷出
两个正面再掷出一个反面的机会是一样的．你同意吗？
分析：
解：Βιβλιοθήκη 对于第1从上至下每一条路径就是一
种可能的开结始果,而且每种结
果发生的概率相等.
次抛掷，可能
出现的结果是 第一次
正
反
正面或反面；
对于第2、3次
抛掷来说也是 第二次
（2）你能用理论分析求出“出现两个正面”的概率吗？
正正 反正 正反 反反
出现均等机会结果有
___4____种，“出现两个 正面”结果有___1___种.
这种方法称为通过列 表来求概率
P（出现两个正面）=
试验得到的频率与理论分析计 算出的概率有何关系？
列表法：事件包含两步时，用表格列出事件所有可能出现的结果
前者停为在红3 色，区后域者的只概有率1和。停在蓝色区域的概率不同，
4
4
请你和同学一起做重复试验，并将结果填入表25.2.4， 两个转盘指针停在蓝色区域的频数、频率统计表
请你和同学一起做重复试验，在图25.2.3中用不同颜 色的笔分别画出相应的两天折线。
观察两个转盘，我们可以发现：转盘甲中的蓝 色区域所对的圆心角为900，说明它占整个转盘的 四分之一；转盘乙尽管大一些，但蓝色区域所对的 圆心角仍为900，说明它还是占整个转盘的四分之 一。你能预测指针停在蓝色区域的概率吗？
3.1.3频率与概率
班级：___ 姓名：________一、新知导学1．概率的定义：一般地，在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率nm，当n 很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n 的增大，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A 的______，记作____。
从概率的定义中，我们可以看出随机事件A 发生的频数m 满足0m n ≤≤，所以事件A 发生的概率P(A)满足___________。
当A 是必然事件时，P(A)=1，当A 是不可能事件时，P(A)=0。
一般来说，随机事件A 在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量重复试验中，随着试验次数的增加，事件A 发生的频率会逐渐稳定在区间 中的某个常数上，这个常数可以用来度量事件A 发生的可能性的大小，定义为概率，概率的这种定义叫做概率的统计定义.所以概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.概率越大，事件A 发生的频数就越大，此事件发生的可能性就越大，反之，概率越小，事件A 发生的频数就越小，此事件发生的可能性就越小. 但随机事件的概率大，并不表明它在每一次试验中一定能发生。
概率的大小只能说明随机事件在一次试验中发生的可能性的大小。
二、课前自测1.事件A 的概率满足( )A. P(A)=0B. P(A)=1C.1)(0≤≤A PD. P(A)＜0或P(A)＞1 2.下列说法：(1)频率是反映事件的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小 (2)做n 次随机试验，事件A 发生m 次，则事件A 发生的频率nm就是事件的概率 (3)频率是不能脱离n 次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值 (4)频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 其中正确的是_________________。
3.掷一颗骰子，骰子落地时向上的数是3的倍数的概率是_______。
4.某人将一枚硬币边掷了10次，下面朝上的情形出现了6次，若用A 表示下面朝上这一事件，则A 的( ) A 概率为35 B 频率为35C 概率为6D 概率接近0.6。
频率与概率的应用
天气预报的准确率受到多种因素的影响，如数据来源、模型精度、气象条 件等。
彩票中奖概率
01
彩票中奖概率是频率与概率在实际生活中最直接的应
用之一。
02
每一种彩票游戏都有一定的中奖规则和概率，彩民可
以根据这些规则和概率来计算出中奖的可能性。
遗传变异研究
通过频率与概率的方法，可以对遗传变异进行研究，了解基因突变 的频率和遗传规律。
生态平衡研究
在生态平衡研究中，频率与概率的方法可以帮助科学家了解物种分布 和种群数量的变化规律。
04
频率与概率在金融
投资中的应用
股票市场预测
利用历史数据和统计分析方法， 预测股票价格的走势和波动。
通过分析股票市场的交易量和交 易数据，判断市场的趋势和热点。
利用概率论和统计学方法，评估 股票市场的风险和回报，为投资
决策提供依据。
期货交易策略
根据期货市场的价格波动和交 易量，制定买入或卖出策略。
利用概率论和统计分析方法， 评估期货市场的风险和机会， 制定合理的止损和止盈点。
根据市场走势和基本面分析， 制定长线或短线交易策略，把 握市场机会。源自风险评估与决策判决依据
法院在判决时，可能会 考虑犯罪行为发生的概 率以及类似案件的判决 结果，以做出合理的裁 决。
风险评估
在涉及风险决策的案件 中，频率与概率可以帮 助评估被告人的犯罪可 能性以及未来犯罪的风 险。
社会调查与民意测验
样本代表性
在民意测验和调查中，频率与概率用于评估样本 的代表性和可靠性，以推断总体特征和趋势。
化学反应
反应速率测定
概率和频率有什么区别和联系
概率和频率有什么区别和联系
概率是一个稳定的数值，也就是某件事发生或不发生的概率是多少。
频率是在一定数量的某件事情上面，发生的数与总数的比值。
假设事件A的概率是0.3，在100次中发生28次，那么它的频率是一百分之二十八=0.28。
频率是有限次数的试验所得的结果，概率是频数无限大时对应的频率。
1、他们都是统计系统各元件发生的可能性大小。
2、频率一般是大概统计数据经验值，概率是系统固有的准确值。
3、频率是近似值，概率是准确值。
4、频率值一般容易得到，所以一般用来代替概率。
频率与概率的区别
事件的频率与概率是度量事件出现可能性大小的两个统计特征数。
频率是个试验值，或使用时的统计值，具有随机性，可能取多个数值。
因此，只能近似地反映事件出现可能性的大小。
概率是个理论值，是由事件的本质所决定的，只能取唯一值，它能精确地反映事件出现可能性的大小。
虽然概率能精确反映事件出现可能性的大小，但它通过大量试验才能得到，
这在实际工作中往往是难以做到的。
所以，从应用角度来看，频率比概率更有用，它可以从所积累的比较多的统计资料中得到。
需要指出的是用频率代替概率，并不否认概率能更精确、更全面地反映事件出现可能性的大小，只是由于在目前的条件下，取得概率比取得频率更为困难。
所以，我们才用频率代替概率，以概率的计算方法来计算频率。
概率论与数理统计- 频率与概率
概率的有限可加性
证明 令 An1 An 2 ,
Ai Aj , i j , i , j 1,2,.
由概率的可列可加性得
k 1
P ( A1 A2 An ) P ( Ak ) P ( Ak ) P ( Ak ) 0
A AB
B
且 A ( B AB) ,
故 P ( A B ) P ( A) P ( B AB).
又由性质 3 得
P ( B AB ) P ( B ) P ( AB ),
因此得
P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB).
推广 三个事件和的情况
P( AB) 0.5，求P( AB C )
解：P( A C ) P( A) P( AC ) P( A) P(C ) （ AC C） 故：P(C ) P( A) P( A C ) 0.7 0.4 0.3
由此：P( AB C ) P( AB) P( ABC ) P( AB) P(C ) ( ABC C ) 0.5 0.3 0.2
解 P A B C
P A P B P C P AB P AC P BC P ABC
1 1 5 3 0 . 8 4 8
例3 某工厂职工可以订阅两种读物—报纸和杂志， 其中订阅报纸的概率为0.7，订阅杂志的概率为0.2, 两种都订阅的概率为0.1. 求
0.4 0.6
实验者 德 摩根 蒲丰 K 皮尔逊 K 皮尔逊
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击中靶心次数（m）
10
9
20
19 0.95
50
44
100 200
91 178
500
451
击中靶心频率（ m） 0.9 n
0.88 0.91
0.88 0.90
（1）计算表中击中靶心的各个频率；
（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？ 0.9 问：该射击手击中靶心的概率为90%，那他再射 击10次，一定会命中9次吗？ 不一定,射击10次，相当于10次试验，试验具有随 机性，命中9次是随机事件。
n = 50
f
0.4 0.6 0.2
nH
nH
2
f
n = 500 f nH
0.502 0.498
1 2 3 4 5 6 7
2 3 1 5 1 2 4
0.44 251 22 1 25 0.50 249 在 处波动较大 21 0.42
在 处波动较小 24 0.48 2 0.2
256 0.512 随1.0 n的增大 , 频率 f 呈现出稳定性 247 0.494 25 0.50 1
随机事件在一次试验中是否发生虽然不 能事先确定，但是在大量重复试验的情况 下，它的发生是否会呈现出一定的规律性 呢？
大家一起来掷 硬币
每人抛掷硬币10次， 计算出正面向上的频 率。
实验 有人将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各
做7 遍, 观察正面出现的次数及频率.
试验 序号
n=5
巩固练习
1、随机事件在n次试验中发生了m次，则（ C ） (A) 0＜m＜n (B) 0＜n＜m (C) 0≤m≤n (D) 0≤n≤m
2．下列结论正确的是 （ B）
A.对于事件的概率,必有0<P(A)<1; B.不可能事件的频率为0; C.随机事件的频率大于0; D.事件A的概率P(A)=0.9999，则件A是必然事件;
3、 了解 概率的意义与性质
（1）概率是反映事件发生的可能性大小的量；(意义） （2）概率的性质：必然事件的概率是1，不可能事件 的概率是0。事件A的概率是0≦P(A) ≦1 。
4、 了解 事件概率的求取过程(大量试验归纳总结)
作业 课本126页1、2题
思考讨论
如果某种彩票的中奖概率为1/1000， 那么买1000张这种彩票一定能中奖吗？
解：买1000张彩票相当于1000次试验，对于一次 试验来说，其结果是随机的，即有可能中奖，也 有可能不中奖，但这种随机性又呈现一定的规律 性，“彩票的中奖概率为1/1000是指当试验次数 相当大，即随着购买彩票的张数的增加，大约有 1/1000的彩票中奖。因此，买1000张彩票，即做 1000次试验，其结果仍是随机的，可能一次也没 有中奖，也可能中奖一次、二次、甚至多次。
频率m/n
1
德 . 摩根
蒲 丰
皮尔逊
皮尔逊
维
尼
0.5
抛掷次数n
2048 4040 12000 24000 30000 72088
一、事件A的概率：
率
一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频
m 总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这 n
个常数叫做A事件的概率，记作P(A).
注意：
（1） 只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫 做事件A的概率；
P=1-0.9991000≈0.632
课堂小结
1. 理解 概率 的定义 , 2、弄清概率与频率的关系，会用频率求出概率。
（频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值。频率具有 随机性不能事先预测，概率是客观存在固定不变的，与试 验次数无关；）
一般地，在大量重复进行同一试验时，事件 A发生的频率 总是接近于某个常数，在它附 近摆动，这时就把这个常数叫做A事件的概 率，记作P(A).
区别： (1)频率本身是随机变化的，具有随机性，
试验前不能确定。
(2)概率是一个确定的数，客观存在的，与 试验次数无关。
联系: 频率是概率的近似值，概率是频率的稳
定值。(由频率估算出概率)
知识运用：
例1. 为了确定某类种子的发芽率，从一大 批种子中抽出若干批作发芽试验，其结果 如下：
种子粒数 发芽粒数 发芽率 25 24 0.96 70 60 130 116 700 639 2000 1806 3000 2713
5. 某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2 次中10环，有3次中9环，有4次中8环，有1 次未中靶，则此人中靶的概率大约是 0.9 ________ ，假设此人射击1次，试问中靶的 0.9 概率约为______, 中10环的概率约为 0.2 _________.
6．某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
0.857 0.892 0.913 0.903 0.904
从以上的数据可以看出，这类种子的发 芽率约为0.9.
例2：对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测 的数据如下：
抽取台数(n) 50 100 200 300 500 1000
优等品数(m)
40
92
192
285
478
954
m 优等品频率（ ）
0.8
（2）概率是反映事件发生的可能性大小的量； (意义） （3）概率的性质：必然事件的概率是1，不可能事件的概 率是0。事件A的概率是0≤P(A) ≤ 1 。
问题探究
思考：事件A发生的频率fn(A)是不是不变的？ 事件A发生的概率P(A)是不是不变的？它们 之间有什么区别和联系？
二、频率与概率的联系与区别
0.4 0.8
18 27
0.36
0.502 251 262 0.524 波动最小
0.54
258
0.516
总结归纳
历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复实验，结果如下表所示 抛掷次数（n) 正面朝上次(m) 频率(m/n)
2048 1061 0.518 4040 2048 0.506 12000 6019 0.501 24000 12012 0.5005 30000 14984 0.4996
频率的定义是什么？
频率：在n次重复试验, 事件A发生了m次（0≦m≦n） m叫做事件A的频数, 事件A的频数在实验的总次数中的 m ，叫做事件A出现的频率。 比例
n
m （1）记作： fn ( A) = n 0 f n ( A) 1 （2）频率的范围：
理解:
（3）频率是随机的，在试验前不确定的，就算 做同样次数的试验频率都可能不同。
3、抛掷100枚质地均匀的硬币，有下列一些说法:
①全部出现正面向上是不可能事件；
②至少有1枚出现正面向上是必然事件；
③出现50枚正面向上50枚正面向下是随机事件，
以上说法中正确说法的个数为 （ B）
A．0个 B.1个 C.2个 D.3个 4、下列说法正确的是 ( C) A.任何事件的概率总是在（0，1）之间 B.频率是客观存在的，与试验次数无关 C.随着试验次数的增加，频率一般会非常接近概率 D.概率是随机的，在试验前不能确定
0.92
0.96 0.95 0.956
0.954
n
（1）计算表中优等品的各个频率；
（2）该厂生产的电视机优等品的概率是多少？
0.9
例3：某地气象局预报说，明天本地降水概率
为70%。你认为下面两个解释中哪一个能代表 气象局的观点？ （1）明天本地有70%的区域下雨，30%的区域 不下雨； （2）明天本地下雨的机会是70%。