一元二次方程根的差别式

典型例题一

例 求证：如果关于x 的方程922+=+m x x 没有实数根，那么，关于y 的方程0522=+-+m my y 一定有两个不相等的实数根.

分析：由已知，可根据一元二次方程的根的判别式证之.

证明 设方程922+=+m x x 即0922=--+m x x 的根的判别式为1∆，方程

0522=+-+m my y 的根的判别式为2∆，则

.

36)4( 208)25(4.

440)9(42222221-+=-+=--=∆+=++=∆m m m m m m m

∵方程922+=+m x x 无实数根，

01<∆∴，即0404<+m ，解得：.10-

当10-

36)4(2>+∴m ，即036)4(2>-+m .

故方程0522=+-+m my y 有两个不相等的实数根.

说明：上述证明中，判定02>∆用到了01<∆所得的结论，即10-

典型例题二

例 不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况.

（1）0)1(422=-+-k kx x ；

（2）)0(02≠=+a bx ax

； （3）)0(02≠=+a c ax .

分析：运用根的判别式判定根的情况时，要首先把方程变形为一元二次方程的一般形式，然后从求出的判别式的值来判定根的判别式的符号，尤其是当方程系数中含有字母时，一般利用配方法将“∆”化成完全平方式或完全平方式加上（或减去）一个常数，再根据完全平方式的非负性判断“∆”的符号，从而判定方程的根的情况，有时还需要对字母进行讨论.这是不解方程判别根的情况的关键.

解：（1）),1(4,2,1-=-==k c k b a

)1(414)2(422-⋅⋅--=-=∆∴k k ac b

)2(4)44(416

16422

2≥-=+-=+-=k k k k k ∴方程有两个实数根.

（2）0≠a ，

∴方程02=+bx ax 是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项，将常数项看作零.

∴2204b a b =⋅-=∆.

∴不论b 取任何实数，2b 均为非负数，

02≥=∆b 恒成立.

∴方程有两个实数根.

（3）0≠a ，

∴方程02=+c ax 是缺少一次项的不完全的一元二次方程，它的一次项系数0=b . ac a 40402-=⋅-=∆，

∴需要讨论a 、c 的符号，才能确定∆的符号.

当0=c 时，0=∆，方程有两个相等的实数根；

当a 、c 异号时，0>∆，方程有两个不相等的实数根；

当a 、c 同号时，0<∆，方程没有实数根.

说明：运用一元二次方程的根的判别式时，必须先把方程化为一般形式，正确地确定各项系数，当方程系数有字母时，要注意对字母取值情况的讨论.