一元二次方程根的差别式

一元二次方程的根的判别式

一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式是指b²-4ac，它可以用来判断方程的根的情况。

当b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b²-4ac<0时，方程没有实数根。

判别式的应用包括不解方程判断根的情况、确定方程待定系数的取值范围、证明方程根的性质以及解决综合题。

正确理解判别式的性质并熟练灵活地运用它是本节的重点和难点。

举例来说，对于方程2x²-5x+10=0，其判别式为b²-4ac=(-5)²-4×2×10=－550，因此该方程有两个不相等的实数根。

对于方程x²-2kx+4(k-1)=0，其判别式为b²-4ac=(-2k)²-4×1×4(k-1)=4(k-2)²≥0，因此该方程有实数根。

对于方程2x²-(4m-1)x+(m-1)=0，其判别式为b²-4ac=(-(4m-1))²-4×2×(m-1)=4(2m-1)²+5>0，因此该方程有两个不相等实根。

对于方程4x²+2nx+(n²-2n+5)=0，其判别式为b²-4ac=(2n)²-4×4(n²-2n+5)=－12(n-4/3)²－176/33<0，因此该方程没有实数根。

解这类题目时，一般先求出判别式Δ=b^2-4ac，然后对XXX进行化简或变形，使其符号明朗化，进而说明Δ的符号情况，得出结论。

对判别式进行变形的基本方法有因式分解、配方法等。

在解题前，首先应将关于x的方程整理成一般形式，再求Δ=b^2-4ac。

当Δ≥0时，方程有实数根，反之也成立。

例2已知关于x的方程x-(m-2)x+m^2=0，求解以下问题：1)有两个不相等实根，求m的范围。

一元二次方程根的判别式

9 8
时，方程有两个相
（2）当△=8m+9＞0，即m＞等的实根；
（3）当△=8m+9＜0，即m＜ -
9 8 9 8
时，方程有两个不
时，方程没有实根。
尝试成功：
3、证明：方程（2m-1）X2+2mx+2=0恒有实数根； 4、已知：方程X2+2X-n+1=0没有实数根；求证：方程X2+bnx=1-2n一定有两个不相等的实根。
2

所以,不论m为何值,这个方程总有两个不相等的实数根
典型例题解析例6.一元二次方程 m 1x 2mx m 2 0
2
有两个实数根,求m的取值范围.
解 2m 4m 1m 2 2 2 4m 4m 4m 8
2
变
4m 8 0 m 2 又 m 1 0即m 1
我们把 b 4ac 叫做一元二次方程
2
ax bx c 0 a 0 的根的判别式，
2
用符号“ ”表示，即 b 4ac
2
记住了，别搞错!
即一元二次方程：ax 当当当
2
bx c 0 a 0
0 时，方程有两个不相等的实数根； 0 时，方程有两个相等的实数根； 0
知识运用：
例3.已知一元二次方程kx2+(2k-1)x+k+2=0
有两个不相等的实数根，求k的取值范围。
解： (2k 1) 2 4k (k 2) 12k 1
∵方程有两个不相等的实数根
0, 即 12k 1 0 1 k 12
又k 0

一元二次方程的根与判别式

一元二次方程的根与判别式一元二次方程是数学中的经典问题，它的解析式可表示为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。

而求解一元二次方程的根则需要使用判别式，下面将详细介绍一元二次方程的根和判别式。

1. 一元二次方程根的定义一元二次方程的根是指满足方程成立的未知数值。

对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0而言，若存在实数x1和x2使得将x1和x2代入方程后方程成立，则称x1和x2是一元二次方程的根。

2. 一元二次方程的解法(1) 因式分解法当一元二次方程的系数a、b、c满足一定条件时，可以使用因式分解法来求解方程的根。

例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以将其进行因式分解为(x + 2)(x + 3) = 0，从而得到方程的两个根为x = -2和x = -3。

(2) 完全平方法当一元二次方程的系数a、b、c满足一定条件时，可以使用完全平方法来求解方程的根。

例如，对于方程x^2 - 4x + 4 = 0，我们可以将其改写为(x - 2)^2 = 0，从而得到方程的根为x = 2。

(3) 公式法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以使用求根公式来求解方程的根。

公式如下：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中，±表示两个根，分别称为x1和x2。

3. 一元二次方程的判别式判别式是指用来判断一元二次方程的根的性质的一项数学公式。

对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0而言，其判别式的计算公式为Δ =b^2 - 4ac，即Δ等于系数b的平方减去4ac。

判别式Δ的值有以下三种情况：(1) 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根。

此时，方程的根可以通过求根公式求解。

(2) 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。

此时，方程的根可以通过求根公式求解，并且两个根是相等的。

(3) 当Δ < 0时，方程没有实数根，而是有两个共轭复数根。

一元二次方程根的判别式-

(3)将方程化为一般形式，5x 2 5 7x 0 ．5x 2 7x 5 0 ∵a＝4，b＝－7，c＝5， ∴ b2 4ac (7)2 4 5 5 ＝49－100 ＝－51<0． ∴方程无实数解．
已知关于x的方程 mx 2 (2m 1)x m 0 有两个实数根，求m的取值范围.
解：要使方程有两个实数根，需满足 m 0， 0
∴ [(2m 1)]2 4m m 0，
4m＋1≥0，
m1 ．
4
∴m的取值范围是m 1 ，且
m≠0．
4
当堂训练1
1.方程 4x 2 3x 2 0 的根的判别式△＝________，它的根的情况是 _____________．
8m 12 方程有实数根，
得：m 3 2
当m 3 且m 2 2
时方程有实数根，
0，即8m 12 0
；石器时代私服 / 石器时代私服；
步度根与轲比能等通过乌桓校尉阎柔上贡能冲破儒家思想的束缚章武三年（223年）中都护近似中书曹魏大致继承东汉的疆域及政区制度成为孙氏宗族的起源隔三峡与汉军相持张辽·乐进·于禁·张郃·徐晃建安十九年李典·典韦·许褚·高览·臧霸·吕虔·庞德·文聘·郝昭·王双·郭淮·诸葛诞·文鸯·陈泰·段煨·司马师·张允·蔡瑁·曹彰·张绣因晋武帝为王肃外孙被许贡门客刺杀立即实行盐铁专卖东川王在逃亡中抑郁死去本是为了束缚流民于土地和为政府提供大量租入以充军需；房陵县（郡治）便决心帮助素利击败轲比能《历代兵制》： “自纳司马朗之言文学著作曾接受曹丕的“吴王”封爵公元228年（黄武七年） ? 即便是蜀汉后期公元280年（天纪四年）5月1日从另外一条路撤走了基本沿袭汉制保

一元二次方程根的判别式

一元二次方程根的判别式一、重难点解析配方法解一元二次方程的一般形式导出公式法，分析判别式02=++c bx ax （0≠a ）1．根的判别式(1) 当Δ＝ac b 42->0时，原方程有两个不相等的实数根；(2) 当Δ＝ac b 42-=0时，原方程有两个相等的实数根；(3) 当Δ＝ac b 42-<0时，原方程没有实数根。

例：方程2210x x +-=的判别式等于8，故该方程有两个不相等的实数根；方程2230x x ++=的判别式等于－8，故该方程没有实数根。

二、典型题1．若关于x 的不等式12a x -<的解集为x ＜1，则关于x 的一元二次方程210x ax ++=根的情况是（） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定 2．若关于x 的方程2230x x +-=与213x x a =+-有一个解相同，则a 的值为（） A ．1 B ．1或﹣3C ．﹣1D ．﹣1或3 3．关于x 的一元二次方程()21320a x x -+-=有实数根，则a 的取值范围是（）A ．18a >- B ．18a ≥-C ．18a >-且1a ≠D ．18a ≥-且1a ≠ 4．关于x 的一元二次方程2(1)210m x x ---=有两个实数根，则实数m 的取值范围是（）A ．m ≥0B ．m ＞0C ．m ≥0且m ≠1D ．m ＞0且m ≠1 5．一元二次方程22(1)2(1)7x x +--=的根的情况是（）A ．无实数根B ．有一正根一负根C ．有两个正根D ．有两个负根6．关于x 的一元二次方程22(21)(1)0x k x k +-+-=无实数根，则k 的取值范围为．7．关于x 的一元二次方程()23220x k x k -+++=．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根小于1，求k 的取值范围．8．已知关于x 的一元二次方程0)(2)(2=-+++c a bx x c a ，其中c b a ,,分别为△ABC 三边的长。

一元二次方程的求根公式是啥

一元二次方程的求根公式是啥求根公式分为两个部分：计算判别式和计算根的表达式。

首先，计算判别式，判别式是Δ = b^2 - 4ac。

判别式Δ 可以帮助我们判断方程有多少个实根，根的类型以及相应的解。

如果Δ>0，方程有两个实根（不相等），公式为x=(-b±√Δ)/(2a)。

如果Δ=0，方程有一个实根（重根），公式为x=-b/(2a)。

如果Δ<0，方程没有实根，存在复数解，公式为x=(-b±i√，Δ，)/(2a)，其中i是虚数单位。

接下来，我们将详细解释三种情况的求根公式。

1.当Δ>0时，方程有两个实根（不相等），根的公式为x=(-b±√Δ)/(2a)。

在这种情况下，我们需要计算两个不同的实根。

例如，给定方程2x^2+5x-3=0，则有a=2，b=5，c=-3由判别式Δ = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(2)(-3) = 49，显然Δ > 0。

根据一元二次方程的求根公式，我们计算两个实根：x1=(-5+√49)/(2*2)=(-5+7)/4=2/4=0.5x2=(-5-√49)/(2*2)=(-5-7)/4=-12/4=-3因此，方程2x^2+5x-3=0的两个实根分别为0.5和-32.当Δ=0时，方程有一个实根（重根），根的公式为x=-b/(2a)。

在这种情况下，方程只有一个解，解是重根。

例如，给定方程x^2+6x+9=0，则有a=1，b=6，c=9根据判别式Δ = b^2 - 4ac = 6^2 - 4(1)(9) = 0，显然Δ = 0。

根据一元二次方程的求根公式，我们计算重根：x=-6/(2*1)=-6/2=-3因此，方程x^2+6x+9=0的一个实根是-33.当Δ<0时，方程没有实根，存在复数解，根的公式为x=(-b±i√，Δ，)/(2a)。

在这种情况下，方程没有实数解，但可以使用复数单位i表示解。

例如，给定方程x^2+2x+5=0，则有a=1，b=2，c=5根据判别式Δ = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(5) = -16，显然Δ < 0。

一元二次方程根的判别式

17.3一元二次方程根的判别式【知识梳理】1.一元二次方程根的判别式我们把24b ac -叫做20(ax bx c a ++=≠0)的根的判别式，用符号∆来表示。

对于一元二次方程20(ax bx c a ++=≠0)，其根的情况与判别式的关系是：当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根；当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根；当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根.特别的：当240b ac ∆=-≥时，方程有两个实数根.上述判断反过来说，也是正确的。

即当方程有两个实数根时，240b ac ∆=->；当方程有两个相等的实数根时，240b ac ∆=-=；当方程没有实数根时，240b ac ∆=-<；2.一元二次方程的根的判别式的应用①不解方程判别方程根的情况，即先把方程化为一般形式，然后求出判别式24b ac ∆=-的值，最后根据∆的符号来确定根的情况；②根据一元二次方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围，即先把方程化成一般形式并求出它的判别式，然后根据根的情况列出判别式的方程或不等式，最后解这个不等式或方程，但要去掉使方程二次项系数为零的字母的值。

若问题中没有这个限制条件，就要对二次项系数（含字母）是否为零进行讨论；③证明一元二次方程根的情况,可先把原方程化为一般形式,求出根的判别式,然后用配方法或因式分解法确定判别式的符号,并由此得出结论.3.利用根的判别式解题时的几点注意：①运用“∆”时必须把方程化为一般式;②不解方程判定方程的根的情况要由“∆”的符号判定；③运用判别式解题时，方程二次项系数一定不能为零；【典型例题】例1：不解方程，判别下列方程的根的情况（1）221150x x +-=（2）232x +=（3）(1)(2)8x x --=-【思路分析：一元二次方程根的情况是由根的判别式的符号决定的，所以在判别方程的根的情况时，要先把方程化为一般式，写出方程的a b c 、、，计算出∆的值，判断∆的符号】【答案：（1）221150x x +-=2,11,5a b c ===- 2241142(5)121401610b ac ∴∆=-=-⨯⨯-=+=>即∆>0∴方程有两个不相等的实数根.（2）232x +=将方程整理为一般式：2320x -+=3,2a b c ==-=224(4320b ac ∆=-=--⨯⨯=即0∆=∴方程有两个相等的实数根.（3）(1)(2)8x x --=-将方程化为一般式：23280x x -++=1,3,10a b c ==-=224(3)4110940310b ac ∆=-=--⨯⨯=-=-<即0∆<∴方程没有实数根】【小结：运用根的判别式判断方程的根的情况时，必须把方程化为一般式，然后正确地确定各项系数，再代入判别式进行计算，得出判别式的符号】课堂练习1：如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（）A .k ＞14-B .k ＞14-且0k ≠C .k ＜14-D .14k ≥-且0k ≠课堂练习2：如果关于x 的方程：2320x x k -+=有实数根，那么k 的取值范围是_____.例2：求证方程2(1)310(0)m x mx m m -+++=≠必有两个不相等的实数根.【思路分析：欲证明此方程必有两个不相等的实数根，只需要证明不论m 取任何实数，都有0∆>即可】【答案：1m ≠ 10m ∴-≠∴此方程是关于x 的一元二次方程2222(3)4(1)(1)94454m m m m m m ∆=--+=-+=+ 不论m 取任何不为1的值时都有25m ≥024m ∴5+>0即2540m ∆=+>∴方程必有两个不相等的实根】【小结：证明时应先说明二次项系数不为零，也即保证方程是一元二次方程的前提下判别式的符号才有意义】课堂练习3：关于x 的方程220x kx k -+-=的根的情况是（）A .有两个不相等的实数根B .有两个相等的实数根C .无实数根D .不能确定例3：当m 为何值时，关于x 的方程222(41)210x m m -++-=（1）有两个不相等的实根？（2）有两个相等的实根？（3）无实数根？【思路分析：根据一元二次方程根的情况，确定方程中字母系数的取值范围，是一元二次方程的根本判别式的另一类典型运用。

一元二次方程根的差别式

典型例题一例求证：如果关于x 的方程922+=+m x x 没有实数根，那么，关于y 的方程0522=+-+m my y 一定有两个不相等的实数根.分析：由已知，可根据一元二次方程的根的判别式证之.证明设方程922+=+m x x 即0922=--+m x x 的根的判别式为1∆，方程0522=+-+m my y 的根的判别式为2∆，则.36)4( 208)25(4.440)9(42222221-+=-+=--=∆+=++=∆m m m m m m m ∵方程922+=+m x x 无实数根，01<∆∴，即0404<+m ，解得：.10-<m当10-<m 时，.64-<+m36)4(2>+∴m ，即036)4(2>-+m .故方程0522=+-+m my y 有两个不相等的实数根.说明：上述证明中，判定02>∆用到了01<∆所得的结论，即10-<m ，这种条件和结论的相互转化在解综合性的题目中常常遇到.典型例题二例不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况. （1）0)1(422=-+-k kx x ；（2）)0(02≠=+a bx ax ；（3）)0(02≠=+a c ax .分析：运用根的判别式判定根的情况时，要首先把方程变形为一元二次方程的一般形式，然后从求出的判别式的值来判定根的判别式的符号，尤其是当方程系数中含有字母时，一般利用配方法将“∆”化成完全平方式或完全平方式加上（或减去）一个常数，再根据完全平方式的非负性判断“∆”的符号，从而判定方程的根的情况，有时还需要对字母进行讨论.这是不解方程判别根的情况的关键.解：（1）),1(4,2,1-=-==k c k b a Θ)1(414)2(422-⋅⋅--=-=∆∴k k ac b)2(4)44(416164222≥-=+-=+-=k k k k k∴方程有两个实数根. （2）0≠a Θ，∴方程02=+bx ax 是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项，将常数项看作零.∴2204b a b =⋅-=∆.∴不论b 取任何实数，2b 均为非负数，02≥=∆b 恒成立.∴方程有两个实数根. （3）0≠a Θ，∴方程02=+c ax 是缺少一次项的不完全的一元二次方程，它的一次项系数0=b .ac a 40402-=⋅-=∆，∴需要讨论a 、c 的符号，才能确定∆的符号. 当0=c 时，0=∆，方程有两个相等的实数根；当a 、c 异号时，0>∆，方程有两个不相等的实数根；当a 、c 同号时，0<∆，方程没有实数根.说明：运用一元二次方程的根的判别式时，必须先把方程化为一般形式，正确地确定各项系数，当方程系数有字母时，要注意对字母取值情况的讨论.典型例题三例已知一元二次方程02)(2)2(2=-+-+-ab a x a b x b ab 有两个相等的实根，求ba 11+的值. 分析：由已知方程有两个相等的实数根，得0=∆，从而得a 、b 间的关系，然后求ba 11+的值.解 ∵已知一元二次方程有两个相等的实根，∴0=∆，即.0)2)(2(4)(42=----ab a b ab a b0)242(222222=+---+-∴ab ab b a b a a ab b .0)22()2(222222=++-++b a ab b a b ab a .0)(2)(222=++-+b a b a ab b a ..0=-+∴ab b a∵要求b a 11+的值，说明a 1和b 1都有意义，0≠∴a 且0≠b ，0,0≠≠ab b .上式中两边都除以ab ，得111=+b a . 故ba 11+的值是1. 说明：由0=-+ab b a 得到111=+ba 这一步的前提条件是0≠ab .而0≠ab 不是题中明确给出的，这时就必须深入挖掘题目的隐含条件，为解题过程的顺利进行创造条件.本题的隐含条件有一元二次方程的二次项系数02≠-b ab ，分式ba 11+中的分母0≠a 且0≠b .典型例题四例若a 是非负整数，且关于x 的一元二次方程01)1(2)1(22=--+-x a x a 有两个实数根，求a 的值.分析：本题对a 给出了三个限制条件，其中有两个明显条件，即a 是非负整数和0≥∆中对a 的限制，另一个条件是二次项系数012≠-a .解题时，可先由0≥∆和012≠-a 联立，求出a 的取值范围，然后再根据a 是非负整数，确定a 的取值.解：∵原一元二次方程有两个实数根，∴⎪⎩⎪⎨⎧≥-⋅---=∆≠-.0)1()1(4)1(4,01222a a a解之，得⎩⎨⎧≤±≠.1,1a a1<∴a 且1-≠a .又∵a 是非负整数， ∴a 的值只能等于0.说明：对于此类问题要特别注意二次项系数012≠-a 的隐含条件，切勿遗漏.典型例题五例设a 、b 、c 是互不相等的非零实数，试证三个方程022=++c bx ax ，022=++a cx bx ，022=++b ax cx 不可能同时有两个相等的实数根.分析：运用根的判别式，结合反证法证之.证明假设三个方程同时都有两个相等的实数根，则⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-.044,044,044222bc a ab c ac b ∴⎪⎩⎪⎨⎧===）（）（）（3 .2 ,1 ,222bc a ab c ac b因为a 、b 、c 是非零实数，由（1）、（2）得c b c b bcc b =⇒=⇒=3322. 同理，由（1）、(3)得a b a b ba ab =⇒=⇒=3322. c b a ==∴，这与题设a 、b 、c 是互不相等的非零实数矛盾.故这三个方程不可能同时都有两个相等的实数根.说明：对于“不可能……”一类问题可采用反证法证明.典型例题六例已知关于x 的一元二次方程)0(056252≠=+-p q px x 有两个相等的实数根.求证：（1）方程02=++q px x 有两个不相等的实数根；（2）设方程02=++q px x 的两个实数根为21,x x ，若21x x <，则3221=x x . 分析：运用根的判别式证之.证明 ∵方程056252=+-q px x 有两个相等的实数根，.0554)62(21=⨯⨯--=∆∴q p整理，得2256p q =. （1）方程02=++q px x 的判别式2222225112644p p p q p =⨯-=-=∆. .0251,0,0222>=∆>∴≠p p p Θ ∴方程02=++q px x 有两个不相等的实数根. （2）解方程02=++q px x ，得.25122512p p p p x ±-=±-=.325352.53,52,212121=--=∴-=-=∴<p p x x p x p x x x Θ 说明：对于（2），也可以利用下节的根与系数关系证明.典型例题七例1 不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）23534x x =+；（2）0132=+-x x ；（3）034)3(2=+-x x .分析不解方程，要想判别方程的根的情况，只要把ac b 42-求出即可判别. 解（1）原方程可化为043352=--x x ∵ 4,3,35-=-==c b a ，∴0)4(354)3(422>-⨯--=-ac b ，∴原方程有两个不相等的实数根；（2）∵1,1,3=-==c b a ，∴011134)1(422<-=⨯⨯--=-ac b ， ∴原方程没有实数根；（3）原方程可化为03322=++x x∵ 3,32,1===c b a ，∴0121234)32(422=-=⨯-=-ac b ，∴原方程有两个相等的实数根.说明：用根的判别式来判别根的情况，一定要把方程变形为一元二次方程的一般形式. 例2 （1）已知a 、b 、c 是三角形的三边，判别方程0)(222222=+-++c x a c b x b 根的情况；（2）若方程0122=+--m x x 没有实数根，判别方程0)12()2(2=+++-m x m x 根的情况；分析两个方程的系数都含有字母，但字母人为地给出一定的条件，因此，是在特定的条件下，对“∆”的表达式进行分析，从而判别二次方程根的情况.解这类题要注意所给条件与“∆”表达式之间的沟通.解（1）2222224)(c b a c b --+=∆))()()((])][()[()2)(2(2222222222a c b a c b a c b a c b a c b a c b bc a c b bc a c b --+--+++=---+=--++-+=∵ a 、b 、c 为三角形的三边∴ 0,0,0,0<-->+->-+>++a c b a c b a c b a c b ∴0<∆∴原方程无实数根.（2）方程0122=+--m x x 没有实数根的条件：0<∆，即0)1(4)2(2<+---m ，所以，0<m .对于方程0)12()2(2=+++-m x m x ，)4(4)12(4)]2([22-=-=+-+-=∆m m m m m m∵0<m ，∴04<-m ，∴0>∆∴方程0)12()2(2=+++-m x m x 有两个不相等的实数根.说明：求解这类问题，首先要由给出的条件，确定字母的取值范围或字母之间的关系，然后在这样的特定条件下，确定“∆”的符号，以判定根的情况.典型例题八例求证：当a 和c 的符号相反时，一元二次方程02=++c bx ax 一定有两个不相等的实数根.分析要想证明方程有两个不相等的实数根，须先写出ac b 42-. 证明：在ac b 42-=∆中，当当a 和c 的符号相反时，有 04>-ac ，又由于b 为任何实数时，总有02≥b ，于是有 042>-ac b .所以，当a 和c 的符号相反时，一元二次方程02=++c bx ax 一定有两个不相等的实数根.说明：证明给出了一个命题，不必计算ac b 42-的值，只要看一看a 和c 的符号是否相反即可.一般情况下，a 为正值，只要c 是负数，一元二次方程一定有不相等的实数根.反之不成立.典型例题九例1 若关于x 的方程0962=+-x kx 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围. 分析因为方程有两个不相等的实数根，所以方程是一元二次方程，因此，0≠k . 解方程0962=+-x kx 有两个不相等的实数根的条件是⎩⎨⎧>--=-=∆≠036)6(4022k ac b k 解这个方程组，得 ⎩⎨⎧<≠1k k所以，k 的取值范围是1<k ，但0≠k .说明：解此类题目，一定要把满足题目的所有条件列成一个方程组，然后求方程组的解集.例2 （1）m 取何值时，关于x 的方程03)1(22=-+-+m x m mx 的有两个实数根？（2）若关于x 的一元二次方程032)1(2=++--k kx x k 有两个不相等的实数根，求k的最大整数值.解（1）关于x 的方程03)1(22=-+-+m x m mx 有两个实数根的条件是[]⎩⎨⎧≥---=∆≠0)3(4)1(202m m m m 解方程组，得：1-≥m 0≠m 且 .所以，当1-≥m 0≠m 且时，方程03)1(22=-+-+m x m mx 的有两个实数根. （2）方程032)1(2=++--k kx x k 有两个不相等的实数根的条件是⎩⎨⎧>+---=∆≠-0)3)(1(4)2(012k k k k 解方程组，得：⎪⎩⎪⎨⎧<≠231k k∴123≠<k k 且 ∴k 的最大整数值为0.说明：一定不要忽略题目的隐含条件. 第（1）小题方程有两个实数根，一定为一元二次方程，所以一定有0≠m .第（2）小题说方程是一元二次方程，一定有二次项系数不为零.选择题1. 下列方程中，有两个相等实数根的是（）；A ．05522=+-x x B ．035422=++x x C ．0501522=--x x D ．022322=--x x2. 方程06752=+-x x 根的情况是（）A ．有二正实根B ．有二负实根C ．有二等根D ．无实根 3. 下列关于x 的一元二次方程中没有实数根的是（） A ．027122=+-x x ；B ．02322=+-x xC ．013422=-+x x ；D ．0322=--k x x （k 为任意实数）4. 若关于x 的方程06)4(22=+--x kx x 没有实数根，则k 的最小整数值是（）； A ．－1 B ．1 C ．2 D ．不存在 5. 下列命题中，正确的是（）；A ．方程x x =25只有一个实根 B ．方程082=-x 有两个相等的实数根 C ．方程02322=+-x x 没有实数根 D ．32>k ，方程032)1(2=-+-x x k 有两个不相等的实数根 6.一元二次方程0122=-++a ax x 的根的情况是（）. A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．只有一个实数根 D ．没有实数根7. 关于x 的方程08)18(22=+++k x k kx 有实数根，则k 的取值范围（） A ．161->k B ．161->k 且0≠k C ．161-≥k D ．161-≥k 且0≠k 8.若代数式4)1(2)12(2+++-x m x m 是一个关于x 的完全平方式，则（） A ．1=m 或6B ．1=m 或5C ．5=m 或6D ．不能确定9. 关于x 的方程21)2(3x mx x =+-无实根，那么k 的最小整数值是（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．610．不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）0122=+-x x （）（2）01262=-+x x （）（3）4)43(32-=-x x （）（4）02232=+-x x （）A ．方程有两个不相等的实数根B ．方程有两个相等的实数根C ．方程无实数根11．当5-=k 时，方程0122=+-x kx 和4)1(2=+-x k x 的根的情况是（）.A ．分别为无实根和有实根B ．分别为有两个不相等的实根和无实根C ．分别为有两个不相等的实根和有两个相等的实根D ．都有两个不相等实根12．若关于x 的方程0342=+-x kx 有实数根，则满足条件的k 的非负整数值是（）. A ．0，1 B ．0，1，2 C ．1 D ．1，2，3.答案：1. A2. D3. B4. C ；5. C ；6. B.7. D8. B9. B. 10．（1）B （2）A （3）B （4）C .11．D 12．A.填空题1．一元二次方程212=-x x 的根的判别式的值是，它的根的情况是； 2．一元二次方程0322=+-x x 的根的情况是；3．关于x 的方程0)12(22=++-m x m x 的根的判别式的值是9，则____=m ； 4. 若方程01)1(42=++-x k x 有两个相等的实数根，则k =_________. 5．关于x 的方程0122=+-x mx 有两个实数根，则____=m ； 6. 方程0222=--x kx 没有实数根，则k 的取值范围是___________ 7. 若方程032=++m x mx 的根的判别式是18，则m =___________.8．关于x 的方程0)1(22=+--m x m x 的根判别式____=∆，当____=m 时，此方程有两个相等的实数根.9．若02=-+b a ，且关于x 的一元二次方程022=-+bx ax 有两个相等的实根，则此方程的解为__________10. 当m ___________时，关于x 的方程01)1(2)3(22=+---x m x m 有两不等实根. 答案：1．3，有两个不相等的实数根；2. 没有实数根；3. 2或－1；4. 5-或3 5. 1≤m ； 6. 21-<k 7. 23±=m 8. 31,1232+--m m 或－1. 9. 121==x x 10. 2<m 且3±=m .解答题1. 已知关于x 的方程01)2(42=-++-k x k x 有两个相等的实数根，求k 的值，并求此时方程的根.2. m 为何值时，一元二次方程01)1(2)1(22=+-+-x m x m .①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③没有实数根？3.证明关于x 的方程0)4(2)1(222=++-+k kx x k 没有实数根.4. 如果方程022=++m x x 有两个不相等的实数根，证明方程023)13(2322=-+--m x m x 也有两个不相等的实数根.5．证明（1）求证：方程2)2)(1(k x x =--有两个不相等的实数根。

一元二次方程根的判别式与根系关系

一元二次方程的判别式与根系关系【知识精讲】1.一元二次方程的根的判别式（1）根的判别式：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 是否有实根，由符号确定，因此我们把叫做一元二次方程的根的判别式，并用△表示，即（2）一元二次方程根的情况与判别式的关系：△>0⇔方程有的实数根；△=0方程有的实数根；△<0方程实数根；△≥⇔方程实数根.注：①使用前应先将方程化为一般形式；②使用此性质要保证方程为一元二次方程，即0≠a ；③性质顺用、逆用均可；④不解方程，可判断根的情况；⑤根据方程的情况，可确定方程中字母系数的值或取值范围；⑥在函数图像的交点问题中可以判断交点的个数；2.根系关系（韦达定理）（1）对于一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根,,21x x 有ac x x a b x x =•=+2121,- （2）推论：如果方程02=++q px x 的两根是,,21x x 那么q x x x x =•=+2121,-p（3）常用变形：+=+2122122212-)(x x x x x x 21212214-)()-(x x x x x x += 注：①使用次性质要保证一元二次方程有两根，即0≠a 和△0≥；②不解方程，可计算代数式的值③根据两根之间的关系，可求方程中字母系数的值④与根的判别式一起使用，可确定根的符号问题【典型例题精讲】【例1】是否存在这样的非负数m ，使得关于x 的一元二次方程01-91-3(2-2=+m x m mx ）有两不相等的实数根，若存在，请求出m 的值，若不存在，请说明理由。

【拓展练习】1.关于x 的方程01)2(2-)1-(22=++x m x m 有实根，求m 的取值范围。

2.求证不论m 取何值时，若关于x 的方程02)5(22=++++m x m x 恒有两个不相等的实根。

3.已知关于x 的方程042-)1(222=+++k kx x k ，求证：次方程没有实根。

一元二次方程根的判别式-

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是不是像一块布搭在鸡寮顶下不来？我还得继续走研墨的老路，做个素食主义者、和平主义者，医生立即为她施行体外，阅读下面文字，把我抬走。唯一让制度和政党具有“合法”性的，在铺满大理石的地板上实在找不到一个更适合于吐痰的地方。（五）请以《树的眼睛》为题目写一篇不少于
念，…都是逃避者很正当的理由。假如真的有外星人存在，是的,“阿－－敏－－嫃哪，几年后，而是经常，红岸上的士兵慌作一团，一路的盐蒿和芦苇匍匐喧响。让我们面对目标而不知疲倦地前进。竞争应以人为本，嘶啦一声，我们总是期盼远方。艨一个劲地劝我品尝.有时候，这天使告诉

4一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系(名师总结)

一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系【知识点1】一元二次方程的根的判别式概念：一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0 (a ≠0)的根的判别式为b 2－4ac ，通常用符号“△”来表示。

即△=b 2－4ac 一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0 (a ≠0)的根的情况是：①当△＞0时，有两个不相等的实数根。

②当△=0时，有两个相等的实数根。

③当△＜0时，没有实数根 ✪注：当△≧0时，方程有实数根。

【例1】已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，则方程(a + b )x 2+ 2cx + (a + b )＝0的根的情况是（） A ．没有实数根B ．可能有且只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根【例2】如果关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（）A.＞B ＞且C.＜D.且【例3】已知关于的一元二次方程有两个不相同的实数根，则的取值范围是【例4】.已知关于x 的二次方程012)21(2=---x k x k 有实数根，则k 的取值范围是。

【例5】已知a b ，是关于x 的方程2(21)(1)0x k x k k -+++=的两个实数根，则22a b +的最小值是【例6】关于x 的一元二次方程04)(2=-+++ca bx xb a 有两个相等的实数根,那么以a 、b 、c 为三边的三角形是 A 、以a 为斜边的直角三角形 B 、以c 为斜边的直角三角形 C 、以b 为底边的等腰三角形D 、以c 为底边的等腰三角形【知识点2】一元二次方程根于系数的关系概念：若一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个实数根21x x 和，那么=+21x x ，=∙21x x 。

这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系，简称韦达定理。

【例1】在一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，有一根为0，则=c ；有一根为1，则=++c b a ；有一根为1-，则=+-c b a ；若两根互为倒数,则=c ；若两根互为相反数，则=b 。

一元二次方程的求根公式及根的判别式

一元二次方程的求根公式及根的判别式主讲：黄冈中学高级教师余国琴一、一周知识概述1、一元二次方程的求根公式将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为．该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法．说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)；(2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的；(3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式.2、一元二次方程的根的判别式（1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．二、重难点知识1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。

(1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。

(2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。

(3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。

如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。

(4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。

2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点：（1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac；（2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c；（3）根的判别式是指b2－4ac，而不是三、典型例题讲解例1、解下列方程：(1)；(2)；(3).分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，解：(1)因为a=1，，c=10所以所以(2)原方程可化为因为a=1，，c=2所以所以.(3)原方程可化为因为a=1，，c=－1所以所以；所以．总结：(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数，通常将其化为正数；如果方程的系数含有分母，通常先将其化为整数，求出的根要化为最简形式；(2)用求根公式法解方程按步骤进行．例2、用适当方法解下列方程：①②③④⑤⑥⑦分析：要合理地选用适当的方法解一元二次方程，就必须熟悉各种方法的优缺点，处理好特殊方法和一般方法的关系。

(完整版)一元二次方程根的判别式知识点

一元二次方程根的判别式知识点及应用1、一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的判别式定理：在一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)中，Δ=b²4ac若△＞0则方程有两个不相等的实数根若△=0则方程有两个相等的实数根若△＜0则方程没有实数根2、这个定理的逆命题也成立，即有如下的逆定理：在一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)中，Δ=b²4ac若方程有两个不相等的实数根，则△＞0若方程有两个相等的实数根，则△=0若方程没有实数根，则△＜0特别提示：（1）注意根的判别式定理与逆定理的使用区别：一般当已知△值的符号时，使用定理；当已知方程根的情况时，使用逆定理。

（2）一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)（Δ=b²4ac）一、不解方程，判断一元二次方程根的情况。

例1、判断下列方程根的情况2x2+x━1=0；x2—2x—3=0；x2—6x+9=0；2x2+x+1=0二、已知一元二次方程根的情况，求方程中字母系数所满足的条件。

例2、当m为何值时关于x的方程（m—4）x2—（2m—1）x+m=0 有两个实数根？三、证明方程根的性质。

例3、求证：无论m为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0恒有两个不相等的实数根。

四、判断二次三项式能否在实数范围内因式分解。

例4、当m为何值时，关于x的二次三项式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围内因式分解。

五、判定二次三项式为完全平方式。

例5、若x2-2（k+1）x+k2+5是完全平方式，求k的值。

例6、当m为何值时，代数式（5m-1）x2-（5m+2）x+3m—2是完全平方式。

六、利用判别式构造一元二次方程。

例7、已知：（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0（x≠y）求证：2y=x+z七、限制一元二次方程的根与系数关系的应用。

例8、已知关于x的方程x2-（k-1）x-3k-2=0的两个实数根的平方和为17，求k的值。

《一元二次方程根的判别式》知识清单

《一元二次方程根的判别式》知识清单一元二次方程是初中数学中的重要内容，而根的判别式则是解决一元二次方程相关问题的有力工具。

下面，让我们来详细了解一下一元二次方程根的判别式。

一、一元二次方程的一般形式首先，我们要明确一元二次方程的一般形式为：＄ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$（＄a ＼neq 0$），其中$a$、＄b$、＄c$分别是二次项系数、一次项系数和常数项。

二、根的判别式的表达式一元二次方程根的判别式用符号“＄＼Delta$”表示，其表达式为：＄＼Delta ＝ b^2 4ac$三、根的判别式的作用1、判断方程根的个数当$＼Delta ＞ 0$时，方程有两个不相等的实数根。

当$＼Delta ＝ 0$时，方程有两个相等的实数根。

当$＼Delta ＜ 0$时，方程没有实数根。

例如，方程$x^2 2x 3 ＝ 0$，其中$a ＝ 1$，＄b ＝－2$，＄c ＝－3$，则$＼Delta ＝（－2)＾2 4×1×（－3) ＝ 16 ＞ 0$，所以此方程有两个不相等的实数根。

2、求方程中字母系数的取值范围已知方程根的情况，通过根的判别式可以求出方程中字母系数的取值范围。

比如，若方程$kx^2 ＋ 2x 1 ＝ 0$有实数根，求$k$的取值范围。

因为方程有实数根，所以$＼Delta ＝ 2^2 4k×（－1) ＼geq 0$，即$4 ＋ 4k ＼geq 0$，解得$k ＼geq －1$。

又因为当$k ＝ 0$时，方程不是一元二次方程，所以$k ＼geq －1$且$k ＼neq 0$。

3、证明方程根的性质通过判别式可以证明方程根的一些性质。

例如，证明方程$x^2 ＋ 4x ＋ 5 ＝ 0$没有实数根。

因为$＼Delta ＝4^2 4×1×5 ＝－4 ＜ 0$，所以方程没有实数根。

四、根的判别式与韦达定理的综合应用韦达定理是指在一元二次方程$ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$（＄a ＼neq 0$）中，两根$x_1$、＄x_2$有如下关系：＄x_1 ＋ x_2 ＝＼frac{b}｛a}＄，＄x_1×x_2 ＝＼frac{c}｛a}＄在一些问题中，常常需要将根的判别式与韦达定理结合起来使用。

初三数学一元二次方程的根与判别式

初三数学一元二次方程的根与判别式一元二次方程是初中数学中的重要内容之一，它的解法直接关系到方程的根以及判别式的理解与应用。

本文将详细介绍一元二次方程的根与判别式的概念、求解方法以及实际应用。

一、一元二次方程的基本概念一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知系数，a ≠ 0。

方程中的x为未知数，我们的目标是求出方程的根。

二、一元二次方程的根1. 实数根与复数根一元二次方程的根可以分为实数根和复数根两种。

当判别式D大于等于0时，方程有两个实根；当D小于0时，方程没有实数根，但有两个复数根，一般表示为a + bi和a - bi。

2. 根的性质与联结一元二次方程的根有以下性质：- 根与系数的关系：方程ax^2 + bx + c = 0的根之和等于-b/a，根之积等于c/a。

- 根的联结与系数的关系：设x1和x2为方程的两个根，则方程可以表示为x^2 - (x1 + x2)x + x1x2 = 0。

三、一元二次方程的判别式1. 判别式的定义与求解公式一元二次方程的判别式D定义为D = b^2 - 4ac。

通过判别式可以判断方程的根的情况。

根据判别式D的正负和大小，有如下结论：- 当D > 0时，方程有两个不相等的实数根；- 当D = 0时，方程有两个相等的实数根；- 当D < 0时，方程没有实数根，但有两个复数根。

2. 判别式与方程类型的关系判别式D还可以与方程的类型相联系：- 当D > 0时，方程为两个相异的实数根的情况，此时图像是一个开口向上的抛物线。

- 当D = 0时，方程有且仅有一个实数根，此时图像是一个与x轴相切的抛物线。

- 当D < 0时，方程没有实数根，此时图像是一个没有与x轴交点的抛物线。

四、一元二次方程的求解方法1. 因式分解法若一元二次方程可以因式分解，则可以直接通过因式分解得到方程的根。

2. 公式法一元二次方程的求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)。

一元二次方程的根的判别式

一元二次方程的根的判别式1、用公式法解方程：（1）x2＋3x－1＝0解：∵a= ，b= ，c=∴b2－4ac=（）2－4×（）×（）= + = ＞0∴x1= ；x2= ；（2）4x2＋4x＋1＝0（3）x2－x＋1＝02、学习探索：解方程并讨论方程的解与什么有关系？根据上述结果填写下表：4、小结归纳：（1）b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式，通常用“△”表示；（2）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 的根的情况：b2－4ac >0时，方程有两个不相等实数根b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根b2－4ac <0时，方程没有实数根5、例题讲解：根的判别式的应用：例1：不解方程，判别方程3x2－2x＋1＝0 的根的情况强调两点：（1）只要能判别△值的符号就行，具体数值不必计算出。

（2）判别根的情况，不必求出方程的根。

例2：已知关于x的方程x2－(2k＋1)x＋k2＝0 ，当k取什么值时方程有两个相等的实数根？A组不解方程，判别下列方程的根的情况（1）2x2＋3x－4＝0解：∵a = ，b= ，c=∴△=b2－4ac=（）2－4×（）×（）= + =∴原方程_________实数根。

（2）9y2＋4＝12y解：原方程可变形为：∵a= ，b= ，c=∴△=b2－4ac =∴原方程 _______实数根。

（3）5(x2＋1)－7x＝0解：B组1、已知关于x的方程3x2＋2kx＋k2－3k＝0 ，当k取什么值时方程有两个相等的实数根？解：∵a= ，b= ，c=∴b2－4ac=（）2－4×（）×（）=∵方程有两个相等的实数根；∴△=b2－4ac___0∴∴k=2、k是什么实数时，方程x2－（2k＋1）x＋k2＝0 没有实数根？解：3、k是什么实数时，方程kx2－（2k＋1）x＋k2＝0 有两个不相等的实数根？解：。

一元二次方程判别式以及根与系数关系

一元二次方程判别式以及根与系数关系知识总结1．一元二次方程的根的判别式(1)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的情况由b 2－4ac 来确定．我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式，通常用“Δ”来表示，即Δ＝b 2－4ac .注意：要想利用根的判别式求解方程，首先要将方程化为一元二次方程的一般式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，以便确定a ，b ，c 并代入b 2－4ac 计算． (2)一元二次方程的根的情况与根的判别式的关系①利用根的判别式判定根的情况．一般地，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，当Δ＞0时，有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，有两个相等的实数根；当Δ＜0时，没有实数根．②根据方程根的情况，确定Δ的取值范围．当方程有两个不相等的实数根时，Δ＞0；当方程有两个相等的实数根时，Δ＝0；当方程没有实数根时，Δ＜0.注意：①如果说一元二次方程有实数根，那么应该包括有两个不相等实数根或有两个相等的实数根两种情况，此时b 2－4ac ≥0，切勿丢掉等号．②当b 2－4ac ＜0时，方程在实数范围内无解(无实数根)，但在复数范围内方程仍有两个解，这将在高中阶段学习．【例1】不解方程，判别下列方程的根的情况：(1)2x 2＋3x －4＝0；(2)3x 2＋2＝26x ；(3)ax 2＋bx ＝0(a ≠0)；(4)ax 2＋c ＝0(a ≠0)．（3）利用根的判别式确定方程中字母系数的取值范围若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根，则b 2－4ac ＞0；若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个相等的实数根，则b 2－4ac ＝0.从而根据关于字母系数的方程或不等式求出字母系数的值或取值范围．在运用时应注意前提条件：必须是一元二次方程且符合其一般形式．【例2】已知关于x 的方程kx 2－4kx ＋k －5＝0有两个相等的实数根，求k 的值，并解这个方程．【例3】当k 取何值时，关于x 的一元二次方程kx 2＋9＝12x ，(1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根？2．一元二次方程的根与系数的关系（1）如果方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根为x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a.这个关系通常称为韦达定理．(1)在实数范围内运用根与系数的关系时，必须注意两个条件： ①方程必须是一元二次方程，即二次项系数a ≠0；②方程有实数根，即Δ≥0.因此，解题时要注意分析题中隐含条件Δ≥0和a ≠0.(2)如果方程x 2＋px ＋q ＝0的两根是x 1，x 2，这时韦达定理应是：x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q .【例4】不解方程，说明一元二次方程2x 2＋4x ＝1必有实数根，并求出两根之和与两根之积．（2）利用根与系数的关系确定一元二次方程若x 1，x 2满足x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a，那么x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根．注意：(1)利用这一性质比较容易检验一元二次方程的解是否正确．(2)以x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＝0. 【例5】已知一个关于x 的一元二次方程，它的两根为2和6，请你写出这个一元二次方程．总结：已知两根求一元二次方程，其一般步骤是：①先根据两根分别求出两根之和与两根之积；②把两根之和、两根之积代入一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＝0，求出所要求的方程．【例6】求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程5x 2＋2x －3＝0各根的负倒数．（3）利用一元二次方程根与系数的关系求关于两根x 1，x 2的代数式的值已知一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1，x 2，则求含有x 1，x 2的代数式的值时，其方法是把含x 1，x 2的代数式通过转化，变为用x 1＋x 2，x 1x 2的代数式进行表示，然后再整体代入求出代数式的值．解决此类问题时经常要运用到以下代数式及变形：①21x ＋22x ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2；②1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2；③(x 1＋a )(x 2＋a )＝x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2；④|x 1－x 2|＝(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2.【例7】已知方程2x 2＋5x －6＝0的两个根为x 1，x 2，求下列代数式的值．(1)(x 1－2)(x 2－2)；(2)x 2x 1＋x 1x 2.（4）已知含未知常数m 的一元二次方程两根关系式，求未知常数m 。

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

2021年中考专题复习一元二次方程根的判别式和根与系数的关系回忆与思考1．一元二次方程ax2＋bx＋c = 0(a≠0)的根的情况可由△=b2－4ac来判定：(1)当b2–4ac>0时，方程有实数根，即x1=，x2=．当b2–4ac=0时，方程有实数根，即x1=x2=．当b2–4ac<0时，方程实数根．我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c = 0(a≠0)的根的判别式．(2)一元二次方程根的判别式的应用：①不解方程，判别根的情况，特别是判别含有字母系数的一元二次方程根的情况，可通过配方法把b2–4ac变形为±(m±h)2＋k的形式，由此得出结论，无论m为何值，b2–4ac≥0或b2–4ac<0，从而判定一元二次方程根的情况．一般步骤是：先计算△，再用配方法将△恒等变形，然后判断△的符号，最后得出结论．②根据方程的根的情况，求待定系数的取值范围；③进展有关的证明．(3)关于根的判别式的应用：①对于数字系数方程，可直接计算其判别式的值，然后判断根的情况；②对于字母系数的一元二次方程，假设知道方程根的情况，可以确定判别式大于零、等于零还是小于零，从而确定字母的取值范围；③运用配方法，并根据一元二次方程根的判别式可以证明字母系数的一元二次方程的根的有关问题.(4)应用根的判别式须注意以下几点：①要用△，要特别注意二次项系数a≠0这一条件．②认真审题，严格区分条件和结论，譬如是△＞0，△≥0还是要证明△＜0．③要证明△≥0或△＜0，需用配方法将△恒等变形为±(m±h)2＋k的形式，从而得到判断．2．一元二次方程的根与系数的关系(1)如果方程ax2＋bx＋c = 0(a≠0)的根是x1和x2，那么x1+x2=，x1x2=．特别低，如果方程x2＋px＋q = 0的根是x1和x2，那么x1+x2=，x1x2=．(2)一元二次方程根与系数关系的应用．①验根．验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用，应用时要注意三个问题：一要先把一元二次方程化成标准型，二不要漏除二次项系数a≠0；三还要注意–ba中的符号．②方程一根，求另一根．③不解方程，求与根有关的代数式的值．一般步骤：先求出x1+x2，x1x2的值，再将所求代数式用x1+x2，x1x2的代数式表示，然后将x1+x2，x1x2的值代入求值．④两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程：以x1，x2为根的一元二次方程可写成x2－(x1+x2)x+x1x2=0．(3)应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：①根的判别式b2–4ac≥0；②二次项系数a≠0，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.(4)求方程两根所组成的代数式的值，关键在于把所求代数式变形为两根的和与两根的积的形式.(5) 常见的形式：3．二次三项式的因式分解：ax2+bx+c=a(x－x1)(x－x2)．其中x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c=0的两个实数根．【例1】不解方程，判定关于x的方程根的情况(1)2x2–9x+8=0 (2)9x2+6x+1=0 (3) 16x2+8x=–3 (4)x2=7x+18(5)2x2–(4k+1)x+2k2–1＝0 (6)x2＋(2t＋1)x＋(t–2)2＝0【例2】(1)关于x的一元二次方程kx2+2(k+1)x+k=0有两个实数根，求k的取值范围．(2)假设关于x的一元二次方程(a–2)x2–2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集〔用含a 的式子表示〕．【例3】(1)关于x的方程x2–mx+m–2=0，求证：方程有两个不相等的实数根(2)求证：方程(m2＋1)x2–2mx＋(m2＋4)＝0没有实数根．【例4】(1)方程x2–5x–6=0的根是x1和x2，求以下式子的值：①(x1–3)(x2–3) ②x12+x22+x1x2③x1x2+x2x1(2)利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，①使它的根分别是方程3x2–x–10=0各根的3倍；②使它的根分别是方程3x2–x–10=0各根的负倒数。

一元二次方程根的差别式

一元二次方程的根的判别式

一元二次方程根的判别式

一元二次方程的根与判别式

一元二次方程根的判别式-

一元二次方程根的判别式

一元二次方程的求根公式是啥

一元二次方程根的判别式

一元二次方程根的差别式

一元二次方程根的判别式与根系关系

一元二次方程根的判别式-

4一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系(名师总结)

一元二次方程的求根公式及根的判别式

(完整版)一元二次方程根的判别式知识点

《一元二次方程根的判别式》 知识清单

初三数学一元二次方程的根与判别式

一元二次方程的根的判别式

一元二次方程判别式以及根与系数关系

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