第5章定积分95525

第五章定积分

一、基本内容

(一)基本概念

1.定积分的定义:

设函数f (x)在［a, b］上有定义，任取分点a =Xo c Xj c X2 <••• < x n_^ < x^ b .

把区间［a,b］分成n个小区间［x ij X i］称为子区间，其长度记为

△X i =X i —X i」(i =1,2，…,n)

在每个小区间［X i^X i］上任取一点q(X i」＜X i)，得相应的函数值f(E i)，作乘

f GM X i (i =1,2,…,n)

把所有这些乘积加起来，得和式

n

Z f(©i)心X i，

i =1

如果不论区间［a,b］分成n个小区间［X i」,X i］的分法如何及点©怎样取法，当分点无限增多(记作n T K)而每个小区间长度无限缩小(h=max{A x i}T 0)，此和

n

式的极限存在，即设I “im S f^JA X i，贝U称函数f(x)在［a,b］可积，并将此极

b

限值I称为函数f (X)在［a,b］上的定积分。记作/ f (x)dx，即L a

a f(x)dx=i f G)i X i.

(二)定积分的计算

1.变上限积分

X

定义如果函数f(x)在［a,b］上连续，则①(x) = J f(t)dt, xFa,b］是积分上限X

a

X

的函数，称f f(t)dt为变上限的定积分.

“a

2.牛顿-莱布尼兹公式

设函数f(x)在［a,b］上连续，F(x)是f(x)的一个原函数，则

b b

a

f(x)dx = F(b)-F(a)=F(x) .

3. 定积分换元积分公式

设函数f(x)在［a,b ］上连续，函数x =^t)在区间［a ,P ］上单值且连续可导，其 值在［a,b ］上变化，且护(a ) =a,申(P ) =b ，则有

b P

a

f(x)dx =『 伴(t))®'(t)dt

在使用定积分换元公式时，要注意还原同时换积分限 4. 定积分的分部积分公式

设函数u =u(x),v =v(x)在［a,b ］上有连续导数uTx)V(x)，则

b

b

a

u(X)dv(X)=u(X)v(X)|a (三) 广义积分 无穷区间上的广义积分

-be b 驭a f

(x)dx. b

lim f f (x)dx .

c a ^I

f g dx +J %! f (x)dx .

2 .无界函数的广义积分

(1) 设 f (x)在(a, b ］上连续，lim/(X)=处，贝 U

X —j a

十

b b

a

f(x)dx =绞^+［七f(x)dx .

⑵设f(x)在［a,b)上连续，lim f(x)=处，贝U

X —j b —

b

b

一名

［f(x)dx = linn a f (x)dx . (3)

设 f (x)在［a,c)和(c,b ］上连续，lim f (x)=处，则 X T

b

C

b

［f(x)dx = ［ f(x)dx+.C f(x)dx

c Y

b

=lim.f f (x)dx + lim.f , f (x)dx .

二、练习题

5. 1计算下列定积分：

丑 1 ⑴為一dx. 三1 + COSX

⑴［f

(x)dx=b

b (2) J f(x)dx =

a 二

-be

⑶ Lcf(x)dx =

b

- a

v(x)du(x).

1

dx

上 2”e%x.

所以原式=-In | e 」+ Je^x -1『2 +山—e 2x (4) 『|sinx - cosx| dx .

JI

解：原式 =『(cosx - sin X)dx + g(sin x - cosx) dx

4

=sinx]# +cosx|4

-cosx|2—sinx|2

4

=返+2^_1+返 _1+返=2(血-1).

2

a

⑸ Lx[f(x) + f(—x)]dx.

a

a

解：原式=L xf (x)dx + xf (-x)dx ,

解：原式= "

2COS 2

|

f\sec 2x

d- 今 2 2

解：原式=f 6 dx

= .0

16

J x + 9 詈 |(

2|06

3

x 2 16

j x

dx

+[于 dx

|?=12.

16

解 :原式

上2

1 -e 2x

Jn 2

J 1 - e 2x

_ln 2 dx= 0

= dx- 訴-e 2x

Jn 2

e

2x

兀

_x e

dx

£

上2 de 2x

L 2x

P 1 -e

上2 de^

J e ^x _1

丄 1 /n2d(1-e 2x )

2^

由于

dx

=In | X + J x 2 -1 | + C .

『2 —In(2+7l)+¥