第5章定积分95525
高等数学第五章_定积分总结
第五章 定积分创新生技102班 张梦菲2010015066一、主要内容Ⅰ. 定积分概念：1. 定积分定义：设()f x 在区间[,]a b 上有界，在[,]a b 中任意插入若干个分点 0121n n a x x x x x b -=<<<<<=.把[,]a b 分成n 个小区间1[,],(1,2,,)i i x x i n -=，小区间的长度记为1,(1,2,,)i i i x x x i n -∆=-=，在1[,]i i x x -上任意取一点i ξ，作1()ni i i f x ξ=∆∑，若01lim()niii f x λξ→=⋅∆∑ 1(max{})ii nx λ≤≤=∆存在. 就称该极限为()f x 在[,]a b 上的定积分.记为1()lim ()nbi i ai f x dx f x λξ→==⋅∆∑⎰当上述极限存在时，称()f x 在[,]a b 上可积. 2. 若()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上可积。
3. 若()f x 在[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在[,]a b 上可积. Ⅱ. 定积分的几何意义 定积分()baf x dx ⎰在几何上表示：由曲线()y f x =，直线x a =和x b =以及x 轴所围图形面积的代数和 (x 轴上方的面积取正，x 轴下方的面积取负) Ⅲ. 定积分的性质1. 补充规定：(1)当a b =时，()0baf x dx =⎰(2)当a b >时,()()baabf x dx f x dx =-⎰⎰2. 性质：(1) [()()]()()bbbaaaf xg x dx f x dx g x dx --+=+⎰⎰⎰(2) ()(),()bba akf x dx k f x dx k =⎰⎰为常数(3) ()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰(4)b adx b a =-⎰(5) 若在[,]a b 上，()0f x ≥，则()0,()baf x dx a b ≥<⎰推论1：若在[,]a b 上，()()f x g x ≤，则()(),()bbaaf x dxg x dx a b ≤<⎰⎰.推论2：()(),()bbaaf x dx f x dx a b ≤<⎰⎰.(6 ) 若在[,]a b 上，()m f x M ≤≤,则()()(),()bam b a f x dx M b a a b -≤≤-<⎰(7) (定积分中值定理)：若()f x 在[,]a b 上连续，则在[,]a b 上至少存在ξ，使()()(),()baf x dx f b a a b ξξ=-≤≤⎰. 3. 连续函数()f x 在[,]a b 上的平均值，1()ba y f x dxb a-=-⎰ Ⅳ. 积分上限函数及其导数 1. 若对任意[,]x a b ∈，()xaf t dt ⎰存在，则称()()xax f t dt Φ=⎰为积分上限的函数.2. 若()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在[,]a b 上有界. 且积分上限函数()()xax f t dt Φ=⎰在[,]a b 上连续.3. 设()f x 在[,]a b 上连续，则()()xax f t dt Φ=⎰在[,]a b 上可导，且'()()(),()xa d x f t dt f x a xb dxΦ==≤≤⎰. 4. 设()f x 连续，()x φ可导，则()''()()[()]()x ad x f t dt f x x dx φφφΦ==⎰. 5. 设()f x 连续，()x φ，()x ϕ可导，则 ()'''()()()[()]()[()]()x x d x f t dt f x x f x x dxφϕφφϕϕΦ==-⎰. Ⅴ. 牛顿——莱布尼兹公式.(微积分基本定理)设()f x 在[,]a b 上连续，()F x 为()f x 在[,]a b 上的一个原函数，则()()()baf x dx F b F a =-⎰.Ⅵ. 定积分的换元法设()f x 在[,]a b 上连续，()x t φ=满足： (1) (),()a b φαφβ==.(2)()t φ在[,]αβ(或[,]βα)上具有连续导数，且()x t φ=的值域不越出[,]a b 的范围，则有'()[()]()baf x dx f t t dt βαφφ=⎰⎰.注：当()t φ的值域[,]R A B φ=越出[,]a b 的范围，但满足其余条件时，只要()f x 在[,]A B 上连续，则换元法的结论仍然成立.Ⅶ. 定积分的分部积分法设()u x 与()v x 在[,]a b 上具有连续导数，则有()()()()()()bbbaaau x dv x u x v x v x du x =-⎰⎰ Ⅷ. 几类特殊的积分公式1. 设()f x 在[,]a a -上连续，则有0()[()()]aaaf x dx f x f x dx -=+-⎰⎰.2()()[,]()()[,]aaaf x dx f x a a f x dx f x a a -⎧-⎪=⎨⎪-⎩⎰⎰当为上连续的偶函数时0当为上连续的奇函数时2. 设()f x 是以l 为周期的连续函数，则对任意实数a ，有()()a llaf x dx f x dx +=⎰⎰.3. 设()f x 在[0,1]上连续，则220(sin )(cos )f x dx f x dx ππ=⎰⎰(sin )(sin )2xf x dx f x dx πππ=⎰⎰20(sin )2(sin )f x dx f x dx ππ=⎰⎰4. 2200123134221242sin cos 13531n n n n n n n n n xdx xdx n n n n πππ--⎧⎪-⎪--⎪==⎨-⎪=⎪⎪⎩⎰⎰为正偶数为大于1的正奇整数1 Ⅸ. 反常积分(广义积分) 1. 无穷限的反常积分(1) 设()f x 在[,)a +∞上连续, ()lim ()ba ab f x dx f x dx ∞→+∞=⎰⎰(2) 设()f x 在(,]b -∞上连续,()lim ()bbaa f x dx f x dx -∞→-∞=⎰⎰(3) 设()f x 在(,)-∞+∞上连续,000()()()lim ()lim ()baa b f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx ∞∞-∞-∞→-∞→+∞=+=+⎰⎰⎰⎰⎰若上述各式右端的极限存在，则对应的反常积分收敛，否则称该反常积分发散. 注：(3)的右端是两个独立的极限，只有当两个极限都存在使，才有()f x dx ∞-∞⎰收敛. 只要有一个极限不存在，()f x dx ∞-∞⎰就发散.2. 无界函数的反常积分(1) 设()f x 在(,]a b 上连续，点a 为()f x 的瑕点，()lim ()bba tt af x dx f x dx +→=⎰⎰(2) 设()f x 在[,)a b 上连续，点b 为()f x 的瑕点，()lim ()btaat bf x dx f x dx -→=⎰⎰(3) 设()f x 在[,]a b 上除点c ()a c b <<外连续，点c 为()f x 的瑕点，()()()lim ()lim ()bc b t baacatt ct cf x dx f x dx f x dx f x dx f x dx -+→→=+=+⎰⎰⎰⎰⎰若上述各式右端的极限存在，则对应的反常积分收敛，否则称该反常积分发散. 注：(3)的右端是两个独立的极限，只有当两个极限都存在使，才有()baf x dx ⎰收敛. 只要有一个极限不存在，()baf x dx ⎰就发散.3. 反常积分的审敛法(1) (比较审敛法1) 设()f x 在[,)(0)a a +∞>上连续，且()0f x ≥. 若存在常数0M >及1p >，使得()p Mf x x≤ ()a x ≤<+∞，则反常积分()a f x dx +∞⎰收敛；若存在常数0N >，使得()Nf x x≥ ()a x ≤<+∞，则反常积分()a f x dx +∞⎰发散.(2) (极限审敛法1) 设()f x 在[,)a +∞上连续，且()0f x ≥. 若存在常数1p >，使得lim ()px x f x →∞存在，则反常积分()af x dx +∞⎰收敛；若lim ()0x xf x d →∞=>，(或lim ()x xf x →∞=+∞)则反常积分()af x dx +∞⎰发散.(3) (比较审敛法2)设()f x 在(,]a b 上连续，且()0f x ≥. x a =为()f x 的瑕点.若存在常数0M >及1q <，使得()()()q Mf x a x b x a ≤<≤-，则反常积分()b a f x dx ⎰收敛；若存在常数0N >，使得()Nf x x a≥- ()a x b <≤，则反常积分()b a f x dx ⎰发散.(4) (极限审敛法2) 设()f x 在(,]a b 上连续，且()0f x ≥. x a =为()f x 的瑕点. 若存在常数01q <<，使得l i m ()()qx ax a f x +→-存在，则反常积分()baf x dx ⎰收敛；若lim ()()0x ax a f x d +→-=>，(或lim ()()x ax a f x +→-=+∞)则反常积分()baf x dx ⎰发散.2'0'02)()()(a M dx x M dx x f dx x f dx x f aa aa=≤≤=⎰⎰⎰⎰ξξ.。
高等数学第五章定积分
a
(a < b)
b
推论： 推论： 1） 如果在区间[a , b]上 f ( x ) ≤ g ( x ) ， （
则 ∫ f ( x )dx ≤
a b
∫a g( x )dx
f ( x )dx
(a < b)
（2） ）
∫a f ( x )dx ≤ ∫a
8
b
b
(a < b)
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第五章
定积分
1
复习
1、问题的提出 求曲边梯形的面积A 实例 （求曲边梯形的面积A）
曲 边 梯 形 由 连 续 曲 线 y = f (x)( f ( x) ≥ 0)、
x 轴与两条直线 x = a 、 = b 所 围 成 . x
A = lim ∑ f (ξ i )∆xi
λ → 0 i =1
n
方法:分割、代替、求和、取极限. 方法:分割、代替、求和、取极限. 返回
也不论在小区间 怎样的分法， 如果不论对[a , b] 怎样的分法，
[ x i −1 , x i ] 上 点 ξ i 怎样 的取法， 的取法， 只要当λ
→ 0 时，
我们称这个极限 I 和 S 总趋于 确定的极限 I ， 为函数 f ( x ) 在区间[a , b]上的定积分， 上的定积分 记为 定积分，
x
d 证 dx
∫0
x
d x tf ( t )dt = xf ( x ), f ( t )dt = f ( x ) dx 0
∫
F ′( x ) =
xf ( x ) ⋅ ∫0 f ( t )dt −f ( x ) ⋅ ∫0 tf ( t )dt
( ∫ f ( t )dt )2
高等数学第五章定积分总结
高等数学第五章定积分总结定积分作为微积分的重要概念，是无穷积分的一种形式，并在多个领域中有着广泛的应用。
本章主要介绍了定积分的定义和性质，以及定积分的计算方法和应用。
首先，本章介绍了定积分的概念和定义。
定积分是一个数值，表示在给定的区间上，函数曲线与x轴之间的面积。
定积分可以分为两个部分：积分号和被积函数。
积分号表示积分的区间，被积函数表示要求积分的函数。
定积分的计算可以通过数值方法或解析方法进行，具体方法和结论有不少。
其次，本章介绍了定积分的性质。
定积分具有线性性、区间可加性和保号性等性质。
线性性质表示定积分可以进行加减运算，并且可以乘以一个常数。
区间可加性是指定积分的区间可以分为多个子区间，进行分段积分。
保号性表示如果被积函数在一些区间上恒大于等于0，那么该区间上的定积分也大于等于0。
这些性质为定积分的计算和应用提供了更多的方便性。
然后，本章介绍了定积分的计算方法。
定积分的计算可以通过不定积分和定积分的关系来进行。
通过求解原函数，并利用牛顿-莱布尼茨公式，可以简化计算过程。
本章还介绍了定积分的几何意义，即定积分表示函数曲线与x轴围成的面积，也可以表示其中一种物理量在一定时间或一定空间内的累积变化量。
最后，本章介绍了定积分的应用。
定积分在几何学、物理学、经济学等多个领域中有着广泛的应用。
例如，通过定积分可以计算曲线的弧长、曲线围成的面积、质心的坐标等几何问题；通过定积分可以计算物体的质量、重心、转动惯量等物理问题；通过定积分可以计算收益、成本、利润等经济问题。
这些应用都是建立在定积分的几何意义和计算方法的基础之上，对于深入理解和运用定积分具有重要意义。
总之，定积分是微积分中的重要概念，不仅具有丰富的理论性质，还有着广泛的应用价值。
通过学习定积分的定义、性质、计算方法和应用，可以帮助学生更好地理解和掌握微积分的知识，为解决实际问题提供更有效的数学工具。
同济版高等数学教案第五章定积分
第五章定积分教学目的：1、理解定积分的概念。
2、掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。
3、理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。
4、了解广义积分的概念并会计算广义积分。
教学重点：1、定积分的性质及定积分中值定理2、定积分的换元积分法与分部积分法。
3、牛顿—莱布尼茨公式。
教学难点：1、定积分的概念2、积分中值定理3、定积分的换元积分法分部积分法。
4、变上限函数的导数。
§5. 1 定积分概念与性质一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积曲边梯形:设函数y=f(x)在区间[a,b]上非负、连续.由直线x=a、x=b、y=0及曲线y=f (x)所围成的图形称为曲边梯形,其中曲线弧称为曲边.求曲边梯形的面积的近似值:将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形,每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替,每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积,则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值.具体方法是:在区间[a,b]中任意插入若干个分点a=x0<x1<x2<⋅⋅⋅<x n-1<x n=b,把[a,b]分成n个小区间[x0,x1], [x1,x2], [x2,x3],⋅⋅⋅, [x n-1,x n],它们的长度依次为∆x1= x1-x0, ∆x2= x2-x1,⋅⋅⋅,∆x n= x n-x n-1.经过每一个分点作平行于y轴的直线段,把曲边梯形分成n个窄曲边梯形.在每个小区间[x i-1,x i]上任取一点ξ i,以[x i-1,x i]为底、f (ξ i)为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形(i=1,2,⋅⋅⋅,n) ,把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值,即A≈f (ξ 1)∆x1+ f (ξ 2)∆x2+⋅⋅⋅+ f (ξ n)∆x n∑=∆=niiix f1) (ξ.求曲边梯形的面积的精确值:显然,分点越多、每个小曲边梯形越窄,所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯形面积天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室A 的精确值,因此,要求曲边梯形面积A 的精确值,只需无限地增加分点,使每个小曲边梯形的宽度趋于零.记λ=max{∆x 1,∆x 2,⋅⋅⋅,∆x n },于是,上述增加分点,使每个小曲边梯形的宽度趋于零,相当于令λ→0.所以曲边梯形的面积为∑=→∆=ni i i x f A 10)(lim ξλ. 2.变速直线运动的路程设物体作直线运动,已知速度v =v (t )是时间间隔[T 1,T 2]上t 的连续函数,且v (t )≥0,计算在这段时间内物体所经过的路程S .求近似路程:我们把时间间隔[T 1,T 2]分成n 个小的时间间隔∆t i ,在每个小的时间间隔∆t i 内,物体运动看成是均速的,其速度近似为物体在时间间隔∆t i 内某点ξ i 的速度v (τ i ),物体在时间间隔∆t i 内运动的距离近似为∆S i = v (τ i ) ∆t i .把物体在每一小的时间间隔∆t i 内运动的距离加起来作为物体在时间间隔[T 1,T 2]内所经过的路程S 的近似值.具体做法是:在时间间隔[T 1,T 2]内任意插入若干个分点T 1=t 0<t 1<t 2<⋅⋅⋅<t n -1<t n =T 2,把[T 1,T 2]分成n 个小段[t 0,t 1], [t 1,t 2],⋅⋅⋅, [t n -1,t n ] ,各小段时间的长依次为∆t 1=t 1-t 0,∆t 2=t 2-t 1,⋅⋅⋅,∆t n =t n -t n -1.相应地,在各段时间内物体经过的路程依次为∆S 1,∆S 2,⋅⋅⋅,∆S n .在时间间隔[t i -1,t i ]上任取一个时刻τi (t i -1<τi <t i ),以τi 时刻的速度v (τi )来代替[t i -1,t i ]上各个时刻的速度,得到部分路程∆S i 的近似值,即∆S i = v (τi ) ∆t i (i =1, 2,⋅⋅⋅,n ).于是这n 段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值,即∑=∆≈ni i i t v S 1)(τ;求精确值:记λ= max{∆t 1,∆t 2,⋅⋅⋅,∆t n },当λ→0时,取上述和式的极限,即得变速直线运动的路程∑=→∆=ni i i t v S 10)(lim τλ. 设函数y =f (x )在区间[a ,b ]上非负、连续.求直线x =a 、x =b 、y =0及曲线y =f (x )所围成的曲边梯形的面积.(1)用分点a =x 0<x 1<x 2<⋅⋅⋅<x n -1<x n =b 把区间[a ,b ]分成n 个小区间:[x 0,x 1], [x 1,x 2], [x 2,x 3],⋅⋅⋅, [x n -1,x n ],记∆x i =x i -x i -1 (i =1, 2,⋅⋅⋅,n ).(2)任取ξ i ∈[x i -1,x i ],以[x i -1,x i ]为底的小曲边梯形的面积可近似为天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室i i x f ∆)(ξ(i =1, 2,⋅⋅⋅,n );所求曲边梯形面积A 的近似值为∑=∆≈ni i i x f A 1)(ξ.(3)记λ=max{∆x 1,∆x 2,⋅⋅⋅,∆x n },所以曲边梯形面积的精确值为∑=→∆=ni i i x f A 10)(lim ξλ.设物体作直线运动,已知速度v =v (t )是时间间隔[T 1,T 2]上t 的连续函数,且v (t )≥0,计算在这段时间内物体所经过的路程S .(1)用分点T 1=t 0<t 1<t 2<⋅⋅⋅<t n -1<t n =T 2把时间间隔[T 1,T 2]分成n 个小时间段: [t 0,t 1], [t 1,t 2],⋅⋅⋅, [t n -1,t n ] ,记∆t i =t i -t i -1(i =1, 2,⋅⋅⋅,n ).(2)任取τi ∈[t i -1,t i ],在时间段[t i -1,t i ]内物体所经过的路程可近似为v (τi )∆t i(i =1, 2,⋅⋅⋅,n );所求路程S 的近似值为∑=∆≈ni i i t v S 1)(τ.(3)记λ=max{∆t 1,∆t 2,⋅⋅⋅,∆t n },所求路程的精确值为∑=→∆=ni i i t v S 10)(lim τλ.二、定积分定义抛开上述问题的具体意义,抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括,就抽象出下述定积分的定义.定义设函数f (x )在[a ,b ]上有界,在[a ,b ]中任意插入若干个分点a =x 0<x 1<x 2<⋅⋅⋅<x n -1<x n =b ,把区间[a ,b ]分成n 个小区间[x 0,x 1], [x 1,x 2],⋅⋅⋅, [x n -1,x n ] ,各小段区间的长依次为∆x 1=x 1-x 0,∆x 2=x 2-x 1,⋅⋅⋅,∆x n =x n -x n -1.在每个小区间[x i -1,x i ]上任取一个点ξi (x i -1<ξi <x i ),作函数值f (ξi )与小区间长度∆x i 的乘积天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室f (ξi ) ∆x i (i =1, 2,⋅⋅⋅,n ) ,并作出和∑=∆=ni i i x f S 1)(ξ.记λ= max{∆x 1,∆x 2,⋅⋅⋅,∆x n },如果不论对[a ,b ]怎样分法,也不论在小区间[x i -1,x i ]上点ξi 怎样取法,只要当λ→0时,和S 总趋于确定的极限I ,这时我们称这个极限I 为函数f (x )在区间[a ,b ]上的定积分,记作⎰ba dx x f )(,即∑⎰=→∆=n i i i b a x f dx x f 10)(lim )(ξλ. 其中f (x )叫做被积函数,f (x )dx 叫做被积表达式,x 叫做积分变量,a 叫做积分下限,b 叫做积分上限,[a ,b ]叫做积分区间.定义设函数f (x )在[a ,b ]上有界,用分点a =x 0<x 1<x 2<⋅⋅⋅<x n -1<x n =b 把[a ,b ]分成n 个小区间: [x 0,x 1],[x 1,x 2],⋅⋅⋅, [x n -1,x n ] ,记∆x i =x i -x i -1(i =1, 2,⋅⋅⋅,n ).任ξi ∈[x i -1,x i ] (i =1, 2,⋅⋅⋅,n ),作和∑=∆=ni i i x f S 1)(ξ.记λ=max{∆x 1,∆x 2,⋅⋅⋅,∆x n },如果当λ→0时,上述和式的极限存在,且极限值与区间[a ,b ]的分法和ξi 的取法无关,则称这个极限为函数f (x )在区间[a ,b ]上的定积分,记作⎰ba dx x f )(,即∑⎰=→∆=ni i i b a x f dx x f 10)(lim )(ξλ. 根据定积分的定义,曲边梯形的面积为⎰=b a dx x f A )(.变速直线运动的路程为dt t v S TT )(21⎰=. 说明:(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关,而与积分变量的记法无关,即⎰⎰⎰==ba b a b a du u f dt t f dx x f )()()(.(2)和∑=∆n i i i x f 1)(ξ通常称为f (x )的积分和.(3)如果函数f (x )在[a ,b ]上的定积分存在,我们就说f (x )在区间[a ,b ]上可积.函数f (x )在[a ,b ]上满足什么条件时,f (x )在[a ,b ]上可积呢？定理1设f (x )在区间[a ,b ]上连续,则f (x ) 在[a ,b ]上可积.天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室定理2设f (x )在区间[a ,b ]上有界,且只有有限个间断点,则f (x ) 在[a ,b ]上可积.定积分的几何意义:在区间[a ,b ]上,当f (x )≥0时,积分⎰ba dx x f )(在几何上表示由曲线y =f (x )、两条直线x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形的面积;当f (x )≤0时,由曲线y =f (x )、两条直线x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方,定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值; ⎰∑∑⎰--=∆--=∆==→=→ba n i i i n i i ib a dx x f x f x f dx x f )]([)]([lim )(lim )(1010ξξλλ.当f (x )既取得正值又取得负值时,函数f (x )的图形某些部分在x 轴的上方,而其它部分在x 轴的下方.如果我们对面积赋以正负号,在x 轴上方的图形面积赋以正号,在x 轴下方的图形面积赋以负号,则在一般情形下,定积分⎰ba dx x f )(的几何意义为:它是介于x 轴、函数f (x )的图形及两条直线x =a 、x =b 之间的各部分面积的代数和.用定积分的定义计算定积分:例1. 利用定义计算定积分dx x 210⎰.解把区间[0, 1]分成n 等份, 分点为和小区间长度为n i x i =(i =1, 2,⋅⋅⋅,n -1),n x i 1=∆(i =1, 2,⋅⋅⋅,n ) . 取n i i =ξ(i =1, 2,⋅⋅⋅,n ), 作积分和 ∑∑∑===⋅=∆=∆ni i ni i i n i i n n i x x f 121211)()(ξξ )12)(1(61113123++⋅==∑=n n n n i n n i )12)(11(61n n ++=. 因为n1=λ,当λ→0时,n →∞,所以 31)12)(11(61lim )(lim 10210=++=∆=∞→=→∑⎰n n x f dx x n n i i i ξλ. 利定积分的几何意义求积分: 例2. 用定积分的几何意义求⎰-10)1(dx x .解:函数y =1-x 在区间[0, 1]上的定积分是以y =1-x 为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形的面积.因为以y =1-x 为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形是一直角三角形,其底边长及高均为1,所以 211121)1(10=⨯⨯=-⎰dx x .天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室三、定积分的性质两点规定:(1)当a =b 时,0)(=⎰ba dx x f .(2)当a >b 时,⎰⎰-=a b b a dx x f dx x f )()(.性质1函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差) 即 ⎰⎰⎰±=±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([.证明:⎰±b a dx x g x f )]()([∑=→∆±=n i i i i x g f 10)]()([lim ξξλ ∑∑=→=→∆±∆=n i i i n i i i x g x f 1010)(lim )(lim ξξλλ ⎰⎰±=ba b a dx x g dx x f )()(.性质2被积函数的常数因子可以提到积分号外面即 ⎰⎰=b a b a dx x f k dx x kf )()(.这是因为∑⎰=→∆=n i i i b a x kf dx x kf 10)(lim )(ξλ⎰∑=∆==→b a n i i i dx x f k x f k )()(lim 10ξλ. 性质3 如果将积分区间分成两部分 则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和 即⎰⎰⎰+=bc c a b a dx x f dx x f dx x f )()()(.这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性.值得注意的是不论a ,b ,c 的相对位置如何总有等式 ⎰⎰⎰+=bc c a b a dx x f dx x f dx x f )()()(成立.例如,当a <b <c 时,由于 ⎰⎰⎰+=cb b ac a dx x f dx x f dx x f )()()(,于是有天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室⎰⎰⎰-=c b c a b a dx x f dx x f dx x f )()()(⎰⎰+=bc c a dx x f dx x f )()(.性质4如果在区间[ab ]上f (x )≡1 则 a b dx dx ba b a -==⎰⎰1.性质5如果在区间[a , b ]上f (x )≥0,则 ⎰≥ba dx x f 0)((a <b ).推论1如果在区间[a , b ]上f (x )≤g (x ) 则 ⎰⎰≤b a ba dx x g dx x f )()((a <b ).这是因为g (x )-f (x )≥0,从而 ⎰⎰⎰≥-=-b a ba b a dx x f x g dx x f dx x g 0)]()([)()(,所以 ⎰⎰≤b a ba dx x g dx x f )()(.推论2 ⎰⎰≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(|(a <b ).这是因为-|f (x )| ≤f (x ) ≤ |f (x )|, 所以 ⎰⎰⎰≤≤-ba b a b a dx x f dx x f dx x f |)(|)(|)(|,即⎰⎰≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(|| .性质6 设M 及m 分别是函数f (x )在区间[a , b ]上的最大值及最小值,则 ⎰-≤≤-ba ab M dx x f a b m )()()((a <b ).证明因为m ≤f (x )≤M ,所以 ⎰⎰⎰≤≤b a ba b a Mdx dx x f mdx )(,从而 ⎰-≤≤-ba ab M dx x f a b m )()()(.性质7 (定积分中值定理)如果函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续,则在积分区间[a , b ]上至少存在一个点ξ ,使下式成立: ⎰-=ba ab f dx x f ))(()(ξ.这个公式叫做积分中值公式.天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室证明由性质6⎰-≤≤-ba ab M dx x f a b m )()()(,各项除以b -a 得⎰≤-≤b a M dx x f a b m )(1, 再由连续函数的介值定理,在[a , b ]上至少存在一点ξ,使⎰-=b a dx x f ab f )(1)(ξ, 于是两端乘以b -a 得中值公式⎰-=ba ab f dx x f ))(()(ξ.积分中值公式的几何解释:应注意:不论a <b 还是a >b ,积分中值公式都成立.天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室§5. 2 微积分基本公式一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设物体从某定点开始作直线运动,在t 时刻所经过的路程为S (t ),速度为v =v (t )=S '(t )(v (t )≥0),则在时间间隔[T 1,T 2]内物体所经过的路程S 可表示为)()(12T S T S -及dt t v TT )(21⎰, 即)()()(1221T S T S dt t v TT -=⎰.上式表明,速度函数v (t )在区间[T 1,T 2]上的定积分等于v (t )的原函数S (t )在区间[T 1,T 2]上的增量. 这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？二、积分上限函数及其导数设函数f (x )在区间[a ,b ]上连续,并且设x 为[a ,b ]上的一点. 我们把函数f (x )在部分区间[a ,x ]上的定积分dx x f x a )(⎰称为积分上限的函数.它是区间[a ,b ]上的函数,记为Φ(x )dx x f x a )(⎰=,或Φ(x )=dt t f x a )(⎰.定理1 如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续,则函数Φ(x )dx x f x a )(⎰=在[a ,b ]上具有导数,并且它的导数为Φ'(x ))()(x f dt t f dx d x a==⎰(a ≤x <b ). 简要证明若x ∈(a ,b ),取∆x 使x +∆x ∈(a ,b ). ∆Φ=Φ(x +∆x )-Φ(x )dt t f dt t f x a x x a )()(⎰⎰-=∆+dt t f dt t f dt t f x a x x xx a )()()(⎰⎰⎰-+=∆+ x f dt t f x x x ∆==⎰∆+)()(ξ,应用积分中值定理,有∆Φ=f (ξ)∆x ,其中ξ在x 与x +∆x 之间,∆x →0时,ξ→x .于是天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室Φ'(x ))()(lim )(lim lim 00x f f f x xx x ===∆∆Φ=→→∆→∆ξξξ. 若x =a ,取∆x >0,则同理可证Φ+'(x )=f (a );若x =b ,取∆x <0,则同理可证Φ-'(x )=f (b ).定理2如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续,则函数Φ(x )dx x f xa )(⎰=就是f (x )在[a ,b ]上的一个原函数.定理的重要意义:一方面肯定了连续函数的原函数是存在的,另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.三、牛顿--莱布尼茨公式定理3如果函数F (x )是连续函数f (x )在区间[a ,b ]上的一个原函数,则 )()()(a F b F dx x f ba -=⎰.此公式称为牛顿--莱布尼茨公式,也称为微积分基本公式.这是因为F (x )和Φ(x )=dt t f x a )(⎰都是f (x )的原函数,所以存在常数C ,使F (x )-Φ(x )=C (C 为某一常数).由F (a )-Φ(a )=C 及Φ(a )=0,得C =F (a ),F (x )-Φ(x )=F (a ).由F (b )-Φ(b )=F (a ),得Φ(b )=F (b )-F (a ),即 )()()(a F b F dx x f ba -=⎰.证明:已知函数F (x ) 是连续函数f (x ) 的一个原函数,又根据定理2,积分上限函数Φ(x )=dt t f x a )(⎰也是f (x )的一个原函数.于是有一常数C ,使F (x )-Φ(x )=C (a ≤x ≤b ).当x =a 时,有F (a )-Φ(a )=C ,而Φ(a )=0,所以C =F (a );当x =b 时,F (b )-Φ(b )=F (a ),所以Φ(b )=F (b )-F (a ),即 )()()(a F b F dx x f ba -=⎰.为了方便起见,可把F (b )-F (a )记成b a x F )]([,于是 )()()]([)(a F b F x F dx x f b a ba -==⎰. 进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系.例1. 计算⎰102dx x .天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室解:由于331x 是2x 的一个原函数,所以31031131]31[33103102=⋅-⋅==⎰x dx x . 例2 计算2311x dx +⎰-.解由于arctan x 是211x +的一个原函数,所以 31231][arctan 1--=+⎰x x dx)1arctan(3arctan --=πππ127)4 (3 =--=. 例3. 计算⎰--121dx x.解:1212|]|[ln 1----=⎰x dx x=ln 1-ln 2=-ln 2. 例4. 计算正弦曲线y =sin x 在[0,π]上与x 轴所围成的平面图形的面积. 解:这图形是曲边梯形的一个特例.它的面积ππ00]cos [sin x xdx A -==⎰=-(-1)-(-1)=2.例5. 汽车以每小时36km 速度行驶,到某处需要减速停车.设汽车以等加速度a =-5m/s 2刹车.问从开始刹车到停车,汽车走了多少距离？ 解从开始刹车到停车所需的时间: 当t =0时,汽车速度 v 0=36km/h 3600100036⨯=m/s =10m/s .刹车后t 时刻汽车的速度为 v (t )=v 0+at =10-5t . 当汽车停止时,速度v (t )=0,从v (t )=10-5t =0 得,t =2(s ).于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为 dt t dt t v s )510()(2020-==⎰⎰10]21510[202=⋅-=t t (m ),即在刹车后,汽车需走过10m 才能停住.例6. 设f (x )在[0, +∞)内连续且f (x )>0.证明函数⎰⎰=xxdtt f dt t tf x F 00)()()( 在(0,+∞)内为单调增加函数.天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室证明:)()( 0x xf dt t tf dx d x =⎰,)()(0x f dt t f dx d x =⎰.故 2000))(()()()()()(⎰⎰⎰-='xxxdt t f dtt tf x f dt t f x xf x F 200))(()()()(⎰⎰-=xxdt t f dt t f t x x f .按假设,当0<t <x 时f (t )>0, (x -t )f (t )> 0 ,所以0)(0>⎰dt t f x,0)()(0>-⎰dt t f t x x,从而F '(x )>0 (x >0),这就证明了F (x ) 在(0,+∞)内为单调增加函数. 例7. 求21cos 02limx dte xt x ⎰-→.解:这是一个零比零型未定式,由罗必达法则, ex xe x dte x dte xx x t x x t x 212sin lim limlim222cos 02cos 121cos 0==--→-→-→⎰⎰. 提示:设⎰-=Φxt dt e x 12)(,则⎰-=Φx t dt e x cos 12)(cos .xu x t e x x e dxdu u du d x dx d dt e dx d 222cos cos 1sin )sin ()()(cos ---⋅-=-⋅=⋅Φ=Φ=⎰.天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室§5. 3 定积分的换元法和分部积分法一、换元积分法定理假设函数f (x )在区间[a ,b ]上连续,函数x =ϕ(t )满足条件:(1)ϕ(α )=a ,ϕ(β)=b ;(2)ϕ(t )在[α,β](或[β,α])上具有连续导数,且其值域不越出[a ,b ], 则有dt t t f dx x f b a )()]([)(ϕϕβα'=⎰⎰.这个公式叫做定积分的换元公式.证明由假设知,f (x )在区间[a ,b ]上是连续,因而是可积的;f [ϕ(t )]ϕ'(t )在区间[α,β](或[β,α])上也是连续的,因而是可积的.假设F (x )是f (x )的一个原函数,则dx x f ba )(⎰=F (b )-F (a ).另一方面,因为{F [ϕ(t )]}'=F '[ϕ(t )]ϕ'(t )= f [ϕ(t )]ϕ'(t ),所以F [ϕ(t )]是f [ϕ(t )]ϕ'(t )的一个原函数,从而dt t t f )()]([ϕϕβα'⎰=F [ϕ(β)]-F [ϕ(α)]=F (b )-F (a ).因此dt t t f dx x f b a )()]([)(ϕϕβα'=⎰⎰. 例1 计算⎰-adx x a 022(a >0). 解⎰⎰⋅-=20sin 022cos cosπtdt a t a dx x a ta x a令⎰⎰+==2022022)2cos 1(2cos ππdtt a tdt a220241]2sin 21[2a t t a ππ=+=. 提示:t a t a a x a cos sin 22222=-=-,dx =a cos t .当x =0时t =0,当x =a 时2π=t .例2 计算xdx x sin cos 520⎰π. 解令t =cos x ,则天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室x xd xdx x cos cos sin cos 520520⎰⎰-=ππ61]61[ 106105015cos ===-⎰⎰=t dt t dt t tx 令.提示:当x =0时t =1,当2π=x 时t =0. 或x xd xdx x cos cos sin cos 52052⎰⎰-=ππ610cos 612cos 61]cos 61[66206=+-=-=ππx . 例3 计算⎰-π053sin sin dx x x .解dx x x dx x x |cos |sin sin sin 230053⎰⎰=-ππ ⎰⎰-=πππ2232023cos sin cos sin xdx x xdx x⎰⎰-=πππ2232023sin sin sin sin x xd x xd54)52(52]sin 52[]sin 52[2252025=--=-=πππx x . 提示:|cos |sin )sin1(sin sin sin 232353x x x x x x =-=-.在]2 ,0[π上|cos x |=cos x ,在] ,2[ππ上|cos x |=-cos x . 例4 计算dx x x ⎰++4122.解⎰⎰⎰+=⋅+-++=+3123121240)3(21221122dt t tdt t t dx x x t x 令322)]331()9327[(21]331[21313=+-+=+=t t . 提示:212-=t x ,dx =tdt ;当x =0时t =1,当x =4时t =3. 例5 证明:若f (x )在[-a ,a ]上连续且为偶函数,则⎰⎰=-aaa dx x f dx x f 0)(2)(.证明因为dx x f dx x f dx x f aa aa )()()(00⎰⎰⎰+=--,天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室而⎰⎰⎰⎰-=-=---=-aa a tx a dx x f dt t f dt t f dx x f 0000)()()()(令,所以⎰⎰⎰+-=-aaaa dx x f dx x f dx x f 00)()()(⎰⎰⎰==+-=-aa a a dx x f dx x f dx x f x f 00)(2)(2)]()([.讨论:若f (x )在[-a ,a ]上连续且为奇函数,问=⎰-aa dx x f )(？ 提示:若f (x )为奇函数,则f (-x )+f (x ) =0,从而0)]()([)(0=+-=⎰⎰-aa a dx x f x f dx x f .例6 若f (x )在[0, 1]上连续,证明 (1)⎰⎰=2020)(cos )(sin ππdx x f dx x f ; (2)⎰⎰=πππ0)(sin 2)(sin dx x f dx x xf .证明 (1)令t x -=2π,则dt t f dx x f )]2[sin()(sin 0220--=⎰⎰πππ⎰⎰=-=202)(cos )]2[sin(πππdx x f dt t f .(2)令x =π-t ,则⎰⎰---=0)][sin()()(sin ππππdt t f t dx x xf⎰⎰-=--=πππππ00)(sin )()][sin()(dt t f t dt t f t ⎰⎰-=πππ00)(sin )(sin dt t tf dt t f ⎰⎰-=πππ00)(sin )(sin dx x xf dx x f ,所以⎰⎰=πππ0)(sin 2)(sin dx x f dx x xf .例7 设函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-+≥=-01 cos 110)(2x xx xe x f x ,计算⎰-41)2(dx x f .天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室解设x -2=t ,则⎰⎰⎰⎰---++==-20121412cos 11)()2(dtte dt tdt t f dx x f t 212121tan ]21[]2[tan 420012+-=-=---e e t t .提示:设x -2=t ,则dx =dt ;当x =1时t =-1,当x =4时t =2. 二、分部积分法设函数u (x )、v (x )在区间[a ,b ]上具有连续导数u '(x )、v '(x ),由 (uv )'=u 'v +uv '得uv '=uv -u 'v ,式两端在区间[a ,b ]上积分得vdx u uv dx v u ba b a ba '-='⎰⎰][,或vdu uv udv ba ba ba ⎰⎰-=][. 这就是定积分的分部积分公式.分部积分过程:][][⋅⋅⋅='-=-=='⎰⎰⎰⎰vdx u uv vdu uv udv dx v u ba ba ba b a ba ba . 例1 计算xdx arcsin 21⎰. 解xdx arcsin 21⎰x xd x x arcsin ]arcsin[21210⎰-=dx x x 22101621--⋅=⎰π )1(11211222210x d x --+=⎰π2102]1[12x -+=π12312-+=π.例2 计算⎰10dx e x . 解令t x =,则⎰⎰=10102tdt e dx et x⎰=102t tde ⎰-=1010 2 ][2dt e te t t2 ][2210 =-=t e e .天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室例3 设⎰=20sin πxdx I n n ,证明 (1)当n 为正偶数时,22143231π⋅⋅⋅⋅⋅--⋅-=n n n n I n ; (2)当n 为大于1的正奇数时,3254231⋅⋅⋅⋅--⋅-=n n n n I n .证明⎰=20sin πxdx I n n ⎰--=201cos sin πx xd n⎰--+-=2012 01sin cos ]sin[cos ππx xd x x n n⎰--=2022sin cos )1(πxdx x n n ⎰--=-202)sin (sin )1(πdx x x n n n ⎰⎰---=-20202sin )1(sin )1(ππxdxn xdx n n n=(n -1)I n - 2-(n -1)I n ,由此得 21--=n n I nn I .02214342522232212I m m m m m m I m ⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=,112325432421222122I m m m m m m I m ⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=+,而2200ππ==⎰dx I ,1sin 201==⎰πxdx I ,因此22143425222322122π⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=m m m m m m I m ,32543242122212212⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=+m m m m m m I m .例3 设⎰=20sin πxdx I n n (n 为正整数),证明22143425222322122π⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=m m m m m m I m ,32543242122212212⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=+m m m m m m I m .证明⎰=20sin πxdx I n n ⎰--=201cos sin πx xd n天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室⎰---+-=20222 01sin cos )1(]sin[cos ππxdx x n x x n n⎰--=-202)sin (sin )1(πdx x x n n n ⎰⎰---=-20202sin )1(sin )1(ππxdx n xdx n n n=(n -1)I n - 2-(n -1)I n , 由此得21--=n n I nn I . 02214342522232212I m m m m m m I m ⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=,112325432421222122I m m m m m m I m ⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=+.特别地2200ππ==⎰dx I ,1sin 201==⎰πxdx I .因此22143425222322122π⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=m m m m m m I m , 32543242122212212⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=+m m m m m m I m .天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室§5. 4 反常积分 一、无穷限的反常积分定义1设函数f (x )在区间[a ,+∞)上连续,取b >a .如果极限dx x f bab )(lim⎰+∞→ 存在,则称此极限为函数f (x )在无穷区间[a ,+∞)上的反常积分,记作dx x f a )(⎰+∞,即dx x f dx x f bab a)(lim)(⎰⎰+∞→+∞=.这时也称反常积分dx x f a )(⎰+∞收敛.如果上述极限不存在,函数f (x )在无穷区间[a ,+∞)上的反常积分dx x f a )(⎰+∞就没有意义,此时称反常积分dx x f a )(⎰+∞发散.类似地,设函数f (x )在区间(-∞,b ]上连续,如果极限dx x f baa )(lim⎰-∞→(a <b ) 存在,则称此极限为函数f (x )在无穷区间(-∞,b ]上的反常积分,记作dx x f b)(⎰∞-,即dx x f dx x f baa b)(lim)(⎰⎰-∞→∞-=.这时也称反常积分dx x f b)(⎰∞-收敛. 如果上述极限不存在,则称反常积分dx x f b)(⎰∞-发散. 设函数f (x )在区间(-∞,+∞)上连续,如果反常积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室dx x f )(0⎰∞-和dx x f )(0⎰+∞都收敛,则称上述两个反常积分的和为函数f (x )在无穷区间(-∞,+∞)上的反常积分,记作dx x f )(⎰+∞∞-,即dx x f dx x f dx x f )()()(00⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+=dx x f dx x f bb a a )(lim )(lim0⎰⎰+∞→-∞→+=. 这时也称反常积分dx x f )(⎰+∞∞-收敛.如果上式右端有一个反常积分发散,则称反常积分dx x f )(⎰+∞∞-发散. 定义1'连续函数f (x )在区间[a ,+∞)上的反常积分定义为dx x f dx x f bab a)(lim)(⎰⎰+∞→+∞=. 在反常积分的定义式中,如果极限存在,则称此反常积分收敛; 否则称此反常积分发散.类似地,连续函数f (x )在区间(-∞,b ]上和在区间(-∞,+∞)上的反常积分定义为dx x f dx x f baa b)(lim)(⎰⎰-∞→∞-=.dx x f dx x f dx x f bb a a )(lim )(lim )(0⎰⎰⎰+∞→-∞→+∞∞-+=. 反常积分的计算:如果F (x )是f (x )的原函数,则ba b ba b ax F dx x f dx x f )]([lim )(lim)(+∞→+∞→+∞==⎰⎰ )()(lim )()(lim a F x F a F b F x b -=-=+∞→+∞→.可采用如下简记形式:)()(lim )]([)(a F x F x F dx x f x a a-==+∞→∞++∞⎰.类似地)(lim )()]([)(x F b F x F dx x f x b b-∞→∞-∞--==⎰,)(lim )(lim )]([)(x F x F x F dx x f x x -∞→+∞→∞+∞-+∞∞--==⎰. 例1 计算反常积分dx x 211+⎰+∞∞-.解∞+∞-+∞∞-=+⎰][arctan 112x dx x天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室x x x x arctan lim arctan lim -∞→+∞→-=πππ=--=)2(2 . 例2 计算反常积分⎰+∞-0dt te pt (p 是常数,且p >0).解∞+-∞+-+∞-⎰⎰⎰-==000]1[][pt pt pt tde pdt te dt te ∞+--⎰+-=0]11[dt e p te p pt pt ∞+----=02]11[pt pt e pte p 22211]11[lim pp e p te p pt pt t =+--=--+∞→. 提示:01lim lim lim ===+∞→+∞→-+∞→pt t pt t pt t pe e t te .例3 讨论反常积分dx x pa 1⎰+∞(a >0)的敛散性.解当p =1时,dx x pa 1⎰+∞dx x a 1⎰+∞=+∞==∞+ ][ln a x .当p <1时,dx x pa1⎰+∞+∞=-=∞+- 1]11[ap x p .当p >1时,1]11[11 1-=-=-∞+-+∞⎰p a x p dx x p ap pa.因此,当p >1时,此反常积分收敛,其值为11--p a p;当p ≤1时,此反常积分发散.二、无界函数的反常积分定义2设函数f (x )在区间(a ,b ]上连续,而在点a 的右邻域内无界.取ε>0,如果极限dx x f bt at )(lim ⎰+→存在,则称此极限为函数f (x )在(a ,b ]上的反常积分,仍然记作dx x f ba )(⎰,即dx x f dx x f bt at b a )(lim )(⎰⎰+→=.这时也称反常积分dx x f ba )(⎰收敛.如果上述极限不存在,就称反常积分dx x f ba )(⎰发散.天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室类似地,设函数f (x )在区间[a ,b )上连续,而在点b 的左邻域内无界.取ε>0,如果极限dx x f ta bt )(lim ⎰-→存在,则称此极限为函数f (x )在[a ,b )上的反常积分,仍然记作dx x f ba )(⎰,即dx x f dx x f ta bt b a )(lim )(⎰⎰-→=.这时也称反常积分dx x f b a )(⎰收敛.如果上述极限不存在,就称反常积分dx x f ba )(⎰发散. 设函数f (x )在区间[a ,b ]上除点c (a <c <b )外连续,而在点c 的邻域内无界.如果两个反常积分dx x f c a )(⎰与dx x f bc )(⎰都收敛,则定义dx x f dx x f dx x f bc c a b a )()()(⎰⎰⎰+=.否则,就称反常积分dx x f ba )(⎰发散.瑕点:如果函数f (x )在点a 的任一邻域内都无界,那么点a 称为函数f (x )的瑕点,也称为无界 定义2'设函数f (x )在区间(a ,b ]上连续,点a 为f (x )的瑕点.函数f (x )在(a ,b ]上的反常积分定义为dx x f dx x f bta tb a )(lim )(⎰⎰+→=.在反常积分的定义式中,如果极限存在,则称此反常积分收敛; 否则称此反常积分发散.类似地,函数f (x )在[a ,b )(b 为瑕点)上的反常积分定义为dx x f dx x f ta bt b a )(lim )(⎰⎰-→=.函数f (x )在[a ,c )⋃(c ,b ] (c 为瑕点)上的反常积分定义为dx x f dx x f dx x f bt ct tac t b a )(lim )(lim )(⎰⎰⎰+-→→+=.反常积分的计算:如果F (x )为f (x )的原函数,则有bt at bt at ba x F dx x f dx x f )]([lim )(lim )(++→→==⎰⎰ )(lim )()(lim )(x Fb F t F b F ax at ++→→-=-=.可采用如下简记形式:)(lim )()]([)(x F b F x F dx x f ax ba ba +→-==⎰.天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室类似地,有)()(lim )]([)(a F x F x F dx x f bx ba ba -==-→⎰, 当a 为瑕点时,)(lim )()]([)(x F b F x F dx x f ax b a ba +→-==⎰;当b 为瑕点时,)()(lim )]([)(a F x F x F dx x f bx b a ba -==-→⎰.当c (a <c <b )为瑕点时,)](lim )([)]()(lim [)()()(x F b F a F x F dx x f dx x f dx x f cx c x bc c a b a +-→→-+-=+=⎰⎰⎰. 例4 计算反常积分⎰-adx xa 0221.解因为+∞=--→221lim x a ax ,所以点a 为被积函数的瑕点. a aa x dx x a 022][arcsin 1=-⎰20arcsin lim π=-=-→a x a x .例5 讨论反常积分⎰-1121dx x的收敛性.解函数21x在区间[-1, 1]上除x =0外连续,且∞=→201lim x x .由于+∞=--=-=-→--⎰1)1(lim ]1[1001012x x dx xx , 即反常积分⎰-0121dx x 发散,所以反常积分⎰-1121dx x发散.例6 讨论反常积分⎰-ba qa x dx )(的敛散性.解当q =1时,+∞=-=-=-⎰⎰b ab a ba q a x ax dx a x dx )][ln()(.当q >1时,+∞=--=--⎰b aq ba q a x qa x dx 1])(11[)(.当q <1时,q b aq baq a b q a x qa x dx ----=--=-⎰1 1)(11])(11[)(.因此,当q <1时,此反常积分收敛,其值为q a b q ---1)(11;当q ≥1时,此反常积分发散.天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室。
高等数学(第五章)定积分
二、定积分的定义
定义 设 f ( x) 在[ a , b ]上有界
(1) 将[ a , b ] 任意分成 n 个小区间 [ x0 , x1 ],[ x1 , x2 ],, [ xi 1 , xi ] ,, [ xn 1 , xn ], x0 a , xn b . xi xi xi 1 (i 1, 2,, n), 为第 i 个小区间的长度 .
f ( )x . 在 x 与 x x 之间 . x 0 , x
定理 2 (变上限的积分求导定理) 设 f ( x) 在[ a , b ] 上连续 , x 则 f (t )dt f ( x) .
a
x a
f (t )dt
f (t)
b a
o a
c1
c2
b
f ( x) dx .
x
根据定积分的几何意义 我们可以计算一些简单的定积分 .
y
yx
例1
b a
1dx b a . ?
ab 1 2 2 x dx ? (b a) (b a ) . 2 2
o
a
b
x
例2
例3
b a
R 0
R x dx
2 2
0
i 1
n
并称极限值为 f ( x) 在[ a , b ]上的定积分.
记为
b a
f ( x)dx
上限
b a
f ( x)dx lim f (i )xi .
0
i 1
n
下限
a 叫积分下限 , b 叫积分上限 ,[ a , b ]叫积分区间. f ( x) 叫被积函数 , x 叫积分变量 . f ( x)dx叫被积表达式 .
高等数学 上交大 课件 PPT 第五章 定积分
ii):令 x u, 原式=2 2 eudu 2(e 2 e) 1
DMU
第四节 定积分的计算方法
•定积分所特有的换元技巧
π
例 I 4 ln(1 tan x)dx 0
解 x π t
4
I
0 π 4
ln[1
tan(
π 4
t)]d(
π 4
t)
π 4
ln[1
1
tan
t
]dt
π
4 ln
2
(t
)
d
t
x
a
f
o (t) d
a t
x
b xh
x
1 xh f (t) d t f ( )
hx
(x x h)
x h ，0 1
(x) lim f (x h) f (x) h0 DMU
第三节 微积分基本定理
说明: 1) 上述定理证明了连续函数的原函数是存在的. 同时
为通过原函数计算定积分开辟了道路 .
s(t) v(t)
物体在时间间隔
内经过的路程为
T2 T1
v(t)
d
t
s(T2
)
s(T1)
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
DMU
第三节 微积分基本定理
基本公式：
b
a f (x) dx F (b) F (a)
(F(x)
f (x))
x
推导步骤：（1）变上限函数 (x) a f (t) d t
i
DMU
第一节 定积分的概念
利用定积分定义解题
划分[a,b]为n等分：a a b a a 2(b a) b.
n
n
同济大学(高等数学)_第五章_定积分及其应用
(x)dx
7
推论
2
|
b
a
f
(x)dx| ab|
f
(x) | dx
(ab)
这是因为|f (x)| f (x) |f (x)|所以
ab|
f
(x) | dx
b
a
f
(x)dx
ab|
f
(x) | dx
b
b
即 | a
f (x)dx | a
f (x)dx.
ab[
f
(x)
g(x)]dx
b
a
f
(x)dx
abg(x)dx
证明:
ab[ f
(x) g(x)]dx
n
lim [ f 0 i1
(i) g(i)]xi
6
n
n
lim
0
i1
fபைடு நூலகம்
(i)xi
lim
0
i1
g(i)xi
b
a
f
( x)dx
第 1 节 定积分的概念与性质
1.1 定积分问题举例 1.1.1 曲边梯形的面积
曲边梯形 设函数 y f (x) 在区间 a,b上非负、连续 由直线 x a, x b, y 0 及
曲线 y f (x) 所围成的图形称为曲边梯形 其中曲线弧 y f (x) 称为曲边
把 a,b分成 n 个小区间
x0 , x1 , x1, x2 , x2 , x3 , L ,xn1, xn ,
它们的长度依次为 x1 x1 x0 , x2 x2 x1,L , xn xn xn1. 经过每一个分点作平行于 y 轴的直线段 把曲边梯形分成 n 个窄曲边梯形在每个小区
高等数学 课件 PPT 第五章 定积分
在［0,1］上是有界函数，但不可积．因为不论对［0,1］怎样分 割，在任意被分割的小区间［xi－1,xi］上，总能取到ξi为有理数， 这时f(ξi)=1，也总能取到ξi为无理数，这时f(ξi)=0．所以对［0,1］ 的任何一种分法，我们总可以得到
一、定积分的概念
思考
一个函数在什么条件下可积？什么条件下不可积？
一、定积分的概念
3. 定积分存在的充分条件
若f(x)在［a,b］上无界，则f(x)在［a,b］上一定是不可积 的．这是因为，若f(x)在［a,b］上无界，那么无论对［a,b］ 怎样分割，都至少有一个区间［xi－1,xi］，函数f(x)在其上无 界．因此，在［xi－1,xi］上一定可以取一点ξi，使得f(ξi)大于任 意一个正数M，因而也就使得和式 ∑ =1f(ξi)Δxi可以任意的 大．当λ→0时，这个和就不可能趋向于任何极限．由此可知， f(x)在［a,b］上可积的必要条件是f(x)在［a,b］上有界．
一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
为了讨论质点在变速直线运动中位置函数与速度函数间的 联系，有必要沿质点的运动方向建立坐标轴.设时刻t时质点所 在位置st，速度vtvt≥0. 已知质点在时间间隔T1,T2内经过的路程可以用速度函数vt在 T1,T2上的定积分
一、定积分的概念
在区间［a,b］上，f(x)既有正值又有负值时，函数y=f(x) 的图形某些部分在x轴的上方，而其他部分在x轴的下方．如果 规定在x轴的上方的图形的面积为正，在x下方的图形面积为负， 那么∫baf(x) 的几何意义就是介于曲线y=f(x)、x轴及两条直线 x=a,x=b之间的各部分面积的代数和，如图5-2所示．
把区间［a,b］分成个n小区间 ［x0,x1］,［x1,x2］,…,［xn－1,xn］，
大一高等数学第五章知识点
大一高等数学第五章知识点第五章：定积分定积分是微积分中的重要概念，也是几何中面积计算的工具之一。
本章主要介绍定积分的定义、性质以及计算方法等相关知识点。
1. 定积分的定义定积分是对被积函数在一定区间上的积分运算。
设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，将该区间分成若干小区间，其中每个小区间的长度趋于0。
若存在数I，使得当区间的长度趋于0时，每个小区间上的函数值乘以小区间的长度的和趋于I，则称I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。
2. 定积分的性质（1）可加性：若函数f(x)在区间[a,b]上可积，且c位于区间[a,b]内，则有定积分的可加性质，即∫[a,b]f(x)dx=∫[a,c]f(x)dx+∫[c,b]f(x)dx。
（2）积分中值定理：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则存在一点ξ位于[a,b]内，使得定积分等于函数在[a,b]上的某一点的函数值乘以区间长度，即∫[a,b]f(x)dx=f(ξ)(b-a)。
（3）定积分的性质：定积分的结果与积分区间有关，与被积函数在积分区间以外的取值无关。
3. 定积分的计算方法（1）基本积分表：根据被积函数的特点和常用积分公式，可以利用基本积分表来计算定积分。
（2）换元法：通过变量代换的方法，将被积函数进行化简，然后计算定积分。
（3）分部积分法：对于乘积形式的被积函数，可以利用分部积分法将其转化为更易计算的形式，然后求解定积分。
（4）定积分的几何意义：定积分可以用于计算函数图像与x 轴所围成的面积，利用横纵坐标的变化可以计算出面积值。
4. 定积分的应用定积分在几何、物理、经济等领域中具有广泛应用。
例如，可以利用定积分计算曲线与x轴所围成的面积，求解物体的质量、重心等物理问题，计算经济中的总收益、总成本等。
总结：大一高等数学第五章主要介绍了定积分的定义、性质、计算方法以及应用。
掌握定积分的概念和计算方法对于进一步学习微积分以及相关领域的应用具有重要意义。
高职数学课件 第5章定积分
i1
f (i )xi.
其中， 称为积分号，x称为积分变量， f (x)称为被积
函数， f (x)dx称为积分表达式,［a,b］称为积分区间，
a和b分别称为积分上限和下限.
关于定积分的定义的几点说明：
（1）定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而 与积分变量的记法无关，即
b
b
b
a f (x)d x a f (t)dt a f (u)du
所示．
求曲边梯形的面积A，可以利用微积分“以直代曲”的 极限方法解决（见上图(右) ），方法归结为以下三步： （1）任意分割
在区间［a,b］内任意插入n-1个点：
a x0 x1 xn1 xn b.
即把区间［a,b］分成n个小区间，每个小区间的长度
记为xi xi xi1 ，(i 1,2, ,n).过各点x作轴的垂线，
(4) 2 (2x 1)d x .
5.2 定积分的简单性质
5.2 定积分的简单性质
关于定积分的两点规定：
a
(1) f (x)d x 0. a
b
a
(2) f (x)d x f (x)d x.
a
b
下面各性质的前提条件：设 f (x)和 g (x)都是闭区间
［a,b］上的可积函数，k为常数.
1 (1 1)(2 1). 6n n
因为 1 ，所以当时 0 ，n ．于是，
n
1 x2 d x 0
lim 0
n i1
f
(i )xi
lim 1 (1 n 6
1)(2 n
1) n
1 3
问题，后面的牛顿-莱布尼兹公式很好地解决了这个 问题．
5.1.3 定积分的几何意义
由上面的引例可知，在区间上［a,b］，当 f (x) 0时 ,
大学数学《微积分BI》第5章 定积分知识点汇总
b f (x)dx l ， a
其中称 f (x) 为被积函数， f (x)dx 为积分表达式， a 为积分下限， b 为积分上限， x 为积
分变量，[a,b] 为积分区间。
评注 据定积分定义可以得到：
（1）定积分的值与积分变量字母的选取无关。比如
b
b
b
a f (x)dx a f (t)dt a f (u)du 。
第五章 定积分
定积分又叫黎曼积分。本章最重要的理论是“微积分学基本定理”，它沟通了积分和导 数的联系；最重要的计算工具是“牛顿-莱伯尼兹公式”，它建立了定积分与不定积分的联系。
§5.1 定积分的概念与性质
一、定积分的问题举例 曲边梯形面积 求由曲线 y x2 、直线 x 1以及 x 轴所围图形面积 S 。
解 （1）作分割：把区间[0,1] 作 n 等分；
（2）作积分和：在小区间 [ k 1, k ] (k 1, 2,
nn
近似和
, n) 上取右端点k
k n
，作面积 S
的
n
k 1
k
2
1 n
n k 1
k2 n3
1 n3
n
k2
k 1
1 n3
n(n 1)(2n 1) 6
；
（3）取极限：
S
lim
n
n
k 2
（六）定积分的近似计算
函数 f 在区间[a,b] 连续，把闭区间[a,b] 分成 n 等分，分割为：
那么据定积分定义知，
a x0 x1 xn b ，
b a
f
(x)dx
ba lim n n
n k 1
f
( xk 1 )
。
记 f (xk ) yk (k 0,1,2, ,n) ，那么有下列定积分的近似计算公式：
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第五章定积分一、基本内容(一)基本概念1.定积分的定义:设函数f (x)在［a, b］上有定义，任取分点a =Xo c Xj c X2 <••• < x n_^ < x^ b .把区间［a,b］分成n个小区间［x ij X i］称为子区间，其长度记为△X i =X i —X i」(i =1,2，…,n)在每个小区间［X i^X i］上任取一点q(X i」＜X i)，得相应的函数值f(E i)，作乘f GM X i (i =1,2,…,n)把所有这些乘积加起来，得和式nZ f(©i)心X i，i =1如果不论区间［a,b］分成n个小区间［X i」,X i］的分法如何及点©怎样取法，当分点无限增多(记作n T K)而每个小区间长度无限缩小(h=max{A x i}T 0)，此和n式的极限存在，即设I “im S f^JA X i，贝U称函数f(x)在［a,b］可积，并将此极b限值I称为函数f (X)在［a,b］上的定积分。
记作/ f (x)dx，即L aa f(x)dx=i f G)i X i.(二)定积分的计算1.变上限积分X定义如果函数f(x)在［a,b］上连续，则①(x) = J f(t)dt, xFa,b］是积分上限XaX的函数，称f f(t)dt为变上限的定积分.“a2.牛顿-莱布尼兹公式设函数f(x)在［a,b］上连续，F(x)是f(x)的一个原函数，则b baf(x)dx = F(b)-F(a)=F(x) .3. 定积分换元积分公式设函数f(x)在［a,b ］上连续，函数x =^t)在区间［a ,P ］上单值且连续可导，其 值在［a,b ］上变化，且护(a ) =a,申(P ) =b ，则有b Paf(x)dx =『 伴(t))®'(t)dt在使用定积分换元公式时，要注意还原同时换积分限 4. 定积分的分部积分公式设函数u =u(x),v =v(x)在［a,b ］上有连续导数uTx)V(x)，则bbau(X)dv(X)=u(X)v(X)|a (三) 广义积分 无穷区间上的广义积分-be b 驭a f(x)dx. blim f f (x)dx .c a ^If g dx +J %! f (x)dx .2 .无界函数的广义积分(1) 设 f (x)在(a, b ］上连续，lim/(X)=处，贝 UX —j a十b baf(x)dx =绞^+［七f(x)dx .⑵设f(x)在［a,b)上连续，lim f(x)=处，贝UX —j b —bb一名［f(x)dx = linn a f (x)dx . (3)设 f (x)在［a,c)和(c,b ］上连续，lim f (x)=处，则 X TbCb［f(x)dx = ［ f(x)dx+.C f(x)dxc Yb=lim.f f (x)dx + lim.f , f (x)dx .二、练习题5. 1计算下列定积分：丑 1 ⑴為一dx. 三1 + COSX⑴［f(x)dx=bb (2) J f(x)dx =a 二-be⑶ Lcf(x)dx =b- av(x)du(x).1dx上 2”e%x.所以原式=-In | e 」+ Je^x -1『2 +山—e 2x (4) 『|sinx - cosx| dx .JI解：原式 =『(cosx - sin X)dx + g(sin x - cosx) dx4=sinx]# +cosx|4-cosx|2—sinx|24=返+2^_1+返 _1+返=2(血-1).2a⑸ Lx[f(x) + f(—x)]dx.aa解：原式=L xf (x)dx + xf (-x)dx ,解：原式= "2COS 2|f\sec 2xd- 今 2 2解：原式=f 6 dx= .016J x + 9 詈 |(2|063x 2 16j xdx+[于 dx|?=12.16解 :原式上21 -e 2xJn 2J 1 - e 2x_ln 2 dx= 0= dx- 訴-e 2xJn 2e2x兀_x edx£上2 de 2xL 2xP 1 -e上2 de^J e ^x _1丄 1 /n2d(1-e 2x )2^由于dx=In | X + J x 2 -1 | + C .『2 —In(2+7l)+¥XCM_xL| —co I 00+ co u」X—L)Xpx+L +CML | CM+ co _cL | COIIL I oq oT —X-I CM+ -1 CM+CO _c-I 00II■ I00IIXCMXCM VX L I CJ_P¥3n-x —L3X—L。
二X」I— 2- u- X — H xp u -」I H 怔蛍赶 X —LZ心 Lg x+L ZL;X + L 电 L牛陲炬 L LL•xpx丄X+L0-;U一X I(6)叱1U_S2—w +触 0:丄s u一寻—2iTJL+X)P+ L +xfxp9ELIT——+——EL H S S 8 Je —g二S 8& +ifZL『二 U_SZ1Hlu 一S y乙H1P1S8H w疤irA i-19S 8Hxp」u一S H Xfg- I H一」 如•xpz(x」-xg — y 一 xgHXP(x —)QzL * zL+ XPXJHir-xp(xs8)u6sx7(9) •O Hxp(x 二X 」— xp(x)」x」H e e5432"C\ 2 7x +x -X +5x -x-2 , (10) L -------------- 2 ---------dx. 21 +X2 解：原式=f 534 2 2 7x —x — X . 2 x +5x -2 , ------ 2——dx + f •N 1 +x 21 +x2 dx =0+ f X 2(X 2+1)+4(X 2+1)—6 / 2 1 +x dx fx 2dx + 4 f dx -6f 匕 工 匕1 +x 21 32 2=—x |_2 +16-6arctanx^ 3 64=一 -12arctan2. 3 2n 兀(11) 0 | sinx|dx. 解:原式 =0〕sin x| dx +「|sinx | dx + [I 16 =—+16 - 12arctan2 3 2；! 兀 =n [ sin xdx = n[ 0 sin xdx + J ■兀 一 - n 兀^兀 2n 兀 |sin X I dx + …+ [ I sin x | dx +…+ f | sin x|dx I '^兀 '(2n 」)兀 I I2；l ■Tj - 2 吓 sin xdx] = n[-cosx |0 -cosx |兀]=4n . 2r . 2 ^dr -r 41 2 ，r . 2 =dr r 4dr 2詁 d(1-r 4) 01 1=1 arcsi nr 2 |02 +1 丿1 - r 4 |02 2 2兀丄1= + ——124 2(1 + X 2 x 5.2设 g — x<0 >0 ', 3 求[f(X -2)dx . 解: 「1 +(x —2)2,X C 2 f(X -2)=A ),X .2 J x 2-4x +5,x c 2[e 2, x>2-be ⑷T+x 2严dx231所以原式=1(X 2-4x +5)dx+=(-x 3-2x 2+5X )|23-6 +5-3 -1) =4-e 」 3 35.3判断下列广义积分的敛散性：/ 八 尹arctanx ,(1) 1 ——2一dx.1X解：原式parcta nx=lim ----- 2—x 2所以原广义积分收敛.2dx=g |n g-s+1)-|im[(2-g )In(2-g ) -(2-g )+1] =2-21 n2.所以原广义积分收敛.|3■ arctanxd 1 = - lim arc t an x 1 x J 乂兀. -+ lim [(-- 4 —3 Xb.1x 、.k)dx+b ^lnx bJ 1 +x 21dx2解：原式=f12 L1Xrd 1xx1 2J I J I J L=-arcsi n — L = + — =一所以原广义积分收敛.-^-^dx. -x 1-S 1 ln --- 21 -x 21—&-lim .f [ln(1-x) +ln(1 +x)]dx EH P f1Y 1 —E=lim +[ ln (1 -x)d(1 -X)— lim +[ ln (1 +x)d(1 +x)1(3) l ln11-Z -x 2)dx =㈣丿(1 - x) In(1 - X)- (1 - X)] I 严 -lim 』(1 + x) ln(1 + x) -(1 + X)] |0Y1 nn m 石 O 1^ln(1原式=lim ——n 护 12專解：原式=2・0 E2<2时=2b^arctanxi 0"所以原广义积分收敛.5.4计算下列极限：1 1 1(1)lim(——+ --------- +…+ ------- ),(aH0).n + a n +2a n + na解: 1 1 1 原式=lim —( ----- + n1+2a n 解:+… 1 + ------ 1+nan )=lim 丄送 F n y 1 1+丄a n 0^^dx'01 +ax 1 =—In(1+ax) |0 a1 x n exn^El|n(1+a).a 原式 =lim [-- x_ dx=lim fx ndx-lim f - n Tc O1 + e x n 今疔0 n Tcr O [1 +e 1 n1< lim [ X dx = lim--- —Lc 0 —pe n +1=0, 1x n又由原式lim [ n 今ic 0d n x 1x e c —dx>0 , 1 +e x 所以lim fn ^pc O. n x1x e , c --- dx =解: lim -x Y i 原式 x X ,2-el e dt • =limx —Jpcx t 2x 2e dt + xe -2xe x'x 2丄 x 2丄 c 2 x 2e +e +2x e .=lim ------ 2----- - = -1 . -2e -4x e解:1=lim = 2 . n ^C12妬X2[f(t)dt ⑸设 f (X)连续，f(0)=0, f'(0)H0,求lim —T x2J0f(t)dt解: 原式X2•0 f(t)dt ______=lim --- x----- = lim ---- x-------------- = limTx2(f(t)dt 72X[ f(t)dt + x2f(x) T2xf(X2) 2f(x2)24xf \x )5.5 证明: 解:I n 『COS3f(x) +xf(X)『cos n xsin nxdxxsin nxdx 二-1nX2.0 f(t)dt +xf(x)4f(x2) x m03 f(X)-f(0) +x-0f'(x)1 2 22 23 ^75^-+一+一+ ■■■ + 2川12 3cos n xd cos nx=--[cos n2n—).nlim4「(x2)4「(x)j[ xxcosnx^ +『n cos n」xcos nx sinxdx]1 -『cos n」X cosnx sinxdx .又因为:JII 2 =『cos^xsin(n - 1)xdx=『cos 2 Xsin nx cosxdx -『n」. 1cos xcosnxsin xdx =l n -『cos^xcosnxsinxdx.所以I n 显然I11 1=—一I n 中I n」，即I n—― I n4 n 21=-，则有递推得：22n2n +…J2n1 (2+21 二•斗.1 2 3 n2时5.6设® (x)为可微函数y = f(x)的反函数，且f(1)=0,证明:1 12 1 11 1所以 B = [ f (x)dx = L X dx — A L xdx + 2B[dx = — 一一 A +2B ，3 2 2 2 2 2 28A= [ f(x)dx= Lx 2dx-A[xdx + 2B [ dx =--2A + 4B ，0 34 1联立上两式解得A =E ，B =3.所以 f(x)=x T x +2.xt 21 f(x) 10[0 半(t)dt]dx=2 0xf(x)dx . 人 f （X ）证明：令 F （X ）=[ 巩t ）dt ，则 F '（X ）=w （ f （X ）） ”f '（X ）= xf'（X ），F （1） = 0. 、” 1 1 1 2 所以 0[ 0 护(t)dt]dx = 0F(x)dx=xF(x)|0 — [x 2f '(x)dx 1 f (x)1 2 2 1 1= —[xdf(x)=—x f (x) |o +2Lxf'(x)dx 1 =2 0xf (x)dx. 5.7 设 f(X)= x 22 1 -x 0 f (x)dx + 2 [ f (x)dx ，试求f （X ）. 2解：设 A =[ f(x)dx,1B = If(x)dx ，贝U f(x)-X2- Ax +2B. 5.8求常数a,b 的值,使lim 丄丘忆=1X T bx —sin XJ a +tJ a + x 1，- x 2解: lim ———- = lim ~~ =〒 lim —xTbx-s inx xTb-cosx JaTb-cosx=1.所以b=1,此时原极限 =-^lim —$ X T 12-X 2= ___ =1石，所以a =4.5.9设函数 Xf （X ）在（=，母）上连续，且 F （x ） = （（X-2t ） f （t ）dt ，证明：（1）如果f （X ）为偶函数，则F （x ）也为偶函数；（2）当x ＞0时，如果f \x ）＜ 0 ,则F （x ）＞0.1_x证明：(1) F(—X)= 0 (―x-2t)f(t)dt ，令 t = —u, dt=—du. 所以：xXXF(-x) = -[(-X +2u)f(-u)du = L(x-2u)f(-u)du = [ (x-2u) f (u)du = F(x)即如果f(x)为偶函数，贝U F(x)也为偶函数.XXX(2) F(x) = ( (x-2t)f (t)dt =xL f(t)dt-2 Ltf(t)dt .XXF '(X)= t f (t)dt 中 xf(X)-2xf(X)= [ f (t)dt -xf(X)= xf (◎- xf (x), 0 < © < x5[X, [0,1]5.11 设 f (X) ={l O, X A 1,X c O的表达式.解军：0兰X —t 乞1,贝U t 兰X <1 +t . 所以当 21,t<-1 时，F(t)=0 ；1当一1<t <0时，F(t) = t xdx = ?(1 +t)2；因为 f(x)<0，则f (x)单调递减，所以 所以 F(x) >0.证明：[◎cos " 证明:令2x -t ，2H JI 『Si n n 2xdx = Q s in25.10 xdx -『si nn2xdx.则 dx = _2dt .才t)(-訥 _1 ~2 J ；J ；cos ntdt1 0=-[\兀cos ntdt +『cos ntdt]，对 J 兀cos n t nu 0 n丑 n= kcos n ud(-u) = J 2 cos n udu .~2—1 0所以 f 2sin n2xdx = — [「 p 2 - n兀COStdt + fcosHdt] =f 2cos nxdx.*0=10 X "[0，1]0,求 F(t) = J ：f(x —t)®(x)dx l O, X A 1, X < 0 N1 2-(1 +t)2, -1 C t c O21 2-(1 -t2), 0 <t c125.12设f (x)在［a,b］上连续，且f(x)>0，证明:f b f(x)dx {-^dx >(b -a)2 . •a a f (x)方法一:x x 1 2证明：令F(t)= [ f (t)dt 订帀dt-(x-a)，贝U F(a) =0=J：晋dt十a x攜dt -2(x - a T (咼+fS)dt -2(x -a). 由题意f(x)>0，所以［畫+需心升2—).即，因此F(x)在［a,b］上单调递增，F(b)>F(a) = O.b b 1 2所以 f f(x)dx 订 ---- dx>(b-a).'a f (x)方法二：证明：根据柯西施瓦兹不等式即得:5.13 解: 由于b b 1f f(x)dx - f---------a a f(x)2 .X Sin xxdxX[J b f(x) f^dx]a f(x)设f(x) = / Sin^dx，计算J xf (x)dx.1 x 01 1 1 212 1J0xf(x)dx = .0 f(x)d(2X ^-x f (x) |0= (b-a)2.1 2.0x f'(x)dx.sin xf(X)= 1 ——dx，则 f (1) = 0，f '(X)=2x1 xx2・ 2Sin x2~x,t >1,t < -1・ 2所以，上式[xf (x)dx =—丄 1 X2= 一[xsinx2dx2 X1 1 . 2.2 1 2 .1 1 .1=—-fsinx dx =-cosx |0= -cos1—-.2 0 2 2 25.14 设W(X)= 0 In(1+t)dt 和屮(x)= farcsintdt .证明：当X T0 时W(x)是屮（X）的等价无穷小.证明：iim迪十匚g = ,lmF^」lm_.T屮(x) T 卫I0 1 2 J0 X『arcsintdt 2*93n x 3所以,当X T 0时护（X）是屮（X）的等价无穷小.1 1 X5.15 设g(X)处处连续，且g(1)=5, ，0g(t)dt=2 , f(x) =? .0 (x-t)2g(t)dt，求f ”⑴，厂（1）. 解: X Xf (x)珥(X —t)g(t)dt， f "(X)= 0 g(t)dt，f「x) = g(x).所以1f“(1) = .0g(t)dt =2,「(1)=g(1)=5.5.16X设f（X）连续，F（X）= 0 f （t） f '（2a -t）dt，求证:F(2a)-2F(a)= f 2(a) — f (0) f(2a).2a证明：F(2a)-2F(a) = .0af (t)f'(2a —t)dt -2_0 f (t)f '(2a— t)dta 2a a「0 f(t)f'(2a-t)dt + a f(t)f'(2a-t)dt-2^ f (t) f'(2a-t)dt2a af(t)f'(2a-t)dt - J f (t)f'(2a-t)dta 02a[f(t)df(2a-t)-0 f(t)f'(2a-t)dt2a 2a a=—f(t)f(2a-t)|a +[ f(2a—t)f'(t)dt-J0f(t)f(2a—t)dt22a a=f 2(a) - f (0) f (2a) + a f(2a -t) f'(t)dt - 0 f(t)f '(2a -t)dt.对于：2a2a_L Y 0 aL f(2a-t)f(t)dt = [ f(x)f'(2a-x)(—dx) = [ f(x)f'(2a-x)dx.所以 F(2a)-2F(a) = f 2(a)-f(0)f (2a).5.17设f(x),g(x)在［a,b ］上连续，,试证：至少有一点c"a,b)，使b cf(c) c g(x)dx =g(c) a f (x)dx 成立.caxb证明：令 F(x) = a f(t)dt [g(t)dt,则 F(a) = 0,F(b) =0. 根据题意，有罗尔定理，3c €(a,b)，使FYc)=0.bcF '(c) = f (c) c g(t)dt -g(c) a f(t)dt =0bcf(c)[g(x)dx = g(c)[ f (x)dx .x 2t 2设 F(x) = [ e dt ，试求：F(x)的极值;F "(X)=0，得 X =兰丰4 . (2) F&) =2e~x -8x 4r ,4=-2(4x 4 -1)e 』=-2(2x 2 +1)(72x + 1)(72x -1)e 7".所以 5.18 (2) 曲线y = F(X)的拐点的横坐标; (3)x 2F \x)dx 得值.亍)时，yx)〉0,当 X “ -- ，七4 时，F"(x)v0.2所以x =± —是拐点，拐点的横坐标为-23 4 334dx = 2[期 dx + [ X e 」dx]测验题1.填空:1解答：令.0f(t)dt=A ，贝U f(x)=x+2A ，所以：当X 亡(=,一吕)时，F3)<0,3 2F (x)dx = J/X 4 ”2xe = 2[0 + 1 "23 3y 4 3 3y 4f x e dx] = 2 f X e dx41 _x 4.3 1 , 46 _81 \=2。