质心运动(课堂PPT)

m1l1m2l2（杠杆关系）
m1 x1
l1
xC
l2
m2 x2
x
xC就是m1和m2的质心位置
m 1 (x C x 1) m 2(x 2 x C ) xCm 1 m x1 1 m m 2 2x2m 1x1M m 2x 4 2
二.质心坐标
推广到3维质点系，若n个质点的位矢为
r1,r2, rn,
质点系总质量 Mmi
作用在质点系上的合外力等于质点系 的总质量与质心加速度的乘积
质心的运动状态变化只由系统所受 的合外力决定，与内力无关。
（质心运动定理本身只对惯性系成立!）
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质心的运动满足： F r合外Marc
质心能作为质点系 整体运动的代表!
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五.质心动量变化定理
质心运动定理：
F 合 外 d(M dv C t)M a c
2
旋轮线:教材P25习题1.4
• 质点系运动 质心运动＋各质点相对于质心的运动3
§6-1 质心动量定理
一. 质心
质心 — 质点系统的质量中心
对质点系, 总有一特殊点，其运动和质点系的所 有质量集中于该处的质点运动相同 质心
以质点系各点质量为权重的系统位置的平均值
以两质点系统为例：
若有一点xC，使
若质心系是非惯性系，则质心系中有:
F 合 F 外 惯 m a '（c质心系中的质心运动定律） 而a 'c0（质 心系中质心的加速度为零）
F 合 外 F 惯 0
在质心非惯性系中惯性力和外力完全抵消，
故系统总动量守恒，且恒为零。
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§6-2. 质心动能定理
M aCF 合 外
若F合
外 0x，则 a C0
合外力为零的系统，其质心相对某惯性系必静止或匀
速直线运动 质点组所受合外力为零时其质心系必为惯性系15
在质心系中，质点组的总动量恒为零（不变），即 动量守恒定律在质心系中恒成立！ 但质心系可能是惯性系，也可能是非惯性系． 为什么动量守恒定律在质心非惯性系中也成立？ 怎么理解这个结论？
F r 合 外 d t d M v r C d P r C微分形式
t2 t1
F 合d外 tP C2P C 1
积分形式
质心动量的改变量等于质点系合外力的冲量.
——质心动量变化定理
质心的动量变化只由系统所受的合外力冲量决定，
与内力无关。
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实际上, 凡是由牛顿定律直接导出的关于质点运动的 定理 (如动量定理, 动能定理, 角动量变化 定理等) 都适用于质点系的质心, 只要将质点 的质量换为质点系的总质量, 将力换为质点系 的合外力(且认为所有力都作用于质心)即可!
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• (2)因对任一参照系，质点组总动量=质心动量，即：
质心系中，质点组总动量=质心动量=0
质心系中质点组总动量为零!
z’
• (3) 质心系可能是惯性系， 也可能是非惯性系.
•(4) 当质点组所受合外力为零时，
z
Sቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C rc
mi
y’
质心系是理想的惯性系，
否则质心系是非惯性系.
O
y
由质心运动定理,对某惯性系有:
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六. 质心参考系
在选定的某参照系和坐标系中,质心坐标为：z’
1
rC M i miri
质心系——固定在运动物体上 且将坐标原点定在其质心上的
z
S C mi
rc
y’
坐标系．
O
• (1) 质心系Cx’y’z’中，
y
（用带撇的符号表示质心系中的量）x
质质质心心心的的 的加位 速速置 度度： ：vr：cc''ac'000质心的动量＝0；动能＝0
1 M
xdm
10 (aRRco )d saR
yC
1 M
ydm10Rsind2R
7
注意：
• 若物体的质量均匀分布+几何对称性其质心在几 何对称中心
• 重心，质心属物体固有，与外界无关， 但二者可能重合
• 质心不一定在物体内部．
• 已知系统各部分的质心，可求整个系统的质心
• 质点系运动 质心运动＋各质点相对于质心的运动
则质心的位置: i
1
rC M i miri
miri Mrc
z C
rc O ri
x
mi y
i
直角坐标系中质心的位置坐标：
mi xi
xC
i
M
mi yi
yC
i
M
mi zi
zC
i
M
即:
m ix i M C , m x ix i M C , m x ix i M C5 x
i
i
i
对质量连续分布的物体，可将其分为无穷多个小质元dm
r 是 任d一 的 m 质 位元 置 矢 z 量
dm
则质心位置:
1
rC
M
rdm
M
r
直角坐标系中质心位置坐标：
r
y
x
xdm
ydm
zdm
xC M
yC M
zC M
一维线状物体: d m (x )dx(x )—质量线密度
二维面状物体: d m (x ,y )dS (x ,y )—质量面密度
MvC mi vc
——质心动量
i
mivi ——质点系的总动量
9
i
四.质心运动定理
因为惯性系中质点系统满足牛顿定律,即：
F合
外
dP dt
质点系统所受的合外力等于 系统总动量的时间增加率
而质点系的总动量=质心动量：P
N
pi Mvc
F r 合 外 d (M d tv r C ) M d d v r tC M a r c—i1—质心运动定理
三维物体: d m (x ,y ,z ) dV (x ,y ,z )—质量体密度 6
例：质量为M，长度为l 的均匀细杆弯成半圆形，
如图放置. 求质心的位置。
解： 取任意弧元ds Rd
y
dmdsMRd y
l
任意弧元ds的位置坐标： O a
M, l d
ds R
xx
xaRRcos; yRsin
xC
力学(Mechanics)
第1章 质点运动学 第2章 牛顿力学的基本定律 第3章 动量变化定理和动量守恒 第4章 功和能 第5章 角动量变化定理和角动量守恒 第6章 质心力学定理 第7章 刚体力学 第8章 振动 第9章 波动 第10章 流体力学** 第11章 哈密顿原理**
1
第6章 质心力学定理
§6-1. 质心动量定理 §6-2. 质心动能定理 §6-3. 质心角动量定理 §6-4. 有心运动方程与约化质量
那么质心的运动情况由什么决定呢？
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三.质心动量
对任一参照系，质心运动速度：
vC
drC dt
d1 dtM
i
miri
1 d Mdt
i
miri
1
M i
mi ddrit
1
M
i
mivi
M vC mivi
i
对任一参照系，质心动 量等于质点组总动量
定义：质点系的总质量乘以质心的速度=质心动量