5基尔霍夫衍射理论
傅里叶光学课件 02_02基尔霍夫衍射理论
光波的传播过程就是光波衍射过程假设与近似(1)整个光波场内光矢量振动方向不变,或只考虑光矢量的一个分量;(2)衍射屏的最小尺度远大于波长.(3)观测距离远大于波长．光波衍射的线性系统分析基尔霍夫波衍射理论(书2.1惠更斯－菲涅耳原理与基尔霍夫衍射理论一、惠更斯－菲涅耳原理子波(次波)相干叠加0exp()(,)jkr K r θθdU (Q )0)jkr Σ••QrΣnθθS 1S 20exp()1(cos 2jkr r θi是在无限大不透光屏上有一开孔的情况下推导出的. 但可以推广到其它任何复杂的衍射屏。
只是此时，公式中:()()()i P U P t P =入射到衍射屏上的光场的复振幅分布，衍射屏的复振幅透过率。
光波衍射过程是线性系统变换基尔霍夫衍射积分公式为:1e (x )p j krjkr j r 1exp()1(cos 2λ=i 此式是一个叠加积分，满足线性系统的叠加性和均匀性。
因此衍射过程（光波从衍射平面到观察平面的传播过程）可以看作是一个线性系统。
是该线性系统的脉冲响应(点扩散函数可以看作是: 衍射屏上P 点的一个单位脉冲在场产生的复振幅分布。
它描述了衍射系统的特性。
相干光场在自由空间传播的平移不变性2z距z 足够大），且观察范围较0cos 1θ≈(U x 0r Si(x 0这表明，在满足一定条件下，衍射屏上各次波源在场点处所产生的复振幅分布具有相同的分布形式，只是发生了也就是说，具有平移不变性。
可写成卷积形式：21exp jk z zλ⎡+⎣0)(,)y h x x y y −−相干光场在自由空间传播的脉冲响应的近似表达式21exp jk z j zλ⎡⎣220)()1y y z ⎡+−=⎢⎣一、菲涅耳近似(傍轴近似) →菲涅耳衍射在衍射屏和观察范围确定后，当项以后的高次项，不会引起明显的相位误差。
高次项中，起主要作用的是第3项，即当由第20()(28x x zπλ⎡−+⎣201()(8x x λ⎡−+⎣exp()exp jkz jk j z λ⎡=⎢⎣系统的脉冲响应可表示为：菲涅耳衍射的脉冲响应，仍具有平移不变性0002(,)exp exp()exp 2U x y jk jkz x jk j z z λ∞−∞⎡⎢⎣⎡+⎢⎣∫二、夫琅禾费近似（远场近似）→在菲涅耳近似的基础上，如果z 进一步增大，且进一步限定衍射屏透光区域，以至于：2max 2π 可以忽略，忽略该项所引起的相位误差很小22)y y x ⎤−exp())exp jkz x jk j z λ⎛=⎜⎝22exp 2(2y x j x z z πλ⎞+⎡−⎟⎢⎣⎠000)(,;,)y h x y x y dx 则衍射的光场分布为:从上式可以看出：夫琅禾费衍射仍是线性系统，但不是平移不变系统，不再具有平移不变性。
菲涅尔基尔霍夫衍射积分公式
菲涅尔基尔霍夫衍射积分公式下载温馨提示：该文档是我店铺精心编制而成，希望大家下载以后，能够帮助大家解决实际的问题。
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基尔霍夫公式
（4）
3． 基尔霍夫衍射积分公式的证明 ． ⑴ 应用基尔霍夫边界条件 为了简化亥姆霍兹－基尔霍夫公式，使其成为更便于计算衍射问题的形式，可按图 x 的方式选 取闭合面 S = Σ + Σ1 + Σ 2 ，其中
图3
Σ1 －位于 ( ξ ,η ) 平面上一个无穷大的不透明屏；
Σ －不透明屏上一个开孔（衍射孔径） ；
r
P
∂E 来表示（图 1） 。下面介 ∂n
r
n
ε
P1
Sε
S
V
图1
图2
3． 应用格林定理 ． 格林定理表示为：
∫∫∫ ( G∇ E − E∇ G )dv = ∫∫ G ∂n − E ∂n dσ
2 2 v S
∂E
∂G
（5）
式中 E 为包围 P 点的任意封闭面 S 上的电场， 格林函数 G =
（17）
上式中， Ω 是 Σ 2 对 P 点所张的立体角， d ω 是立体角元。由于
GR = exp ( jkR ) 在 Σ 2 上一致有界，只要满足下述的索末菲辐射条件：
∂E lim R + jkE = 0 R →∞ ∂n
（18）
对 Σ 2 的积分就会随着 R → ∞ 而消失。
exp ( jkR ) R
∂G ( P ) 1 e jkR 1 = cos ( n , R ) jk − ≈ − jkG ∂n R R 因为:R → ∞, con ( n , R ) = −1
（16）
于是，对 Σ 2 的积分化简为：
1 4π ∂E ∂E + E ( jkG ) dσ = ∫∫ R + ( jkE ) ( GR ) dω G ∫∫ ∂n ∂n Σ1 Ω
惠更斯菲涅尔原理基尔霍夫衍射理论
若取 G~ 也满足亥姆霍兹方程，则
由
22GE~~
kk22GE~~
§5－1惠更斯－菲涅尔原理
波动具有两个基本性质，一方面，它是扰动 的传播，一点的扰动能够引起其它点的扰动， 各点相互之间是有联系的。另一方面，它具有 时空周期性，能够相干迭加。
惠更斯原理中的“次波概念反映了上述前一 基本性质，这是其成功的地方。但“时空周期 性”并没有反映。
利用惠更斯原理，可以说明衍射的存在，但 不能确定光波通过衍射屏后沿不同方向传播的 振幅，因而也就无法确定衍射图样中的光强分 布。
§5－1惠更斯－菲涅尔原理
二、惠更斯－菲涅耳原理 此是研究衍射现象的理论基础： 波动具有两个基本性质： 1、波动是扰动的传播，一点的扰动能够引 起其它点的扰动，各点的扰动相互之间是有 联系的； 2、波动具有时空周期性，能够相干叠加。
§5－1惠更斯－菲涅尔原理
在惠更斯原理中，由于缺少对时空周期性 的反映，从而对各次波如何叠加问题就不 能给出令人满意的回答。
1818年，在巴黎科学院举行的以解释衍射现 象为内容的有奖竞赛会上，年青的菲涅耳 出人意料地取得了优胜，他吸收了惠更斯 提出的次波概念，用“次波相干迭加”的 思想将所有衍射情况引到统一的原理中来, 这个原理就是惠更斯菲涅耳原理。
§5－1惠更斯－菲涅尔原理
惠更斯--菲涅耳原理
Z RQθ
其内容如下：
P
~ EQ
A expikR
R
Σ＇ Z＇
§5－1惠更斯－Z菲涅尔原理
~ EQ
A expikR
R
RQθ
Σ
r
S
P
Σ＇ Z＇
式中，A是离点光源单位距离处的振幅，
02-31.2 基尔霍夫衍射公式
(n, r)
并设 Σ 的线度δ 满足
n (n, l)
< <<Min(r, l)
l S
2 1
Q
R r
P
围绕 P 点作一闭合曲面。该闭合曲面由三部分组成：
①开孔 Σ； ②不透明屏的部分背照面 Σ1； ③以 P 点为中心、R 为半径的大球的部分球而 Σ2。
在这种情况下，P 点的光场复振幅为
2
1
(n, r) Q
(1)
r
E (P) i
eikr E (l)
cos(n,r)
cos(n, l) d (14)
r
2
① P 点的光场是Σ 上无穷多次波源产生的，次波源的复振幅与入射波在 该点的复振幅 成正比，与波长 成反比；
② 因子(- i) 表明，次波源的振动相位超前 于入射波 / 2；
E(Q) E(l) A eikl l
n (n, l)
R
E(P) 1 4π
E eikr 1 2n rd
eikr E
nr
(11)
S
r
l
P
下面确定这三个面上的 和 / 。
①在上Σ， 和 / 的值由入射波决
定，与不存在屏时的值完全相同。因此
E A eikl l
E cos(n, l) ik 1 A eikl (12)
n
ll
(n, r) n (n, l)
eik ik
4πnEe
n
0时
4π eik E
0
n
4π ikeik
0
eik
0
ik
ik E=4π e ik
4π ikeik
V
nn P
故有
惠更斯-菲涅尔原理§5-2基尔霍夫衍射理论
§5－1惠更斯－菲涅尔原理
波动具有两个基本性质，一方面，它是扰动 的传播，一点的扰动能够引起其它点的扰动， 各点相互之间是有联系的。另一方面，它具有 时空周期性，能够相干迭加。
惠更斯原理中的“次波概念反映了上述前一 基本性质，这是其成功的地方。但“时空周期 性”并没有反映。
利用惠更斯原理，可以说明衍射的存在，但 不能确定光波通过衍射屏后沿不同方向传播的 振幅，因而也就无法确定衍射图样中的光强分 布。
1818年，在巴黎科学院举行的以解释衍射现 象为内容的有奖竞赛会上，年青的菲涅耳 出人意料地取得了优胜，他吸收了惠更斯 提出的次波概念，用“次波相干迭加”的 思想将所有衍射情况引到统一的原理中来, 这个原理就是惠更斯菲涅耳原理。
§5－1惠更斯－菲涅尔原理
惠更斯--菲涅耳原理
Z RQθ
其内容如下：
V
闭合曲面∑’传播。
则光波电磁场的 任一直角分量的复振幅
~ E
Σ＇ ε ε P n
n
§5－2基尔霍夫衍射理论
满足亥姆霍兹方程
即
2 E k2 E 0
若不考虑电磁场其它分量的影响，孤立地
把 表示E看面作内标任量一场点，的并E ，用这曲种面理上论的就E 和是标E n值量
衍射理论。
设EΒιβλιοθήκη 和一个位置坐标的任意复函数G在曲面
§5－1惠更斯－菲涅尔原理
二、惠更斯－菲涅耳原理 此是研究衍射现象的理论基础： 波动具有两个基本性质： 1、波动是扰动的传播，一点的扰动能够引 起其它点的扰动，各点的扰动相互之间是有 联系的； 2、波动具有时空周期性，能够相干叠加。
§5－1惠更斯－菲涅尔原理
在惠更斯原理中，由于缺少对时空周期性 的反映，从而对各次波如何叠加问题就不 能给出令人满意的回答。
基尔霍夫公式
2 － 以考察点 P 为球心，半径 R 趋于无穷大的 球面。
于是公式（4）的亥姆霍兹－基尔霍夫积分可表示为：
E
7/26/2021
p
1 4
1 2
E
n
exp jkr
r
E
exp jkr
n学 习文r档
d
（14）
为了确定这三个面上的 E ，E 值，可以应用基尔霍夫边界条件（或基尔霍夫 n
（21）
7/26/2021
学习文档
⑶ 亥姆霍兹－基尔霍夫积分的进一步化简
如图 x 所示，对孔径平面上的任意点 Q ，设 E 是从 S0 点发出的单色球面波在 Q 点的分布，格林函数为 Q 点
发出的球面子波对考察点 P 的贡献量，于是有：
E Q A e jkr0 ，
r0
G Q e jkr
r
（22）
所示的闭合面传播时，光波复振幅 7/26/2021
E
r
可用学上习式文来档描述。
2．亥姆霍兹－基尔霍夫定理 1882 年，基尔霍夫从亥姆霍兹方程出发，利用数学上的格林定理，导出
了一个求解标量波衍射的基本公式，即亥姆霍兹－基尔霍夫定理：
E p
1 4
s
E n
exp
r
jkr
E
n
exp
r
2E K 2E 0
（6）
2E K 2E 0
并将上述方程代入格林定理，容易证明其左边：
G2E E2Gdv 0
v
于是，格林定理化简为：
S
G
E n
E
G n
d
S
G
E n
E
G n
d
（7） （8） （9）
基尔霍夫方程物理化学
基尔霍夫方程物理化学基尔霍夫方程是物理化学中非常重要的一个概念，它描述了电路中电流的分布规律。
本文将从人类的视角出发，用通俗易懂的语言，向读者介绍基尔霍夫方程的概念和应用。
第一段：引言基尔霍夫方程是物理化学中电路分析的基础，它能够帮助我们理解电流在电路中的流动规律。
无论是日常生活还是科学研究，电路都无处不在，因此了解基尔霍夫方程的原理和应用对我们来说是非常重要的。
第二段：基尔霍夫方程的概念基尔霍夫方程由德国物理学家基尔霍夫在19世纪提出，它是根据电流守恒和电荷守恒定律推导得出的。
基尔霍夫方程主要包括两个基本原理：电流守恒和电势守恒。
电流守恒原理表明，在一个节点处，进入和离开节点的电流之和为零；电势守恒原理则要求在一个回路中，电路中各个点的电势差之和为零。
第三段：基尔霍夫方程的应用基尔霍夫方程的应用非常广泛，几乎涵盖了电路中所有的分析问题。
通过运用基尔霍夫方程，我们可以计算电路中各个元件的电流和电势差，从而帮助我们理解电路的工作原理。
例如，在串联电路中，我们可以利用基尔霍夫方程计算电阻上的电流，从而了解电路中各个元件的能量分配情况。
在并联电路中，基尔霍夫方程可以帮助我们计算总电流和各个支路的电流。
第四段：基尔霍夫方程的意义和应用领域基尔霍夫方程的应用不仅限于电路分析，还可以在其他领域中发挥重要作用。
例如，在化学反应中，我们可以将反应过程看作一个电路，利用基尔霍夫方程来分析反应物和生成物之间的转化关系。
在光学领域，基尔霍夫方程可以帮助我们理解光的传播规律和干涉现象。
因此，掌握基尔霍夫方程不仅有助于我们在物理化学领域的学习和研究，也可以应用于其他科学领域。
结尾段：总结基尔霍夫方程作为物理化学中的重要概念，可以帮助我们理解电路中电流的分布规律。
通过应用基尔霍夫方程，我们可以计算电路中各个元件的电流和电势差，从而帮助我们分析电路的工作原理。
此外，基尔霍夫方程还可以在化学、光学等领域中发挥重要作用。
因此，学习和掌握基尔霍夫方程对我们来说是非常有益的。
基尔霍夫衍射理论
a
a
（3）双缝光栅，如图
y
aa
x
d
0
d
2
2
t
x,
y
rect
x
d a
/
2
rect
x
d a
/
2
1
常用衍射屏的透过率函数表示（2）：
（4）圆孔衍射物，直径为d。
d
tx, y circ
x2 d
y2
circ
r d
1 0
r d/2 r d /2
说明：上面举例都是衍射屏的振幅变化分布，至于 相位变化型的衍射屏，最典型的是 透镜 。
对r进行二项式展开并化简，有
脉冲响应：
hx, x0; y, y0
1 jz
exp
jk
x
x0
2
y
y0
2
z2
hx x0 , y y0
显然，脉冲响应具有空间不变的函数形式。
无论孔径平面上子波源的位置如何，它所 产生的球面子波的形式是一样的。
hx x0 , y y0
1 jz
exp
jk
x
（2） 外， U 0 P 0
衍射公式的积分限可以被扩展到无穷，即：
UQ
U0
P
F
0
,
e jkr r
dS
衍射公式的适用范围：任意单色光波照明孔径的情况。
因为任意复杂的光波都可以看成是简单球面波的线性组
合。因此，上式中的 U0P 可以理解为在任意单色光照
明下对孔径平面产生的光场分布。
对教材80页一段话的理解。
与惠更斯—菲涅耳衍射积分公式比较：
UQ
1
j
菲涅耳-基尔霍夫公式
基尔霍夫给出了倾斜因子的具体形式：
K cos(n, r ) cos(n, l )
2
若：入射波为垂直入射到孔径的平面波。则
cosn, l 1, cosn, r cos K 1 cos
2
显然：θ= 0时，K(θ)=1 θ=π时，K(θ)=0
Chapter 10 光的衍射
工程光学
Engineering Optics
Chapter 10 光的衍射
第10章 光的衍射
Chapter 10 光的衍射
一单色强光源（激光）发出的光波， 通过宽度为且连续可调的竖直狭 缝上，则在狭缝后的屏上将发现： 当足够大时，在屏上看到的是一 个均匀照明的光斑，光斑的大小为 狭缝的几何投影。这与光的直线传 播相一致。
的波源，从所有面元发射的次波将在P点相遇。 一般说来，由各面元d ∑到P点的光程是不同的，从而在P点引起的振
动位相不同，P点的总振动就是这些次波在这里相干叠加的结果。 以上就是惠更斯－菲涅耳原理的基本思想
Chapter 10 光的衍射 二、惠更斯－菲涅耳原理
惠更斯－菲涅耳原理可以表述如下：
➢ 波前上每一个面元都可看成是新的 振动中心，它们发出次波（频率与 入射波相同）;
K 1
（2）由于上述条件，使孔径范围内的 任一点Q,到观察屏上考察点P的距离r 变化不大，则可取
1 1
r
z1
Chapter 10 光的衍射
§10.2.3 基尔霍夫衍射公式的近似
一、傍轴近似
（初步近似）
E~P
A
i
exp ik l
l
expikr
r
cosn,
r
-
2
cosn,
基尔霍夫衍射公式
这就是亥姆霍兹—基尔霍夫积分定理。
0 E G ( P) G E d 4 π E n n
1.基尔霍夫积分定理
它将 P 点的光场与周围任一闭合曲面Σ 上的光场 联系了起来：
ikr eikr 1 E e E ( P) ( ) E ( ) d (10) 4 π n r n r
惠更斯原理:
S
平面波
球面波
4.1.2 惠更斯—菲涅耳原理 (Huygens-Fresnel principle)
根据惠更斯—菲涅耳原理: 可以看作是 S 和 P 之 间任一波面Σ上各点发出的次波在 P 点相干叠加的 结果。 z
R S Q
r
P
z
4.1.2 惠更斯—菲涅耳原理 (Huygens-Fresnel principle)
P
2. 基尔霍夫衍射公式 围绕 P 点作一闭合曲面。该闭合曲面由三部分组成 ：开孔Σ，不透明屏的部分背照面Σ1，以 P 点为中 心、R 为半径的大球的部分球而Σ2。
(n, r) (n, l) n S l
Q r
1
R
2
P
2. 基尔霍夫衍射公式
在这种情况下，P 点的光场复振幅为
eikr 1 E ( P) E 4π 1 2 n r eikr E n r d (11)
第4章 光的衍射 (Diffraction)
在基尔霍夫标量衍射理论的基础上，研究两种最 基本的衍射现象和应用：
菲涅耳衍射(近场衍射)
夫琅和费衍射(远场衍射)
4.1.1 光的衍射现象 (Diffraction phenomena)
基尔霍夫定律基础知识资料讲解
基尔霍夫定律基础知识基尔霍夫定律基尔霍夫定律是德国物理学家基尔霍夫提出的。
它既可以用于直流电路的分析，也可以用于交流电路的分析，还可以用于含有电子元件的非线性电路的分析。
运用基尔霍夫定律进行电路分析时，仅与电路的连接方式有关，而与构成该电路的元器件具有什么样的性质无关。
基尔霍夫定律是电路理论中最基本也是最重要的定律之一。
它概括了电路中电流和电压分别遵循的基本规律。
它包括基尔霍夫电流定律（KCL）和基尔霍夫电压定律（KVL）。
基尔霍夫定律是求解复杂电路的电学基本定律。
从19世纪40年代，由于电气技术发展的十分迅速，电路变得愈来愈复杂。
某些电路呈现出网络形状，并且网络中还存在一些由3条或3条以上支路形成的交点(节点)。
这种复杂电路不是串、并联电路的公式所能解决的，刚从德国哥尼斯堡大学毕业，年仅21岁的基尔霍夫在他的第1篇论文中提出了适用于这种网络状电路计算的两个定律，即著名的基尔霍夫定律。
该定律能够迅速地求解任何复杂电路，从而成功地解决了这个阻碍电气技术发展的难题。
基尔霍夫定律建立在电荷守恒定律、欧姆定律及电压环路定理的基础之上，在稳恒电流条件下严格成立。
当基尔霍夫第一、第二方程组联合使用时，可正确迅速地计算出电路中各支路的电流值。
由于似稳电流(低频交流电)具有的电磁波长远大于电路的尺度，所以它在电路中每一瞬间的电流与电压均能在足够好的程度上满足基尔霍夫定律。
因此，基尔霍夫定律的应用范围亦可扩展到交流电路之中。
基本概念：1、支路：（1）每个元件就是一条支路（2）串联的元件我们视它为一条支路（3）流入等于流出的电流的支路。
2、节点：（1）支路与支路的连接点（2）两条以上的支路的连接点（3）广义节点（任意闭合面）。
3、回路：（1）闭合的支路（2）闭合节点的集合。
4、网孔：（1）其内部不包含任何支路的回路（2）网孔一定是回路，但回路不一定是网孔。
主要内容：基尔霍夫第一定律第一定律又称基尔霍夫电流定律，简记为KCL，是电流的连续性在集总参数电路上的体现，其物理背景是电荷守恒公理。
第二章 标量衍射理论
倾斜因子K()的具体函数形式也难以确定。
基尔霍夫利用格林函数，通过求解波动方 程，导出了严格的衍射积分公式，解决了上 述问题， 从而把惠更斯—菲涅耳原理置于更 为可靠的波动理论基础上。
2.1.1 惠更斯—菲涅耳原理 与基尔霍夫衍射公式
单色光场中任意一点Q的光振动M应满足 标量波动方程
2.1.1 惠更斯—菲涅耳原理 与基尔霍夫衍射公式
一般地说，不论以什么方式改变光波波面， 或是以一定形式限制波面范围 或使振幅以一定分布衰减， 或是以一定的空间分布使相位延迟， 或是兼而有之， 都会引起衍射．所以障碍物的概念除去不
透明屏上有开孔这种情况以外，还包含具有 一定复振幅的透明片．
论其脉冲响应和传递函数．
2.1 基尔霍夫衍射理论
2.1.1 惠更斯—菲涅耳原理与基尔霍夫衍射 公式
惠更斯—菲涅耳原理是在惠更斯子波假设 与杨氏干涉原理的基础上提出的，它是描述 光传播过程的基本原理．
该原理指出：光场中任一给定曲面上的 诸面元可以看做是子波源，如果这些子波源 是相干的，则在波继续传播的空间上任一点 处的光振动，都可看做是这些子波源各自发 出的子波在该点相干叠加的结果．
因为总可以把任意复杂的光波分解成简 单的球面波的线性组合．波动方程的线性性 质允许对每一单个球面波分别应用上述原理， 再把它们在Q点的贡献更加起来．
2.1.1 惠更斯—菲涅耳原理 与基尔霍夫衍射公式
根据基尔霍夫对平面屏幕假设的边界条 件，孔径外的阴影区内U0(P)=0, 基尔霍夫衍 射公式的积分限可以扩展到无穷，从而有
2.1.1 惠更斯—菲涅耳原理 与基尔霍夫衍射公式
当然，这里所说的光场中任一给定曲面 无须是等位相面，即不是原始惠更斯—菲涅 耳原理中所说的波面．
基尔霍夫衍射公式瑞利
dU(x, y) A e jkr ds r
U ( p) A 1 e jkrds A为常量 r
x1y1
ds
n r
U(x1,y1) U'(x1,y1)
U ( p)
U
(
x1
,
y1
)
e
jkr
r
dx1dy1
t(x1,y1)
e jkr
t(x1, y1 )U (x1, y1 )
V
(G 2U
U
2G)dV
S
(G
U n
U
G )dS n
指S面上每一点沿法线向外的方向导数。 n 如果U是复光场分布，则把G一般称为格林函数。
U是复数光场，必然满足亥母霍兹方程
2U k 2U 0
如果选择的G也满足
2G k 2G 0
则有
(G 2U U 2G)dV 0
n
即空间不存在光场。所以，条件①使得空间不存在光场，条件②又表示 在上有场，所以两者是矛盾的。
索末菲重新选用了格林函数
G
exp( jkr) r
exp( jkr1 ) r1
n
θ
r1
r
•
其中r1由 p点的对称点p1点算起。
P1
P•
根据基尔霍夫积分公式有
U (P) 1
4
U
V
即有
S
(G
U n
U
G )dS n
0
基尔霍夫选择的格林函数为： G( p) e jkr r
它表示圆心在p点的单位振幅的球面波，所以满足
基尔霍夫衍射理论
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§ 3. 基尔霍夫衍射理论
c.相干光场在自由空间传播的平移不变性
当观察屏足够远，衍射区相对小时，可得：
cos( n r ) 1
cos(
n
r0
)
1
此时点扩散函数为：
Q
h(P,Q )
1 e jkr j r
K ( )
1 e jkr j r
Optical Information Processing
光学信息处理
第二章
Scalar Quantity Diffraction Theory
标量衍射理论
§ 3. 基尔霍夫衍射理论
a.惠更斯-菲涅耳原理与基尔霍夫衍射公式
p
1.惠更斯-菲涅耳原理
S*
波传到的任何一点都是子波的波源， 各子波在空间某点的相干叠加，就 决定了该点波的强度。
b.惠更斯-菲涅耳原理与叠加积分
当令：
h ( p1, p )
1 e jkr j r
K ( )
基尔霍夫衍射公式可表示为：
U ( p ) U 0 ( p 1 ) h ( p 1 , p ) dS
S
h ( p 0 , p ) 的物理意义：
在p1点有一个单位脉冲（U0(p1)dS）在观察点p造成的复振幅分布。 ——脉冲响应函数或点扩散函数
dU ( p ) U ( p 1 ) K ( θ ) dS r
n
dS ·
r
p1
S(波前)
设初相为零
dU(p)
p·
§ 3. 基尔霍夫衍射理论
a.惠更斯-菲涅耳原理与基尔霍夫衍射公式
K( ):倾斜因子
5基尔霍夫衍射理论
满足以上条件，则有
2
1 e jkr hP , Q j r
2
r z 2 x x 0 y y0
对r进行二项式展开并化简，有 脉冲响应：
h x , x0 ; y, y0
2 2 2 e xp jk x x y y z 0 0 jz h x x0 , y y0
通常的光学仪器都满足上述条件！
基尔霍夫衍射理论
惠更斯—菲涅耳原理
e jkr U Q C U 0 P K dS r
（1）
惠更斯—菲涅耳原理建立在“子波 源”的假说上。假定子波源振动相位比 实际光波在该点的振动超前 。 2
叠加积分公式表明：观察点Q的光波分布 U Q 是 所有单位脉冲在Q点引起的光波扰动的相干叠加。
上式表明：孔径平面上透射光场和观察平面上光场之间 存在一个卷积关系。
衍射屏的新定义
在波动光学中，一般认为衍射屏就是在不透明屏上开各种各样的孔。 如今，我们将“能引起衍射的障碍物”统称为衍射屏。
例如： 障碍物的振幅以一定的分布衰减；（以一定的形式限定波面的变化） 障碍物的相位延迟；（衍射屏的光学厚度发生变化） 或两者兼而有之。 表示衍射屏的光学性质的一个重要参数是：复振幅透过率，有些场合 里 tP t x, y, z 又称为孔函数或瞳函数，一般用 或 表示。 前 后
e jkr U Q c U 0 P F 0 , dS r
惠更斯—菲涅耳衍射积分公式
可以看出： 倾斜因子
常数 c
1 j
cosn, r cosn, r0 F 0 , 2
基尔霍夫假设：
（1）在上， U 0 P 与无屏时一样； （2） 外， U 0 P 0
3.1 衍射的基本理论
Q
n ) r0 r P
数学表达式
注意数学表达式 的物理含义及各 量的物理意义
dS S
dS所发次波在P点 K ( ) E (Q) ikr dE C e dS 产生的振动为 r S上所有面元dS在P点叠加产生的合振动为 ~ K ( ) E (Q) ikr E dE C e dS s s r 此式称为菲涅耳衍射积分，一般计算此积分相当复杂， 特殊情况下可简化，可用代数加法或矢量加法代替积分。
“光的直线传播”不是独有的，机械波、电磁 波同样也有直线传播。
超声波具有明显的方向性、高架公路边的隔声墙、 海港防波堤 微波一般也表现为直线传播，－－微波中继站
3/4/2016
衍射的分类
障碍物 光源 S 观察屏
*
R
B
r0
P
1、菲涅耳（Fresnel）衍射 （近场衍射）
r0 和 R 中至少有一个是有限值。
注意刀片狭缝的衍射花样
3/4/2016
注意阴影中央的亮点（泊松点）
光的衍射是有条件的
主要取决于障碍物的大小，当障碍物的线 度与波长可比时，即会出现衍射现象； 衍射现象是否明显，除障碍物的线度外， 还与观察的距离和方式、光源的强度和相 干性等因素有关； 一般来说，障碍物的线度要比光波的波长 大得多，故不易看到光的衍射现象。
这就是亥姆霍兹- -基尔霍夫积分 定理。 它将P点的光场与周围任一闭合曲 面Σ上的光场联系了起来； 实际上可以看作是惠更斯- -菲涅 耳原理的一种较为完善的数学表 达式。
3/4/2016
2. 基尔霍夫衍射公式
i ~ ~ e cos(n , r ) cos(n , l ) E ( P) E (l ) d (3 - 14) r 2
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上式表明：孔径平面上透射光场和观察平面上光场之间 存在一个卷积关系。
衍射屏的新定义
在波动光学中，一般认为衍射屏就是在不透明屏上开各种各样的孔。 如今，我们将“能引起衍射的障碍物”统称为衍射屏。
例如： 障碍物的振幅以一定的分布衰减；（以一定的形式限定波面的变化） 障碍物的相位延迟；（衍射屏的光学厚度发生变化） 或两者兼而有之。 表示衍射屏的光学性质的一个重要参数是：复振幅透过率，有些场合 里 tP t x, y, z 又称为孔函数或瞳函数，一般用 或 表示。 前 后
常用衍射屏的透过率函数表示：
（4）圆孔衍射物，直径为d。
d
r d /2 r d /2
x2 y2 r 1 circ t x , y circ d d 0
说明：上面举例都是衍射屏的振幅变化分布，至于相位变化型的衍射屏， 最典型的是透镜 。
通常的光学仪器都满足上述条件！
基尔霍夫衍射理论
惠更斯—菲涅耳原理
e jkr U Q C U 0 P K dS r
（1）
惠更斯—菲涅耳原理建立在“子波 源”的假说上。假定子波源振动相位比 实际光波在该点的振动超前 。 2
叠加积分公式表明：观察点Q的光波分布 U Q 是 所有单位脉冲在Q点引起的光波扰动的相干叠加。
（1）孔径平面上的光波分布是P0点发 射的单色球面波产生的； 因此有
U 0 P a0 jkr0 e r0
点光源P0照明平面屏幕
与惠更斯—菲涅耳衍射积分公式比较：
1 U Q j
a0 e r0
jkr0
jkr cosn, r cosn, r0 e dS 2 r
e jkr U Q c U 0 P F 0 , dS r
惠更斯—菲涅耳衍射积分公式
可以看出： 倾斜因子
常数 c
1 j
cosn, r cosn, r0 F 0 , 2
基尔霍夫假设：
（1）在上， U 0 P 与无屏时一样； （2） 外， U 0 P 0
满足以上条件，则有
2
1 e jkr hP , Q j r
2
r z 2 x x 0 y y0
对r进行二项式展开并化简，有 脉冲响应：
h x , x0 ; y, y0
2 2 2 e xp jk x x y y z 0 0 jz h x x0 , y y0
x y x t x , y rect , rect 1 a a
（3）双缝光栅，如图
a
d 2
a
0
d 2
x d /2 x d / 2 t x, y rect rect 1 a a
比如：通过孔径平面的场分布计 算孔径后面任意一点的复振幅。
解决的方法：利用格林定理，通过 假定衍射屏的边界条件，求解波动 方程，得到基尔霍夫衍射公式。
基尔霍夫衍射公式
1 U Q j
a0 e r0
jkr0
jkr cosn, r cosn, r0 e dS 2 r
光波传播的线性性质
基尔霍夫衍射公式
令
1 U Q j
e jkr U 0 P F 0 , dS r
（ 1）
1 e jkr F 0 , hP , Q j r
则（1）式化简为 U Q
U P hP , Q dS
0
（ 2）
说明：（2）式是叠加积分，它的物理意义是
P点有一个单位脉冲，它在观察点Q造成的光波 分布是 hP , Q ，它被称为脉冲响应。
叠加积分公式表明：观察点Q的光波分布 U Q 是 上所有单位脉冲在Q点引起的光波扰动的相干叠加。
Hale Waihona Puke 条件：（1）点光源P0足够远，且入射光在孔径平面上各点的 入射角都不大。 （2）观察平面与孔径平面的距离z远大于孔径，且在 观察面上仅仅考虑一个对孔径上各点张角不大的范围。
标量衍射理论
信息光学主要研究内容：光波作为载波，实现 信息的传递、变换、记录和再现问题。 标量衍射理论是研究上述问题的物理基础，我们 用它来研究光波传播规律。 光波是矢量波。当满足下列条件时，标量衍 射理论得到的结果与实际情况十分相符。 条件： 1）衍射孔径比波长大得多； 2）观察屏离衍射孔径相当远。
衍射公式的积分限可以被扩展到无穷，即：
e jkr U Q U 0 P F 0 , dS r
衍射公式的适用范围：任意单色光波照明孔径的情况。 因为任意复杂的光波都可以看成是简单球面波的线性组合。 U可以理解为在任意单色光照明下对 因此，上式中的 0 P 孔径平面产生的光场分布。
定义：
U t P t P U i P
U i P
衍射屏
U t P
常用衍射屏的透过率函数表示：
（1）一个矩形孔
0.2 2mm2
的衍射物 x
x y t x , y rect , 0.2 2
（2）平行y轴的单狭缝，x轴上宽度为a。
2
k 2 U Q 0
--------亥姆霍兹方程
k 2
2 c
说明: 1. 亥姆霍兹方程与时间变量无关，因此多用于解决单色光场的空间分布。 2. 我们今后假定，在自由空间传播的任何单色光波的光场分布必须满足亥姆 霍兹方程。
基尔霍夫衍射理论所要解决的问题 光场中任意一点Q的复振幅能否用光场中其他各点 的复振幅表示出来？
1
显然，脉冲响应具有空间不变的函数形式。
无论孔径平面上子波源的位置如何，它所产生的 球面子波的形式是一样的。
h x x0 , y y0 e xp jk jz 1
x x0 2 y y0 2 z 2
U x , y U 0 x0 , y0 h x x0 , y y0 dx0 y0 U 0 x0 , y0 h x , y
上
（二）亥姆霍兹方程
1. 波动方程(标量)
单色光场中任意一点Q的光振动u满足
2 2 2 2 2 2 2 x y z
1 u u 2 2 0 c t
2 2
其中
--------拉普拉斯算符
代入波动方程,得到
将单色光波分布
uQ, t U Qe j 2t