热传导方程扩散方程45页PPT
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高等传热学-傅立叶导热定律及导热方程 ppt课件
heat conduction in the anisotropic medium
何为各向异性？
qi
3
ij
j 1
t x j
下标 i,j 分别是何含义?
i= 1,2,3
ppt课件
14
[q] [] t X
其中: 矢量Vector
q1
[q] q2 ,
2t
qV
0
(泊松方程）（ 椭圆型偏微分方程）
2t 0 （拉普拉斯方程）
考虑热传播速度的有限性
对于无源项情况，
1 c2
2t
2
1 t
a
2t （双曲线
型 hyperbola 偏微分方程）
是对抛物线型parabolic偏微分方程的一种修
温度场的重新建立滞后于热扰动的时间称为 松弛时间（或驰豫时间）relaxation time
ppt课件
10
以c代表热量传递速度，τ0代表驰豫时间，则在温度场重 新建立期间，热扰动传播的距离为δ＝c τ0，从热扩散率 角度来看，热扰动传播距离可以表示为δ＝a/c，从而：
c 0 a / c
则热量传播速度为
n
经典的傅立叶导热定律针对稳态(steady state)观察所
得，没有考虑热的波动性
在稳态导热情况下，热量传递速度可以看成无限大
方程说明什么？各变量是何含义？ 在直角坐标系中，上式如何描述？
ppt课件
5
经典傅立叶导热定律所得出热量传递 速度无限大的证明(prove)
针对初始温度为0℃的无限大一维物体，突然有单位体积
故可认定上述结论是傅立叶导热定律所导致
何为各向异性？
qi
3
ij
j 1
t x j
下标 i,j 分别是何含义?
i= 1,2,3
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14
[q] [] t X
其中: 矢量Vector
q1
[q] q2 ,
2t
qV
0
(泊松方程）（ 椭圆型偏微分方程）
2t 0 （拉普拉斯方程）
考虑热传播速度的有限性
对于无源项情况，
1 c2
2t
2
1 t
a
2t （双曲线
型 hyperbola 偏微分方程）
是对抛物线型parabolic偏微分方程的一种修
温度场的重新建立滞后于热扰动的时间称为 松弛时间（或驰豫时间）relaxation time
ppt课件
10
以c代表热量传递速度，τ0代表驰豫时间，则在温度场重 新建立期间，热扰动传播的距离为δ＝c τ0，从热扩散率 角度来看，热扰动传播距离可以表示为δ＝a/c，从而：
c 0 a / c
则热量传播速度为
n
经典的傅立叶导热定律针对稳态(steady state)观察所
得，没有考虑热的波动性
在稳态导热情况下，热量传递速度可以看成无限大
方程说明什么？各变量是何含义？ 在直角坐标系中，上式如何描述？
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5
经典傅立叶导热定律所得出热量传递 速度无限大的证明(prove)
针对初始温度为0℃的无限大一维物体，突然有单位体积
故可认定上述结论是傅立叶导热定律所导致
4扩散 PPT课件
2021/1/10
6
1、 扩散方程的通解：（数学部分自学） 可得到
无限大物体扩散方程的通解式（3-11） －∞≤x≤∞ 半无限大的物体扩散方程通解，式（3-13）
0≤x≤∞ 2、 扩散方程的特解：（数学部分自学） 限定源：书P70（3-20）（3-21）式浓度分布 恒定源：（3-32）浓度分布
2021/1/10
x
2Dt
2021/1/10
19
四、两步扩散
由上述分析可见，恒定表面浓度的扩散，难于制作出低表 面浓度的深结；有限源扩散不能任意控制杂质总量，因而难于 制作出高表面浓度的浅结。为了同时满足对表面浓度、杂质总 量以及结深等的要求，实际生产中常采用两步扩散工艺：第一 步称为 预扩散 或 预淀积，在较低的温度下，采用恒定表面浓度 扩散方式在硅片表面扩散一层杂质原子，其分布为余误差函数， 目的在于控制扩散杂质总量；第二步称为 主扩散 或 再分布，将 表面已沉积杂质的硅片在较高温度下进行有限源扩散，以控制 扩散深度和表面浓度。
40
The End
2021/1/10
41
3
Wi
4
1
2021/1/10
2
3
1
2
4
2、 替位式扩散机构
B、P、As、Sb、Al、Ga、Ge等杂质。替 位杂质：占据晶格位置的外来杂质。如 果替位杂质周围无空位，它必须要互相 换位（与晶格上的原子，如B、Si等）才 能实现往邻近晶格上运动
12 3
2021/1/10
替位模式
Ws
1
2
3
45
填隙模式
4.2 扩散方程
例2、制造npn大功率管，功率为50-100W，频率 1 5 0 KHz， 击 穿 电 压 VB 为 8 0 0 V， 最 大 电 流 Imax为20A，电流放大系数β≥10-20，表面 电阻R 为100-150Ω/ □
《数理方程》热传导的可视化演示
2.2 两端固定的弦振动
定解问题是
utt a 2 u xx , 0 x l , t 0, t 0, u (0, t ) 0,u (l , t ) 0, u ( x, 0) ( x), u ( x, 0) ( x), 0 x l t
2.1.2 无限长的弦的自由振动
a=1
10 l 10
2.1.2 无限长的弦的自由振动
a=1
10 l 10
( x at ) 1 x at s ds 2a
2.1.2 无限长的弦的自由振动
a=1
10 l 10
( x at ) 1 x at s ds 2a
解是
n at n at n u ( x, t ) an cos bn sin x sin l l l n 1
n bn ( x) sin xdx n a 0 l 2
l
2 l n an ( x) sin xdx l 0 l
2.2.1 两端固定的弦振动
2.1.2 无限长的弦的自由振动
由初始条件得
0, x at 0, x at 1 1 s ds ( x at ),0 x at 1, 2a 2a 1 , 1 x at 2a 0, x at 0, 1 x at 1 s ds ( x at ),0 x at 1, 2a 2a 1 , 1 x at 2a
则解是
3na 4na bn 2 2 cos cos 7 7 n a 2l
2.2.2 两端固定的弦振动 (l 1,a 1)
热传导(通用版)ppt课件
石棉、珍珠岩、矿渣棉等各类制品， 是电厂中广泛采用的隔热保温材料
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39
谢谢观看
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41
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27
第三节 辐射换热
特点 辐射换热与导热、对流换热的主要
不同点就是换热是物体（或物质）之间 不接触。
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28
第三节 辐射换热
现在研究外界热辐射的能量投射到某一物
体表面的情况。
单位时间内射到物体单位面积上
Ee
n
的总能量，称为投射辐射Ee。其
E r 中一部分被吸收，称为吸收辐射
Ea；一部分被物体反射出去，称
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5
第一节 导热
气体的导热：通过其处于杂乱无章运动中的分子间的 碰撞，进行能量的交换而实现导热。
固体的导热：主要是通过材料晶格的热振动波以及自 由电子的迁移来实现的。
液体的导热：在液体介电质中，热量的转移是依靠弹 性波的作用。
在金属内部则依靠自由电子的运动，而对于非金 属则主要通过晶格的热振动波进行热量的传递。
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6
第一节 导热
温度场（Temperature field） 某时刻空间所有各点温度分布的总称 温度场是时间和空间的函数，即：
tf(x,y,z,)
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7
第一节 导热
如果物体内各点的温度在温度不随时间 而变，称为稳态温度场。
若物体内的温度分布随时间变化，则为 非稳态温度场。
精品ppt
火电厂的生产过程和传热过程联系密切。 热量传递的基本方式有导热、对流换热和辐射
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第三节 辐射换热
特点 辐射换热与导热、对流换热的主要
不同点就是换热是物体（或物质）之间 不接触。
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第三节 辐射换热
现在研究外界热辐射的能量投射到某一物
体表面的情况。
单位时间内射到物体单位面积上
Ee
n
的总能量，称为投射辐射Ee。其
E r 中一部分被吸收，称为吸收辐射
Ea；一部分被物体反射出去，称
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第一节 导热
气体的导热：通过其处于杂乱无章运动中的分子间的 碰撞，进行能量的交换而实现导热。
固体的导热：主要是通过材料晶格的热振动波以及自 由电子的迁移来实现的。
液体的导热：在液体介电质中，热量的转移是依靠弹 性波的作用。
在金属内部则依靠自由电子的运动，而对于非金 属则主要通过晶格的热振动波进行热量的传递。
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第一节 导热
温度场（Temperature field） 某时刻空间所有各点温度分布的总称 温度场是时间和空间的函数，即：
tf(x,y,z,)
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第一节 导热
如果物体内各点的温度在温度不随时间 而变，称为稳态温度场。
若物体内的温度分布随时间变化，则为 非稳态温度场。
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火电厂的生产过程和传热过程联系密切。 热量传递的基本方式有导热、对流换热和辐射
流体力学 扩散理论PPT课件
P 2 exp( S2 )
n
2N
令a表示分子运动速度，t为分子运动N次经历的时间；
N=at/l，Sl=x1
P 2l exp( x12 )
at 2lat
与
c(x1,t)
M exp(x12 )
4Dmt
4Dmt
比较，Dm=la/2=Nl2/(2t)
P l exp( x12 )
Dmt
4Dmt
2021/3/25
2021/3/25
授课：XXX
22
5
4
y2 (104 m2 )
3
2
1
2
y2 (102 m)
1
0
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
t(s)
t(s)
曲线验证了单个质点紊动扩散不同阶段的规律。当t>0.7s，线性关系良好。
Y2Y 1 2 .0 Y 0 2 .74 .3 8 2 .5 96 .0 1 4 0 m /s2 t 1 .00 .7 0 .3
D r(s 0 ,t) w i(s 0 ,t)w i(s 0 ,t)t A 1 t
s2 (s 0 ,t) s 0 2 w i(s 0 ,t)w i(s 0 ,t)t2 A 1 t2 d dts2s0 2(w i(s0,t)w i(s0,t))`1 2A 1
2021/3/25
授课：XXX
18
常数A1与s0的大小有关：
202而1/3按/25 t1/2增大，随后又按t-1/2授降课：低XXX
21
例：设在一均匀紊流内，在原点投入许多示踪质粒子，量测
不同时刻粒子的横向位移Y，Y2的统计值Y 2 及通过原点后的
热传导PPT课件
.
7
.
8
2、声子热导
从晶格格波的声子理论可知，热传导过程 ------声子从高浓度区域到低浓度区域的扩散过程。
热阻：声子扩散过程中的各种散射。
根据气体热传导的经典分子动力学，热传导系数 λ ：
1 c l 3
cV：单位体积气体分子的比热------单位体积中声子的比热； v ：气体分子的运动速度------声子的运动速度； l：气体分子的平均自由程------声子的平均自由程。
热占一定份量，随着温度的上升，热导率略有增大（气体导热）
.
18
2、结构的影响
• 晶体结构越复杂，晶格振动偏离非线性越大，热导率越 低。 • 晶向不同，热传导系数也不一样，如：石墨、BN为层状 结构，层内比层间的大4倍，在空间技术中用于屏蔽材料。 • 多晶体与单晶体同一种物质多晶体的热导率总比单晶小。
—— 翻转过程（声子碰撞）
.
10
• 点缺陷的散射
散射强弱与点缺陷的大小和声子的波长相对大小有关。
点缺陷的大小是原子的大小：
在低温时，为长波，波长比点缺陷
大的多，估计 ： 波长 D a/T
犹如光线照射微粒一样，从雷利公
式知: 散射的几率 1/4 T4,平
均自由程与T4成反比.
在高温时，声子的波长和点缺陷大 小相近似，点缺陷引起的热阻与温 q 度无关。平均自由程为一常数。
➢ 非稳定传热（物体内各处的温度随时间而变化 ） 一个与外界无热交换，本身存在温度梯度的物体，随着时间的 推移温度梯度趋于零的过程，即存在热端温度不断降低和冷端 温度不断升高，最终达到一致的平衡温度。该物体内单位面积 上温度随时间的变化率为：
（ρ为密度，CP为恒压热容）
.
计算传热学第4讲扩散方程的数值解PPT课件
38
Sp,ad( x)2
(30) (31) (32)
边界条件的处理
附加源项法的实质
– 边界节点消去法 – 不仅能用于内节点网格，也能用于外节点网格
实施方法：
– 计算附加源项：Sc,ad，Sp,ad – 把附加源项计入该控制容积中的源项中 – 令与边界节点对应的系数（aW）等于0
39
特别提示
边界条件的处理是传热问题数值计算最重要的环节之一 元体能量平衡法的基础地位 尽可能采用外节点法划分网格 边界节点消去法
从图中可以清楚地看出这一点 即使 (x)2= (x)3
( x)1也不等于 ( x)2 所以要对第一个内部节点给予特别注意。
31
x=0 (x)1
(x)2
qB 1
2
3
边界条件的处理
注意：
(x)2
( x)3
例如，对于直角坐标系，对C点于VW2节（的点节左点2控控，1制）制面重面w合e与！，节即
a P T 2 a W T 1 a E T 3 b 2 与左边( 界重2合0 ！ )
(8)
边界条件的处理
整理后得到，
T1T2(xe)11 eqB1 2(x)1S
特点
二阶精度 不具有一般性 推导繁琐
(15)
26
边界条件的处理
x=0
e
qB 1
e
(x)1
2
3
(x)2
二阶精度的Taylor级数展开法
d dT x x0d dT 2 xd d2T 2x2(x)1O [(x)1 2]
4.1.3 控制方程的离散化
– 将方程（1）两边通乘A（x），并对x从w到e积分：
ddxA(x)ddT xSA (x)0
3热传导方程(扩散方程)
1、第一边界条件（ Dirichlet 边界条件）
u
g ( x , y , z , t ),
( x, y, z ) ,
t 0,
(1.8)
特别地：g ( x , y , z , t ) 0 时，物体表面保持恒温。
2、第二边界条件 （ Neumann 边界条件）
u k n
g ( x , y , z , t ),
定义2 在区域 R 3 [0, ) 上，由偏微分方程和初 始条件组成的定解问题称为初值问题或柯西问题。 例如三维热传导方程的初值问题为：
2 3 u a ( u u u ) f ( x , y , z , t ), ( x , y , z , t ) R , t 0, t xx yy zz 3 u ( x , y , z , t ) | ( x , y , z ), ( x , y , z , t ) R . t 0
准备知识
2. *通量与散度 设向量场 A ( P, Q, R ), P, Q, R, 在域G 内有一阶 连续 偏导数, 则 向量场通过有向曲面 的通量为
A n d S
( n 为 的单位法向量）
G 内任意点处的散度为 P Q R div A A x y z
(1.6)
通常称（1.5）为非齐次的热传导方程，而称（1.6） 为齐次热传导方程。
二、定解条件（初始条件和边界条件） 初始条件：
u( x , y , z , t ) ( x , y , z ), ( x , y , z ) G , t 0 : (1.7)
边界条件：( G )
例如三维热传导方程的第一初边值问题为：
u
g ( x , y , z , t ),
( x, y, z ) ,
t 0,
(1.8)
特别地：g ( x , y , z , t ) 0 时，物体表面保持恒温。
2、第二边界条件 （ Neumann 边界条件）
u k n
g ( x , y , z , t ),
定义2 在区域 R 3 [0, ) 上，由偏微分方程和初 始条件组成的定解问题称为初值问题或柯西问题。 例如三维热传导方程的初值问题为：
2 3 u a ( u u u ) f ( x , y , z , t ), ( x , y , z , t ) R , t 0, t xx yy zz 3 u ( x , y , z , t ) | ( x , y , z ), ( x , y , z , t ) R . t 0
准备知识
2. *通量与散度 设向量场 A ( P, Q, R ), P, Q, R, 在域G 内有一阶 连续 偏导数, 则 向量场通过有向曲面 的通量为
A n d S
( n 为 的单位法向量）
G 内任意点处的散度为 P Q R div A A x y z
(1.6)
通常称（1.5）为非齐次的热传导方程，而称（1.6） 为齐次热传导方程。
二、定解条件（初始条件和边界条件） 初始条件：
u( x , y , z , t ) ( x , y , z ), ( x , y , z ) G , t 0 : (1.7)
边界条件：( G )
例如三维热传导方程的第一初边值问题为：
§1.2 扩散方程
2
F (x,t) C
2
u 进一步简化为： ( x , t ) t u ( x , t ) f ( x , t )
2
2、扩散方程
当流体内部的密度不均匀时，物体内部就会出现物质由 浓度大的地方向浓度低的地方扩散。
扩散运动满足粒子数守恒定律和Fick定律，Fick定律表 示为： j Du(x,t)
K u ( x , t )V t
2
2u ( x , t ) 2u ( x , t ) 2u ( x, t ) K V t 2 2 2 y z x
若热量无损耗，只造成了物体温度得变化，且物体为各 项同性介质，则：
Q C m u C V u ( x, t ) t t
考虑图中的小三维空间，根据Fourier定律，热流的分量：
jx K jy K jz K u x u y u z
则在dt时间内流入四方体内的热量为：
Q j x j x dx y z
j
y
j y dy x z
j z j z dz y x t
jx y z j y x z jz y x t
jy jx jz xyz xyz xyz t y z x
2 u ( x , t )t D u ( x , t ) F ( x , t )
另外，扩散方程可表示为： u(x,t) Du(x,t) F (x,t) t 或：
t u(x,t) q F (x,t)
2、扩散方程
1、热传导方程
F (x,t) C
2
u 进一步简化为： ( x , t ) t u ( x , t ) f ( x , t )
2
2、扩散方程
当流体内部的密度不均匀时，物体内部就会出现物质由 浓度大的地方向浓度低的地方扩散。
扩散运动满足粒子数守恒定律和Fick定律，Fick定律表 示为： j Du(x,t)
K u ( x , t )V t
2
2u ( x , t ) 2u ( x , t ) 2u ( x, t ) K V t 2 2 2 y z x
若热量无损耗，只造成了物体温度得变化，且物体为各 项同性介质，则：
Q C m u C V u ( x, t ) t t
考虑图中的小三维空间，根据Fourier定律，热流的分量：
jx K jy K jz K u x u y u z
则在dt时间内流入四方体内的热量为：
Q j x j x dx y z
j
y
j y dy x z
j z j z dz y x t
jx y z j y x z jz y x t
jy jx jz xyz xyz xyz t y z x
2 u ( x , t )t D u ( x , t ) F ( x , t )
另外，扩散方程可表示为： u(x,t) Du(x,t) F (x,t) t 或：
t u(x,t) q F (x,t)
2、扩散方程
1、热传导方程
热传导方程与扩散方程ppt课件
f (x,y,z,t)表示单位时间内单位体积中产生的粒子数
D 为扩散系数
10
第二节 初边值问题的分离变量法
11
定解问题
未知函数分离
泛定方程分离
边界条件分离 分离结果
12
分离结果的求解
空间方程解出 非零解条件 非零解 时间方程解出
13
典型问题的求解
分离结果的合成 再合成半通解 初始条件要求 系数的确定
例题2
分离变量 分别求解 合成半通解 代入初始条件
18
过程小结
分离变量——分别求解——合成半通解——由初始条件确定系数
14
分 离 变 量 流 程 图
15
典型问题的求解
例题1
分离变量 分别求解 合成半通解 代入初始条件
16
第二类边界条件
定解问题
未知函数分离 泛定方程分离 边界条件分离
本征运动 半通解 初始条件要求
17
典型问题的求解
第二章 热传导方程与扩散方程
❖ 热传导方程
物理模型 在三维空间中，考虑均匀的、各向同性的物体。假 定它的内部有热源或汇，并且与周围的介质有热交 换，来研究物体内部温度的分布规律。
1
Fourier实验定律
注：负号是因为热量总是从温度高的一侧流向低的一侧，
2
3
由热量守恒定律，物体内部无热源时，
4
交换积分次序
5
若物体内部有热源，
6
Hale Waihona Puke 如果物体是均匀的，且各向同性的，则有 数学模型
其中： a2=k/Cρ， f (x,y,z,t)=f0/C， 二维的情形： 一维的情形：
7
❖ 定解条件
边界条件 给定温度函数 u(x,y,z,t) 在物体 表面的限制。 一般来有三种类型：
扩散原理PPT课件
Ji Ci.Bi uxi
Ci单位体积中i组成质点数 Vi 质点移动平均速度
Ji
Ci.Bi C uii .C xi J＝－Di
Ci x
Di Ci.Bi C uii Bi lu nC i i
C iC N i( m 分 ) o lC 数 n i l lN n i
Di
Bi
ui lnNi
2021
10
t x2 y2 z2
用途： 适用于不同性质的扩散体系； 可用于求解扩散质点浓度分布随时间和距离而变化的不稳 定扩散问题。
对二定律的评价： (1) 从宏观定量描述扩散，定义了扩散系数，但没有给出D与结构 的明确关系； (2) 此定律仅是一种现象描述，它将浓度以外的一切影响扩散的 因素都包括在扩散系数之中，而未赋予其明确的物理意义； (3) 研究的是一种质点的扩散(自扩散)； (4) 着眼点不一样(仅从动力学方向考虑) C t
2、 离子晶体中的扩散
空位机制： 大部分离子晶体 如： MgO、NaCl、FeO、CoO
两种机制
间隙机制：只有少数开放型晶体中存在 如： CaF2、UO2中的 F－、O2－
应石含用量：不Ca能F超2在过玻5璃0％中，能否降则低加熔2点％，C2降a0F21低2 烧结温度，还可以起澄清剂作2用9 。长
例： CaCl2引入到KCl中，分析K＋的扩散，基质为 KCl KC lVK VC •l (本征)扩散 Ca2 C KlC lCK •aVK 2CClL(非本征 ) 扩散
2021
15
理解：
Di BiRT (1L Lnn iiN )
1 Ln i
LnN i
扩散系数热力学 因子
对于理想混合体系，活度系数
D
* i
Ci单位体积中i组成质点数 Vi 质点移动平均速度
Ji
Ci.Bi C uii .C xi J＝－Di
Ci x
Di Ci.Bi C uii Bi lu nC i i
C iC N i( m 分 ) o lC 数 n i l lN n i
Di
Bi
ui lnNi
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t x2 y2 z2
用途： 适用于不同性质的扩散体系； 可用于求解扩散质点浓度分布随时间和距离而变化的不稳 定扩散问题。
对二定律的评价： (1) 从宏观定量描述扩散，定义了扩散系数，但没有给出D与结构 的明确关系； (2) 此定律仅是一种现象描述，它将浓度以外的一切影响扩散的 因素都包括在扩散系数之中，而未赋予其明确的物理意义； (3) 研究的是一种质点的扩散(自扩散)； (4) 着眼点不一样(仅从动力学方向考虑) C t
2、 离子晶体中的扩散
空位机制： 大部分离子晶体 如： MgO、NaCl、FeO、CoO
两种机制
间隙机制：只有少数开放型晶体中存在 如： CaF2、UO2中的 F－、O2－
应石含用量：不Ca能F超2在过玻5璃0％中，能否降则低加熔2点％，C2降a0F21低2 烧结温度，还可以起澄清剂作2用9 。长
例： CaCl2引入到KCl中，分析K＋的扩散，基质为 KCl KC lVK VC •l (本征)扩散 Ca2 C KlC lCK •aVK 2CClL(非本征 ) 扩散
2021
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理解：
Di BiRT (1L Lnn iiN )
1 Ln i
LnN i
扩散系数热力学 因子
对于理想混合体系，活度系数
D
* i
第二章扩散的机制扩散方程及其解
2 多维系统中的扩散（空心球体情况）
扩散通量为：
J dm 1
dt 4r2
由菲克第一定律得：
稳态扩散的空心球体
第二十页，课件共有135页
dmD4r2 dC
dt
dr
2.1.1 菲克第一定律及其应用 2 多维系统中的扩散（空心球体情况）
根据已知的边界条件有：
r2 r1
dmdr C2
dtr2
C1
4DdC
由稳态扩散条件
J
a
H
J
g
H
JH aD aCgaalaC 1D laafaH a i faH 1 a
JH g Dg C2 lgCggaD lgg a fH gg a fH ig
C 1 C 2 分别为H在两相中的浓度;
a a 分别为H在两相中的活度; ag
f a f g 分别为H在两相中的活度系数;
第二十第五二十页五页，，课课件件共共有13有5页135页
x2 x1
ddm t dxCC12
DAdC
扩散物质的流量
d dm tx2x1D AC2C1
dmD AC 2C 1D AC 2C 1
dt
x2x1
l
l ：x1与x2两点间距离
第十第六十六页页，，课课件件共共有有1315页35页
2.1.1 菲克第一定律及其应用
例 8.1 推导欧姆定律
ΔC 引起的电位差 U C K
例如一层可以是纯铁，另一层可以是奥氏体不锈钢
两相层的厚度
a相的厚度为
la
g相的厚度为
lg
设扩散物质为氢 (H)，由于它在
a相与g相中具有一定的溶解度
aa
aa faC1
ag fg C2
数学物理方法-热传导方程
其中 n 为边界 的法线方向
法向的正向为指向系统外
例如：杆的热传导问题中，若杆的一端x=a处，是绝热的，没有热流通
过，那里的边界条件就是
u 0 n
(dQ k u ds dt 0) n
又如：均匀弦的横振动问题中，如果在其一端x=L处，是未加固定的自 由端，弦在自由端处不受位移方向的外力，从而在这个端点上弦在位
在热传导问题中，如果物体内不存在热源，物体周围的环境温度不随 时间变化，则经过相当长的时间后，物体各处的温度将不再随时间而
改变，趋向于稳定状态。这时，ut 0 ，齐次的热传导方程便化为稳
定温度场的拉普拉斯方程。
热传导方程： ut a2 (uxx uyy uzz ) ut a22u 0
变为： 2u 0
)dydz
q1 x
dxdydz
将
q1
k
u x
kux 代入，得：
Q1
x
(kux
)dxdydz
x
(kux
)dxdydz
z
Q1 x (kux )dxdydz
如果六面体中没有源和汇，则浓度对时间
的变化率为：
u Q1 (kux ) t dxdydz x
——一维扩散方程
O
A(x, y, z)
C(x, y dy, z dz)
§1.3 定解问题的提法
推导了三种不同类型偏微分方程
波动方程 热传导方程 Laplace方程
定解条件：初始条件和边界条件。 定解问题：偏微分方程和相应的定解条件
初值问题（ Cauchy(柯西)问题）：只有初始条件，没有边 界条件的定解问题
S
V
此式左端的曲面积分中S是闭曲面，利用Gauss公式将它化为三重积分，即
热扩散方程式
热扩散方程式
热扩散方程式是物理热学中的一个基本方程式，用于描述物体内
相互作用的热传递模型及其影响各种物理特征。
这个方程式非常普遍，被用于描述从大规模到微观量，从凝固、液体到气态材料到异质和多
相材料，以及晶体内部的热量流动问题。
它通常被表示为：
\frac{\partialq}{\partialt}-\nabla\cdot(k\nablaT)=Q
其中，q是热量密度，t是时间，k是导热系数，\nablaT是温度
梯度，而Q是吸热量（比如外界光热流的输入）。
可以从物理的角度来理解这个方程式的含义。
热传递的本质是，
有热源的地方传到没有热源的地方，以平衡热力学能在系统中的分布。
比如，在太阳光照射到地面，植物即可以从地面吸收太阳光所产生的
热量，进而太阳光所赋予地面的热量就会从地面传送到植物，从而平
衡系统的热量分布。
这时，热量的变化情况其实是满足热扩散方程式的：
既然有热量传递，就会有热量的流动，这时热量密度q会变；
受到热流的影响，温度梯度\nablaT也变化；
导热系数k由材料决定；
而太阳光照射也是一种热源供给，可以表示为吸热量Q。
由此可见，热扩散方程式反映的是热量在系统内传递的方式，以
及由外界光热流动等构成热量供应平衡。
对该方程式有了基本的了解，可以更准确、更系统地分析各种物理问题。
最后，热扩散方程式及其应用非常普遍，被广泛用于从凝固体的
晶体结构到声学、热学、固体力学等各种领域的研究科学文献中，有
助于准确描述物理系统中的各种专业特征以及有效的传送热量的过程。