实变函数课程教学大纲
《实变函数》教学大纲
《实变函数》课程教学大纲一、课程性质与目标（一）课程性质实变函数是高等师范院校数学专业的一门专业必修课程，是重要的专业基础课，这部分内容为学生进一步学习其它数学分支如泛函分析和科学研究提供必不可少的基础知识。
而且对加深对数学分析及其它有关课程的理解有着至关重要的作用。
它的任务是使学生掌握近代抽象分析的基本思想，为进一步钻研现代数学理论打下初步基础。
（二）课程目标通过实变函数这一学科的学习，应使学生较好的掌握测度与积分这个基本的数学工具，特别是极限与积分顺序的交换。
并且在一定程度上掌握集的分析方法。
通过这门学科的教学，要加强对学生的抽象思维能力，逻辑推理能力的培养。
在某些与中学教材相关的教学内容中，要引导学生在学习新知识的同时要加深对相关的中学教材的内容及背景的理解，使他们在今后的教学实践能用较高的观点处理中学教材。
为培养成人师范学生较强的教学能力打下坚实的基础。
采用课堂讲授，倡导和实施启发式和交互式教学法，组织课程教学。
二、课程内容与教学（一）课程内容1、课程内容选编的基本原则（1）、把握理论、技能相结合的基本原则。
（2）、注意教学内容与其他相关课程的联系和渗透。
2、课程基本内容（1）集合（2）点集（3）测度论（4）可测函数（5）积分论（二）课程教学1、注重数学思想与数学素养的培养，阐述所讲内容在整个理论体系中的作用和地位。
2、加强建立数学模型的思想和训练，提高学生的数学素养和创新能力。
3、在传授基础理论和基本技能的同时，加强学生分析实际问题和解决实际问题的能力。
4、注重课堂讲授、习题课、习题批改等环节。
三、课程实施与评价（一）学时、学分本课程总学时为54学时。
学生修本课程部分内容，成绩合格，可获3学分。
本大纲的完成需54学时。
由于课时的限制，主要以讲授第一章、第二章和第三章为主；在教学过程中，根据实际情况，计划可能要作一些调整。
（二）教学基本条件1、教师教师应具有良好的师德和较高的专业素质与教学水平，一般应具备讲师以上职称或本专业硕士以上学位。
实变函数大纲
课程号：20101340课程名称：实变函数总学时：68学分：4课程教学目的以Lebesgue测度与Lebesgue积分理论为核心内容，为学生提供近代分析的基础知识和基本训练，提高分析论证能力。
第一章第一章集合一、基本内容：集合以及集合列的上、下极限，集合的势，p进制表示法，n维空间中的点集，Bolzano —Weirstrass定理。
二、基本要求σ域的概念1、1、了解集合的基本运算及集合列的上、下限集、-2、2、了解势的定义与Bernstein定理、Zermelo选择公理3、3、可数集与连续势以及p进制表示4、4、了解聚点、内点、边界点以及Bolzano－Weirstrass定理5、5、了解开集、闭集以及Borel有限覆盖定理三、三、建议课时安排（15学时）σ域的概念 3学时1、集合的基本运算及集合列的上、下限集、-2、势的定义与Bernstein定理Zermelo选择公理3学时3、可数集与连续势以及p进制表示 3学时4、聚点、内点、边界点以及Bolzano－Weirstrass定理 3学时5、开集、闭集以及Borel有限覆盖定理3学时第二章测度论一、基本内容：外测度与可测集的定义及性质，开集的可测性，Lebesgue可测集的结构二、基本要求1、掌握外测度的定义及性质2、掌握可测集的定义及性质3、了解开集的可测性和L－可测集的结构三、建议课时安排（12学时）1、外测度的定义及性质4学时2、可测集的定义及性质4学时3、开集的可测性和L－可测集的结构4学时第三章可测函数一、一、基本内容：可测函数的定义及性质，可测函数的逼近理论二、二、基本要求：1、了解可测函数的定义及性质2、Egoroff定理、Lusin定理4、了解几乎处处收敛和依测度收敛三、三、建议课时安排：（11学时）1、可测函数及其运算3学时2、Egoroff定理、Lusin定理4学时3、几乎处处收敛与依测度收敛4学时第四章Lebesgue积分一、基本内容：可测函数的积分，Lebesgue积分的极限定理，Lebesgue积分与Riemann积分之间的关系，重积分与累次积分，Fubini定理，微分与积分的关系二、基本要求：1、1、了解非负可测函数的积分，Levi引理和Fatou引理2、2、掌握一般可测函数的积分，积分的绝对连续性以及Lebesgue积分极限定理3、3、了解积分的连续性4、4、弄清Lebesgue积分与Riemann积分的关系，以及Riemann可积的充要条件5、5、弄清重积分与累次积分之间的关系以及Fubini定理6、6、了解微分与积分的关系三、建议课时安排：（20学时）1、非负可测函数的积分，Levi引理和Fatou引理4学时2、一般可测函数的积分，积分的绝对连续性以及Lebesgue控制收敛定理4学时3、积分的连续性2学时4、4、Lebesgue积分与Riemann积分的关系，以及Riemann可积的充要条件3学时5、5、重积分与累次积分之间的关系以及Fubini定理3学时6、6、微分与积分的关系4学时第五章pL空间简介一、一、基本内容：pL空间定义，Holder不等式，Minkowski不等式，p L空间中的收敛与完备性、可分性，2L空间中的内积，正交系，广义Fourier级数，Bessel不等式与Parseval不等式二、二、基本要求：1、1、了解pL空间定义，Holder不等式，Minkowski不等式2、2、了解pL空间中的收敛与完备性、可分性3、3、了解2L空间中的内积，正交系4、了解广义Fourier级数，Bessel不等式与Parseval不等式三、三、建议课时安排（10学时）1、1、pL空间定义，Holder不等式，Minkowski不等式3学时2、2、pL空间中的收敛与完备性、可分性2学时3、3、2L空间中的内积，正交系2学时4、4、广义Fourier级数，Bessel不等式与Parseval不等式3学时教材及主要参考书1、1、周民强，实变函数论，北京大学出版社，2001年2、2、周性伟，实变函数，科学出版社，1998年3、3、江泽坚、吴智泉编著，实变函数论北京人民出版社1978。
统计实变函数教学大纲
实变函数FunctionsofReaIVariabIes一、课程基本信息课程编号：111090适用专业：统计学专业课程性质：学科基础必修开课单位：数学与数据科学学院学时：32学分：2考核方式：闭卷考试，平时成绩占30%,期末考试成绩占70%先修课程：数学分析中文简介：本课程主要以勒贝格(1ebesgue)测度为核心内容，本课程的学习为学生提供近代分析的基础知识和基本训练，提高分析论证近代数学的能力，为学习相关专业课及以后实际应用提供必要的基础。
二、教学目的与要求1、知识目标本课程为数学类专业和应用数学类专业的基础课，要求学生掌握实分析的方法。
本课程以课堂讲授为主，精讲多练注重理论联系实际。
基本内容由教师讲授，通过习题课对所学内容进行巩固和提高。
各章中平行的内容可安排学生自学，以提高学生独立思考、分析问题和解决问题的能力。
为适应(应用)数学专业对实变函数的需求，学生必须熟练掌握：1.实变函数理论的基本体系、基本概念和基本原理；2.掌握勒贝格测度，了解勒贝格积分；3.掌握集合的分析方法。
学生还应该能够运用本课程提供的数学方法解决一些简单的实际应用问题。
2、能力目标在课程的教学过程中，要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、数学运算能力、综合解题能力、数学建模与实践能力以及自学能力。
3、素质目标培养学生灵活、抽象、猜想、活跃的数学思维，逐步形成数学意识，让数学这一工具进入到学生的生活实践中。
4、课程思政目标实变函数作为统计学重要的专业课，应当承担起为学生树立正确的人生观、世界观和价值观的重任，引导学生在学习实变函数课程内容的基础上树立正确的三观，具有强烈的爱国主义热情，通过四年的大学学习，把学生培养成既具有远大理想又具有高度社会责任感的新时代大学生，真正成为对祖国对社会有用的人才，为祖国的繁荣昌盛做出自己应有的贡献。
具体的目标主要包括：(1)通过对数学抽象概念产生的数学文化背景介绍，培养学生的爱国情怀、文化自信和民族自豪感，学习古人坚韧不拔的毅力和拼搏精神；(2)让学生了解身边的数学，认识数学的理性价值、应用价值和审美价值，激发学生的兴趣，增强学生对未知世界的好奇心，培养勇于探索的创新意识。
实变函数课程教学大纲
《实变函数》课程教学大纲课程编号：0112207课程性质：主要专业课（必修课）适用专业：数学与应用数学专业（师范类本科）开设学期：第四学期一、课程教学目的与任务1、本课程是上饶师范学院数学计算机系数学与应用数学专业的一门必修课程,它的任务是使学生掌握近代抽象分析的基本思想，掌握点集、测度、可测函数、Lebesgue积分等知识，加深对数学分析及中学数学有关内容的理解，是进一步学习数学与应用数学专业的其它高年级课程的基础，也是钻研现代数学理论打下初步基础。
2、本课程的基本要求：通过本课程的讲授与作业应使学生对点集、测度、可测函数、Lebesgue积分等思想和方法有较深刻的认识,基本上掌握实变函数中的论证方法，能比较熟练地应用测度论的观点来分析和解决问题。
3、本课程的重点和难点：可数集合；点集；可测集；可测函数；Lebesgue积分。
难点：可测函数；Lebesgue积分。
二、与各课程的联系是学习概率论与数理统计、泛函分析等后继课程的基础三、教学时数及分配总学时 18 4=72 其中讲授 57学时习题等 15 等学时四、讲授内容与要求（分章节）第一章集合(13学时)1、学目的和要求：让学生理解上限集和下限集、对等与基数、可数集合的性质、不可数集合的性质等。
2、教学内容：1 ) 集合的概念、集合的运算、上限集和下限集、收敛集列。
（2学时）2) 对等的概念、性质、Bernstein定理。
（3学时）3 ) 可数集合的定义、性质、基数的含义、常见的一些可数集。
（3学时）4) 不可数集合的定义、连续基数、不可数集的性质和常见的一些不可数集（2学时）5）半序集和曹恩引理、习题课（3学时）第二章点集(11学时)1、教学目的和要求：让学生理解度量空间、聚点、内点、界点、开集、闭集、完备集的定义，掌握常见的度量空间，理解聚点、内点、界点、开集、闭集、完备集性质，以及直线上的开集、闭集、完备集的构造。
2、教学内容：1）度量空间、常见的度量空间的例子和邻域的定义和性质、有界点集等。
《实变函数》教学大纲
《实变函数》教学大纲一、课程名称：《实变函数论》二、课程性质：数学与应用数学专业必修课，信息与计算科学专业选修课先修课程：数学分析、高等代数、复变函数论、常微分方程等课程三、课程的地位及教学目的《实变函数》是在数学分析的基础上发展起来的一门学科，是数学专业的一门重要的专业基础课。
其内容主要是以n维欧氏空间上的实值函数为对象，介绍勒贝格测度和勒贝格积分理论。
《实变函数》这一课程无论在思想方法上，还是在理论上都把数学分析往前推进了一步，在经典数学与现代数学之间起着承前启后的作用。
教学目的是通过对该课程的学习，使学生掌握《实变函数》的基本理论和基本方法，特别是勒贝格测度理论和勒贝格积分理论，进一步充实、拓宽和加深已经学过的数学基础知识和分析功底，提高对数学概念和数学方法的认识水平，同时也提高学生分析抽象问题和解决应用问题的能力，为今后从事《分析学》领域的研究工作打下坚实的基础。
四、教学原则与教学方法按照数学学科的特点和规律，《实变函数》这一课程应采取精讲、讨论与自学相结合的手段。
考虑到《实变函数》这一课程具有高度的抽象性，在教学过程中应主要采用精讲的方式，个别内容可以进行讨论或留给学生自学。
采取教师讲授、师生互动讨论式和问题式的教学方法，充分调动学生的学习积极性，达到教学目的。
五、总学时68课时（含复习考试）六、课程教学内容要点及建议学时分配第一章集合（10学时）一、教学目的与要求通过对这一章内容的学习，让学生理解和掌握（1）集合的运算，重点是无穷集合的运算及集合的极限运算；（2）掌握基数概念，理解并较熟练应用伯恩斯坦定理；（3）掌握可数集和不可数集的基本知识。
二、教学原则与教学方法综合运用线性代数，数学分析的相关知识，将集合的运算推广到无穷多个集合上；引入集合间的对等概念进而给出基数概念，进而讨论与此有关的一系列相关问题，如集合列的收敛性、可数集、不可数集的性质的讨论等。
教学方法以讲解和讨论为主。
1.1 集合的概念1.2* 集合的运算（2课时）1.3* 对等与基数（4课时）1.4* 可数集与不可数集（4课时）1.5 半序集与Zorn引理（简单介绍）作业要求：完成13~15道基础性练习题，1~2提高性练习题。
实变函数教学大纲
《实变函数》教学大纲一、教学目的和要求实变函数是高等师范院校数学专业的一门必修课程。
是重要的专业基础课，对于进一步学习近代数学理论、加深对数学分析及其它有关课程的理解有着至关重要的作用。
它的任务是使学生掌握近代抽象分析的基本思想，为进一步钻研现代数学理论打下初步基础。
二、课程的教学内容该课程主要讲授经典的Lebesgue积分理论，尽量用比较简捷的方法在R n上得出主要结果。
使用Caratheodory外测度定义可测性。
详细介绍与Lebesgue 积分理论相关的有关概念：集合的势；直线上的开集、闭集和完全集的构造；测度与可测集；可测函数与依测度收敛等。
简单介绍Peano曲线；测度平移不变性；不可测集；Stieltjes积分等。
第一章集合与映射 10学时1.重点介绍映射、象与原象、一族集合的交、并、余集的象与原象、集合及其运算、集合的基数、可列集。
2.简单介绍不可列集、半序集、选择公理、Zorn引理等。
第二章点集 10学时1.系统介绍n维欧氏空间；点集的内点、外点、聚点、界点、孤立点以及点集的内部、导集、闭包等概念和相互间的关系。
2.重点介绍用邻域作为工具的这一最基本方法，以及直线上非空开集的构造定理。
3.重要例子——Cantor集及其性质。
4.简单了解Peano曲线。
第三章测度 14学时1.系统介绍建立Lebesgue测度的过程以及外测度的概念。
2.重点介绍Caratheodory条件，可测集的性质及Gδ和Fσ型集，Borel集。
3.简单介绍测度的平移不变性，不可测集。
第四章可测函数 12学时1.系统介绍可测函数的概念及可测函数的性质。
2.重点介绍依测度收敛及和它与几乎处处收敛、一致收敛之间的关系。
第五章 Lebesgue积分 18学时1.系统介绍Lebesgue积分的概念及其性质。
2.重点介绍积分的极限定理，黎曼积分与勒贝格积分的关系。
第六章微分与积分 8学时1.系统介绍有界变差函数和绝对连续函数的概念，有界变差函数的可微性与可积性。
实变函数课程教学大纲
实变函数课程教学大纲一、课程说明：1、课程性质：本课程是数学系基础课，为数学系本科学生所必修，也是微积分的进一步深化，这部分内容为学生进一步学习其它数学分支如泛函分析，函数论，微分方程，概率论和科学研究提供必不可少的基础知识。
它是一学期课程，学时数的安排为：一学期68=174课时，其中习题课17课时。
2、本课程的教学目的与要求：通过实变函数这一学科的学习，应使学生较好的掌握测度与积分这个基本的数学工具，特别是极限与积分顺序的交换。
并且在一定程度上掌握集的分析方法。
通过这门学科的教学，要加强对学生的抽象思维能力，逻辑推理能力的培养。
在某些与中学教材相关的教学内容中，要引导学生在学习新知识的同时要加深对相关的中学教材的内容及背景的理解，使他们在今后的教学实践能用较高的观点处理中学教材。
为培养成人师范学生较强的教学能力打下坚实的基础。
3、先行或后继课程：实变函数是第五学期开设的专业必修课。
是在数学分析的基础上发展而成，同时本课程又用到了高等代数和解几何中的一些基本知识。
它的后继课程课有概率统计、泛函分析、点集拓扑等。
4、教学时数分配表：章节目录第一节．集合与子集合第二节．集合的运算第三节．映射与基数第一章第四节．Rn中点与点之间的距离某点集的极限点集合n与点集第五节．R中基本点集：闭集、开集、Borel集、Cantor集第六节．某连续变换与可测集习题课第二章第一节．点集的Lebegue外测度课时分配11421341(选学)415110Lebegue第二节．可测集与测度441112测度第三节．可测集与Borel 集的关系第四节．正测度与矩体的关系第五节．不可测集第六节．某连续变换与可测集习题课第一节．可测函数的定义及其性质484462462416第三章第二节．可测函数列的收敛可测函数第三节．可测函数与连续函数的关系习题课第一节．非负可测函数的积分第二节.一般可测函数的积分第四章Lebegue第三节．可积函数与连续函的性质第四节.Lebegue积分与Riemann积分的性质第五节.重积分与累次积分的关系习题课总课时数积分685、使用教材：普通高等教育“九五”教育部重点教材北京大学出版社，周民强编著《实变函数论》。
实变函数教学大纲
实变函数教学大纲一、引言实变函数是高等数学中的重要概念之一，它与实数的性质密切相关。
本教学大纲旨在介绍实变函数的基本知识和概念，帮助学生建立对实变函数的正确理解和应用能力。
二、教学目标1. 理解实变函数的定义，并能正确应用；2. 掌握实变函数的基本性质，包括有界性、连续性、可导性等；3. 能够分析实变函数的图像和性态，包括单调性、极值点、拐点等；4. 能够解决与实变函数相关的典型问题，包括求导、求极限等；5. 培养学生的创新思维和问题解决能力。
三、教学内容1. 实数与实变函数1.1 实数的定义与性质1.2 实变函数的定义与表示方式1.3 实变函数的定义域与值域2. 实变函数的基本性质2.1 实变函数的有界性2.2 实变函数的连续性2.3 实变函数的可导性2.4 实变函数的单调性与极值点2.5 实变函数的拐点与凹凸性3. 实变函数的图像与性态3.1 绘制实变函数的图像3.2 分析实变函数的性态，包括单调性、极值点、拐点等4. 实变函数的应用4.1 求实变函数的导数4.2 求实变函数的极限4.3 实变函数在数学建模中的应用案例四、教学方法1. 理论讲授：通过讲解理论知识，梳理实变函数的定义和基本性质；2. 示例分析：选择典型的实例，通过分析解决问题的步骤和方法，增加学生的实际应用能力；3. 互动探讨：通过问题导向的方式引导学生思考和讨论，激发学生的主动性和创造性思维；4. 实践训练：提供丰富的练习题和实际应用题，让学生进行实践演练，巩固知识和技能。
五、教材及参考书目1. 主教材：实变函数教程，作者：XXX，出版社：XXX2. 参考书目：实变函数导论，作者：XXX，出版社：XXX实变函数与泛函分析，作者：XXX，出版社：XXX六、教学评估与考核1. 平时成绩：包括出勤率、课堂表现和参与度等；2. 作业成绩：包括课后习题和实践应用题等；3. 期中考试：考察对基础知识和理论的掌握程度；4. 期末考试：考察对实变函数知识的综合应用和理解能力。
《实变函数》教学大纲
《实变函数》课程教学大纲一、教学大纲说明（一）课程的性质、地位、作用和任务实变函数论是数学专业的一门必修课程，它是重要的数学分支，它所讨论的测度结构是数学的四大结构之一。
实变函数在概率论、泛函分析、偏微分方程、计算数学、近代物理都有广泛的应用。
本课程的任务是使学生掌握近代分析的基本思想，加深对数学分析的理解，培养学生的数学素质，为进一步学习近代数学理论打下初步基础。
（二）课程教学的目的和要求通过本课程的学习,使学生较好地掌握实变函数论的基本思想、理论和方法，为后继专业课程、为进一步学习近代数学理论打下良好基础。
1．掌握－集合的运算, 集合的势, 可数集合, 连续势; 开集，闭集; 可测集定义、运算性质, 测度的性质, 可测集的结构; 可测函数及其性质, 依测度收敛，Riese定理, Egoroff定理, 可测函数的结构, Lebesgue积分的定义、性质, 积分的极限定理, R积分与L积分的关系，R可积的新的充要条件.2．理解－不可测集, R n中可测集上的可测函数，多元函数的Lebesgue积分, 乘积测度, Fubini定理, L空间的定义.单调函数的可微性, p3．了解－半序集，选择公理与Zorn引理, 用内外测度相等定义可测集，两种可测集定义的等价性, L-SL空间中的收敛概测度与L-S积分, 有界变差函数的连续性与可导性, 有界变差函数与绝对连续函数, p念.（三）课程教学方法与手段本课程采用讲授、习题课和自学相结合的方法.老师讲授百分之八十的基本内容, 其余内容由学生自学、教师辅导.（四）课程与其他课程的联系实变函数论是数学分析的后继课程,也涉及线性代数的知识, 因而先修课程有：数学分析、高等代数和解析几何.泛函分析，现代概率论、现代偏微分方程理论、计算数学理论等课程在本课程后开设.（五）教材与教学参考书教材：曹广福,《实变函数论与泛函分析》上册,高等教育出版社，2004年教学参考书：1、周民强,《实变函数》,北京大学出版社，1995年6月2、程其襄等,《实变函数与泛函分析基础》,高等教育出版社，1999年6月3、郑维行等,《实变函数与泛函分析概要》,高等教育出版社，2005年4、夏道行等,《实变函数论与泛函分析》，高等教育出版社，1985年6月二、教课程的教学内容、重点和难点第一章集合教学内容：集合的定义及其运算, 集合序列的上、下限集, 域与 －域，势的定义与Bernstein定理, 可数集合, 连续势, p进位表数法, 聚点, 内点, 边界点, Bolzano-weirstrass定理, 开集, 闭集, 完全集, 直线上点集重点：集合及其运算, 集合的势, 可数集合, 不可数集合, 聚点，内点，边界点, 开集，闭集，完全集，Cantor三分集难点：集列的上、下极限集, 集合的基数问题的证明. 正确理解、运用聚点等基本概念和有关定理第二章测度论教学内容：外测度, 可测集及其性质，开集的可测性, Lebesgue可测集的结构重点：可测集定义及运算性质, 测度的性质, 可测集的结构难点：可测集的概念、可测集结构的理解和应用第三章可测函数教学内容：可测函数的定义, 可测函数的性质, Egoroff定理, Lusin定理, 依测度收敛重点：可测函数定义及其性质，可测函数的结构，可测函数的收敛难点：依测度收敛, 可测函数各种收敛的关系第四章积分理论教学内容：有界可测函数积分的定义及其性质, Lebesgue积分的性质, 一般可测函数的积分, Riemann积分与Lebesgue积分的关系, 非负可测函数积分的极限, 控制收敛定理, 乘积空上测度, FubiniL空间的定义, p L空间中的收定理, 有界变差函数的连续性与可导性, 有界变差函数与绝对连续函数, p敛概念重点：Lebesgue积分的定义、性质, 积分的极限定理, R积分与L积分的关系，R可积的新的充要条L空间的定义件, pL空间中的收难点：积分的极限定理理解及应用, Fubini定理, 有界变差函数的连续性与可导性, p敛概念三、学时分配。
实变函数课程教学大纲
《实变函数》课程教学大纲一、课程基本信息
二、课程目标及对毕业要求指标点的支撑
三、教学内容及进度安排
四、课程考核
注：各类考核评价的具体评分标准见《附录：各类考核评分标准表》
五、教材及参考资料
[1]程其襄, 张奠宙等. 实变函数与泛函分析基础（第四版）[M]. 北京: 高等教育出版社,
2019, ISBN: 9787040508109
[2]夏道行等. 实变函数论与泛函分析(第三版)[M], 北京: 高等教育出版社，2010, ISBN:
9787040274318
[3]江泽坚,吴智泉，纪友清.实变函数论(第三版)[M], 北京: 高等教育出版社，2007, ISBN:
9787040226430
[4]曹广福. 实变函数论与泛函分析(第三版)[M], 北京: 高等教育出版社, 2011, ISBN:
9787040316742
六、教学条件
需要多媒体教室，电脑要安装好Windows 7、Office 2010、MathType 6.9、Mathematica l1以上版本的正版软件。
附录：各类考核评分标准表
实变函数平时作业评分标准
实变函数设计评分标准
注：评分标准的分数段划分可以根据课程需要自行设计。
《实变函数》课程教学大纲
课程教学大纲《实变函数》（适用于数学与应用数学专业）数学系2007年8月课程编号：04024212《实变函数》课程教学大纲（Real variable function）适用专业：数学与应用数学，本科总学时：72 (均为理论) 学分：4制定单位：数学系执笔者：张菊芳审核人：高巧琴编写日期：2007年8月20日一、课程性质、目的和任务《实变函数论》是高等师范院校数学与应用数学专业的一门必修课程。
它主要应用点集分析的方法建立n维欧氏空间中点集的Lebesgue测度理论和点集上定义的Lebesgue 积分理论。
通过这门课程的教学应使学生掌握近代抽象分析的基本思想，系统掌握Lebesgue测度和Lebesgue 积分理论，着重培养学生的思维能力和逻辑推理能力，为进一步钻研现代数学理论打下基础。
该课程的内容可归结为三大论：集合论、测度论、积分论,主要讲解Cantor 开创的集合的基论，Lebesgue 关于集合测度、函数的可测性、可测函数积分的理论。
一元函数的Lebesgue 积分是核心内容。
二、课程教学的基本要求第一章集合1．重点：集合的基本概念、集合的基数（特别是可数基数与连续基数）、一一映射和Bernstein定理。
2．难点：上、下限集概念及做一一映射和判定集合的势。
注意区别有限集与无限集，能否与真子集对等是区别两者的关键。
3．教学基本要求§ 1.1 集合弄清集合的基本概念。
§ 1.2集合的运算熟练掌握集合的并、交、差等运算，正确地运用De.Morgan公式，熟悉上下极限集的并交表达式，掌握单调集列的极限集。
§ 1.3 映射、对等和集合的基数理解映射、对等和基数的概念，理解一一对应的思想，理解并能应用伯恩斯坦定理，掌握验证二集对等的基本方法。
§ 1.4 可数集合深刻理解可数集及其基数的定义，理解可数集是最小的无限集，掌握本节中几个定理及其证明方法，并能运用它们证明一个集合为可数集。
实变函数论教学大纲
218.114.1实变函数论教学大纲(Functions of Real Variable)学分数 3 周学时 3+1一、说明1、课程名称：实变函数论（一学期课程）学时：（3+1）×182、教学目的和要求（1）课程性质：本课程是数学系基础课，为数学系本科学生所必修。
（2）基本内容：本课程主要是以n维Euclid空间及其上实值函数为背景，运用点集分析的方法建立测度与积分的理论，具体内容包括：集合、映射，R n中点集的拓朴，可测集和可测函数，积分理论，微分和不定积分。
（3）基本要求：通过本课程的学习，学生应熟练掌握关于可测集、可测函数的概念和性质，深刻理解并掌握Lebesgue积分的理论，并在学习过程中形成抽象思维能力和逻辑推理能力的一个飞跃。
3、教学方式：课堂讲授+习题课训练4、考试方式：闭卷笔试5、教材：《实变函数论与泛函分析》（上册），夏道行等编，高等教育出版社，1984《实变函数与泛函分析》，自编讲义参考书：《实变函数论》，那汤松，高等教育出版社，1958《Real and Abstract Analysis》, Hewitt E., Stromberg K., Springer-Verlag,1975.二、讲授纲要（其中学时数不包括习题课时间）第一章集合和R n中的点集（10学时）§1 集和集的运算（2学时）§2 映射和势（4学时）§3 R n中的点集（4学时）本章教学要求熟练掌握集合的代数运算和极限运算，能应用Bernstein定理确定一些集合的势，熟悉R n的点集拓扑中关于开集、闭集、稠密与疏朗等基本概念。
第二章测度（12学时）§1 外测度与可测集（4学时）§2 测度及其性质（4学时）§3 可测集类（4学时）本章教学要求：掌握外测度的概念，正确理解Caratheudory条件，熟练掌握测度及其性质，熟悉一些重要的可测集类，理解不可测集的典型例子。
实变函数教学大纲
《实变函数》教学大纲课程编号：4081205英文课程名：Theory of Functions of Real Variables总学时：72学时学分：4学分课程类别：专业必修课适用专业：数学与应用数学先修课程：数学分析一、课程性质与目的、要求《实变函数》课程是数学与应用数学专业的一门专业必修课,是某些重点院校考取数学类硕士研究生的必考基础课之一．本课程内容包括集合理论、测度理论和勒贝格积分理论等方面的系统知识,所讲授的内容和方法是现代应用数学的基础,是数学类专业学生必须具备的基本训练,是实现数学类专业培养目标的重要课程．通过本课程的学习,学生可以对近代应用数学的发展有一个初步的了解,进而提高学习数学的兴趣,提高应用所学数学知识解决实际问题的能力与意识．通过本课程的讲授,可以引导学生了解当前数学领域的最新发展状况,培养学生探索新知识的意识和能力．二、教学内容及学时分配本课程的教学内容共分六章。
第一章：集合 13课时第一节：集合·集合的运算 2课时1、集合2、集合的运算第二节：映射·集合的对等 2课时1、映射2、集合的对等第三节：可列集与不可列集·集合的基数 3课时1、可列集与不可列集2、集的基数3、基数的大小第四节：可列集的判定 3课时第五节：连续势集的判定 3课时1、连续势集的判定2、p进无穷小数用于连续势集的判定3、不存在最大的基数第二章：点集 11课时R空间·区间·距离 1课时第一节：n第二节：内点与开集 2课时第三节：聚点与闭集 2课时第四节：开集和闭集的构造 2课时第五节：点集间的距离·有界闭集的性质 2课时第六节：完备集·Cantor集 2课时第三章：勒贝格测度 15课时1、引言（测度理论的创立与发展情况） 1课时第二节：Lebesgue外测度 3课时1、外测度定义·区间的外测度2、外测度的基本性质3、外测度的开集逼近第三节：有界Lebesgue可测集 4课时1、有界可测集的定义、有界开闭集的可测性2、有界点集的内测度、有界点集可测的充要条件3、有界可测集及其测度的运算性质第四节：无界Lebesgue可测集 3课时1、无界可测集的定义2、可测集及其测度的运算性质3、可测集的构造第五节：不可测集的例子 2课时第六节：集合的乘积 2课时第四章：可测函数 12课时第一节：广义实函数及相关的集合 4课时1、广义实函数2、函数定义域中的示性集3、非负函数的下方图第二节：Lebesgue可测函数的定义 4课时1、Lebesgue可测函数的定义2、函数的可测性与正、负部可测性的关系第三节：可测函数与简单函数 4课时1、简单函数的定义及运算性质2、可测函数与简单函数的关系第四节：可测函数的某些性质第五节：Egoroff定理第六节：可测函数列的依测度收敛第七节：可测函数与连续函数第五章：可测函数的积分 15课时第一节：Lebesgue积分的定义及初等性质 6课时1、非负简单函数的积分2、非负可测函数的积分3、一般可测函数的积分4、积分的初等性质第二节：Lebesgue积分与Riemann积分的比较 3课时1、有限区间上Lebesgue积分与Riemann积分的关系2、Lebesgue积分与广义Riemann积分的关系第三节：逐项积分定理 4课时1、非负可测函数列的逐项积分定理2、可积函数列的逐项积分定理3、连续函数平均逼近定理第四节：Fubini定理 2课时第六章：微分与Lebesgue不定积分 6课时第一节：单调函数的微分性质 2课时第二节：有界变差函数 2课时第三节：绝对连续函数与Lebesgue不定积分 2课时三、教学方法以教师讲授为主，并结合学生的大量练习与实践四、成绩考核方式学期末期末考试，以闭卷形式进行；平时则以书面作业形式进行考查五、教材与参考资料教材：郭大钧等，实变函数与泛函分析，山东大学出版社，2005.7参考资料：周民强，实变函数(论)，北京大学出版社，1995.6(2001)周性伟，实变函数，科学出版社，1998.9胡适耕，实变函数，高等教育出版社，1999.7徐森林，实变函数论，中国科学技术大学出版社，2002夏道行等，实变函数论与泛函分析，高等教育出版社，1983.2周民强，实变函数(论)，北京大学出版社，1995.6(2001)周性伟，实变函数，科学出版社，1998.9胡适耕，实变函数，高等教育出版社，1999.7徐森林，实变函数论，中国科学技术大学出版社，2002郑维行等，实变函数论与泛函分析概要，高等教育出版社,1987夏道行等，实变函数论与泛函分析，高等教育出版社，1983.2Halmos，测度论(Measure theory) ，世界图书出版公司，1998.8Rudin , 实分析与复分析(第三版)(Real and complex analysis,third edition)，机械工业出版社，2004.1曹广福,实变函数论,高等教育出版社，2000。
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掌握可测函数的定义及等价定义。掌握可测函数的有关性质。理解简单函数的定义，掌握可测函数与简单函数的关系。掌握可测函数列的收敛点集和发散点集的表示方法。掌握叶果洛夫定理，鲁津定理。理解依测度收敛的意义，掌握依测度收敛与a·e收敛的联系与区别。
（五）积分论
1．主要内容
黎曼积分的简单回顾。勒贝格积分的建立和性质。积分的极限定理。乘积空间的测度，富比尼定理。有界变差函数。不定积分与绝对连续函数。
《实变函数》课程教学大纲
课程类型：学科专业必修课
总学时：72学分：4
适用对象：数学与应用数学专业本科生
先修课程：数学分析，复变函数
使Hale Waihona Puke 教材：《实变函数与泛函分析基础》，程其襄、张奠宙等编，北京：高等教育出版社(第二版)，2003
参考书
1、周民强编，实变函数论，北京：北京大学出版社，2001
2、江泽坚、吴智泉，实变函数论，北京：人民教育出版社，1961.
第三章测度论
1．主要内容
外测度及其性质。Lebesgne可测集及其性质。可测集类。
2．基本要求
理解测度的意义。理解外测度的意义，掌握其有关性质。理解可测集的定义，掌握可测集的性质。了解并掌握不可测集的存在性这一结论。
第四章可测函数
1．主要内容
可测函数及其性质。叶果洛夫定理。可测函数的构造。依测度收敛。
6
2
点集
10
3
测度论
12
4
可测函数
12
5
积分论
14
五、考核方式：闭卷考试。
教研室主任： （签名）
分管系主任： （签名）
二、教学基本要求
通过这门课程的教学应使学生熟练掌握本课程的基本概念、基本理论及其推导过程。系统掌握Lebesgue测度和Lebesgue积分理论，使学生能够以更高的视角看积分与微分，了解和掌握逐步深入地分析问题和解决问题的方法，提高分析问题和解决问题的能力,培养抽象的思维能力，为进一步钻研现代数学数学理论打下基础。
2．基本要求
了解黎曼可积的充要条件是被积函数几乎处处连续。理解勒贝格积分的定义及其建立过程。理解R积分与L积分的关系。理解L积分的性质，掌握L积分的绝对可积性和绝对连续性。掌握勒贝格控制收敛定理、列维定理、逐项积分定理、积分的可数可加性定理，法都引理。了解富比尼定理
四、学时分配
章节
内容
学时
1
集合（含习题课，下同）
三、教学内容及要求
第一章集合
1．主要内容
集合及其运算。集合的对等及其基数。可数集与不可数集。
2．基本要求
理解集的概念，分清集的元与集的归属关系，集与集之间的包含关系的区别。掌握集之间的交、差、余运算。掌握集列的上、下限集的概念及其交并表示。理解集列的收敛、单调集列的概念。掌握――映射，两集合对等及集合基数等概念。理解伯恩斯坦定理，能利用定义及伯恩斯坦定理证明两集合对等。理解可数集，不可数集的意义，掌握可数集、基数为C的集合的性质，理解不存在最大基数的定理的意义。
3、郑维行、王声望编，实变函数与泛函分析概要（上册），北京：高等教育出版社，1980
课程性质、目的和任务
《实变函数论》是大学数学系的重要专业基础课之一，它是数学分析的延续和发展，它主要应用点集分析的方法建立n维欧氏空间中点集的Lebesgue测度理论和点集上定义的Lebesgue积分理论。通过这门课程的教学应使学生掌握近代抽象分析的基本思想，系统掌握Lebesgue测度和Lebesgue积分理论，着重培养学生的思维能力和逻辑推理能力，为进一步钻研现代数学数学理论打下基础。
第二章点集
1．主要内容
度量空间、n维欧氏空间。聚点、内点、界点。开集、闭集、完备集。直线上的开集、闭集及完备集的构造。
2．基本要求
理解n维欧氏空间中极限概念主要依赖于距离这个概念，从而了解邻域概念在极限理论中的作用。理解聚点，孤立点、内点、外点、界点的意义，掌握有关性质。理解开集、闭集、完备集的意义，掌握其性质。理解直线上开集、闭集、完备集的构造。理解康托集的构造、特性。