平行轴定理和垂直轴定理的讲解

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平行轴及垂直轴定理

平行轴定理转动惯量与转动轴的位置有关。

绕着一个固定轴转动的物体的动能是2z I 21K ω= 之前我们可以将动能用质心的动能和相对于质心的内能之和的形式表示出来： int 2cm K Mv 21K +=一个刚体上的两个平行轴。

Z 轴是固定的，质心轴绕着z 轴运动。

相对于任意一个轴物体都处于运动状态。

考虑绕不经过质心的固定轴（假设是z 轴）的转动。

质心绕着这个固定轴转动，设它与轴之间的距离为d ：因此 ωd v cm =222cm Md 21Mv 21ω= 一个物体以角速度ω绕固定轴z 轴的转动同样可以视为以同样的角速度绕平行于z 轴且通过质心的固定轴的转动。

也就是说，绕z 轴的转动等同于绕过质心的平行轴的转动与质心的转动的叠加。

绕通过质心的固定轴转动的动能为：2cm int I 21K ω=所以 222cm Md 21I 21K ωω+= 22cm 2z ]Md I [21I 21ωω+= 两相比较可得：2cm z Md I I +=，这就是平行轴定理。

例：木棒细木棒绕着它长度的中点转动，转动惯量为：2cm ML 121I = ——那么，当木棒绕着它的一端转动时，它的转动惯量是多少？3ML I )2L (M 12ML I 2Ld 222=+== 垂直轴定理一个薄平板，它可以绕着三个坐标轴中的任意一个转动。

表明了一个平板状物体绕着它的三个互相垂直的坐标轴转动的转动惯量之间的关系。

考虑一个薄板，它可以绕着它的三个垂直的坐标轴中的任意一个转动。

设与之相对应的转动惯量分别为z y x I I ,I 和假设平板处于xy 平面上，从z 轴到参考点P 的垂直距离为22y x R +=∫∫+==dV )y x (dV R I 222z ρρ∫=dV y I 2x ρ∫=dV x I 2y ρ所以，这便是垂直轴定理。

y x z I I I +=例：1）圆盘•处于xy 平面上的一个圆盘，其转动惯量为2z MR 21I = 由对称性可知，y x I I =因此由垂直轴定理即可得到：x z 2I I =4MR 2I I I 2z y x === 2）正方形平板•正方形的变长为a通过对称性可知，y x I I =因此由垂直轴定理即可得到：2z x Ma 61I 2I == 例：当圆柱体转动时，绳子开始释放，物体m 向下落。

2利用空间向量证明平行垂直关系(学生版)

利用空间向量证明平行垂直关系（讲案）【教学目标】一、方向向量与法向量概念【知识点】1.直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量。

注：（1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量。

（2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，在直线上任取两点，所形成的向量即为该直线的方向向量，可参与向量运算或向量的坐标运算。

（3）直线的方向向量是非零向量且不唯一。

⊥，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量。

2.平面的法向量：直线l a（注意：平面的法向量是非零向量且不唯一）3.确定平面的法向量的方法（1）直接法：几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量，即观察是否有垂直于平面的向量，若有，则此向量就是法向量。

（2）待定系数法：几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：（i ）设出平面的法向量为(,,)n x y z =（ii ）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标a 111(,,)a b c =，222,,)(b a b c =（iii ）根据法向量的定义建立关于,,x y z 的方程0n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ；（iv ）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量． 4. 空间位置关系的向量表示12,n n2l 1212//(n n n kn k R ⇔=∈2l ⊥12120n n n n ⊥⇔⋅=n ，的法向量为m l α0n m n m ⊥⇔⋅=α⊥//()n m n km k R ⇔=∈的法向量分别为,n mβ //()n m n km k R ⇔=∈β⊥0n m n m ⊥⇔⋅=【例题讲解】★☆☆例题1．（2020•和平区）若(1A -，0，1)，(1B ，4，7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A ．(1，2，3) B ．(1，3，2) C ．(2，1，3) D ．(3，2，1)★☆☆练习1．已知直线1l 的方向向量(2,,1)m m =，2l 的方向向量1(1,,2)2n =，且21l l ⊥，则(m = )A ．8B ．8-C ．1D ．1-★☆☆练习2．直线1l 、2l 的方向向量分别为(1a =，2，2)-，(2b =-，3，2)，则( ) A ．12//l l B ．1l 与2l 相交，但不垂直C ．12l l ⊥D ．不能确定★☆☆练习3．若直线l 的方向向量为(2v =，1，3)，且直线l 过(0A ，y ，3)，(1B -，2-，)z 两点．则y = ，z = ．★☆☆练习4．已知点(1A ，2-，0)和向量(3,4,6)a =-，||2||AB a =，且AB 与a 方向相反，则点B 坐标为( )A ．(7-，6，12)B ．(7，10-，12)-C ．(7，6-，12)D ．(7-，10，12)★☆☆例题2．已知(2AB =，2，1)，(4AC =，5，3)，则下列向量中是平面ABC 的法向量的是( ) A ．(1，2，6)-B ．(2-，1，1)C ．(1，2-，2)D ．(4，2-，1)★☆☆练习1．（2020•聊城）若直线l 的方向向量为m ，平面α的法向量为n ，则能使//l α的是( ) A ．(1m =，2，1)，(1n =，0，1) B ．(0m =，1，0)，(0n =，3，0)C ．(1m =，2-，3)，(2n =-，2，2)D ．(0m =，2，1)，(1n =-，0，1)-★☆☆练习2．（2020秋•和平区）如图，在单位正方体1111ABCD A B C D -中，以D 为原点，DA ，DC ，1DD 为坐标向量建立空间直角坐标系，则平面11A BC 的法向量是( )A ．(1，1，1)B ．(1-，1，1)C ．(1，1-，1)D ．(1，1，1)-★★☆练习3．（2020•辽宁）已知平面α上三点(3A ，2，1)，(1B -，2，0)，(4C ，2-，1)-，则平面α的一个法向量为( )A ．(4，9-，16)-B ．(4，9，16)-C ．(16-，9，4)-D ．(16，9，4)-★☆☆例题3．直线l 的方向向量(1a =，3-，5)，平面α的法向量(1n =-，3，5)-，则有( ) A ．//l α B ．l α⊥C ．l 与α斜交D ．l α⊂或//l α★★☆练习1．（2019•杨浦区）空间直角坐标系中，两平面α与β分别以1(2n =，1，1)与2(0n =，2，1)为其法向量，若l αβ=，则直线l 的一个方向向量为（写出一个方向向量的坐标）★☆☆练习2．若直线l 的方向向量为(4，2，)m ，平面α的法向量为(2，1，1)-，且l α⊥，则m = ． ★☆☆练习3．（2020•菏泽）设平面α的法向量为(1，2-，)λ，平面β的法向量为(2，μ，4)，若//αβ，则(λμ+= ) A ．2 B ．4C ．2-D ．4-二、利用空间向量证明平行关系【知识点】（1）线线平行：若空间不重合两条直线,a b 的方向向量分别为,a b ，则////a b a b ⇔⇔()a b R λλ=∈；（2）线面平行：若直线a 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且a α⊄，则////a a αα⇔0a n a n ⇔⊥⇔⋅=；（3）面面平行：若空间不重合的两个平面,αβ的法向量分别为a b ,，则////a b αβ⇔⇔a b λ=.【例题讲解】★☆☆例题1．如图，在长方体1111OAEB O A E B -中，||3OA =，||4OB =，1||2OO =，点在棱1AA 上，且12AP PA =，点S 在棱1BB 上，且12SB BS =，点Q 、R 分别是11O B 、AE 的中点，求证：//PQ RS ．★☆☆例题2．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于点F ．建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量方法解答以下问题：求证：//PA 平面EDB .★☆☆练习1. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AD AA ==，6AB =，E 、F 分别为11A D 、11D C 的中点．分别以DA 、DC 、1DD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -．（1）求点E 、F 的坐标；（2）求证：1//EF ACD 平面．P★★☆练习2. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，//AB CD ，且1AB =，2AD CD ==，E 在线段PD 上．若E 是PD 的中点，试证明：//AE 平面PBC .★☆☆例题3．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，求证：平面11//AB D 平面1BDC ．★☆☆练习1. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F 分别是1BB ，1DD 的中点，求证：（1）1//FC 平面ADE ；（2）平面//ADE 平面11B C F ．★★☆练习2. 如图，已知棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，E ，F 分别是棱11A D ，11A B ，11D C ，11B C 的中点，求证：平面//AMN 平面EFBD ．三、利用空间向量证明垂直关系【知识点】（1）线线垂直：设直线，的方向向量分别为，，则要证明，只需证明，即。

刚体转动惯量计算方法

刚体绕轴转动惯性的度量。

其数值为J=∑ mi*ri^2，式中mi表示刚体的某个质点的质量，ri表示该质点到转轴的垂直距离。

；求和号（或积分号）遍及整个刚体。

转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。

规则形状的均质刚体，其转动惯量可直接计得。

不规则刚体或非均质刚体的转动惯量，一般用实验法测定。

转动惯量应用于刚体各种运动的动力学计算中。

描述刚体绕互相平行诸转轴的转动惯量之间的关系，有如下的平行轴定理：刚体对一轴的转动惯量，等于该刚体对同此轴平行并通过质心之轴的转动惯量加上该刚体的质量同两轴间距离平方的乘积。

由于和式的第二项恒大于零，因此刚体绕过质量中心之轴的转动惯量是绕该束平行轴诸转动惯量中的最小者。

还有垂直轴定理：垂直轴定理一个平面刚体薄板对于垂直它的平面轴的转动惯量，等于绕平面内与垂直轴相交的任意两正交轴的转动惯量之和。

表达式:Iz=Ix+Iy刚体对一轴的转动惯量，可折算成质量等于刚体质量的单个质点对该轴所形成的转动惯量。

由此折算所得的质点到转轴的距离，称为刚体绕该轴的回转半径κ，其公式为_____，式中M为刚体质量；I为转动惯量。

转动惯量的量纲为L^2M，在SI单位制中，它的单位是kg·m^2。

刚体绕某一点转动的惯性由更普遍的惯量张量描述。

惯量张量是二阶对称张量，它完整地刻画出刚体绕通过该点任一轴的转动惯量的大小。

补充对转动惯量的详细解释及其物理意义：先说转动惯量的由来，先从动能说起大家都知道动能E=(1/2)mv^2，而且动能的实际物理意义是：物体相对某个系统（选定一个参考系）运动的实际能量，（P势能实际意义则是物体相对某个系统运动的可能转化为运动的实际能量的大小）。

E=(1/2)mv^2 （v^2为v的2次方）把v=wr代入上式(w是角速度,r是半径，在这里对任何物体来说是把物体微分化分为无数个质点，质点与运动整体的重心的距离为r,而再把不同质点积分化得到实际等效的r)得到E=(1/2)m(wr)^2由于某一个对象物体在运动当中的本身属性m和r都是不变的，所以把关于m、r的变量用一个变量K代替,K=mr^2得到E=(1/2)Kw^2K就是转动惯量，分析实际情况中的作用相当于牛顿运动平动分析中的质量的作用，都是一般不轻易变的量。

定轴转动刚体的转动定律度力矩角动量转动惯量

Iz Ix Iy
z
定理证明：
对于质量平面分布的刚体，绕 x 轴的转动惯量为：
o
yy
Ix y2dm
x
dm
绕 y 轴的转动惯量为：
I y x2dm
x
绕 z 轴的转动惯量为：
19
z
Iz z2dm (x 2 y2 )dm
y2dm x 2dm I x I y 证毕
o
yy
x z dm
0
M
绕圆环质心轴的转动惯量为
dm
oR
I MR2
例2：在无质轻杆的 b 处 3b 处各系质量为 2m 和 m 的质点，可绕 o 轴转动，求：质点系的转动惯量I。
解：由转动惯量的定义
I
2
mi ri 2
2mb 2
m
(3b)2
11mb 2
i 1
9
例3：如图所示，一质量为m、长为l的均质空心圆柱
体（即圆筒圆筒）其内、外半径分别为R1和R2。试求
的质元受阻力矩大，
细杆的质量密度 m
l
质元质量 dm dx
o
xl dm m dx
x
质元受阻力矩：
dM 阻 dmgx
细杆受的阻力矩
m l
M阻
dM
阻
0l
gxdx
1 2
gl 2
1 2
mgl
4
二、定轴转动刚体的角动量
1 .质点对点的角动量
L
r
P
r
mv
作圆周运动的质点的角动量L＝rmv;
l
x2dm
L
x2dx
1 L3
0
1 mL2
0
3
A

刚体的转动惯量

刚体的转动惯量1.刚体的转动惯量的三要素刚体对某轴的转动惯量，是描述刚体在绕该轴的转动过程中转动惯性的物理量. 有转动惯量 的定义式 I  miri2 可看出，刚体的转动惯量是与下列三个因素有关的.（1）与刚体的质量有关. 例如半径相同的两个圆柱体，而它们的质量不同，显然，对于相应的转轴，质量大的转动惯量也较大. （2）在质量一定的情况下，与质量的分布有关. 例如质量相同、半径也相同的圆盘与圆环，二者的质量分布不同，圆环的质量集中分布在边缘，而圆盘的质量分布在整个圆面上，所以，圆环的转动惯量较大. （3）还与给定转轴的位置有关，即同一刚体对于不同的转轴，其转动惯量的大小也是不等的. 例如，同一细长杆，对通过其质心且垂直于杆的转轴和通过其一端且垂直于杆的转轴，二者的转动惯量不相同，且后者较大. 这是由于转轴的位置不同，从而也就影响了转动惯量的大小.刚体的转动惯量的三要素：刚体的总质量、刚体的质量分布情况、转轴的位置. 2.转动惯量的普遍公式 （1）转动惯量的定义式 I  miri2·········○1可知，对于形状规则、质量均匀分布的连续刚体，其对特殊轴的转动惯量的计算可借助于定积分. 这是，可设想将刚体分成许多小线元、面元、体元.dm  dx dm   dS dm  dV于是  I  r2dm  r2dx l  I  r2dm  r2 dS S  I  r2dm  r2dV V一般说来，这是个三重的体积分，但对于有一定对称性的物体，积分的重数可以减少，甚至不需要积分.（2）刚体对某轴的转动惯量刚体对 z 轴的转动惯量      Iz  r2  z2 dm  x2  y2 dm·········○2a刚体对 x 轴的转动惯量      Ix  r2  x2 dm  y2  z2 dm·········○2b刚体对 y 轴的转动惯量      Iy  r2  y2 dm  x2  z2 dm·········○2c仿照刚体对某轴的转动惯量来定义刚体对于某点的转动惯量：刚体中各质点的质量各自与其至某（参考）点的距离的平方的乘积，所得总和称为刚体对该点的转动惯量.（3）刚体对某点的转动惯量刚体对坐标原点 O 的转动惯量可表示为   IO  x2  y2  z2 dm·········○3由式○2 、○3 ，得  IO1 2Ix  Iy  Iz·········○4即，质点系（刚体）对于坐标原点的转动惯量（或极转动惯量），等于它对于三个坐标轴的转动惯量之和的一半. 3.刚体的平行轴定理（许泰乃尔定理）I  IC  md 2·········○5即，刚体对于任何一轴的转动惯量，等于刚体对于通过它的质心并与该轴平行的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积.注意：平行轴定理与刚体对质心轴的转动惯量紧密联系在一起，应用此定理的参考点是刚体对质心轴的转动惯量.根据平行轴定理，可得到如下关系：（1）刚体绕通过质心的轴的转动惯量小于绕另一平行轴的转动惯量，二者之差为 md 2 .（2）设有两条平行轴 PP ' 与 QQ ' 均不通过质心 C . 如果 PP ' 比 QQ ' 靠近 C ，则刚体绕PP '轴的转动惯量小于绕 QQ ' 轴的转动惯量（如图所示）.QP·C·CQ′P′(a)(b)平行轴定理的应用 (a) 在不同圆上；(b)同一圆上（3）如果有一簇与质心 C 的距离相等的平行轴，那么，刚体绕这些轴的转动惯量均相等（如图 7.52(b)所示）.4.刚体的垂直轴定理（正交轴定理、薄片定理）设想刚体为平面薄片，即厚度可以略去不计，因而刚体为平面图形.Iz  Ix  Iy·········○6即，平面图形对于图形内的两条正交轴的转动惯量之和，等于这个图形对过二．轴．交．点．且垂．直．于图形平面的那条转轴的转动惯量.注意：正交轴定理对于有限厚度的板不成立.5.转动惯量的叠加原理实际上，有些物体是由几种形状不同的刚体的组合. 它对于某轴的转动惯量，可视为各部分对于同一转轴的转动惯量之和，因而，I  I1  I2  I3 ·········○7即，由几个部分组成的刚体对某轴的转动惯量，等于各部分对同轴的转动惯量之和. 此即转动惯量的叠．加．原．理．.叠加原理是根据加法的组合定则，把属于各部分的项分别相加，然后求和而得.同理，设有一物体挖去若干部分，则剩余部分的转动惯量，等于原物体的转动惯量，减去挖去部分的转动惯量.。

刚体定轴转动定律

角称为角坐标（或角位置）。角坐标为标量。但可有正负。
o
P
x
2.角位移
描写刚体位置变化的物理量。
角坐标的增量：
称为刚体的角位移
y v2 p v1
P
3.角速度
R
x
描写刚体转动快慢和方向
的物理量。
角速度 lim d
t0 t dt 方向：满足右手定则，沿刚体转动方向右旋大拇指指向。
角速度是矢量，但对于刚体定轴转动角速度的方向只有两个，在表示角速度时只用角速度的正负数值就可表示角速度的方向，不必用矢量表示。
11mb 2
例4、半径为 R 质量为 M 的圆环，绕垂直于圆环平面的质心轴转动，求转动惯量J。
解： J R2dm MR 2
M o R dm
例5、半径为 R 质量为 M 的圆盘，绕垂直于圆盘平面的质心轴转动，求转动惯量 J。
解：分割圆盘为圆环
dm
M
R2
2
rdr
J r2dm
M
dr
R
0
t 细杆绕一端的转动惯量
J 1 ml 2 3
摩擦阻力
t
例8、质量为 m1 和m2 两个物体，跨在定滑轮上 m2 放在光滑的桌面上，滑轮半径为 R，质量为 M，求：m1 下落的加速度，和绳子的张力 T1、T2。
解：m1 g T1 m1a （1）
T2 m2a
b)作圆周运动的质点的角动量 L＝ r m v
c)角动量是描述转动状态的物理量；
P L
d)质点的角动量又称为动量矩。
or
dL
d (r mv)
dr
mv
r
d (mv)
r
F
dt

平行轴定理和垂直轴定理的讲解

三. 转动动能定理 —— 合力矩功的效果
dA Md (J
对于一有限过程
d )d
dt
Jd
d( 1 2
J 2 )
dEk
A
2 dA
1
2 1
d( 1 2
J 2 )
1 2
J22
1 2
J12
Ek
绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程中
作用在刚体上所有外力所作功的总和。 —— 动能定理
刚体的机械能刚体重力势能
1)
l' 2l 3
Nx 0
N y mg
质心运动定理与转动定律联用
§6.2 绕定轴转动刚体的动能动能定理
一. 转动动能
z
设系统包括有 N 个质量元
m1, m2
r1, r2,..., ri,
,.......,
..., rN
mi,......,mN
v1,v2,...,vi ,...,v N
取第 i 个质元 ,其动能为
Ny
J 1 ml，2 现有一水平力作用于距轴为 l' 处
O
3
求轴对棒的作用力（也称轴反力）。
Nx
解设轴对棒的作用力为 N
Nx, Ny
由转动定律 Fl' J
由质心运动定理
F
Nx
macx
m
l 2
Ny
mg
macy
ml 2
2
0
l' C F mg
质点系
打击中心
Nx
ml 2
Fl ' J
F
F (3l ' 2l
d
O
r' ri

刚体动力学2

令
J = ∑ mi ri 2
转动惯量
转动定律
M = Jβ
刚体是特殊质点系，转动定律和质心运动定律非常相似：
G G M = Jβ
G G F = mac
4
§3.3 转动惯量
一、转动惯量的物理意义转动惯量特点
J = ∑ mi ri = ∑ J i
2
第第三三章章
转动惯量是转动惯性的量度
质量是平动惯性的量度
桌面支持力对轴不产生力矩，摩擦力矩使圆盘转动停止。设转动方向为正，转动定律
o
ω0
R
dω −M f = J β = J dt
14
第三三章章设圆盘的体密度 ρ ，厚度 l，在圆盘上第半径r处，取宽为dr的细圆环为质元。质量dm=ρdV=2πrlρdr ，摩擦力df=μN=μgdm G G G 2 d M = 2 πμρ glr dr 力矩 dM f = r × df 大小 f
转动定律
第第三三章章
o x 1 2 M = Fy = J β = ml β 3 y F = F = ma x方向上的质心运动定理 ∑ x cx c
【解】只有F的力矩引起转动，转动定律
线量和角量关系，细杆的质心在l/2处
F y
l acx = ac = β 2
解得
2 y= l 3
17
【例】如图所示，两物体的质量
J = ∑ mi ri
2
2
J = ∫r dm
质量体分布 dm ρ= dV J = ∫V r 2 ρ d V
6
一些常见刚体的转动惯量一些常见刚体的转动惯量
第第三三章章
细杆
1 2 J = ml 12

3_2转动定律转动惯量平行轴定理

平行轴定理质量为m的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为JC ，则对任一与该轴平行，相距为d 的转轴的转动惯量
d
C
m
O
J O J C md
JP 1 2 mR mR
2 2
2
圆盘对P 轴的转动惯量 P
R
O m
四转动定律应用举例对平动的物体应用牛顿定律；对转动的物体应用转动定律；建立平动与转动之间的关系。
对质量面分布的刚体： d m
dS

：质量面密度
对质量体分布的刚体：d m
dV
：质量体密度
第三章刚体的转动
3 – 2 转动定律转动惯量平行轴定理
例3-1 一质量为m、长为l的均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量。
O r
l 2
O
dr
l 2
r
dr
O
O´
l
解: 设棒的线密度为，取一距离转轴 OO 为r 处的质量元dm=dr . d J r 2 d m r 2 d r
(m A m C 2)m B g mA mB mC 2
A
mA
FT1
C
F T1
F T2
mC F T2
mB B
如令 m C 0，可得
F T1 F T2
mAmBg mA mB
第三章刚体的转动
3 – 2 转动定律转动惯量平行轴定理
F T1 F T2
3）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
M ij
O
M
rj
j
d
ji
iF ri ij
F ji

刚体的转动惯量

刚体的转动惯量1.刚体的转动惯量的三要素刚体对某轴的转动惯量，是描述刚体在绕该轴的转动过程中转动惯性的物理量. 有转动惯量的定义式I   mi ri 2可看出，刚体的转动惯量是与下列三个因素有关的.（1）与刚体的质量有关. 例如半径相同的两个圆柱体，而它们的质量不同，显然，对于相应的转轴，质量大的转动惯量也较大. （2）在质量一定的情况下，与质量的分布有关. 例如质量相同、半径也相同的圆盘与圆环，二者的质量分布不同，圆环的质量集中分布在边缘，而圆盘的质量分布在整个圆面上，所以，圆环的转动惯量较大. （3）还与给定转轴的位置有关，即同一刚体对于不同的转轴，其转动惯量的大小也是不等的. 例如，同一细长杆，对通过其质心且垂直于杆的转轴和通过其一端且垂直于杆的转轴，二者的转动惯量不相同，且后者较大. 这是由于转轴的位置不同，从而也就影响了转动惯量的大小.刚体的转动惯量的三要素：刚体的总质量、刚体的质量分布情况、转轴的位置. 2.转动惯量的普遍公式（1）转动惯量的定义式 I m r2i i· · · · · · · · ·○ 1可知，对于形状规则、质量均匀分布的连续刚体，其对特殊轴的转动惯量的计算可借助于定积分. 这是，可设想将刚体分成许多小线元、面元、体元.dm   dx dm   dS dm   dV于是I   r 2 dm   r 2  dxlI   r dm   r 2 dS2 2 SI   r dm   r 2  dVV一般说来，这是个三重的体积分，但对于有一定对称性的物体，积分的重数可以减少，甚至不需要积分. （2）刚体对某轴的转动惯量刚体对 z 轴的转动惯量I z    r 2  z 2 dm    x 2  y 2  dm刚体对 x 轴的转动惯量· · · · · · · · ·○ 2aI x    r 2  x 2 dm    y 2  z 2  dm刚体对 y 轴的转动惯量· · · · · · · · ·○ 2bI y    r 2  y 2 dm    x 2  z 2  dm· · · · · · · · ·○ 2c仿照刚体对某轴的转动惯量来定义刚体对于某点的转动惯量：刚体中各质点的质量各自与其至某（参考）点的距离的平方的乘积，所得总和称为刚体对该点的转动惯量. （3）刚体对某点的转动惯量刚体对坐标原点 O 的转动惯量可表示为I O    x 2  y 2  z 2  dm由式○ 2 、○ 3 ，得· · · · · · · · ·○ 3IO 1  Ix  I y  Iz  2· · · · · · · · ·○ 4即，质点系（刚体）对于坐标原点的转动惯量（或极转动惯量），等于它对于三个坐标轴的转动惯量之和的一半. 3.刚体的平行轴定理（许泰乃尔定理）I  I C  md 2· · · · · · · · ·○ 5即，刚体对于任何一轴的转动惯量，等于刚体对于通过它的质心并与该轴平行的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积. 注意：平行轴定理与刚体对质心轴的转动惯量紧密联系在一起，应用此定理的参考点是刚体对质心轴的转动惯量. 根据平行轴定理，可得到如下关系：（1）刚体绕通过质心的轴的转动惯量小于绕另一平行轴的转动惯量，二者之差为 md . （ 2）设有两条平行轴 PP ' 与 QQ ' 均不通过质心 C . 如果 PP ' 比 QQ ' 靠近 C ，则刚体绕2PP ' 轴的转动惯量小于绕 QQ ' 轴的转动惯量（如图所示）.QPC ·C ·Q′P′(a)平行轴定理的应用 (a) 在不同圆上；(b)同一圆上(b)（3）如果有一簇与质心 C 的距离相等的平行轴，那么，刚体绕这些轴的转动惯量均相等（如图 7.52(b)所示）. 4.刚体的垂直轴定理（正交轴定理、薄片定理）设想刚体为平面薄片，即厚度可以略去不计，因而刚体为平面图形.Iz  Ix  I y· · · · · · · · ·○ 6即，平面图形对于图形内的两条正交轴的转动惯量之和，等于这个图形对过二轴交点且垂直．．．．．．于图形平面的那条转轴的转动惯量. 注意：正交轴定理对于有限厚度的板不成立. 5.转动惯量的叠加原理实际上，有些物体是由几种形状不同的刚体的组合. 它对于某轴的转动惯量，可视为各部分对于同一转轴的转动惯量之和，因而，I  I1  I 2  I3 · · · · · · · · ·○ 7即，由几个部分组成的刚体对某轴的转动惯量，等于各部分对同轴的转动惯量之和. 此即转动惯量的叠加原理 . ．．．．叠加原理是根据加法的组合定则，把属于各部分的项分别相加，然后求和而得. 同理，设有一物体挖去若干部分，则剩余部分的转动惯量，等于原物体的转动惯量，减去挖去部分的转动惯量.。

平行轴定理——精选推荐

四、平行轴定理前例中J C 表示相对通过质心的轴的转动惯量， J A 表示相对通过棒端的轴的转动惯量。

两轴平行，相距L/2。

可见：222231411212mLmL mL L m J J C A =+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛＋＝推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d ，刚体对其转动惯量为J ，则有：这个结论称为平行轴定理。

2C J J md＝＋例：右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？(棒长为L、球体半径为R）2131L m J L L =225o oJ m R =2002dm J J L +=22212()35L o o J m L m R m L R =+++作业： P1504-8 4-9Lom oR Lm zz ′解：棒绕zz ’轴的转动惯量：球体绕球心O 的转动惯量：利用平行轴定理：五、刚体定轴转动的转动定律的应用例１、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为ｍ的物体而下垂。

忽略轴处摩擦，求物体ｍ由静止下落高度ｈ时的速度和此时滑轮的角速度。

解：如图所示，M、m的受力图得知：: m mg T ma a R α−==21 2M M T R J J MRα′′：＝＝＝MmM g�m g�T�T ′�N�a�T T ′=M m mghR R v +==241ω例2、一个飞轮的质量为69kg，半径为0.25m,正在以每分1000转的转速转动。

现在要制动飞轮，要求在5.0秒内使它均匀减速而最后停下来。

求闸瓦对轮子的压力N为多大？242Mm mgh ah v +==gM m ma 2+=解方程得：F ω0解：飞轮制动时有角加速度tωωα−=20rad/s9.20s 5 0rad/s 7.104min /r 1000−=∴====αωωt 外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。

ααµ2mR J NR R f M r ==−=−＝αµ2mR NR =−N784=−=µαmR N αω0Nf r例3、一根长为l 、质量为m 的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。

刚体转动知识点总结

刚体转动知识点总结1. 刚体的定义在物理学中，刚体是一个理想化的概念，用来描述物体的力学性质。

刚体是一个不会发生形变的物体，它具有不变的形状和大小。

在刚体转动的过程中，可以忽略物体的形变，只需考虑刚体的质量分布和外力作用情况。

2. 转动定律在刚体转动的过程中，存在着转动定律，即牛顿第二定律在转动运动中的应用。

根据转动定律，刚体的角加速度与作用在刚体上的合外力成正比，与刚体的转动惯量成反比。

转动定律可以用数学公式表示为：\[ \tau = I \alpha \]其中，$\tau$ 表示合外力矩，$I$ 表示刚体的转动惯量，$\alpha$ 表示刚体的角加速度。

3. 角动量角动量是描述刚体转动运动的物理量，它是刚体的转动惯量和角速度的乘积。

角动量可以用数学公式表示为：\[ L = I \omega \]其中，$L$ 表示角动量，$I$ 表示刚体的转动惯量，$\omega$ 表示角速度。

4. 转动惯量转动惯量是描述刚体对转动运动的惯性大小的物理量，它反映了刚体的质量分布对其转动运动的影响程度。

转动惯量的计算需要考虑刚体的形状和质量分布，通常需要使用积分来进行计算。

5. 转动运动方程刚体转动运动的规律可以通过转动运动方程来描述，转动运动方程可以表示为：\[ \tau = \frac{dL}{dt} \]其中，$\tau$ 表示合外力矩，$L$ 表示角动量，$t$ 表示时间。

转动运动方程描述了刚体的转动运动受到外力矩作用时角动量的变化规律。

6. 刚体的转动运动在刚体的转动运动中，需要考虑刚体的转动惯量、角速度、角加速度等物理量。

刚体的转动运动可以在直角坐标系下进行描述，通过使用牛顿运动定律和转动运动方程来分析刚体的转动运动规律。

7. 平行轴定理和垂直轴定理在计算刚体的转动惯量时，可以利用平行轴定理和垂直轴定理来简化计算过程。

根据平行轴定理和垂直轴定理，刚体绕与其质心平行（或垂直）且距离为$d$的轴转动的转动惯量可以表示为：\[ I = I_{\text{CM}} + Md^2 \]其中，$I$ 表示绕过质心平行（或垂直）轴转动的转动惯量，$I_{\text{CM}}$ 表示绕质心转动的转动惯量，$M$ 表示刚体的质量，$d$ 表示轴与质心的距离。

平行轴定理及其应用

在其平衡位置附近振动时 , 对通过 D 点的水平轴的转动惯量。解直杆是在半圆柱面上作平面平行运动 , D 是水平转动瞬轴 , 在平衡位置附近来回移
动 , 由图 3 可知 , 质心 C 与 D 之间的距离为面 = d = R 口, 于是由平行轴定理得
例 1 匀质细杆 A B 长为 L , 质量为 m , 杆的 A 端置于水平地面上 , B 端则靠在墙上。如
图 1 所示 , 求杆对通过 D 点的水平轴的转动惯量。
解
由题意可知 , 杆在下落过程中作平面平行运动 ,
绕水平瞬时转轴 D 转动 ,
示 ) , 求半圆柱体对通过 D 点的水平瞬时轴的转动惯量。
解
在本题中通过质心 C的水平袖的转动惯量是未知的
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教学与管理一九八八年第一期
号 =
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以上两例中的转轴均在刚体之外 , 转动惯量 I D都是固定不变的。例 3 匀质杆 A B 长 L , 质量 m , 置于一粗糙的半径为 R的圆柱上 ( 如图 3 所示 ) , 求杆
乙
3, ,
。, .
= 」刀气二二五 - 一乙与找 C 0 5 口少 Nhomakorabea乙

刚体转动惯量计算方法

刚体绕轴转动惯性的度量。

其数值为J=∑ mi*ri^2，式中mi表示刚体的某个质点的质量，ri表示该质点到转轴的垂直距离。

；求和号（或积分号）遍及整个刚体。

转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。

规则形状的均质刚体，其转动惯量可直接计得。

不规则刚体或非均质刚体的转动惯量，一般用实验法测定。

转动惯量应用于刚体各种运动的动力学计算中。

由于和式的第二项恒大于零，因此刚体绕过质量中心之轴的转动惯量是绕该束平行轴诸转动惯量中的最小者。

还有垂直轴定理：垂直轴定理一个平面刚体薄板对于垂直它的平面轴的转动惯量，等于绕平面内与垂直轴相交的任意两正交轴的转动惯量之和。

表达式:Iz=Ix+Iy刚体对一轴的转动惯量，可折算成质量等于刚体质量的单个质点对该轴所形成的转动惯量。

由此折算所得的质点到转轴的距离，称为刚体绕该轴的回转半径κ，其公式为_____，式中M为刚体质量；I为转动惯量。

转动惯量的量纲为L^2M，在SI单位制中，它的单位是kg·m^2。

刚体绕某一点转动的惯性由更普遍的惯量张量描述。

惯量张量是二阶对称张量，它完整地刻画出刚体绕通过该点任一轴的转动惯量的大小。

刚体转动惯量计算方法

刚体绕轴转动惯性的度量。

其数值为J=∑ mi*ri^2，式中mi表示刚体的某个质点的质量，ri表示该质点到转轴的垂直距离。

；求和号（或积分号）遍及整个刚体。

转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。

规则形状的均质刚体，其转动惯量可直接计得。

不规则刚体或非均质刚体的转动惯量，一般用实验法测定。

转动惯量应用于刚体各种运动的动力学计算中。

由于和式的第二项恒大于零，因此刚体绕过质量中心之轴的转动惯量是绕该束平行轴诸转动惯量中的最小者。

还有垂直轴定理：垂直轴定理一个平面刚体薄板对于垂直它的平面轴的转动惯量，等于绕平面内与垂直轴相交的任意两正交轴的转动惯量之和。

表达式:Iz=Ix+Iy刚体对一轴的转动惯量，可折算成质量等于刚体质量的单个质点对该轴所形成的转动惯量。

由此折算所得的质点到转轴的距离，称为刚体绕该轴的回转半径κ，其公式为_____，式中M为刚体质量；I为转动惯量。

转动惯量的量纲为L^2M，在SI单位制中，它的单位是kg·m^2。

刚体绕某一点转动的惯性由更普遍的惯量X量描述。

惯量X量是二阶对称X量，它完整地刻画出刚体绕通过该点任一轴的转动惯量的大小。

刚体的角动量转动动能转动惯量

I 1 mr 2 2
6、圆筒（转轴沿几何轴）
I

1 2
m(r12

r22 )
7、圆柱体（转轴通过中心与圆柱体垂直）
I 1 mr 2 1 ml 2
4
12
8、圆柱体（转轴沿几何轴）
I 1 mr 2 2
9、薄球壳（转轴沿直径）
I 2 mr 2 3
10、球体（转轴沿直径）
I 2 mr 2 5
两轴间的距离平方的乘积： J J C md 2
如： JC

1 2
mR2
J
JC
J JC mR 2
m
1 mR2 mR2
R
2
刚体绕质心轴的转动惯量最小
三、垂直轴定理
定理表述：质量平面分布的刚体，绕垂直于
平面轴的转动惯量等于平面内两正交轴的转
动惯量之和：J z J x J y
ml 2 12

mh2
这个例题表明，同一刚体对不同位置的转
轴，转动惯量并不相同。
h
A
B
Ox
l
dx
转动惯量的计算
例题4-4 求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的转动惯量。设圆盘的半径为R，质量为m，密度均匀。
R r dr
解设圆盘的质量面密度为，在圆盘上取一半径为r、
宽度为dr的圆环（如图），环的面积为2rdr，环的
“平行轴定理”
圆盘对P 轴的转动惯量
J P JC mh 2
PR Om
JP

1 2
mR2

mR2
JB

ml 2 12

mh2
h
A
B

垂直轴定理适用范围

垂直轴定理适用范围
垂直轴定理是几何学中一个重要的定理，它在许多几何问题的解决中起到了关键作用。

下面是垂直轴定理适用范围的概述：
1. 平面几何学：垂直轴定理适用于平面几何学中的各种图形，包括直线、角、多边
形等。

通过在适当的位置引入垂直轴，可以简化问题的求解，获得更简洁和易于理解的结果。

2. 三角学：垂直轴定理也适用于三角学中的各种问题。

在解决三角形的内切圆和外
接圆问题时，引入垂直轴可以帮助我们得到更简单和准确的计算结果。

3. 解析几何学：垂直轴定理在解析几何学中也有广泛的应用。

通过引入垂直轴，我
们可以简化复杂的方程和函数，从而更容易地研究它们的性质和行为。

4. 物理学：垂直轴定理在物理学中也有重要的应用。

在力的分析中，垂直轴可以帮
助我们将力的平行分解转化为力的垂直分解，从而更好地理解力的作用和影响。

5. 工程学：垂直轴定理在工程学中也有广泛的应用。

在结构分析和设计中，垂直轴
可以帮助我们确定结构的受力情况，从而提供更可靠和安全的设计方案。

垂直轴定理在几何学、三角学、解析几何学、物理学和工程学中都有广泛的适用范围。

通过合理地引入垂直轴，在问题求解中可以简化计算过程并获得更准确和可靠的结果。

平行轴定理和垂直轴定理的讲解

平行轴及垂直轴定理

2利用空间向量证明平行垂直关系(学生版)

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定轴转动刚体的转动定律度力矩角动量转动惯量

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刚体定轴转动定律

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刚体动力学2

3_2转动定律 转动惯量 平行轴定理

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刚体转动惯量计算方法

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刚体的角动量 转动动能 转动惯量

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