平行轴定理和垂直轴定理的讲解

University Physics
例 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平
面内转动，初始时它在水平位置
求 它由此下摆 角时的 和
O•
m
l
x
解 M 1 mglcos
•C
2
由动能定理 A
Md
l mgcosd
0
02
mg
lmg sin 0 1 J 2 0 J 1 ml2
A M (2 1)
讨论
(1) 合力矩的功 A 2 Md 2 (
1
1 i
Mi )d
i
2 1
M i d
i
Ai
(2) 内力矩作功之和为零。
三. 转动动能定理 —— 合力矩功的效果
dA Md (J
对于一有限过程
d )d
dt
Jd
d( 1 2
J 2 )
dEk
A
2 dA
1
2 1
d( 1 2
2
2
3
2 3gsin
l
(3gsin )1/2
l
2 d 3gcos d
dt
l dt
d 3gcos
dt 2l
此题也可用机械能守恒定律方便求解 1 J 2 1 mglsin 0
2
2
Xu Zhongfeng, Xi’an Jiaotong University, 2010
University Physics
求 轴对棒的作用力（也称轴反力）。
解 设轴对棒的作用力为 N
Nx, Ny
由转动定律 Fl' J
由质心运 动定理
F
Nx
macx
m
l 2
Ny
mg
macy
ml 2
2
0
Ny O
Nx
l'
C
F
mg
质点系
打击中心
Nx
ml 2
Fl ' J
F
F (3l ' 2l
1)
l' 2l 3
Nx 0
N y mg
质心运动定理与转动定律联用
E Ek Ep
Ep mi ghi
mg
mi hi m
mghC
质心的势能
hc hi EP 0
刚体的 机械能
E
1 2
J
2
mghC
刚体的机械能守恒
1 2
J 2
mghC
C
对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立
Xu Zhongfeng, Xi’an Jiaotong University, 2010
University Physics
Xi’an Jiaotong University Zhongfeng Xu 04 / 01 / 2010
Xu Zhongfeng, Xi’an Jiaotong University, 2010
University Physics
➢ 平行轴定理及垂直轴定理
J z'
的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速度.
解 (1) Fr J
Fr J
98 0.2 0.5
39.2
rad/s 2
(2) mg T ma
Tr J
J
mgr mr2
两者区别
rO
T
TF
mg
a r
98 0.2 0.5 10 0.22
21.8
rad/s 2
Xu Zhongfeng, Xi’an Jiaotong University, 2010
Xu Zhongfeng, Xi’an Jiaotong University, 2010
University Physics
§6.2 绕定轴转动刚体的动能 动能定理
一. 转动动能
z
设系统包括有 N 个质量元
m1,m2,......., mi,......,mN
r1, r2,..., ri,..., rN v1,v2,...,vi ,...,v N
University Physics
例 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 面内转动（光滑无摩擦），初始时它在水平位置
求 它由此下摆 角时的 和
O•
ml x
解 取一质元 M z xdm g g xdm
M z mgxC
xdm mxC
•C dm
百度文库Mz
1 2
mgl cos
z
例如:
Jz
1 mR2 2
z m 圆盘
Jz Jx Jy Jx Jy
Jx
Jy
1 4
mR2
C R
x
y
x
Xu Zhongfeng, Xi’an Jiaotong University, 2010
y
薄板
University Physics
ri
ri
ro
ri2
ri 2
ro 2
2ri
ro
ri2 L2 2xi L
例 匀质圆盘以 0 在水平桌面上转动,受摩擦力而静止
求 到圆盘静止所需时间
解 取一质元 dm ds 2π rdr
dM z rdf r gdm
摩擦力矩
R
R
M z 0 dM z
R
0
2gr
2dr
2 3
mgR
由转动定律 M z
t
0
dt
3R d
0
0 4g
t 3R0 4g
J
d
dt
2 mgR 1 mR2 d
mgh
v2 2r 2
(mr
2
J
Z
)
mg
dh dt
2v
dv dt
1 2r 2
(mr 2
JZ
)
dh v， dv a
dt
dt
a
mgr2 mr2 JZ
常量
h
1 2
at
2
1 2
mgr 2 mr2 JZ
t2
若滑轮质量不可忽略，怎样？
JZ
mr
2
(
gt 2 2h
1)
Xu Zhongfeng, Xi’an Jiaotong University, 2010
J 2 )
1 2
J22
1 2
J12
Ek
绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程中
作用在刚体上所有外力所作功的总和。 —— 动能定理
Xu Zhongfeng, Xi’an Jiaotong University, 2010
University Physics
刚体的机械能 刚体重力势能
C • • mi
mg
重力对整个棒的合力矩等于重力全部集中于质心所产生的力矩
Mz J
1 mgl cos
2
3 ml2
3g cos
2l
d d 3g cos dt d 2l
ω
d
0
θ 0
3gcos
2l
d
3gsin
l
Xu Zhongfeng, Xi’an Jiaotong University, 2010
University Physics
3
2 dt
2 mgR 1 mR2 4g
3
2
3R
0
t
4g
3R
t
0
4g
3R
t
Xu Zhongfeng, Xi’an Jiaotong University, 2010
University Physics
例 一个刚体系统，如图所示，已知，转动惯量
J 1 ml，2 现有一水平力作用于距轴为 l' 处 3
Jz
ML2
—— 平行轴定理
(Parallel-Axis Theorem)
Jz —— 刚体绕通过质心轴的转动惯量
例如: J Z
JZ
M
L 2
2
1 12
ML2
1 4
ML2
1 3
ML2
z
z' z LM
C
z
J z J x J y —— (薄板)垂直轴定理
M
L
xy 轴 —— 在薄板内
z 轴 —— 垂直于薄板
二. 力dA矩的F功 dr Fcosds Frcosd F rd Md Xu Zhongfeng, Xi’an Jiaotong University, 2010
University Physics
dA Md (力矩的功就是力的功)
对一有限过程
A 2 Md ( 积分形式 ） 若 M = C 1
z
J z'
z'
Jz
ri' mri i
x
L
r
OC
M
o
miri2 mi (ri2 L2 2xi L)
i
i
J z ML2 2MLxc
J z' J z ML2
M (mi xi L)
(mi M
xi
)L
MxC
L
Xu Zhongfeng, Xi’an Jiaotong University, 2010
解 分析（机械能）： Ek1 0 Ek2 mv 2 / 2 JZ2 / 2
v 2 (mr2 JZ ) /(2r2 ) Ep EP2 EP1 mgh
Xu Zhongfeng, Xi’an Jiaotong University, 2010
University Physics
机械能守恒 mgh v 2 (mr2 JZ ) / (2r2 ) 0
University Physics
四. 转动定律的应用举例
例 一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kg·m2，飞轮与转轴间的摩擦 不计，绳与滑轮间无相对滑动，(见图)
求 (1) 飞轮的角加速度; (2) 如以重量P =98 N
取第 i 个质元 ,其动能为
d
O
r
'
dr
vi
F
ri P• mi
Eki
1 2
miv
i
2
1 2
mi
ri
2
2
各质元速度不同，
刚体对定轴的总动能为
但角速度相同
Eki
(1 2
miri2 2 )
1 2
miri2 2
Ek
1 2
J 2
结论 定轴转动刚体的动能等于转动惯量与其角速度平方乘积的一半
转动物体具有储能、稳速等作用：……
例 图示装置可用来测量物体的转动惯量。待测物体A装在转
动架上，转轴Z上装一半径为r 的轻鼓轮，绳的一端缠绕
在鼓轮上，另一端绕过定滑轮悬挂一质量为 m 的重物。 重物下落时，由绳带动被测物体 A 绕 Z 轴转动。今测得
重物由静止下落一段距离 h，所用时间为t，
求 物体A对Z 轴的转动惯量Jz。设绳子 不可伸缩，绳子、各轮质量及轮轴 处的摩擦力矩忽略不计。