3.2.1函数的单调性

合集下载

3.2.1函数的单调性与最值(第2课时)

域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有_f_(_x_)_≤__M_；（2）存在x0∈I，使得_f_(_x_0)_=_M_. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.
函数最小值定义：一般地，设函数y=f(x)的定义
域为I，如果存在实数M满足：请同学们仿此给（1）对于任意的x∈I，都有_f_(_x出_)_≥函__M数_定；最义小值的（2）存在x0∈I，使得_f_(_x_0)_=_M_. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最小值.
解：因为函数f(x)在区间[-2,2]上是增函数，且
f(1-m)<f(m)，
- 2 1- m 2
所以， - 2 m 2
1- m m
解得 1 m 2
2
故实数m的取值范围是
( 1 ,2] .
2
喷泉喷出的抛物线型水柱到达“最高点”后便下落，经历了先“增”后“减”的过程，从中我们发现单调性与函数的最值之间似乎有着某种“联系”，让我们来研究——函数的最大值与最小值.
对函数最值的理解
1.函数最大值首先应该是某一个函数值，即存在 x0 I ,
使得 f x0 M .并不是所有满足 f (x) M 的函数都有
最大值M.
2.函数的最值是函数在定义域上的整体性质，即这个函
数值是函数在整个定义域上的最大的函数值或者是最小
y
的函数值.
3.最值几何意义：f(x)的最大值 M
所以函数 f(x)图像的对称轴为直线x=a,
①当a 5时，f (x)在[5,5]为增函数，
所以f (x)min f (5) 27 10a ②当- 5 a 5时，则f (x)min f (a) 2 a2

3.2.1函数的单调性课件-高一上学期数学人教A版必修第一册

在区间[－1，0），[2，4)上是减函数.
定义法证明函数的单调性
例2 证明函数 f(x) = 3 x＋2在区间R上是增函数．
证明：设 x1，x2 是 R上任意两个实数，且x1﹤x2 设值
则 f(x1) - f(x2) = (3x1+2) - (3x2+2)
作差
= 3（x1-x2）
变形
由x1﹤x2 ，得 x1 - x2﹤0
那么就说在f(x)这个区间上是单调
x2
x
减函数，D称为f(x)的单调减区间.
如果函数y =f(x)在区间D是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y =f(x)在区间D上具有单调性。区间D叫做y =f(x)的单调区间。
（1）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;
判断1：函数f(x)= x2在(-∞,+∞)是单调增函数；
y
100
80
60 40
20
o1 2 3 t
思考1:当时间间隔t逐渐增
大你能看出对应的函数值y
y
100
有什么变化趋势？通过这个 80
实验，你打算以后如何对待 60
刚学过的知识?
40
20
思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线” o
1
2
3
t
从左至右是逐渐降落的，对此，
我们如何用数学观点进行解释？
思考1：画出下列函数的图象
y
（2） x1, x2 取值的任意性
判断2：定义在R上的函数 f (x)满足 f
(2)>f(1)，
y
则函数 f (x)在R上是增函数；
f(2)
f(1)
y x2
o
x
O 1 2x

第三章 3.2.1 第1课时函数的单调性(学生版)

函数的单调性学习目标 1.了解函数的单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.3.会用定义证明函数的单调性．前提条件设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆If (x )在区间D 上单调递增 f (x )在区间D 上单调递减思考1 所有的函数在定义域上都具有单调性吗？举例说明．答案不是．如函数y ＝x 2，y ＝1x等．思考2 在增函数和减函数定义中，能否把“任意x 1，x 2∈I ”改为“存在x 1，x 2∈I ”？举例说明．答案不能．如对于函数y ＝－x 2，存在－4<2，且－(－4)2<－22，但y ＝－x 2不是增函数．思考3 ∀x 1，x 2∈D ，若(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]>0或f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>0，则y ＝f (x )在某个区间D 上单调递增吗？简要说明原因．答案若(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]>0或f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>0，则x 2－x 1与f (x 2)－f (x 1)同号，即x 2>x 1时，f (x 2)>f (x 1)，所以f (x )在D 上单调递增．一、函数单调性的判断与证明例1 用定义判断函数f (x )＝ax ＋1x ＋2⎝⎛⎭⎫a ≠12在(－2，＋∞)上的单调性．反思感悟利用定义判断或证明函数单调性的步骤跟踪训练1 利用单调性的定义，证明函数f (x )＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上单调递减．二、求函数的单调区间例2 求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上单调递增还是单调递减．(1)f (x )＝－1x ； (2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，5－x ，x <1； (3)f (x )＝－x 2＋2|x |＋3.反思感悟求函数单调区间的方法(1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解． (2)利用函数的图象，如本例(3)．提醒：若所求出函数的单调递增区间或单调递减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开，如本例(3)．跟踪训练2 借助函数图象，求函数f (x )＝|x 2－1|＋x 的单调递增区间．三、函数单调性的应用例3(1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上单调递增，则实数a的取值范围是________．(2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．延伸探究1．在本例(1)中，若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为________．2．若本例(2)的函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求x的取值范围．反思感悟由函数单调性求参数范围的处理方法(1)由函数解析式求参数若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件，若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性．若为复合函数y＝|f(x)|或y＝f(|x|)——数形结合，探求参数满足的条件．(2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”去掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域．跟踪训练3(1)若f(x)在R上是减函数，则f(－1)与f(a2＋1)之间有()A．f(－1)≥f(a2＋1) B．f(－1)>f(a2＋1)C．f(－1)≤f(a2＋1) D．f(－1)<f(a2＋1)(2)若f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式f(x)<f(－2x＋8)的解集是________．1．函数y＝f(x)，x∈[－4,4]的图象如图所示，则f(x)的单调递增区间是()A．[－4,4] B．[－4，－3]∪[1,4] C．[－3,1] D．[－3,4] 2．(多选)下列函数在区间(0，＋∞)上单调递增的是()A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝x 2＋1C ．y ＝3－xD ．y ＝x 2＋2x ＋13．函数f (x )在R 上是减函数，则有( ) A ．f (3)<f (5) B ．f (3)≤f (5) C ．f (3)>f (5)D ．f (3)≥f (5)4．若y ＝(2k －1)x ＋b 是R 上的减函数，则有( )A ．k >12B ．k >－12C ．k <12D ．k <－125．已知f (x )是定义在R 上的增函数，且f (x 2－2)<f (－x )，则x 的取值范围是________．1．下列函数中，在区间(0,2)上单调递增的是( ) A ．y ＝5－x B ．y ＝x 2＋2 C ．y ＝1xD ．y ＝－|x |2．设(a ，b )，(c ，d )都是f (x )的单调递增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1<x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( ) A ．f (x 1)<f (x 2) B ．f (x 1)>f (x 2) C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不能确定3．若函数y ＝x 2＋(2a －1)x ＋1在区间(－∞，2]上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－32，＋∞ B.⎝⎛⎦⎤－∞，－32 C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－3]4．f (x )为(－∞，＋∞)上的减函数，a ∈R ，则( ) A ．f (a )<f (2a ) B ．f (a 2)<f (a ) C ．f (a 2＋1)<f (a )D ．f (a 2＋a )<f (a )5．函数y ＝|x |(1－x )的单调递增区间为________．6．若函数f (x )＝1x ＋1在(a ，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围是________．7．已知f (x )是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，则x 的取值范围是________． 8．已知函数f (x )＝mx ＋1nx ＋12(m ，n 是常数)，且f (1)＝2，f (2)＝114.(1)求m ，n 的值；(2)当x ∈[1，＋∞)时，判断f (x )的单调性并用定义证明．10．已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围．解设1<x 1<x 2，∴x 1x 2>1.∵函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增， ∴f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a2－⎝⎛⎭⎫x 2－a x 2＋a 2 ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1＋a x 1x 2<0.∵x 1－x 2<0，∴1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2.∵1<x 1<x 2，x 1x 2>1， ∴－x 1x 2<－1，∴a ≥－1. ∴a 的取值范围是[－1，＋∞)．11．若函数y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上都单调递减，则函数f (x )＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上( )A ．单调递增B ．单调递减C ．先增后减D ．先减后增答案 B解析由于函数y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上均单调递减，故a <0，b <0，故二次函数f (x )＝ax 2＋bx 的图象开口向下，且对称轴为直线x ＝－b2a <0，故函数f (x )＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上单调递减．12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0，若f (4－a )>f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2) B ．(2，＋∞) C ．(－∞，－2) D ．(－2，＋∞)答案 A解析画出f (x )的图象(图略)可判断f (x )在R 上单调递增，故f (4－a )>f (a )⇔4－a >a ，解得a <2. 13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，⎝⎛⎭⎫4－a 2x －1，x ≤1.若f (x )是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为________．答案 [4,8)解析因为f (x )是R 上的增函数，所以⎩⎨⎧4－a2>0，4－a2－1≤1，解得4≤a <8.14．若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在(－1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．答案 [－3,0]解析 ①a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在R 上单调递减， ∴a ＝0满足条件；②a ≠0时，f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1，对称轴为x ＝－a －32a，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－a －32a ≤－1，解得－3≤a <0.由①②得－3≤a ≤0，故a 的取值范围是[－3,0]．15．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以下三个条件： ①对于任意的x ∈R ，都有f (x ＋1)＝－f (x )； ②函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称； ③对于任意的x 1，x 2∈[0,1]，且f (x 1)－f (x 2)x 2－x 1>0.则f (－1)，f ⎝⎛⎭⎫32，f (2)的大小顺序是________．(用“<”连接) 答案 f (－1)<f ⎝⎛⎭⎫32<f (2)解析由①知f (1)＝－f (0)，f (0)＝－f (－1)，所以f (－1)＝f (1)．由③知f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，所以函数f (x )在[0,1]上单调递减，结合②知，函数f (x )在[1,2]上单调递增，所以f (1)<f ⎝⎛⎭⎫32<f (2)，即f (－1)<f ⎝⎛⎭⎫32<f (2)． 16．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋b . (1)若b ＝1，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )的定义域、值域都为[m ，n ]，且f (x )在[m ，n ]上单调，求实数b 的取值范围．解 (1)当b ＝1时，f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，所以函数f (x )的值域为[0，＋∞)．(2)因为函数f (x )的定义域、值域都为[m ，n ]，且f (x )在[m ，n ]上单调，当m ≥1时，函数f (x )在[m ，n ]上单调递增，此时⎩⎪⎨⎪⎧ f (m )＝m ，f (n )＝n ，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＋b ＝m ，n 2－2n ＋b ＝n ，等价于方程x 2－3x ＋b ＝0在[1，＋∞)上有两个不等实根，令g (x )＝x 2－3x ＋b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－4b >0，g (1)＝－2＋b ≥0，32>1，解得2≤b <94；当n ≤1时，函数f (x )在[m ，n ]上单调递减，此时⎩⎪⎨⎪⎧ f (m )＝n ，f (n )＝m ，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＋b ＝n ，n 2－2n ＋b ＝m ，两式相减得：(m －n )(m ＋n －1)＝0，即m ＝n (舍)或m ＋n －1＝0，也即m ＝1－n ，由m <n 可得12<n ≤1，将m ＝1－n 代入n 2－2n ＋b ＝m 可得方程n 2－n ＋b －1＝0在⎝⎛⎦⎤12，1上有解，即为函数b ＝－n 2＋n ＋1在⎝⎛⎦⎤12，1上的值域问题，因为b ＝－n 2＋n ＋1＝－⎝⎛⎭⎫n －122＋54在⎝⎛⎦⎤12，1上单调递减，所以b ∈⎣⎡⎭⎫1，54. 综上所述，b 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2，94∪⎣⎡⎭⎫1，54.。

新教材：3.2.1函数的单调性

3.2 函数的基本性质3.2.1 函数的单调性【知识梳理】1．函数单调性的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的两个自变量的值x1，x2，（1）当x1＜x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；（2）当x1＜x2时，都有，那么就说函数f (x )在区间D上是减函数．2．单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是或，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f(x)的单调区间．3．两种形式设任意x1，x2∈[a，b]且x1＜x2，那么（1） ⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； ⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．（2） ⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； ⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． 4．函数单调性的判断（1）定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．（2）复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数．（3）图象法：利用图象研究函数的单调性． 5．函数的最值（2）开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．【考点分类精讲】考点1：函数单调性的判断与证明【考题1】求证：函数1)(3+-=x x f 在R 上是减函数。

【举一反三】求证：函数x x f -=)(在定义域上是减函数．【考题2】求证：函数1)(2++=x x x f 在区间),(+∞-∞上是单调递增函数．【举一反三】求证：函数x x x f -+=1)(2在其定义域上是减函数．【考题3】判断函数xax x f +=)((0>a )的单调性，并作出当1=a 时函数的图像．【考题4】判断函数1)(2-=x x f 在定义域上的单调性．【举一反三】（选做）已知228)(x x x f -+=，如果)2()(2x f x g -=，求)(x g 的单调区间．考点2 函数的单调区间【考题5】写出下列函数的单调区间．（1）2()|23|f x x x =--（2）3||2)(2--=x x x f（3）223)(-+=x x x f（4）4444)(22++++-=x x x x x f【举一反三】求函数22311)(xx x f ---=的单调递减区间．考点3 函数的最值【考题6】设ax x x f -+=1)(2，其中1≥a ，求函数)(x f 在[a ，）∞+上的最值．【举一反三】 1．求函数1)(-=x xx f 在区间2[，]5上的最大值与最下值．2．设max {a ，b }表示两个数a 与b 的最大值，则max {|1|+x ，|2|-x }的最小值．3．已知函数f (x )=xax x ++22，[)1,x ∈+∞，（1）当12a =时，求函数f (x )的最小值；（2）若对任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，试求实数a 的取值范围．【考题7】求函数12)(2--=ax x x f 在闭区间]2,0[上的最大值与最小值．【举一反三】1．已知函数2()22f x x ax =++，求()f x 在[]5,5-上的最大值与最小值．2．已知函数32)(2+-=x x x f ，当t x [∈，]1+t 时，求)(x f 的最大值与最小值．3．已知函数3)1(2)(2--+=x a ax x f )0(≠a 在区间23[-，]2上的最大值是1，求实数a 的值．考点4 函数单调性的应用【考题7】函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．a ＝－3B ．a <3C ．a ≤－3D ．a ≥－3【举一反三】1．已知函数)0()(2>+=a xax x f 在),2(+∞上递增，则实数a 的取值范围是． 2．若函数⎩⎨⎧≤-+->-+-=）（）0,)2(0(,1)12()(2x x b x x b x b x f 在R 上是增函数，则实数b 的取值范围是．3．若函数n mx x x f ++=2)(，对任意x 都有)2()2(x f x f +=-成立，试比较)1(-f ，)2(f ，)4(f 的大小关系．【考题8】定义在R 上的函数)(x f y =，0)0(≠f ，当0x >时，1)(>x f ，且对任意的,a b R ∈，有()()()f a b f a f b +=.（1）求证：(0)1f =；（2）求证：对任意的x R ∈，恒有()0f x >；（3）求证：()f x 是R 上的增函数；（4）若()2()21f x f x x ->，求x 的取值范围．【举一反三】1．已知函数)(x f 对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－23.（1）求证：)(x f 在R 上是减函数；（2）求)(x f 在[－3,3]上的最大值和最小值．1．设二次函数a ax x x f ++=2)(，方程0)(=-x x f 的两个实根1x 和2x 满足1021<<<x x ．（1）求实数a 的取值范围；（2）试比较)0()1()0(f f f -与161的大小关系，并说明理由．3．设a ，b ，c 都是大于0的实数，且c b a >+，求证：ccb b a a +>+++111．【题型优化测训】一、选择题1．函数2()2f x x ax a =-+在区间(,1)-∞上有最小值，则a 的取值范围是（） A ．1a <B ．1a ≤C ．1a >D ． 1a ≥2．函数54)(2+-=mx x x f 在),2[+∞-上是增函数，则)1(f 的取值范围是（）A ．25)1(≥fB ．25)1(=fC ．25)1(≤fD ．25)1(>f3．若()ax x x f 22+-=与()1+=x ax g 在区间[]2,1上都是减函数，则a 的取值范围是（） A ．()()1,00,1-⋃B ．()1,0C ．(]1,0D ．()(]1,00,1-⋃4．设()22f x x =-,若0a b <<，且()()f a f b =，则ab 的取值范围（） A ．()0,2B ．(]0,2C ．(]0,4D ．()0,45．已知函数()x f 是R 上的增函数，()1,0-A ，)1,3(B 是其图象上的两点，那么不等式()11<+x f 的解集的补集是（）A ．(][),14,-∞⋃+∞B ．()1,2-C ．()1,4D ．(][),12,-∞-⋃+∞6．定义在R 上的函数()y f x =在(),2-∞上是增函数，且()2y f x =+图象的对称轴是0x = 则（） A ．()()13f f -<B ．()()03f f >C ．()()13f f -=-D ．()()23f f <7．用min {a ，b ，c }表示三个数a ，b ，c 中的最小值，设=)(x f min {x 2，x -10，2+x }，则)(x f 的最大值是（） A ．4B ．5C ．6D ．78．已知()x f 在区间R 内是减函数，又0,,≤+∈∈b a R b R a ，则有（） A ．()()()()b f a f b f a f --≤+ B ．()()()()b f a f b f a f -+-≤+ C ．()()()()b f a f b f a f --≥+ D ．()()()()b f a f b f a f -+-≥+二、填空题9．若函数2()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是____________．10．函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，比较f (a 2－a ＋1) )43(f (填“>” 或“<”或“≥” 或“≤”)． 11．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3在[－2，＋∞)上为增函数，在(－∞，－2)上为减函数，则m ＝．12．设函数()f x x =-在[]3,0x ∈-上的最大值a ，最小值为b ，则a b +=________．13．设()f x 是R 上的增函数，且)()(2x a f x x f ->+对∀R x ∈都成立，则a 的取值范围是．三、解答题14．已知()f x 是定义在[]1,1-上的增函数，且2(1)(1)f x f x -<-，求x 的取值范围．15．已知函数()f x 对任意,a b R ∈，都有()()()1f a b f a f b +=+-，且当0x >时，()1f x >，求证：()f x 是R 上的增函数．16．对R x ∈∀，)(x f 表示3+-x ，2123+x ，342+-x x 的最大者，写出)(x f 的解析式并求其最小值．17．已知函数)(x f 的定义域为0(，)∞+，且当1>x 时，0)(>x f 且)()()(y f x f y x f +=⋅．（1）求)1(f 的值；（3）解不等式0)]21([<-x x f ．18．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数)(x f 满足)()()(2121x f x f x x f -=，且当1>x 时，0)(<x f . （1）求)1(f 的值；（2）判断)(x f 的单调性；（3）若1)3(-=f ，求)(x f 在[2，9]上的最小值；（4）若1)3(-=f ，解不等式2|)(|-<x f。

3.2.1第1课时函数的单调性(教学课件)-高中数学人教A版(2019)必修第一册

A．(－∞，1]
B．(－∞，2]
()
C．[1，＋∞)
D．[2，＋∞)
【答案】B 【解析】∵函数 f(x)＝x2－(a－1)x＋5 图象的对称轴为 x＝a－2 1，且
f(x)在区间12，1上单调递增，∴a－2 1≤21，即 a≤2.
3．(题型3)函数f(x)是定义域上的单调递减函数，且图象过点(－3,2) 和(1，－2)，则使|f(x)|<2的x的取值范围是________．
设x1，x2是f(x)定义域某一个子区间M上的两个变量值，如果f(x)满足以下条件，该函数f(x)是否为增函数？
(1)对任意 x1<x2，都有 f(x1)<f(x2)； (2)对任意 x1，x2(x1≠x2)，都有(f(x1)－f(x2))(x1－x2)>0； (3)对任意 x1，x2(x1≠x2)都有fxx11－－fx2x2>0.
【答案】－1，12 －1≤x≤1，
【解析】由题意得x<21，
解得－1≤x<12.
题型4 根据函数的单调性求参数的取值范围已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，求实数a
的取值范围．素养点睛：考查直观想象和数学运算的核心素养．解：由于二次函数图象的开口向上，对称轴为x＝a，故其增区间为
(2)画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间．
素养点睛：考查直观想象和逻辑推理的核心素养．
【答案】(1)[－2,1] [3,5] [－5，－2] [1,3]
【解析】观察图象可知，y＝f(x)的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]， [1,3]，[3,5]．其中 y＝f(x)在区间[－5，－2]，[1,3]上具有单调递增，在区间[－2,1]，[3,5]上单调递减．

高中数学人教A版必修1《3.2.1函数的单调性与最大（小）值》教案 Word

四、教学过程
教学
环节
教学内容设计意图
情境引入
课堂探究通过观察生活中熟悉的事物，引入本节新课。

提高学生概括、推理的能力。

通过思考，观察函数的图象，从特殊到一般，归纳总结最值的定义，提高学生的解决问题、分析问题的能力。

得出定义
类比定义类比得出最小值定义
函数最值的几何意义
常见题型
通过实际问题让学生明白怎样求二次函数在整个定义域上的最值以及利用函数的单调性求函数的最值，提高学生解决问题的能力，进一步掌握单调性与最值的关系。

课堂
小结
通过总结，
让学生进
一步巩固
本节所学
内容，提高
概括能力,
板书设计
课后练习
、
课后提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。

通过练习。

3.2.1函数的单调性教案

3.2.1函数的单调性教学目标知识与技能目标：理解函数的单调性概念，掌握判断函数单调性的方法。

过程与方法目标：通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力。

情感态度与价值观目标：通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程。

教学重点函数单调性的概念，判定证明函数的单调性。

教学难点根据定义证明函数的单调性和利用函数图像判断单调性。

教学方法教学手段多媒体教学过程一、创设情境，引入新课问题1：观察某市气温时段图，分析变化规律。

容易看出：（1）凌晨6时，气温最低，午后14时，气温最高。

（2）随着时间的增加，在时间段（0,6）内，气温不断地下降；在时间段（6,14）内，气温不断地上升。

二、探索新知，归纳概念问题2：观察函数y=x2的图像回答：①当x∈[0，+∞)，x增大时，图中的y值；教师补充：这时我们说函数y=f(x)=x2 在[0，+∞)上是增函数。

②当x∈(－∞，0)，x增大时，图中的y值；教师补充：这时我们说函数y=f(x)=x2 在(－∞，0)上是减函数。

③指出图中当x∈[0，+∞) 和x∈(－∞，0)时，函数的图像是上升还是下降的？④通过前面的讨论你发现了什么？结论：若一个函数在某个区间内图象是上升的，则函数值y随x的增大而增大，反之亦真；若一个函数在某个区间内图象是下降的，则函数值y随x的增大而减小，反之亦真。

归纳概念：1、函数单调性：像这样，函数值随着自变量的增大而增大（或减小）的性质叫做函数的单调性。

2、增函数：设函数y=f(x)在区间（a，b）内有意义。

如果对任意的x1,x2∈（a，b）,当x1<x2时,都有f(x1)< f(x2)成立,那么函数y=f(x)叫做区间（a，b）内的增函数,区间（a，b）叫做函数y=f(x)的增区间。

3.2.1函数的单调性与最值(学生版)

3.2.1函数的单调性【知识梳理】1.函数的单调性和单调区间(1)函数的单调性条件一般地,设函数f (x )的定义域为D ,区间I ⊆D :如果∀x 1,x 2∈I ,当x 1<x 2时都有都有结论f (x )在区间I 上单调递增f (x )在区间I 上单调递减图示(2)函数的单调区间如果函数y =f (x )在区间I 上是单调递增或单调递减,那么就说函数y =f (x )在这一区间具有(严格的)单调性,区间I 叫做y =f (x )的.温馨提示(1)函数的递增(或递减)是针对定义域D 内的某个区间I 而言的,显然I ⊆D.(2)定义中x 1,x 2有三个特征:①x 1,x 2属于同一个区间;②任意性,x 1与x 2不能用I 上的特殊值代替;③有序性,通常规定x 1<x 2.2.增函数与减函数当函数f (x )在它的定义域上单调递增时,称它是;当函数f (x )在它的定义域上单调递减时,称它是.例1根据定义，研究函数()(0)f x kx b k =+≠的单调性．【变式1】证明函数f(x)＝x－1x在(0，＋∞)上单调递增．【变式2】求证：函数f(x)＝－1x－1在区间(－∞，0)上单调递增．题型一证明或判断函数的单调性【例1】已知函数f(x)＝1x2－1.(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明．跟踪练习：根据定义,研究函数f(x)=K1在x∈(-1,1)上的单调性.题型二利用图象确定函数的单调区间【例2】设函数f(x)2＋4x＋3，－4≤x<0，x＋3，x≥0，画出函数f(x)的图象，并指出函数的定义域、值域、单调区间．题型三函数单调性的应用【例3】(1)已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝2，试比较f(1)，f(2)，f(4)的大小．(2)已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的增函数，且f(x－2)<f(1－x)，求x的取值范围．3.2.2函数的最大(小)值【知识梳理】函数的最大值与最小值.最大值最小值条件一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足∀x∈D,都有∀x∈D,都有∃x0∈D,使得结论M是函数y=f(x)的最大值M是函数y=f(x)的最小值几何意义f(x)图象上点的f(x)图象上点的温馨提示(1)最值首先是一个函数值,即存在一个自变量x0,使得f(x0)等于最值. (2)对于定义域内的任意x,都有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0)),“任意”两个字不可省略.例4“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为2() 4.914.718h t t t=-++，那么烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这是距地面的高度是多少（精确到1m）？【变式1】已知函数f(x)x2，0≤x≤2，x>2，求函数f(x)的最大值、最小值．例5已知函数2()1f xx=-（[2,6]x∈），求函数的最大值和最小值．【变式2】已知函数f(x)＝32x－1.(1)证明：函数f(x)(2)求函数f(x)在[1,5]上的最值．能力提升题型一利用图象求函数最值【例1】已知函数y＝－|x－1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域．题型二：利用单调性求函数的最值【例2】已知函数f(x)＝x＋16 x .(1)判断函数f(x)在(4，＋∞)上的单调性并证明；(2)求函数f(x)在[6，9]上的最值．【练】已知函数f(x)=K1r2,x∈[3,5].(1)判断函数f(x)的单调性,并证明;(2)求函数f(x)的最大值和最小值.题型三求二次函数的最值【例3】已知函数f(x)＝3x2－12x＋5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值：(1)R；(2)[0，3]；(3)[－1，1]．【练】1.已知二次函数f(x)=x2-2x+3.(1)当x∈[-2,3]时,求f(x)的最值.(2)当x∈[t,t+1]时,求f(x)的最小值g(t).2.已知函数f(x)=ax2+2bx+1,x∈[1,3],且a,b为常数.(1)若a=1,求f(x)的最大值;(2)若a>0,b=-1,且f(x)的最小值为-4,求a的值.。

3.2.1 函数的单调性(原卷版)高一数学同步讲义(新教材人教A版必修第一册)

3．2.1 函数的单调性一、知识点归纳一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：(1)如果⊆x1，x2⊆D，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增．特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数．(2)如果⊆x1，x2⊆D，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减．特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数．(3)如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．二、题型分析题型一用定义法证明(判断)函数的单调性【例1】已知函数f(x)＝1x2－1.(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明．【规律方法总结】利用定义证明函数单调性的步骤10 / 1010 / 10________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【变式1】试用函数单调性的定义证明：f (x )＝2xx －1在(1，＋∞)上是减函数．题型二求函数的单调区间【例2】已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3，－3≤x ＜0，－3x ＋3，0≤x ＜1，－x 2＋6x －5，1≤x ≤6.(1)画出这个函数的图象； (2)求函数的单调区间．【规律方法总结】图象法求函数单调区间的步骤________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________10 / 10【变式2】．求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．(1)f (x )＝－1x ；(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，5－x ，x <1；(3)f (x )＝－x 2＋2|x |＋3.题型三函数单调性的应用【例3】 (1)已知函数f (x )＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3.⊆若函数f (x )在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a 的取值范围是________； ⊆若函数f (x )的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a 的值为________．(2)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[1,2]上不单调，则实数a 的取值范围为________．【规律方法总结】________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【变式3】已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．三、课堂达标检测10 / 101．如图是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )，则下列关于函数f (x )的说法错误的是( )A ．函数在区间[－5，－3]上单调递增B ．函数在区间[1,4]上单调递增C ．函数在区间[－3,1]⊆[4,5]上单调递减D ．函数在区间[－5,5]上没有单调性2．如果函数f (x )＝x 2－2bx ＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b 的取值范围为( ) A ．b ＝3 B ．b ≥3 C ．b ≤3D ．b ≠33.下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝3－xD ．y ＝x 2＋2x ＋14.函数y ＝f (x )的图象如图所示，其增区间是( )A ．[－4,4]B ．[－4，－3]⊆[1,4]C ．[－3,1]D ．[－3,4]5．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是减函数的是( ) A ．y ＝－1xB ．y ＝x10 / 10C ．y ＝x 2D ．y ＝1－x6．函数y ＝(x ＋4)2的递减区间是( ) A ．(－∞，－4) B ．(－4，＋∞) C ．(4，＋∞)D ．(－∞，4)7．证明：函数y ＝xx ＋1在(－1，＋∞)上是增函数．8.利用单调性的定义，证明函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数．四、课后提升作业10 / 10一、选择题1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，x －1，x ＜0在R 上( )A ．是减函数B ．是增函数C ．先减后增D ．先增后减2．函数f (x )＝|x |，g (x )＝x (2－x )的递增区间依次是( ) A ．(－∞，0]，(－∞，1] B ．(－∞，0]，(1，＋∞) C ．[0，＋∞)，(－∞，1]D ．[0，＋∞)，[1，＋∞)3．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上( ) A ．单调递增 B ．单调递减 C ．先减后增D ．先增后减4．设(a ，b )，(c ，d )都是f (x )的单调递增区间，且x 1⊆(a ，b )，x 2⊆(c ，d )，x 1<x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( ) A ．f (x 1)<f (x 2) B ．f (x 1)>f (x 2) C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不能确定5．已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－1)，B (3,1)是其图象上的两点，则－1<f (x )<1的解集是( ) A ．(－3,0)B ．(0,3)C ．(－∞，－1]⊆[3，＋∞)D ．(－∞，0]⊆[1，＋∞)6．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)⊆(0,1)B ．(－1,0)∩(0,1)C ．(0,1)D ．(0,1]7.下列函数中，在(0,2)上是增函数的是( )10 / 10A ．y ＝1xB ．y ＝2x －1C ．y ＝1－2xD ．y ＝(2x －1)28．函数f (x )＝|x |，g (x )＝x (2－x )的递增区间依次是( ) A ．(－∞，0]，(－∞，1] B ．(－∞，0]，(1，＋∞) C ．[0，＋∞)，(－∞，1]D ．[0，＋∞)，[1，＋∞)9.下列函数中，满足“对任意x 1，x 2⊆(0，＋∞)，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0”的是( )A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝－3x ＋1C ．f (x )＝x 2＋4x ＋3D ．f (x )＝x ＋1x10．若函数y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数，则函数y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上( )A ．单调递增B ．单调递减C ．先增后减D ．先减后增11．定义在R 上的函数f (x )，对任意x 1，x 2⊆R(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (2)<f (1)B ．f (1)<f (2)<f (3)C ．f (2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (2) 12．f (x )为(－∞，＋∞)上的减函数，a ⊆R ，则( ) A ．f (a )＜f (2a ) B ．f (a 2)＜f (a ) C ．f (a 2＋1)＜f (a )D ．f (a 2＋a )＜f (a )二、填空题13.如果二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝⎛⎭⎫12，1上是增函数，则实数a 的取值范围为________．10 / 1014．若函数f (x )＝1x ＋1在(a ，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围是________．15．已知f (x )在定义域内是减函数，且f (x )>0，在其定义域内下列函数为单调增函数的是________． ⊆y ＝a ＋f (x )(a 为常数)； ⊆y ＝a －f (x )(a 为常数)； ⊆y ＝1f (x )；⊆y ＝[f (x )]2.16．函数y ＝|x |(1－x )的单调递增区间为________．17．已知函数f (x )为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f ⎝⎛⎭⎫12的实数x 的取值范围为________． 18．若函数f (x )＝8x 2－2kx －7在[1,5]上为单调函数，则实数k 的取值范围是________． 19．若函数f (x )＝x 2＋a |x －2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 20．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以下三个条件： ⊆对于任意的x ⊆R ，都有f (x ＋1)＝－f (x )； ⊆函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称； ⊆对于任意的x 1，x 2⊆[0,1]，且f (x 1)－f (x 2)x 2－x 1＞0.则f (－1)，f ⎝⎛⎭⎫32，f (2)的大小顺序是________．(用“＜”连接)三、解答题21．用定义判断函数f (x )＝ax ＋1x ＋2⎝⎛⎭⎫a ≠12在(－2，＋∞)上的单调性．10 / 1022.已知一次函数f (x )是R 上的增函数，g (x )＝f (x )(x ＋m )，且f (f (x ))＝16x ＋5. (1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )在(1，＋∞)上单调递增，求实数m 的取值范围．23．已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．10 / 1024．已知函数f (x )对任意的a ，b ⊆R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，且当x >0时，f (x )>1. (1)求证：f (x )是R 上的增函数；(2)若f ⎝⎛⎭⎫x y ＝f (x )－f (y )，f (2)＝1，解不等式f (x )－f ⎝⎛⎭⎫1x －3≤2.。

教学设计2：3.2.1 第1课时函数的单调性

主要师生活动教师引导：我们知道函数是描述事物变化规律的数学模型，这样我们可以通过研究函数的性质获得对客观世界中事物变化规律的认识．那么什么是函数性质呢？总体而言，函数性质就是“变化中的不变性，变化中的规律性”．研究函数性质，就是要学会在运动变化中发现规律．请大家回顾初中学习过的一次函数、二次函数、反比例函数，我们通过什么来研究它们的性质呢？师生活动：学生回答，师生共同得到结论：通过图象研究函数性质.问题1：请看下面的函数图象，从中能发现什么变化中的规律？师生活动：教师利用PPT展示例子，学生观察图象并回答问题．学生的回答可能涉及很多方面（如升降变化，对称性，最高点或最低点等），教师引导学生关注图象从左到右升降变化的特点．追问：函数图象所反映的这些特点就是函数的性质．你能回顾一下初中的知识，用定性的方法描述前两个图象从左到右的升降变化吗？即y随x的增大是如何变化的？-∞+∞上，y随x 预设：第一个图象从左到右是上升的，即在(,)-∞-及(0.21),两个区间上，从左的增大而增大；第二个函数在(,1)明，要让学生明确，应该是区间(,0]-∞上的所有数对1x ，2x ．预设反例：如图象所示函数，我们可以找到<a b 、()()>f a f b ，但很明显函数在区间[,]a b 上并不单调递减．追问4：“所有”又该如何说明？既然“所有”不易操作，可以用什么量词来代替“所有”呢？你能严格的表达出来吗？师生活动：教师引导学生说出用“任意”代替“所有”，帮助学生体会用“任意”处理“无限”的思想．预设：任取1x ，2x ，只要12<x x ，就有12()()>f x f x ．教师总结：我们借助数学符号语言，给出了一个与“无限”相关的变化规律的定量描述，即任取1x ，2x ，把“无穷”问题转化为了可操作的有限过程，这就是数学抽象的力量．追问5：你能说出为什么12()()>f x f x 吗？教师引导：要对两个函数值比大小，实质上是不等式的代数证明，具体证明方法我们稍后会说明．追问6：对于函数2=y x ，你能模仿上述方法，给出“在区间[0,)+∞上，y 随x 的增大而增大”的符号语言刻画吗？设计意图：这个环节是本节课的重点，也是难点，其核心是通过从具体到抽象的过程，让学生学会用严格的符号语言刻画“在区间D 上，当x 增大时，相应的()f x 随之减小”．从图象到定性再到定量的不断精确化的过程中，通过问题串，设法引出“任意”，引导学生体会用“任意”刻画“无限”的力量．练习：请你模仿上述过程，用严格的符号语言刻画函数2=-y x 的单调性．2.单调性定义的抽象问题3：请你归纳以上两个函数单调性的刻画方法，给出函数()=y f x 在区间D 上单调性的符号表述．师生活动：先由学生独立完成并交流，再由教师给出严格的单调。

数学人教A版必修一3.2.1函数的单调性课件(共23张ppt)

有(1 ) < (2 )，就称函数 = ()在区间上是增函数.
(× )
(× )
② 函数 = ()在区间上是增函数，如果(1 ) < (2 )，则1 < 2 .
1

③ () = 在定义域内为减函数.
（× ）
④ 若函数 = ()的定义域内区间D上的任意两个变量1 , 2 ，
1
在区间

1, +∞ 上的单调性.
例题演练
例 3-2
根据定义证明函数 = −
1
在区间

0, +∞ 上的单调性.
例题演练
例 4
已知函数 =
1
.
2 −1
（1）求的定义域；
（2）判断函数在 1, +∞ 上的单调性，并用定义加以证明.
例题演练
变 4
求证：函数 =
1
2
2
−∞, −

=−

2
概念剖析
（3）反比例函数 =

和 (0， + ∞)上都是减函数；
①k __
> 0 时，在(−∞，0) ____
和 (0， + ∞)上都是增函数．
< 0 时，在(−∞，0) ____
②k __

概念剖析
观察函数图象：
(1 )

= 2
(2 )
你觉得它们反映了函数的哪些方面的性质？
概念剖析
反比例函数 =
1. 列表：
1
=

1
−
3
1
的表示：

1
−
2
2. 函数解析式： =

3.2.1函数的单调性(第二课时) 高一数学精品课件(人教A版2019必修第一册)

.
解：由题意知函数 f(x)是定义在(-1,1)上的减函数,
又 f(m-1)<f(2m-3),
-1>2 -3,
所以 -1< -1<1, 解得 1<m<2.
-1<3-2 < 1,
故实数 m 的取值范围是(1,2).
( 1)-f( 2 )
<0(x1≠x2),若
1 2
概念讲解
练习：已知g(x)是定义在[-2,2]上的增函数,且g(t)>g(1-3t),求t的取值范围.
y
解：由函数图像可知，函数的单调递减区间
是(-∞,-1]
1
-1 O
x
概念讲解
注意:
(1)函数在某个区间上单调递增(减),但是在整个定义域上不一定都是单调递增
1

(减).如函数 = ( ≠ 0)在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都单调递减,但是在整个定义
域上不具有单调性.
(2)当一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接,而应该用
第三章函数的概念及其表示
3.2.1
函数的单调性（第二课时）
人教A版2019必修第一册
目录
教学目标
1.理解函数的单调性及其几何意义,能运用函数图象理解和研究函数的单调
性.（数学抽象）
2.会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性.（逻辑推理）
3.会求一些具体函数的单调区间.（数学运算）
解：由题设知，当 x<1 时，f(x)单调递减；当 x≥1 时，f(x)单调递增，x＝1 为
3
1
1
1
1＋
1－
1 1 2
图象的对称轴，所以 f 2 ＝f

高中数学必修一(人教版)《3.2.1 第一课时函数的单调性》课件

(1)已知f(x)的定义域为[a，b]且为增函数，若f(m)＞f(n)，则m，n满足什么
关系？
a≤m≤b，提示：a≤n≤b，
m＞n
⇔f(m)＞f(n)．
(2)影响二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的单调性的因素有哪些？提示：a 的正负及－2ba的大小．
【学透用活】 [典例3] (1)已知函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3. ①若函数f(x)在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________； ②若函数f(x)的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为________． (2) 若函数 f(x) ＝ x2 ＋ ax ＋ b 在区间 [1,2] 上不单调，则实数 a 的取值范围为 ________．
答案：(－∞，1)，(1，＋∞)
2．将本例中“y＝－x2＋2|x|＋3”改为“y＝|－x2＋2x＋3|”，如何求解？解：函数y＝|－x2＋2x＋3|的图象如图所示．
由图象可知其单调递增区间为[－1,1]，[3，＋∞)；单调递减区间为 (－∞，－1)，(1,3)．
题型三函数单调性的应用
[探究发现]
(3)若f(x)是R上的减函数，则f(－3)>f(2)．
()
(4)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均单调递增，则函数f(x)在区间(1,3)上也单
调递增．
()
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是 A．[－4,4] B．[－4，－3]∪[1,4] C．[－3,1] D．[－3,4] 解析：由图可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为[－3,1]，选C. 答案：C
[方法技巧] 1．图象法求函数单调区间的步骤 (1)作图：作出函数的图象． (2)结论：上升图象对应单调递增区间，下降图象对应单调递减区间． 2．常见函数的单调区间 (1)y＝ax＋b，a>0 时，单调递增区间为(－∞，＋∞)；a<0 时，单调递减区间为(－∞，＋∞)． (2)y＝ax，a>0 时，单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)；a<0 时，单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)． (3)y＝a(x－m)2＋n，a>0 时，单调递减区间为(－∞，m]，单调递增区间为 (m，＋∞)；a<0 时，单调递增区间为(－∞，m]，单调递减区间为(m，＋∞)．

3.2.1函数的单调性【新教材】人教A版(2019)高中数学必修【解析版】

3.2.1函数的单调性1．如图是函数y＝f(x)的图象，则此函数的单调递减区间的个数是()A．1B．2C．3 D．4解析：选B.由图象，可知函数y＝f(x)的单调递减区间有2个．故选B. 2．下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是()A．y＝3－x B．y＝x2＋1C．y＝1x D．y＝－|x＋1|解析：选B.y＝3－x，y＝1x，y＝－|x＋1|在(0，2)上都是减函数，只有y＝x2＋1在(0，2)上是增函数．3．若函数f(x)在R上是减函数，则下列关系式一定成立的是()A．f(a)>f(2a) B．f(a2)<f(a)C．f(a2＋a)<f(a) D．f(a2＋1)<f(a2)解析：选D.因为f(x)是R上的减函数，且a2＋1>a2，所以f(a2＋1)<f(a2)．故选D.4．下列说法中正确的有()①若x1，x2∈I，当x1<x2时，f(x1)<f(x2)，则y＝f(x)在I上是增函数；②函数y＝x2在R上是增函数；③函数y＝－1x在定义域上是增函数；④函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：函数单调性的定义中的x1，x2是任意的，强调的是任意，①不对；②y＝x2，当x≥0时是增函数，当x<0时是减函数，从而y＝x2在其整个定义域上不具有单调性；③y＝－1x在整个定义域内不是单调递增函数．如－3<5，而f(－3)>f(5)；④y＝1x的单调递减区间不是(－∞，0)∪(0，＋∞)，而是(－∞，0)和(0，＋∞)，注意写法．5．函数y＝x2－6x的减区间是()A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C．[3，＋∞) D．(－∞，3]解析：选D.y＝x2－6x＝(x－3)2－9，故减区间为(－∞，3]．6．设(a，b)，(c，d)都是f(x)的单调增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1<x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系为()A．f(x1)<f(x2) B．f(x1)>f(x2)C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定解析：选D.根据函数单调性的定义知，所取两个自变量必须是同一单调区间内的值时，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x1，x2不在同一单调区间内，故f(x1)与f(x2)的大小不能确定．7. 已知函数y＝ax和y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f(x)＝bx＋a在R上是()A．减函数且f(0)<0 B．增函数且f(0)<0 C．减函数且f(0)>0 D．增函数且f(0)>0解析：选A.因为y ＝ax 和y ＝－b x 在(0，＋∞)上都是减函数，所以a <0，b <0，f (x )＝bx ＋a 为减函数且f (0)＝a <0，故选A.8. 函数y ＝5－4x －x 2的递增区间是( )A ．(－∞，－2)B ．[－5，－2]C ．[－2,1]D ．[－5,1]解析：由5－4x －x 2≥0，得函数的定义域为{x |－5≤x ≤1}．∵y ＝5－4x －x 2＝－(x 2＋4x ＋4)＋9＝－(x ＋2)2＋9，对称轴方程为x ＝－2，抛物线开口向下，∴函数的递增区间为[－5，－2]．故选B ．9．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞ C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 解析：当a ＝0时，f (x )＝2x －3，符合题意；当a >0时，f (x )图象的开口向上，不符合题意；当a <0时，由题意可得－1a ≥4，解得a ≥－14.综上可知：－14≤a ≤0.10．若f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，则下列说法中正确的是( )A ．f (x )>f (0)B ．f (x 2)>f (0)C ．f (3a ＋1)<f (3a )D ．f (a 2＋1)≥f (2a )解析：∵a 2＋1－2a ＝(a －1)2≥0，∴a 2＋1≥2A ．当a ＝1时，f (a 2＋1)＝f (2a )；当a ≠1时，f (a 2＋1)>f (2a )．故选D ．11. 若f (x )在R 上是单调递减的，且f (x －2)<f (3)，则x 的取值范围是________．解析：函数的定义域为R .由条件可知，x －2>3，解得x >5.答案：(5，＋∞)12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x ≥0，x 2－ax ＋1，x <0是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a 的取值范围是 .解析：选A.当x <0时，函数f (x )＝x 2－ax ＋1是减函数，解得a ≥0，当x ≥0时，函数f (x )＝－x＋3a 是减函数，分段点0处的值应满足1≥3a ，解得a ≤13，所以0≤a ≤13.13．如果二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增函数，则实数a 的取值范围为________．解析：因为二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5的图象的对称轴为直线x ＝a －12，又函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增函数，所以a －12≤12，解得a ≤2.答案：(－∞，2] 14．已知函数f (x )在R 上是减函数，A (0，－2)，B (－3，2)是其图象上的两点，那么不等式－2<f (x )<2的解集为________．解析：因为A (0，－2)，B (－3，2)在函数y ＝f (x )的图象上，所以f (0)＝－2，f (－3)＝2，故－2<f (x )<2可化为f (0)<f (x )<f (－3)，又f (x )在R 上是减函数，因此－3<x <0. 答案：(－3，0)15. 已知函数f (x )＝－2x 2＋mx ＋1在区间[1,4]上是单调函数，则实数m 的取值范围是 .解析：二次函数f (x )的图象的对称轴是直线x ＝m 4.因为二次函数在对称轴的两侧的单调性相反，即m 4∉(1,4)，所以m 4≤1或m 4≥4，即m ≤4或m ≥16.16.作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，（x －2）2＋3，x >1的图象，并指出函数的单调区间．解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，（x －2）2＋3，x >1的图象如图所示，由图象可知，函数的单调递减区间为(－∞，1]和(1，2]；单调递增区间为(2，＋∞)．17. 证明函数f (x )＝x ＋4x 在(2，＋∞)上是增函数．证明: ∀x 1，x 2∈(2，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋4x 1－x 2－4x 2＝(x 1－x 2)＋4（x 2－x 1）x 1x 2＝（x 1－x 2）（x 1x 2－4）x 1x 2. 因为2＜x 1＜x 2，所以x 1－x 2＜0，x 1x 2＞4，x 1x 2－4＞0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以函数f (x )＝x ＋4x在(2，＋∞)上是增函数． 18．已知函数f (x )＝2x －1x ＋1. (1)求f (x )的定义域；(2)证明函数f (x )＝2x －1x ＋1在[1，＋∞)上是增函数．解：(1)由题意知x ＋1≠0，即x ≠－1.所以f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．(2)证明：∀x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝2x 2－1x 2＋1－2x 1－1x 1＋1＝（2x 2－1）（x 1＋1）－（2x 1－1）（x 2＋1）（x 2＋1）（x 1＋1）＝3（x 2－x 1）（x 2＋1）（x 1＋1）. 因为x 1<x 2，所以x 2－x 1>0.又因为x 1，x 2∈[1，＋∞)，所以x 2＋1>0，x 1＋1>0.所以f (x 2)－f (x 1)>0，所以f (x 2)>f (x 1)．所以函数f (x )＝2x －1x ＋1在[1，＋∞)上是增函数． 19.已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0. (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2.解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0. 故f (1)＝0.(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0. 因此f (x 1)<f (x 2)．故函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)．而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2.由于函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数，且f (|x |)<－2＝f (9)，所以|x |>9，解得x >9或x <－9.∴f (|x |)<－2的解集为(－∞，－9)∪(9，＋∞)．。

《3.2.1函数的单调性》教学设计

《 3.2.1 函数的单调性》教学设计一、内容和内容解析内容：函数的单调性.内容解析：在客观世界的变化过程中，增减性是很重要的变化规律之一，而函数的单调性可以刻画这一变化规律.我们可以利用函数的单调性求解方程、不等式、函数的最值等问题。

所以，学习函数的单调性非常有必要.在前一课，学生刚学习了函数的概念，体会到高中阶段函数的概念与初中函数的概念的联系与区别，本节课在此基础上进一步研究函数的性质之一——函数的单调性，让学生经历从图象直观到自然语言再到符号语言的刻画过程，感受数学的符号语言的作用和数学的严谨性，体验概念形成过程，也为后面进一步学习函数的其他性质打下铺垫.学习函数的单调性，不仅可以让学生加深对函数基本性质的认识，而且可以让学生体会研究函数性质的过程与方法，培养学生的直观想象，数学抽象等数学素养，提升学生的思维水平.基于以上分析，确定本节课的教学重点：函数单调性的定义，单调性的判断以及证明.二、目标和目标解析教学目标：(1)借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性，理解单调性的作用和实际意义；（2）会用定义证明函数的单调性；(3)通过单调性概念教学，培养学生的抽象概括能力和逻辑思维能力.目标解析：达成目标（1）的标志是：能从函数图象观察求得函数的单调区间，能理解函数单调性定义中的“任意”“都有”等关键词的含义，明白函数的单调性能反映客观世界中事物的变化规律.达成目标（2）的标志是：能利用函数单调性的定义证明函数的单调性，掌握证明的步骤.达成目标（3）的标志是：让学生经历从具体到抽象、从特殊到一般的过程，学生能对函数单调性进行精确符号语言刻画，并能应用到实际的问题中去.三、教学问题诊断分析学生在初中已经学习了一些基本初等函数，并且对函数图象的上升与下降的变化趋势能用自然语言“y随着x的增大而增大（减小）”进行描述.现在在高中阶段，要学会用符号语言“x1,x2∈D, 当x12时，都有f(x1)< f (x2)（f(x1)> f(x2)）”来刻画.形成函数单调性概念的过程中，如何从图象升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表述，这对学生而言，是一个大的挑战。

高中数学人教A版必修第一册第三章3.2.1《函数的单调性》课件(21张PPT)

的单调性证明.
数学抽象
数学建模
证明:定义域为(0,+∞)，V1,V2∈(0,+∞)且V1<V2
p1
p2
k
V1
k V2
kV2 kV1 V1V2
k V2 V1
V1V2
数学运算
取值作差
∵V1,V2∈(0,+∞)，∴V1V2>0, ∵V1<V2 ，∴V2-V1>0，
又k>0，∴p1-p2>0，即p1>p2.
在( ,0)上单调递减
证明:x ,x ∈R且x <x 请问气温在哪段时间内是逐渐升高的或下降的?
1 2 1 [x1-x2 ][f(x1)-f(x2)]<0 D.
(3)对于函数y=f(x),如果在区间D上,当x1<x2<x3<……<xn时,
2
x1, x2∈[0,+∞),当x1< x2时,都有
f(x )-f(x )=(kx +b)-(kx +b)=k(x -x ) 函数f(x)在(1,2)上单调递减的是( )
本节课主要学习了哪些内容？
1.知识层面：①单调性的定义 ②利用定义法证明单调性利用图象法观察单调性
2.数学思想：转化化归、数形结合、分类讨论类比思想、函数与方程(不等式)思想
3.学科核心数学抽象、逻辑推理、数学建模素养：直观想象、数学运算、数据分析
学·科·网
作业布置：
1.课本第79页练习的第2、3题；
y
yn
任意性
y3 yy21
0 x1 x2 x3 xn x
二、深度学习——精确刻画“性质”
图形语言:
y

3.2.1 单调性与最大(小)值(第1课时函数的单调性) -高一人教A版2019必修一)

函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数．
思考
（1）设A是区间D上某些自变量的值组成的集合，而且∀x1，x2 ∈A，当x1<x2时
都有f (x1)<f (x2)，我们能说函数f (x)在区间D上单调递增吗？
你能举例说明吗？
【解析】不能，如图，取A={1，2，3，4}，D=[1，4]，
2
2 2( x1 x2 )
则f ( x1 ) f ( x2 )

,
x1 x2
x1 x2
x1 x2 0, x1 x2 0, x1 x2 0, f ( x1 ) f ( x2 ) 0,
f ( x1 ) f ( x2 ),
2
所以函数f ( x ) 在区间( , 0)上单调递增.
4.会用函数的单调性解答有关问题.
情景导入
前面我们学习了函数的定义和表示法，知道函数y=f(x)，x∈A是
描述了客观世界中变量之间的一种对应关系，也就是事物运动变化
规律的数学模．这样，我们就可以通过研究函数的变化规律来把握
客观世界中相应事物的变化规律．
因此，研究函数的性质，如随着自变量的增大函数值增大还是
这时我们就说函数f (x)=x2在区间(-∞，0]上是单调递减的．
任意取x1，x2∈[0，+∞)，得到f (x1)=x12，f (x2)=x22，当x1<x2时，有f (x1)<f (x2)．
这时我们就说函数f (x)=x2在区间[0，+∞)上是单调递增的．
思考
函数f (x) =|x|，f (x) = -x2各有怎样的单调性？
【典例】若函数y=|x-2a|在区间(-∞,6]上单调递减,求实数a的取值范围.

3.2.1 第1课时函数的单调性

2+4
1+4
212 +42 −22 1 －41
1 2 1 −2 −4 1 −2
＝
21+4 22+4
21+4 22+4
＝
1 2 −4 1 −2
21+4 22+4
，又1 2 − 4 < 0，1 −
2 < 0，( 21+4)(22 ＋4)>0，故f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，
1
函数f(x)＝在区间(－∞，0)上是减少的，在区间(0，＋∞)上也是减少的，

但不能说它在整个定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减少的．(3)对于单独的
一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单
调性，因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点．
返回导航
【即时练习】
若定义在R上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则其单调递增区间
是________，单调递减区间是________．
答案：(－∞，－3]，[1，3]
[－3，1]，[3，＋∞)
返回导航
02.课堂导学案
返回导航
【课标要求】
(1)借助函数图象理解函数在某区间上单调递增(或单调递减)和增函
数、减函数的概念．
的自变量逐渐增大．图象是上升的意味着图象上点的纵坐标逐渐变大，也就是对
应的函数值逐渐增大．也就是说从左向右看图象上升，意味着函数值随着自变量
的增大而增大．
返回导航
例1
x
用定义证明函数f(x)＝ 2 在(－2，2)上单调递增．
x +4
2