3.2.1函数的单调性
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第三章 函数的概念与性质
3.2.1函数的单调性
一、观察这些函数图像，你能说说他们分别反映了相应函数的哪些特征吗？ 二、它们分别反映了相应函数有什么变化规律？
在初中我们利用函数图像探究过函数值随自变量的增大而增大(减小)的性质，这性质叫做函数的单调性。
下面进一步刻画这种性质。
先研究二次函数
的单调性。
y1
y2
(x1
1 )
x1
(x2
1 x2
)
(x1
x2 )
(1 x1
1 x2
)
(x1
x2 )
x2 x1 x1x2
x1 x2 x1x2
( x1 x2
1)
由x1, x2 (1,), 得x1 1, x2 1.所以x1x2 1, x1x2 1 0
又由x1
x2 , 得x1
x2
0, 于是
x1 x2 x1x2
( x1 x2
1)
0
即y1 y2.
所以，函数
y
x
1 x
在区间 (1,) 上单调递增。
总结：利用定义判断或证明函数单调性的步骤
就称函数 f ( x)在区间D上是单调 递减.
这个给定的区间就为单调减区间，这 个函数就是单调递减函数。
例1：根据定义，研究函数
的单调性.
【解】函数 ，
的定义域是R，对于任意的
且
由
知
，所以：
①当
时，
，即
，
这时，函数
是增函数；
①当
时，
，即
，
这时，函数
是减函数；
例2：物理学中的玻意耳定律
( 为正常数)告诉我们，对于一定量的
画出图像，可以看到，当x＜0时，y随x的增大而减小，也就是说，任意取 x1 x2 0 ，得
到
，
，有
。这时我们就说wk.baidu.com数
在区间
(-∞，0]上是单调递减的.
同理，函数
在[0,+∞)上是单调递增的.
单调性概念：
y
f ( x2 )
f ( x1 )
y f (x)
0 x1 x2 x
y
f ( x1 )
f ( x2 )
气体，当其体积V减少时，压强P将增大.试对此用函数的单调性证明.
【分析】根据题意，只要证明函数
是减函数即可.
【证明】
且
，有：
由
得
；由
得
又
，所以
所以函数
即 是减函数.问题得证.
例3 ：根据定义证明函数
y x 1 x
在区间 (1,) 上单调递增。
证明： x1, x2 (1,), 且x1 x2,有
0
y f (x)
x1 x2 x
一般地，函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I； x1, x2 D
当 x1 x2时, 都有 f (x1) f (x2 )
就称函数f ( x) 在区间D上是单调 递增.
这个给定的区间就为单调增区间，这个 函数就是单调递增函数。
当 x1 x2时, 都有 f (x1) f (x2 )
3.2.1函数的单调性
一、观察这些函数图像，你能说说他们分别反映了相应函数的哪些特征吗？ 二、它们分别反映了相应函数有什么变化规律？
在初中我们利用函数图像探究过函数值随自变量的增大而增大(减小)的性质，这性质叫做函数的单调性。
下面进一步刻画这种性质。
先研究二次函数
的单调性。
y1
y2
(x1
1 )
x1
(x2
1 x2
)
(x1
x2 )
(1 x1
1 x2
)
(x1
x2 )
x2 x1 x1x2
x1 x2 x1x2
( x1 x2
1)
由x1, x2 (1,), 得x1 1, x2 1.所以x1x2 1, x1x2 1 0
又由x1
x2 , 得x1
x2
0, 于是
x1 x2 x1x2
( x1 x2
1)
0
即y1 y2.
所以，函数
y
x
1 x
在区间 (1,) 上单调递增。
总结：利用定义判断或证明函数单调性的步骤
就称函数 f ( x)在区间D上是单调 递减.
这个给定的区间就为单调减区间，这 个函数就是单调递减函数。
例1：根据定义，研究函数
的单调性.
【解】函数 ，
的定义域是R，对于任意的
且
由
知
，所以：
①当
时，
，即
，
这时，函数
是增函数；
①当
时，
，即
，
这时，函数
是减函数；
例2：物理学中的玻意耳定律
( 为正常数)告诉我们，对于一定量的
画出图像，可以看到，当x＜0时，y随x的增大而减小，也就是说，任意取 x1 x2 0 ，得
到
，
，有
。这时我们就说wk.baidu.com数
在区间
(-∞，0]上是单调递减的.
同理，函数
在[0,+∞)上是单调递增的.
单调性概念：
y
f ( x2 )
f ( x1 )
y f (x)
0 x1 x2 x
y
f ( x1 )
f ( x2 )
气体，当其体积V减少时，压强P将增大.试对此用函数的单调性证明.
【分析】根据题意，只要证明函数
是减函数即可.
【证明】
且
，有：
由
得
；由
得
又
，所以
所以函数
即 是减函数.问题得证.
例3 ：根据定义证明函数
y x 1 x
在区间 (1,) 上单调递增。
证明： x1, x2 (1,), 且x1 x2,有
0
y f (x)
x1 x2 x
一般地，函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I； x1, x2 D
当 x1 x2时, 都有 f (x1) f (x2 )
就称函数f ( x) 在区间D上是单调 递增.
这个给定的区间就为单调增区间，这个 函数就是单调递增函数。
当 x1 x2时, 都有 f (x1) f (x2 )