高等数学教学PPT-第一章集合、函数的性质[79页]
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高中数学必修一集合 ppt课件
确？
“{}”本身具有“全体”的意思
常用集合的表示
R: 实数集 Q: 有理数集 Z: 整数集 N: 自然数集 N*:合与元素的关系
{{x11∈， ，A 22， ，二者35， ，必居531其}}，一5} {x2∉，A 3，5，1}
∈ 属于
集合的分类
有限集 {1，2，3} 无限集 {1，2，3，…，+∞} 单元素集 {a} 空集 ø
思考
√ {(a,b)}是单元素集吗？ √ {0},{},{ø}三者中哪些是空集？ √ {全体实数}和{实数}，哪一个写法正
讲师：
数 学
必修一 §1 集合(上)
什么是集合
集合：具有某种共同属 性的对象的全体
香蕉，苹果， 三角形1，大，2鸭四，梨边3，形4，，圆5 形
集合的性质
从属性：集合元素必具有 某种共同属性
确定性：集合中元素的 从属性要明确
{1，2，3，1，5}
互异性：集合中的元素 必须能判定彼此
规定：
集合中相同元素只写一 个代表
“{}”本身具有“全体”的意思
常用集合的表示
R: 实数集 Q: 有理数集 Z: 整数集 N: 自然数集 N*:合与元素的关系
{{x11∈， ，A 22， ，二者35， ，必居531其}}，一5} {x2∉，A 3，5，1}
∈ 属于
集合的分类
有限集 {1，2，3} 无限集 {1，2，3，…，+∞} 单元素集 {a} 空集 ø
思考
√ {(a,b)}是单元素集吗？ √ {0},{},{ø}三者中哪些是空集？ √ {全体实数}和{实数}，哪一个写法正
讲师：
数 学
必修一 §1 集合(上)
什么是集合
集合：具有某种共同属 性的对象的全体
香蕉，苹果， 三角形1，大，2鸭四，梨边3，形4，，圆5 形
集合的性质
从属性：集合元素必具有 某种共同属性
确定性：集合中元素的 从属性要明确
{1，2，3，1，5}
互异性：集合中的元素 必须能判定彼此
规定：
集合中相同元素只写一 个代表
高等数学第一章1.1 函数ppt课件
22 22 2222 a b 2 a b c d c d
2 2 22 22 (| x | | y |) | x y | 2 a b c d 2 ac 2 b
为证三角不等式只须证明
2 22 2 ac bd a b c d
为证上式，又只须证明
点a叫做这邻域的中心 , 叫做这邻域的半径 .
U ( a ) { x a x a } .
a
a
0
a
x
U a ). 点 a 的去心的 邻域 , 记作 (
U ( a ) { x 0 x a } .
a a ; ab a b ; 运算性质: b b a x a ; x a ( a 0 ) x a 或 x a ; x a ( a 0 )
a , b R , 且 a b .
{ x a x b } 称为开区间,
o a b { x a x b } 称为闭区间, o
记作 ( a ,b )
x 记作 [ a ,b ] x
a
b
{ x a x b } 称为半开区间, { x a x b } 称为半开区间,
(3) 狄利克雷函数
1 当 x 是有理数时 yD (x ) 0 当 x 是无理数时
y
1
• o 无理数点 有理数点
x
(4) 取最值函数 y max{ f ( x ), g ( x )} y min{ f ( x ), g ( x )}
y
f (x)
y
f (x)
g(x)
o
x
g(x)
x y x y . 绝对值不等式: 绝对值不等式的两个变形公式：
2 2 22 22 (| x | | y |) | x y | 2 a b c d 2 ac 2 b
为证三角不等式只须证明
2 22 2 ac bd a b c d
为证上式，又只须证明
点a叫做这邻域的中心 , 叫做这邻域的半径 .
U ( a ) { x a x a } .
a
a
0
a
x
U a ). 点 a 的去心的 邻域 , 记作 (
U ( a ) { x 0 x a } .
a a ; ab a b ; 运算性质: b b a x a ; x a ( a 0 ) x a 或 x a ; x a ( a 0 )
a , b R , 且 a b .
{ x a x b } 称为开区间,
o a b { x a x b } 称为闭区间, o
记作 ( a ,b )
x 记作 [ a ,b ] x
a
b
{ x a x b } 称为半开区间, { x a x b } 称为半开区间,
(3) 狄利克雷函数
1 当 x 是有理数时 yD (x ) 0 当 x 是无理数时
y
1
• o 无理数点 有理数点
x
(4) 取最值函数 y max{ f ( x ), g ( x )} y min{ f ( x ), g ( x )}
y
f (x)
y
f (x)
g(x)
o
x
g(x)
x y x y . 绝对值不等式: 绝对值不等式的两个变形公式：
高中数学必修1 集合与函数概念 PPT课件 图文
a23a0 0a3
1 . 下 面 四 组 中 的 函 数 f ( x ) 与 g ( x ) , 表 示 同 一 个 函 数 的 是 ( C )
A .f(x )x ,g (x )( x)2
B .f(x)x,g(x)x2
C .f(x)x,g(x)3x3
D .f(x ) |x 2 1 |,g (x ) |x 1 |
函数值, 函数值y的集合叫做
.
, 与X的值对应的y值 叫做
（2）函数的三要素： ， ，
。
（3）区间的概念。
（4）函数的表示法： ， ，
。
（5）两个函数相同必须是它们的 和 分别完全相同
（6）映射的定义：设A、B是两个非空集合,如果按照某个对应关系f ,对
于A中的
, 在集合B中都有 的元素 f (x) 与之对应, 那么就
3. 教材在例题、习题教学中注重运用集合的观点研究、处理数学问题，这一观点，一直贯穿 到以后的数学学习中.
4. 在例题和习题的编排中，渗透了集合中的分类思想，让学生体会到分类思想在生活中和数 学中的广泛运用，这是学生在初中阶段所缺少的. 在教学中，一定要循序渐进，从繁到难，逐步渗透这方 面的训练 .
3x
f(2)4p25 p2 63
设 x1x21 则 x 1 x 2 0 ,x 1 x 2 1
f(x1)f(x2)2 3(x1x 21 1x2x 22 1)23(x1
x2)
x1x2 1 x1x2
0
f(x1)f(x2)
即 函 数 f ( x ) 在 ( , 1 ) 上 是 增 函 数 .
问题，感受集合语言的意义和作用. 3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，培养学生分析、比较、归纳的逻辑
01-第1讲集合与函数-PPT课件
函数有界示意图
y
y
B
y=f(x)
O
x
A
O
x
B
y=f(x) A
函数 y = f ( x ) 在区间 I 上有界
M 0 ，|f使 (x)| M 。
设函数 y = f ( x ) 在区间 I 上有定义。
若存在实数 M (可正， 可负)，对一切 x I 恒有
f ( x )≤ M 成立，则称函数 y = f ( x ) 在区间 I 上是上方有界的, 简称有上界。
x0I, 使得 | f ( x0 ) | > M 成立。
例10 讨论函数函数的有： 界y 性x2。
解 函数的定义 Df域 (为 , ： )。
因 M 0 ， 为 x 0 M 取 1 ( , ) ， 有 |f(x 0 )| (M 1 )2 M 1 M ，
f ( x ) 既有上界又有下界.
y
B
y f(x)
O
x
A
若函数 y f(x) 在区间 I 上有上界，则必有 无穷多个上界，所有上界中最小者称为函数在区 间 I 上的上确界，记为 sup f (x) 。
xI
有上(下)界的函数是否必有上(下)确界？
若函数 y f (x) 在区间 I 上有下界，则必有
D (f) A ; R (f) f(A ) { y |y f(x )x , A } 。
单射：
对于映射f：A→B ，若 x1,x2∈A，x1≠x2推出 f(x1)≠f(x2)，则是单射；
典型的单射：单调函数，不是单射的函数：偶函数
满射：
对于对于B中任意一个元素都有原像与之对应， 即是满射。
三、函数的基本性质
《高等数学第一章》PPT课件
若函数f ( x)在[ x0 , b)内有定义,且f ( x0 0) f ( x0 ),
则
称f
(
x
)在
点x
处右
0
连续.
定理 函数 f ( x)在 x0 处连续 是函数 f ( x)在 x0
处既左连续又右连续.
例2
讨论函数
f
(x)
x 2,
x
2,
x 0, x 0,
一、函数的连续性
1.函数的增量
设函数 f ( x)在U ( x0 )内有定义, x U ( x0 ), x x x0 , 称为自变量在点 x0的增量.
y f ( x) f ( x0 ),称为函数 f ( x)相应于x的增量.
y
y
y f (x)
y f (x)
★
f
(
x)
1, 1,
当x是有理数时, 当x是无理数时,
在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处 处连续.
判断下列间断点类型:
y
y f x
x1 o
x2
x3
x
例8 当a取何值时,
函数
f
(x)
cos a
x, x,
x 0, 在 x 0处连续. x 0,
解 f (0) a,
y
解 f (0 0) 0, f (0 0) ,
x 1为函数的第二类间断点.
o
x
这种情况称为无穷间 断点.
例7 讨论函数 f ( x) sin 1 在 x 0处的连续性. x
解 在x 0处没有定义,
且 lim sin 1 不存在. x0 x
高等数学第一章的总结-PPT
n
1
lim
n
n2 n2
lim n1
1
n2
1
lim n
n
1
n2
n2
1
2
n2
1
n
1
例:
lim
1
1
(e n
2
en
n
en
)
n n
1
e
x
d
x
e 1
0
1
n
1
解：原式
lim
n
1 n
e
n
(1
e
1
n
)
(1
e) lim
n
n
1
1en
1en
1
(1 e) lim ln(1 u) (1 e) lim ln(1 u) u e 1.
)x
e
两个重要极限
(1) lim sin 1
0
(2) lim ( 1 1 ) e
1
或 lim(1 ) e
0
注: 代表相同的表达式
思考与练习
填空题 ( 1～4 )
1. lim sin x __0___ ;
x x
3. lim xsin 1 _0___ ;
x0
x
2. lim xsin 1 __1__ ;
从此时刻以后 0 x x0 0 x x0
f (x)
f (x) A
x x0
x x0 0
思考题
x
sin
1 x
,
试问函数 f ( x) 10,
5
x2,
x0 x 0在x 0处
x0
的左、右极限是否存在？当 x 0 时， f ( x) 的
高等数学-第1章课件
x x0
三、函数极限的性质
第三节 极限的运算
一、极限的运算法则
法则1 法则2
x x0
lim[ f ( x) g ( x)] lim f ( x) lim g ( x) A B
x x0 x x0 x x0 x x0
x x0
lim[ f ( x ) g ( x )] lim f ( x ) lim g ( x ) A B
第 一 章 函 数 ︑ 极 限 与 连 续
目录
第一节 函数
第二节 极限
第三节 极限的运算 第四节 无穷小与无穷大 第五节 函数的间断性与连续点 第六节 初等函数的连续性
第一节 函数
一、集合、区间与邻域
1.集合
集合（简称集）是具有某种共同性质的事物的全 体，组成集合的单一事物称为该集合的元素。
有限集合 有限个元素构成 北京户籍人口
° a
• a •
a°Leabharlann a3.邻域设 x0, δ R, 其中δ > 0,以 x0为中心,以δ 为半径,长为 2δ的
开区间. 即
( x0 , x0 ) { x x x0 , 0}
称为点 x0 的 δ 邻域 , 记为U(x0 , δ ).
2
x0
x0
x0
集合的运算及关系
由所有属于集合A或属于集合B的元 并集 素所组成的集合，称为集合A与B的 并集 交集 差集 由属于集合A且属于集合B的所有元 素组成的集合，称为A与B的交集
由所有属于集合A 而不属于集合B 的 元素组成的集合
A∪B A∪B={x|x∈A,或 x∈B}
A∩B A-B
A∩B={x|x∈A,且 x∈B} A-B={x|x∈A,且 xB}
三、函数极限的性质
第三节 极限的运算
一、极限的运算法则
法则1 法则2
x x0
lim[ f ( x) g ( x)] lim f ( x) lim g ( x) A B
x x0 x x0 x x0 x x0
x x0
lim[ f ( x ) g ( x )] lim f ( x ) lim g ( x ) A B
第 一 章 函 数 ︑ 极 限 与 连 续
目录
第一节 函数
第二节 极限
第三节 极限的运算 第四节 无穷小与无穷大 第五节 函数的间断性与连续点 第六节 初等函数的连续性
第一节 函数
一、集合、区间与邻域
1.集合
集合（简称集）是具有某种共同性质的事物的全 体，组成集合的单一事物称为该集合的元素。
有限集合 有限个元素构成 北京户籍人口
° a
• a •
a°Leabharlann a3.邻域设 x0, δ R, 其中δ > 0,以 x0为中心,以δ 为半径,长为 2δ的
开区间. 即
( x0 , x0 ) { x x x0 , 0}
称为点 x0 的 δ 邻域 , 记为U(x0 , δ ).
2
x0
x0
x0
集合的运算及关系
由所有属于集合A或属于集合B的元 并集 素所组成的集合，称为集合A与B的 并集 交集 差集 由属于集合A且属于集合B的所有元 素组成的集合，称为A与B的交集
由所有属于集合A 而不属于集合B 的 元素组成的集合
A∪B A∪B={x|x∈A,或 x∈B}
A∩B A-B
A∩B={x|x∈A,且 x∈B} A-B={x|x∈A,且 xB}
高等数学基础PPT第一章
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1.1函数的概念与特性—函数
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1.1函数的概念与特性—函数
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1.1函数的概念与特性—函数
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1.1函数的概念与特性—函数的几种简单性态
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1.1函数的概念与特性—函数的几种简单性态
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1.1函数的概念与特性—函数的几种简单性态
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1.1函数的概念与特性—函数的几种简单性态
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1.2初等函数与建立函数关系式—初等函数
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1.2初等函数与建立函数关系式ห้องสมุดไป่ตู้初等函数
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1.2初等函数与建立函数关系式— 建立函数关系式举例
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1.2初等函数与建立函数关系式— 建立函数关系式举例
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本章结束
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高等数学基础
第一章 函数及其图形
主讲:
函数及其图形
函数的概念与特性
集合与区间 函数 函数的几种简单性态
初等函数与建立函数关系式
初等函数 建立函数关系式举例
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1.1函数的概念与特性--集合与区间
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1.1函数的概念与特性--集合与区间
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1.1函数的概念与特性--集合与区间
高等数学第一章PPT
几何表示
O
a
a
a
x
25
U ( a , ) 有时简记为 U (a ).
点a的 去心(空心) 的邻域,记作U (a , ), 即
U(a，） { x 0 x a }.
xa 开区间 ( a , a ) 称为a的 左 邻域, 开区间 ( a , a ) 称为a的 右 邻域 .
31
X中所有元素的像所组成的集合称为 值域,
或f 的 像集, 记作 R f 或f ( X ), 即
R f f ( X ) f ( x ) x X .
在中学数学中所接触的函数实际是: 实数集(或其子集) 到实数集的映射. 例如, 映射f : R R, y f ( x ) sin x , 正弦函数
2
6
对几个常用的数集规定记号如下 数集的字母的 右上角 标上: “” 数集内排除0的集. “ ” 数集内排除0与负数的集. 全体非负整数即自然数的集合 N, 即
N {0, 1, 2,, n,}; 全体正整数的集合为 N+ {1, 2,, n,};
注
7
全体整数的集合记作
Z {, n,, 2, 1 , 0, 1, 2,, n,}; 全体有理数的集合 记作Q, 即
、 . Any(每一个)或All(所有的)的字头A的倒写 Exist(存在)的 字头E的倒写
“ ” 表示 “任取 ”, 或“任意给定 ”. “ ” 表示 “存在 ”,“至少存在一个或“能够找到 ”, ” 符号 “ 表示 “蕴含 ”,或 “推 ”. 出”. “ ” 表示 “等价 ”,或 “充分必 符号
A { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } 列举法有很大的局限性.
完整高数(一)PPT课件
y
y f (x)
f (x1)
f (x2 )
o
x
I
.
22
3．函数的奇偶性:
设D关于原点对称 , 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为偶函数 ;
y y f (x)
f (x)
f (x)
-x o
x
x
偶函数
.
23
设D关于原点对称 , 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为奇函数 ;
y 1 x2
定义: 设函数 y f (u)的定义域D f , 而函数 u ( x)的值域为Z, 若D f Z , 则称 函数 y f [( x)]为x 的复合函数.
x 自变量, u 中间变量, y 因变量,
.
47
注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的;
例如 y arcsin u, u 2 x2; y arcsin(2 x2 )
或 x 0, ( x) x 2 1, 或 x 0, ( x) x 2 1 1,
综上所述
ex2,
f
[
(
x)]
x 2, e x2 1 ,
x2 1,
x 1 1 x 0
. 0 x 2
x 2
1 x 0; x 2;
.
50
三、双曲函数与反双曲函数
1.双曲函数
双曲正弦 sinh x e x ex 2
4321
-4 -3 -2 -1
o -1 1 2 3 4 5
x
-2 -3 -4
阶梯曲线
.
13
(3) 狄利克雷函数
y
D(
x)
1 0
当x是有理数时 当x是无理数时
y f (x)
f (x1)
f (x2 )
o
x
I
.
22
3．函数的奇偶性:
设D关于原点对称 , 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为偶函数 ;
y y f (x)
f (x)
f (x)
-x o
x
x
偶函数
.
23
设D关于原点对称 , 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为奇函数 ;
y 1 x2
定义: 设函数 y f (u)的定义域D f , 而函数 u ( x)的值域为Z, 若D f Z , 则称 函数 y f [( x)]为x 的复合函数.
x 自变量, u 中间变量, y 因变量,
.
47
注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的;
例如 y arcsin u, u 2 x2; y arcsin(2 x2 )
或 x 0, ( x) x 2 1, 或 x 0, ( x) x 2 1 1,
综上所述
ex2,
f
[
(
x)]
x 2, e x2 1 ,
x2 1,
x 1 1 x 0
. 0 x 2
x 2
1 x 0; x 2;
.
50
三、双曲函数与反双曲函数
1.双曲函数
双曲正弦 sinh x e x ex 2
4321
-4 -3 -2 -1
o -1 1 2 3 4 5
x
-2 -3 -4
阶梯曲线
.
13
(3) 狄利克雷函数
y
D(
x)
1 0
当x是有理数时 当x是无理数时
高等数学教案PPt
注 有时平面曲线用极坐标方程表示非
常简便.
例如，圆 x2 y2 R2，其极坐标方程为
rR
y
R
x 圆 x2 y2 2ax 的极坐标方程为
r 2a cos
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§1.1 函数
几个特殊的函数举例
例2 分段函数
设
f (x)
1 x2
x
1,
,
1 0
x 0, x 1.
y
其定义域为 [1,1).
y (1)x y a
y ax
(a 1)
(0,1)
O
x
定义域为 (, ),值域为(0, ).
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§1.1 函数
(3) 对数函数
y loga x
y
(a 0, a 1)
y log a x
(a 1)
(1,0)
O
x
y log 1 x
a
定义域为 (0, ), 值域为 (, ).
第一章 函数与极限
§1.1 函数 §1.2 函数的极限 §1.3 极限运算法则 §1.4 极限存在准则与两个重要极限 §1.5 无穷小与无穷大
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第一章 函数与极限
§1.6 函数的连续性与连续函数的运算 §1.7 初等函数的连续性及闭区间上连续
函数的性质
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§1.1 函数
如果 D1 x (x)U , x D ，则对每个x D1
通过函数u (x) 有确定的 u U 与之对应，又
通过函数 y f (u)有确定的实数y 与u 对应，从而
得到一个以为x自变量，y为因变量定义在 D1上的函
数，称它为由函数 y f (u) 与 u (x) 复合而成的
高等数学第一章-课件2.ppt
一 函数的连续性
1.函数在点x0的连续性
函数连续的概念源于对几何曲线的直观分析,粗略地 说,如果函数是连续的,那么它的图像是一条连绵不断的曲 线,当然我们不能满足于这种直观的认识,我们需要用数学 的语言给出它的精确定义。
第四节
考察如图1-21所示的函数图像。
图1-21
第四节
故函数f(x)在点 x=0处连续,如图 1-22所示。
图1－20
第二节 极
四 无穷小量与无穷大量
1.无穷小量
定义1－9 若函数f(x)在自变量的某一变化过程中 的极限为零,则称该函数为自变量在此变化过程中的无 穷小量,简称无穷小。通常函数极限有x→+∞,x→- ∞, x→∞,x→x0 + ,x→x0 -,x→x0这六种情形。因此,只简 单地说函数是无穷小量是不确切的,还必须指出x的趋近 方式。
fξ=0。 该推论表明方程fx=0在 a,b内有实根。其几何解释如 图1-26所示。
图1-26
Thank You!
第一章 函数、极限与连续
第一节 函数
第二节 极限
第三节
极限的运算
第四节
初等函数的连续性Leabharlann 第五节 闭区间上连续函数的性质
第一节 函数
一 函数
1.函数的概念
定义1－1 给定两个实数集D和E，若有一个对应法则f，使 得对每个x∈D，都有唯一确定的值y∈E与之对应，则称f是定义 在数集D上的函数，记作y=f(x) ，x∈D。其中，x称为自变量，y 称为因变量，D称为函数fx的定义域，全体函数值的集合E称为函 数的值域.如果在D中任取某一个数值x0，与之对应的y的数值y0， 称为函数f(x)在点x0处的函数值，记作y0=f(x)0 。
1.函数在点x0的连续性
函数连续的概念源于对几何曲线的直观分析,粗略地 说,如果函数是连续的,那么它的图像是一条连绵不断的曲 线,当然我们不能满足于这种直观的认识,我们需要用数学 的语言给出它的精确定义。
第四节
考察如图1-21所示的函数图像。
图1-21
第四节
故函数f(x)在点 x=0处连续,如图 1-22所示。
图1－20
第二节 极
四 无穷小量与无穷大量
1.无穷小量
定义1－9 若函数f(x)在自变量的某一变化过程中 的极限为零,则称该函数为自变量在此变化过程中的无 穷小量,简称无穷小。通常函数极限有x→+∞,x→- ∞, x→∞,x→x0 + ,x→x0 -,x→x0这六种情形。因此,只简 单地说函数是无穷小量是不确切的,还必须指出x的趋近 方式。
fξ=0。 该推论表明方程fx=0在 a,b内有实根。其几何解释如 图1-26所示。
图1-26
Thank You!
第一章 函数、极限与连续
第一节 函数
第二节 极限
第三节
极限的运算
第四节
初等函数的连续性Leabharlann 第五节 闭区间上连续函数的性质
第一节 函数
一 函数
1.函数的概念
定义1－1 给定两个实数集D和E，若有一个对应法则f，使 得对每个x∈D，都有唯一确定的值y∈E与之对应，则称f是定义 在数集D上的函数，记作y=f(x) ，x∈D。其中，x称为自变量，y 称为因变量，D称为函数fx的定义域，全体函数值的集合E称为函 数的值域.如果在D中任取某一个数值x0，与之对应的y的数值y0， 称为函数f(x)在点x0处的函数值，记作y0=f(x)0 。
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