独立同分布大数定律和贝努里大数定律
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n T8 n
证明：设Xi〜B(Lp), i = L2, •・•，/!是相互独立的随机变量序列， 则
E(Xi)= p, D(Xi)= p(1 -p), i = 1,2,...,n
该随机变量序列服从独立同分布大数定律条件
1n
P{|_£X -p |v 硏=1 何 > 0)
ns =1
设丫孔=X]+X2 +・・・x“，则Yn-B(rif p), 从而
电子科技大学概率论与数理统计MOOC
/、/、；
L 、、、 二
知识点名称：独立同分布大弟数5定早律和贝努里大数定律
主讲人：杜鸿飞
-«■
§5.3独立同分布大数定律和贝努里大数定律
切比雪夫大数定律
设X],X2,…，xn,…是相互独立的随机变量，且E(XQ存在, D(X£) < C(C > 0), i = 1,2,,贝。
今 基础 以贝努里大数定律为理论依据
应用：用蒙特卡罗法估计圆周率兀
设随机变量(x,y)在正方形区域G内服从 二维均匀分布，内切圆)的半径为1,根据均 匀分布性质有
n
P{(X,Y)e D}=醐=世=
" ,)S(G) 2 X 2 4
P{(X,Y)e D}=
S (D) _ n x 12 _ n S(G 2 x 2
又因为 从而有
n
n
lim 邓 n % x= 2
n—
8
E (Xi)|V 8} = 1 (s > 0)
1n
一£ E(
—卩 l0i)mnnP{7|=1 1支XniXi=)i=i卩
|V 8} = 1(8 >
贝努里大数定律
设〃为〃重贝努里试验中事件刀出现的次数，‘为刀在每次试
验中 发生的概率，则
m
P{| ——p |v s} = 1 (s > 0)
0.0026
应用说明： »统计推断时，假设检验以小概率事件原理为基础
A很多实际问题并非理想随机变量，例如人的身高，取值范围不 可 能为（-8,+8）,但根据3。原理，考虑有限范围是有理论依 据的。
应用三： 4.矩估计的理论基础：独立同分布大数定律可推广为辛钦大数定律 （只要求各个随机变量的期望相同即可），可得样本矩依概率收 敛于总体矩,这在统计推断中保证了估计量的相合性
随机模拟方法:
1. 产生"组落在正方形G内的随机点其中
X 〜1/（一1,1危〜1/（一1,1）
2. 统计满足尤2 + y2 < 1的随机点个数，设为k
"足够大时可用丝近似估算圆周率
3.
7T n
园
依据：根据贝努里大数定律，随机点落在区
域 D内的频率物依概率收敛于概率p = n/4
应用说明： »假设｛X,｝是独立同分布随机变量序列，且E（XD = E（X ）,i = 1,2,…，n,则
__
-—PT E（X ）
n i=i »对于高阶矩有类似结论。
应用四：
5.频率的稳定性：试验次数充分多，则刀发生的频率心趋于刀发 生 的概率p,是计算机做随机模拟中蒙特卡罗法(Monte Carlo)的 理论
Ywenku.baidu.com =
m
lim P{「一 p |v s} = 1 (s > 0)
n—8n
应用一： 1.测量值估计：实际工作中，以大量测量值的平均值作为精确
值的估计 值今以独立同分布大数定律为理论依据
应用二： 2. 小概率事件原理：概率很小的事件，事件发生的频率也很小， 在一次试验中几乎不可能发生今实际中看作不可能事件 3. 三倍标准差原理（3 Q原理）：若X〜N（阳。2）,则当X取值在 （〃-3b,〃 + 3b）之外时，看作小概率事件 P{|X-〃|>3b} =
lim nT
独立同分布大8 数定律
E （Xi）|V 8} = 1（8 > 0）
设X「X2，・・・，Xn,…是相互独立的随机变量，且E(X。=〃,
D（XD = a2,
卩 i = 1,2, • ••,则
lim P{|1 支 Xi—
|V 8} = 1（8 > 0） nn 7=1
证明：设X°X2,…，X”,…是相互独立的随机变量，且E(XD=〃, D(Xi) = b2, [ = 1,2,…，满足切比雪夫大数定律的条件，故
证明：设Xi〜B(Lp), i = L2, •・•，/!是相互独立的随机变量序列， 则
E(Xi)= p, D(Xi)= p(1 -p), i = 1,2,...,n
该随机变量序列服从独立同分布大数定律条件
1n
P{|_£X -p |v 硏=1 何 > 0)
ns =1
设丫孔=X]+X2 +・・・x“，则Yn-B(rif p), 从而
电子科技大学概率论与数理统计MOOC
/、/、；
L 、、、 二
知识点名称：独立同分布大弟数5定早律和贝努里大数定律
主讲人：杜鸿飞
-«■
§5.3独立同分布大数定律和贝努里大数定律
切比雪夫大数定律
设X],X2,…，xn,…是相互独立的随机变量，且E(XQ存在, D(X£) < C(C > 0), i = 1,2,,贝。
今 基础 以贝努里大数定律为理论依据
应用：用蒙特卡罗法估计圆周率兀
设随机变量(x,y)在正方形区域G内服从 二维均匀分布，内切圆)的半径为1,根据均 匀分布性质有
n
P{(X,Y)e D}=醐=世=
" ,)S(G) 2 X 2 4
P{(X,Y)e D}=
S (D) _ n x 12 _ n S(G 2 x 2
又因为 从而有
n
n
lim 邓 n % x= 2
n—
8
E (Xi)|V 8} = 1 (s > 0)
1n
一£ E(
—卩 l0i)mnnP{7|=1 1支XniXi=)i=i卩
|V 8} = 1(8 >
贝努里大数定律
设〃为〃重贝努里试验中事件刀出现的次数，‘为刀在每次试
验中 发生的概率，则
m
P{| ——p |v s} = 1 (s > 0)
0.0026
应用说明： »统计推断时，假设检验以小概率事件原理为基础
A很多实际问题并非理想随机变量，例如人的身高，取值范围不 可 能为（-8,+8）,但根据3。原理，考虑有限范围是有理论依 据的。
应用三： 4.矩估计的理论基础：独立同分布大数定律可推广为辛钦大数定律 （只要求各个随机变量的期望相同即可），可得样本矩依概率收 敛于总体矩,这在统计推断中保证了估计量的相合性
随机模拟方法:
1. 产生"组落在正方形G内的随机点其中
X 〜1/（一1,1危〜1/（一1,1）
2. 统计满足尤2 + y2 < 1的随机点个数，设为k
"足够大时可用丝近似估算圆周率
3.
7T n
园
依据：根据贝努里大数定律，随机点落在区
域 D内的频率物依概率收敛于概率p = n/4
应用说明： »假设｛X,｝是独立同分布随机变量序列，且E（XD = E（X ）,i = 1,2,…，n,则
__
-—PT E（X ）
n i=i »对于高阶矩有类似结论。
应用四：
5.频率的稳定性：试验次数充分多，则刀发生的频率心趋于刀发 生 的概率p,是计算机做随机模拟中蒙特卡罗法(Monte Carlo)的 理论
Ywenku.baidu.com =
m
lim P{「一 p |v s} = 1 (s > 0)
n—8n
应用一： 1.测量值估计：实际工作中，以大量测量值的平均值作为精确
值的估计 值今以独立同分布大数定律为理论依据
应用二： 2. 小概率事件原理：概率很小的事件，事件发生的频率也很小， 在一次试验中几乎不可能发生今实际中看作不可能事件 3. 三倍标准差原理（3 Q原理）：若X〜N（阳。2）,则当X取值在 （〃-3b,〃 + 3b）之外时，看作小概率事件 P{|X-〃|>3b} =
lim nT
独立同分布大8 数定律
E （Xi）|V 8} = 1（8 > 0）
设X「X2，・・・，Xn,…是相互独立的随机变量，且E(X。=〃,
D（XD = a2,
卩 i = 1,2, • ••,则
lim P{|1 支 Xi—
|V 8} = 1（8 > 0） nn 7=1
证明：设X°X2,…，X”,…是相互独立的随机变量，且E(XD=〃, D(Xi) = b2, [ = 1,2,…，满足切比雪夫大数定律的条件，故