分类加法和计数原理导学案
高三一轮复习导学案58 第10章 第01节——分类加法计数原理与分步乘法计数原理
§10.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1．分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有m n种不同的方法，则完成这件事情，共有N＝____________________种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝____________________种不同的方法．3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．[难点正本疑点清源]1．两个原理的联系与区别两个原理都是对完成一件事的方法种数而言的．区别在于：(1)分类加法计数原理是“分类”，分步乘法计数原理是“分步”；(2)分类加法计数原理中每类办法中的每一种方法都能独立完成一件事，分步乘法计数原理中每步中每种方法都只能做这件事的一步，不能独立完成这件事．2．对两个原理的进一步理解分类加法计数原理中，“完成一件事，有n类办法”，是说每种办法“互斥”，即每种方法都可以独立地完成这件事，同时他们之间没有重复也没有遗漏．进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事．只有满足这个条件，才能直接用分类加法计数原理，否则不可以．分步乘法计数原理中，“完成一件事，需要分成n个步骤”，是说每个步骤都不足以完成这件事，这些步骤彼此间也不能有重复和遗漏．1．从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法种数为________．2．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有________种．3．有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三件长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数是________．4．8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第3、4名，则大师赛共有________场比赛．5．有A、B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，现在要从三名工人中选2名分别去操作以上车床，不同的选派方法有() A．6种B．5种C．4种D．3种题型一分类加法计数原理例1高三一班有学生50人，男生30人，女生20人；高三二班有学生60人，男生30人，女生30人；高三三班有学生55人，男生35人，女生20人．(1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从高三一班、二班男生中，或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？探究提高分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意满足一个基本要求，就是完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．同学衣服上左、右各有一个口袋，左边口袋装有30张英语单词卡片，右边口袋装有20张英语单词卡片，这些英语单词卡片都互不相同，则从两个口袋里任取一张英语单词卡片，共有________种不同的取法．题型二分步乘法计数原理例2已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)，问：(1)P可表示平面上多少个不同的点？(2)P可表示平面上多少个第二象限的点？(3)P可表示多少个不在直线y＝x上的点？探究提高利用分步乘法计数原理解决问题：①要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；②各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，若a，b，c∈M，则：(1)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个不同的二次函数；(2)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个图象开口向上的二次函数．题型三两个计数原理的综合应用例3用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的比2 000大的4位偶数？探究提高用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步．(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．(2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．(3)对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析．如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数．11.分类不准、计数原理使用不当致误试题：(5分)(2010·湖南)在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为() A．10B．11C．12D．15学生答案展示 A审题视角至多有两个对应位置上的数字相同是本题的题眼，可分为0个相同，1个相同，2个相同．正确答案 B解析方法一分0个相同、1个相同、2个相同讨论．(1)若0个相同，则信息为：1001.共1个．(2)若1个相同，则信息为：0001,1101,1011,1000.共4个．(3)若2个相同，又分为以下情况：①若位置一与二相同，则信息为：0101；②若位置一与三相同，则信息为：0011；③若位置一与四相同，则信息为：0000；④若位置二与三相同，则信息为：1111；⑤若位置二与四相同，则信息为：1100；⑥若位置三与四相同，则信息为：1010.共有6个．故与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为1＋4＋6＝11.方法二若0个相同，共有1个；若1个相同，共有C14＝4(个)；若2个相同，共有C24＝6(个)．故共有1＋4＋6＝11(个)．批阅笔记(1)本题考查的是分类加法计数原理，难度不大，属中档题．(2)本题要求至多有两个对应位置上的数字相同，应按照0个相同、1个相同、2个相同进行讨论，本题易错点是易漏掉0个相同的情况.方法与技巧1．分类加法和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．2．混合问题一般是先分类再分步．3．分类时标准要明确，做到不重复不遗漏．4．要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律．失误与防范应用两种原理解题：(1)分清要完成的事情是什么？(2)分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；(3)有无特殊条件的限制；(4)检验是否有重漏．课时规范训练(时间：60分钟)A组专项基础训练题组一、选择题1．由0,1,2,3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有() A．238个B．232个C．174个D．168个2．如图，A、B、C、D为四个村庄，要修筑三条公路，将这四个村庄连接起来，则不同的修筑方案共有()A．8种B．12种C．16种D．20种3．已知集合M∈{1，－2,3}，N∈{－4,5,6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是() A．18 B．10 C．16 D．14二、填空题4．现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有种．5．如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有个．6．在2008年奥运选手选拔赛上，8名男运动员参加100米决赛．其中甲、乙、丙三人必须在1、2、3、4、5、6、7、8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种．三、解答题7．如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有多少种？8．某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？B组专项能力提升题组一、选择题1．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是() A．9 B．14 C．15 D．212．三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数为() A．25 B．26 C．36 D．373．如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为()A．96 B．84 C．60 D．48二、填空题4．某电子元件，是由3个电阻组成的回路，其中有4个焊点A、B、C、D，若某个焊点脱落，整个电路就不通，现在发现电路不通了，那么焊点脱落的可能情况共有种．5．将1,2,3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有种．6．形如45132的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比与它们各自相邻的数字大，则由1,2,3,4,5可构成不重复的五位“波浪数”的个数为________．7．如图所示的几何体是由一个正三棱锥P—ABC与正三棱柱ABC—A1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有种．三、解答题8．已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝{0,1,2,3}，f是从A到B的映射．(1)若B中每一元素都有原象，这样不同的f有多少个？(2)若B中的元素0必无原象，这样的f有多少个？(3)若f满足f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋f(a4)＝4，这样的f又有多少个？答案要点梳理1．m1＋m2＋…＋m n 2.m1×m2×…×m n基础自测1．5 2.32 3.12 4．16 5．C题型分类·深度剖析例1解(1)50＋60＋55＝165(种)，即所求选法有165种．(2)30＋30＋20＝80(种)，即所求选法有80种．变式训练150例2解(1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：第一步确定a的值，共有6种确定方法；第二步确定b的值，也有6种确定方法．根据分步乘法计数原理，得到平面上的点的个数是6×6＝36.(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a<0，所以有3种确定方法；第二步确定b，由于b>0，所以有2种确定方法．由分步乘法计数原理，得到第二象限的点的个数是3×2＝6.(3)点P(a，b)在直线y＝x上的充要条件是a＝b.因此a和b必须在集合M中取同一元素，共有6种取法，即在直线y＝x上的点有6个．由(1)得不在直线y＝x上的点共有36－6＝30(个)．变式训练2解(1)a的取值有5种情况，b的取值有6种情况，c的取值有6种情况，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示5×6×6＝180(个)不同的二次函数．(2)y＝ax2＋bx＋c的开口向上时，a的取值有2种情况，b、c的取值均有6种情况，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示2×6×6＝72(个)图象开口向上的二次函数．例3解完成这件事可分为3类方法：第一类是用0做结尾的比2 000大的4位偶数，它可以分三步去完成：第一步，选取千位上的数字，只有2,3,4,5可以选择，有4种选法；第二步，选取百位上的数字，除0和千位上已选定的数字以外，还有4个数字可供选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，还有3种选法．依据分步乘法计数原理，这类数的个数有4×4×3＝48(个)；第二类是用2做结尾的比2 000大的4位偶数，它可以分三步去完成：第一步，选取千位上的数字，除去2,1,0只有3个数字可以选择，有3种选法；第二步，选取百位上的数字，在去掉已经确定的首尾两数字之后，还有4个数字可供选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，还有3种选法．依据分步乘法计数原理，这类数的个数有3×4×3＝36(个)；第三类是用4做结尾的比2 000大的4位偶数，其步骤同第二类，有3×4×3＝36(个)．对以上三类结论用分类加法计数原理，可得所求无重复数字的比2 000大的4位偶数有48＋36＋36＝120(个)．变式训练3解方法一可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法计数原理即可得出结论．由题设，四棱锥S—ABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60(种)染色方法．当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法．可见，当S、A、B已染好时，C、D还有7种染法，故不同的染色方法有60×7＝420(种)．方法二以S、A、B、C、D顺序分步染色．第一步，S点染色，有5种方法；第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法；第三步，B点染色，与S、A分别在同一条棱上，有3种方法；第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S、A、C相邻，需要针对A与C 是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S、B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法．由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420(种)．方法三按所用颜色种数分类．第一类，5种颜色全用，共有A55种不同的方法；第二类，只用4种颜色，则必有某两个顶点同色(A与C，或B与D)，共有2×A45种不同的方法；第三类，只用3种颜色，则A与C、B与D必定同色，共有A35种不同的方法．由分类加法计数原理，得不同的染色方法总数为A55＋2×A45＋A35＝420(种)．课时规范训练A组1．C2．C3．D 4．48 5．40 6．2 8807．解先涂A、D、E三个点，共有4×3×2＝24(种)涂法，然后再按B、C、F的顺序涂色，分为两类：一类是B与E或D同色，共有2×(2×1＋1×2)＝8(种)涂法；另一类是B与E或D不同色，共有1×(1×1＋1×2)＝3(种)涂法．所以涂色方法共有24×(8＋3)＝264(种)．8．解由题意得有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语．第一类：从只会英语的6人中选1人说英语，共有6种方法，则说日语的有2＋1＝3(种)，此时共有6×3＝18(种)；第二类：不从只会英语的6人中选1人说英语，则只有1种方法，则选会日语的有2种，此时共有1×2＝2(种)；所以根据分类加法计数原理知共有18＋2＝20(种)选法．B组1．B2．C3．B4．15 5．12 6．16 7．128．解(1)显然对应是一一对应的，即为a1找象有4种方法，a2找象有3种方法，a3找象有2种方法，a4找象有1种方法，所以不同的f共有4×3×2×1＝24(个)．(2)0必无原象，1,2,3有无原象不限，所以为A中每一元素找象时都有3种方法．所以不同的f共有34＝81(个)．(3)分为如下四类：第一类：A中每一元素都与1对应，有1种方法；第二类：A中有两个元素对应1，一个元素对应2，另一个元素与0对应，有C24·C12＝12(种)方法；第三类：A中有两个元素对应2，另两个元素对应0，有C24·C22＝6(种)方法；第四类：A中有一个元素对应1，一个元素对应3，另两个元素与0对应，有C14·C13＝12(种)方法．所以不同的f共有1＋12＋6＋12＝31(个)．。
61 分类加法计数原理与分步乘数原理 (原卷版)2023-2024新高考数学选择性必修三全册学案教案
地到 C 地不同的走法种数为______．
【例题精析 3】 书架上有 2 本不同的数学书，3 本不同的语文书，4 本不同的英语书．若从这些书中取不 同科目的书两本，有____种不同的取法．
【对点精练 1】 某校开设 A 类选修课 4 门,B 类选修课 3 门,一同学从中选 1 门,则该同学的不同选法共有（ ）
完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法．那 么完成这件事共有 N＝m＋n 种不同的方法．
推广：完成一件事有 n 类不同方案，在第 1 类方案中，有 m1 种不同的方法，第 2 类方案中有 m2 种不同 的方法，…，在第 n 类方案中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝m1＋m2＋…＋mn 种不同的方法．
A．180 种
B．150 种
C．120 种
D．90 种
2．（2022 春•凉州区期末）2022 年北京冬奥会的顺利召开，引起了大家对冰雪运动的关注．若 A ，B ，C 三
人在自由式滑雪、花样滑冰、冰壶和跳台滑雪这四项运动中任选一项进行体验，则不同的选法共有 ( )
A．12 种
楼梦》人物角色分析.要求每个学生选且只能选一门课程.若甲只选英语经典阅读，乙只选数学史或物理
模型化思维，学生丙､ 丁任意选，这四名学生选择后，恰好选了其中三门课程，则他们选课方式的可
能情况有___________种.
知识点 2 分步乘法计数原理★★★ 分步乘法计数原理：
完成一件事需要两个步骤，做第一步有 m 种不同的方法，做第二步有 n 种不同的方法，那么完成这件 事共有 N＝m×n 种不同的方法．
6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1．熟练掌握两个计数原理，并能灵活应用两个计数原理解决数学与生活中的计数问题，理解 两个计数原理的区别与联系，掌握分类与分步的计数原则及分类标准. 解读：通过本节课的学习，要求理解与掌握两个计数原理的计数方法，能应用两个计数原理解 决一些简单的实际问题.
数学《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》导学案
数学《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》导学案导学案：分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、导入数学是一门重要的学科，它不仅帮助我们掌握必要的计算技能，还培养了我们的逻辑思维和解决问题的能力。
今天，我们将学习数学中的两个重要原理，分类加法计数原理和分步乘法计数原理。
通过学习这两个原理，我们可以更好地解决实际生活中的问题。
下面，我们一起来学习吧！二、学习目标1.了解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念；2.掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用方法；3.运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决实际问题。
三、新知呈现1.分类加法计数原理分类加法计数原理是一种通过将问题划分为若干个情况，然后逐一计数，最后将每个情况的计数相加，得到整个问题的计数的方法。
具体应用步骤如下：(1)将问题划分为若干个情况；(2)分别计数每个情况的可能性；(3)将每个情况的计数相加，得到整个问题的计数。
例如：小明有3条领带，2件衬衫和4条裤子，在上学时可以任意搭配。
求小明上学时可以有多少种不同的穿着方式？解：根据问题，我们可以将问题划分为以下几个情况：情况1：领带为1条，衬衫为1件，裤子为1条；情况2：领带为1条，衬衫为1件，裤子为2条；情况3：领带为1条，衬衫为2件，裤子为1条；情况4：领带为1条，衬衫为2件，裤子为2条；情况5：领带为2条，衬衫为1件，裤子为1条；情况6：领带为2条，衬衫为1件，裤子为2条；情况7：领带为2条，衬衫为2件，裤子为1条；情况8：领带为2条，衬衫为2件，裤子为2条；情况9：领带为3条，衬衫为1件，裤子为1条；情况10：领带为3条，衬衫为1件，裤子为2条；情况11：领带为3条，衬衫为2件，裤子为1条；情况12：领带为3条，衬衫为2件，裤子为2条。
通过计数每个情况的可能性，我们可以得到答案：12种。
2.分步乘法计数原理分步乘法计数原理是一种通过将问题分解成若干个步骤，然后按照每个步骤的可能性进行计数，最后将每个步骤的计数相乘，得到整个问题的计数的方法。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案
分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案一、教学目标1. 让学生理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念。
2. 让学生学会运用分类加法计数原理和分步乘法计法原理解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 分类加法计数原理：（1）概念介绍：同一类对象的数量相加得到总数。
（2）实例讲解：学校举办运动会，参加跑步的有20人，参加跳高的有15人，参加跳远的有10人，请问参加运动会的总人数是多少？a. 班级里有男生30人，女生20人，请问班级里总共有多少人？b. 图书馆里有小说50本，科普书籍30本，请问图书馆里总共有多少本书？2. 分步乘法计数原理：（1）概念介绍：完成一项任务需要多个步骤，每个步骤的数量相乘得到总数量。
（2）实例讲解：做一份报纸，需要先排版（10分钟），印刷（20分钟），装订（10分钟），请问完成这份报纸需要多长时间？a. 制作一个蛋糕，需要打发鸡蛋（10分钟），加入面粉和糖（5分钟），烘烤（20分钟），请问制作一个蛋糕需要多长时间？b. 工厂生产一批玩具，每台机器每小时可以生产10个玩具，共有3台机器工作，请问每小时可以生产多少个玩具？三、教学方法1. 采用讲授法，讲解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念及应用。
2. 利用实例讲解，让学生更好地理解计数原理。
3. 设计练习题，让学生动手实践，巩固所学知识。
四、教学评价1. 课堂问答：检查学生对分类加法计数原理和分步乘法计数原理的理解。
2. 练习题解答：评价学生运用计数原理解决问题的能力。
3. 课后作业：布置相关题目，让学生进一步巩固所学知识。
五、教学资源1. PPT课件：展示分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念及实例。
2. 练习题：提供丰富的练习题，让学生动手实践。
3. 教学视频：可选用的相关教学视频，辅助学生理解计数原理。
4. 黑板、粉笔：用于板书关键词和讲解实例。
六、教学步骤1. 引入新课：通过一个简单的实例，让学生感受分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案
分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案一、教学目标1. 理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念。
2. 学会运用分类加法计数原理和分步乘法计法原理解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 分类加法计数原理：定义：如果一个事件可以分成几个互斥的部分，这个事件发生的总次数就等于各部分事件发生次数的和。
公式：P(A) = P(A1) + P(A2) + + P(An)2. 分步乘法计数原理：定义：如果一个事件可以分成几个相互独立的步骤，这个事件发生的总次数等于各步骤事件发生次数的乘积。
公式：P(A) = P(A1) ×P(A2) ××P(An)三、教学重点与难点1. 教学重点：分类加法计数原理的概念和公式。
分步乘法计数原理的概念和公式。
2. 教学难点：如何运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决实际问题。
四、教学方法1. 采用讲授法讲解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念和公式。
2. 运用案例分析法引导学生运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决实际问题。
3. 开展小组讨论法，让学生分组讨论和解决问题，培养学生的团队协作能力。
五、教学步骤1. 导入新课，介绍分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念。
2. 讲解分类加法计数原理的公式和应用示例。
3. 讲解分步乘法计数原理的公式和应用示例。
4. 开展案例分析，让学生运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决实际问题。
5. 进行小组讨论，让学生分组讨论和解决问题，分享解题心得。
六、教学评估1. 课堂问答：通过提问学生，了解学生对分类加法计数原理和分步乘法计数原理的理解程度。
2. 案例分析报告：评估学生在案例分析中的表现，包括问题解决能力和逻辑思维能力。
3. 小组讨论评价：评价学生在小组讨论中的参与程度、团队合作能力和问题解决能力。
七、教学反思1. 反思教学内容：检查教学内容是否全面、清晰，是否需要调整或补充。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案
分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案一、分类加法计数原理教案主旨: 学习分类加法计数原理，能够运用该原理解决实际问题。
一、导入 (5分钟)1. 引入问题:小明有3个红色球和4个蓝色球，他想穿一双颜色相同的球，有多少种可能性？2. 学生回答问题并讨论解决方法。
二、呈现 (10分钟)1. 介绍分类加法计数原理的概念: 分类加法计数原理是指在一个问题中，通过将问题进行分类，然后对每个分类进行计数，最后将各个分类的计数结果相加，得到最终的解决方案。
2. 给出示例问题: 一个篮球队有5个队员，一个足球队有6个队员，现在要选出两个队员进行混合比赛，有多少种可能性？三、讲解 (15分钟)1. 分类: 将问题分为篮球队员和足球队员两类。
2. 计数: 分别计算篮球队员和足球队员的可能性，篮球队员有C(5,2)种组合方式，足球队员有C(6,2)种组合方式。
3. 合并: 将篮球队员和足球队员的组合数相加得到最终的解。
四、练习 (15分钟)1. 分发练习册，让学生完成相关练习。
2. 教师巡视督促学生的练习过程，提供必要的帮助和指导。
五、总结 (5分钟)1. 总结分类加法计数原理的步骤：分类、计数、合并。
2. 强调分类加法计数原理在解决实际问题中的应用。
3. 回顾学生在课堂练习中的解题思路和结果。
二、分步乘法计数原理教案主旨: 学习分步乘法计数原理，能够运用该原理解决实际问题。
一、导入 (5分钟)1. 引入问题:小明喜欢穿不同颜色的T恤和裤子，他有3种不同颜色的T恤和4种不同颜色的裤子，他有多少种穿搭可能性？2. 学生回答问题并讨论解决方法。
二、呈现 (10分钟)1. 介绍分步乘法计数原理的概念: 分步乘法计数原理是指在一个问题中，将问题分为多个独立的步骤，然后计算每个步骤的可能性，并将各个步骤的可能性相乘，得到最终的解决方案。
2. 给出示例问题: 一个密码锁有3个拨轮，每个拨轮上分别有0-9的数字，求密码锁的可能组合数。
选修2-3第一章计数原理导学案
学习过程
一、课前准备 （预习教材 P2~ P5，找出疑惑之处） 复习 1 从高二（1）班的 50 名学生中挑选 1 名同学 担任学校元旦晚会主持人，有多少种不同挑选结 果？
复习 2：一次会议共 3 人参加，结束时，大家两两 握手，互相道别，请你统计一下，大家握手次数共 有多少？
二、新课导学 ※ 学习探究
4. 要从甲、乙、丙 3 名工人中选出 2 名分别上日班 和晚班，有 种不同的选法. 变式 ：要从甲，乙，丙 3 副不同的画中选出 2 副， 分别挂在左，右两边墙上的指定位置，问共有多少 种不同的选法？ 5. 一种号码拨号锁有 4 个拨号盘， 每个拨号盘上有 从 0 到 9 共 10 个数字， 这 4 个拨号盘可以组成 个 四位数号码.
§ 1.1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理（1）
学习目标
1.通过实例，总结出分类计数原理、分步计数原理； 2. 了解分类、分步的特征，合理分类、分步； 3. 体会计数的基本原则：不重复，不遗漏.
伯数字，以 A1 , A2 , , B1 , B2 , „的方式给教室的座 位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 分析：每一个编号都是由 个部分组成，第一部 分是 ，有____种编法，第二部分是 ， 有 种编法；要完成一个编号，必须完成上面两 部分，每一部分就是一个步骤，所以，不同的号码 一共有 个. 新知 ：分步计数原理－乘法原理： 完成一件工作需要两个步骤， 完成第 1 步有 m 种 不同的方法， 完成第 2 步有 n 种不同的方法， 那么， 完成这件工作共有 m n 种不同方法。 试试：从 A 村去 B 村的道路有 3 条，从 B 村去 C 村的道路有 2 条， 从 A 村经 B 村去 C 村， 不同的路 线有 条. 反思 ：使用乘法原理的条件是什么？分步乘法原理 可以推广到两部以上的问题吗？
【K12学习】分类加法计数原理与分步乘法计数原理导学案
分类加法计数原理与分步乘法计数原理导学案第01课时1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理学习目标．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；2．会利用两个原理分析和解决简单的应用问题.学习过程一、学前准备阅读课本P1内容，知道：现实生活中的计数问题普遍存在的；计算问题的思路；明确本章学习的主要内容。
二、新课导学◆探究新知问题1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？你能说说这个问题的特征吗？问题2：用前6个大写英文字母和九个阿拉伯数字，以的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？你能说说这个问题的特征吗？◆应用示例例1．在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A大学B大学生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？例2.设某班有男生30名，女生24名.现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？例3.书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.从书架中任取1本书，有多少种不同的取法？从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？例4.要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？◆反馈练习．填空：A.12种B.19种c.32种D.60种若x∈｛1，2，3｝，y∈｛５，7，9｝，则的不同值有A.2个B.6个c.9个D.3某同学逛书店，发现三本喜欢的书，决定至少买其中一本，则购买方案有A.3种B.6种c.7种D.9课后作业．现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名．一个商店销售某种型号的电视机，其中本地的产品有4种，外地的产品有7种，要买1台这种型号的电视机，有多少种不同的选法？．一种号码锁有4个拨号盘,每个拨号盘上有从0到9共10个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码?。
分类加法计数原理和分步乘法计数原理教案
分类加法计数原理和分步乘法计数原理教案教案：分类加法计数原理和分步乘法计数原理教学目标：1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念和应用。
2.能够运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决问题。
教学重点：1.掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理的具体应用。
2.提高学生的问题解决能力。
教学难点：能够正确理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用，并能运用到实际问题中。
教学准备：1.板书：分类加法计数原理和分步乘法计数原理的定义和示例。
2.教学课件：包含丰富的分类加法计数原理和分步乘法计数原理的例题。
教学过程：Step 1：导入新知识（10分钟）导入新知识：让学生思考以下问题：1.如果我有两种不同的衣服和三种不同的裤子，我可以有多少种不同的搭配方式？2.如果我有三个家具店，每个店铺里有四种不同的椅子和五种不同的桌子，我可以有多少种不同的搭配方式？引导学生思考和讨论问题，引出分类加法计数原理的概念。
Step 2：分类加法计数原理（20分钟）1.板书：分类加法计数原理的定义。
2.板书：示例题目，并与学生一起解答。
例题1：小明有五个红苹果和三个绿苹果，请问他有多少个苹果？解答过程：将问题分为红苹果和绿苹果两个部分，根据分类加法计数原理，总数为红苹果的个数加上绿苹果的个数，即5+3=8例题2：甲班有四个男生和五个女生，乙班有三个男生和六个女生，请问两个班级一共有多少学生？解答过程：将问题分为甲班和乙班两个部分，根据分类加法计数原理，总数为甲班学生的个数加上乙班学生的个数，即4+5+3+6=183.布置练习题：让学生自己尝试解决几个分类加法计数原理的练习题。
Step 3：分步乘法计数原理（20分钟）1.板书：分步乘法计数原理的定义。
分步乘法计数原理：当一个问题可以分为多个独立的步骤时，总数为每个步骤的选择数相乘。
2.板书：示例题目，并与学生一起解答。
例题1：小明有五种不同的上衣和三种不同的裤子，请问他有多少种不同的穿搭方式？解答过程：将问题分为选择上衣和选择裤子两个步骤，根据分步乘法计数原理，总数为上衣的种类数乘以裤子的种类数，即5×3=15例题2：家餐厅有四道不同的主菜和五种不同的甜点，请问用餐顾客有多少种不同的品尝方式？解答过程：将问题分为选择主菜和选择甜点两个步骤，根据分步乘法计数原理，总数为主菜的种类数乘以甜点的种类数，即4×5=20。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案
分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案第一章：引言1.1 教学目标让学生理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念。
让学生掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理的运用方法。
1.2 教学内容分类加法计数原理：将问题划分为若干个互不重叠的分类，分别计算每个分类的数量，将结果相加得到总数。
分步乘法计数原理：将问题分解为若干个相互依赖的步骤，每个步骤的数量相乘得到最终结果。
1.3 教学方法采用讲解示例、练习题和小组讨论的方式进行教学。
1.4 教学步骤引入分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念。
通过示例讲解分类加法计数原理的运用方法。
通过示例讲解分步乘法计数原理的运用方法。
学生练习题：让学生运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决问题。
小组讨论：让学生分享解题心得，互相学习和交流。
第二章：分类加法计数原理2.1 教学目标让学生掌握分类加法计数原理的概念和运用方法。
2.2 教学内容分类加法计数原理：将问题划分为若干个互不重叠的分类，分别计算每个分类的数量，将结果相加得到总数。
2.3 教学方法采用讲解示例、练习题和小组讨论的方式进行教学。
2.4 教学步骤复习分类加法计数原理的概念。
通过示例讲解分类加法计数原理的运用方法。
学生练习题：让学生运用分类加法计数原理解决问题。
小组讨论：让学生分享解题心得，互相学习和交流。
第三章：分步乘法计数原理3.1 教学目标让学生掌握分步乘法计数原理的概念和运用方法。
3.2 教学内容分步乘法计数原理：将问题分解为若干个相互依赖的步骤，每个步骤的数量相乘得到最终结果。
3.3 教学方法采用讲解示例、练习题和小组讨论的方式进行教学。
3.4 教学步骤复习分步乘法计数原理的概念。
通过示例讲解分步乘法计数原理的运用方法。
学生练习题：让学生运用分步乘法计数原理解决问题。
小组讨论：让学生分享解题心得，互相学习和交流。
第四章：应用举例4.1 教学目标让学生能够运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决实际问题。
高中数学选修2-3导学案
（ 1）
例 4、用 4 种不同颜色给下图示的地图上色， 同的颜色， 共有多少种不同的涂法？ 解：
要求相邻两块涂不
（ 2）
（ 3）
（ 4）
三、学生反思总结 1. 分类计数与分步计数原理是两个最基本，也是最重要的原理，是解答排列、组合 问题，尤其是较复杂的排列、组合问题的基础 . 2.辨别运用分类计数原理还是分步计数原理的关键是 “ 分类 ” 还是 “ 分步 ” ， 也就是说 “ 分类 ” 时，各类办法中的每一种方法都是独立的，都能直接完成这件事，而 “ 分步 ” 时，各步中 的方法是相关的，缺一不可，当且仅当做完个步骤时，才能完成这件事 . 四、当堂检测 课本 P10：练习 1—5 五、作业 课本 p12 习题 1.1 A 组 1 、 2、 3 题
六、教学反思
2
课后练习与提高
一、选择题 1．将 5 封信投入 3 个邮筒，不同的投பைடு நூலகம்共有（ A． 种 B． 种 C． 种 ）． D． 种 ）．
2．将 4 个不同的小球放入 3 个不同的盒子，其中每个盒子都不空的放法共有（ A． 种 B． 种 C ． 18 种 D． 36 种
3．已知集合 ， ，从两个集合中各取一个元素作为点的坐 标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是（ ）． A． 18 B． 10 C ． 16 D ． 14
n! ( n m 1)!
（ B） n(n － 1)(n － 2) ,,
(n － m) （ C） (34 － n) 等于（ （ D） A34
8 n
nAn n
m 1 m 1 （ D） A1 nA n 1
m 1
3．若 n ∈ N 且 n<20 ，则 (27 － n)(28 － n) ,, （ A） A27
数学《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》导学案
数学《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》导学案导学案：分类加法计数原理与分步乘法计数原理导学目标：通过本节课的学习，学生能够了解和运用分类加法计数原理与分步乘法计数原理解决实际问题。
导学过程：第一步：导入新知1.老师向学生介绍本节课的学习内容：分类加法计数原理与分步乘法计数原理。
2.老师出示一道实际问题，例如：“小明去商场买衣服，他看中了4件T恤衫、3件牛仔裤、2件外套和5条裙子。
他决定买其中一件或两件，那么他可以有多少种选择？”3.学生思考问题，并做出回答。
第二步：引入概念1.在学生回答问题的基础上，老师引导学生思考问题的解决方法。
2.老师向学生解释分类加法计数原理的概念：当一个事件可以通过若干个互不相交的子事件表达时，可以将每个子事件的数量相加，得出总事件的数量。
3.老师以示例来说明分类加法计数原理的应用：对于小明购买衣服的问题，我们可以将其分解为分别选择一件、两件不同类型衣物的情况，然后将每种情况的数量相加，得到总的选择数量。
第三步：学习规律1.老师进一步解释分类加法计数原理的适用范围：此原理适用于以分步的方式进行计数的情况，即将复杂的问题分解为简单的子问题求解。
2.老师出示一道类似的问题：“在一家餐厅，有3种主食（米饭、面条、馒头）和4种配菜（鸡蛋、番茄、青菜、黄瓜），如果顾客选择一种主食和一种配菜，那么他有多少种选择？”3.学生尝试使用分类加法计数原理解决问题。
第四步：引入新方法1.老师向学生介绍分步乘法计数原理的概念：当一个事件可以通过若干个子事件相继发生来完成时，可以将每个子事件的数量相乘，得出总事件的数量。
2.老师以示例来说明分步乘法计数原理的应用：对于上述餐厅选择问题，我们可以将其分解为选择主食的情况和选择配菜的情况，然后将两个子问题的数量相乘，得到总的选择数量。
第五步：总结规律1.老师向学生总结分类加法计数原理与分步乘法计数原理的异同点：分类加法计数原理适用于将一个事件分解为互不相交的子事件进行计数，而分步乘法计数原理适用于将一个事件分解为相继发生的子事件进行计数。
郑：2-31.1分类计数原理与分步计数原理 导学案--001
课题 1.1分类计数原理与分步计数原理课时 1学习目标①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；重点难点分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)。
分类计数原理与分步计数原理的准确理解学习流程一、知识链接：1：从高二（1）班的50名学生中挑选1名同学担任学校元旦晚会主持人，有多少种不同挑选结果？2：一次会议共3人参加，结束时，大家两两握手，互相道别，请你统计一下，大家握手次数共有多少？自主习：分类计数原理【学法指导】预习教材2页--4页完成以下内容问题1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？分析：给座位编号的方法可分____类方法?第一类方法用，有___ 种方法;第二类方法用，有___ 种方法;∴能编出不同的号码有__________ 种方法.问题2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？分析：从甲地到乙地的方法可分____类方法?第一类方法坐，有___ 种方法;第二类方法坐，有___ 种方法;∴从甲地到乙地共有__________ 种方法根据以上两问题共同特征，归纳新知1、分类计数原理--：完成一件事有_____类不同方案，第1类方案中有种不同的方法，第2类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有N =种不同的方法，这一原理叫做分类加法计数原理.2、加法原理一般归纳：完成一件事情，有n类不同办法，在第1类办法中有1m种不同的方法，在第2类办法中有2m种不同的方法……在第n类办法中有nm种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法. 3、理解分类加法计数原理：分类加法计数原理针对的是分类问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法要相互_______，各类中的各种方法也相对_______，用任何一类中的任何一种方法都可以_______完成这件事.要计算方法种数,只需将各类方法数________,因此分类计数原理又称加法原理独立考：分步计数原理【学法指导】预习教材4页--6页完成以下内容问题3：用前六个大写的英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以,,,,,2121BBAA⋅⋅⋅…的方式给教室的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？分析：每一个编号都是由个部分组成，第一部分是，有____种编法，第二部分是，有种编法；要完成一个编号，必须完成上面两部分，每一部分就是一个步骤，所以，不同的号码一共有个.问题4：从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同的路线有条.分析：每一个路线都是由个部分组成，第一部分是，有____种走法，第二部分是，有种走法；要从A村经B村去C村，必须完成上面两部分，每一部分就是一个步骤，所以，不同的号码一共有个.根据以上两问题共同特征，归纳新知1、分步计数原理－乘法原理：完成一件工作需要_____个步骤，完成第1步有m种不同的方法，完成第2步有n种不同的方法，那么，完成这件工作共有_____种不同方法。
高中数学 第一章 计数原理 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(1)导学案 新人教A版选修
湖北省松滋市高中数学第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（1）导学案新人教A版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（湖北省松滋市高中数学第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（1）导学案新人教A版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为湖北省松滋市高中数学第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（1）导学案新人教A版选修2-3的全部内容。
1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第1课时）【学习目标】1.通过实例，总结出分类计数原理、分步计数原理;2了解分类、分步的特征，合理分类、分步；3.体会计数的基本原则:不重复,不遗漏.重点:归纳地得出分类加法计数原理与分步乘法计数原理.能应用它们解决简单的实际的问题.难点：正确的理解“完成一件事情"的含义。
根据实际问题的特征,正确地区分“分类”与“分步”。
【使用说明与学法指导】1。
课前用20分钟预习课本P2-5内容.并完成书本上练、习题及导学案上的问题导学。
2。
独立思考,认真限时完成，规范书写。
课上小组合作探究，答疑解惑.【问题导学】1。
分类加法计数原理（1）分类加法计数原理:如果完成一件工作有两类不同的方案，由第1类方案中有m种方法,在第2类方案中有n种不同的方法，那么,完成这件工作共有N= 种不同的方法.（2）分类加法计数原理针对的是“分类"问题,其中各种方法相互独立．．．．．．．．．．．．．．．．．．，用其中任何一种方法都可以做完这件事．．．．．．．．．。
2.分步乘法计数原理（1）分步乘法计数原理：完成一件工作需要两个步骤，完成第1步有m种不同的方法，完成第2步有n种不同的方法，那么,完成这件工作共有N= 种不同方法。
分类加法计数原理和分步乘法计数原理教学设计
分类加法计数原理和分步乘法计数原理教学设计教学设计：分类加法计数原理和分步乘法计数原理一、教学目标1.了解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念和应用；2.能够运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决实际问题；3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1.分类加法计数原理的基本概念和应用；2.分步乘法计数原理的基本概念和应用；三、教学过程第一节：分类加法计数原理1.导入（5分钟）-引入生活中的例子，例如：一把铲子可以分为“红色”和“蓝色”两类，一双筷子可以分为“金属”和“木质”两类等。
-引出问题：如果有一个包里有3只红色的铲子和2只蓝色的铲子，这个包里一共有几只铲子？如何快速求解？2.概念解释（10分钟）-解释分类加法计数原理的概念：当一个集合可以分为若干互不相交的类别时，集合的元素个数等于各个类别元素的个数的和。
-通过教师提供的实例，进一步让学生理解概念。
3.核心内容讲解（20分钟）-通过黑板或幻灯片等方式，将分类加法计数原理的基本公式写出来，即：总数=类别1数目+类别2数目+类别3数目+...+类别n数目-以问题解决的方式，将公式的应用过程演示给学生。
4.练习应用（15分钟）-给学生发放习题册，让学生结合自己的实际情况完成其中的练习题。
-教师巡回指导，解答学生提出的问题。
第二节：分步乘法计数原理1.复习（5分钟）-复习分类加法计数原理的概念和应用，让学生回答一些与分类加法计数原理相关的问题。
-引出问题：如果有3件相同的红色上衣和2件相同的蓝色上衣，这些上衣一共有几种穿法？如何快速求解？2.概念解释（10分钟）-解释分步乘法计数原理的概念：当一个事件需要分为若干个步骤进行时，每一步的选择数目乘积等于总方案数。
-通过教师提供的实例，进一步让学生理解概念。
3.核心内容讲解（20分钟）-通过黑板或幻灯片等方式，将分步乘法计数原理的基本公式写出来，即：总方案数=第一步选择数目×第二步选择数目×第三步选择数目×...×第n步选择数目-以问题解决的方式，将公式的应用过程演示给学生。
《分类加法计数原理与分步乘法计数原理-两个基本原理》学案1(人教A版选修2-3)
计数与排列命题人：李娜使用日期2007年12月一、考试要求1理解分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题;2.理解排列的意义;掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题.二．建构知识网络1.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法那么完成这件事共有N=m1+m 2+……+m n 种不同的方法2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事有N=m 1×m 2×……m n 种不同的方法3.两个计数原理的区别:如果完成一件事，有n 类办法，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事,用分类计数原理，如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要完成所有步骤才能完成这件事，是分步问题,用分步计数原理.两个计数原理用来计算完成一件事的不同方法种数的，是计算排列组合,概率统计的基础,在生产,生活及科学实验中有广泛的应用.4.排列:从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素并按一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列.（1）排列数:从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列的个数.（2）排列数公式:)1()2)(1(m n n n n Amn)!(!m nn .A n n=n!=n(n-1)!规定0！=15.带限制条件排列问题（1）限制条件的常见类型及解法：某元素在不在某位置——优先按排受限制的元素或位置；元素相邻——捆绑法，即把相邻元素看成一个元素；元素不相邻——插空法；数的大小,先考虑首位或前几位;整除问题,先看末位;（2）一般思想方法:直接法,间接法,排除法,优先安排特殊元素或位置.务必做到分步清楚,分类明确,不重不漏. 三、经典例题【例1】从集合{1，2，3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有多少个?【例2】二次函数y=ax 2+bx+c 的系数a 、b 、c ，在集合{－3，－2，－1，0，1，2，3，4}中选取3个不同的值，则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线多少条？【例3】有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法?（1）甲不在中间,乙必在两端；（2）甲不在左端,乙不在右端；（3）男、女生分别排在一起；（4）男女相间；（5）甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定.【例4】用0~9这十个数字组成没有重复数字的正整数（1）共有几个三位数? （2）求所有三位数的和;（3）能被4整除的三位数有多少？（4）比5231大的四位数有多少？六．同步练习1.从长度分别为1、2、3、4的四条线段中，任取三条的不同取法共有n 种，在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m ，则nm 等于()A.0B.41 C.21 D.432.若2n 个学生排成一排的排法数为x ，这2n 个学生排成前后两排，每排各n 个学生的排法数为y ，则x 、y 的关系为（）A.x>yB.x<yC.x=yD.x=2y3.6个人并排站成一排，B 站在A 的右边，C 站在B 的右边，则不同的排法总数为A.4433AA B.44AC.3366AAD.3544AA （）４．已知集合A=｛5｝，B={1，2}，C ＝｛1，3，4｝，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为(A)33???(B)34???(C)35???(D)365.(2006全国Ⅰ)安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有__________种（用数字作答）6.(2004四川模拟）在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有__________.。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案
分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案一、教学目标1. 让学生理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念。
2. 培养学生运用分类加法计数原理和分步乘法计法原理解决实际问题的能力。
3. 引导学生通过观察、分析、归纳和推理，形成数学概念。
二、教学内容1. 分类加法计数原理：通过实例让学生理解分类加法计数原理，即在计数时，将事物按照某种特征进行分类，将各类别的事物数量相加。
2. 分步乘法计数原理：通过实例让学生理解分步乘法计数原理，即在计数时，将一个复杂的问题分解成几个简单的步骤，将每一步的数量相乘。
三、教学重点与难点1. 教学重点：让学生掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念及应用。
2. 教学难点：引导学生运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决实际问题。
四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、分析、归纳和推理，形成数学概念。
2. 利用实例讲解，让学生在实际问题中体验和理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理。
3. 设计练习题，让学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。
五、教学准备1. 教学课件：制作课件，展示实例及练习题。
2. 教学素材：准备相关实例，如水果、动物等分类计数问题，以及需要分步解决的问题，如制作午餐、完成作业等。
3. 练习题：设计分类加法计数原理和分步乘法计数原理的练习题。
六、教学过程1. 导入新课：通过一个简单的实例，如计数教室里的学生，引出分类加法计数原理和分步乘法计数原理。
2. 讲解分类加法计数原理：展示实例，让学生观察并分析，引导学生归纳出分类加法计数原理。
3. 讲解分步乘法计数原理：展示实例，让学生观察并分析，引导学生归纳出分步乘法计数原理。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用。
七、课堂练习a) 班级里有男生20人，女生15人，一共有多少人？b) 水果店里有苹果、香蕉和橙子，苹果有10个，香蕉有5个，橙子有8个，一共有多少个水果？a) 小明做作业，一共需要完成3个任务，每个任务需要1小时，一共需要多少小时？b) 小华准备午餐，需要炒菜、煮饭和洗碗，炒菜需要10分钟，煮饭需要30分钟，洗碗需要15分钟，一共需要多少分钟？八、课后作业a) 学校里有小学生、初中生和高中生，小学生有180人，初中生有200人，高中生有150人，一共有多少人？b) 动物园里有鸟类、哺乳动物和爬行动物，鸟类有100只，哺乳动物有200只，爬行动物有50只，一共有多少只动物？a) 小红要做家务，需要打扫卫生、洗衣服和整理房间，打扫卫生需要30分钟，洗衣服需要1小时，整理房间需要45分钟，一共需要多少分钟？b) 小刚准备参加篮球比赛，一共需要进行3场比赛，每场比赛需要40分钟，一共需要多少分钟？九、教学反思1. 反思本节课的教学内容，是否清晰易懂，学生是否掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理。
《1.1.1 分类加法计数原理》 导学案
《1.1.1 分类加法计数原理》导学案学习目标1.理解分类加法计数原理.2.能利用分类加法计数原理分析和解决一些简单的应用问题.3.过程与方法:引导学生形成“自主学习”“合作学习”等良好的学习方式，培养学生的归纳概括能力.重点分类加法计数原理的适用范围.难点分类加法计数原理的准确理解，能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理解决一些简单的实际问题.教学过程在一次“非常6+1”节目中，主持人拿出甲、乙两个信箱，其中甲箱存放着5个、乙箱存放着4个在竞猜中成绩优秀的选手的姓名，主持人要在两个信箱中抽取一名幸运选手，有多少种不同的结果？要正确回答这个问题，就要用到我们今天所要学习的知识.问题1: 完成一件事有两类不同方案，在第一类方案中有m种不同的方法，在第二类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.问题2:分类加法计数原理做一件事情，完成它可以有n类不同的办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有m n种不同的方法.那么，完成这件事共有N=m1+m2+…+m n种不同的方法.问题3:理解分类加法计数原理分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.问题4:利用分类加法计数原理解题时要注意的问题(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏.(2)分类时，注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，不能重复.从以下角度理解分类加法计数原理:(1)各类办法之间相互独立，都能完成这件事，且办法总数是各类办法相加，所以这个原理叫作加法原理；(2)分类时，首先要在问题的条件之下确定一个分类标准，然后在确定的分类标准下进行分类；(3)完成这件事的任何一种方法必属于某一类，且分别属于不同两类的两种方法都是不同的，要做到不重不漏.学习交流1.一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出一本，则不同的取法共有().A.37种B.1848种C.3种D.6种【解析】若取出的书是语文书，有12种方法；若取出的书是数学书，有14种方法；若取出的书是英语书，有11种方法.根据加法原理，不同的取法种数为12+14+11=37.【答案】A2.有A、B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，现在要从三名工人中选2名分别去操作以上车床，不同的选派方法有().A.6种B.5种C.4种D.3种【解析】若选甲、乙二人，包括甲操作A车床，乙操作B车床，或甲操作B车床，乙操作A车床，共有2种选派方法；若选甲、丙二人，则只有甲操作B车床，丙操作A车床这1种选派方法；若选乙、丙二人，则只有乙操作B车床，丙操作A车床这1种选派方法.故共2+1+1=4种不同的选派方法.选C.【答案】C3.若x、y∈N+，且x+y≤6，则有序自然数对(x，y)共有个.【解析】当x=1，2，3，4，5时，y值依次有5，4，3，2，1个，由加法原理，不同的数对(x，y)共有5+4+3+2+1=15个.【答案】154.在一次“非常6+1”节目中，主持人拿出甲、乙两个信箱，其中甲箱存放着5个、乙箱存放着4个在竞猜中成绩优秀的选手的姓名，主持人要在两个信箱中抽取一名幸运选手，有多少种不同的结果？【解析】将选出的幸运选手分成两类:一类来自甲箱中的姓名，有5种方法；一类来自乙箱中的姓名，有4种方法.根据分类加法计数原理可知不同的结果总数有5+4=9种.对分类加法计数原理概念的理解在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B、C三所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下:A大学B大学C大学生物学数学新闻学化学会计学金融学医学信息技术学人力资源学物理学法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？【方法指导】由于这名同学在A、B、C三所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于三所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件.【解析】这名同学可以选择A、B、C三所大学中的一所.在 A 大学中有 5 种专业，在B大学中有4 种专业，在C大学中有3种专业.由于没有一个强项专业是任何两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有5+4+3=12种.【小结】解决这类问题的关键是弄清分类加法计数原理的定义.6.分类加法计数原理的初步应用若自然数n使得作竖式加法n+(n+1)+(n+2)均不产生进位现象，则称n为“良数”.例如:32是“良数”，因为32+33+34不产生进位现象；23不是“良数”，因为23+24+25产生进位现象.求小于100的“良数”的个数.【方法指导】分一位数、两位数两类，分别找出各类中“良数”的个数.【解析】一位数的“良数”有0，1，2，共3个；两位数的“良数”，它的十位数字可以是1，2，3，则两位数的“良数”有10，11，12，20，21，22，30，31，32，共9个.根据分类加法计数原理，共有12个小于100的“良数”.【小结】解题时先确定分几类，然后计算每类“良数”的个数，再根据分类加法计数原理求出“良数”的总个数.7.分类加法计数原理的提升应用射击8枪，其中4枪命中，恰有3枪连中的情形有多少种？【方法指导】分类讨论3枪连中的情形，从前到后依次类推，注意不重不漏.【解析】若第1、2、3枪连中，则命中的另一枪应处于第5、6、7、8枪的位置，有4种情况，如下表:若第2、3、4枪连中，则命中的另一枪应处于第6、7、8枪的位置，有3种情况；若第3、4、5枪连中，则命中的另一枪应处于第1、7、8枪的位置，有3种情况；若第4、5、6枪连中，则命中的另一枪应处于第1、2、8枪的位置，有3种情况；若第5、6、7枪连中，则命中的另一枪应处于第1、2、3枪的位置，有3种情况；若第6、7、8枪连中，则命中的另一枪应处于第1、2、3、4枪的位置，有4种情况.故共有4+3+3+3+3+4=20种情形.【小结】在情况比较少时，应注意列举法的应用.同时，特别要注意分类的情况不能重复也不能遗漏.分类时，首先要确定一个适合于问题的分类标准，然后在此标准下进行分类；其次要注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法是不同的方法.只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理.例题应用某班有男三好学生5名，女三好学生4名，从中任选一人去领奖，有多少种不同的选法？【解析】完成从三好学生中任选一人去领奖这件事，共有两类办法:第一类，从男三好学生中任选一人，共有m1=5种不同的方法；第二类，从女三好学生中任选一人，共有m2=4种不同的方法.根据加法原理，共有N=5+4=9种不同的选法.一蚂蚁沿着长方体的棱，从它一个顶点A爬到相对的另一个顶点C1的最近路线共有多少条？【解析】如图所示，蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法，从局部上看每类又有2条路径，所以，根据加法原理，蚂蚁从顶点A爬到顶点C1的最近路线共有N=2+2+2=6条.高三(1)班有学生50人，男生30人，女生20人；高三(2)班有学生60人，男生30人，女生3 0人；高三(3)班有学生55人，男生35人，女生20人.(1)从高三(1)班或(2)班或(3)班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从高三(1)班、(2)班男生中，或从高三(3)班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？【解析】(1)完成这件事有三类方法:第一类，从高三(1)班任选一名学生共有50种选法；第二类，从高三(2)班任选一名学生共有60种选法；第三类，从高三(3)班任选一名学生共有55种选法.根据分类加法计数原理，任选一名学生任校学生会主席共有50+60+55=165种选法.(2)完成这件事有三类方法:第一类，从高三(1)班男生中任选一名共有30种选法；第二类，从高三(2)班男生中任选一名共有30种选法；第三类，从高三(3)班女生中任选一名共有20种选法.综上所述，共有30+30+20=80种选法.课堂练习1.从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法种数为().A.1+1+1=3B.3+4+2=9C.3×4×2=24D.以上都不对【答案】B2.若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成().A.5部分B.6部分C.7部分D.8部分【解析】如图所示，可知这三个平面把空间分成1+1+1+1+1+1+1=7个部分(①~⑦个部分)，故选C.【答案】C3.8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠亚军，败者角逐第3、4名，则大师赛共有场比赛.【解析】每个小组赛有6场比赛，两个小组有6+6=12场比赛，半决赛和决赛共有2+2=4场比赛，根据分类加法计数原理共有12+4=16场比赛.【答案】164.如右图，电路中共有3个电阻与一个电灯A，若灯A不亮，分析因电阻断路的可能性共有多少种情况.【解析】每个电阻都有断路与通路两种状态，灯A不亮可按以下三种情形分类讨论:(1)1个电阻断路时只有1种情况:R3断路；(2)2个电阻断路时有3种情况:R1和R2，R1和R3，R2和R3断路；(3)3个电阻断路时只有1种情况:R1、R2和R3断路.根据分类加法计数原理可知灯A不亮的情况共有1+3+1=5种.5.(2012年·四川卷)在方程ay=b2x2+c中，a、b∈{1、2、3}，且a、b互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有().A.4条B.6条C.7条D.8条【解析】由方程ay=b2x2+c变形得x2=y-，则要表示抛物线，分b=1、2、3三种情况，当b =1时，则a=2或3，分别对应2条抛物线；同理当b=2或3时，也分别对应2条抛物线.综上所述，共有不同的抛物线2+2+2=6种.【答案】B课后练习1.某省高中数学夏令营活动定在首都北京举行，路线方案:坐汽车有10个班次，列车5个班次，飞机2个航班，则到达首都的方法有().A.10种B.7种C.15种D.17种【解析】到达首都的方法可以分三类，共有10+5+2=17种.【答案】D2.一件工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是().A.8B.15C.16D.30【解析】若工作用第1种方法完成，有3种不同选法；若工作用第2种方法完成，有5种不同选法.根据分类加法计数原理，不同选法的种数为N=3+5=8.【答案】A3.如图，在城市中，M、N两地之间有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N不同的走法共有种.【解析】第一次向北走出现在第1步时，有5种走法；第一次向北走出现在第2步时，有4种走法；第一次向北走出现在第3步时，有3种走法；第一次向北走出现在第4步时，有2种走法；第一次向北走出现在第5步时，只有1种走法；综上，一共有5+4+3+2+1=15种走法.【答案】154.三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是多少？【解析】设较小的两边分别长为x、y，且x≤y，则当x=1时，y=11；当x=2时，y=10，11；当x=3时，y=9，10，11；当x=4时，y=8，9，1 0，11；当x=5时，y=7，8，9，10，11；当x=6时，y=6，7，8，9，10，11；当x=7时，y=7，8，9，10，11；…；当x=11时，y=11.所以不同三角形的个数为1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1 =36.5.在1，2，3，…，200中，能被5整除的数的个数是().A.20B.40C.50D.80【解析】分二类，一类是末位数为0的数，分别为10，20，…，200共20个；另一类是末位数为5的数，分别为5，15，…，195，共20个.根据加法原理，共有20+20=40个.【答案】B6.从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为().A.3B.4C.6D.8【解析】以1为首项的等比数列为1，2，4；1，3，9；以2为首项的等比数列为2，4，8；以4为首项的等比数列为4，6，9，共4个.把这四个数列顺序颠倒，又得到4个数列，故所求数列有8个.选D.【答案】D7.已知集合M={1，-2，3}，N={-4，5，6，-7}，从M，N这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标、纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是.【解析】分两类:第一类，第一象限内的点，有2×2=4个；第二类，第二象限内的点，有1×2=2个.故不同的点的个数有4+2=6个.【答案】68.从1到20这20个正整数中，每次取3个，它们可以组成多少组不同的等差数列？【解析】依题意，要使这三个数成等差数列，公差d的取值可以为±1，±2，…，±9，因此分18类.当d=±1时，可以组成36组不同的等差数列；当d=±2时，可以组成32组不同的等差数列；…；当d=±9时，可以组成4组不同的等差数列.根据分类加法计数原理，共有36+32+28+…+8+4=180组不同的等差数列.9.用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有个. (用数字作答)【解析】数字2，3至少都出现一次，包括以下情况:“2”出现1次，“3”出现3次，共可组成4个四位数；“2”出现2次，“3”出现2次，共可组成6个四位数；“2”出现3次，“3”出现1次，共可组成4个四位数.综上所述，共可组成4+6+4=14个这样的四位数.【答案】1410.方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，其中m∈{1，2，3，4，5}，n∈{1，2，3，4，5，6，7}，那么这样的椭圆有多少个？【解析】以m的值为标准分类，分为五类:第一类:当m=1时，使n>m，n有6种选择；第二类:当m=2时，使n>m，n有5种选择；第三类:当m=3时，使n>m，n有4种选择；第四类:当m=4时，使n>m，n有3种选择；第五类:当m=5时，使n>m，n有2种选择.∴共有6+5+4+3+2=20种方法，即有20个符合题意的椭圆.。
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第一章计数原理1.1分类加法计数原理和分布乘法计数原理1.1.1分类计数原理与分步计数原理学习目标：通过实例分析，抽象概括出分类加法计数原理和分步乘法计数原理。
学习重点：通过实例分析，感受两个原理的异同。
学习难点：分步计数原理中步骤的相互依赖与每步计数中的相互独立之间的关系学习过程：一、自主学习引例1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中，火车有3班，汽车有2班．那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？分类计数原理: 完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，…，在第n类方式中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有：N=m1+m2+……+m n种不同的方法。
(分类计数原理又称为加法原理)引例2：从甲地到乙地，要从甲地选乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地。
一天中，火车有3班，汽车有2班。
那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？这个问题与前一个问题有什么区别？分步计数原理完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步时有m n种不同的方法。
那么完成这件事共有N=m1*m2*……*m n种不同的方法。
（分步计数原理又称为乘法原理）分类计数原理(加法原理)中，“完成一件事，有n 类方式”，即每种方式都可以独立地完成这件事。
进行分类时，要求各类方式彼此之间是相互排斥的，不论那一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事。
只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以。
分步计数原理(乘法原理)中，“完成一件事，需要分成n 个步骤”，是说每个步骤都不足以完成这件事。
如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步有m 种不同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理。
二、合作学习例1，某班共有男生28名、女生20名，从该班选出学生代表参加校学代会。
（1)若学校分配给该班1名代表，有多少种不同的选法？（2）若学校分配给该班2名代表，且男女生代表各1名，有多少种不同的选法？例2、在下面两个图中，使电路接通的不同方法各有多少种？例3、为了确保电子信箱的安全，在注册时，通常要设置电子信箱密码。
在某网站设置的信箱中，（1）密码为4位，每位均为0到9这10个数字中的一个数字，这样的密码共有多少个？（2）密码为4位，每位均为0到9这10个数字中的一个，或是从A 到Z 这26个英文字母中的1个。
这样的密码共有多少个？（3）密码为4到6位，每位均为0到9这10个数字中的一个。
这样的密码共有多少个？（2） B A （1）A B例4、（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？（2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三个项目的冠军，共有多少种可能的结果？（没有并列冠军）例5、某中学的一幢5层教学楼共有3处楼梯，问从1楼到5楼共有多少种不同的走法？例6， 数字1,2,3,可以组成多少个没有重复数字的自然数。
三 课堂检测（100分）（约8分钟）1， ( 1 ）一件工作可以用 2 种方法完成，有 5 人只会用第 1 种方法完成，另有 4 人只会用第 2 种方法完成，从中选出 l 人来完成这件工作，不同选法的种数是＿_____;( 2 ）从 A 村去 B 村的道路有 3 条，从 B 村去 C 村的道路有 2 条，从 A 村经 B 村到C 村 的路线有＿_____2， 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.①从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？②从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？3. 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？4,4封信投入到3个邮箱里去，共有多少种投信的方法？四 课后练习1．乘积12312312345)()()a a a b b b c c c c c ++++++++（展开后共有多少项？2．某电话局管辖范围内的电话号码由八位数字组成，其中前四位的数字是不变的，后四位数字都是0到 9 之间的一个数字，那么这个电话局不同的电话号码最多有多少个？3．从 5 名同学中选出正、副组长各 1 名，有多少种不同的选法？4．某商场有 6 个门，如果某人从其中的任意一个门进人商场，并且要求从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的方式？5.从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通, 从丁地到丙地有2条路可通。
从甲地到丙地共有多少种不同的走法？6.书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书．（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？（2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？7.（1）五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？（2）五名学生报名参加四项体育比赛，他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？第一章计数原理1.1分类加法计数原理和分布乘法计数原理1.1.2分类计数原理与分步计数原理学习目标：通过实例分析，掌握基本的分类和分步的方法。
学习重点：两个原理的综合应用，分类中有分步，分步中有分类。
学习难点：分步计数原理中步骤的相互依赖与每步计数中的相互独立之间的关系学习过程：一自主学习引例1 .如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？引例2，75600有多少个正约数?有多少个奇约数?引例3，给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母 A～G 或 U～Z , 后两个要求用数字1～9．问最多可以给多少个程序命名？分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第 1 步，选首字符；第2步，选中间字符；第3步，选最后一个字符．而首字符又可以分为两类．．二合作学习例1，要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上,4种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？例2、某艺术组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴和会小号的各一人，有多少种不同的选法？例3、用红、黄、蓝不同颜色的旗各一面，每次升一面、两面、三面在某一旗杆上纵向排列，共可以组成多少种不同的信号？例4，4张卡片的正、反面分别写有0与1、2与3、4与5、6与7，将其中的3张卡片排放在一起，共有多少个不同的三位数？例5，某学生宿舍的4位同学在元旦那天每人写了张明信片放在一起，然后发给同宿舍的同学，自己不能拿自己的明信片，问共有多少种分发明信片的方法？三课堂检测1，5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A．10种B．20种 C．25种D．32种2，如图,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为( )A. 180B. 160C. 96D. 603,十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则行车路线共有（）.A.24种B.16种C.12种D.10种4，8.某城市的电话号码，由七位升为八位（首位数字均不为零），则该城市可增加的电话部数是（）A.9×8×7×6×5×4×3×2B.8×97C.9×107D.81×106 5，将1，2，3填入33的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有（用数字作答）四 课后练习1， 用红、黄、蓝不同颜色的旗各一面，每次升一面、两面、三面在某一旗杆上纵向排列，共可以组成多少种不同的信号？2，3张卡片的正、反面分别写有0与1、2与3、4与6，其中6可以当9用，将其中的3张卡片排放在一起，共有多少个不同的三位数？3关于正整数2160，求它有多少个不同的正因数？4，从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有多少种5，x,y 是满足72,41≤≤≤≤y x 的整数，则以（x,y))(y x ≤为坐标的点有多少个6，随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母A,B,C 和 3 个不重复的阿拉伯数字，并且 3 个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现．那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？7.如图,要给下列图一，图二，图三中①,②,③,④四块区域分别涂上四种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,问图一，图二，图三各有多少种涂色方法① ③④ ②① ② ③ ④ ④ ③ ② ① 图一图二 图三第二章计数原理1.1分类加法计数原理和分布乘法计数原理1.1.3分类计数原理与分步计数原理学习目标：通过实例分析，抽象概括出分类加法计数原理和分步乘法计数原理。
学习重点：通过实例分析，掌握基本的分类与分步方法学习难点：分步计数原理中步骤的相互依赖与每步计数中的相互独立之间的关系学习过程：一自主学习⋃= {a,b},的集合A,B共有多少组?引例1满足集合A B二合作学习例1，三个比赛项目，六人报名参加。
１）每人参加一项有多少种不同的方法？２）每项１人，且每人至多参加一项，有多少种不同的方法？３）每项１人，每人参加的项数不限，有多少种不同的方法？⋃={a,b,c}则满足条件的集合B有多少个？例2，已知集合A={ a,b } A B例3，如图从A（左下角）到B（右上角），使路程最短的不同走法有多少种？⊆⊆的集合C有多少个？例4，已知集合A={a},集合B={a,b,c}，问满足条件A C B Array例5，如右图：从城市的西北到东南角有多少种不同走法？（沿最短路径）例6设A={a,b,c,d,e,f},B={x,y,z},（1）从集合A到集合B共有多少种不同的映射?（2）从集合B到集合A的映射，且集合B中的每个元素只有唯一的象，集合A中元素只有唯一的原象，这样的映射有多少个?（3）从集合B到集合A共有多少种不同的映射?三课堂检测1，一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有______条. 2，如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有（）对A.12B.24C.36D.48⋃= {a,b,c},的集合A,B共有_________组.3，满足集合A B4，将３种作物种植在如图所示的4块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有________种（以数字作答）四 课后练习1， 设直线的方程是0=+By Ax ，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A 、 B 的值，则所得不同直线的条数是（ ）A ．20B ．19C ．18D ．162，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个分别作为对数的底和真数，则可以得到的对数值有（ ）个A ，20 B,13 C,9 D,83，如图，用6种不同的颜色把图中A 、B 、C 、D 四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有( )．A ．400种B ．460种C ．480种D ．496种4，从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )A ．85B ．56C ．49D ．285.4个相同的小球放到3个不同的盒子里去，每个盒子至少放一个小球，共有多少种不同的方法__________6．现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值班，共有5个人，每个人都可以值多天班或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，问此值班表共有多少种不同的排法？7．已知集合A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，B ＝{0,1,2,3}，f 是从A 到B 的映射． (1)若B 中每一元素都有原象，这样不同的f 有多少个？(2)若B 中的元素0必无原象，这样的f 有多少个？(3)若f 满足f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋f (a 4)＝4，这样的f 又有多少个？第三章计数原理1.1分类加法计数原理和分布乘法计数原理1.1.4分类计数原理与分步计数原学习目标：通过实例分析，抽象概括出分类加法计数原理和分步乘法计数原理。