分类加法和计数原理导学案

第一章计数原理

1.1分类加法计数原理和分布乘法计数原理

1.1.1分类计数原理与分步计数原理

学习目标：通过实例分析，抽象概括出分类加法计数原理和分步乘法计数原理。学习重点：通过实例分析，感受两个原理的异同。

学习难点：分步计数原理中步骤的相互依赖与每步计数中的相互独立之间的关系学习过程：

一、自主学习

引例1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中，火车有3班，汽车有2班．那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？

分类计数原理: 完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，…，在第n类方式中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有：N=m1+m2+……+m n种不同的方法。(分类计数原理又称为加法原理)

引例2：从甲地到乙地，要从甲地选乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地。一天中，火车有3班，汽车有2班。那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？

这个问题与前一个问题有什么区别？

分步计数原理完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步时有m n种不同的方法。那么完成这件事共有N=m1*m2*……*m n种不同的方法。（分步计数原理又称为乘法原

理）

分类计数原理(加法原理)中，“完成一件事，有n 类方式”，即每种方式都可以独立地完成这件事。进行分类时，要求各类方式彼此之间是相互排斥的，不论那一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事。只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以。

分步计数原理(乘法原理)中，“完成一件事，需要分成n 个步骤”，是说每个步骤都不足以完成这件事。如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步有m 种不同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理。

二、合作学习

例1，某班共有男生28名、女生20名，从该班选出学生代表参加校学代会。

（1)若学校分配给该班1名代表，有多少种不同的选法？

（2）若学校分配给该班2名代表，且男女生代表各1名，有多少种不同的选法？

例2、在下面两个图中，使电路接通的不同方法各有多少种？

例3、为了确保电子信箱的安全，在注册时，通常要设置电子信箱密码。在某网站设置的信箱中，

（1）密码为4位，每位均为0到9这10个数字中的一个数字，这样的密码共有多少个？

（2）密码为4位，每位均为0到9这10个数字中的一个，或是从A 到Z 这26个英文字母中的1个。这样的密码共有多少个？

（3）密码为4到6位，每位均为0到9这10个数字中的一个。这样的密码共有多少个？

（2） B A （1）

A B

例4、（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？（2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三个项目的冠军，共有多少种可能的结果？（没有并列冠军）

例5、某中学的一幢5层教学楼共有3处楼梯，问从1楼到5楼共有多少种不同的走法？

例6， 数字1,2,3,可以组成多少个没有重复数字的自然数。

三 课堂检测（100分）（约8分钟）

1， ( 1 ）一件工作可以用 2 种方法完成，有 5 人只会用第 1 种方法完成，另有 4 人只会用第 2 种方法完成，从中选出 l 人来完成这件工作，不同选法的种数是＿_____;

( 2 ）从 A 村去 B 村的道路有 3 条，从 B 村去 C 村的道路有 2 条，从 A 村经 B 村到C 村 的路线有＿_____

2， 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.

①从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？

②从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？

③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？

3. 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？

4,4封信投入到3个邮箱里去，共有多少种投信的方法？

四 课后练习

1．乘积12312312345)()()a a a b b b c c c c c ++++++++（展开后共有多少项？

2．某电话局管辖范围内的电话号码由八位数字组成，其中前四位的数字是不变的，后四位数字都是0到 9 之间的一个数字，那么这个电话局不同的电话号码最多有多少个？

3．从 5 名同学中选出正、副组长各 1 名，有多少种不同的选法？

4．某商场有 6 个门，如果某人从其中的任意一个门进人商场，并且要求从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的方式？

5.从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通, 从丁地到丙地有2条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？

6.书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书．

（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？

（2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？

（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？

7.（1）五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？（2）五名学生报名参加四项体育比赛，他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？

第一章计数原理

1.1分类加法计数原理和分布乘法计数原理

1.1.2分类计数原理与分步计数原理

学习目标：通过实例分析，掌握基本的分类和分步的方法。

学习重点：两个原理的综合应用，分类中有分步，分步中有分类。

学习难点：分步计数原理中步骤的相互依赖与每步计数中的相互独立之间的关系学习过程：

一自主学习

引例1 .如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？

引例2，75600有多少个正约数?有多少个奇约数?

引例3，给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母 A～G 或 U～Z , 后两个要求用数字1～9．问最多可以给多少个程序命名？

分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第 1 步，选首字符；第2步，选中间字符；第3步，选最后一个字符．而首字符又可以分为两类．

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二合作学习

例1，要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上,4种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？