微观至介观尺度的模拟方法概述讲解

6.1基本原理
元胞自动机方法为模拟动力学系统的演化提供了一种直接 的手段，这些动力学系统包含有大量基于短程相互作用或 长程相互作用的相似组元。
对于简单的物理系统，时间是其惟一个独立变量(自变量)。 这种直接方法，就相当于利用有限差分近似法给出偏微分 方程组的离散解。
元胞自动机方法对“基础实体”类型和选用的变换规则没 有任何限制。它们可以描述：简单有限差分模拟中态变量 值的分布，混合算法的色问题，“教室里的儿童健康情 况”，在任何变换条件下的模糊集合元素，以及元胞的初 级生长与衰减过程等。
微观至介观尺度的模拟
介观模拟方法的共同特点：不明显地包含原子尺 度动力学，而是理想化地把材料作为连续体。
由均匀性基体将晶格缺陷之间的相互作用耦合在 一起。
控制方程中通常不显含内秉空间或时间标度。 含有单个晶格缺陷的连续体介观尺度模型通常由
一系列唯象的偏微分速率和本征结构方程组表述。 采用有限差分法、有限元法或蒙特卡罗方法可以 对这些微分方程近行求解。
另一种自动机是由立方晶格组成的，这时每个点具有一种 颜色，并能按照下述简单的变换规则进行转换：“如果某 点有超过50％的近邻格点(座)是蓝色，则该点就由原色变 成红色”；或者“当有超过75％的近邻格点是红色时，那 么所考察格点的颜色也转换为红色”。若要描述学校里孩 子们之间的相互传染问题，我们可以通过一个规则，亦即 “如果一个教室里有50％的孩子得病．则该教室里其他所 有孩子就被感染”，定义一个元胞自动机。为了使上述简 单唯象模型变得更加合理、真实、可信，应该增加更多的 变换规则。上面的例子可补充这样的规则：“经过一定数 目的时间步之后，受感染的孩子已康复”或“每个孩子只 能被感染一次’’等等。
说，可以用公式写成下式形式：
f , , , , , t0t j
t0 t t0 t t0 t t0
t0 t0
j 1
j
j 1
j1 j j1
(6.1)
tj0表示在时间t0时对应于结点j的态变量值；j+1和j-1表示
格点j的两个最近邻结点。f具体指定了描述变换规则的函 数。
相场动力学或广义Ginzburg-Landau模型 (超导电性，扩散，相变，晶粒生长)
确定性或概率性元胞自动机 (扩散，热传递，相变，再结晶，晶粒生长)
多态动力学波茨(Potts)模型 (相变，再结晶，晶粒生长)
典型应用领域 中的主要介观 尺度模拟方法
几何拓扑和组分模型 (相变，再结晶，晶粒生长)
拓扑网格和顶点模型 (晶界动力学，网格动力学，成核，复原，晶粒生长)
6.1基本原理
例如，用于计算高次多项式系数或裴波那契数的帕斯卡三 角形，可以作为一维元胞自动机。其中规则三角晶格各个 格座对应的值，可通过在其上方的两个数之和给出。在这 种情况下、自动机的“基础实体”是一些无量纲的整数， 其变换定律是求和法则。
一维元胞自动机模型 帕斯卡三角形示意图
6.1基本原理
微观至介观尺度的模拟
微观至介观尺度的模拟
主要研究内容： 微结构演化 （动力学控制） 微结构与其性质之间关系
结构演化的方向——热力学控制 微结构变化路径——动力学控制
结构演化的这种非平衡特性导致了各种各样的晶格 缺陷结构及其相互作用机制。
尺度/m
10-10 ～10-7
10-9 ～10-5 10-9 ～10-4
某种近似可测量，诸如位错密度ρ或局域泰勒因子M)以及
温度T作为态变量。这些变量都是因变量，也就是它们依 赖于自变量，诸如空间坐标(x1，x2，x3)和时间t等。
6.2 CA在材料中的多面性
就特定的研究对象，状态参量应包含在所使用的各种局域 结构演化定律之中。根据局域的信息、数据及变换规律， 可以对诸如复原、成核及其生长等现象的机理结出相应合 理的唯象解释。
6.1基本原理
如果对主微分方程补充上述所说的“如果…就…”的变换 规则，我们就可以对复杂系统的动力学行为特性进行模拟。 通常而言，所考察粒子之间的局域相互作用是这一问题的 根本基础。
尽管元胞自动机模拟一般是在基本尺度层次(例如原子、 原子团簇、位错段、亚晶粒)上完成的，但是作为对连续 体空间进行离散化和映射处理的派生方法，本身不存在物 理特征线度或时间刻度的内秉标定问题。
微观至介观尺度的模拟
非平衡因素 → 材料性质的多样性
应用
性质
材料
微结构机制
微观至介观尺度的模拟
介观尺度模拟的特点： 处理的原子数目巨大(≈1023个/cm3)。
排除了 （1）严格求解薛定谔方程 （2）由唯象原子论方法(如与经验势相联系的
分子动力学)来完成。 必须建立能覆盖较宽尺度范围的恰当的介观 尺度模拟方法，以便给出远远超过原子尺度 的预测。
微观至介观尺度的模拟
时空标度参数和离散度的确定由微分方程及其系数、变量 所拥有的特点和性质决定。
作为态变量(例如原子浓度，位锗密度，结构参数，位移 或品格取向)，通常被并进空间格栅坐标；
控制微分方程被用于局域或整体情况，这取决于相互作用 的性质(短程或长程)。
能够利用连续体近似方法对介观尺度的结构演化进行预测、 意义重大，因为唯象态方程和结构演化定律已在介观尺度 进行很好地研究，其实验数据的获得比在微观尺度更容易， 而且数据信息比在宏观尺度更详细。
6.1基本原理
对于在规则晶格结构方面的应用是比较容易。
对于非均匀介质，在讨论的晶格区域采用较小的晶格间距 比较妥当；而且，还必须考虑对变换速率进行合理修正和 重正化。
元胞自动机以离散时间步发展演化。经过一个时间间隔， 要对所有结点的态变量值同时更新。
广义微结构元胞自动机可以采用元胞或格座的离散空间格 栅，在空间上通常被认为是均匀的，所有格座都是等价的， 并被排布在规则晶格上，其中的变换规则在各处都是一样 的。假定它们是有限个可能状态中的一个，并对所有元胞 状态同步更新。此外，它们与常规自动机不同的是，格座 变换既可以按照确定性定律，也可以按照概率性定律。
通过确定二维或三维空间格栅所对应的态变量，元胞自动 机模拟可以应用于对微结构的非均匀性质的研究，其中包 括诸如第二相、微带、剪切带、过渡带、异相界面、晶界 和孪晶等。这些局域性缺陷结构，可以借助其态变量的相 应值或梯度值进行表述；用高位错密度和大的局域晶格曲 率表征剪切带的特性。对于一个给定杂质含量的晶界迁移 率m，可以采用相邻晶粒之间的取向偏差Δg和晶界法线的 空间取向n来表征。
6.3 元胞自动机的一般表述
几种邻接状态
冯·诺伊曼邻接
结点状态仅取决于最邻近结点
摩尔邻接 结点状态取决于最邻近结点和次邻近结点
扩展摩尔邻接
考虑两层邻近的元胞
马哥勒斯邻接
每次考虑一个2×2的元胞块
邻接类型影响系统的转换速率和演化形态。
对连续体系统的元胞自动机模拟，需要定义相应的基本单 元和对应的变换规则，以便恰当地展现系统在给定层次上 的行为特性。
6.1基本原理
从物理角度看，分子动力学表示的是真正的微观模型，而 在使用元胞自动机方法时，并不局限任何特定体系，可适 用于任何系统。与蒙特卡罗方法相比，由元胞自动机方法 得到的平衡系综的热力学量，在物理上更缺少依据和基础。 由于这个原因，在进行元胞自动机计算机实验之前，一个 重要工作就是，检验基本模拟单元是否切实体现了“基础 物理实体”的特性。由于元胞自动机的应用并不局限于微 观体系，所以它为在微结构模拟中实现不同空间及时间尺 度的方法之间的跨越，提供了一个非常方便的数值工具。
微观至介观尺度的模拟
连续体模型 原子运动方程的严格解或近似解 （薛定谔方程或分子动力学） ——替换为——平均本征结构关系式
介观尺度机理和本构定律的复杂性和多样性，导 致建立介观尺度模型的方法的不唯一性。
空间及时间离散化介观尺度模拟方法
空间及时间离散化位错动力学 (晶体塑性，复原，织构，断裂)
6.3 元胞自动机的一般表述
在元胞自动机中，邻接格座的局域相互作用，是通过一套
确定性或概率件变换规则具体确定的。在时间(t+Δt)时， 对应于某特定格座的态变量值ξ将由目前状态(t0) (或最接 近的几个态t0，t0-Δt等)及其邻近格点的状态决定。若只考 虑最邻近的两个时间步，则对于一维元胞自动机的演化来
第6章 元胞自动机
6.1基本原理
元胞自动机是描述和处理复杂系统在离散空间-时间上演 化规律的算法，通常采用对晶格格座的局域或整体的确定 性和概率性变换规则进行具体操作。
空间变量可以代表实空间、动量空间或波矢空间。 其晶格定义为具有固定数目的点，一般是规则晶格，但其
维数及大小可以是任意的。它表述了系统由基础实体形成 的构象。 这些“基础实体” 可以是任意大小的连续体型体积单元、 原子颗粒、晶格缺陷或生物界中的动物等等。
10-9 ～10-3 10-8 ～10-5 10-8 ～10-4 10-8 ～10-3
10-8 ～10-2 10-8 ～10-1 10-7 ～10-1 10-7 ～100 10-7 ～100
10-6 ～101
微结构的实物空间和时间尺度
特性、现象或缺陷
点缺陷，原子团簇，短程有序，在玻璃态和界面中的结构单元，位错 芯，裂纹尖端，原子核 失稳分解，涂层，薄膜，表面腐蚀 二嵌段共聚物，三嵌段共聚物，星形共聚物，大质量的非热变化，界 面网格，位错源，堆积效应 粒子、沉积物，枝晶，共晶，共析 微裂纹，裂纹，粉末，磁畴，内应力 堆垛层错，微带，微孪晶，位错通道 聚合物中的球晶，存在于金属、陶瓷、玻璃及聚合物中的结构畴或晶 粒团簇（对于多晶或非晶的情况） 聚合物中的构象缺陷团簇 位错，位错壁，旋错，磁壁，亚晶粒，大角晶界，界面 晶粒，剪切带，复合材料的第二相 扩散，对流，热传递，电流传输 微结构逾渗路径(断裂，再结晶，界面润湿，扩散，腐蚀，电流，布洛 赫壁) 表面，样品断面收缩，断面
6.1基本原理
在材料科学中，有时对常规有限差分计算方法补充一些 “如果…就…”规则可以为处理“数学上的奇点(即非光滑 函数表述中的临界或自发效应)问题提供了一种简单有效 的途径。事实上，这些规则经常出现在微结构模拟中。例 如， 在离散位错动力学模拟中，“如果两个反平行螺位错 相互靠近到其间距小于5个伯格斯矢量时，它们就会自发 湮没”；在断裂力学或弹簧模型中，会经常包含这样的规 则：“如果裂纹速度达到某一个值，试验样品将自发损 坏”；在重结晶模拟中，会经常遇到这样的规则：“如果 晶体局城取向误差达到某一个值，格座将满足成核的动力 学非稳定性临界条件。”或“局域储存的弹性能达到某个 临界值，格座将满足成核的热力学非稳定性条件”。
元胞自动机的原理应用于城市规划
6.1 基本原理
基本实体，由广义态变量(诸如无量纲数、粒子密度、晶 格缺陷密度、粒子速度、颜色、血压或动物种类等)进行 量化表述。
在每一个独立的格座，这些态变量的实际取值都是确定的。 并且认为，每一个结点代表有限个可能的离散状态中的一 个态。
通过将某些变换规则应用于每个结点状态，就会发生自动 机的演化。这些规则决定着晶格格座的状态；对于局域规 则，格座状态是其前一状态及近邻格点(座)状态的函数， 而在整体变换规则下，则为所有格座状态的函数。传统元 胞自动机大多采用局域变换规则。
6.2 CA在材料中的多面性
由于在考虑大量可能的空间态变量及变换规则时所展现的 广泛适用性和灵活性。元胞自动机方法在对由再结晶、晶 粒生长及相变现象等形成的微结构进行模拟时，表现出特 有的多面性。
例如，对于再结晶和晶粒生长，元胞自动机可以离散化方 式同时描述局域结晶结构及其形成过程。为了实现对这些 特性的描述，一般是将局域晶体Βιβλιοθήκη Baidu向g、储存的弹性能(即
6.1基本原理
元胞自动机并不简单地等同于普通模拟方法，例如各种有 限差分法、有限元法、伊辛(Ising)法、波茨(Potts)方法等。
元胞自动机具有广泛的适用性和多功能的特点，是离散计 算方法的普遍化推广。
这种灵活适用性是基于这样一个事实：除了采用简明的数 学表达式作为变量和变换规则之外，如果需要的话，自动 机能够包括任何元素或规则。