高中数学必修五学案：3-1不等式复习
高中数学 第三章 不等式复习教案 新人教B版必修5
第三章 不等式整体设计教学分析本章知识网络本章复习建议本章为高中5个必修中的最后一章，我们在这一章中重点探究了三种不等式模型，即一元二次不等式、二元一次不等式(组)及均值不等式，在了解了这三种不等式的实际背景的前提下，重点探究了不等式的应用，那么如何复习好不等式这一章的内容呢？总纲是复习不等式要结合函数思想，数形结合思想，等价变换思想，以及分类讨论思想，类比思想，换元思想等．1．充分认识不等式的地位与作用．不等式是中学数学的重要内容，是求解数学问题的主要工具，它贯穿于整个高中数学的始终，诸如集合问题、方程(组)的解的讨论、函数性质的确定、三角、数列、立体几何中的最值问题等内容，无一不与不等式有着密切联系，它所涉及内容的深度与广度是其他章节无法相比的．因此，不等式是永不衰退的高考热点，必须加强对不等式的综合复习与所学全章知识的整合．2．加深对不等式性质的理解．不等式的基本性质在证明不等式和解不等式中有着广泛的应用，它又是高等数学的基础知识之一，因此，它是高考试题的热点，有时通过客观题直接考查不等式的某个性质，有时在解答题中的证明不等式或解不等式中，间接地考查不等式的性质，高考试题也直接或间接考查均值不等式及其他重要不等式的应用，不等式的性质更是求函数定义域、值域、求参数的取值范围等内容的重要手段．在解不等式中往往与函数概念，特别是二次函数、指数函数、对数函数等密切联系，因此在复习中对不等式性质的条件与结论要彻底弄清．解题时由于忽略某些条件而造成的错误屡见不鲜，如a ＞b ，＞bc(忘了c ＞0)， ⎭⎪⎬⎪⎫a>b c>d ⇒ac ＞bd(忘了a 、b 、c 、d∈R ＋)等等．3．加强等价变换在解不等式中的运用．解不等式是通过等价变形转化为简单不等式，从而得到解集．一定要注意变形是同解变形，即每一步变换必须既充分又必要．含参数的不等式或超越不等式必须进行讨论．在讨论时常要用到逻辑划分的思想进行分类，然后对划分的每一类分别进行求解，再综合得出答案．在确定划分标准时应本着“互斥、无漏、最简”的原则，有的问题还可能进行二次分类．另外一定要区分是“分类问题”的解集还是“分段问题”的解集．4．注重在证明不等式中推理论证能力的提高．不等式的证明非常活跃，它可以和很多内容结合，是高中数学的一个难点，又是历届高考中的热点问题．证明时不仅要用到不等式的性质，还要用到不等式证明的技能、技巧，其中，均值不等式是证明不等式的主要依据．证明不等式的方法有很多，比如常用的有比较法(归0、归1)、分析法、综合法等．5．解不等式是高考中的常见题型，尤其是含参数的指、对数不等式解法及绝对值不等式．一是绝对值不等式因与数、式、方程、集合、函数、数列等发生联系，在高考中频繁出现．这类题目思考性强，灵活新颖，对分析能力要求较高，解题的基本思路是等价转换，基本方法是化归化简．二是加强“三个二次结合”的深刻理解．一元二次方程、一元二次不等式及二次函数简称“三个二次”，它们互相联系，互相渗透，使这个“知识块”的内容异常丰富，是历年高考命题的重点．求解时，常用到的基本知识有二次方程的实根分布、韦达定理、二次函数图象及函数性质等．很多学生往往因为这个知识块的薄弱而阻碍了数学能力的提高．6．不等式的应用是本章的重点．不等式的应用主要表现在三个方面：一是研究函数的性质，如求函数定义域、值域、最大值、最小值、函数单调性等；二是方程与不等式解的讨论；三是用线性规划或均值不等式解决实际问题．对于第一个方面，要求学生运算准确．第二个方面，我们知道方程和不等式在一定条件下可以互相转化，函数与不等式在一定条件下也可以相互转化．这种对立统一的观点是我们进一步提高分析问题和解决问题的基础，使我们了解研究对象在运动过程中哪些是保持不变的规律和性质，哪些是变化的规律和性质．第三个方面，可以说在数学各章节中都存在着大量的数学模型，只要我们揭示这些模型的本质规律，就一定能培养出学生的创新能力，真正做到以不变应万变．本章复习分为两课时完成，第一课时侧重三种不等式模型的复习，第二课时侧重线性规划的复习．三维目标1．通过本章的综合复习，理解并掌握不等式的性质，理解不等关系、感受在日常生活中存在着大量的不等关系、了解不等式(组)的实际背景，能用不等式的基本性质比较代数式的大小；掌握用二元一次不等式表示平面区域的方法，会用线性规划解决实际生活中的常见问题；理解并掌握均值不等式a ＋b 2≥ab(a ＞0，b ＞0)的应用方法与技巧． 2．通过对一元二次不等式解法的复习，设计求解的程序框图，深刻理解三个二次之间的关系．以二次函数为中心，运用二次函数的图象、性质把其余两个联系起来，构成知识系统的网络结构；通过线性规划的最优解，培养学生的观察、联想、画图能力，渗透数形结合等多种数学思想，提高学生建模能力和分析问题、解决问题的能力．3．通过对全章内容的复习，培养学生严谨的思维习惯，主动积极的学习品质，通过富有挑战性问题的解决，激发学生的探究精神和严肃认真的科学态度；同时感受数学的应用性，体会数学的奥妙，感受数学的美丽生动，从而激发学生的学习兴趣并树立辩证的科学世界观．重点难点教学重点：1.进一步掌握三种不等式模型〔一元二次不等式、二元一次不等式(组)、均值不等式〕的概念、方法及应用．2．深化平面区域和线性规划的意义及约束条件、目标函数、可行域、最优解等概念的理解，加深对线性规划解决实际问题的认识．3．掌握构建均值不等式解决函数的最值问题，利用均值不等式解决实际问题．教学难点：三个二次的灵活运用；用线性规划解决实际问题的建模问题；均值不等式解函数最值的正确运用．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路 1.(直接导入)通过我们的共同努力，我们学到了有关不等式更多的知识与方法，提高了我们解决实际问题的能力，认识了数学的魅力；通过上节的课后作业——阅读本章小结，你是怎样对本章的知识方法进行整合的？由此展开新课．思路 2.(问题导入)先让学生结合本章小结，回忆我们是怎样探究本章知识的？经历了怎样的探究活动？你能尝试着自己画出本章的知识网络结构图吗？根据学生回答和所画的知识网络结构图，自然地引入新课．推进新课新知探究提出问题本章共研究了几种不等式模型？不等式有哪些性质？怎样求解一元二次不等式的解集？怎样画一元二次不等式的程序框图？均值不等式a＋b2≥ab 的应用条件是什么？主要用它来解决哪些问题？三个二次”是指哪三个？它们之间具有怎样的关系？活动：教师让学生充分回忆思考，并结合以上问题用多媒体课件与学生一起探究．本章共研究了三种不等式模型，它们分别是一元二次不等式、二元一次不等式(组)、均值不等式a＋b2≥ab(a＞0，b＞0)．由实数的基本性质，我们推出了常用的不等式的4条性质5个推论，教师可结合多媒体课件给出这些性质．在这些基本性质的基础上，我们接着探究了均值不等式a＋b2≥ab(a＞0，b＞0)的代数及几何意义，以及均值不等式在求最值、证明不等式方面的应用．在温故知新的基础上，我们又探究了一元二次不等式的解法和明确了“三个二次”之间的关系，并用一个程序框图把求解一元二次不等式的过程表示了出来，为前面学过的算法找到了用武之地．对一元二次不等式的求解集问题，老师可借助多媒体给出以下表格让学生填写，加深对“三个二次”关系的理解.x1,2＝－b±Δ2ax1＝x2＝－b2a由于本章是高中必修内容的最后一章，通过对以上内容的归纳整合，我们对不等式有了全面系统的认识，也因此对高中必修内容有了整体的理解．应用示例例1已知集合A ＝{x|x 2＋2x －8＜0}，B ＝{x|| x ＋2|＞3}，C ＝{x|x 2－2mx ＋m 2－1＜0，m∈R }．若(1)A∩C＝Ø，(2)A∩B ⊆C ，分别求出m 的取值范围．活动：本例可让学生自己探究解决，或可让两名学生到黑板板演，教师针对出现的问题作点评．解：(1)∵A＝{x|－4＜x ＜2}，B ＝{x|x ＞1或x ＜－5}，C ＝{x|m －1＜x ＜m ＋1}， 欲使A∩C＝Ø，只需m －1≥2或m ＋1≤－4.∴m≥3或m≤－5.(2)欲使A∩B ⊆C ，∵A∩B＝{x|1＜x ＜2}，只需⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≤1，m ＋1≥2，即⎩⎪⎨⎪⎧ m≤2，m≥1，即1≤m≤2.点评：本例体现了一元二次不等式与集合的交汇．变式训练设集合A ＝{x|(x －1)2＜3x ＋7，x∈R }，则集合A∩Z 中有__________个元素． 答案：6解析：由(x －1)2＜3x ＋7可得－1＜x ＜6，结合题意可得A ＝(－1,6)．例2若正数x 、y 满足6x ＋5y ＝36，求xy 的最大值．活动：均值不等式的功能就是“和积互化”．通过此例，教师引导学生回忆如何用均值不等式求最值．本例中把积化为和而和恰好为定值，应联想均值不等式．解：∵x、y 为正数，则6x 、5y 也是正数，∴6x ＋5y 2≥6x·5y＝30xy ， 当且仅当6x ＝5y 时，取“＝”．∵6x＋5y ＝36，则30xy ≤362，即xy≤545.∴xy 的最大值为545. 点评：本例旨在说明均值不等式的应用．事实上，∵6x＋5y ＝36，∴y＝36－6x 5.代入xy ，得xy ＝x·15(36－6x)＝－65x 2＋365x(x ＞0)，利用二次函数的图象和性质也很容易解出来，教师可在活动前向学生说明．学生用均值不等式解完此题后，结合学生的板书，对出现的漏洞或错误进行一一点拨．变式训练已知2x ＋3y＝2(x ＞0，y ＞0)，则xy 的最小值是__________． 解法一：由x ＞0，y ＞0，得2＝2x ＋3y ≥22x ·3y. ∴xy≥6，当且仅当2x ＝3y＝1，即x ＝2，y ＝3时，xy 取得最小值为6. 解法二：令2x ＝2cos 2θ，3y ＝2sin 2θ，θ∈(0，π2)，∴x＝22cos 2θ，y ＝32sin 2θ. ∴x·y＝64sin 2θcos 2θ＝6sin 22θ. ∵sin 22θ≤1，当且仅当θ＝π4时等号成立，这时x ＝2，y ＝3.∴xy 的最小值是6. 解法三：由2x ＋3y ＝2，得y ＝3x 2x －2.∴xy＝3x 2－(x ＞1)． 令x －1＝t ，t ＞0，x ＝t ＋1.∴3x 2－＝＋22t ＝32(t ＋1t ＋2)≥32(2t·1t＋2)＝6.当且仅当t ＝1时等号成立，即x －1＝1，x ＝2.∴xy 有最小值6.答案：6例3不等式ax x －1＜1的解集为{x|x ＜1或x ＞2}，求a. 活动：本例不是一元二次不等式，但可转化为一元二次不等式的形式来思考．训练学生的等价转化能力．解法一：将ax x －1＜1化为－＋1x －1＜0，即[(a －1)x ＋1](x －1)＜0. 由已知，解集为{x|x ＜1或x ＞2}可知a －1＜0，∴[(1－a)x －1](x －1)＞0.∴(1－a)x －1＜0，x ＞11－a .于是有11－a ＝2.解得a ＝12. 解法二：原不等式转化为[(a －1)x ＋1](x －1)＜0，即(a －1)x 2＋(2－a)x －1＜0. 依题意，方程(1－a)x 2＋(a －2)x ＋1＝0的两根为1和2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 11－a ＝2，a －2a －1＝3，解得a ＝12. 点评：本例是一道经典题目，学生完成后，可让他们互相交流一下解法，体会等价转化的意义．变式训练若关于x 的不等式x －a x ＋1＞0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a ＝__________. 答案：4例4为了保护环境，造福人类，某县环保部门拟建一座底面积为200 m2的长方体二级净水处理池(如图)，池深度一定，池的外壁建造单价为每平方米400元，中间一条隔墙建造单价为每平方米100元，池底建造单价为每平方米60元．一般情形下，净水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低？活动：教师引导学生观察题目的条件，可以先建立目标函数，再求解．可让学生独立探究，必要时教师给予适当的点拨．解：设净水池长为x m ，则宽为200xm ，高为h m ，则总造价 f(x)＝400(2x ＋2·200x )·h＋100·200x ·h＋60×200＝800h(x ＋225x)＋12 000(x ＞0)， 当且仅当x ＝225x(x ＞0)，即x ＝15时上述不等式取到等号．故当净水池的长设计为15 m 时总造价最低．点评：对应用问题的处理，关键是把实际问题转化成数学问题，列好函数关系式是求最值的基本保证．用均值不等式创设不等量关系，也是经常采用的方式方法，让学生以后在解决有关最值问题时注意这条解题思路的灵活应用．知能训练1．已知集合A ＝{x||2x ＋1|＞3}，B ＝{x|x 2＋x －6≤0}，则A∩B 等于( )A ．[－3，－2)∪(1,2]B ．(－3，－2]∪(1，＋∞)C ．(－3，－2]∪[1,2) D．(－∞，－3)∪(1,2]2．已知a∈R ，二次函数f(x)＝ax 2－2x －2a ，设不等式f(x)＞0的解集为A ，又知集合B ＝{x|1＜x ＜3}，若，求a 的取值范围． 3．已知关于x 的不等式x ＞ax 2＋32的解集是{x|2＜x ＜m}，求不等式ax 2－(5a ＋1)x＋ma ＞0的解集．4．解关于x 的不等式(x －2)(ax －2)＞0.5．已知a 、b 、c 、d∈R ，求证：ac ＋bd≤2＋b 22＋d 2.答案：1．A 解析：易得A ＝{x|x ＞1或x ＜－2}，B ＝{x|－3≤x≤2}．则A∩B＝{x|1＜x≤2或－3≤x＜－2}．2．解：由f(x)为二次函数，知a≠0.令f(x)＝0，解得其两根为x 1＝1a －2＋1a 2，x 2＝1a ＋2＋1a 2.由此可知x 1＜0，x 2＞0. (1)当a ＞0时，A ＝{x|x ＜x 1}∪{x|x＞x 2}．的充要条件是x 2＜3，即1a ＋2＋1a 2＜3，解得a ＞67. (2)当a ＜0时，A ＝{x|x 1＜x ＜x 2}．的充要条件是x 2＞1，即1a ＋2＋1a 2＞1，解得a ＜－2. 综上，使成立的a 的取值范围为(－∞，－2)∪(67，＋∞)． 3．解：x ＞ax 2＋322－x ＋32＜0,2＜x ＜m －2)(x －m)＜2－(2＋m)x ＋2m ＜0.对照不等号方向及x 2的系数可知a ＞0且a 1＝12＋m ＝322m ，解得a ＝18，m ＝36. ∴ax 2－(5a ＋1)x ＋ma ＞18x 2－(5×18＋1)x ＋36×18＞2－13x ＋36＞－4)(x－9)＞＜4或x ＞9. 点评：条件中的不等式含参数a ，而其解集中又含有参数m ，似乎有较大难度．策略之一，求出原不等式的解集，与{x|2＜x ＜m}比较；策略之二，抓住解集，即写出解集为{x|2＜x ＜m}的一元二次不等式，再与原不等式比较，若只求原不等式的解集，需讨论．4．解：(1)当a ＝0时，原不等式化为x －2＜0，解集为{x|x ＜2}．(2)当a ＜0时，原不等式化为(x －2)(x －2a )＜0，这时两根的大小顺序为2＞2a，所以解集为{x|2a＜x ＜2}． (3)当a ＞0时，原不等式化为(x －2)(x －2a)＞0，①当0＜a ＜1时，两根的大小顺序为2＜2a ，所以原不等式的解集为{x|x ＞2a或x ＜2}；②当a ＝1时，2＝2a，所以原不等式的解集为{x|x≠2且x∈R }； ③当a ＞1时，两根的大小顺序为2＞2a ，解集为{x|x ＞2或x ＜2a}． 综上所述，不等式的解集为a ＝0时，{x|x ＜2}，a ＝1时，{x|x≠2}，a ＜0时，{x|2a＜x ＜2}，0＜a ＜1时，{x|x ＞2a 或x ＜2}，a ＞1时，{x|x ＞2或x ＜2a}． 点评：本例应对字母a 分类讨论，分类的原则是不重、不漏．解完后教师引导学生思考本例的解法并注意书写的规范性．5．证明：∵(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋b 2c 2＋a 2d 2＋b 2d 2＝(a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2)＋(b 2c 2－2abcd ＋a 2d 2)＝(ac ＋bd)2＋(bc －ad)2≥(ac＋bd)2， ∴2＋b 22＋d 2≥|ac＋bd|≥ac＋bd. 点评：能否联想到均值不等式ab ≤a ＋b 2或其变形形式上来？关键是探究根号里面的(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)的变形问题． 课堂小节1．由学生回顾本节课我们复习了哪些知识、方法？解决了哪些问题？通过本节复习，你有哪些收获？2．通过本节复习，深化了“三个二次”之间的关系，加深了不等式基本性质的理解，进一步熟悉了数形结合、方程等数学思想方法；熟悉了简单不等式的证明思路，沟通了各知识点之间的关系．从更高的角度理解了相等和不等的关系，体会了数学来源于生活的道理，也认识到了数学的系统美、严谨美与简洁美．作业本章巩固与提高A 组3、4、7、8、9；B 组6、7、8、9.设计感想1．本课时设计体现了复习课的特点，从更高的角度对本章知识方法进行整合．复习不是简单的重复或阅读课本，把“发展为本”作为教学设计的中心，使各层次的学生在各个方面都有所提高，达到“温故而知新”的目的．2．本课时设计重视了学生的探究活动，让学生在教师的引导下自主探究，避免了学生只当观众、听众．设计中体现把复习的机会还给学生，充分让学生在知识整合的基础上，再发展、再创造．3．本课时设计体现了复习中前后知识的联系．注重了复习应涉及哪些内容？重难点是什么？与其前沿知识和后继知识有哪些联系？在复习过程中应该注意什么等．针对这些情况，教师应该做到心中有数，这样，在复习过程中，才能够做到步步到位，使学生在复习中不至于盲目无从．(设计者：郑吉星)第2课时导入新课思路 1.(复习导入)上节课我们重点复习了不等式的基本性质，一元二次不等式的解法及均值不等式的应用．本节将重点对平面区域和线性规划问题做一归纳整合，由此展开复习．思路 2.(直接引入)我们曾对平面区域，线性规划问题进行了探究，解决了我们日常生活中有关资源的分配，人力、物力的合理利用等最优问题．本节课我们将对这些内容做进一步的回顾与提高，进一步提高线性规划这一数学工具的应用．推进新课新知探究提出问题在直角坐标系中，怎样用二元一次不等式组的解集表示平面上的区域？确定二元一次不等式表示的区域的方法是什么？利用线性规划可解决哪些实际问题？渗透了哪些数学思想方法？解线性规划实际问题的方法步骤是什么？活动：教师引导学生回忆并思考以上问题．我们知道二元一次方程ax＋by＋c＝0表示平面坐标系中的一条直线．这条直线把直角坐标系内的点分成了三部分：在直线ax＋by＋c ＝0上或两侧．在直线上的点的坐标满足ax＋by＋c＝0，两侧点的坐标则满足ax＋by＋c＞0或ax＋by＋c＜0.这样，二元一次不等式ax＋by＋c＞0在平面直角坐标系中表示直线ax ＋by＋c＝0某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线；若画不等式ax＋by＋c≥0表示的平面区域时，此区域包括边界直线，则把边界直线画成实线．由于对在直线ax＋by＋c＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入ax＋by＋c，所得的实数的符号都相同，故只需在这条直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，以a0x＋b0y＋c的正负情况便可判断ax＋by＋c＞0表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当c≠0时，常把原点作为此特殊点．(此时，教师用投影仪给出下面的图形归纳)用二元一次不等式表示平面区域可分为如下四种情形：Ax＋By＋C≥0 (A＞0，B＞0，C＜0)Ax＋By＋C≤0(A＞0，B＞0，C＜0)Ax＋By＋C≥0(A＞0，B＜0，Ax＋By＋C≤0(A＞0，B＜0，本节课内容渗透了多种数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材．通过本节课的复习，让学生进一步了解到线性规划是利用数学为工具，来研究一定的人、财、物等资源在一定条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源，取得最大的经济效益．它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，并能解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题．这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法——数学建模法．简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：(1)阅读题意，寻找线性约束条件，线性目标函数；(2)由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域(即画出不等式组所表示的公共区域)；(3)在可行域内求目标函数的最优解(设t＝0，画出直线l0，观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解)；(4)由实际问题的实际意义作答．讨论结果：(1)～(4)略．应用示例例1画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6≥0，x －y≥0，y≤3，x ＜5表示的平面区域．活动：为了让全体学生都能准确地画出平面区域，教师可请两名学生上黑板板演，然后对出现的问题作点评．解：不等式x ＋y －6≥0表示在直线x ＋y －6＝0上及右上方的点的集合，x －y≥0表示在直线x －y ＝0上及右下方的点的集合，y≤3表示在直线y ＝3上及其下方的点的集合，x ＜5表示直线x ＝5左方的点的集合，所以不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6≥0，x －y≥0，y≤3，x ＜5表示的平面区域如图所示．点评：画平面区域是学生易错的地方，也是用线性规划解决实际问题的关键步骤，一定让学生准确掌握．变式训练已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，y≤2x－1，x ＋y≤m，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于( )A ．7B ．5C ．4D ．3 答案：B解析：画出x ，y 满足的可行域，可得直线y ＝2x －1与直线x ＋y ＝m 的交点使目标函数z ＝x －y 取得最小值．故由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x ＋y ＝m ，解得x ＝m ＋13，y ＝2m －13.代入x －y ＝－1，得m ＋13－2m －13＝－1，解得m ＝5.例2某机械厂的车工分Ⅰ、Ⅱ两个等级，各级车工每人每天加工能力、成品合格率及日工资数如下表所示：工厂要求每天至少加工配件2 400个，车工每出一个废品，工厂要损失2元，现有Ⅰ级车工8人，Ⅱ级车工12人，且工厂要求至少安排6名Ⅱ级车工，试问如何安排工作，使工厂每天支出的费用最少．活动：学生对求解简单线性规划实际应用问题的步骤已经是很熟悉，让学生独立解决问题，有助于学生解题能力的锻炼与培养．本例的关键是列出约束条件和目标函数，再就是画平面区域．解：根据题意列出线性约束条件和目标函数．设需Ⅰ、Ⅱ级车工分别为x 、y 人． 线性约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧97%·240x＋95.5%·160y≥2 400，0≤x≤8，6≤y≤12，化简即为⎩⎪⎨⎪⎧29.1x ＋19.1y≥300，0≤x≤8，6≤y≤12.目标函数为z ＝[(1－97%)·240x＋(1－95.5%)·160y]×2＋5.6x ＋3.6y ， 化简即为z ＝20x ＋18y.根据题意知即求目标函数z 的最小值．画出约束条件的可行域，如图，根据图知，点A(6,6.3)应为既满足题意，又使目标函数最小．然而A 点非整数点．故在点A 上侧作平行直线经过可行域内的整点，且与原点距离最近，可知(6,7)为满足题意的整数解．此时zmin＝20×6＋18×7＝246(元)，即每天安排Ⅰ级车工6人，Ⅱ级车工7人时，工厂每天支出费用最少．答：每天安排Ⅰ级车工6人，Ⅱ级车工7人，工厂每天支出费用最少．点评：通过本例的求解我们可以看出，处理简单的线性规划的实际问题，关键之处在于从题意中建立目标函数和相应的约束条件，实际上就是建立数学模型．这样解题时，将所有的约束条件罗列出来，弄清目标函数与约束条件的区别，得到目标函数的最优解．例3A、B两个产地分别生产同一规格产品12千吨、8千吨，而D、E、F三地分别需要8千吨、6千吨、6千吨，每千吨的运费如下表所示：怎样确定调运方案，使总的运费最少？点评：本例表中的数据较多．可设从A运到D为x，从A运到E为y，则从A运到F就可用x、y表示，即12－x－y，则B运到D、E、F分别为8－x,6－y，x＋y－6.目标函数为f＝－3x＋y＋100.解：设从A运到D为x，从A运到E为y，则从A运到F为12－x－y，B运到D、E、F 分别为8－x,6－y，x＋y－6.约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥0，12－x －y≥0，8－x≥0，6－y≥0，x ＋y －6≥0.目标函数为f ＝－3x ＋y ＋100.可行域为如图所示的阴影部分(包括边界)．易知，当x ＝8，y ＝0时，f 最小，即运费最省．故当从A 运到D8千吨、从A 运到F4千吨、从B 运到E6千吨、从B 运到F2千吨时，总的运费最少．点评：通过本例的训练，让学生学会对多个数据的处理，进一步明确线性规划的应用性． 变式训练行驶中的汽车在刹车时，由于惯性作用，要继续向前滑行一段距离才能停下来，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)满足下列关系：y ＝nx 100＋x 2400(n 为常数，n∈N )．做两次刹车试验，有数据如图，其中5＜y 1＜7,13＜y 2＜15.(1)求出n 的值；(2)要求刹车距离不超过18.4 m ，则行驶的最大速度应为多少？解：(1)将x 1＝40，x 2＝70分别代入y ＝nx 100＋x 2400，有y 1＝25n ＋4，y 2＝710n ＋494.依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧5<25n ＋4<7，13<710n ＋494<15(n∈N )．解得n ＝3.(2)y ＝3x 100＋x2400≤18.4，解得x≤80，即最大行驶速度为80 km/h.知能训练1．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y≥0，x －y≥0，2x －y －2≥0，则ω＝y －1x ＋1的取值范围是( )A ．[－1，13]B ．[－12，13]C ．[－12，＋∞) D．[－12，1)2．如图所示，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥0，y ＋x≤s，y ＋2x≤4下，当3≤s≤5时，目标函数z ＝3x ＋2y的最大值的变化范围是()A ．[7,8]B ．[7,15]C ．[6,8]D ．[6,15] 3．购买8角和2元的邮票若干张，并要求每种邮票至少要两张，如果小明带有10元钱，问有多少种买法？答案：1.D 解析：设点D(x ，y)在图中阴影部分内，如图．ω＝y －1x ＋1，即动点(x ，y)与定点A(－1,1)连线的斜率．当动点为B 点时，ω取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x －y －2＝0，得B 点坐标为(1,0)．∴ω＝－12.当动点在x －y ＝0上，且x→＋∞时，ω趋向于最大值，即经过A 点，斜率为ω的直线与x －y ＝0平行．∴ω∈[－12，1)．2．A 解析：由题意知要求在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥0，y ＋x≤s，y ＋2x≤4下，目标函数z ＝3x ＋2y 的取值范围，作出如图所示目标函数取最大值时的可行域．由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋z2，∴当x ＋y ＝3时，在B 点处z 取最大值；随着x ＋y ＝3的上移，z 的最大值也随着增大．当平移经过C 点时，z 的最大值达到最大，且B(1,2)，C(0,4)．∴当3≤s≤5时，目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的变化范围是[7,8]． 3．解：设8角邮票可买x 张，2元邮票可买y 张，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋20y≤100，x≥2，y≥2，x 、y∈N .不等式表示的平面区域如图所示，而在该区域内，x 、y 都是不小于2的整数，这样的点的个数为11，所以小明有11种购买方法，分别是(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(5,3)，(6,2)，(7,2)．课堂小节1．由学生回顾本节课复习了哪些内容？通过对这些内容的复习，你有什么新的发现？ 2．本节课重点复习了平面区域和线性规划问题，明确了用线性规划的方法解决的两种重要问题．线性规划实质上是数形结合的一种体现，即将最值问题直观、简便地寻找出来，是一种较为简捷地求最值的方法．进一步熟悉了利用线性规划解决问题的步骤．还结合一道线性规划题目，探究了利用新视角解决问题的方法，打破了思维定式，今后要注意这方面的思维训练，以培养学生思维的灵活性．作业1．本章巩固与提高A 组14、15；B 组14、15. 2．本章自测与评估．设计感想1．本课时设计注重了教师的灵活操作．在复习时，采取提问、讨论、练习等方式，引导学生再现知识点、知识的形成过程及内在联系．用表格、图示、文字的方法串成线、连成片，建立起合理的认知结构，便于学生记忆，而不是简单的重复．2．本课时设计关注了学生的层次，关注了学习要求上的分层．让学习较差层次的学生多回答一些概念识记性提问，要求学会做一些基础题目．让学习中等层次的学生，多回答一些需认真思索的提问，会做一些难度适中的综合练习．让学习较好层次的学生，多回答一些智力运用性的提问，会运用知识解决一些难度较大的综合性题目．3．本课时设计注意了数学思想方法的教学．学生的能力最终体现在数学思想方法的应用上．在讲授数学知识的同时，更加注重数学思想方法的渗透和培养，把数学思维方法和数学知识、技能融为一体，不断提高学生的思维能力、解题能力及联系实际的能力．(设计者：郑吉星)备课资料一、备用例题【例1】 已知0＜x ＜13，求函数y ＝x(1－3x)的最大值．活动一：原函数式可化为y ＝－3x 2＋x ，利用二次函数求某一区间的最值． 解法一：(利用二次函数法可获得求解)(解略)。
高中数学 第三章 《不等式(复习)》导学案 新人教A版必修5
第三章 《不等式（复习）》导学案 【学习目标】 1．会用不等式（组）表示不等关系； 2．熟悉不等式的性质，能应用不等式的性质求解“范围问题”，会用作差法比较大小； 3．会解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系；4．会作二元一次不等式（组）表示的平面区域，会解简单的线性规划问题；5．明确均值不等式及其成立条件，会灵活应用均值不等式证明或求解最值.【知识链接】复习1：【学习过程】※ 典型例题例1咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料用奶粉、咖啡、糖，分别为9g 、4g 、3g ；乙种饮料用奶粉、咖啡、糖，分别为4g 、5g 、5g.已知买天使用原料为奶粉3600g ，咖啡2000g ，糖3000g. 写出配制两种饮料杯数说所满足的所有不等关系的不等式..例2 比较大小.（1）2(32)______626++； （2）22(32)______(61)--；（3）152- 165-； （4）当0a b >>时，1122log _______log a b ； （5）(3)(5)______(2)(4)a a a a +-+-；（6）22(1)x + 421x x ++；例3 利用不等式的性质求取值范围：（1）如果3042x <<，1624y <<，则x y +的取值范围是 ， 2x y -的取值范围是 ，xy 的取值范围是 ， x y的取值范围是 （2）已知函数2()f x ax c =-，满足4(1)1f -≤≤-，1(2)5f -≤≤，那么(3)f 的取值范围是 .例4 已知关于x 的方程(k -1)x 2+(k +1)x +k +1=0有两个相异实根，求实数k 的取值范围.例5 已知x 、y 满足不等式22210,0x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩，求3z x y =+的最小值.例6 若0x >，0y > ，且281x y+=，求xy 的范围.※ 动手试试练1. 已知15a b -≤+≤，13a b -≤-≤，求32a b -的取值范围.练2. 某轮船在航行使用的燃料费用和轮船的航行速度的立方成正比，经测试，当船速为10公里/小时，燃料费用是每小时20元，其余费用（不论速度如何）都是每小时320元，试问该船以每小时多少公里的速度航行时，航行每公里耗去的总费用最少，大约是多少？【学习反思】※ 学习小结1．用不等式表示不等关系；2．比较大小；3．利用不等式的性质求取值范围和证明不等式；4．会解一元二次不等式；5．会画二元一次方程（组）与平面区域求线性目标函数在线性约束条件下的最优解；6．利用基本不等式求最大（小）值.※知识拓展设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>对应的二次函数为2()(0)f x ax bx c a =++>1．方程()0f x =在区间(,)k -∞内有两个不等的实根⇔0,2b k a∆>-<且()0f k >； 2．方程()0f x =在区间(,)k +∞内有两个不等的实根⇔0,2b k a∆>->且()0f k >； 3． 方程()0f x =有一根大于k ，另一根k ⇔()0f k <；4．方程()0f x =在区间12(,)k k 内有且只有一根（不包括重根）⇔12()()0f k f k <g （12,k k 为常数）；5．方程()0f x =在区间12(,)k k 内有两不等实根⇔ ⇔120,2b k k a∆>-<且12()0,()0f k f k >>； 6．方程()0f x =在区间12(,)k k 外有两不等实根⇔ ()0,()0f k f k <<【基础达标】）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 设0a b <<，下列不等式一定成立的是（ ）.A ．22a ab b <<B ．22b ab a <<C ．22a b ab <<D ．22ab b a << 2. ,a b R ∈，且22a b +=，则24a b +的取小值是（ ）.A ．4B ．2C ．16D ．83. 二次不等式的解集是全体实数的条件是（ ）.A ．00a >⎧⎨∆>⎩B ．00a >⎧⎨∆<⎩C ．00a <⎧⎨∆>⎩D ．00a <⎧⎨∆<⎩ 4. 不等式组438000x y x y ++>⎧⎪<⎨⎪<⎩表示的平面区域内的整点坐标是 .5. 变量,x y 满足条件430352501x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，设y z x =，则z 的最小值为 . 【拓展提升】（1）22427180440x x x x ⎧-+>⎪⎨++>⎪⎩ （2）2232041590x x x x ⎧+-≥⎪⎨-+>⎪⎩2. 某运输公司有7辆可载6t 的A 型卡车与4辆可载10t 的B 型卡车，有9名驾驶员，建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运360t 沥青的任务，已知每辆卡车每天往返的次数为A 型车8次，B 型车6次，每辆卡车每天往返的成本费为A 型车160元，B 型车252元，每天派出A 型车和B 型车各多少辆，公司所花的成本费最低？。
高中数学 第三章不等式复习教案 新人教A版必修5
课题: 《不等式》复习小结授课类型：复习课【教学目标】1．会用不等式（组）表示不等关系；2．熟悉不等式的性质，能应用不等式的性质求解“范围问题”，会用作差法比较大小；3．会解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系；4．会作二元一次不等式（组）表示的平面区域，会解简单的线性规划问题；5．明确均值不等式及其成立条件，会灵活应用均值不等式证明或求解最值。
【教学重点】不等式性质的应用，一元二次不等式的解法，用二元一次不等式（组）表示平面区域，求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，基本不等式的应用。
【教学难点】利用不等式加法法则及乘法法则解题，求目标函数的最优解，基本不等式的应用。
【教学过程】1.本章知识结构2.知识梳理（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(1)对称性：a b b a <⇔>(2)传递性：c a c b b a >⇒>>,(3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>；d b c a d c b a +>+⇒>>,(4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,；bc ac c b a <⇒<>0,bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(5)倒数法则：ba ab b a 110,<⇒>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且(7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且2、应用不等式的性质比较两个实数的大小；作差法3、应用不等式性质证明（二）一元二次不等式及其解法一元二次不等式的解法一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第86页的表格)有两相异实根有两相等实根（三）线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）3、线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x 、y 的一次式z =2x +y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数． ③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x ,y ）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解2a b + 1、如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a 22a b +≤几何意义是“半径不小于半弦” 3.典型例题1、用不等式表示不等关系例1、某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装软件，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，写出满足上述不等关系的不等式。
2021-2022版老教材数学人教A版必修5学案：3.1.1不等关系与比较大小含答案
第三章不等式3.1 不等关系与不等式第1课时不等关系与比较大小学习目标1.了解现实世界和日常生活中的不等关系.(数学抽象、数学建模)2.能用不等式表示不等关系.(数学抽象、数学建模)3.理解实数大小与实数运算的关系,会用作差法比较两个实数的大小.(逻辑推理、数学运算、数学建模)【必备知识·自主学习】导思1.我们学过的不等号有哪些?什么是不等式?2.初中学过在数轴上表示大小,那两个实数比较大小还有别的方法吗?1.不等式的相关概念(1)不等号:<,≤,>,≥,≠;(2)不等式:由不等号表示的关系式.(1)“≤”的含义是什么?提示:<或=.(2)不等式a≥b和a≤b有怎样的含义?提示:①不等式a≥b应读作:“a大于或等于b”,其含义是a>b或a=b,等价于“a不小于b”,即若a>b或a=b中有一个正确,则a≥b正确.②不等式a≤b应读作:“a小于或等于b”,其含义是a<b或a=b,等价于“a不大于b”,即若a<b或a=b中有一个正确,则a≤b正确.2.实数a,b大小的比较如果a-b是正数,那么a>b a-b>0⇔a>b如果a-b等于零,那么a=b a-b=0⇔a=b如果a-b是负数,那么a<b a-b<0⇔a<b怎样证明a>b?提示:证明a-b是正数,即a-b>0.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)不等关系“不大于3”用不等式表示为x<3. ( )(2)不等式5≥5不成立. ( )(3)若>1,则a>b. ( )提示:(1)×.用不等式表示为x≤3.(2)×.不等式5≥5表示5=5或5>5,因为5=5成立,所以不等式5≥5成立.(3)×.如=2>1,但是-2<-1.2.(教材二次开发:习题改编)大桥桥头竖立的“限重60吨”的警示牌,是指示司机要安全通过该桥,应使车和货的总重量T满足关系为( ) A.T<60 B.T>60 C.T≤60 D.T≥60【解析】选C.“限重60吨”即为T≤60.3.已知x<1,则x2+2与3x的大小关系为.【解析】x2+2-3x=(x-2)(x-1),而x<1,所以x-2<0,x-1<0,所以x2+2-3x>0,所以x2+2>3x.答案:x2+2>3x【关键能力·合作学习】类型一利用不等式表示不等关系(数学抽象、数学建模)1.限速40 km/h的路标,指示司机在前方路段行驶时,使汽车速度v不超过40 km/h,用不等关系表示速度的限制为.2.某工厂8月份的产量比9月份的产量少;甲物体比乙物体重;A容器不小于B容器的容积,若前一个量用a表示,后一个量用b表示,则上述事实可表示为;;.3.有如图所示的两种广告牌,其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的,图(2)是一个矩形,从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系,并将这种大小关系用含字母a,b的不等式表示出来.【解题指南】抓住题干中的关键词,如:不超过、不小于等写出不等式. 【解析】1.“不超过”即“小于或等于”,所以v≤40 km/h .答案:v≤40 km/h2.注意理解题目中的关键词语,并转化为不等关系,8月份的产量比9月份的产量少可表示为a<b;甲物体比乙物体重可表示为a>b;A容器不小于B容器的容积可表示a≥b.答案:a<ba>ba≥b3.图(1)广告牌面积大于图(2)广告牌面积.设图(1)面积为S1,则S1=+,图(2)面积为S2,则S2=ab,所以a2+b2>ab.1.将不等关系表示成不等式(组)的思路(1)读懂题意,找准不等式所联系的量.(2)用适当的不等号连接.(3)多个不等关系用不等式组表示.2.常见的文字语言与符号语言之间的转换文字语言大于,高于,超过小于,低于,少于大于等于,至少,不低于小于等于,至多,不超过符号语言> < ≥≤【补偿训练】1.b克糖水中有a克糖(b>a>0),若再加入m克糖(m>0),搅拌糖融化后,糖水更甜了,将这个事实用一个不等式表示为.【解析】因为b克糖水中含a克糖(0<a<b)时,糖水的“甜度”为,所以若在该糖水中加入m(m>0)克糖,则此时的“甜度”是,又因为糖水会更甜,所以<.答案:<2.一辆汽车原来每小时行驶x km,如果这辆汽车每小时行驶的路程比原来多20 km,那么在4天内它的行程就超过2 200 km,写成不等式为;如果它每小时行驶的路程比原来少12 km,那么它原来行驶8小时的路程现在就得花9小时多的时间,用不等式表示为.【解析】①原来每小时行驶x km,现在每小时行驶(x+20)km.则不等关系“在4天内它的行程就超过2 200 km”,写成不等式为4×24×(x+20)>2 200,即96(x+20)>2 200.②原来每小时行驶x km,现在每小时行驶(x-12)km,则不等关系“原来行驶8小时的路程现在就得花9小时多的时间”,写成不等式为8x>9(x-12).答案:96(x+20)>2 200 8x>9(x-12)类型二用不等式组表示不等关系(数学抽象、数学建模)【典例】某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t 的乙型卡车,有9名驾驶员.此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次,乙型卡车每辆每天可往返8次,写出满足上述所有不等关系的不等式.【思路导引】①甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数;②车队每天至少要运360 t矿石;③甲型卡车不能超过4辆,乙型卡车不能超过7辆.【解析】设每天派出甲型卡车x辆,乙型卡车y辆,则即用不等式组表示不等关系的三注意(1)适用条件:当问题中同时满足几个不等关系时,应用不等式组来表示它们之间的不等关系,另外若问题中有几个变量,则选用几个字母分别表示这些变量即可.(2)全:解决这类有多个不等关系的问题时,要注意根据题设将所有不等关系都找出来.(3)读:若有表格、图象等,读懂表格、图象对解决这类问题很关键.1.某校高一年级的213名同学去科技馆参观,租用了某公交公司的x辆公共汽车.如果每辆车坐30人,则最后一辆车不空也不满.则题目中所包含的不等关系为.【解析】根据题意得:答案:2.某家电生产企业计划在每周工时不超过40 h的情况下,生产空调、彩电、冰箱共120台,且冰箱至少生产20台.已知生产这些家电产品每台所需工时如表:家电名称空调彩电冰箱工时/h若每周生产空调x台、彩电y台,试写出满足题意的不等式组.【解析】由题意,知x≥0,y≥0,每周生产冰箱(120-x-y)台.因为每周所用工时不超过40 h,所以x+y+(120-x-y)≤40,即3x+y≤120.又每周至少生产冰箱20台,所以120-x-y≥20,即x+y≤100.所以满足题意的不等式组为【拓展延伸】列不等式组表示不等关系(1)关注限制条件:实际应用问题中往往有2到3个限制条件,应先分析这些限制条件,并用不等式表示;(2)关注变量范围:要根据实际问题的意义确定变量的范围,并在不等式组中表示出来.【拓展训练】有学生若干人,住若干宿舍,如果每间住4人,那么还余19人,如果每间住6人,那么只有一间不满但不空,求宿舍间数和学生人数.【解析】设宿舍x间,则学生(4x+19)人,依题意解得<x<.因为x∈N*,所以x=10,11或12,学生人数为:59,63,67.故宿舍间数和学生人数分别为10间59人,11间63人或12间67人. 【补偿训练】1.某校对高一美术生划定录取分数线,专业成绩x不低于95分,文化课总分y高于380分,体育成绩z超过45分,用不等式组表示为.【解析】“不低于”即“≥”,“高于”即“>”,“超过”即“>”,所以答案:2.用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板,随着铁钉的深入,铁钉所受的阻力会越来越大,使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的(k∈N*),已知一个铁钉受击3次后全部进入木板,且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的,请从这个实例中提炼出一个不等式组为.【解析】依题意得第二次钉子没有全部进入木板第三次全部进入木板所以(k∈N*).答案:(k∈N*)类型三比较大小(逻辑推理、数学运算、数学建模) 角度1 作差法比较大小【典例】若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系是( ) A.f(x)<g(x) B.f(x)=g(x)C.f(x)>g(x)D.随x值变化而变化【思路导引】作差,根据差的正负判断.【解析】选C.f(x)-g(x)=(3x2-x+1)-(2x2+x-1)=x2-2x+2=(x-1)2+1>0,所以f(x)>g(x).本例中若g(x)=3x2+x,试比较f(x)与g(x)的大小关系.【解析】f(x)-g(x)=(3x2-x+1)-(3x2+x)=-2x+1,当-2x+1>0,x<时,f(x)>g(x) ;当-2x+1=0,x=时,f(x)=g(x);当-2x+1<0,x>时,f(x)<g(x).角度2 作商法比较大小【典例】已知a>0,b>0且a≠b,比较a a b b与(ab的大小.【思路导引】作商,利用指数运算的性质变形,判断商与1的关系.【解析】因为a>0,b>0且a≠b,所以==,当a>b>0时,>1,>0,>1,此时a a b b>(ab;当b>a>0时,<1,<0,>1,此时a a b b>(ab,综上所述a a b b>(ab.1.关于作差法比较大小对差式的变形是判断差式正负的关键,常用的变形有配方、通分、因式分解、分母有理化等.2.关于作商法比较大小多用于指数式的比较,对商式一般利用指数的运算性质,通过约分、化同次等方法,比较与1的大小.1.已知a>0,b>0,且a≠b,比较+与a+b的大小.【解析】因为-(a+b)=-b+-a=+=(a2-b2)=(a2-b2)=,又因为a>0,b>0,a≠b,所以(a-b)2>0,a+b>0,ab>0.所以-(a+b)>0,所以+>a+b.2.设a>0,b>0,且a≠b,试比较a a b b,a b b a的大小.【解析】因为=a a-b·b b-a=,(1)若0<a<b,则0<<1,a-b<0;故>1,(2)若0<b<a,则>1,a-b>0;故>1.综上,a a b b>a b b a.【拓展延伸】作差法比较大小的一般步骤第一步:作差;第二步:变形,常采用配方、因式分解等恒等变形手段,将“差”化成“和”或“积”;第三步:定号,就是确定是大于0,等于0,还是小于0(不确定的要分情况讨论);最后得结论.概括为“三步一结论”,这里的“定号”是目的,“变形”是关键. 【拓展训练】已知a,b为正实数,试比较+与+的大小. 【解题指南】注意结构特征,尝试用作差法或者作商法比较大小.【解析】方法一:(作差法)-(+)=+=+= =.因为a,b为正实数,所以+>0,>0,(-)2≥0,所以≥0,当且仅当a=b时等号成立.所以+≥+(当且仅当a=b时取等号).方法二:(作商法)======1+≥1,当且仅当a=b时取等号.因为+>0,+>0,所以+≥+(当且仅当a=b时取等号).方法三:(平方后作差)因为=++2,(+)2=a+b+2,所以-(+)2=.因为a>0,b>0,所以≥0,当且仅当a=b时取等号.又+>0,+>0,故+≥+(当且仅当a=b时取等号). 【补偿训练】(1)已知a>b>c>0,试比较与的大小;(2)比较2x2+5x+3与x2+4x+2的大小.【解析】(1)-====.因为a>b>c>0,所以a-b>0,ab>0,a+b-c>0.所以>0,即>.(2)(2x2+5x+3)-(x2+4x+2)=x2+x+1=+.因为≥0,所以+≥>0,所以(2x2+5x+3)-(x2+4x+2)>0,所以2x2+5x+3>x2+4x+2.【课堂检测·素养达标】1.(教材二次开发:习题改编)已知a,b分别对应数轴上的A,B两点坐标,且A在原点右侧,B在原点的左侧,则下列不等式成立的是( ) A.a-b≤0 B.a+b<0C.|a|>|b|D.a-b>0【解析】选D.a>0,b<0,所以a-b>0.2.已知a∈R,p=a2-4a+5,q=(a-2)2,则p与q的大小关系为( )A.p≤qB.p≥qC.p<qD.p>q【解析】选D.p-q=a2-4a+5-(a-2)2=1>0,所以p>q.3.某地规定本地最低生活保障金x元不低于1 000元,则这种不等关系写成不等式为.【解析】因为最低生活保障金x元不低于1 000元,所以x≥1 000.答案:x≥1 0004.某杂志原来以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.根据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就相应减少2 000本,若把提价后杂志的单价设为x元,表示销售的总收入不低于20万元的不等式为.【解析】由题意,销售的总收入为x万元,所以“销售的总收入不低于20万元”用不等式可以表示为x≥20.答案:x≥20【新情境·新思维】已知函数f(x)=x2+4x+c,则f(1),f(2),c三者之间的大小关系为. 【解析】f(1)=5+c,f(2)=12+c,则c<f(1)<f(2).答案:c<f(1)<f(2)。
2017-2018学年高中数学人教B版必修5学案：3-1不等关系
3.1.2 不等式的性质1．掌握不等式的性质．2．能够利用不等式的性质进行数或式的大小比较，解不等式(组)和不等式证明．不等式的性质(1)对称性：a ＞b ⇔______.(2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒______. (3)加法法则：a ＞b ⇔________. 推论1 a ＋b ＞c ⇒a ＞______；推论2 a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞______.(4)乘法法则：a ＞b ，c ＞0⇒______；a ＞b ，c ＜0⇒______. 推论1 a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒______；推论2 a ＞b ＞0⇒a n ＞b n(n ∈N ＋，n ＞1)； 推论3 a ＞b ＞0⇒na ＞nb (n ∈N ＋，n ＞1)．在不等式的基本性质中，乘法法则的应用最易出错，即在不等式的两边同乘(除以)一个数时，必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定．【做一做1】已知a ＞b ，则下列各式中正确的个数是( )． ①ac ＜bc ；②ac ＞bc ；③(a －b )c ＞0.A ．0B ．1C ．2D ．3【做一做2】已知a ＞b ，c ＞d ，e ＞0，则a ＋ce ______b ＋de (填“＞”或“＜”)．【做一做3】已知a ＞b ＞0，c ＜0，则c a ________c b(填“＞”或“＜”)．一、不等式的性质的应用误区剖析：使用不等式的性质时，一定要注意它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：(1)a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ，已知的两个不等式必须是同向不等式；(2)a ＞b ＞0，且c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ，已知的两个不等式不仅要求同向，而且不等式的两边必须为正值；(3)a ＞b ＞0⇒a n＞b n(n ∈N ＋，n ＞1)及a ＞b ＞0⇒na ＞nb (n ∈N ＋，n ＞1)，成立的条件是已知不等式的两边为正值，并且n ∈N ＋，n ＞1，否则结论就不成立．假设去掉b ＞0这个条件，取a ＝3，b ＝－4，n ＝2，就会出现32＞(－4)2的错误结论；又若去掉了“n ∈N ＋，n ＞1”这个条件，取a ＝3，b ＝2，n ＝－1，又会出现3－1＞2－1，即13＞12的错误结论．对于性质4的推论2和推论3，在n 取正奇数时，可放宽条件，命题仍成立，即有：a＞b ⇒a n ＞b n(n ＝2k ＋1，k ∈N )，a ＞b ⇒na ＞nb (n ＝2k ＋1，k ∈N )．(1)性质中的a 和b 可以是实数，也可以是代数式． (2)性质3是不等式移项法则的基础．(3)性质3的推论2是同向不等式相加法则的依据．(4)若a ＞b 且ab ＞0，则1a ＜1b .若a ＞b ，且ab ＜0，则1a ＞1b，即“同号取倒数，方向改变，异号取倒数，方向不变”．(5)若a ＞b ，c ＜d ，则a －c ＞b －d .(6)若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则a d ＞b c.二、教材中的“？”在解一元一次不等式3x －2≤5x ＋1的过程中，应用了不等式的哪些性质？ 剖析：题型一 判断真假【例1】下列命题中，一定正确的是( )． A ．若a ＞b ，且1a ＞1b，则a ＞0，b ＜0B ．若a ＞b ，b ≠0，则a b＞1C ．若a ＞b ，且a ＋c ＞b ＋d ，则c ＞dD ．若a ＞b ，且ac ＞bd ，则c ＞d反思：运用不等式的性质进行数的大小的判断时，要注意不等式性质成立的条件，不能弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质，解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．题型二 应用不等式的性质证明不等式【例2】已知a ，b 为正实数，求证：a b ＋ba≥a ＋b . 分析：针对题目特点，可考虑两种方法：一种是直接进行作差比较，按步骤进行，变形这一步最为关键，不管用何种方法变形，一定要向有利于判定差的符号的方向进行，另一种是先平方，再根据两式特点变形比较大小．反思：比较法是证明不等式中最基本、最重要的方法，其步骤为：作差(或n 次方作差)——变形——确定符号——得出结论．其中，作差是依据，变形是手段，确定差的符号是目的，证题的思路体现了数学中的转化思想．这里，关键的步骤是对差式的变形．题型三 不等式性质的实际应用【例3】建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好．试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由．分析：可先设住宅的窗户面积、地板面积分别为a ，b ，根据题意知a ＜b 且a b≥10%，然后设同时增加的面积为m ，得到a ＋m ＜b ＋m ，用比较法判断a ＋mb ＋m 与ab的大小即可． 反思：一般地，设a ，b 为正实数，且a ＜b ，m ＞0，则a ＋mb ＋m ＞ab.利用这个不等式，可以解释很多现象，比如b 克糖水中有a 克糖(b ＞a ＞0)，若再添上m 克糖(m ＞0且未达到饱和状态)，则糖水变甜了．再比如芭蕾舞演员跳芭蕾时总是踮起脚尖，这是为什么呢？这是因为踮起脚尖改变了演员下半身与整个身高的比值，使这个比值接近于黄金分割比0.618，从而带给观众更美的享受．题型四 易错辨析【例4】已知－π2＜β＜α＜π2，求2α－β的取值范围．错解：∵－π2＜α＜π2，∴－π＜2α＜π.又∵－π2＜β＜π2，∴－π2＜－β＜π2.∴－3π2＜2α－β＜3π2.错因分析：2α－β的取值范围可看做α＋(α－β)的取值范围，因为忽视了不等式自身的隐含条件β＜α⇔α－β＞0而导致扩大了取值范围．1a ≥b 可以推出( )． A ．1a ≥1b B ．ac 2≥bc 2C ．a c2＞b c2 D ．(ac )2≥(bc )22若1a ＜1b＜0，则下列结论不正确的是( )．A ．a 2＜b 2 B ．ab ＜b 2C ．b a ＋a b＞2 D ．|a |－|b |＝|a －b |3已知a ＜0，－1＜b ＜0，则下列不等式成立的是( )．A ．a ＞ab ＞ab 2B ．ab 2＞ab ＞aC ．ab ＞a ＞ab 2D ．ab ＞ab 2＞a4已知a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，则b 2－4ac 的值的符号为________．5实数a ，b ，c ，d 满足三个条件：①d ＞c ，②a ＋b ＝c ＋d ，③a ＋d ＜b ＋c ，则将a ，b ，c ，d 按照从大到小的次序排列为________．答案：基础知识·梳理(1)b ＜a (2)a ＞c (3)a ＋c ＞b ＋c c －b b ＋d (4)ac ＞bc ac ＜bc ac ＞bd 【做一做1】A 【做一做2】＞ 【做一做3】＞ 典型例题·领悟【例1】A 对选项A ，∵1a ＞1b ，∴b －aab＞0.又a ＞b ，∴b －a ＜0，∴ab ＜0，∴a ＞0，b ＜0；对选项B ，当a ＞0，b ＜0时，有ab＜1，故B 错；对选项C ，当a ＝10，b ＝2，c ＝1，d ＝3时，虽然10＋1＞2＋3，但1＜3，故C 错； 对选项D ，当a ＝－1，b ＝－2，c ＝－1，d ＝3时，有(－1)×(－1)＞(－2)×3，但－1＜3，故D 错．【例2】证明：证法一：(a b ＋b a )－(a ＋b )＝(a b －b )＋(b a －a )＝a －b b ＋b －a a＝(a －b )(a －b )ab ＝(a ＋b )(a －b )2ab.因为a ，b 为正实数，所以a ＋b ＞0，ab ＞0，(a －b )2≥0.于是有(a ＋b )(a －b )2ab≥0.当且仅当a ＝b 时，等号成立．所以a b ＋ba≥a ＋b ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．证法二：因为(a b ＋b a )2＝a 2b ＋b 2a ＋2ab ，(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，所以(a b ＋b a)2－(a ＋b )2＝a 2b ＋b 2a ＋2ab －(a ＋b ＋2ab )＝a 3＋b 3－ab (a ＋b )ab ＝(a ＋b )(a －b )2ab，因为a ，b 为正实数，所以(a ＋b )(a －b )2ab ≥0，所以(a b ＋b a )2≥(a ＋b )2.又因为a b ＋b a ＞0，a＋b ＞0，所以a b ＋ba≥a ＋b ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．【例3】解：变好了．理由：设住宅的窗户面积、地板面积分别为a ，b ，同时增加的面积为m ，根据问题的要求可知a ＜b 且ab≥10%.由于a ＋m b ＋m －a b ＝m (b －a )b (b ＋m )＞0，于是a ＋m b ＋m ＞a b .又a b ≥10%，因此a ＋m b ＋m ＞a b≥10%.所以，同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了．【例4】正解：∵－π2＜α＜π2，－π2＜β＜π2，∴－π2＜－β＜π2.∴－π＜α－β＜π.又∵β＜α，∴α－β＞0， ∴0＜α－β＜π，∴－π2＜2α－β＜32π.随堂练习·巩固1．B ∵c 2≥0，a ≥b ，∴ac 2≥bc 2.2．D 可取特殊值，令a ＝－1，b ＝－2代入验证知选项D 不正确．3．D 本题可以根据不等式的性质来解，由于－1＜b ＜0，所以0＜b 2＜1.所以a ＜ab 2＜0，且ab ＞0，易得答案D.本题也可以根据a ，b 的取值范围取特殊值，比如令a ＝－1，b＝－12，也容易得到正确答案．4．正 ∵a ＋b ＋c ＝0， ∴b ＝－(a ＋c )， ∴b 2＝a 2＋c 2＋2ac . ∴b 2－4ac ＝a 2＋c 2－2ac ＝(a －c )2.∵a ＞c ，∴(a －c )2＞0. ∴b 2－4ac ＞0，即b 2－4ac 的符号为正．5．b ＞d ＞c ＞a 由③可得，d －b ＜c －a ；由②可得，c －a ＝b －d ，于是有d －b ＜b －d ，a －c ＜c －a ，∴d ＜b ，a ＜c .再由①d ＞c 可得：b ＞d ＞c ＞a .。
必修5第三单元《不等式》单元复习(学生学案)
必修5第三章 《不等式〉单元复习（学生学案）一、知识结构（课时必记） 1、不等式的基本性质①（对称性）a b b a >⇔> ②（传递性）,a b b c a c >>⇒>③（可加性）a b a c b c >⇔+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+⇒>>, ④（可积性）bc ac c b a >⇒>>0, bc ac c b a <⇒<>0,⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>⇒> ⑥（平方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且⑦（开方法则）0,1)a b n N n >>∈>且 ⑧（倒数法则）ba b a b a b a 110;110>⇒<<<⇒>> 2、几个重要不等式①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22.2a b ab +≤ ②（基本不等式）2a b+≥()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式：a b +≥ 2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. 3、不等式证明的几种常用方法 常用方法有：比较法（作差法）、综合法、分析法； 4有两相等实根规律：当二次项系数为正时，小于夹中间，大于取两边.5、分式不等式的解法：1）移项；2）通分；3）转化为等价的整式不等式。
如：()0()()0()()()0()0()0()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >⇔⋅>⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩ （<≤“或”时同理） 规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 6、指数不等式的解法：（同底化） ⑴当1a >时,()()()()f x g x aa f x g x >⇔>⑵当01a <<时, ()()()()f x g x aa f x g x >⇔<规律：根据指数函数的性质转化.（同底化） 7、对数不等式的解法⑴当1a >时, ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩⑵当01a <<时, ()0log ()log ()()0.()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩规律：根据对数函数的性质转化. 8、含绝对值不等式的解法： ⑴定义法：(0).(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ⑵平方法：22()()()().f x g x f x g x ≤⇔≤⑶同解变形法，其同解定理有：①(0);x a a x a a ≤⇔-≤≤≥ ②(0);x a x a x a a ≥⇔≥≤-≥或 ③()()()()()(()0)f x g x g x f x g x g x ≤⇔-≤≤≥ ④()()()()()()(()0)f x g x f x g x f x g x g x ≥⇔≥≤-≥或规律：关键是去掉绝对值的符号.9、恒成立问题（三个二次的关系，結合二次函數的圖象進行分析） ⑴不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时 0,0;b c ⇒=> ②当0a ≠时00.a >⎧⇒⎨∆<⎩⑵不等式20ax bx c ++<的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时0,0;b c ⇒=< ②当0a ≠时00.a <⎧⇒⎨∆<⎩⑶()f x a <恒成立max ();f x a ⇔< ()f x a ≤恒成立max ();f x a ⇔≤ ⑷()f x a >恒成立min ();f x a ⇔> ()f x a ≥恒成立min ().f x a ⇔≥10、线性规划问题⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断： 取点定域法：由于直线0Ax By C ++=的同一侧的所有点的坐标代入Ax By C ++后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点00(,)x y （如原点），由00Ax By C ++的正负即可判断出0Ax By C ++>(或0)<表示直线哪一侧的平面区域.即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点. ⑵二元一次不等式组所表示的平面区域：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. ⑶利用线性规划求目标函数z Ax By =+(,A B 为常数）的最值： 法一：角点法：如果目标函数z Ax By =+ （x y 、即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应z 值，最大的那个数为目标函数z 的最大值，最小的那个数为目标函数z 的最小值 法二：画——移——定——求：第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线0:0l Ax By += ，平移直线0l （据可行域，将直线0l 平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解(,)x y ；第四步，将最优解(,)x y 代入目标函数z Ax By =+即可求出最大值或最小值 .第二步中最优解的确定方法：利用z 的几何意义：A z y x B B =-+,zB为直线的纵截距. ①若0,B >则使目标函数z Ax By =+所表示直线的纵截距最大的角点处，z 取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，z 取得最小值；②若0,B <则使目标函数z Ax By =+所表示直线的纵截距最大的角点处，z 取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，z 取得最大值.⑷常见的目标函数的类型：①“截距”型：;z Ax By =+ ②“斜率”型：y z x =或;y bz x a-=-③“距离”型：22z x y =+或z =22()()z x a y b =-+-或z =在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.二、例题选讲：例1：解下列不等式：(1)2x 2＋7x ＋3＞0； (2)x 2－4x －5≤0； (3)－4x 2＋18x －814≥0；(4)－12x 2＋3x －5＞0； (5)－2x 2＋3x －2＜0.例2：解下列不等式：(1)x ＋23－x ≥0； (2)2x －13－4x >1.例3：解关于x 的不等式x 2＋(1－a )x －a ＜0.例4：关于x 的不等式(1＋m )x 2＋mx ＋m ＜x 2＋1对x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．例5：某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300 分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？例6：(1)已知m ，n ＞0，且m ＋n ＝16，求12mn 的最大值．(2)已知x ＞3，求f (x )＝x ＋4x －3的最小值；(3)设x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，求1x ＋1y 的最小值．例7：已知函数f (x )＝x 2－2x －8，g (x )＝2x 2－4x －16，(1)求不等式g (x )<0的解集；(2)若对一切x >2，均有f (x )≥(m ＋2)x －m －15成立，求实数m 的取值范围．三、巩固作业：1．不等式(x ＋3)2＜1的解集是( )A ．{x |x ＞－2}B ．{x |x ＜－4}C ．{x |－4＜x ＜－2}D ．{x |－4≤x ≤－2}2．设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则有( ) A ．M ＞N B ．M ≥N C ．M ＜N D ．M ≤N3．下列命题中正确的是( ) A ．a ＞b ⇒ac 2＞bc 2 B ．a ＞b ⇒a 2＞b 2 C ．a ＞b ⇒a 3＞b 3D ．a 2＞b 2⇒a ＞b 4．(2012·安徽高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则z ＝x －y 的最小值是( )A.－3 B ．0 C.32D ．35．设x ，y 为正数，则(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋4y 的最小值为( ) A ．6B ．9C ．12D ．156．已知x >0，y >0.若2y x ＋8xy >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥4或m ≤－2B ．m ≥2或m ≤－4C ．－2<m <4D ．－4<m <27．函数y ＝2－x －4x(x ＞0)的值域为________．8．已知不等式x 2－ax －b ＜0的解集为(2,3)，则不等式bx 2－ax －1＞0的解集为________． 9．设D 是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤10，2x ＋y ≥3，0≤x ≤4，y ≥1，表示的平面区域，则D 中的点P (x ，y )到直线x ＋y ＝10的距离的最大值是________．10．已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k ＜0(k ≠0)． (1)若不等式的解集是{x |x ＜－3或x ＞－2}，求k 的值； (2)若不等式的解集是R ，求k 的取值范围．11．一个农民有田2亩，根据他的经验，若种水稻，则每亩每期产量为400千克；若种花生，则每亩每期产量为100千克，但水稻成本较高，每亩每期需240元，而花生只要80元，且花生每千克可卖5元，稻米每千克只卖3元，现在他只能凑足400元，问这位农民对两种作物各种多少亩，才能得到最大利润？。
高中数学 第三章 不等式与不等关系1学案 新人教版必修5 学案
§3.1不等式与不等关系（1）一、学习目标：通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的数量关系，了解不等式（组）的实际背景，并能将这些不等关系用不等式表示出来。
二、学习重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
三、学习难点：用不等式（组）准确地表示出不等关系。
四、学习过程：学习导引：在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。
如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。
人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。
在数学中，我们用不等式来表示不等关系。
（一）表示不等关系的常用符号，请你填一填文字语言数学符号文字语言数学符号大于至多小于至少大于或等于不少于小于或等于不多于(二)日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。
如以下标志，请用不等式表示出来请你列举生活中的不等关系1._______________________________________2.__________________________________3.______________________________________4.__________________________________（三）实例感知用不等式表示下列问题中的不等关系1.点与线、点与面的距离问题设点A 与平面a 的距离为d，B 为平面a 上的任意一点，则其中不等关系有______________2.杂志的销售问题某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售，可以售出 8 万本. 据市场调查，若单价每提高 0.1 元，销售量就可能相应减少 2000 本. 若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于 20 万元呢？3.钢材的截取问题某钢铁厂要把长度为 4000mm 的钢管截成500mm 和 600mm 两种．按照生产的要求，600mm的数量不能超过 500mm 钢管的 3 倍．怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？（四）实战演练1．用不等式表示，某地规定本地最低生活保障金x 不低于 400 元______________________2．限速40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过 40km/h，写成不等式就是_______________3．某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量p应不少于 2.5%，蛋白质的含量q 应不少于 2.3%，写成不等式组就是_________________4．(1)如图(见课本 74 页)，在一个面积为 350 的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长L 大于宽 W 的 4 倍(2)有一个两位数大于 50 而小于 60，其个位数字比十位数大 2．试用不等式表示上述关系，并求出这个两位数(用a 和b 分别表示这个两位数的十位数字和个位数字)（五）实践训练（时量：5 分钟 满分：10 分） 1. 下列不等式中不成立的是（ ）.A ． -1≤2B ． -1< 2C ． -1≤-1D ． -1≥22. 用不等式表示，某厂最低月生活费 a 不低于 300元 （ ）. A ． a ≤ 300 B ． a ≥300 C ． a > 300 D ． a < 3003. 已知 a + b > 0 ， b < 0 ，那么 a ,b ,-a , - b 的大小关系是（ ）. A ．a > b > -b > - a B ．a > -b > -a > b C ．a > -b > b > - a D ．a > b > -a > - b4. 用不等式表示：a 与b 的积是非正数___________5. 用不等式表示：某学校规定学生离校时间 t 在 16点到 18 点之间______________________（六）课堂小结： 1．会用不等式（组）表示实际问题的不等关系；2．会用不等式（组）研究含有不等关系的问题．（六）课后实践 1.用不等式表示下面的不等关系：（1）a 与 b 的和是非负数_________________（2）某公路立交桥对通过车辆的高度h “限高4m ”________________(3)坐火车时，儿童身高1.2米以上需要买票，需买票汇的范围是_______________2. 某夏令营有 48 人，出发前要从 A 、B 两种型号的帐篷中选择一种．A 型号的帐篷比 B 型号的少 5顶．若只选 A 型号的，每顶帐篷住 4 人，则帐篷不够；每顶帐篷住 5 人，则有一顶帐篷没有住满．若只选 B 型号的，每顶帐篷住 3 人，则帐篷不够；每顶帐篷住 4 人，则有帐篷多余．设 A 型号的帐篷有x 顶，用不等式将题目中的不等关系表示出来．3．某用户计划购买单价分别为60元，70元的单片软件和盒装磁盘，使用资金不超过500元，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒。
人教B版高中数学必修五备课精选教案第三章不等式复习
不等式 复习教案【基本知识结构】【教学目标】1．掌握解决不等式（组）问题的基本方法，并能解决一些实际问题； 2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。
3．掌握基本不等式 ab ≤2a b+（a ≥0，b ≥0）； 【主要知识点与题型方法】 1、一元二次不等式的解法：2、二元一次不等式表示平面区域 已知直线l ：Ax+By+C ＝0①当B>0时，Ax+By+C>0表示直线l 上方的平面区域；Ax+By+C<0表示直线l 下方的平面区域②当B<0时，Ax+By+C>0表示直线l 下方的平面区域；Ax+By+C<0表示直线l 上方的平面区域；③当B ＝0时，（此时l ⊥x 轴）A>0 Ax+By+C>0表示直线l 右侧的平面区域；Ax+By+C<0表示直线l 左侧的平面区域 A ＜0时，仿A ＞0自行讨论。
以上结论请自行证明。
3、线性规划中的几个概念（1）不等式组①是一组对变量x 、y 的约束条件。
（2）函数z ＝2x+y 为目标函数。
（3）满足线性约束条件的解（x 、y ）叫做可行解。
（4）所有可行解组成的集合叫做可行域。
（5）使线性目标函数取得最大或最小值的可行解叫做最优解。
4、掌握比较大小的常用方法：①基本结论：利用常见的基本不等式，直接比较两个代数式的大小。
这里主要是利用：当a 、b ∈R +时，ab ≤2ba +≤222b a +及其变形公式②作差、作商、平方作差法，根据题目的特点，合理选用。
这在证明题中要比较两个代数式的大小时经常使用。
5、熟练掌握用均值不等式求最值，必须注意三个条件：一正；二定；三相等。
三者缺一不可。
如不满足条件时求最值可以结合函数的单调性来解决。
如求函数x x y 12+=（x≥1）的最小值。
6、不等式证明的常规方法有：比较法、综合法、分析法。
7、把握解含参数的不等式的注意事项解含参数的不等式时，首先应注意考查是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论：①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性. ②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论.③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况（有时要分析△），比较两个根的大小。
高中数学 第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式学案 新人教A版必修5(2021年最新整理)
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3.1 不等关系与不等式学习目标1。
能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.初步学会作差法比较两实数的大小。
3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．知识点一不等关系思考限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，用不等式如何表示?答案v≤40.梳理试用不等式表示下列关系：（1）a大于b a＞b(2)a小于b a〈b（3）a不超过b a≤b(4)a不小于b a≥b知识点二作差法思考x2＋1与2x两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见．你能想个办法，比较x2＋1与2x的大小，而且具有说服力吗？答案作差：x2＋1－2x＝(x－1）2≥0,所以x2＋1≥2x。
梳理作差法的理论依据：a〉b⇔a－b>0;a＝b⇔a－b＝0；a〈b⇔a－b〈0。
知识点三不等式的基本性质思考试用作差法证明a>b，b>c⇒a>c。
答案a>b，b〉c⇒a－b>0，b－c〉0⇒a－b＋b－c>0⇒a－c>0⇒a>c.梳理不等式性质：（1)a>b⇔b〈a（对称性);(2）a〉b，b〉c⇒a〉c(传递性）;(3)a〉b⇒a＋c〉b＋c(可加性）；(4）a〉b,c〉0⇒ac〉bc;a>b，c<0⇒ac<bc；(5)a〉b,c〉d⇒a＋c>b＋d；(6）a>b>0，c〉d>0⇒ac>bd；（7)a〉b>0，n∈N，n≥1⇒a n〉b n;(8）a>b>0，n∈N，n≥2⇒错误!〉错误!.类型一用不等式（组)表示不等关系例1 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元,销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解提价后销售的总收入为错误!x万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式错误!x≥20.反思与感悟数学中的能力之一就是抽象概括能力,即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系．用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时：(1）要先读懂题,设出未知量；(2)抓关键词,找到不等关系;(3)用不等式表示不等关系．思维要严密、规范．跟踪训练1 某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种．按照生产的要求，600 mm的钢管数量不能超过500 mm钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？解设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根．根据题意，应有如下的不等关系:（1）截得两种钢管的总长度不能超过4 000 mm；(2)截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍；（3）截得两种钢管的数量都不能为负．要同时满足上述的三个不等关系，可以用不等式组表示为错误!类型二比较大小命题角度1 作差法比较大小例2 已知a，b均为正实数．试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．解∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋（b3－ab2）＝a2(a－b)＋b2(b－a）＝（a－b)(a2－b2）＝(a－b）2（a＋b）．当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2;当a≠b时,(a－b)2〉0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2.综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2.反思与感悟比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．作差法比较实数的大小的一般步骤是作差→恒等变形→判断差的符号→下结论．作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式．跟踪训练2 已知x＜1，试比较x3－1与2x2－2x的大小．解∵（x3－1）－(2x2－2x）＝x3－2x2＋2x－1＝（x3－x2）－（x2－2x＋1）＝x2(x－1)－(x－1)2＝（x－1）（x2－x＋1)＝(x－1)[(x－错误!)2＋错误!]，∵（x－错误!）2＋错误!＞0,x－1＜0，∴（x－1）[（x－错误!)2＋错误!]＜0，∴x3－1＜2x2－2x.命题角度2 作商法比较大小例3 若0＜x＜1，a＞0且a≠1,试比较|log a（1－x)|与|log a(1＋x)｜的大小关系．解错误!＝错误!＝错误!，∵0＜x＜1，∴错误!＝－log(1＋x)(1－x）＝log（1＋x）错误!，∵1－x2＝（1＋x）(1－x)＜1，且1－x＞0，∴1＋x＜错误!，∴log（1＋x)11－x＞1，即错误!＞1，∴|log a(1＋x)|＜|log a（1－x)|.反思与感悟作商法的依据：若b＞0，则ab＞1⇔a＞b。
高中数学第三章不等式3.1基本不等式学案北师大版必修5[1](2021学年)
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3。
１基本不等式2a bab +≤一．学习目标：1。
学会推导并掌握基本不等式 2.理解基本不等式的几何意义 3．掌握基本不等式中的“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等二．学习重点：从不同角度探索不等式2a b ab +≤的证明，理解基本不等式成立时的限制条件三．学习难点：基本不等式2a bab +≤等号成立的条件 四.学习过程: （一）情景感知 基本不等式2a bab +≤的几何背景——探究：课本９7页的“探究” 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ (二）学习新知1．探究图形中的相等关系与不等关系(提示：从面积的关系去找相等关系或不等关系)。
2.重要不等式(１)重要不等式:一般的,如果R ,∈b a ,那么ａ2+b ２≥2ab （当且仅当 时，等号成立）。
(２）证明：３.基本不等式（１)从几何图形的面积关系认识基本不等式a bab +≤1。
探究图（２)从不等式的性质推导基本不等式2a bab +≤证明:(3）理解基本不等式2a bab +≤的几何意义——探究:课本98页的“探究" 在右图中,ＡＢ是圆的直径,点C 是AB 上的一点,ＡC ＝ａ,BC=b 。
高中数学 第三章 不等式章末复习课学案 苏教版必修5
第三章 不等式学习目标 1.整合知识结构，进一步巩固、深化所学知识.2.能熟练运用不等式的性质比较大小、变形不等式、证明不等式.3.体会“三个二次”之间的内在联系在解决问题中的作用.4.能熟练地运用图解法解决线性规划问题.5.会用基本不等式求解函数最值．知识点一 “三个二次”之间的关系所谓三个二次，指的是①二次________图象及与x 轴的交点；②相应的一元二次________的实根；③一元二次____________的解集端点．解决其中任何一个“二次”问题，要善于联想其余两个，并灵活转化．知识点二 规划问题1．规划问题的求解步骤如下： (1)把问题要求转化为约束条件； (2)根据约束条件作出可行域； (3)对目标函数变形并解释其几何意义； (4)移动目标函数寻找最优解； (5)解相关方程组求出最优解． 2．关注非线性：(1)确定非线性约束条件表示的平面区域．可类比线性约束条件，以曲线定界，以特殊点定域． (2)常见的非线性目标函数有①y －bx －a，其几何意义为可行域上任一点(x ，y )与定点(a ，b )连线的斜率；②x －a2＋y －b 2，其几何意义为可行域上任一点(x ，y )与定点(a ，b )的距离．知识点三 基本不等式利用基本不等式证明不等式和求最值的区别．利用基本不等式证明不等式，只需关注不等式成立的条件．利用基本不等式求最值，需要同时关注三个限制条件：一正；二定；三相等．类型一 “三个二次”之间的关系例1 设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为M ，如果M ⊆[1,4]，求实数a 的取值范围．反思与感悟 (1)三个二次之间要选择一个运算简单的方向进行转化，如1≤x 1<x 2≤4，要是用求根公式来解就相当麻烦，用⎩⎪⎨⎪⎧f 且f ，1＜a ＜4且Δ>0则可化归为简单的一元一次不等式组．(2)用不等式组来刻画两根的位置体现了数形结合的思想．跟踪训练1 若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1，m )，则m ＝________.类型二 规划问题例2 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，求z ＝2x ＋y 的最大值和最小值．反思与感悟 (1)因为寻找最优解与可行域的边界点斜率有关，所以画可行域要尽可能精确；(2)线性目标函数的最值与截距不一定是增函数关系，所以要关注截距越大，z 越大还是越小．跟踪训练2 某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个．现有两种规格的原料，甲种规格每张3 m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2 m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张才能使得总用料面积最小．类型三利用基本不等式求最值命题角度1 无附加条件型例3 设f(x)＝50xx2＋1.(1)求f(x)在[0，＋∞)上的最大值；(2)求f(x)在[2，＋∞)上的最大值．反思与感悟 利用基本不等式求最值要满足“一正、二定、三相等”，缺一不可，可以通过拼凑、换元等手段进行变形．如不能取到最值，可以考虑用函数的单调性求解． 跟踪训练3 已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．命题角度2 有附加条件的最值问题 例4 函数y ＝a1－x(a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn ＞0)上，则1m ＋1n的最小值为________．反思与感悟 当所给附加条件是一个等式时，常见的用法有两个：一个是用这个等式消元，化为角度1的类型；一个是直接利用该等式代入，或构造定值． 跟踪训练4 设x ，y 都是正数，且1x ＋2y＝3，求2x ＋y 的最小值．1．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，x －y ≥－1，y ≥1，则目标函数z ＝4x ＋2y 的最大值为________．2．若不等式ax 2＋bx －2>0的解集为{x |－2<x <－14}，则a ＋b ＝________.3．设a>b>0，则a2＋1ab ＋1a a －b的最小值是________．4．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R，求实数a的取值范围．1．一元二次不等式的求解方法对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(其中a≠0)的求解，要联想两个方面的问题：二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点；方程ax2＋bx＋c＝0的根．按照Δ>0，Δ＝0，Δ<0分三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(a>0)的解集．2．二元一次不等式表示的平面区域的判定对于在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，实数Ax＋By＋C的符号相同，取一个特殊点(x0，y0)，根据实数Ax0＋By0＋C的正负即可判断不等式表示直线哪一侧的平面区域，可简记为“直线定界，特殊点定域”．特别地，当C≠0时，常取原点作为特殊点．3．求目标函数最优解的方法通过平移目标函数所对应的直线，可以发现取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解．4．运用基本不等式求最值时把握三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．答案精析知识梳理 知识点一函数 方程 不等式 题型探究例1 解 M ⊆[1,4]有两种情况：其一是M ＝∅，此时Δ<0；其二是M ≠∅，此时Δ＝0或Δ>0，下面分三种情况计算a 的取值范围．设f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2， 对方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0，有Δ＝(－2a )2－4(a ＋2)＝4(a 2－a －2)．①当Δ<0时，－1<a <2，M ＝∅⊆[1,4]，满足题意； ②当Δ＝0时，a ＝－1或a ＝2.当a ＝－1时，M ＝{－1}[1,4]，不满足题意； 当a ＝2时，M ＝{2}⊆[1,4]，满足题意． ③当Δ>0时，a <－1或a >2. 设方程f (x )＝0的两根为x 1，x 2， 且x 1<x 2，那么M ＝[x 1，x 2]，M ⊆[1,4]⇔1≤x 1<x 2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧f且f ，1＜a ＜4且Δ>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3，a ≤187，1＜a ＜4，a ＜－1或a >2，解得2<a ≤187，综上可知，当M ⊆[1,4]时，a 的取值范围是(－1，187]．跟踪训练1 2解析 因为ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1，m )， 所以1，m 是方程ax 2－6x ＋a 2＝0的根，且m >1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧m >1，1＋m ＝6a，1·m ＝a⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，a ＝2.例2 解 如图，阴影部分(含边界)为不等式组所表示的可行域．设l 0：2x ＋y ＝0，l ：2x ＋y ＝z ，则z 的几何意义是直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距，显然，当直线越往上移动，对应在y 轴上的截距越大，即z 越大；当直线越往下移动，对应在y 轴上的截距越小，即z 越小．上下平移直线l 0，可得当l 0过点A (5,2)时，z max ＝2×5＋2＝12；当l 0过点B (1,1)时，z min ＝2×1＋1＝3.跟踪训练2 解 设需要甲种原料x 张，乙种原料y 张，则可做文字标牌(x ＋2y )个，绘画标牌(2x ＋y )个，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥5，x ＋2y ≥4，x ≥0，y≥0，x ，y ∈N .所用原料的总面积为z ＝3x ＋2y ，作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示． 在一组平行直线3x ＋2y ＝z 中， 经过可行域内的点A 时，z 取得最小值，直线2x ＋y ＝5和直线x ＋2y ＝4的交点为A (2,1)， 即最优解为(2,1)．所以使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小．例3 解 (1)当x >0时，有x ＋1x≥2，∴f (x )＝50x x 2＋1＝50x ＋1x≤25. 当且仅当x ＝1x，即x ＝1时等号成立，∴f (x )在[0，＋∞)上的最大值是25.(2)∵函数y ＝x ＋1x在[2，＋∞)上是增函数且恒为正，∴f (x )＝50x ＋1x在[2，＋∞)上是减函数，且f (2)＝20.∴f (x )在[2，＋∞)上的最大值为20. 跟踪训练3 1解析 因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x )＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.例4 4 解析 y ＝a1－x(a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A (1,1)，∵点A 在直线mx ＋ny －1＝0上， ∴m ＋n ＝1， ∴1m ＋1n ＝m ＋n mn ＝1mn≥1m ＋n 22＝4，当且仅当m ＝n ＝12时，取等号．跟踪训练4 解 ∵1x ＋2y＝3，∴13⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＝1. ∴2x ＋y ＝(2x ＋y )×1 ＝(2x ＋y )×13⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y＝13⎝⎛⎭⎪⎫4＋y x ＋4x y≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋2 y x ·4x y ＝43＋43＝83. 当且仅当y x＝4xy，即y ＝2x 时，取等号．又∵1x ＋2y ＝3，∴x ＝23，y ＝43.∴2x ＋y 的最小值为83.当堂训练1．10 2.－13 3.44．解 当a －2＝0，即a ＝2时，原不等式为－4<0， 所以a ＝2时解集为R .当a －2≠0时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <2，a －2－a －－，解得－2<a <2.综上所述，a 的取值范围为(－2,2]．。
高中数学 第三章 不等式复习教案 新人教A版必修5
第三讲 不等式一、 核心要点 1、 不等式的性质（1）不等式的基本性质：（同向不等式可加不可减，可乘不可除）（尽量减少加和乘的次数）A 、对称性：a b b a <⇔>；B 、传递性：c a c b b a >⇔>>,；C 、可加性：c b c a b a +>+⇔>；D 、可乘性：bc ac c b a bc ac c b a <⇔<>>⇔>>0,;0,；E 、加法法则：d b c a d c b a +>+⇔>>,;F 、乘法法则：bd ac d c b a >⇔>>>>0,0;G 、乘方法则：)2,(0≥∈>⇔>>n N n b a b a nn ; H 、开方法则：)2,(0≥∈>⇔>>n N n b a b a n n.（2）比较两数或两式的大小方法：（作差法步骤：作差—变形——定号）A 、作差法：对于任意b a ,，①b a b a >⇔>-0；② b a b a =⇔=-0；③ b a b a <⇔<-0；B 、作商法：设0,0>>b a ，则①b a b a >⇔>1；② b a b a =⇔=1；③ b a ba<⇔<1. 备注1：不等式作差时常用到因式分解、配方法、通分、有理化等变形技巧;备注2：对于比较大小时，要考虑各种可能情况，对不确定的因素进行分类讨论；备注3：平方差公式：))((2233b ab a b a b a ++-=-；平方和公式：))((2233b ab a b a b a +-+=+. 2、 不等式的解法；（1）一元二次不等式)0(02>>++a c bx ax 及)0(02><++a c bx ax 的解法：（0<a 转化为0>a ） A 、若方程02=++c bx ax 的0>∆且两实根分别为)(,2121x x x x <，则不等式02>++c bx ax 的解集为}|{21x x x x x ><或，不等式02<++c bx ax 的解集为}|{21x x x x <<；B 、若方程02=++c bx ax 的0=∆且两相等实根分别为21x x =，则不等式02>++c bx ax 的解集为}|{1x x x ≠，不等式02<++c bx ax 的解集为Φ；C 、若方程02=++c bx ax 的0<∆，则不等式02>++c bx ax 的解集为R ，不等式02<++c bx ax 的解集为Φ.（2）分式不等式的解法：化分式不等式为整式不等式进行求解（具体见模块）； （3）高次不等式的解法：序轴标根法（过程见模块）；（4）无理不等式的解法：平方法化无理不等式为有理不等式（具体见模块）； （5）绝对值不等式的解法：分类讨论或平方法（具体见模块）. 3、 基本不等式：如果+∈R b a ,，则ab ba ≥+2（当且仅当b a =时取“=”）（一正二定三相等）.（1）特例：0>a ，21≥+a a ；2≥+abb a （b a ,同号）. （2）变形：①2)(222b a b a +≥+；②222b a ab +≤；③2)(2b a ab +≤；（3）扩展：),(2211222+∈+≤+≤≤+R b a b a b a ab ba .（备注：调和≤几何≤算术≤平方）. 4、 均值定理：已知+∈R y x ,.（1）如果S y x =+（定值），则4)2(22S y x xy =+≤（当且仅当y x =时取“=”）“和定积最大”. （2）如果P xy =（定值），则P xy y x 22=≥+（当且仅当y x =时取“=”）“积定和最小”. 5、 判断二元一次不等式（组）表示平面区域的方法—“选点法”：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.6、 线性规划中常见代数式的几何意义：（1）22y x +表示点),(y x 与原点)0,0(之间的距离；（2）22)()(b y a x -+-表示点),(y x 与点),(b a 之间的距离；（3）x y表示点),(y x 与原点)0,0(连线的斜率； （4）ax b y --表示点),(y x 与点),(b a 连线的斜率.二、考点突破考点一：不等式的基本性质： 题型一：不等式的性质：例1、如果c b a ,,满足a b c <<且0<ac ，那么下列选项中不一定成立的是（ ） A 、ac ab > B 、0)(>-a b cC 、22ab cb <D 、0)(<-c a ac练1：设10<<<a b ，则下列不等式成立的是（ ）A 、12<<b abB 、0log log 2121<<a bC 、222<<abD 、12<<ab a练2：已知+∈R m b a ,,，并且b a <，那么一定成立的是（ ） A 、bam b m a <++ba> C 、bam b m a >-- D 、abm b m a >-- 题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式：例2、若0,>b a 且b a ≠，试比较33b a +与22ab b a +的大小.解：由于222222233))(()2)(()())(()()(b a b a b ab a b a b a ab b ab a b a ab b a b a -+=+-+=+-+-+=+-+ 又0,>b a 且b a ≠，所以0))((2>-+b a b a ，所以2233ab b a b a +>+.练3：若0<<y x ，试比较))((22y x y x -+与))((22y x y x +-的大小.答案：)(2))(())(())(())((2222222y x xy y x y x y x y x y x y x y x y x --=+---+=+---+由于0<<y x ，所以0<-y x 且02<-xy ，故0)(2>--y x xy ，所以))(())((2222y x y x y x y x +->-+.练习4：设0,0>>b a 且b a ≠，试比较b a b a 与a b b a 的大小.综上所述，a b b a b a b a >.题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围：例3、（10辽宁理）已知41<+<-y x 且32<-<y x ，则y x z 32-=的取值范围是 . )8,3(所以8323<-<y x ，故y x z 32-=的取值范围是)8,3(.练习2：设bx ax x f +=2)(，且4)1(2,2)1(1≤≤≤-≤f f ，求)2(-f 的取值范围.解：设)1()1()2(nf mf f +-=-，则)()(24b a n b a m b a ++-=-，即b n m a n m b a )()(24--+=-，于是得⎩⎨⎧=-=+24n m n m ，得1,3==n m .所以)1()1(3)2(f f f +-=-.因为4)1(2,2)1(1≤≤≤-≤f f ，所以10)1()1(35≤+-≤f f ，故10)2(5≤-≤f .练习3：（10江苏）设y x ,为实数，满足94,8322≤≤≤≤y x xy ，则43yx 的最大值是 . 27考点二、一元二次不等式及其解法： 题型一：一元二次不等式的定义：例1、下列不等式中，一元二次不等式的个数为（ ） ①013)1(2<+-+x x m ；② 22>-x x；③0652≥++-x x ；④ 0)1)((<+++a x a x .A 、1B 、2C 、3D 、4题型二：简单一元二次不等式的求解： 例2、求下列一元二次不等式的解集：（1）652>-x x ；（2）01442≤+-x x ；（3）672>+-x x ；（4）0962>-+-x x .解：（1）由652>-x x ，得0652>--x x . 又方程0652=--x x 的两根是1-=x 或6=x ，所以原不等式的解集为}61|{>-<x x x 或.（3）由672>+-x x ，得0672<+-x x ，而0672=+-x x 的两个根是1=x 或6=x . 所以不等式0672<+-x x 的解集为}61|{<<x x .（4）原不等式可化为0962<+-x x ，即0)3(2<-x ，所以不等式的解集为Φ. [题后感悟] 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：(1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． (2)对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． (3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根． (4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． (5)根据图象写出不等式的解集. 练1：求下列不等式的解集： （1）02322<++-x x ； （2）0622<-+-x x ； （3）01442>++x x ；（4）x x 10252≤+.练2：设集合}73)1(|{2+<-=x x x A ，则Z A I 中有 个元素. 6 练3：解下列不等式：（1）01522>-+x x ；（2）122->x x ；（3）222-<x x . 答案：（1）}35|{>-<x x x 或；（2）}1,|{≠∈x R x x 且；（3）Φ. 题型三：解含参数的一元二次不等式：例3、解关于x 的不等式0222<-+a ax x .（因式分解—比较两根大小—分类讨论求解）解：原不等式可化为0))(2(<-+a x a x ，对应的一元二次方程的根为a x a x 2,21-==， （1）当0>a 时，21x x >，不等式的解集为}2|{a x a x <<-.（2）当0=a 时，原不等式化为02<x ，无解.（3）当0<a 时，21x x <，不等式的解集为}2|{a x a x -<<.综上所述，原不等式的解集为：0>a 时，}2|{a x a x <<-；0=a 时，Φ；0<a 时，}2|{a x a x -<<. [题后感悟] 含参数的不等式的解题步骤为：(1)将二次项系数转化为正数；(2)判断相应方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省去此步)； (3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有相异根，为了写出解集还要分析根的大小)．另外，当二次项含有参数时，应先讨论二次项系数是否为0，这决定不等式是否为二次不等式． 练4：解关于的不等式：（1）0)(322>++-a x a a x ； （2）04)1(22>++-x a ax .答案：（1）原不等式0)(322>++-a x a a x 可化为0))((2>--a x a x .①当0<a 时，2a a <，所以原不等式的解集为}|{2a x a x x ><或； ②当0=a 时，2a a =，所以原不等式的解集为}0,|{≠∈x R x x 且； ③当10<<a 时，2a a >，所以原不等式的解集为}|{2a x a x x ><或； ④当1=a 时，12==a a ，所以原不等式的解集为}1,|{≠∈x R x x 且； ⑤当1>a 时，，所以原不等式的解集为}|{2a x a x x ><或.（2） Ⅰ）当0=a 时，原不等式可化为042>+-x ，解得2<x ，所以原不等式的解集为}2|{<x x ；练5：解不等式02)2(2>---x m mx .答案：0)1)(2(02)2(2>-+⇒>---x mx x m mx（1）当0=m 时，原不等式转化为0)1(2>-x ，即01>-x ，得不等式的解集为}1|{>x x .考点三、一元二次不等式的应用：题型一：不等式的恒成立问题：例1、已知不等式01)1(2<-+-+a x a ax 对于所有的实数x 都成立，求实数a 的取值范围. 解：若0=a ，则原不等式可化为01<--x ，即1->x ，不合题意，故0≠a .令1)1()(2-+-+=a x a ax x f ，因为原不等式对任意R x ∈都成立，所以二次函数)(x f 的图像在x 轴的下方.[题后感悟] 不等式恒成立问题方法总结：(1) )0(02≠>++a c bx ax 恒成立⎩⎨⎧<∆>⇔00a ；(2) )0(02≠<++a c bx ax 恒成立⎩⎨⎧<∆<⇔00a ；练1：若关于x 的不等式0222>++x ax 在R 上恒成立，求实数a 的取值范围.答案：当0=a 时，原不等式可化为022>+x ，其解集不为R ，故0=a 不满足题意，舍去；练2：若关于x 的不等式01)1()1(22<----x a x a 在R 上恒成立，求实数a 的取值范围.答案：（1）当012=-a ，即1±=a 时，（2）当012≠-a ，即1±≠a 时，原不等式的解集为R 的条件是⎩⎨⎧<-+-=∆<-0)1(4)1(01222a a a ，练3：若不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对R x ∈恒成立，求实数a 的取值范围. 答案：因为2=a 时，原不等式为04<-，所以2=a 时成立.当2≠a 时，由题意得⎩⎨⎧<∆<- 002a ，即⎩⎨⎧<----< 0)4)(2(4)2(4 22a a a a ，解得22<<-a . 综上两种情况可知22≤<-a .题型二：二次方程、二次函数、二次不等式的关系：例2、若不等式02≥++c bx ax 的解集为}21|{≤≤-x x ，求不等式02<++a bx cx 的解集.(1) 给出一元二次不等式的解集，则可知二次项的符号和一元二次方程的根，由根与系数的关系可知c b a ,,之间的关系；练4：已知不等式022>++bx ax 的解集为}11|{<<-x x ，求022<++a bx x 的解集 所以320)2)(3(060122202222<<-⇔<+-⇔<--⇔<--⇔<++x x x x x x x a bx x .则不等式022<++a bx x 的解集为}32|{<<-x x .题型三：一元二次不等式的实际应用：例3、汽车在行驶时，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要因素．在一个限速h km /40的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过m 12，乙车的刹车距离略超过m 10，又知甲、乙两种车型的刹车距离)(m s 与车速)/(h km x 之间分别有如下关系：22005.005.001.01.0x x s x x s +=+=乙甲，.试判断甲、乙两车有无超速现象，并根据所学数学知识给出判断的依据．解：由题意，对于甲车，有1201.01.02>+x x ， 即01200102>-+x x .解得30>x 或40-<x (舍去).这表明甲车的车速超过h km /30，但根据题意刹车距离略超过m 12，由此估计甲车不会超过限速h km /40. 对于乙车，有10005.005.02>+x x ，即02000102>-+x x .解得40>x 或50-<x (舍去).这表明乙车的车速超过h km /40，超过规定限速. [题后感悟] (1)解不等式应用题，一般可按如下四步进行： ①阅读理解、认真审题、把握问题中的关键量、找准不等关系； ②引进数学符号，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)； ③解不等式(或求函数最值)； ④回扣实际问题．考点四、分式不等式、高次不等式及无理不等式的解法： 题型一：分式不等式的解法：化分式不等式为整式不等式 （1）0)()(0)()(>⋅⇔>x g x f x g x f ； （2）0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ； （3）⎩⎨⎧≠≥⋅⇔≥ 0)(0)()(0)()(x g x g x f x g x f ； （4）⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤0)(0)()(0)()(x g x g x f x g x f 例1、（12重庆理）不等式0121≤+-x x 的解集为（ ） A 、]1,21(-B 、]1,21[-C 、),1[)21,(+∞--∞YD 、),1[]21,(+∞--∞Y练2：不等式31≤+x x 的解集是 . }210|{≥<x x x 或 解析：21000)12(01202103131≥<⇒⎩⎨⎧≠≥-⇒≥-⇒≤-⇒≤-+⇒≤+x x x x x x x x x x x x x 或.题型二：高次不等式的解法：（序轴标根法）序轴标根法要点：从右向左，从上到下，奇穿偶不穿（前提：保证因式分解后x 的系数为正）. 例2、解不等式：0)2)(1)(1)(2(≤--++x x x x解：设)2)(1)(1)(2(--++=x x x x y ，则0=y 的根分别是2,1,1,2--，将其分别标在数轴上，并画出如右图所示的示意图：所以原不等式的解集是}21,12|{≤≤-≤≤-x x x 或.练3：（10全国Ⅱ）不等式0162>---x x x 的解集为（ ） A 、}32|{>-<x x x 或B 、}312|{<<-<x x x 或C 、}312|{><<-x x x 或D 、}3112|{<<<<-x x x 或练4：不等式02322>++-x x x 的解集是 . ),2()1,2(+∞--Y 题型三：无理不等式的解法：（化无理不等式为有理不等式）（1）⎩⎨⎧>≥⇔>)()(0)()()(x g x f x g x g x f ；（2）⎩⎨⎧<≥⇔>0)(0)()()(x g x f x g x f 或⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥2)]([)( 0)(0)(x g x f x g x f . 例3、解不等式125->-x x .解：原不等式等价于Ⅰ：⎩⎨⎧<-≥- 01025x x 或Ⅱ：⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-2)1(2501025x x x x ， 解Ⅰ：⎪⎩⎪⎨⎧<≤125x x ，解Ⅱ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-≥≤22 1 25x x x ，即1<x 或21<≤x ，所以2<x ，则原不等式的解集为}2|{<x x . 练5：解不等式0231≤---x x 的解集.解：移项231-≤-x x ，则⎩⎨⎧-≥-≥-x x x 123 01⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥≤4331x x ⇒143≤≤x ，练6：解不等式（1）x x x 211322+>+-；（2）x x x 211322+<+-.解：（1）原不等式等价于Ⅰ：⎩⎨⎧<+≥+- 02101322x x x 或Ⅱ：⎪⎩⎪⎨⎧+>+-≥+≥+-222)21(132 0210132x x x x x x则原不等式的解集为}0|{<x x .考点五：绝对值不等式的解法：（选修4—5） （1）a x a a x a a x <<-⇔<⇔><22)0(||； （2）a x a x a x a a x -<>⇔>⇔>>或22)0(||；（3）a m x a m a m x a a a m x +<<-⇔<-<-⇔><-)0(||；（4）a m x a m x a m x a m x a a m x -<+>⇔-<->-⇔>>-或或)0(||. 例1、（08四川文科）不等式2||2<-x x 的解集为（ ） A 、)2,1(-B 、)1,1(-C 、)1,2(-D 、)2,2(-解析：)2,1(210202222||2222-∈⇔<<-∈⇔<-->+-⇔<-<-⇔<-x x R x x x x x x x x x 且且.练1：（04全国）不等式3|1|1<+<x 的解集为（ ） A 、)2,0(B 、)4,2()0,2(Y -C 、)0,4(-D 、)2,0()2,4(Y --解析： 24201133113|1|1-<<-<<⇔-<+<-<+<⇔<+<x x x x x 或或.练2：（07广东）设函数3|12|)(++-=x x x f ，若5)(≤x f ，则x 的取值范围是 . ]1,1[- 解析：21222|12|53|12|5)(+-≤-≤-⇔+-≤-⇔≤++-⇔≤x x x x x x x x f⎩⎨⎧≤≤-⇔≤-≥⇔⎩⎨⎧+-≤--≤-⇔1111212 122x x x x x x x 练3：（09山东）不等式0|2||12|<---x x 的解集为 . )1,1(-解析：0)2()12(|2||12||2||12|0|2||12|2222<---⇔-<-⇔-<-⇔<---x x x x x x x x110)]2()12)][(2()12[(<<-⇔<----+-⇔x x x x x .练4：若不等式a x x >-+-|3||4|对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围.解：不等式a x x >-+-|3||4|对一切实数x 恒成立，由绝对值的几何意义可知，|3||4|-+-x x 表示数轴上点x 到3和4的距离之和，那么对任意R x ∈恒成立，显然1|)3||4(|min =-+-x x ，又a x x >-+-min |)3||4(|，故1<a ，所以实数a 的取值范围是)1,(-∞.考点六：基本不等式和均值定理：（一正二定三相等） 题型一：通过加减项配凑成基本不等式： 例1、已知1>x ，求11-+x x 的最小值以及取得最小值时x 的值.练1：已知5<x ，求函数124+-=x y 的最大值.得132=+-≤y ，所以函数的最大值为1.练2：求函数)01(112>->+++=a x x x ax y 且的最小值.练3：求41622++=x x y 的最大值.题型二：“1”的变换： 例2、已知0,0>>y x ，且191=+yx ，求y x +的最小值.练4：已知2,0,0=+>>b a b a ，则b a y 41+=的最小值是 .题型三：转化与方程消元求二次函数最值：例3、若正数b a ,满足3++=b a ab ，则：（1）ab 的取值范围是 ；),9[+∞（2）b a +的取值范围是 . ),6[+∞ 0)3(2=+-+t a t a ,04)3(2≥--=∆t t ，得9≥t 或1≤t （舍）.（2）判别式法，令)0(>=+t t b a ，则a t b -=，代入原式得3)(+=-t a t a ，整理得032=++-t at a ，0)3(42≥+-=∆t t ，解得6≥t 或者2-≤t （舍）.备注：以上（1）（2）也可利用基本不等式及其变形解决，或者消元代入求最值解决. 练5：若0,>y x 满足xy y x =++62，则xy 的最小值是 . 18 练6：若0,>y x 满足2=++xy y x ，则y x +的最小值是 .练7：（10重庆）已知0,>y x 满足822=++xy y x ，则y x 2+的最小值是（ ） A 、3B 、4C 、29D 、211 考点七：简单线性规划问题：题型一：已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题：例1、设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤- 1122y x y x y x ，求y x z 32+=的最大值.题型二：已知线性约束条件，探求分式目标关系最值问题： 例2、设变量y x ,满足例1中的约束条件，求112++=y x z 的取值范围.题型三：已知线性约束条件，探求平方和目标关系最值问题：例3、设变量y x ,满足例1中的约束条件，求22)2(-+=y x z 的最值，以及此时对应点的坐标.题型四：已知线性约束条件，探求区域面积与周长问题：例4、设变量y x ,满足例1中的约束条件，试求所围区域的面积与周长.题型五：已知最优解，探求目标函数参数问题：例5、设变量y x ,满足例1中的约束条件，且目标函数y ax z +=（其中0<a ）仅在)4,3(处取得最大值，求a 的取值范围.题型六：已知最优解，探求约束条件参数问题：例6、设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥-≤- 1 22y x m y x y x ，且目标函数y x z 32+=在)6,4(处取得最大值，求m ，例7、已知y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<--<-+>--01553 0632 032y x y x y x ，求使y x +取得最大值的整数y x ,.解：不等式组的解集为三直线01553:,0632:,032:321=--=-+=--y x l y x l y x l 所围成的三角形内部（不含边界），设1l 与2l ，1l 与3l ，2l 与3l 的交点分别为C B A ,,， 则的坐标分别为)1912,1975(),3,0(),43,815(--C B A ， 作一组平行线t y x l =+:平行于0:0=+y x l ，当l 往0l 右上方移动时，t 随之增大， 所以当l 过C 点时最大为1963，但不是整数解，又由19750<<x 知x 可取3,2,1， 当1=x 时，代入原不等式组得2-=y ，所以1-=+y x ；当2=x 时，得0=y 或1-，所以2=+y x 或1；当3=x 时，1-=y ，所以2=+y x ，故y x +的最大整数解为⎩⎨⎧==02y x 或⎩⎨⎧-==13y x .ABCxyO1l 3l2l练习：线性规划问题综合练习练1：若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤2 2 2y x y x ，则y x z 2+=的取值范围是（ ）A 、]6,2[B 、]5,2[C 、]6,3[D 、]5,3(练2：满足2||||≤+y x 的点),(y x 中整数（横纵坐标都是整数）有（ ） A 、9个B 、10个C 、13个D 、14个练3：已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+033042022y x y x y x ，则22y x z +=的最大值和最小值分别是（ ）A 、1 , 13B 、2 , 13C 、54, 13D 、552, 13 练4：不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-+≥-+ 2 03062y y x y x 表示的平面区域的面积为（ ）A 、4B 、1C 、5D 、无穷大练5：已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-≥+ 3055x y x y x ，使)0(>+=a ay x z 取得最小值的最优解有无数个，则的值为（ ）A 、3-B 、3C 、1-D 、1练6：已知3|2|<+-m y x 表示的平面区域包含点)0,0(和)1,1(-，则m 的取值范围是（ ） A 、)6,3(-B 、)6,0(C 、)3,0(D 、)3,3(-练7：满足线性约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0 03232y x y x y x 的目标函数y x z +=的最大值是（ ）A 、1B 、23 C 、2D 、3练8：若实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+01032033my x y x y x ，且y x +的最大值为9，则实数=m （ ）A 、2-B 、1-C 、1D 、2练9：已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥+-≥-+013042022y x y x y x ，试求11++=x y z 的最大值和最小值.结合图像可知，直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，即3max ==MB k z ，此时2,0==y x ；练10：设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥ 222 x y x x y ，则y x z 3-=的最小值为 . 8-练11：若不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤+≥- 022 0a y x y y x y x 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是 .练12：已知平面区域D 由以)1,3()2,5()3,1(C B A 、、，为顶点的三角形内部和边界组成，若在区域D 上有无穷多个点),(y x 可使目标函数my x z +=取得最小值，则=m . 1。
高中数学 第三章 不等式学案 新人教A版必修5-新人教A版高一必修5数学学案
第三章不等式3.1不等关系与不等式一、【学习目标】知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。
二、【教学重点、难点】教学重点：用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。
理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
教学难点：用不等式（组）正确表示出不等关系。
三、【教学过程】1.课题导入在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。
如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。
人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。
在数学中，我们用不等式来表示不等关系。
下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。
自习课本p72-p742.讲授新课1）用不等式表示不等关系引例1：限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是：v40引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示2.5%2.3%f p ≤⎧⎨≥⎩问题1：设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点，则||d AB ≤。
问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。
据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。
若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 2.5(80.2)0.1x x --⨯ 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式2.5(80.2)200.1x x --⨯≥ 问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种。
高中数学复习课三不等式学案新人教A版必修5
高中数学复习课三不等式学案新人教A 版必修5一的整体．贯穿于高中数学的始终，更是高考的重点内容，在考题中有时单独对某类不等式的解法进行考查，一般以小题形式出现，难度不大，但有时在解答题中与其它知识联系在一起，难度较大． 解一元二次不等式需熟悉一元二次方程、二次函数和一元二次不等式三者之间的关系，其中二次函数的零点是联系这三个“二次”的枢纽．(1)确定ax2＋bx ＋c>0(a>0)或ax2＋bx ＋c<0(a>0)在判别式Δ>0时解集的结构是关键．在未确定a 的取值情况下，应先分a ＝0和a≠0两种情况进行讨论．(2)若给出了一元二次不等式的解集，则可知二次项系数a 的符号和方程ax2＋bx ＋c ＝0的两个根，再由根与系数的关系就可知a ，b ，c 之间的关系．(3)解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：①对二次项系数与0的大小进行讨论；②在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；③当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论．[典例] (1)已知不等式ax2＋bx ＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式2x2＋bx ＋a<0的解集为( )A. B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x<－1或x>12 C ．{x|－2<x<1} D ．{x|x<－2或x>1}(2)解关于x 的不等式ax2－2ax ＋a ＋3＞0.[解析] (1)由题意知x ＝－1，x ＝2是方程ax2＋bx ＋2＝0的根．由根与系数的关系得⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1.∴不等式2x2＋bx ＋a<0，即2x2＋x －1<0.解得－1<x<.[答案] A(2)解：当a ＝0时，解集为R ；当a ＞0时，Δ＝－12a ＜0，∴解集为R ；当a ＜0时，Δ＝－12a ＞0，方程ax2－2ax ＋a ＋3＝0的两根分别为，，∴此时不等式的解集为.综上所述，当a≥0时，不等式的解集为R ；a ＜0时，不等式的解集为.[类题通法]解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集．1．若关于x 的不等式ax2－6x ＋a2<0的解集是(1，m)，则m ＝________.解析：根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax2－6x ＋a2＝0的一个根，即a2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3，当a ＝2时，不等式ax2－6x ＋a2<0的解集是(1,2)，符合要求；当a ＝－3时，不等式ax2－6x ＋a2<0的解集是(－∞，－3)∪(1，＋∞)，不符合要求，舍去．故m ＝2.答案：2。
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课题:不等式复习1
学习目标
会运用基本不等式解决一些问题．
课前预习
1、（1）函数2231x x y --=
的定义域为_________________；
（2）比较大小：122-_________________310-；
（3）已知}01|{>+=x x M ，}011|
{>-=x x N ，则=⋂N M _________________；
（4）不等式
031>--x x 的解集是_________________；
（5）方程05)2(2=++++m x m x 有两个正根，则m 的取值范围是_____________；
（6）已知00>>>x b a ，，那么
x
a x
b ++的取值范围是________________________；
（7）已知b a ，都是正数，4=ab ，则b a +的最小值是______
课堂研讨
例1解关于x 的不等式：)(12
R a a x ax ∈ +<-．
例2甲、乙两同学分别解“)1[∞+ ∈，x ，求函数122
+=x y 的最小值”的过程如下： 甲：x x x y 221221222=⋅≥+=，又1≥x ，所以2222≥x ． 从而2222≥≥x y ，即y 的最小值是22．
乙：因为122+=x y 在)1[∞+ ，上单调递增，所以y 的最小值是31122=+⨯．
试判断谁错？错在何处？
作业27
1．已知数列}{n a 的通项公式902+=
n n a n ，+∈N n ，则数列中最大项是第_______项．
2．若直角三角形两条直角边的和等于10，则当该直角三角形面积最大时，
斜边的长是________________________．
3．求函数)0(432> --=x x
x y 的最大值．
4．已知关于x 的方程02)1(22=-+-+a x a x 有两个根，且一个根比1小，
另一个根比1大，求实数a 的取值范围．
5．设不等式x x ax ax 424222+<-+对任意实数x 均成立，求实数a 的取值范围．
6已知x >0，y >0，且1x ＋9y
＝1，求x ＋y 的最小值．
7在下列各函数中，最小值等于2的函数是()
A ．y ＝x ＋1x
B ．y ＝cos x ＋1cos x (0<x <π2)
C ．y ＝x 2
＋3x 2＋2
D ．y ＝e x ＋4e x －2
8若x ，y ∈R ＋，且2x ＋8y －xy ＝0，则求x ＋y 的最小值
9一批货物随17列货车从A 市以v 千米/小时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于⎝ ⎛⎭
⎪⎫v 202
千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________小时．
10若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}．
(1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0；
(2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R .。