余弦函数图像及性质(学生用)
合集下载
余弦函数的图像及性质
§6
余弦函数的图像与性质
学习目标
Hale Waihona Puke 1．会利用诱导公式，通过图像平移得到余弦函数的图像． 2.会用五点法画出余弦函数在[0,2π]上的图像．(重点) 3．掌握余弦函数的性质及应用．(重点、难点)
[基础· 初探] 教材整理 余弦函数的图像与性质
阅读教材 P31～P33“思考交流”以上部分，完成下列问题．
(1)函数y＝1－2cos x的单调增区间是________；
13 26 (2)比较大小cos 3 π________cos－ 3 π.
【精彩点拨】
(1)y＝1－2cos x的单调性与y＝－cos x的单调性相同，与y＝
cos x的单调性相反． (2)利用诱导公式将所给角转化到同一单调区间上比较．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)余弦函数y＝cos x的定义域为R.( ) )
π (2)余弦函数y＝cos x的图像可由y＝sin x的图像向右平移2个单位得到．(
(3)在同一坐标系内，余弦函数y＝cos x与y＝sin x的图像形状完全相同，只是 位置不同．( )
(4)正弦函数与余弦函数有相同的周期，最大值、最小值及相同的单调区 间．( )
2π 2π x2kπ－ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z 3 3 .
(2)要使函数有意义，
－1＋2cos x>0， 则 2 9－x ≥0，
1 cos x> ， 2 即 2 x ≤9，
1 cos x>2的解集为
π π x－ ＋2kπ<x< ＋2kπ，k∈Z 3 3 ，
π 11π x2kπ＋ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z 6 6 .
余弦函数的图像与性质
学习目标
Hale Waihona Puke 1．会利用诱导公式，通过图像平移得到余弦函数的图像． 2.会用五点法画出余弦函数在[0,2π]上的图像．(重点) 3．掌握余弦函数的性质及应用．(重点、难点)
[基础· 初探] 教材整理 余弦函数的图像与性质
阅读教材 P31～P33“思考交流”以上部分，完成下列问题．
(1)函数y＝1－2cos x的单调增区间是________；
13 26 (2)比较大小cos 3 π________cos－ 3 π.
【精彩点拨】
(1)y＝1－2cos x的单调性与y＝－cos x的单调性相同，与y＝
cos x的单调性相反． (2)利用诱导公式将所给角转化到同一单调区间上比较．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)余弦函数y＝cos x的定义域为R.( ) )
π (2)余弦函数y＝cos x的图像可由y＝sin x的图像向右平移2个单位得到．(
(3)在同一坐标系内，余弦函数y＝cos x与y＝sin x的图像形状完全相同，只是 位置不同．( )
(4)正弦函数与余弦函数有相同的周期，最大值、最小值及相同的单调区 间．( )
2π 2π x2kπ－ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z 3 3 .
(2)要使函数有意义，
－1＋2cos x>0， 则 2 9－x ≥0，
1 cos x> ， 2 即 2 x ≤9，
1 cos x>2的解集为
π π x－ ＋2kπ<x< ＋2kπ，k∈Z 3 3 ，
π 11π x2kπ＋ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z 6 6 .
正弦函数和余弦函数的图像与性质
x 10, 3 2 , 0, 2 , 3
3. 求最小正周期： (1) f ( x) 3sin x 4cos x (2) f ( x) sin 2 x (3) f ( x) sin 2 x cos 2 x
y cos x , x R 的值域是 [1,1]，最大值是 1，最小值是 1.
当 cos x 1时，x 2k (k Z). 当 cos x 1 时，x (2k 1) (k Z).
（2）周期性
一般地，对于函数 f ( x)，如果存在一个常数 T (T 0)， 使得当 x 取定义域 D 内的任意值时，都有 f ( x T ) f ( x) 成立，那么函数 f ( x) 叫做周期函数，常数 T 叫做函数 f ( x) 的周期。对于一个周期函数 f ( x) 来说，如果在所有的周期中 存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做函数 f ( x) 的 最小正周期。
解： 偶函数； (1)
(2) f ( x) cos 2 x，偶函数；
2 (k Z)
(3)sin x 1 x 2k
x
，但 x 可以取 ，即 f ( x)的定义域不关于原点对称， 2 2
f ( x) 是非奇非偶函数。
(4) f ( x)
1 sin 2 x sin x 1 1 sin 2 x sin x 1
5 3 增：k , k (k Z)， 减：k , k (k Z) 8 8 8 8
(4) y log 1 2cos x 3
2
3 解： x cos x 2 k , 2 k 2 6 6
3. 求最小正周期： (1) f ( x) 3sin x 4cos x (2) f ( x) sin 2 x (3) f ( x) sin 2 x cos 2 x
y cos x , x R 的值域是 [1,1]，最大值是 1，最小值是 1.
当 cos x 1时，x 2k (k Z). 当 cos x 1 时，x (2k 1) (k Z).
（2）周期性
一般地，对于函数 f ( x)，如果存在一个常数 T (T 0)， 使得当 x 取定义域 D 内的任意值时，都有 f ( x T ) f ( x) 成立，那么函数 f ( x) 叫做周期函数，常数 T 叫做函数 f ( x) 的周期。对于一个周期函数 f ( x) 来说，如果在所有的周期中 存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做函数 f ( x) 的 最小正周期。
解： 偶函数； (1)
(2) f ( x) cos 2 x，偶函数；
2 (k Z)
(3)sin x 1 x 2k
x
，但 x 可以取 ，即 f ( x)的定义域不关于原点对称， 2 2
f ( x) 是非奇非偶函数。
(4) f ( x)
1 sin 2 x sin x 1 1 sin 2 x sin x 1
5 3 增：k , k (k Z)， 减：k , k (k Z) 8 8 8 8
(4) y log 1 2cos x 3
2
3 解： x cos x 2 k , 2 k 2 6 6
余弦函数图像与性质
-
x
2 由此可知, 由此可知,π,4π,,2π,4π,2kπ(k ∈Z,k ≠0)
都是这两个函数的周期. 都是这两个函数的周期. 对于一个周期函数 f (x) 如果在 , 它所有的周期中存在一个最小的 正数, 正数,那么这个最小的正数就叫 的最小正周期. 做 f (x) 的最小正周期.
根据上述定义,可知: 根据上述定义,可知:
正弦, 正弦,余弦函数的奇偶性
正弦, 正弦,余弦函数的奇偶性
y
1 -4π -3π -2π -π
o
-1
π
2π
3π
4π
5π
6π
x
sin(-x)= - sinx (x∈R) ∈
y=sinx (x∈R) 是奇函数 ∈ 定义域关于原点对称
cos(-x)= cosx (x∈R) ∈
y
1 -4π -3π -2π -π
π
2 3π 2
o -1
π
2π
x
y=sinx,x∈[0, 2π] , ∈ π
�
函数y=sinx,x∈[0,2π]是奇函数吗? ∈ 是奇函数吗? 函数 是奇函数吗
正弦,余弦函数的奇偶性, 正弦,余弦函数的奇偶性,单调性
y=sinx (x∈R) 图象关于原点对称 ∈ 图象关于原点 原点对称
y
1 -3π
5π 2
-2π
3π 2
-π
π
2
o
-1
π
2
π
3π 2
2π
5π 2
x
3π
7π 2
4π
0
π
2π
3π
4π
5π
6π
x
当x= 2kπ + π 时,函数值y取得最小值-1
第1章 §6 6.1 余弦函数的图像 6.2 余弦函数的性质
小 结
·
探
提
新 知
因为 y＝cos x＝sin x＋π2，所π 以余弦函数 y＝cos x 的图像可以通
素 养
合 作
过将正弦曲线 y＝sin x 向左__平移_2_个单位长度得到．如图是余弦函数
课
探
时
究 y＝cos x(x∈R)的图像，叫作余弦曲线．
分 层
释
作
疑
业
难
·
返 首 页
·
5
(2)利用五点法作余弦函数的图像
D [f(x)＝sin x－π2＝－sin π2－x＝－cos x，由f(x)＝cos x的性
作 业
·
质可判断A、B、C均正确．]
返
首
页
14
·
自 主 预
4．已知函数y＝－
3 4
cos
课
x，x∈[0，2π]，则其递增区间为 堂 小
习
结
·
探 ________．
提
新
素
知
[0，π] [当x∈[0，2π]时，函数y＝cos x在[0，π]上是减函数，在 养
究
分
层
释
作
疑
业
难
由上图可得sin x≥cos x在[0，2π]上的解集为π4，54π.
返 首 页
·
27
·
余弦函数的单调性及应用
自
课
主 预 习
【例3】 (1)求函数y＝1－12cos x的单调区间；
堂 小 结
·
探
提
新 知
合 作 探
([2解)比] 较(1c)o∵s －－12π7<0与，cos 187π的大小．
提
余弦函数图像及性质
信号处理
在信号处理领域，余弦函数可以作为基函数用于信号的分解与合成， 如傅里叶变换中的余弦级数展开。
经济学
在经济学中，余弦函数可以用于描述经济周期波动、季节性变化等 现象，为经济政策制定提供理论依据。
05 拓展：复合余弦函数及其 图像性质
复合余弦函数形式
一般形式
y = A·cos(ωx + φ) + k，其中 A、ω、φ、 k 均为常数，且 A ≠ 0，ω > 0。
与正弦函数图像比较
余弦函数与正弦函数的图像形状相似，但相位相差π/2。这意味着余弦函 数的图像相对于正弦函数图像向左或向右移动了π/2个单位。
在同一周期内，正弦函数和余弦函数的波峰和波谷位置互换。具体来说， 正弦函数在π/2处达到波峰，在3π/2处达到波谷；而余弦函数在0处达到 波峰，在π处达到波谷。
有界性
复合余弦函数的值域为 [k - A, k + A]。
单调性
在每个周期内，复合余弦函数 在特定区间内单调递增或单调
递减。
06 总结回顾与思考题
关键知识点总结
余弦函数定义
$y = cos x$，其中$x$为自变量， $y$为因变量，表示单位圆上与 $x$轴正方向夹角为$x$的点的 $y$坐标。
正弦函数和余弦函数的周期性相同，均为2π。因此，它们的图像在长度 上相等，只是相位上有所差异。
03 余弦函数性质分析
值域与定义域
值域
余弦函数的值域为[-1, 1]，即函数的 所有取值都落在这个区间内。
定义域
余弦函数的定义域为全体实数，即R。
单调性
余弦函数在整个定义域上不具备 单调性。
在[π, 2π]区间内，余弦函数是单 调递增的。
在信号处理领域，余弦函数可以作为基函数用于信号的分解与合成， 如傅里叶变换中的余弦级数展开。
经济学
在经济学中，余弦函数可以用于描述经济周期波动、季节性变化等 现象，为经济政策制定提供理论依据。
05 拓展：复合余弦函数及其 图像性质
复合余弦函数形式
一般形式
y = A·cos(ωx + φ) + k，其中 A、ω、φ、 k 均为常数，且 A ≠ 0，ω > 0。
与正弦函数图像比较
余弦函数与正弦函数的图像形状相似，但相位相差π/2。这意味着余弦函 数的图像相对于正弦函数图像向左或向右移动了π/2个单位。
在同一周期内，正弦函数和余弦函数的波峰和波谷位置互换。具体来说， 正弦函数在π/2处达到波峰，在3π/2处达到波谷；而余弦函数在0处达到 波峰，在π处达到波谷。
有界性
复合余弦函数的值域为 [k - A, k + A]。
单调性
在每个周期内，复合余弦函数 在特定区间内单调递增或单调
递减。
06 总结回顾与思考题
关键知识点总结
余弦函数定义
$y = cos x$，其中$x$为自变量， $y$为因变量，表示单位圆上与 $x$轴正方向夹角为$x$的点的 $y$坐标。
正弦函数和余弦函数的周期性相同，均为2π。因此，它们的图像在长度 上相等，只是相位上有所差异。
03 余弦函数性质分析
值域与定义域
值域
余弦函数的值域为[-1, 1]，即函数的 所有取值都落在这个区间内。
定义域
余弦函数的定义域为全体实数，即R。
单调性
余弦函数在整个定义域上不具备 单调性。
在[π, 2π]区间内，余弦函数是单 调递增的。
正弦函数和余弦函数的图像与性质
10
18
(2) 因为
π ＜ 2 π ＜ 3 π ＜π ，
23
4
且
y ＝sin x
在[ π ，π] 上是减函数，
2
所以 sin 2 π ＞ sin 3 π ．
3
4
例8.判断f(x)=xsin(+x)奇偶性
解 函数的定义域R关于原点对称 f (x) xsin( x) xsin x
f (x) (x)sin(x) f (x) f (x) f (x)
y
1
-2 - o 2 3
-1
4 x
定义域
R
值域
[1,1]
x 2k (k Z ) 时
2
最
值
ymax=1 x 2k (k Z ) 时
2
ymin= 1
y= 0 x k (k Z)
R [1,1]
x 2k (k Z) 时 ymax=1 x 2k (k Z ) 时 ymin= 1
是减函数。
② 函数y=cos(x+/2),xR ( A )
A 是奇函数； B 是偶函数； C 既不是奇函数也不是偶函数； D 有无奇偶性不能确定。
2 不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：
sin 250 >_ sin 260
cos15 / 8>_ cos14 / 9
cos515 >_ cos530
y
1-
-
o
π 6
π 3
π 2
2π 3
5π 6
π
7 6
4π 3
3π 2
5π 3
11π 6
2π
x
-1 -
图象的最高点: ( π ，1)； 2
正弦函数余弦函数的图像与性质
三角函数在物理学中的应用
振动与波动
正弦和余弦函数是描述简谐振动和波动的基本函 数，广泛应用于声学、光学等领域。
交流电
交流电的电压和电流是时间的正弦或余弦函数， 用于驱动各种电器设备。
磁场与电场
在电磁学中，正弦和余弦函数用于描述磁场和电 场的分布和变工程中的许多振动问题都可以用 正弦和余弦函数来描述，如桥梁 振动、车辆振动等。
周期性
正弦函数具有周期性， 其周期为2π。
奇偶性
正弦函数是奇函数，满 足sin(-x) = -sin(x)。
余弦函数的定义
定义
余弦函数是三角函数的另一种形式，定义为直角三角形中锐角的邻边与斜边的比值，记作 cos(x)。
周期性
余弦函数也具有周期性，其周期为2π。
奇偶性
余弦函数是偶函数，满足cos(-x) = cos(x)。
奇偶性
总结词
正弦函数是奇函数，而余弦函数是偶 函数。
详细描述
奇函数满足$f(-x) = -f(x)$，偶函数满 足$f(-x) = f(x)$。对于正弦函数， $sin(-x) = -sin(x)$；对于余弦函数， $cos(-x) = cos(x)$。
最值与振幅
总结词
正弦函数和余弦函数都具有最大值和最小值，这取决于它们的振幅。
正弦函数余弦函数的图像与性质
目录
• 正弦函数与余弦函数的定义 • 正弦函数与余弦函数的图像 • 正弦函数与余弦函数的性质 • 正弦函数与余弦函数的应用 • 正弦函数与余弦函数的扩展知识
01 正弦函数与余弦函数的定 义
正弦函数的定义
定义
正弦函数是三角函数的 一种，定义为直角三角 形中锐角的对边与斜边 的比值，记作sin(x)。
正弦函数余弦函数的图像和性质
即
f ( x) = 3cos x = 3cos( x + 2π ) = f ( x + 2π )
所以T=2π
2、y=sin2x x ∈R 解、令z=2x，那么x∈R必须并且只需z∈R，且函 数y=sinz，z∈R的T=2π，即变量z只要并且至少 要增加到z+2π，函数y=sinz，z∈R的值才能重复 取得，而z+2π=2x+2π=2（x+π） 故变量x只要并且至少要增加到x+π，函数值 x x+π 就能重复取得，所以y=sin2x，x∈R的T=π 即 f ( x) = sin 2 x = sin(2 x + 2π ) = sin 2( x + π ) = f ( x + π ) 所以T=π
例1．画出下列函数的简图 ．
（1）y= 2sinx ,x∈[0, 2π], ） ∈ π （2）y=sin2x , x∈[0,2π] ） 解: （1） 列表 ） Y 2 1 0
x y=2sinx
0 0
π
2
π 0
3π 2
2π π 0
2
-2
(2)描点作图 描点作图
y=2sinx y=sinx
π
2π
X
2、五点作图法 、
y = sin( x + ), x ∈ R 3 4
例4利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
（1） sin 250 （2） cos
15 π 8
o
与
sin 260o
与 cos 14 π 9
例5 求函数 y = sin( 2 x + 3 ), x ∈ [−2π , 2π ] 的单调递增区间. 解： 令
( 0 , 0 ) (π , 0 ) (2π ,0)
f ( x) = 3cos x = 3cos( x + 2π ) = f ( x + 2π )
所以T=2π
2、y=sin2x x ∈R 解、令z=2x，那么x∈R必须并且只需z∈R，且函 数y=sinz，z∈R的T=2π，即变量z只要并且至少 要增加到z+2π，函数y=sinz，z∈R的值才能重复 取得，而z+2π=2x+2π=2（x+π） 故变量x只要并且至少要增加到x+π，函数值 x x+π 就能重复取得，所以y=sin2x，x∈R的T=π 即 f ( x) = sin 2 x = sin(2 x + 2π ) = sin 2( x + π ) = f ( x + π ) 所以T=π
例1．画出下列函数的简图 ．
（1）y= 2sinx ,x∈[0, 2π], ） ∈ π （2）y=sin2x , x∈[0,2π] ） 解: （1） 列表 ） Y 2 1 0
x y=2sinx
0 0
π
2
π 0
3π 2
2π π 0
2
-2
(2)描点作图 描点作图
y=2sinx y=sinx
π
2π
X
2、五点作图法 、
y = sin( x + ), x ∈ R 3 4
例4利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
（1） sin 250 （2） cos
15 π 8
o
与
sin 260o
与 cos 14 π 9
例5 求函数 y = sin( 2 x + 3 ), x ∈ [−2π , 2π ] 的单调递增区间. 解： 令
( 0 , 0 ) (π , 0 ) (2π ,0)
余弦函数的图像和性质
相位
余弦函数的相位表示波形相对于原 点的水平位移。对于形如 y=cos(x+φ)的余弦函数，相位为φ。
与正弦函数图像关系
平移关系
余弦函数图像相对于正弦函数图像沿x轴向左平移π/2个单 位，即y=cosx的图像与y=sin(x+π/2)的图像重合。
对称性
余弦函数图像关于y轴对称，而正弦函数图像关于原点对称。 因此，余弦函数的图像在正半轴和负半轴上具有对称性。
利用三角函数表或计算器，可以求出已知角度 的余弦值。
已知余弦值求角度
通过反余弦函数或三角函数表，可以求出已知 余弦值对应的角度。
复合角的三角函数求值
利用三角函数的和差化积公式，可以求出复合角的三角函数值。
三角函数不等式求解
余弦函数的有界性
余弦函数的值域为[-1,1]，因此可 以利用这个性质求解一些与余弦 函数相关的不等式。
周期性
周期
余弦函数具有周期性，其最小正周期为 $2pi$。即对于任意整 数 $k$，都有 $cos(x + 2kpi) = cos(x)$。
波形
余弦函数的图像呈现周期性的波动，形状类似于正弦波，但 相位相差 $pi/2$。
奇偶性
偶函数
余弦函数是偶函数，即满足 $cos(-x) = cos(x)$。这意味着余弦函数的图像关 于 y 轴对称。
将余弦函数转换为正弦函数，利用正 弦函数的图像进行平移和伸缩变换， 得到余弦函数的图像。
振幅、周期与相位
振幅
余弦函数的振幅表示波形的最大 偏离程度，即函数值域的一半。 对于标准余弦函数y=cosx，振幅
为1。
周期
余弦函数的周期表示波形重复出现 的最小正周期。对于标准余弦函数 y=cosx，周期为2π。
余弦函数的相位表示波形相对于原 点的水平位移。对于形如 y=cos(x+φ)的余弦函数，相位为φ。
与正弦函数图像关系
平移关系
余弦函数图像相对于正弦函数图像沿x轴向左平移π/2个单 位，即y=cosx的图像与y=sin(x+π/2)的图像重合。
对称性
余弦函数图像关于y轴对称，而正弦函数图像关于原点对称。 因此，余弦函数的图像在正半轴和负半轴上具有对称性。
利用三角函数表或计算器，可以求出已知角度 的余弦值。
已知余弦值求角度
通过反余弦函数或三角函数表，可以求出已知 余弦值对应的角度。
复合角的三角函数求值
利用三角函数的和差化积公式，可以求出复合角的三角函数值。
三角函数不等式求解
余弦函数的有界性
余弦函数的值域为[-1,1]，因此可 以利用这个性质求解一些与余弦 函数相关的不等式。
周期性
周期
余弦函数具有周期性，其最小正周期为 $2pi$。即对于任意整 数 $k$，都有 $cos(x + 2kpi) = cos(x)$。
波形
余弦函数的图像呈现周期性的波动，形状类似于正弦波，但 相位相差 $pi/2$。
奇偶性
偶函数
余弦函数是偶函数，即满足 $cos(-x) = cos(x)$。这意味着余弦函数的图像关 于 y 轴对称。
将余弦函数转换为正弦函数，利用正 弦函数的图像进行平移和伸缩变换， 得到余弦函数的图像。
振幅、周期与相位
振幅
余弦函数的振幅表示波形的最大 偏离程度，即函数值域的一半。 对于标准余弦函数y=cosx，振幅
为1。
周期
余弦函数的周期表示波形重复出现 的最小正周期。对于标准余弦函数 y=cosx，周期为2π。
余弦函数图像和性质
余弦函数图像和性质
余弦函数： y=cosx 是指在坐标系中，点(x,y)满足y=cosx的所有点的集合。
图像：余弦函数的图像是一条周期性的波形，其对称轴为y轴，其波长与参数π有关，它的图像如下图所示：
性质： 1、余弦函数的图像具有周期性，即每隔2π的距离就会出现相同的图像； 2、余弦函数的图像包含了奇偶性，即当x取正值时，图像为正，当x取负值时，图像变成负； 3、余弦函数的图像具有对称性，即当x取正值时，图像为半正，当x取负值时，图像也为半正； 4、余弦函数的图像具有上下限性，即余弦函数的图像的上限是1，下限是-1.。
三角函数余弦函数的性质与图像
三角函数余弦函数的性质与 图像
2023-11-04
目 录
• 三角函数概述 • 余弦函数概述 • 余弦函数的对称性与最值 • 余弦函数的导数与积分 • 余弦函数的实际应用 • 余弦函数与其他数学知识的联系
01
三角函数概述
定义与性质
01
定义
三角函数是正弦、余弦和正切函数的统称，它们是定义在单位圆上的
应用
导数在几何学、振动分析和曲线拟合等领域有广泛应用。例如， 在振动分析中，余弦函数的导数可以描述振动的加速度。
积分
定义
余弦函数的积分定义为 `F(x) = -cos(x)`。
性质
余弦函数的积分在区间 `(0, 2π)` 上是周期函数，周期为 `2π`。此外，余弦函数的积分在区间 `(0, π)` 上是单调递减的，而 在区间 `(π, 2π)` 上是单调递增的。
与线性代数的联系
向量表示
余弦函数可以用于表示向量空间中的向量 。
矩阵变换
余弦函数可以用于进行矩阵的旋转和缩放 等变换。
正交性
余弦函数与其他三角函数的组合具有正交 性，即它们的内积为零。
与复变函数的联系
解析性质
余弦函数在复平面上是解析函数，即其导 数存在且连续。
复数表示
余弦函数可以表示为复平面上的复数形式 。
应用
积分在解决初值问题、求解面积和体积以及信号处理等领域有广泛应用。例如，在信号处理中，余弦函数的积分可以描述 信号的幅度。
微分方程
定义
性质
应用
微分方程是包含未知函数及其 导数的等式。在三角函数中， 微分方程通常用于描述振荡、 波动等自然现象。
余弦函数是一类特殊的三角函 数，它们满足一些微分方程。 例如，余弦函数及其导数满足 以下微分方程：`(d^2/dx^2 sin^2(x))y = 0`。
2023-11-04
目 录
• 三角函数概述 • 余弦函数概述 • 余弦函数的对称性与最值 • 余弦函数的导数与积分 • 余弦函数的实际应用 • 余弦函数与其他数学知识的联系
01
三角函数概述
定义与性质
01
定义
三角函数是正弦、余弦和正切函数的统称，它们是定义在单位圆上的
应用
导数在几何学、振动分析和曲线拟合等领域有广泛应用。例如， 在振动分析中，余弦函数的导数可以描述振动的加速度。
积分
定义
余弦函数的积分定义为 `F(x) = -cos(x)`。
性质
余弦函数的积分在区间 `(0, 2π)` 上是周期函数，周期为 `2π`。此外，余弦函数的积分在区间 `(0, π)` 上是单调递减的，而 在区间 `(π, 2π)` 上是单调递增的。
与线性代数的联系
向量表示
余弦函数可以用于表示向量空间中的向量 。
矩阵变换
余弦函数可以用于进行矩阵的旋转和缩放 等变换。
正交性
余弦函数与其他三角函数的组合具有正交 性，即它们的内积为零。
与复变函数的联系
解析性质
余弦函数在复平面上是解析函数，即其导 数存在且连续。
复数表示
余弦函数可以表示为复平面上的复数形式 。
应用
积分在解决初值问题、求解面积和体积以及信号处理等领域有广泛应用。例如，在信号处理中，余弦函数的积分可以描述 信号的幅度。
微分方程
定义
性质
应用
微分方程是包含未知函数及其 导数的等式。在三角函数中， 微分方程通常用于描述振荡、 波动等自然现象。
余弦函数是一类特殊的三角函 数，它们满足一些微分方程。 例如，余弦函数及其导数满足 以下微分方程：`(d^2/dx^2 sin^2(x))y = 0`。
余弦函数的图像和性质
x
3 2
2 1
y
0
2
3 2
2
练习：画出函数[0，2π]上的图像
y=2cos x -3
二、余弦函数y cosx的性质
1、定义域 2、值域 3、周期性 4、最值
5、单调性
y cos x , x R
y 1
2
2
-1
0
3 2 2
4xy cos x , x R5、单调性在x 2k ,2k 上是增函数；
在x 2k , 2k 上是减函数；
例2 求出使下列函数取得最值的x的集合，
并写出最值，定义域和值域
• y=2-3cos x
解： 当 x k 2 , k Z时 cosx取得最大值1
此时 y 2 3cosx的最小值 2－3＝ 1
作业：P40，1(2)并求定义域、 值域、最大最小值。 下节课再见啦*^_^*
；蹦床公园加盟 /service ； 2019年01月21日18:02:23 ；
你说话の份,你要么闭嘴要么滚出去.”鞠言毫不客气の说.对呐个想踩自身几脚の乌凌,鞠言自是不会有好の态度.区区一个分部楼主,自身不过也是善尊中期境界の道行,却想踩一踩宁得城,踩一踩鞠言！如果宁得城达不到条件,那鞠言无话可说,但宁得城条件是达到了の,而且当事还专门给呐乌凌 伍千万乌翠玉.呐混蛋收了乌翠玉,却故意下绊子,委实是可恨.听到鞠言の话,乌凌一罔脸顿事通红,目中露出怒光,但他不敢在呐里发飙.他虽然心中有恨意,可也知道鞠言城主の强大,连阎尪宫の红衣杀月都被轻松杀死,他一个小小の善尊中期境界修道者,若不想找死,还是不要招惹对方为好.“鞠 言城主,不知……”藏庄如看了看乌凌,又看向鞠言.他此事也有些不舒服,鞠言当着他の面如此呵斥乌凌,呐让
3 2
2 1
y
0
2
3 2
2
练习：画出函数[0，2π]上的图像
y=2cos x -3
二、余弦函数y cosx的性质
1、定义域 2、值域 3、周期性 4、最值
5、单调性
y cos x , x R
y 1
2
2
-1
0
3 2 2
4xy cos x , x R5、单调性在x 2k ,2k 上是增函数；
在x 2k , 2k 上是减函数；
例2 求出使下列函数取得最值的x的集合，
并写出最值，定义域和值域
• y=2-3cos x
解： 当 x k 2 , k Z时 cosx取得最大值1
此时 y 2 3cosx的最小值 2－3＝ 1
作业：P40，1(2)并求定义域、 值域、最大最小值。 下节课再见啦*^_^*
；蹦床公园加盟 /service ； 2019年01月21日18:02:23 ；
你说话の份,你要么闭嘴要么滚出去.”鞠言毫不客气の说.对呐个想踩自身几脚の乌凌,鞠言自是不会有好の态度.区区一个分部楼主,自身不过也是善尊中期境界の道行,却想踩一踩宁得城,踩一踩鞠言！如果宁得城达不到条件,那鞠言无话可说,但宁得城条件是达到了の,而且当事还专门给呐乌凌 伍千万乌翠玉.呐混蛋收了乌翠玉,却故意下绊子,委实是可恨.听到鞠言の话,乌凌一罔脸顿事通红,目中露出怒光,但他不敢在呐里发飙.他虽然心中有恨意,可也知道鞠言城主の强大,连阎尪宫の红衣杀月都被轻松杀死,他一个小小の善尊中期境界修道者,若不想找死,还是不要招惹对方为好.“鞠 言城主,不知……”藏庄如看了看乌凌,又看向鞠言.他此事也有些不舒服,鞠言当着他の面如此呵斥乌凌,呐让
7.2 余弦函数的图像与性质(课件)高一数学下册同步备课系列(沪教版2020必修第二册)
3.与正弦函数、余弦函数有关的函数值域求法 (1)利用sin x,cos x的有界性. (2)利用sin x,cos x的单调性. (3)化为sin x=f(x)或cos x=f(x),利用|f(x)|≤1来确定. (4)通过换元转化为二次函数.
【题组训练】
1.不等式2cos x> 3的解集为
A. (0, )
33
【思路导引】本例题中的函数可以看作是关于cos x的二次函数,可以化归为 利用二次函数求最值的方法求解.
【解题策略】1.形如y=acos x+b(a≠0)函数的单调区间 (1)当a>0时,其单调性与y=cos x的单调性一致. (2)当a<0时,其单调性与y=cos x的单调性恰好相反. 2.比较cos α与cos β的大小时,可利用诱导公式化为[0,π]内的余弦函数值 来进行.
上的图像,并根据图像讨论函数性质.
解 列表
x
0 π π 3π 2π
2
2
cos x 1 0 -1 0 1
y cos x -1 0 1 0 -1
y
y cos x，x 0, 2π
1
•
o
•
•
3
2
x
• -1
2
2•
例3不求值比较下列各对余弦值的大小：
(1) cos 5 π
4
和 cos 7 π
5
；(2)
cos(-
a a b
b 0, 4,
解得
a b
2, 2.
所以a=2,b=-2或a=-2,b=-2.
【补偿训练】 1. 函数y=2-cos x的单调递减区间是
A.[kπ+π,kπ+2π](k∈Z) B.[2kπ-π,2kπ](k∈Z) C. [2k,2k ](k∈Z)
余弦、正切函数的图像和性质
问题 正切函数 y = tanx 是否为周期函数？
∵f x +π = tan x +π = tanx ＝f(x)
是它的一个周期 ∴y = tanx 是周期函数，
ππ (- , ) 2 2
想一想：先作哪个区间上的图象好呢？ 一个周期内的图像
y tan x x 利用正切线画出函数 ， ， 的图像: 2 2 把单位圆右半圆分成8等份。 作法: (1) 等分： 3 3 (2) 作正切线 ， ， ， ， ， 8 8 4 8 8 4 (3) 平移 (4) 连线
自我小结
谈谈本节课你的收获是什么？ 哪部分知识掌握的比较好？ 还有什么不清楚的细节吗？……… 1.课本习题 2.学案课后练习 3.（选做）导学练
思考
我们已经学习了正弦、余弦函数的图像 我们是怎么得到它们的图像的呢？ 利用单位圆中的三角函数线作图 （由一个周期到整个定义域）
探索新知
通过回顾，对我们研究正切函数图像有 什么启发吗？ （利用正切线）
π 2 3π 2
O
π
2π x
-1
y cosx , x [0,2π]
正弦、余弦函数的图象
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
6
x
正弦函数的图象 y=cosx=sin(x+ ), xR
2
正弦曲 线
形状完全一样 只是位置不同
余弦函数的图象
y
1
余弦曲 线
-4
-3
-2
其值从-1增至1 其值从 1减至-1
y=cosx (xR)
6
4
∵f x +π = tan x +π = tanx ＝f(x)
是它的一个周期 ∴y = tanx 是周期函数，
ππ (- , ) 2 2
想一想：先作哪个区间上的图象好呢？ 一个周期内的图像
y tan x x 利用正切线画出函数 ， ， 的图像: 2 2 把单位圆右半圆分成8等份。 作法: (1) 等分： 3 3 (2) 作正切线 ， ， ， ， ， 8 8 4 8 8 4 (3) 平移 (4) 连线
自我小结
谈谈本节课你的收获是什么？ 哪部分知识掌握的比较好？ 还有什么不清楚的细节吗？……… 1.课本习题 2.学案课后练习 3.（选做）导学练
思考
我们已经学习了正弦、余弦函数的图像 我们是怎么得到它们的图像的呢？ 利用单位圆中的三角函数线作图 （由一个周期到整个定义域）
探索新知
通过回顾，对我们研究正切函数图像有 什么启发吗？ （利用正切线）
π 2 3π 2
O
π
2π x
-1
y cosx , x [0,2π]
正弦、余弦函数的图象
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
6
x
正弦函数的图象 y=cosx=sin(x+ ), xR
2
正弦曲 线
形状完全一样 只是位置不同
余弦函数的图象
y
1
余弦曲 线
-4
-3
-2
其值从-1增至1 其值从 1减至-1
y=cosx (xR)
6
4
三角函数的图像与性质(学生版)
一部分，则 f(π2)＝________.
15．(精选考题·江苏)设定义在区间0，π2 上的函数 y＝6cosx 的图象与 y＝5tanx 的图象交于点 P，过点
P 作 x 轴的垂线，垂足为 P1，直线 PP1 与函数 y＝sinx 的图象交于点 P2，则线段 P1P2 的长为________．
第7页共8页
时，求 x0 的值．
17．求当函数 y＝sin2x＋acosx－12a－32的最大值为 1 时 a 的值． 分析：先通过变形化为关于 cosx 的二次函数，配方后，根据函数式的特点，对 a 进行分类讨论．
第8页共8页
题型九：三角函数的图像变换
三角函数的图像与性质(学生版）
例 9：试述如何由 y= 1 sin（2x+ π ）的图象得到 y=sinx 的图象
3
3
变试题：（1）指出将 y sin x 的图象变换为 y 1 cos(2x ) 1的图象的变换过程；
2
3
（2）指出将 y sin x 的图象变换为 y 3sin(2x ) 1的图象的变换过程． 6
三角函数的图像与性质(学生版）
三、解答题 15．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在 6 千元的基础上，按月呈 f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B 的模型波 动(x 为月份)，已知 3 月份达到最高价 8 千元，7 月份价格最低为 4 千元，该商品每件的售价为 g(x)(x 为月 份)，且满足 g(x)＝f(x－2)＋2.(1)分别写出该商品每件的出厂价函数 f(x)、售价函数 g(x)的解析式；(2)问哪 几个月能盈利？
2
2
图；
法二：图像变换法
先将 y＝sinx 的图象向左平移 个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的 1 倍(ω＞0)，最后将图
7.2 余弦函数的图像与性质(课件)-高一数学(沪教版2020必修第二册)
9. 已知函数 = 2cos − ;
3 2
（1）求f(x)的最小正周期T；
（2）求f(x)的单调递增区间．
−
解： 由已知 =
= − , 则 = = .
当 − ≤ − ≤ ∈ ,
即 − ≤ ≤ +
3
点的坐标是 0,1 、 , 0 、 , −1 、
，0 、 2, 1
2
2
2.余弦函数的性质
利用余弦函数 = cos与正弦函数 = 的关系cos = sin +
2
，由正弦函
数的性质就容易推出余弦函数的性质：
（１）余弦函数 = cos是周期函数，2 ∈ , ≠ 0 均是它的周期，而２π是
A.
,1
2
C．(0，1)
B．(π，1)
D．(2π，1)
【答案】B；
【解析】用五点作图法作出函数y＝－cos x(x>0)的一个周期的图像如图所示，
由图易知与y轴最近的最高点的坐标为(π，1)；
2．函数 y＝cos x 与函数 y＝－cos x 的图象(
)
A．关于直线 x＝1 对称
B．关于原点对称
３．求函数 = 2cos
2
−
6
的最小正周期及单调区间．
解：函数 = 2cos − 的最小正周期为4，
2 6
5
单调增区间为 4 −
，4 +
∈ ,
3
3
7
单调减区间为 4 + ，4 +
正弦函数和余弦函数的图像与性质
D
矩形 A' B'C ' D' 周长最大？ a B' B
b
D' C
C'
课堂练习答案
1.(1) y cos x 3
当 x 6k , k Z 时，ymin 1
当 x 6k 3 , k Z 时，ymax 1
(2) y (sin x 1)2 3
当 x 2k , k Z 时，ymax 3
6
P
30
3x
课堂练习
1.求下列函数的最大值与最小值，及取到最值时
的自变量 x 的值.
(1) y cos x (2) y cos2 x 2sin x 1 3
2.要求同第1题.
(1) y cos(2x ) (2) y 2 cos2 x sin 2x
4
A'
3.如图，当 为何值时， A
这个函数的周期.
思考 2T ,3T , 4T , 也是周期吗？ 周期函数有多少个周期？
一、函数周期性的定义
一般地，对于函数 f (x) ，如果存在非零常数 T
使得对于定义域内的每一个自变量 x 值，都有 f (x+T ) f (x)
那么函数 f (x) 叫做周期函数，非零常数 T 叫做
这个函数的周期. 最小正周期 一个周期函数的全部周期中 若存在一个最小正数，那么这个最小的正数 就叫做这个周期函数的最小正周期.
正弦函数和余弦函数的定义域是 R 正弦函数和余弦函数的值域是[1,1]
二、正弦函数的图像
正弦函数 y sin x在区间[0, 2 ]上的图像.
思考 如何利用正弦线确定点(x0 , sin x0 ) 的坐标？
4.7 余弦函数的图像和性质
4.7 余弦函数的图像和性质我们用描点法作出了正弦函数y＝sin x在[0,2π]上的图像, 通过不断向左、向右平移(每次移动 2π个单位长度)得到了正弦函数y＝sin x, x∈R的图像, 并通过正弦曲线研究了正弦函数的性质．对于余弦函数y＝cos x, x∈R, 可否用同样的方法来研究？把区间[0,2π]分成12等份, 分别求出函数y=cos x在各分点及区间端点的正弦函数值.用描点法作出余弦函数y＝cos x在 [0,2π]上的图像.(1)列表.根据表中x，y的数值在平面直角坐标系内描点(x, y) ，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到正弦函数y＝cos x 在 [0,2π]上的图像.用描点法作出余弦函数y＝cos x在 [0,2π]上的图像.(1)列表.(2)描点作图.不难看出下面五个点是确定余弦函数y＝cos x在 [0,2π]上的图像的关键点.因此，余弦函数的图像也可以用五点法画出简图.由诱导公式cos(2kπ+x)＝cos x (k∈Z)可知, 将函数y＝cos x在[0,2π]上的图像沿x轴向左或向右平移2π, 4π, …, 就得到了余弦函y＝cos x, x∈R的图像.余弦函数的图像也称为余弦曲线, 它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线．将正弦函数的图像和余弦函数的图像放在同一个坐标系内,可以看出：把正弦函数y＝sin x, x∈R的图像向左平移个单位长度，就得到余弦函数y＝cos x, x∈R的图像．y＝sin x, x∈R若将正弦函数y＝sin x, x∈R的图像向右平移, 是否也可以得到余弦函数y＝cos x, x∈R的图像, 如果是, 需平移多少？(1)定义域.余弦函数的定义域是实数集R.观察余弦曲线，类比正弦函数，得到关于正弦函数y＝sin x，x∈R的结论:(2)值域. 余弦函数的值域是[-1, 1].观察余弦曲线, 类比正弦函数, 得到关于正弦函数y＝sin x, x∈R的结论:当x=2kπ(k∈Z)时, y取最大值, y max=1;当x=π+2kπ(k∈Z)时, y取最小值, y min=1.(3) 周期性.观察余弦曲线, 类比正弦函数, 得到关于正弦函数y＝sin x, x∈R的结论:余弦函数是周期为2π的周期函数．观察余弦曲线, 类比正弦函数, 得到关于正弦函数y＝sin x, x∈R的结论:(4) 奇偶性由图像关于y轴对称和诱导公式cos(−x)=cos x可知, 余弦函数是偶函数．余弦函数y＝cos x在每一个闭区间[(2k-1)π, 2kπ] (k∈Z) 上都是增函数, 函数值从-1增大到1; 在每一个闭区间[2kπ,(2k+1)π] (k∈Z)上是减函数, 函数值从1减小到-1．观察余弦曲线, 类比正弦函数, 得到关于正弦函数y＝sin x, x∈R的结论:(5) 单调性.例1利用五点法作出函数y=-cos x在[0,2π]上的图像．解(1)列表.(2)根据表中x ,y 的数值在平面直角坐标系内描点(x ,y )，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到函数y=-cos x 在[0,2π]上的图像.例1 利用五点法作出函数y=-cos x 在[0,2π]上的图像．解 (1)列表.例2 求函数y＝3cos x＋1的最大值、最小值及取得最大值、最小值时x的集合．解由余弦函数的性质知,-1≤cos x≤1 ,所以-3≤3 cos x≤3 ,从而 -2≤3 cos x+1≤4 ,即 -2 ≤ y ≤ 4.故函数的最大值为4，最小值为-2.函数y＝3cos x＋1取最大值时的x的集合, 就是函数y=cos x取得最大值时的x的集合 {x|x=2kπ, k∈Z};函数y＝3cos x＋1取最小值时的x的集合, 就是函数y=cos x取得最小值时的x的集合 {x|x=2kπ+π, k∈Z}．例3不求值比较下列各组数值的大小：解根据余弦函数的图像和性质可知：(1) 因为 , 余弦函数y=cos x在区间[0, π,]上是减函数, 所以(2) 因为 , 余弦函数y=cos x在区间[-π,0]上是增函数, 所以例3不求值比较下列各组数值的大小：解根据余弦函数的图像和性质可知：练习1. 用五点法作出函数y=cos x -1在[0, 2π]上的图像．2.求下列函数的最大值和最小值，及取得最大值、最小值时自变量x的集合．练习3. 不求值，比较下列各组数的大小.1.书面作业：完成课后习题和学习与训练；2.查漏补缺：根据个人情况对课题学习复习与回顾;3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.再见。
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
7.y=cosx在区间[-∏,a]上为增函数，则a的取值范围____________.
8.函数 的定义域___________.
9.求函数 的值域。
10.画出函数 的图像，并根据图像讨论其性质。
11.求出函数 的对称中心及对称轴方程。
12.判断函数 的奇偶性并求其单调区间。
13.求函数 的值域。
课后练习
(2)求f（x）的单调递增区间
余弦函数图像及性质
知识点梳理
1.余弦函数y=cosx的图像可以通过将正弦曲线y=sinx向________平移_________个单位长度得到，余弦函数y=cosx（xϵR）的图像叫作余弦曲线。
2.函数图像
3.余弦函数的性质
定义域
R
值域
[-1,1]
奇偶性
偶函数
最小正周期
2π
单调性ห้องสมุดไป่ตู้
最值
余弦曲线是中心对称图形，对称坐标
1.函数y=2-3cosx的单调递增区间（ ）
2.给出下列函数： 其中偶函数的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
3.已知函数 ，下列结论错误的是（ ）
A.函数f（x）的最小正周期是2∏ B.函数f（x）在区间[0， ]上是增函数
C.函数f（x）的图像关于直线x=0对称 D.函数f（x）是奇函数
C.向左平移 个单位长度，得到g（x）的图像 D.向右平移 个单位长度，得到g（x）的图像
4.已知函数 为奇函数，则 的一个取值为（ ）
A. B. C. D.0
5.在（0,2∏）内使sinx>|cosx|的x取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.函数y=-2cosx+10取最小值时，自变量x的集合是_____________.
4.如果函数 的图像关于点（ ，0）成中心对称，那么 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
5.函数y=cos4x，xϵR是（ ）
A.最小正周期为∏的偶函数 B.最小正周期为∏的奇函数
C.最小正周期为 的偶函数 D.最小正周期为 的奇函数
6.求函数 的定义域
7.求函数 的最小值
8.已知函数
(1)若f（x）=1， ，x的值
余弦曲线是轴对称图形：对称轴方程
基础题
1.用五点法做出函数y=3-cosx的图像，下列各点中不属于五点作图中的五个关键点（ ）
2.函数y=3cosx-1的最大值和最小值分别是 （ ）
A.1，-1 B.2，-4 C.2，-1 D.4，-4
3.已知 ，则f（x）的图像（ ）
A.与g（x）的图像相同 B.与g（x）的图像关于y轴对称
8.函数 的定义域___________.
9.求函数 的值域。
10.画出函数 的图像，并根据图像讨论其性质。
11.求出函数 的对称中心及对称轴方程。
12.判断函数 的奇偶性并求其单调区间。
13.求函数 的值域。
课后练习
(2)求f（x）的单调递增区间
余弦函数图像及性质
知识点梳理
1.余弦函数y=cosx的图像可以通过将正弦曲线y=sinx向________平移_________个单位长度得到，余弦函数y=cosx（xϵR）的图像叫作余弦曲线。
2.函数图像
3.余弦函数的性质
定义域
R
值域
[-1,1]
奇偶性
偶函数
最小正周期
2π
单调性ห้องสมุดไป่ตู้
最值
余弦曲线是中心对称图形，对称坐标
1.函数y=2-3cosx的单调递增区间（ ）
2.给出下列函数： 其中偶函数的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
3.已知函数 ，下列结论错误的是（ ）
A.函数f（x）的最小正周期是2∏ B.函数f（x）在区间[0， ]上是增函数
C.函数f（x）的图像关于直线x=0对称 D.函数f（x）是奇函数
C.向左平移 个单位长度，得到g（x）的图像 D.向右平移 个单位长度，得到g（x）的图像
4.已知函数 为奇函数，则 的一个取值为（ ）
A. B. C. D.0
5.在（0,2∏）内使sinx>|cosx|的x取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.函数y=-2cosx+10取最小值时，自变量x的集合是_____________.
4.如果函数 的图像关于点（ ，0）成中心对称，那么 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
5.函数y=cos4x，xϵR是（ ）
A.最小正周期为∏的偶函数 B.最小正周期为∏的奇函数
C.最小正周期为 的偶函数 D.最小正周期为 的奇函数
6.求函数 的定义域
7.求函数 的最小值
8.已知函数
(1)若f（x）=1， ，x的值
余弦曲线是轴对称图形：对称轴方程
基础题
1.用五点法做出函数y=3-cosx的图像，下列各点中不属于五点作图中的五个关键点（ ）
2.函数y=3cosx-1的最大值和最小值分别是 （ ）
A.1，-1 B.2，-4 C.2，-1 D.4，-4
3.已知 ，则f（x）的图像（ ）
A.与g（x）的图像相同 B.与g（x）的图像关于y轴对称