高中数学总结归纳 高考中导数问题的六大热点

高考中导数问题的六大热点

由于导数其应用的广泛性，为解决函数问题提供了一般性的方法及简捷地解决一些实际问题．因此在高考占有较为重要的地位，其考查重点是导数判断或论证单调性、函数的极值和最值，利用导数解决实际问题等方面，下面例析导数的六大热点问题，供参考．

一、运算问题

例1已知函数22()(1)

x b f x x -=-，求导函数()f x '． 分析：用商的导数及复合函数导数的运算律即可解决．

解：242(1)(2)2(1)()(1)

x x b x f x x ---•-'=- 3

222(1)x b x -+-=- 32[(1)](1)x b x --=-

-． 评注：对于导数运算问题关键是记清运算法则．主要是导数的定义、常见函数的导数、函数和差积商的导数，及复合函数、隐函数的导数法则等．

二、切线问题

例2设曲线ax

y e =在点(01)，处的切线与直线210x y ++=垂直，则a = ． 分析：由垂直关系可得切线的斜率为－

12

，又k ＝0()f x '，即可求出a 的值． 解：ax ae y ='，∴切线的斜率a y k x ===0'，由垂直关系，有1)21(-=-⋅a ，解得2=a ． 评注：是指运用导数的几何意义或物理意义，解决瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等三类问题．特别是求切线的斜率、倾斜角及切线方程问题，其中：

⑴ 曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的斜率k ，倾斜角为θ，则tan θ＝k ＝0()f x '． ⑵ 其切线l 的方程为：y ＝y 0＋0()f x '(x －x 0)．若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))的切线平行于y 轴(即导数不存在)时，由切线定义知，切线方程为x ＝x 0．

三、单调性问题

例3已知函数32

()1f x x ax x =+++，a ∈R ．

（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭

，

内是减函数，求a 的取值范围． 分析：对于第(1)小题，求导后利用f '(x )＞0或'()f x ＜0，解不等式即得单调区间；而(2)转化为'()f x ＜0在2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，

上恒成立即可． 解：（1）32()1f x x ax x =+++求导：2()321f x x ax '=++．

当23a ≤时，0∆≤，()0f x '≥，()f x 在R 上递增．

当23a >，()0f x '=

求得两根为3

a x -±=， 即()f x

在⎛-∞ ⎝⎭

递增，⎝⎭

递减，

⎫+∞⎪⎪⎝⎭

递增． （2）若函数在区间2

133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，则2

()321f x x ax '=++两根在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，外，即2'()31'()3f f ⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩

≤0≤0，解得a ≥2，故取值范围是[2，＋∞)． 评注：一般地，设函数y ＝f (x )在某个区间内可导．如果f '(x )＞0，则f (x )为增函数；如果f '(x )＜0，则f (x )为减函数．单调性是导数应用的重点内容，主要有四类问题：

①运用导数判断单调区间；

②证明单调性；

③已知单调性求参数；

④先证明其单调性，再运用单调证明不等式等问题．

四、极值问题

例4已知函数1()ln(1),(1)

n f x a x x =

+--其中n ∈N*,a 为常数．当n =2时，求函数f (x )的极值； 分析：运用导数先确定函数的单调性，再求其极值．

解：由已知得函数f (x )的定义域为{x |x ＞1}，

当n =2时，21()ln(1),(1)

f x a x x =+-- 所以2

3

2(1)().(1)a x f x x --=-

(1)当a ＞0时，由'()f x ＝0，得11x =+＞1，21x =＜1， 此时 f ′（x ）=123

()()(1)a x x x x x ----. 当x ∈（1，x 1）时，f ′（x ）＜0,f (x )单调递减；

当x ∈（x 1+∞）时，f ′（x ）＞0, f (x )单调递增.

（2）当a ≤0时，f ′（x ）＜0恒成立，所以f (x )无极值.

综上所述，n =2时，

当a ＞0时，f (x )在1x =+处取得极小值，极小值为2(1(1ln ).2a f a

+=+当a ≤0时，f (x )无极值．

评注：运用导数解决极值问题．一般地，当函数f (x )在x 0处连续，判别f (x 0)为极大(小)值的方法是：

⑴ 若0'()f x ＝0，且在x 0附近的左侧()f x '＞0，右侧()f x '＜0，那么f (x 0)是极大值， ⑵ 如果在x 0附近的左侧()f x '＜0，右侧()f x '＞0，那么f (x 0)是极小值．

五、最值问题

例5 求函数f (x )＝x 4－2x 2＋5在[－2，2]上的最大值与最小值．

分析：可先求出导数及极值点，再计算．

解： ()f x '＝4x 3－4x ，令()f x '＝0，解得x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝1，均在(－2，2)内． 计算f (－1)＝4，f (0)＝5，f (1)＝4，f (－2)＝13，f (2)＝13．

通过比较，可见f (x ) 在[－2，2]上的最大值为13，最小值为4．

评注：运用导数求最大(小)值的一般步骤如下：

若f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，则

⑴ 求()f x '，令()f x '＝0，求出在(a ，b )内使导数为0的点及导数不存在的点．

⑵ 比较三类点：导数不存在的点，导数为0的点及区间端点的函数值，其中最大者便是f (x )在[a ，b ]上的最大值，最小者便是f (x )在[a ，b ]上的最小值．

六、应用问题

例6 用总长14.8m 的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m ，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.

分析：本小题主要考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识．

解：设容器底面短边长为x m ，则另一边长为()0.5x + m ，高为

()14.8440.5 3.224

x x x --+=-． 由3.220x ->和0x >，得0 1.6x <<，

设容器的容积为3

ym ，则有 ()()0.5 3.22y x x x =+- ()0 1.6x <<．

即322 2.2 1.6y x x x =-++，

令0y '=，有26 4.4 1.60x x -++=，

即2151140x x --=，解得11x =，2415

x =-（不合题意，舍去）. 当x ＝1时，y 取得最大值，即max 2 2.2 1.6 1.8y =-++=，

这时，高为3.221 1.2-⨯=.

答：容器的高为1.2m 时容积最大，最大容积为3

1.8m ．