一般形式的柯西不等式全面版
一般形式的柯西不等式
柯西不等式的证明
数学归纳法证明
首先证明 n=2 的情况，然后假设 n=k 时成立，推导出 n=k+1 时也成 立。
二次型的方法证明
将柯西不等式转化为二次型的形式， 利用二次型的基本性质进行证明。
02
柯西不等式的应用
在数学中的应用
证明不等式
柯西不等式是证明各种数学不等式的重要工 具，如均值不等式、几何均值-算术均值不 等式等。
广义形式的柯西不等式
总结词
广义形式的柯西不等式是在更广泛的函数空间中推广的柯西不等式，它适用于连 续函数和可积函数。
详细描述
广义形式的柯西不等式表述为，对于任意的非负可积函数$f(x)$和$g(x)$，有$int f(x) g(x) dx leq left( int f(x)^2 dx right)^{1/2} left( int g(x)^2 dx right)^{1/2}$。
用范围。
柯西不等式与其他数学知识的结合
柯西不等式与线性代数
柯西不等式在向量内积和矩阵运算中有 重要应用，研究其与线性代数的结合有 助于更深入理解线性代数的基本概念。
VS
柯西不等式与微积分
柯西不等式在微积分中也有广泛应用，如 函数极值、积分等，研究其与微积分的结 合有助于更深入理解微积分的基本思想。
一般形式的柯西不等式
目录
• 柯西不等式的定义 • 柯西不等式的应用 • 柯西不等式的推广 • 柯西不等式的局限 • 柯西不等式的进一步研究
01
柯西不等式的定义任意 的正实数序列 a1, a2, ..., an 和 b1, b2, ..., bn，有 (∑(ai^2)) * (∑(bi^2)) ≥ (∑(ai * bi))^2。
04
一般形式的柯西不等式
即 2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2， 由条件可得，5－a2≥(3－a)2 2b 3c 6d 解得 1≤a≤2，当且仅当 ＝ ＝ 时等号成立，代入 b 1/2 1/3 1/6 1 1 2 1 ＝1，c＝3，d＝6时，amax＝2，b＝1，c＝3，d＝3时，amin＝1
名师大讲堂·2013 高考复习《数学》（理科）
( x1 x3 ) ( y1 y3 ) ( x2 x3 ) ( y 2 y3 )
2 2 2 2
( x1 x2 ) ( y1 y 2 )
2
2
名师大讲堂·2013 高考总复习《数学》（理科）
三维三角不等式和一般形式的三角不等式：
x12 y12 z12
1.函数 y 2 1 x 2 x 1的最大值为 ______ 3 0 此时 x ________
2.设实数x, y满足3x 2 2 y 2 6, 则P 2 x y的最大
11 值是 ______
25 1 2 1 2 2 3.若a, b R , 且a b 1, 则(a ) (b ) 的最小值是 ______ a b
式，此题有多种解法，比如用三角代换法求解，但过程较繁．
名师大讲堂·2013 高考总复习《数学》（理科）
3．函数 y＝3sinx＋4 1＋cos2x的最大值为____________．
名师大讲堂·2013 高考总复习《数学》（理科）
答案： 41 解析：y＝3sinx＋4 1＋cos2x＝3sinx＋4 2cos2x ≤ sin2x＋cos2x[32＋4 22]＝ 41 sinx 3 3 2 当且仅当 ＝± 即 tanx＝± 时，函数有最大值 41 cosx 8 4 2
高中数学一般形式的柯西不等式
典例精讲 例3 已知x 2 y 3z 1 ， 求x 2 y 2 z 2的最小值.
2 2 2 2 2 2 2
证明 : ( x y z )(1 2 3 ) ( x 2 y 3 z ) 1， x2 y2 z2 1 . 14 y z x 3 1 1 当且仅当 ，即x ， y ， z 时， 1 2 3 14 7 14 2 2 2 1 x y z 取最小值 . 14
应用举例
例1 浙江(2010 卷03)
2 2 2 a b c (1)设正实数a，，， b c 满足abc 1， 求 a 2b b 2c c 2a 的最小值.
例2 若a ， b ，为正实数 c . 求证： a b c 3 . bc ca ab 2
a 1 b 1 c 1 bc ca ab a b c b c a c a b (a b c ) 1 1 1 bc ca ab bc ca ab 1 ( b c ) ( c a ) ( a b ) 1 1 1 2 bc ca ab 1 (1 1 1)2 9 . 2 2 a b c 3. bc ca ab 2 证明：
2 n
1 an ) 2 .
an ) ，
2
a ) (a1 a2
2 2 an )2 a1 a2
1 (a1 a2 n
2 an .
变式练习
变式1 ： 已知a 、 b、 c、 d 0， ， 且a b c d 1. 求证： a b c d 1. 4
2 2 2 2
(a b c d ) .
2
即4(16 e ) (8 e ) ， 即64 4e 64 16e e
6. 一般形式的柯西不等式
即：14(x2 y2 z2 ) 1
x2 y2 z2 1 14
∴
x2
y2
z2
的最小值是
1 14
例4：设a、b、c为正数且各不相等.
求证： 2 2 2 9 ab bc ca abc
证明： 2(a b c)( 1 1 1 ) ab bc ca
[(a b) (b c) (c a)]( 1 1 1 ) ab bc ca
当且仅当 ai 0 (i=1,2,…,n) 或 存在一个 数
t使得 bi tai (i=1,2,…,n) 时等号成立。
以上不等式称为一般形式的柯西不等式。
推论：（三维形式的柯西不等式）
设 a1, a2 , a3, b1, b2 , b3 是两组实数，则有：
(a12 a22 a32 ) (b12 b22 b32 ) (a1b1 a2b2 a3b3 )2
当向量（a1, a2 , a3）与向量（b1, b2 , b3）共线
时，“=” 号成立。
例1 已知 a1, a2 , a3 ,..., an 都是实数，
求证：1
n
(a1
a2
...
an )2
a12
a22Байду номын сангаас
...
an2 .
证明：由一般形式的柯西不等式，得：
n个 1
（a12 a22 an2 ) (12 12 12 ) （a1 a2 an )2
即：（a1 a2 an )2 n(a12 a22 an2 )
1 n
(a1
a2
an )2 (a12 a22
an2 )
例2 已知a,b,c,d是不全相等的正数，证明：
a2 b2 c2 d 2 ab bc cd da
第43讲 柯西不等式
，因为对于任意实数， ，所以二次函数的判别式，也即
，当且仅当 有唯一实数根时，判别式，以上不等式取等号。此时，有唯一实数，使，若，则，柯西不等 式成立；若，则有。总之，当且仅当或时等号成立。
习题三 A类
1. 求函数的最大值。
2. 设，，且，求证 3. 设，求证
4. 设是正实数，且满足，证明
5. 已知为任意实数，证明 6. 若和为任意实数，则 B类 7. 设，且，求证 8. 设，，求 的最小值。
情景再现 1. 解方程 2. 已知，求的最小值。 3. 设，且，求证
B 类例题
例 4 已知是实数，满足，，试确定的最大值。
（第七届
美国数学竞赛题）
分析：柯西不等式中有两组数，，因此可用柯西不等式的关键一定要构造出两组数，而
且一个或两个和式应该和柯西不等式的某一因式结构相同。为此，可以写成，这样就有了两
，对该式右端的后三个根式用柯西不等式。 证法一：，
据柯西不等式， ，于是有 ，又因为，所以，因此 ，只需证 ，因此原不等式成立。
证法二：据柯西不等式可得，据此
，由于，因此，又 三式不可能同时相等，故得。
说明：本题两种证法运用柯西不等式的方式稍有不同，但效果却是一样，不过也有区 别。证法一得到的不等式比原题要更强一点。
2）分析：必要性是显然的。我们来证充分性。即如为锐角，，则。为了能够使用柯西不 等式，我们可以配上一个因式
证明：据柯西不等式 ，也就是 ，即，又不可能大于 1，因此 ，为锐角，故。
说明：利用柯西不等式来证等式，主要是利用其取等号的充要条件来达到目的。从这两 题证明过程看，用柯西不等式要比别的方法简捷一些。
9. 为正数，证明 10. 设为实数，且，， ，求的值。 C类 11. 设正数满足，，求证：
一般形式的柯西不等式及排序不等式
巩固练习一、
[ 例 1] 1 1 设 x1，x2，„，xn 都是正数，求证： ＋ ＋„ x1 x2
1 n2 ＋x ≥ . n x1＋x2＋„＋xn
已知 a，b，c，d 为不全相等的正数，求证： 1 1 1 1 1 1 1 1 ＋ ＋ ＋ ＞ ＋ ＋ ＋ . a2 b2 c2 d2 ab bc cd da
[例 2]
π aA＋bB＋cC 在△ABC 中，试证： ≤ 3 a＋b＋c
[证明]
1 1 ∵a≥b>0，于是a≤b，
1 1 又 c>0，从而 ≥ ， bc ca 1 1 1 1 1 同理ca≥ab，从而bc≥ca≥ab. 又由于顺序和不小于乱序和，故可得 a5 b5 c5 b5 c5 a5 ＋ ＋ ≥ ＋ ＋ b3c3 c3a3 a3b3 b3c3 c3a3 a3b3 b2 c2 a2 1 1 1 ＝ 3＋ 3＋ 3(∵a2≥b2≥c2， 3≥ 3≥ 3) c a b c b a c2 a2 b2 1 1 1 ≥ 3＋ 3＋ 3＝ ＋ ＋ c a b c a b 1 1 1 ＝ ＋ ＋ . a b c 所以原不等式成立．
和 S4=a1b2+a2b3+a3b1=195
备注 乱序和
S5=a1b3+a2b1+a3b2=185 S6=a1b3+a2b2+a3b1=180 (最小值)
乱序和
反序和
答案:220 180
知识总结点拨
1.对排序不等式的证明的理解 对排序不等式的证明中,用到了“探究——猜想——检验—— 证明”的思维方法,这是探索新知识、新问题常用到的基本方 法,对于数组涉及的“排序”及“乘积”的问题,又使用了 “一一搭配”这样的描述,这实质上也是使用最接近生活常识
第3讲2一般形式的柯西不等式课件人教新课标
时等号成立.
题型探究
类型一 利用柯西不等式证明不等式 命题角度1 三维情势的柯西不等式的应用 例1 设a，b，c为正数，且不全相等. 求证：a＋2 b＋b＋2 c＋c＋2 a＞a＋9b＋c.
证明
反思与感悟 有些问题一般不具备直接应用柯西不等式的条件，可以通过： (1)构造符合柯西不等式的情势及条件，可以巧拆常数. (2)构造符合柯西不等式的情势及条件，可以重新安排各项的次序. (3)构造符合柯西不等式的情势及条件，可以改变式子的结构，从而到达使 用柯西不等式的目的. (4)构造符合柯西不等式的情势及条件，可以添项.
∴a＋2b＋3c的最小值为9.
1234
解析 答案
3.设 a，b，c，d 均为正实数，则(a＋b＋c＋d)1a＋b1＋1c ＋1d的最小值为 __1_6_____.
解析 (a＋b＋c＋d)1a＋1b＋1c＋1d
＝[(
a)2＋(
b)2＋(
c)2＋(
d)2]·
1a2＋
1b2＋
1c2＋
1
2
d
≥
a·1a＋
a2b2＋a3b3)2 ，当且仅当 b1＝b2＝b3＝0或存在一个数 k，使得 ai＝kbi
(i＝1,2,3)时等号成立.
知识点二 一般情势的柯西不等式
1.一般形式的柯西不等式 设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn 是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21 ＋b22＋…＋b2n)≥ (a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2 . 2.柯西不等式等号成立的条件
b·1b＋
c·1c＋
d·1d2
3.2一般形式的柯西不等式(优秀经典公开课比赛课件)
解析 : a b c 1,
∴ 1 1 1 (a b c)( 1 1 1) ≥
abc
abc
( a 1 b 1 c 1 )2 9
b
c
即a b c 1 时, 1 1 1的最小值为9 3 abc
问题 7: 类比二维、三维空间的柯西不等式，
问题 2：你会用柯西不等式证明下面的两个不等式吗？
（１） a2 b2 ≥ 2ab （２） a2 b2 ≥ 1 (a b)2
2
(1)证明: ∵(a2 b2 )(b2 a2 ) ≥ (ab ba)2 (2ab)2, ∴(a2 b2 )2 ≥ (2ab)2
∴a2 b2 ≥ 2ab ≥2ab,
猜一猜 n 维空间的柯西不等式，即一般式．
定理 4：（一般形式的柯西不等式）：
设 n 为大于 1 的自然数， xi , yi R(i 1, 2,3, , n) ,则：
(x12 x22 xn2 )( y12 y22 yn2 ) (x1 y1 x2 y2 xn yn )2
是二次函数,因为对任意的实数 xi , yi (i 1, 2, 3, , n) ,
都有 f (x) ≥ 0 成立，∴△≤0
n
n
n
∴△ 4( xi yi )2 4( xi2 )( yi2 ) 0 ，
i 1
i 1
i 1
∴(x12 x22 xn2 )( y12 y22 yn2 ) (x1 y1 x2 y2 xn yn )2
(x12 x22 x32 )( y12 y22 y32 ) ≥ (x1 y1 x2 y2 x3 y3 )2
选修4 5 一般形式的柯西不等式
概率形式：对于任意的概率分布P(x)和Q(y)，有∑P(x)Q(y) ≥ ∑min(P(x), Q(y))
柯西不等式的应用场景
数学分析：用于 证明不等式和求 极值
线性代数：用于 判断向量线性相 关性和矩阵特征 值
概率论与数理统 计：用于估计概 率分布和统计推 断
添加标题
证明方法：利用向量的点积性质和向量模长的性质进行证明。
添加标题
应用场景：在数学、物理、工程等领域中，高维形式的柯西不等式有着广泛的应用。
添加标题
注意事项：在使用高维形式的柯西不等式时，需要注意其适用条件和限制，避免出现错误的应 用。
柯西不等式的应用
05
举例
在数学领域的应用
线性代数：柯西不等式在向量和矩阵运算中的应用 概率论：在估计概率分布和计算期望值中的应用 微积分：在求函数极值和积分运算中的应用 复变函数：在处理复数域中的问题时可以发挥重要作用
概率证明方法
柯西不等式的概率证明方法是通过构造概率空间和随机变量实现的。 概率证明方法利用了数学期望和方差的性质，以及概率的归一化性质。 概率证明方法的关键在于构造合适的概率空间和随机变量，使得不等式的两边达到最优。 概率证明方法在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用，是解决优化问题的一种重要工具。
01
添加章节标题
02
柯西不等式的定义
柯西不等式的数学表达
\((\sum a_i^2)(\sum b_i^2) \geq (\sum a_i b_i)^2\)
其中 \(a_i\) 和 \(b_i\) 是实 数序列
序列的长度必须相等
柯西不等式的形式分类
第2章 2.1 柯西不等式
且x＋y＋z＝xyz，
∴y1z＋x1z＋x1y＝1.
又x＋1 y＋y＋1 z＋z＋1 x≤12
1＋ xy
1＋ yz
1 zx
＝121·
1xy＋1·1yz＋1·
1 zx
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≤1212＋12＋12x1y＋y1z＋z1x12＝ 23， 当且仅当x＝y＝z时，即x＝y＝z＝ 3时等号成立，
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[再练一题] 2.若实数x，y，z满足x2＋y2＋z2＝9，则x＋2y＋3z的最大值是________. 【解析】 由柯西不等式得(x＋2y＋3z)2≤(1＋22＋32)·(x2＋y2＋z2)＝ 14×9，故x＋2y＋3z≤3 14，所以x＋2y＋3z的最大值是3 14.
【答案】 3 14
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探究4 利用柯西不等式时，常用的变形技巧有哪些？
【提示】 柯西不等式形式优美，有重要的应用价值，应用柯西不等式解 题的关键是恰到好处的变形，常用的变形技巧有：(1)等价变形，将要解决的不 等式问题作等价变形，构造出几个实数的平方和与另n个实数平方和的乘积的 形式.
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A.[－2 5，2 5]
B.[－2 10，2 10]
C.[－ 10， 10]
D.[－ 5， 5]
【解析】 ∵(a2＋b2)[12＋(－1)2]≥(a－b)2，
∴|a－b|≤ 20＝2 5，∴a－b∈[－2 5，2 5].
【答案】 A
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4.设a，b，c为正数，则(a＋b＋c)4a＋9b＋3c6的最小值为________.
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一般形式的柯西不等式 课件
a·1a＋
2b· 12b＋
3c· 13等式—— 一般形式
— 一般形式的应用
一般形式的柯西不等式
已知实数 x，y，z 满足 x＋2y＋z＝1，求 t＝x2＋4y2＋z2 的最小值． 【解】 由柯西不等式得(x2＋4y2＋z2)(1＋1＋1)≥(x＋2y＋z)2. ∵x＋2y＋z＝1，∴3(x2＋4y2＋z2)≥1，即 x2＋4y2＋z2≥31. 当且仅当 x＝2y＝z＝13，即 x＝13，y＝61，z＝13时等号成立． 故 x2＋4y2＋z2 的最小值为13.
题型一、运用柯西不等式求参数的取值范围
例 2 已知正数 x，y，z 满足 x＋y＋z＝xyz，且不等式x＋1 y＋y＋1 z＋z＋1 x≤λ 恒成立，求λ的取值范围． 【精彩点拨】 “恒成立”问题需求 1 ＋ 1 ＋ 1 的最大值，
x＋y y＋z z＋x 设法应用柯西不等式求最值．
【自主解答】 ∵x>0，y>0，z>0.且 x＋y＋z＝xyz.∴y1z＋x1z＋x1y＝1.
2．本题证明的关键在于构造两组数，创造使用柯西不等式的条件．在运用柯西不 等式时，要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确配凑出公式两侧的数组．
3．已知函数 f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且 f(x＋2)≥0 的解集为[－1,1]． (1)求 m 的值； (2)若 a，b，c∈R＋，且1a＋21b＋31c＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.
教材整理 1 三维形式的柯西不等式
设 a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a21＋a22＋a23)·(b21＋b22＋b23)≥ (a1b1＋a2b2 ＋a3b3)2. 当且仅当 b1＝b2＝b3＝0 或存在一个数 k，使得 ai＝kbi(i＝1,2,3)时，等号成立．我们
(完整版)柯西不等式
柯西不等式1☆学习目标： 1. 认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义; 2. 会证明二维柯西不等式及向量形式 ☻知识情景：1. 定理1 如果,a b R ∈, 那么222a b ab +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立.当0,0a b >>时，由222a b ab +≥⇒基本不等式：2. 如果,,,a b c d R ∈, 那么222a b ab +≥，222c d cd +≥⇒2222()()a b c d ++≥ 另一方面，有22222()2ac bd a c b d abcd +=++≥问题：2222()()a b c d ++2()ac bd + ???☻新知建构：1. 柯西不等式：若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd +++.当且仅当 时, 等号成立.此即二维形式的柯西不等式.证法10.（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++ 222()()()ac bd =++当且仅当 时, 等号成立. 证法20.（构造法） 分析：22222()()()ac bd a b c d +++⇐22222[2()]4()()0ac bd a b c d +-++而22222[2()]4()()ac bd a b c d +-++的结构特征 那么， 证：设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，∵ 22()()()f x ax c bx d =-+- 0 恒成立.∴ . 得证.证法30.（向量法）设向量(,)m a b =，(,)n c d =， 则||m =，||n =.∵ m n ⋅=，且><⋅⋅=⋅n m n m n m ,cos ||||，有||||||n m n m ⋅⋅.∴ . 得证. 2. 二维柯西不等式的变式：变式10.若,,,a b c d R ∈，则||2222bd ac d c b a ++⋅+ 或bd ac d c b a ++⋅+2222；变式20. 若,,,a b c d R ∈，；变式30. 若1122,,,x y x y R ∈，几何意义:3. 二维柯西不等式的应用： 4422332 ,()()()1a b a b a b a b ++≥+已知为实数,证明例*11,,b 1,42a b R a a b∈+=+≥设求证例3y =求函数例例4 22231,49,x y x y +=+若求的最小值并求最小值点.{222222222:(49)(11)(23)1,149.22131,23.12341231611149,(,)246x y x y x y x y x y x x y x y y x y ++≥+=∴+≥⋅=⋅=⎧=⎪=⎨+==⎪⎩∴+解由柯西不等式当且仅当即时取等号由得的最小值为最小值点为选修4-5练习221.,,10,( )a b R a b a b ∈+=-若且则的取值范围是A.⎡⎣.B ⎡-⎣.C ⎡⎣.D ⎡⎣.222.1,23( )x y x y +=+已知那么的最小值是 562536A. . . .63625B C D3.______y =函数224,,326,2______x y x y P x y +≤=+设实数满足则的最大值是22115.1,()()______a b a b a b+=+++若则的最小值是1．A 2、B 3．3 4． 5．2526、 求函数y =7、已知321x y +=，求22x y +的最小值.8、若,x y R +∈，2x y +=，求证：112x y+≥. 9、已知,,,x y a b R +∈，且1a bx y+=，则x y +的最小值. 10、若>b >，求证：ca cb b a -≥-+-411.11、 已知点()000,x y P 及直线:l 0x y C A +B += ()220A +B ≠ 用柯西不等式推导点到直线的距离公式12、已知,11122=-+-a b b a 求证：122=+b a 。
(完整word版)柯西不等式的应用技巧
柯西不等式的应用技巧及练习柯西不等式的一般形式是：设1212,,,R n n a a a b b b ∈,则222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++当且仅当1212nna a ab b b ===或120n b b b ====时等号成立．其结构对称,形式优美，应用极为广泛，特别在证明不等式和求函数的最值中作用极大．应用时往往需要适当的变形：添、拆、分解、组合、配凑、变量代换等，方法灵活,技巧性强．一、巧配数组观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式的积，其中每一个因式都是项的平方和,右边是左边中对立的两项乘积之和的平方,因此，构造两组数：1212,,n n a a a b b b 和,便是应用柯西不等式的一个主要技巧．例1 已知,,225x y z x y z ∈-+=R,,且求222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值． 例２ 设,,R x y z ∈，求证：≤≤ 二、巧拆常数运用柯西不等式的关键是找出相应的两组数,当这两组数不太容易找到时，常常需要变形，拆项就是一个变形技巧．例３ 设a 、b 、c 为正数且各不相等， 求证：cb a ac c b b a ++>+++++9222 。
三、巧添项四、巧变结构有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件,但是只要我们改变一下式子的形式结构,认清其内在的结构特征,就可达到运用柯西不等式的目的． 例６ a 、b 为非负数，a +b =1，+∈R x x 21,求证：212121))((x x ax bx bx ax ≥++例７ 设,121+>>>>n n a a a a 求证：011111113221>-+-++-+-++a a a a a a a a n n n练习题1. （2009年浙江省高考自选模块数学试题）已知实数z y x ,,满足,12=++z y x 设.2222z y x t ++= （1） 求t 的最小值；（2） 当21=t 时，求z 的取值范围2 （2010年浙江省第二次五校联考）已知,,a b c R +∈，1a b c ++=。
3.2一般形式的柯西不等式
课 题： 第03课时 一般形式的柯西不等式 教学目标：1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；2.通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法 教学重点：一般形式柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式。
教学难点：应用一般形式柯西不等式证明不等式。
教学过程： 一、复习引入：定理1：（柯西不等式的代数形式）设d c b a ,,,均为实数，则22222)())((bd ac d c b a +≥++，其中等号当且仅当bc ad =时成立。
定理2：（柯西不等式的向量形式）设α，β为平面上的两个向量，则||||||βαβα⋅≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
定理3：（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：231231232232221221)()()()()()(y y x x y y x x y y x x -+-≥-+-+-+-二、讲授新课：类似的，从空间向量的几何背景业能得到|α.β|≤|α|| β| .将空间向量的坐标代入，可得到成立.1,2,3)时，等号(b 使得a ，或存在一个实数k， 即共线时， ， 当且仅当)b a b a b (a )b b )(b a a (a 2332211232221232221===++≥++++i i i k 这就是三维形式的柯西不等式.对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？ 定理4：（一般形式的柯西不等式）：设n 为大于1的自然数，i i b a ,（=i 1，2，…，n ）为任意实数，则：22222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++≥++即211212)(∑∑∑===≥ni i i n i i ni ib a b a ，其中等号当且仅当nn a b a b a b === 2211时成立（当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ）。
第2章§1 柯西不等式
第2章§1柯西不等式§1柯西不等式1.1 简单形式的柯西不等式1.2 一般形式的柯西不等式1．认识柯西不等式的几种不同的形式，理解它们的几何意义，能证明柯西不等式的代数形式和向量形式．(重点、易混点)2．理解用参数配方法讨论柯西不等式一般情况的过程．(重点难点)3．能利用柯西不等式求特定函数的最值和进行简单的证明．(难点)[基础·初探]教材整理1简单形式的柯西不等式阅读教材P27～P28，完成下列问题．1．定理1对任意实数a，b，c，d，有(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当向量(a，b)与向量(c，d)共线时，等号成立．2．柯西不等式的向量形式设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式(a2＋b2)(d2＋c2)≥(ac＋bd)2是柯西不等式．()(2)(a＋b)(c＋d)≥(ac＋bd)2，是柯西不等式，其中a，b，c，d为正数．()(3)在柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2中，a，b，c，d是任意实数．()【解析】柯西不等式中，四个数的组合是有对应顺序的，故(1)不对，(2)中，a，b，c，d可分别写成(a)2，(b)2，(c)2，(d)2，所以是正确的，(3)正确．【答案】(1)×(2)√(3)√教材整理2一般形式的柯西不等式阅读教材P29～P30“练习”以上部分，完成下列问题．(2)由柯西不等式得：a 2＋b 2·12＋12≥a ＋b ，即2a 2＋b 2≥a ＋b .同理：2b 2＋c 2≥b ＋c ，2a 2＋c 2≥a ＋c .将上面三个同向不等式相加得： 2(a 2＋b 2＋a 2＋c 2＋b 2＋c 2)≥2(a ＋b ＋c )， 所以a 2＋b 2＋a 2＋c 2＋b 2＋c 2≥2(a ＋b ＋c )．利用二维柯西不等式的代数形式证题时，要抓住不等式的基本特征：(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，其中a ，b ，c ，d ∈R 或(a ＋b )(c ＋d )≥(\r(ac )＋\r(bd ))2，其中a ，b ，c ，d 为正数.找出待证不等式中相应的两组数，当这两组数不太容易找时，需分析，增补(特别是对数字的增补：如a ＝1×a )变形等.[再练一题]1．设a ，b ，c 为正数，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c . 【证明】 由柯西不等式⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2[(b )2＋(c )2＋(a )2] ≥⎝⎛⎭⎪⎫a b ·b ＋b c ·c ＋c a ·a 2. 于是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2c ＋c 2a (a ＋b ＋c )≥(a ＋b ＋c )2，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .运用柯西不等式求参数范围已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝xyz ，且不等式1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x≤λ恒成立，求λ的取值范围.【导学号：94910029】【精彩点拨】 “恒成立”问题需求1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x 的最大值，设法应用柯西不等式求最值．【自主解答】 1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x ≤12xy ＋12yz ＋12zx＝12⎝⎛⎭⎪⎫1·zx ＋y ＋z＋1·xx ＋y ＋z＋1·y x ＋y ＋z≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(12＋12＋12)⎝ ⎛⎭⎪⎫z x ＋y ＋z ＋x x ＋y ＋z ＋y x ＋y ＋z 12＝32.故参数λ的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.此题也是通过构造转化应用柯西不等式，由此可见，应用柯西不等式，首先要对不等式形式、条件熟练掌握，然后根据题目的特点“创造性”应用定理.[再练一题]2．已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝3，a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，试求a 的取值范围．【解】 由柯西不等式得，(2b 2＋3c 2＋6d 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋16≥(b ＋c ＋d )2，即2b 2＋3c 2＋6d 2≥(b ＋c ＋d )2. 由条件可得，5－a 2≥(3－a )2， 解得1≤a ≤2，所以实数a 的取值范围是[1,2]．[探究共研型]利用柯西不等式求最值探究1【提示】 要证(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，只要证a 2c 2＋b 2c 2＋a 2d 2＋b 2d 2≥a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2，即证b 2c 2＋a 2d 2≥2abcd ， 只要证(bc －ad )2≥0.因为上式显然成立，故(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2. 探究2 根据柯西不等式，下列结论成立吗？(1)(a ＋b )(c ＋d )≥(ac ＋bd )2(a ，b ，c ，d 为非负实数)； (2)a 2＋b 2·c 2＋d 2≥|ac ＋bd |(a ，b ，c ，d ∈R)； (3)a 2＋b 2·c 2＋d 2≥|ac |＋|bd |(a ，b ，c ，d ∈R)． 【提示】 成立．已知x 2＋2y 2＋3z 2＝1817，求3x ＋2y ＋z 的最小值． 【精彩点拨】 利用x 2＋2y 2＋3z 2为定值，构造柯西不等式形式，再利用公式得出范围，求解最小值．【自主解答】 (x 2＋2y 2＋3z 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋(2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132≥⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋2y ·2＋3z ·132＝(3x ＋2y ＋z )2，∴(3x ＋2y ＋z )2≤(x 2＋2y 2＋3z 2)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋(2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝12.∵－23≤3x ＋2y ＋z ≤23， ∴3x ＋2y ＋z 的最小值为－2 3.利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要保证取到等号成立的条件.[再练一题]3．若3x ＋4y ＝2，试求x 2＋y 2的最小值及最小值点．【解】 由柯西不等式(x 2＋y 2)(32＋42)≥(3x ＋4y )2，得25(x 2＋y 2)≥4， 所以x 2＋y 2≥425.当且仅当x 3＝y4时“＝”成立，为求最小值点，需解方程组⎩⎨⎧3x ＋4y ＝2，x 3＝y4，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝625，y ＝825.因此，当x ＝625，y ＝825时，x 2＋y 2取得最小值，最小值为425，最小值点为⎝ ⎛⎭⎪⎫625，825. [构建·体系]1．设x ，y ∈R ，且2x ＋3y ＝13，则x 2＋y 2的最小值为( ) A.13 B ．169 C ．13 D ．0 【解析】 (2x ＋3y )2≤(22＋32)(x 2＋y 2)， ∴x 2＋y 2≥13. 【答案】 C2．已知a ，b ，c 大于0，且a ＋b ＋c ＝1，则a 2＋b 2＋c 2的最小值为( ) A ．1 B ．4 C.13D ．12【解析】 根据柯西不等式，有(a 2＋b 2＋c 2)(12＋12＋12)≥(a ＋b ＋c )2＝1， ∴a 2＋b 2＋c 2≥13.【答案】 C3．已知a 2＋b 2＋c 2＝1，x 2＋y 2＋z 2＝1，t ＝ax ＋by ＋cz ，则t 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(－1,1)C ．(－1,0)D ．[－1,1]【解析】 设α＝(a ，b ，c )，β＝(x ，y ，z )． ∵|α|＝a 2＋b 2＋c 2＝1，|β|＝x 2＋y 2＋z 2＝1，由|α||β|≥|α·β|，得|t |≤1. ∴t 的取值范围是[－1,1]． 【答案】 D4．已知x ，y ＞0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y 的最小值为4，则xy ＝________.【导学号：94910030】【解析】 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1·1＋1xy 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1xy 2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1xy 2＝4，又xy ＞0， ∴xy ＝1，∴xy ＝1. 【答案】 15．已知3x 2＋2y 2≤6，求证：2x ＋y ≤11. 【证明】 由柯西不等式得(2x ＋y )2≤[(3x )2＋(2y )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝(3x 2＋2y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋12≤6×116＝11.于是2x ＋y ≤11. 我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)。
一般形式的柯西不等式
第□讲
一般形式的柯西不等式
[知识要点]:
1.柯西不等式的一般形式: 为实数,则
.(其中符号成立的条件是.
2.利用二次三项式的判别式证明柯西不等式的方法称为.
[激活思维]:
例1已知 ,且 ,求证: .
.
变式引申:已知 ,且 ,求证: .
(1)设三个正实数
,求证: 一定是某一三角形的三条边长.
(2)设 个正实数 满足不等式
(其中 ),求证: 中任何三数都是某三角形的边长.
变式引申:设 是正数,求证:
.
第 页
例2设 且 ,求证: .
变式引申:设 是正数,求证:
.
[分级训练]:
A.基础训练
1.已知 是不全相等的正数,证明:
.
2.已知 ,求 的最小值.
3.设 ,求 的最大值.
5.设 为正实数,且 ,求 的最小值.
6.已知 ,求
的最大值.
C.综合提高
7.设 ,求证:
.
[备选练习]:
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课 题：§3.2一般形式的柯西不等式
教学目标：认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式，并
应用其解决一些不等式的问题..
教学重点：会证明一般形式的柯西不等式，并能应用. 教学难点：理解证明中的函数思想. 教学过程：
一、复习引入：
1. 提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？ 几何意义？
答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+2. 思考：如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？四维呢？
答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+；2222222()()()a b c d e f ad be cf ++++≥++。
二、讲授新课：
1. 一般形式的柯西不等式： ① 提问：由平面向量的柯西不等式||||||αβαβ⋅≤，如何得到空间向量的三维形式的柯西不等式及代数形式？
② 猜想：n 维向量的坐标？n 维向量的柯西不等式及代数形式？ 结论：设1212,,,,,,,n n a a a b b b R ∈，则
222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++
讨论：什么时候取等号？
联想：设1122n n B a b a b a b =+++，22212n A a a a =++，22212n C b b b =+++，则有
20B AC -≥，可联想到一些什么？
③ 讨论：如何构造二次函数证明n 维形式的柯西不等式？（注意分类）
要点：令2222121122)2()n n n f x a a a x a b a b a b x =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+（）（222
12()n b b b +++⋅⋅⋅+ ，则2221122()()())0n n f x a x b a x b a x b =++++⋅⋅⋅+≥+（.
又222120n a a a ++⋅⋅⋅+>，从而结合二次函数的图像可知，
[]2
2221122122()4()n n n a b a b a b a a a ∆=+++-++
⋅22212()n b b b +++≤0
即有要证明的结论成立.
④分析什么时候等号成立？ 二次函数f x （）
有唯一零点时，判别式0∆=，这时不等式取等号； 00i i a x b ∆=⇔+=0i b ⇔=或i i a kb =（1,2,
,i n =）
定理4：（一般形式的柯西不等式）：设n 为大于1的自然数，i i b a ,（=i 1，2，…，n ）为任意实数，则：
21
1
2
1
2)(∑∑∑===≥n
i i i n
i i
n i i b a b
a ，当且仅当0=i
b （=i 1，2，…，n ）或存在
一个数k ，使得i i a kb =（1,2,
,i n =）时等号成立。
⑤探究：一般形式的三角不等式是怎样的？（可以让学生课后去探究） 利用一般形式的柯西不等式，容易推导出一般形式的三角不等式：
2222222121122()()()≥n n n n x y y y x y x y x y ++++++-+-+++-
(,,1,2,
,)i i x y R i n ∈=
具体证法为：展开2222212)n n x y y y +
+++++，然后由柯西不等式推出展开式
中的，进而完成全部证明。
教学中可由学生探究具体证明过程，以加强其对一般形式柯西不等式与一般形式三角不等式之间联系的认识。
⑤ 变式：222212121
()n n a a a a a a n
++
≥++⋅⋅⋅+. （讨论如何证明）
2. 柯西不等式的应用：
①例1、已知1a ，2a ，…，n a 为实数，求证：2
11
2
)(1∑∑==≥n i i n
i i a n a 。
分析：不等式的形式与一般的柯西不等式很接近，但必须经过适当变形才能看出两者是
完全一致的。
因此，如何适当变形是解决本题的关键。
推论：在n 个实数1a ，2a ，…，n a 的和为定值为S 时，它们的平方和不小于2
1S n
，当且仅当n a a a === 21时，平方和取最小值
2
1S n。
②例2、已知,,,a b c d 是不全相等的正数，证明：2
2
2
2
a b c d ab bc cd da +++>+++ 方法一：轮换对称式，可以利用柯西不等式进行证明，注意为什么等号不能成立？ 方法二：利用基本不等式
③例3、已知321x y z ++=，求222x y z ++的最小值.
分析：如何变形后构造柯西不等式？ → 板演 → 变式：
④练习：若,,x y z R +∈，且1111x y z ++=，求23
y z
x ++的最小值.
⑤例4、若a >b >c ，求证：c
a c
b b a -≥
-+-4
11. 思路：21111()()[()()]()(11)4a c a b b c a b b c a b b c
-+=-+-+≥+=---- 三、课堂练习：
1、设x 1，x 2，…，x n >0, 则
1
11
1
-≥
-∑
∑
==n x x x n
i i
n
i i
i
2、设x ，y ，z 为正实数，且x+y+z=10，求z
9
y 1x 4++的最小值。
3、设x ，y ，z ∈R ，求
2
22z
y 2x z
y x 2++-+的最大值。
4、求证)3(≥n n 个正实数a 1，a 2，…，a n 满足
))(1()(4
424122
2221n n a a a n a a a +++->+++
5、设+
∈R z y x ,,,求证: 12
22
222222≥++++++++xy
y x z zx x z y yz z y x 。
四、课堂小结：
柯西不等式的一般形式及应用；等号成立的条件；根据结构特点构造证明. 五、课后作业：课本P41 1—6。