一般形式的柯西不等式全面版

课 题：§3.2一般形式的柯西不等式

教学目标：认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式，并

应用其解决一些不等式的问题..

教学重点：会证明一般形式的柯西不等式，并能应用. 教学难点：理解证明中的函数思想. 教学过程：

一、复习引入：

1. 提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？ 几何意义？

答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+2. 思考：如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？四维呢？

答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+；2222222()()()a b c d e f ad be cf ++++≥++。。。。。。 二、讲授新课：

1. 一般形式的柯西不等式： ① 提问：由平面向量的柯西不等式||||||αβαβ⋅≤，如何得到空间向量的三维形式的柯西不等式及代数形式？

② 猜想：n 维向量的坐标？n 维向量的柯西不等式及代数形式？ 结论：设1212,,,,,,,n n a a a b b b R ∈，则

222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++

讨论：什么时候取等号？

联想：设1122n n B a b a b a b =+++，22212n A a a a =++，22212n C b b b =+++，则有

20B AC -≥，可联想到一些什么？

③ 讨论：如何构造二次函数证明n 维形式的柯西不等式？（注意分类）

要点：令2222121122)2()n n n f x a a a x a b a b a b x =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+（）（222

12()n b b b +++⋅⋅⋅+ ，则2221122()()())0n n f x a x b a x b a x b =++++⋅⋅⋅+≥+（.

又222120n a a a ++⋅⋅⋅+>，从而结合二次函数的图像可知，

[]2

2221122122()4()n n n a b a b a b a a a ∆=+++-++

⋅22212()n b b b +++≤0

即有要证明的结论成立.

④分析什么时候等号成立？ 二次函数f x （）

有唯一零点时，判别式0∆=，这时不等式取等号； 00i i a x b ∆=⇔+=0i b ⇔=或i i a kb =（1,2,

,i n =）

定理4：（一般形式的柯西不等式）：设n 为大于1的自然数，i i b a ,（=i 1，2，…，n ）为任意实数，则：

21

1

2

1

2)(∑∑∑===≥n

i i i n

i i

n i i b a b

a ，当且仅当0=i

b （=i 1，2，…，n ）或存在

一个数k ，使得i i a kb =（1,2,

,i n =）时等号成立。

⑤探究：一般形式的三角不等式是怎样的？（可以让学生课后去探究） 利用一般形式的柯西不等式，容易推导出一般形式的三角不等式：

2222222121122()()()≥n n n n x y y y x y x y x y ++++++-+-+++-

(,,1,2,

,)i i x y R i n ∈=

具体证法为：展开2222212)n n x y y y +

+++++，然后由柯西不等式推出展开式

中的，进而完成全部证明。教学中可由学生探究具体证明过程，以加强其对一般形式柯西不等式与一般形式三角不等式之间联系的认识。

⑤ 变式：222212121

()n n a a a a a a n

++

≥++⋅⋅⋅+. （讨论如何证明）

2. 柯西不等式的应用：

①例1、已知1a ，2a ，…，n a 为实数，求证：2

11

2

)(1∑∑==≥n i i n

i i a n a 。

分析：不等式的形式与一般的柯西不等式很接近，但必须经过适当变形才能看出两者是

完全一致的。因此，如何适当变形是解决本题的关键。

推论：在n 个实数1a ，2a ，…，n a 的和为定值为S 时，它们的平方和不小于2

1S n

，当且仅当n a a a === 21时，平方和取最小值

2

1S n

。 ②例2、已知,,,a b c d 是不全相等的正数，证明：2

2

2

2

a b c d ab bc cd da +++>+++ 方法一：轮换对称式，可以利用柯西不等式进行证明，注意为什么等号不能成立？ 方法二：利用基本不等式

③例3、已知321x y z ++=，求222x y z ++的最小值.

分析：如何变形后构造柯西不等式？ → 板演 → 变式：

④练习：若,,x y z R +∈，且1111x y z ++=，求23

y z

x ++的最小值.

⑤例4、若a >b >c ，求证：c

a c

b b a -≥

-+-4

11. 思路：21111()()[()()]()(11)4a c a b b c a b b c a b b c

-+=-+-+≥+=---- 三、课堂练习：

1、设x 1，x 2，…，x n >0, 则

1

11

1

-≥

-∑

∑

==n x x x n

i i

n

i i

i

2、设x ，y ，z 为正实数，且x+y+z=10，求z

9

y 1x 4++的最小值。

3、设x ，y ，z ∈R ，求

2

22z

y 2x z

y x 2++-+的最大值。

4、求证)3(≥n n 个正实数a 1，a 2，…，a n 满足

))(1()(4

424122

2221n n a a a n a a a +++->+++

5、设+

∈R z y x ,,,求证: 12

22

222222≥++++++++xy

y x z zx x z y yz z y x 。 四、课堂小结：

柯西不等式的一般形式及应用；等号成立的条件；根据结构特点构造证明. 五、课后作业：课本P41 1—6