新浙教版八上数学2.5逆命题和逆定理
八级数学上册(浙教版)课件：2.5 逆命题和逆定理 (共23张PPT)
D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
初中数学
5．下面定理中，没有逆定理的是( D ) A．同旁内角互补，两直线平行 B．全等三角形的对应边相等 C．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
D．等角的补角相等
初中数学
6．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，请写出它的逆定理． (1)两边及其夹角对应相等的两个三角形全等； (2)成轴对称的两个图形是全等图形； (3)等腰三角形顶角的平分线与底边上的高线互相重合．
解：答案不唯一，如结论：(1)∠DAB＝ ∠DCB；(2)BD平分∠ADC和∠ABC；
初中数学
(3)DB垂直平分AC.结论(1)证明：在△ABD和△CBD中，∵AB＝CB， AD＝CD，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD(SSS)，∴∠DAB＝∠DCB；结论 (2)证明：同上可证△ABD≌△CBD，∴∠ADB＝∠CDB，∠ABD＝ ∠CBD，即BD平分∠ADC和∠ABC；结论(3)证明：∵AD＝CD，∴点D 在线段AC的垂直平分线上，同理，点B在线段AC的垂直平分线上， ∴DB垂直平分AC
初中数学
真命题 ，那么就叫它 2．如果一个定理的逆命题能被证明是________ 逆定理 ，这两个定理叫做___________ 互逆定理 ． 是原定理的_________
练习2：定理“两直线平行，同旁内角互补”与 同旁内角互补，两直线平行 互为逆定理． _____________________________
(2)请选择一个真命题进行证明．
(先写出所选命题，然后证明)
初中数学
解：答案不唯一，如选择①③⇒②.证明：∵AB＝AC，∴∠B ＝∠C.又∵BD＝CE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴AD＝AE
八上2.5逆命题和逆定理
易证△BPE≌△BPQ，△CPD≌△CPQ，
得BQ=BE，CQ=CD，则BC=BE+CD=7．
八年级上 2.5 答案
选择填空题答案
2.5 课前检测 1-6 CDA BAD 2.5 课后检测
1-3 DDC
4. 5
5. 有
6. 两个相等的角是同位角
八上 2.5 课后 No.2
D
八上 2.5 课后 No.3
C
八上 2.5 课后 No.4
5
l P
A
B
八上 2.5 课后 No.5
有
八上 2.5 课后 No.6
两个相等的角是同位角
八上 Байду номын сангаас.5 课后 No.7
逆命题是：如果a2=b2,那么a=b． 这是假命题． 反例：当a=1，b=-1时，a2=b2，但 a≠b．
D C
F
3 2 S 3= AB , ∵ S1 S2 S3 4
S1
A
S2
B
S3
3 3 3 2 2 ∴ AC BC AB 2 4 4 4
E
∴ AC 2 BC 2 AB 2
∴ ∠ACB=Rt∠．
八上 2.5 课后 No.9
真
假
八上 2.5 课后 No.9
解:(1)连结BC．根据△BCD≌△CBE， 得∠ABC=∠ACB，则AB=AC
八上 2.5 课后 No.8
F
逆命题：如图，以△ABC各边 为边向外作等边三角形，若三 个等边三角形的面积S1,S2,S3
D
C
S1
A
S2
B
S3
E
满足S1+S2=S3,则∠ACB=RT∠.
浙教版初中数学八年级上册 2.5 逆命题和互逆命题 课件
3．(4分)下列定理中，有逆定理的是( D ) A．四边形的内角和等于360° B．同角的余角相等 C．全等三角形的对应角相等 D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 4．(8分)写出下列命题的逆命题，并判断其逆命题的真假． (1)两直线平行，同旁内角互补． 逆命题： 同旁内角互补，两直线平行 ．( 真命 题) (2)如果a＝0，b＝0，那么ab＝0. 逆命题： 如果ab＝0，那么a＝0，b＝0 ．( 假命 题)
8．(8分)已知命题“等腰三角形两腰上的高相等”． (1)写出此命题的逆命题； (2)逆命题是真命题还是假命题？如果是真命题，请画出图 形，写出“已知”，“求证”，“证明”；如果是假命题， 请举反例说明．
解：略
9．(8分)如图，已知△ABC中∠ABC，∠ACB的外角平分
线交于点D.求证：AD是∠BAC的平分线． 证明：过D点分别作DE⊥AB， DF⊥BC，DG⊥AC， 垂足分别为E，F，G. ∵BD和CD分别是∠ABC， ∠ACB的外角平分线， ∴DE＝DF，DG＝DF， ∴DE＝DG，∴AD是∠BAC的平分线
解：略
12．(14分)如图，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P. (1)在图①中，分别画出点P到边AC，BC，BA的垂线段PF， PG，PH，这三条线段相等吗？为什么？ (2)在图②中，∠ABC是直角，∠C＝60°，其余条件都不 变，请你写出PE与PD之间的数量关系，并说明理由．
解：(1)PF＝PH＝PG.理由略 (2)PE＝PD，理由略
2.5 逆命题和互逆命题
1．(4分)下列说法中，正确的是( A ) A．每个命题都有逆命题 B．假命题的逆命题一定是假命题 C．每个定理都有逆定理 D．假命题没有逆命题 2．(4分)下列命题的逆命题是真命题的是( ) A．如果a＝b，那么a2＝b2 B．平行四边形是中心对称图形 C．在三角形中，等边对等角 D．对顶角相等
八年级数学上册 2.5《逆命题和逆定理》教案 (新版)浙教版
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学习资料专题《逆命题和逆定理》教学目标1、经历逆命题的概念的发生过程，了解一个命题都是由条件与结论两部分构成，每个命题都有它的逆命题，命题有真假之分.2、了解逆命题、逆定理的概念.教学重点、难点重点：会识别两个命题是不是互逆命题，会在简单情况下写出一个命题的逆命题，了解原命题成立，其逆命题不一定成立．难点：能判断一些命题的真假性，并能运用推理的思想方法证明一类较简单的真命题，同时了解假命题的证明方法是举反例说明．教学过程一、回顾旧知，引入新课1、命题的概念：对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题.我们还知道，命题都有两部分，即条件和结论，它的一般形式是“如果…，那么…”例1．命题：“平行四边形的对角线互相平分”条件是，结论是 .命题：“对角线互相平分的四边形是平行四边形”条件是，结论是 .以上两个命题有什么不同？请你说一说.归纳：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题.填表并思考行问：每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题是否一定为真命题？二、例题教学例1、说出定理“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等的逆命题，并证明这个逆命题是真命题.注意：①注意组织适当的语句叙述出逆命题，不能只是把原命题的条件和结论交换位置.②引导学生运用分类考虑的必要性.练习：⑴作业题4三、小结：这节课我们学到了什么？①逆命题、逆定理的概念.②能写出一个命题的逆命题.四、作业作业：1．课后作业题.。
初中数学浙教版八年级上册《2.5逆命题和逆定理》练习题
逆命题与逆定理班级：___________姓名：___________得分：__________一、选择题1、下列判断是正确的是（）A．真命题的逆命题是假命题B．假命题的逆命题是真命题C．定理逆命题的逆命题是真命题D．真命题都是定理2.已知下列命题：①若a≤0，则|a|=-a；②若ma²＞na²，则m＞n；③同位角相等，两直线平行；④对顶角相等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个3.下列命题的逆命题是真命题的是（）A．对顶角相等B．如果两个角是直角那么这两个角相等C．全等三角形的对应角等D．两直线平行，内错角相等4.下列命题中，逆命题不正确的是（）A．两直线平行，同旁内角互补B．直角三角形的两个锐角互余C．全等三角形对应角相等D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半5.下列命题中，其逆命题成立的是（）A．如果a＞0，b＞0，那么ab＞0B．两直线平行，内错角相等C．能被9整除的数，也能被3整除D．如果a=0，b=0，那么ab=0二、填空题1、“若x+y=0，则x、y互为相反数．”的逆命题是______．2. 下列命题：①全等三角形的面积相等；②平行四边形的对角线互相平分；③同旁内角互补，两直线平行．其中逆命题为真命题的有：______（请填上所有符合题意的序号）．3. 请写出定理：“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理______．4. 已知命题“线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等”，用“如果…，那么…”的形式写出它的逆命题，并判断其真假．逆命题：______．这个逆命题是______ 命题（填“真”或“假”）．5. 在《证明二》一章中，我们学习了很多定理，例如：①直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；②全等三角形的对应角相等；③等腰三角形的两个底角相等；④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；⑤角平分线上的点到这个角两边的距离相等、在上述定理中，存在逆定理的是______（填序号）三、解答题1. 写出下列两个定理的逆命题，并判断真假（1）在一个三角形中，等角对等边．（2）四边形的内角和等于360°．2. 写出下列命题的逆命题：（1）两条直线被第三条直线所截，如果有一对同位角相等，那么这两条直线平行；（2）角平分线上的点到角的两边的距离相等；（3）若r²=a，则r叫a的平方根；（4）如果a≥0，那么√a²=a．四、证明题请你写出命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题，并判断逆命题的真假；若是真命题，请写出已知、求证、证明；若是假命题，则请举反例证明．参考答案一、选择题2、B【解析】①若a≤0，则|a|=-a，是真命题，逆命题是若|a|=-a则a≤0，是真命题，②若ma2＞na2，则m＞n，是真命题，逆命题是若m＞n，则ma2＞na2，是假命题，③同位角相等，两直线平行，是真命题，逆命题是两直线平行，同位角相等，是真命题，④对顶角相等，是真命题，逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，原命题与逆命题均为真命题的个数是2个；故选B．3、D【解析】A、对顶角相等的逆命题为“相等的角为对顶角”，此命题为假命题，故本选项错误；B、如果两个角是直角那么这两个角相等的逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角为直角”，此命题为假命题，故本选项错误；C、全等三角形的对应角等的逆命题为“对应角相等的三角形是全等三角形”，此命题为假命题，故本选项错误；D、两直线平行，内错角相等的逆命题为“如果内错角相等，那么两直线平行”，此命题为真命题，故本选项正确；故选D．4.C【解析】A、两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，正确；B、直角三角形的两个锐角互余的逆命题是两个锐角互余的三角形是直角三角形，正确；C、全等三角形对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，错误；D、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的逆命题是斜边上的中线等于斜边的一半的三角形是直角三角形，正确；故选C．5. B【解析】A、如果a＞0，b＞0，那么ab＞0，其逆命题为如果ab＞0，则a＞0，b＞0，此逆命题为假命题，所以A选项错误；B、两直线平行，内错角相等的逆命题为内错角相等，内错角相等，此逆命题为真命题，所以B选项正确；C、能被9整除的数，也能被3整除的逆命题为能被3整除，也能被9整除的数，此逆命题为假命题，所C选项错误；D、如果a=0，b=0，那么ab=0的逆命题为如果ab=0，则a=0，b=0，此逆命题为假命题，所以D选项错误．故选B．二、填空题1、若x，y互为相反数，则x+y=0．【解析】“若x+y=0，则x、y互为相反数．”的逆命题是：若x，y互为相反数，则x+y=0”．故答案为：若x，y互为相反数，则x+y=0．2、②③【解析】①全等三角形的面积相等，逆命题是面积相等是三角形是全等三角形，是假命题；②平行四边形的对角线互相平分，逆命题是对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题；③同旁内角互补，两直线平行，逆命题是两直线平行，同旁内角互补，是真命题．综上所述，逆命题为真命题的有②③．故答案为：②③．3、有两个角相等的三角形是等腰三角形【解析】根据等角对等边知，“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形．4. 如果一个点到线段的两端点的距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上，真【解析】命题“线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等”其逆命题是：如果一个点到线段的两端点的距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上，为真命题，故答案为：如果一个点到线段的两端点的距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上，真．5. ①③④⑤【解析】①中，即是勾股定理，存在逆定理，故正确；②中，三个角对应相等的两个三角形不一定是全等三角形，所以不存在逆定理，故错误；③中，即等腰三角形的性质定理，存在逆定理，即等角对等边，故正确；④中，即线段垂直平分线的性质，存在逆定理，即到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，故正确；⑤中，即角平分线的性质定理，存在逆定理，即到角两边距离相等的点在角的平分线上．故填①③④⑤．三、解答题1.【解析】（1）逆命题：在一个三角形中，等边对等角．真命题．（2）内角和等于360°的多边形是四边形．真命题．2. 【解析】（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；（2）到角的两边的距离相等的点在角平分线上；（3）若r是a的平方根，那么r²=a；（4）如果√a²=a，那么a≥0．四、证明题【解析】因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“有两个角相等三角形是等腰三角形”．已知：△ABC中，∠B=∠C，求证：△ABC是等腰三角形．证明：过点A作AH⊥BC于点H，则∠AHB=∠AHC=90°，在△ABH和△ACH中，∵∠B=∠C ∠BHA=∠AHC AH=AH ，∴△ABH≌△ACH（AAS），∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．。
浙教版数学八年级上册2.5《逆命题和逆定理》教学设计
浙教版数学八年级上册2.5《逆命题和逆定理》教学设计一. 教材分析《逆命题和逆定理》是浙教版数学八年级上册第2.5节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了命题与定理的基本知识的基础上进行教学的。
通过本节课的学习，使学生掌握逆命题的概念，理解逆定理的含义，并能够运用逆定理解决一些实际问题。
教材通过生活中的实例，引导学生探究逆命题和逆定理，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和解决问题的能力，他们已经学习了命题与定理的基本知识，对于新的知识有一定的接受能力。
但是，对于一些抽象的概念和理论，学生可能还存在着一定的理解难度。
因此，在教学过程中，需要通过生活中的实例和具体的操作，帮助学生理解和掌握逆命题和逆定理。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握逆命题的概念，理解逆定理的含义，并能够运用逆定理解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过探究逆命题和逆定理的过程，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 教学重难点1.重点：使学生掌握逆命题的概念，理解逆定理的含义。
2.难点：对于逆定理的理解和运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例，引导学生探究逆命题和逆定理。
2.小组合作学习：让学生在小组内进行讨论和交流，培养团队合作意识。
3.问题驱动法：通过问题的设置和解决，激发学生的学习兴趣和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示生活中的实例和相关的理论知识。
2.教学素材：准备一些相关的数学题目，用于巩固和拓展学生的知识。
3.教学设备：准备白板和粉笔，用于板书和展示。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个生活中的实例，引导学生思考逆命题和逆定理的概念。
例如，假设有一个命题：“如果一个人是学生，那么他喜欢数学。
”那么这个命题的逆命题就是：“如果一个人喜欢数学，那么他是学生。
【浙教版】数学八年级上册 精美获奖课件：2.5《逆命题和逆定理》ppt课件
等腰三角形 两腰上的中线
相等.
等腰三角形 两腰上的高
相等.
等腰三角形 两底角的角 平分线相等.
提高题：
1、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角
为400，则顶角为80°
。
2、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角 为400，则顶5角0°为或130° 。
P58，课内练习：
2． 已知：如图，在△ABC中， AB＝AC，P为BC的中点，
• 已知：ABC中 ， AB=AC.
A
• 求证： B=C.
证明：作 BAC的平分线AD交BC于D
∴ BAD=CAD
在ABD和 ACD中,
B
AB=AC(已知)
BAD=CAD(已证)
AD=AD（公共边）
∴ ABD≌ACD（SAS）∴ B=C（全等三角形的对应角相等）
C D
AD=AD（公共边）
∴ ABD≌ACD（SAS）∴ B=C（全等三角形的对应角相等）
C D
练习1. 如图，在△ABC中，AB=AC，
∠A=50°，求∠ B，∠C的度数。
A
∵ AB=AC
∴ ∠ B= ∠C（等腰
三角形的两个底角
相等）
B
C
∵ ∠A+∠B+∠C=180°，∠A=50° ∴ ∠B+∠C=130° ∴ ∠B=∠C=65°
做一做: 求证：三角形的三条垂直平分线交于一点。
做一做:写出定理“等腰三角形底边上的高线与 中线互相重合”的逆命题，并证明这个逆命题 是真命题。
练习：举例说明下列命题的逆命题是假命题：
(1).如果一个整数的个位数字是5，那么这个整 数能被5整除．
(2).如果两个角都是直角，那么这两个角相等．
2.5 逆命题和逆定理八年级上册数学浙教版
（2）条件是“两个三角形有一边和这条边上的高分别相等”，结论是“这两个三角形的面积相等”.逆命题是“如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形有一边和这条边上的高分别相等”.
敲黑板 写一个命题的逆命题的方法写原命题的逆命题时，先将原命题写成“如果 ，那么 ”的形式，再互换条件与结论，进而写出原命题的逆命题.
解： . 理由如下： ，∴点 在线段 的垂直平分线上. ， .∴点 在线段 的垂直平分线上.由“两点确定一条直线”可知线段 所在的直线是线段 的垂直平分线，又 为 上任意一点，<</m> .
例题点拨要证明一点在一条线段的垂直平分线上，只要说明这个点到这条线段的两个端点的距离相等即可.
B
解析：选项A中，其逆命题是两个相等的角是对顶角，是假命题.选项B中，其逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题.选项C中，其逆命题是三组角对应相等的两个三角形全等，是假命题.选项D中，其逆命题是四个角都相等的四边形是正方形.四个角都相等的四边形也可以是长方形，故其逆命题是假命题.
链接教材 本题取材于教材第67页课内练习第1题，考查了判断一个命题的逆命题的真假，需要先写出原命题的逆命题再判断真假.教材习题还需要判断原命题的真假.注意原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.
逆命题的真假与原命题的真假无关
知识点2 互逆定理 重点
互逆定理：如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理.
注意 （1）任何命题都有逆命题，但不一定每个定理都有逆定理.只有当原定理的逆命题能被证明是真命题时，才能称这个逆命题为原定理的逆定理.（2）互逆命题不一定都是真命题，但互逆定理一定都是真命题.
浙教版八年级上2.5逆命题和逆定理课件
题的条件改成结论，并将结论改成条件， 便可得到原命题的逆命题． 2. 原命题正确，它的逆命题未必正确。原
命题是假命题，它的逆命题未必是真命题．
第七页，共17页。
如果一个定理的逆命题能被证明是真命题， 那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫 互逆定理.
如：等腰三角形的两个底角相等.(在同一 个三角形中，等边对等角) 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角 形是等腰三角形. (在同一个三角形中，等角对 等边)是互逆定理
第十一页，共17页。
例2 说出定理“线段垂直平分线上的点到线段两端 的距离相等”的逆命题，并证明这个逆命题是真命 题.
解: 这个定理的逆命题是: 到线段两端距离相等 的点在线段的垂直平分线上．
第十二页，共17页。
已知：如图，ＡＢ是一条线段，Ｐ是一点，且ＰＡ
＝ＰＢ
P
求证：点Ｐ在线段ＡＢ的垂直平分
线上
O
B
A
Байду номын сангаас
C
证明（１）当点p在线段ＡＢ上，结论显然成立；
（2）当点P不在 线段AB上时，作PC AB于点O.
∵PA=PB，PO⊥AB，
∴OA=OB（根据什么？）
∴PC是AB的垂直平分线.
∴点P在线段AB的垂直平行线上
第十三页，共17页。
结论
两者是互逆定理！
线段垂直平分线性质定理：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
第一页，共17页。
自学指导
看课本，思考一下问题： 1、什么是互逆命题、互逆定理？ 2、将P65的空白处补充完整
第二页，共17页。
命题
条件
结论
真假
2019年秋浙教版八年级上册数学课件：2.5 逆命题和逆定理(共16张PPT)
2.5 逆命题和逆定理(一课时)
2
• 知识点1 互逆命题
名师点睛
• 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一 个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命 题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆 命题．
• 知识点2 互逆定理
• 如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆 定理，这两个定理叫做互逆定理．
求证：AD＝AE.
12
AB＝AC，
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．在△ABD 和△ACE 中，∠B＝∠C，
BD＝CE， ∴△ABD≌△ACE，∴AD＝AE.
13
• 10．如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边AB、 AC上，且AD＝AE，连结BE、CD，交于点F.
15
思维训练
• 11．阅读以下证明过程：
• 已知：在△ABC中，∠C≠90°，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，求证：a2 ＋b2≠c2.
• 证明：假设a2＋b2＝c2，则由勾股定理逆定理可知∠C＝90°，这与已 知中的∠C≠90°矛盾，故假设不成立，所以a2＋b2≠c2.
• 请用类似的方法证明：在△ABC中，∠A、∠B、∠C中至少有一个角大 于或等于60°.
4
基础过关
• 1．下列命题的逆命题是真命题的是C( ) • A．直角都相等 B．钝角都小于180° • C．如果x2＋y2＝0，那么x＝y＝0 D．对顶角相等 • 2．下列说法中，正确的是(C ) • A．一个定理的逆命题是真命题 • B．命题“如果x<0，y>0，那么xy<0”的逆命题是真命题 • C．任何命题都有逆命题 • D．逆命题是真命题，那么原命题一定也是真命题
2.5 逆命题和逆定理 浙教版数学八年级上册课件
C
E
分析：
说明一个命题是真命题需经证明，而说
明一个命题是假命题只需举一个反例.
D
A
FB
练一练
1.写出下列各命题的逆命题，并判断原命题和逆
命题的真假：
（1）同位角相等；
真命题
逆命题：相等的角是同位角
真命题
（2）如果|a|=|b|，那么a=b；
假命题
逆命题：如果a=b，那么|a|=|b|
真命题
（3）等边三角形的三个角都是60° 真命题
命题有真有假：
正确的命题是真命题，错误的命题是假命题
新课讲解 填表
命题
(1)两直线平行，同位角相等 (2)同位角相等，两直线平行 (3)如果a＝b，那么a2＝b2. (4)如果a2＝b2，那么a＝b.
条件
两直线平行 同位角相等
a＝b a2＝b2
结论
同位角相等 两直线平行
a2＝b2 a＝b
观在察两表个中命的题命中题，，如命果题第⑴一与个命命题题⑵的，条命件题是第 ⑶二与个命 命题 题⑷ 的的 结条论件，和而结第论一有个什命么题关的系 结？ 论是第二个 命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.
逆命题：三个角都是60°的三角形是等边三角形
真命题
练一练
2.下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理， 请说出逆定理. （1）平行四边形的两组对边分别平行；
有逆定理 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形；
有逆定理 平行四边形的对角线互相平分
（3）三角形的中位线平行于第三边.
2.5 逆命题和逆定理
浙教版《数学》八年级上册
知识目标
1.经历逆命题概念的发生过程，了解一个命题 都是由条件与结论两部分构成，每个命题都有 它的逆命题，命题由真假之分； 2.了解逆命题、逆定理的概念.
浙教版-数学-八年级上册-2.5 逆命题和逆定理
做一做 写出下列各命题的逆命题，并判断互逆命题的真假：
（1）同位角相等； 逆命题：相等的角是同位角
（2）如果|a|=|b|，那么a=b； 逆命题：如果a=b，那么|a|=|b|
（3）等边三角形的三个角都是60°
假 真
逆命题：三个角都是60°的三角形是等边三角形 真
逆命题和逆定理
对某件事作出正确或不正确判断的句子叫做命题 命题的结构：命题由题设、结论组成 命题有真有假。 正确的命题是真命题，错误的命题是假命题
下列句子是命题的是（ ）D A.画∠AOB=45° B. 小于直角的角是锐角吗？ C.连结CD D. 三角形的中位线平行且等于第三边的一半
命题
⑴两直线平行，同位角相等 ⑵同位角相等，两直线平行 ⑶如果a＝b，那么a2＝b2。 ⑷如果a2＝b2，那么a＝b。
作PC⊥AB于点O
∵PA=PB，PO⊥AB，
∴OA=OB（等腰三角形三线合一性质）
A
∴PC是AB的垂直平分线。
∴点P在线段AB的垂直平分线上
⑵当点P在线段ＡＢ上，结论显然成立；
B O
C
P
P
P
P
B
P
P
一个命题经证明是真命题，就可称为定理；
如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就 叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫互逆定理。
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
⑶请说出它的逆命题，并证明这个逆命题是真命题.
解: 这个定理的逆命题是: 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线
段的垂直平分线上．
P
已知：如图，ＡＢ是一条线段，Ｐ是一点，且ＰＡ ＝ＰＢ
A
求证：点Ｐ在线段ＡＢ的垂直平分线上
证明: ⑴当点P不在 线段AB上时，
浙教版八年级数学上册练习：2.5 逆命题和逆定理
浙教版八年级数学上册练习：2.5 逆命题和逆定理(第7题)7．利用线段垂直平分线性质定理及其逆定理证明以下命题．已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，点E在AD上．求证：EB＝EC．【解】连结BC．∵AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上．∵DB＝DC，∴点D在线段BC的垂直平分线上．∴AD是线段BC的垂直平分线(两点确定一条直线)．又∵点E在AD上，∴EB＝EC．B组8．写出命题“如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等”的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假．若是假命题，请举出反例．【解】逆命题：如果两个角相等，那么其中一个角的两边与另一个角的两边分别垂直．原命题是假命题．反例：如解图①，∠CAD的两边与∠EBF的两边分别垂直，但∠CAD＝45°，∠EBF ＝135°，即∠CAD≠∠EBF．(第8题解)逆命题是假命题．反例：如解图②，∠CAD＝∠EBF，但显然AC与BE，BF都不垂直．9．写出命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”的逆命题，并证明该逆命题是真命题．【解】逆命题：如果一个三角形一边上的中点到另两边的距离相等，那么这个三角形是等腰三角形．已知：如解图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DE＝DF．(第9题解)求证：△ABC为等腰三角形．证明：连结AD．∵D是BC的中点，∴S△ABD＝S△ACD．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴S△ABD＝12AB·DE，S△ACD＝12AC·DF．又∵DE＝DF，∴AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形．10．举反例说明定理“全等三角形的面积相等”没有逆定理．【解】逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等．反例：如解图所示，l1∥l2，△ABC和△BCD同底等高，∴△ABC的面积等于△BCD的面积，但△ABC和△BCD不全等．故该定理没有逆定理．(第10题解)数学乐园11．已知命题“等腰三角形底边上的中线与顶角的平分线重合”，写出它的逆命题，判断该逆命题的真假，并证明．【解】逆命题：一边上的中线与它所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形．是真命题．(第11题解)已知：如解图，在△ABC中，BD＝CD，AD平分∠BAC．求证：△ABC是等腰三角形．证明：延长AD至点E，使DE＝AD，连结BE，CE．∵BD＝CD，DE＝DA，∠BDE＝∠CDA，∴△BDE≌△CDA(SAS)．∴BE＝CA，∠BED＝∠CAD．∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD．∴∠BAD＝∠BED．∴AB＝BE．∴AB＝AC．∴△ABC是等腰三角形．。
2020八年级数学上册 2.5《逆命题和逆定理》教案 (新版)浙教版
《逆命题和逆定理》
教学目标
1、经历逆命题的概念的发生过程，了解一个命题都是由条件与结论两部分构成，每个命题都有它的逆命题，命题有真假之分.
2、了解逆命题、逆定理的概念.
教学重点、难点
重点：会识别两个命题是不是互逆命题，会在简单情况下写出一个命题的逆命题，了解原命题成立，其逆命题不一定成立．
难点：能判断一些命题的真假性，并能运用推理的思想方法证明一类较简单的真命题，同时了解假命题的证明方法是举反例说明．
教学过程
一、回顾旧知，引入新课
1、命题的概念：对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题.我们还知道，命题都有两部分，即条件和结论，它的一般形式是“如果…，那么…”
例1．命题：“平行四边形的对角线互相平分”条件是，结论是 .
命题：“对角线互相平分的四边形是平行四边形”条件是，结论是 .
以上两个命题有什么不同？请你说一说.
归纳：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题.
填表并思考
行
问：每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题是否一定为真命题？
二、例题教学
例1、说出定理“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等的逆命题，并证明这个逆命题是真命题.
注意：①注意组织适当的语句叙述出逆命题，不能只是把原命题的条件和结论交换位置.
②引导学生运用分类考虑的必要性.
练习：⑴作业题4
三、小结：这节课我们学到了什么？
①逆命题、逆定理的概念.
②能写出一个命题的逆命题.
四、作业
作业：1．课后作业题.。
八年级数学上册 2.5 逆命题和互逆命题课件 (新版)浙教版
第三页，共11页。
5．(8分)利用“线段垂直平分线定理(dìnglǐ)及其逆定理(dìnglǐ)” 证明以下命题：
已知：如图所示，AB＝AC，DB＝DC，点E在AD上．求证： EB＝EC.
证明(zhèngmíng)：∵AB＝AC，DB＝DC， ∴A，D是线段BC垂直平分线上的点， ∴点E是线段BC垂直平分线上的点． ∴EB＝EC
(1)以上三个命题是真命题的为 ①②⇒③，①③⇒②，②③⇒①；(直 接作答)
(2)请选择一个真命题进行(jìnxíng)证明．(先写出所选命题， 然后证明)
解：略
第十页，共11页。
12．(14分)如图，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P. (1)在图①中，分别(fēnbié)画出点P到边AC，BC，BA的垂线 段PF，PG，PH，这三条线段相等吗？为什么？ (2)在图②中，∠ABC是直角，∠C＝60°，其余条件都不变， 请你写出PE与PD之间的数量关系，并说明理由．
解：(1)同位角相等，两直线平行(píngxíng)，真命题 (2)如果两条直线平行(píngxíng)，那么这两条直线垂直 于同一条直线，真命题 (3)内错角相等，假命题，举反例略 (4)等边三角形有一个角是60°，真命题
第五页，共11页。
7．(10分)已知命题(mìng tí)“若a＞b，则a2＞b2”． (1)此命题(mìng tí)是真命题(mìng tí)还是假命题(mìng tí)？若 是真命题(mìng tí)，请给予证明；若是假命题(mìng tí)，请举 出一个反例； (2)写出此命题(mìng tí)的逆命题(mìng tí)，并判断逆命题 (mìng tí)的真假；若是真命题(mìng tí)，请给予证明；若是假 命题(mìng tí)，请举出一个反例． 解：(1)假命题(mìng tí) 反例：a＝2，b＝－3，有a＞b，但a2＜b2 (2)逆命题(mìng tí)：若a2＞b2，则a＞b.假命题(mìng tí)，反例a＝
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线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
⑶请说出它的逆命题，并证明这个逆命题是真命题.
解:
这个定理的逆命题是: 到一条线段两个端点距离
相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
已知：如图，ＡＢ是一条线段，Ｐ是一点，且ＰＡ＝ＰＢ
P
求证：点Ｐ在线段ＡＢ的垂直平分线上
证明: ⑴当点P不在 线段AB上时， 作PC⊥AB于点O ∵PA=PB，PO⊥AB， ∴OA=OB（等腰三角形三线合一） ∴PC是AB的垂直平分线。
说出下列命题的逆命题，并判定是真命题还是假命题：
(1)两直线平行，同位角相等. 同位角相等，两直线平行. (2)同位角相等
真命题 真命题 假命题
假命题 相等的角是同位角 (3)既是中心对称，又是轴对称的图形是圆。假命题 圆既是中心对称，又是轴对称的图形。 真命题
(5)磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的 真命题 交通工具。 高速行驶时不接触地面的交通工具是磁悬浮列车。
⑴等腰三角形的两个底角相等
⑵内错角相等，两直线平行；
⑶对顶角相等。
辨一辨
下列说法哪些正确，哪些不正确？ （1）每个定理都有逆定理。 （2）每个定理都有逆命题。 （3）逆定理一定是真命题。 （4）定理的逆命题是真命题。
× √ √ ×
D
例1、按要求作答：
⑴任意作一条线段，并画出它的中垂线.
P
A
O
B
⑵线段的中垂线（垂直平分线）有什么性质？
比如: 对顶角相等.
一个命题经证明是真命题，就可称为定理；
定理：等边三角形三个内角都相等。
请说出其逆命题，并判断是真命题还是假命题：
三个角都相等的三角形是等边三角形
这是一个真命题 如果一个定理的逆命题能被证明是真命题， 那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫
互逆定理。
请说出三对互逆定理
下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理， 请说出逆定理。
条件
结论
两直线平行 同位角相等 同位角相等 a＝b a2＝b2 两直线平行 a2＝b2 a＝b
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命 题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件， 那么这两个命题叫做互逆命题。 我们把其中的一个叫做原命题（original statement）， 另一个叫做它的逆命题（converse statement）。
假命题
ห้องสมุดไป่ตู้ 判断下列说法是否正确？请说明理由
（1）假命题没有逆命题； （2）真命题没有逆命题； （3）每个命题都有逆命题； （4）真命题的逆命题是真命题 思考：每个命题都 有逆命题吗？
× × √ ×
一个命题的逆命题是真命题还是假命题？
请举例说明一个原命题是真命题，逆命题也是真命题的例子； 有没有原命题是真命题，而逆命题是假命题的例子？
(2).如果两个角都是直角，那么这两个角相等．
谈谈本节课的收获
A P
B
阅读课本例2
做一做
1.写出下列各命题的逆命题，并判断互逆命题的真假： （1）同位角相等； 逆命题：相等的角是同位角， （2）如果|a|=|b|，那么a=b； 逆命题：如果a=b，那么|a|=|b|
（3）等边三角形的三个角都是60°
逆命题：三个角都是60°的三角形是等边三角形
做一做
2、举例说明下列命题的逆命题是假命题： (1).如果一个整数的个位数字是5，那么这个整 数能被5整除．
两直线平行 a2＝b2 a＝b
⑴两直线平行，同位角相等 两直线平行
⑵同位角相等，两直线平行 同位角相等 ⑶如果a＝b，那么a2＝b2 ⑷如果a2＝b2，那么a＝b
a＝b a2＝b2
观察表中的命题，命题⑴与命题⑵有什么关 系？命题⑶与命题⑷呢？
命题 ⑴两直线平行，同位角相等 ⑵同位角相等，两直线平行 ⑶如果a＝b，那么a2＝b2。 ⑷如果a2＝b2，那么a＝b。
对某件事作出正确或不正确判断的句子叫做命题. 命题的结构：命题由条件、结论组成. 命题有真有假。 正确的命题是真命题，错误的命题是假命题
下列句子是命题的是（ D ） A.画∠AOB=45° C.连结CD B. 小于直角的角是锐角吗？ D. 三角形的中位线平行且等于第三边的一半
命题
条件
结论 同位角相等
A
O C P P P
B
A
∴点P在线段AB的垂直平分线上. ⑵当点P在线段ＡＢ上，结论显然成立；
P P P
B
显然，上述两个命题可称为互逆定理.
(1)线段垂直平分线性质定理： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离相等. (2)线段垂直平分线性质定理的逆定理(判定定理)： 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 垂直平分线上. 几何语言： ∵PA=PB(已知) ∴点P在AB的垂直平分线上. (线段垂直平分线性质定理)