折纸中的图形性质
立体图形的折纸图样
目錄
10.3 進一步認識立體的平面圖像
3B_Ch10(24)
試繪畫具有以下三個平面圖像的立體圖形。
目錄
10.3 進一步認識立體的平面圖像
返回問題
3B_Ch10(25)
[左側圖形是個半圓形，因此該立體的頂部及正面都是曲
面。此外，從頂部圖像，可知它的底是長方形。] 該立體圖形是：
目錄
10.3 進一步認識立體的平面圖像
3B_Ch10(20)
B)
判斷立體的摺紙圖樣
‧ 要由平面圖像識別或繪畫出對應的立體圖形，
通常需要最少三個平面圖像，包括頂部、側面
及正面圖像。
目錄
10.3 進一步認識立體的平面圖像
例題演示
3B_Ch10(21)
B)
判斷立體的摺紙圖樣
例如：由左圖可識別出右圖中的立體。
要符合右側圖像， 須移去 1 個正方 體。
要符合頂部圖像， 須移去 2 個正方 體。
目錄
10.3 進一步認識立體的平面圖像
返回問題
3B_Ch10(28)
(a) 因此該立體圖形是：
(b) 該立體共有 5 個正方體。
習題目標
根據立體的正面、頂部和右側圖像，繪畫對 應的立體圖形。
重點理解 10.3.2
3B_Ch10(1)
3B_Ch10(2)
10.1 立體圖形的對稱性質
A
反射對稱 旋轉對稱
B
目錄
3B_Ch10(3)
10.2 立體圖形的摺紙圖樣
A B
同一立體的不同摺紙圖樣 判斷立體的摺紙圖樣
目錄
3B_Ch10(4)
10.3
折纸与数学简介
折纸与数学简介篇一：数学与折纸数学与折纸我们中的大多数人都有过折纸的经历，只是折叠后便收了起来．只有少数人折纸，是为了研究其间所揭示的数学思想．折纸是一项教育与娱乐两者兼备的活动．连L·卡洛尔也是一位折纸的热心者．虽然折叠纸张超越了许多文化，但日本人却把它作为一种交谊的途径，并通过普及和发展，使之成为一门称之为“折纸”的艺术．纸张折出的一些数学形体当折叠纸张的时候，很自然地会出现许多几何的概念．诸如：正方形、矩形、直角三角形、全等、对角线、中点、内接、面积、梯形、垂直平分线、毕达哥拉斯定理及其他一些几何和代数概念．下面是一些折纸的例子，它说明了上述概念的运用．Ⅰ)从一个矩形式样的纸张，作成一个正方形(下图左)．Ⅱ)由一张正方形的纸张，变成四个全等的直角三角形(上图右)．Ⅲ)找出正方形一条边的中点(下图右)．Ⅳ)在正方形的纸中内接一个正方形(下图左和中)．Ⅴ)研究纸的折痕，注意内接正方形的面积是大正方形面积的．Ⅵ)拿一个正方形纸张折叠，使折痕过正方形中心，便会构成两个全等的梯形(下图左)．Ⅶ)把一个正方形折成两半，那么折痕将成为正方形边的垂直平分线(下图右)．Ⅷ)证明毕达哥拉斯定理．如右图折叠正方形纸：c=正方形ABCD的面积．a=正方形FBIM的面积．b=正方形AFNO的面积．由全等形状相配得：正方形FBIM的面积=△ABK的面积．又 AFNO的面积=BCDAK的面积(此即正方形ABCD除△ABK外剩余部分的面积)．这样，a＋ b= c 222222Ⅸ)证明三角形内角和等于180°．取任意形状的三角形，并沿图示的点划线(横的为中位线)折叠a°＋b°＋c°＝180°——它们形成一条直线．Ⅹ)通过折切线构造抛物线．程序：——在离纸张一边一两英寸的地方，设置抛物线的焦点．如图所示的方法，将纸折20－30次．所形成的一系列折痕，便是抛物线的切线，它们整体地勾画出曲线的轮廓．篇二：探究折纸中的数学探究折纸中的数学教学目标（1）通过折纸理解垂直和平行的定义和相关性质；体会折纸中的数学思想，从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略。
手工折纸让孩子在折纸中探索数学和几何概念
手工折纸让孩子在折纸中探索数学和几何概念手工折纸是一项既有趣又具有教育意义的活动，它不仅能够培养孩子的动手能力和想象力，还能帮助他们去探索数学和几何概念。
通过折纸，孩子们可以在玩耍的过程中学习数学、理解几何，并培养空间思维能力。
本文将探讨手工折纸如何引导孩子在折纸中探索数学和几何概念。
一、数学概念的引导在手工折纸中，数学概念是孩子们可以自然而然地学习到的。
例如，在折纸过程中，孩子们需要对纸张进行准确的测量和划分，这就需要他们学习数学中的长度和面积计算。
通过折叠纸张形成各种图形，孩子们可以感受到数学概念中的对称性、平行线和垂直线等。
此外，在一些较为复杂的折纸作品中，孩子们还可以学习到数学中的比例和分数概念。
二、几何概念的探索手工折纸是一个很好的平台，让孩子们能够亲身体验和探索几何概念。
通过折叠纸张，孩子们可以了解到不同形状的特点和属性。
他们可以通过折叠纸张制作各种图形，如正方形、长方形、三角形等，从而加深对几何形状的理解。
此外，通过折纸还可以让孩子们了解到立体几何概念，如折叠一张纸可以制作出立方体、圆柱体等，这对于他们培养空间思维能力非常有帮助。
三、空间思维能力的培养手工折纸需要孩子们对图形进行转换、旋转和翻折，这就需要他们培养出空间思维能力。
通过折纸，孩子们可以学习到平面和立体的关系，从而培养出对物体空间特性的感知。
他们可以通过纸张的折叠和形变，理解物体的形状和结构在不同视角下的变化。
这种空间思维能力的培养对于孩子们日后学习数学和理解科学现象都非常有帮助。
总之，手工折纸不仅仅是一种有趣的手工活动，它还可以通过折纸过程引导孩子们去探索数学和几何概念。
折纸活动可以让孩子们在玩耍中学习到各种数学知识，例如长度、面积、对称性、比例和分数等。
同时，手工折纸还能够帮助孩子们加深对几何形状和空间感知的理解，并培养出空间思维能力。
因此，家长和老师可以通过手工折纸的方式来提高孩子们对数学和几何概念的兴趣和理解能力。
立足折纸实验，导向几何本质——以《用正方形纸折30°角》一课为例
立足折纸实验，导向几何本质——以《用正方形纸折30°角》一课为例发布时间：2021-02-04T10:55:50.120Z 来源：《中小学教育》2021年2月1期作者：金晓强[导读]金晓强浙江省嘉兴海宁市丁桥镇初级中学中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982（2021）02-041-02新课标指出，数学教学必须注意从学生的生活情境和感兴趣的事物出发，为他们提供参与的机会，使他们体会到数学就在身边，对数学产生亲切感。
这就要求教师有一双善于发现的眼睛，挖掘身边的数学资源，为学生提供一个有趣的、与自身息息相关的学习内容，使学生在探究、发现的过程中，提升观察力、创造力。
在数学实验中，学生能够学习自己需要的、喜欢的数学，在学中玩，在玩中学，真正体现“学为中心”的理念。
一、问题缘起几何学习是初中数学学习的一大难点，但也是学生热爱数学的一个关键点。
然而现今的数学教育中，应试教育占据绝对主导，课堂上唯解题论、课外唯分数论的现象比比皆是，忽略了学生数学素养的培养，学生真正的能力得不到培养。
有许多学生平时解题能力很强，但在综合性考试中成绩却不尽如人意，原因无非是成为了“解题机器”，不具备相应的数学能力，面对从未谋面的新题型就无从下手。
基于这样的数学现状，笔者通过深入研究《用正方形纸折30°角》这节拓展课，试图从身边的几何入手，教学生一种数学思维、一种解决问题的方法。
二、教学实践这节课是在八年级学习完教材“全等三角形的判定”、“等腰三角形”等知识后，拓展研究的一个课题。
教材内容如下：1.生活中的折纸引入课题。
2.引例：用正方形纸片折30°角的三种方案，其中第一种方案是直接三折，操作时只能通过尝试折叠；第二种方案是先对折，再把一条边折到折痕上；第三种方案是对折后，把另一条边折到折痕中，实质跟方案二无异。
然后分别证明其正确性，篇幅较大。
3.两个关于折叠问题的证明和计算题，与引例没有直接联系。
四方纸的折叠法-概述说明以及解释
四方纸的折叠法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述四方纸的折叠法是一种既古老又现代的艺术形式，通过将纸张按照特定的方式折叠，创造出各种形状、图案和结构。
这项技艺源于古代东方文化，如中国的剪纸和折纸，以及日本的折纸艺术——折鹤和折菊等。
四方纸的折叠法随着时间的推移在全球范围内得到了广泛的使用和发展。
四方纸的折叠法不仅仅是一种手工技巧，更是一门独特的艺术。
通过创造性地将纸张折叠成各种形态和造型，它可以表达出丰富的主题和情感。
这种具有立体感的折叠结构使得纸张成为了可立体展现的艺术品。
同时，四方纸的折叠法也融入了数学和几何的概念与原理，其中包括对对称性、比例和角度的探索和应用。
无论是在艺术、手工制作还是教育领域，四方纸的折叠法都有着广泛的应用和意义。
它可以作为一种有趣的娱乐方式，培养人们的动手能力和创造力。
它还可以作为一种有效的教学工具，帮助学生理解几何概念和发展空间想象力。
此外，四方纸的折叠法还在建筑设计、工程学和科学研究等领域中发挥着独特的作用。
对于未来的发展而言，四方纸的折叠法有着广阔的前景。
随着技术的进步和创新的不断涌现，人们对于纸张折叠的应用和设计也会更加多样化和精细化。
纸艺作品将会更加多样化，将继续成为艺术和设计领域的亮点。
同时，四方纸的折叠法也将进一步融入到科学研究和工程设计中，拓展新的应用领域。
总而言之，四方纸的折叠法是一门兼具传统和现代特色的艺术形式，它既具备了文化传承的价值，又有着广泛的应用前景。
通过对其起源、原理和意义的深入探究，我们能够更好地理解和欣赏四方纸的折叠法所蕴含的无限可能性。
在未来的发展中，它将继续为我们带来创造力、美感和智慧的体验。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将分为以下几个部分来介绍四方纸的折叠法：1.2.1 简介在本部分，将对四方纸的折叠法进行简要介绍。
包括四方纸折叠法是指将一张正方形的纸折叠成不同形状的方法，以及为什么这种折叠法备受关注。
1.2.2 历史背景这一部分将介绍四方纸的折叠法的起源和历史背景。
折纸中的平行四边形
图1A B C DE F H H G FE D C B A 图2（2）（1）图3折纸中的平行四边形福建省闽清县城关中学 张维强学完了平行四边形的判定之后，我给学生上了一节活动课，利用一张长方形纸片让学生折平行四边形，并根据平行四边形的判定进行说理和证明。
学生参与探索的积极性非常高，既动手操作，又结合说理与证明，提高了应用知识解决实际问题的能力，收到了很好的教学效果，现实录教学过程，与同行共同商讨。
在复习了平行四边形的五个判定方法后，我展示了一张长方形纸片，要求学生利用正方形纸片折出一个平行四边形，并说出理由。
最先传上来的是如图1所示的图形，长方形ABCD 中，沿BE 折叠，使点A 与BC 边上的点F 重合；沿DG 折叠，使点C 与AD 边上的点H 重合。
则四边形BGDE 是不是平行四边 形呢？你能用学过的平行四边形判定来证明四边 形BGDE 是平行四边形吗？大家动手探索证明的方法，以证明两组对边分别平行为例证明如下：证明：如图1，∵四边形ABCD 是长方形，∴ AD ∥BC ，∠ABC=∠C=90゜，∵ 点A 沿BE 折叠与BC 边上的点F 重合，∴∠EBF=21∠ABC=45゜，同理,∠CDG=45゜，∴ ∠DGC=90゜-∠CDG=45゜，∴∠EBF= ∠DGC ，∴ BE ∥DG , 由AD ∥BC 知，BG ∥DE ，∴四边形BGDE 是平行四边形。
第二个传上来的如图2所示，长方形ABCD 沿EF 对折，折痕为EF ，则四边形BFDE 是不是平行四边形呢？显然，图2中 BF 与DE 平行 且相等。
所以四边形BFDE 是平行四边形。
第三个传上来的如图3（1）所示，BD 是长方形ABCD的对角线，沿BE 折叠，使点A 与对角线上的点G 重合，沿DF 折叠，使点C 与对角线上的点H 重合，则四边形 BFDE 是平行四边形吗？ 分析：如图3（2），若能证明AE=CF ，则有DE=BF ， 而显然有DE ∥BF ，故由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形知，四边形BFDE 是平行四边形。
八年级数学上册《折纸与证明》教案、教学设计
3.提问：折纸过程中，我们是如何将一个平面图形变换成另一个平面图形的？这中间涉及到了哪些几何知识？
4.引导学生回顾已学的几何知识，为新课的学习做好铺垫。
（二）讲授新知
1.介绍折纸与几何图形的关系，引导学生了解如何通过折纸来探究几何性质。
（3）发展性评价：关注学生的个性差异，鼓励学生在原有基础上不断进步，激发学生的学习潜能。
4.教学资源：
（1）利用多媒体教学设备，展示折纸过程和几何证明动画，提高学生的直观认识。
（2）提供丰富的折纸材料，让学生在动手操作中感受数学的乐趣。
（3）借助网络资源，拓展学生的学习视野，引导学生了解折纸在现实生活中的应用。
（3）注重培养学生的创新思维，鼓励学生在折纸与证明的基础上，进行拓展性思考，提出新的问题并尝试解决。
3.教学评价：
（1）过程性评价：关注学生在课堂上的参与程度、动手操作能力、团队合作意识等方面，全面评价学生的学习过程。
（2）总结性评价：通过课后作业、单元测试等方式，检验学生对折纸与证明知识的掌握程度。
八年级数学上册《折纸与证明》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.了解折纸的基本概念，理解折纸与几何图形之间的关系，能够运用折纸技巧绘制常见的几何图形。
2.学会使用折纸证明几何定理，如等腰三角形的性质、勾股定理等，提高学生的几何推理能力。
3.能够运用折纸方法解决实际问题，如计算图形的面积、周长等，增强学生的实践操作能力。
4.培养学生勇于探索、敢于创新的精神，使学生形成积极向上的学习态度。
二、学情分析
八年级的学生已经在之前的数学学习中，掌握了基本的几何图形知识，具备了一定的空间想象力和逻辑思维能力。在此基础上，学生对折纸与证明的学习将更加深入地理解几何图形的性质和关系。然而，由于学生的个体差异，部分学生对几何证明的掌握程度可能不够扎实，需要教师在教学过程中给予关注和指导。
初中数学折叠图形教案
初中数学折叠图形教案教学目标：1. 让学生理解并掌握折叠图形的概念和性质；2. 培养学生观察、思考和解决问题的能力；3. 培养学生空间想象能力和动手操作能力。
教学内容：1. 折叠图形的概念和性质；2. 折叠图形的分类和特点；3. 折叠图形的应用。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过展示一些日常生活中的折叠现象，如折纸、折衣服等，引导学生关注折叠图形；2. 提问：你们对这些折叠现象有什么观察和发现？二、新课讲解（15分钟）1. 教师介绍折叠图形的概念和性质，如折痕、对折线等；2. 讲解折叠图形的分类和特点，如正方形、长方形、三角形等；3. 通过实物演示或多媒体展示，让学生直观地理解折叠图形的特点。
三、课堂练习（15分钟）1. 教师给出一些折叠图形的问题，让学生独立解决；2. 学生互相交流解题过程和思路，教师进行点评和指导；3. 教师选取一些学生的作品进行展示和分析。
四、拓展与应用（15分钟）1. 教师提出一些实际问题，让学生运用折叠图形的知识进行解决；2. 学生分组讨论和操作，寻找解决问题的方法；3. 各组汇报解题过程和结果，教师进行点评和总结。
五、课堂小结（5分钟）1. 教师引导学生回顾本节课所学的内容，总结折叠图形的概念、性质和应用；2. 学生分享自己在课堂上的收获和感悟。
教学评价：1. 学生对折叠图形的概念和性质的掌握程度；2. 学生对折叠图形的分类和特点的理解程度；3. 学生在解决问题时运用折叠图形的能力。
教学反思：本节课通过讲解和练习，让学生掌握了折叠图形的概念、性质和应用。
在课堂练习环节，学生能够独立解决一些简单的折叠图形问题，但在解决较复杂问题时，仍需加强思考和交流。
在拓展与应用环节，学生能够将折叠图形的知识运用到实际问题中，提高了空间想象能力和动手操作能力。
总体来说，本节课达到了预期的教学目标，但仍有待进一步提高学生的思考和解决问题的能力。
轴对称中的折纸问题
（题型拓展） ．有一张矩形纸片 ABCD，AB=5，AD=3，将纸片折叠，使 AD 边落在 AB 边上，折痕为 AE，再将 △ AED 以 DE 为折痕向右折叠，AE 与 BC 交于点 F，则 CF 的长为 2 ．
四、学生差异化发展
2.如图,矩形纸片 ABCD 中，AB=6cm,AD=8cm，把矩 形沿对角线 BD 折叠，点 C 落在 C′处。 （1）连接 CC',CC'与 BD 有什么关系？ （2） 猜想重叠部分△BED 是什么三角形？说明你的 理由. （3）求重叠部分△BED 的面积 （4）点 P 为 BD 上的一个动点，过点 P 作 PM⊥ED 于点 M，PN⊥BE 于点 N，求 PM+PN 的值
中考同类题型展示
1.（2015 湖北荆州第 8 题 3 分）如图所示，将正方形纸片三次对折后，沿图中 AB 线剪掉一 个等腰直角三角形，展开铺平得到的图形是（ B ）
A．
B．
C．
D．
D
二、利用轴对称的性质解决的问题
例 2（2006•聊城）如图，将一张矩形纸片 ABCD 折叠，使 AB 落在 AD 边上，然 后打开，折痕为 AE，顶点 B 的落点为 F．你认为四边形 ABEF 是什么特殊四边 形？请说出你的理由．
E
同类中考题型展示分析
例3．把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，EM、FM为折痕，折叠后 的C点落在B′M或B′M的延长线上，那么∠EMF的度数是（ ） B A．85° B．90° C．95° D．100°
1．如图，已知四边形纸片 ABCD 中，AD∥BC，将∠ABC、∠DAB 分别对折，如果两 条折痕恰好相交于 DC 上一点 E，你能获得哪些结论？
折纸中的几何数学
折纸中的几何数学折纸，作为一种古老而有趣的手工艺品，以其独特的几何形状和构造方式而闻名于世。
在探索折纸的过程中，我们会发现其中蕴藏着丰富而深奥的几何数学知识。
本文将从不同角度介绍折纸中的几何数学。
一、平面几何与折纸形状折纸起源于平面几何中的基本概念和原理。
在折纸的过程中，我们需要了解和运用平面几何的知识，如点、线、面、角等。
折纸的形状通常可以由直线、折线和曲线构成，而这些基本几何元素的运用决定了折纸形状的特征和性质。
例如，当我们用一张正方形纸折叠成一个正方体时，就涉及到平面几何中正方形、正方体和立方体的关系。
通过折纸，我们可以直观地感受到正方形纸张的每一边和对应的面如何变换成正方体的一条边和一个面。
折纸还可以通过平面几何中的相似性原理来构造各种形状。
相似性是指两个图形的形状与大小相似。
当我们折纸时，可以利用相似性原理来确定折纸纸张的长度比例和角度关系，从而实现将平面图形转化为立体形状。
二、尺规作图与折纸构造折纸不仅与平面几何有紧密的联系，还可以扩展到尺规作图。
尺规作图是指利用直尺和圆规进行的几何作图方法。
折纸在某种程度上可以看作是尺规作图的一种延伸。
在折纸的过程中，我们常常会遇到需要特定角度的折叠操作。
这时，我们可以借助圆规辅助完成特定角度的折叠，实现折纸纸张的角度精确控制。
同时，折纸中的构造也可以通过尺规作图的思想进行，即将给定的图形通过折叠的方式实现。
例如，我们可以通过折纸构造出正五边形、正十二边形等多边形，并且可以利用尺规作图的原理验证这些构造的正确性。
三、拓扑与折纸变形拓扑是几何学的一个分支，研究的是空间形状在连续变形下的不变性质。
折纸中的变形实际上是一种拓扑变换。
通过折叠、压缩、展开等操作，我们可以改变折纸形状，实现面的拼接、剖开和重组。
在折纸变形中，我们可以观察到一些有趣的现象。
比如，当我们将一张平面纸张折叠成一个多面体时，这些面在变形的过程中始终保持互相邻接，不会出现穿越的情况。
这便是由折纸中的拓扑性质所决定的，每次的变形都会保持面的连通性。
翻折图形的概念
折叠次数：尽量减少折叠次数，以降低折叠难度和成本 折叠方向：选择合适的折叠方向，以方便折叠和展开 折叠角度：控制折叠角度，以保持折叠图形的稳定性和美观性 折叠材料：选择合适的折叠材料，以适应折叠图形的使用环境和需求
折叠屏手机：翻折图形 技术在智能手机中的应 用，使得手机屏幕可以 折叠，方便携带和使用。
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01.
02.
03.
04.
05.
翻折图形：指通过折叠、弯曲、扭曲等操作，将一个平面图形转化为 立体图形的过程
折叠：将平面图形的一部分折叠到另一部分上，形成立体图形
弯曲：将平面图形的一部分弯曲成弧形，形成立体图形
扭曲：将平面图形的一部分扭曲成螺旋形，形成立体图形
应用：翻折图形广泛应用于建筑、工业设计、艺术等领域
折叠方向：选择合 适的折叠方向，如 横向折叠、纵向折 叠等
折叠效果：考虑折 叠后的效果，如平 整度、稳定性等
创新融合：将传统元素与现代 设计相结合，创造出新的视觉 语言
尊重传统：尊重和传承传统文 化，保持其独特性和历史价值
功能性与美观性：注重翻折图 形的功能性和美观性，使其既
实用又具有艺术价值
环保理念：采用环保材料和工 艺，减少对环境的影响，体现
色彩对比：使用对比色或互补色，增强视觉效果 色彩渐变：使用渐变色，使图形更具层次感 色彩平衡：注意色彩的平衡，避免过于鲜艳或过于暗淡 色彩呼应：使用与图形主题相关的色彩，增强整体感
色彩搭配：选择对比色或互补色，增强视觉效果 图形布局：合理安排图形位置，保持整体平衡 留白处理：适当留白，增加版面的呼吸感 字体选择：选择与图形风格相匹配的字体，增强整体视觉效果
折叠屏电脑：翻折图形 技术在电脑中的应用， 使得电脑屏幕可以折叠， 方便携带和使用。
小学五年级数学下册《折纸二》教案：折纸的基础知识分享
小学五年级数学下册《折纸二》教案：折纸的基础知识分享随着科技的不断进步，折纸越来越受到小学生的喜爱，不仅可以增加小朋友的动手能力和动手实践能力，还可以培养小朋友的耐心、专注力和创造力。
在小学五年级数学下册中，折纸二这一章节，让我们一起来了解折纸的基础知识。
一、什么是折纸？折纸，是指利用单张平面纸片进行的各种折、翻、卷等变形操作，从而使其成为立体图形的一种手工工艺品。
折纸，又称纸艺，是一种充满创意和趣味的手工活动。
二、折纸的基础知识1.折痕：折痕是指通过将纸张沿着某条线段或某个点进行折叠后形成的痕迹。
折痕可以是直线，也可以是曲线，它可以固定住在纸张中的折痕可以使纸张更加的稳定，避免折痕的散开。
2.对称性：对称性是指物体的镜像与物体本身能够完全重合的性质。
在折纸中，我们常用对称轴和镜像，来呈现物体的对称性。
3.绝对位置和相对位置：绝对位置是指物体在空间中的位置，而相对位置则是指物体相对于其他物体在空间中的位置，这在折纸中也很重要，可以通过物体的相对位置来变换物体的形态。
4.精确度和对称度：在折纸中，精确度和对称度是很重要的，它可以体现出折纸的美感和完整度。
5.安全性和卫生性：在折纸中，我们除了重视美好和创意之外，还要注意安全和卫，保证手工和使用的工具都是干净卫生的。
三、折纸的基本步骤对于小学生而言，要想学好折纸，必须要掌握折纸的基本步骤。
这里，简单介绍一下折纸的基本步骤：1.把纸张对折，注意它的对称轴应该居中。
2.将纸张分成几个部分，如三等份，四等份等。
3.折痕要坚持垂直或平行于纸张边缘的原则。
4.每次折叠之前，要给纸张一个平整的基础，避免出现不对称的情况。
5.完成折纸后，要把折叠的线条仔细拍平，使其更加平整美观。
四、折纸的好处折纸不仅可以帮助小学生培养出很多好习惯和好处，还可以开发他们的视觉、思维和感官，让他们在趣味中自然地学习到很多知识。
1.增强动手能力：折纸可以锻炼小学生的手眼协调和手指灵活度。
数学折叠问题解题思路
数学折叠问题解题思路折纸问题是数学中一个非常有趣的分支，它不仅能够让我们深入理解数学的几何概念，还能够启发我们思考和解决实际问题。
其中，数学折叠问题因其直观、有趣和实用而备受瞩目。
在本文中，我们将深入探讨数学折叠问题的解题思路以及如何通过数学折叠问题更好地理解抽象概念。
一、什么是数学折叠问题？数学折叠问题（origami），顾名思义，是指利用折纸来模拟和解决数学问题的一种方法。
在这些问题中，我们通常会用一张平面纸或一条带子，通过折叠或切割等方法，构造出具有一定几何形状或特性的结构。
同时，这些结构也可以被视为数学中的几何图形，具有一系列性质和关系。
举例来说，我们可以通过折纸的方法构造出各种不同形状的三角形、正方形、五边形等几何图形。
我们也可以利用折纸的方法来解决一些有趣的几何问题，例如黄金分割、对称性和模等等。
同时，在实际应用中，数学折叠问题也常常可以帮助我们解决各种实际问题，例如包装设计、建筑结构和无人机机翼设计等等。
二、解决数学折叠问题的思路要解决数学折叠问题，我们需要把它们抽象化，转化为数学模型。
然后，我们可以利用数学方法来分析和求解这些模型。
解决数学折叠问题的具体步骤如下：1. 构造模型在解决数学折叠问题之前，我们首先需要构造一个几何模型。
这个模型应该直观易懂，能够较好地反映出实际问题的本质。
同时，为了避免出现误解和模糊，我们需要确保模型的各个细节都被准确地描述出来。
2. 定义问题一旦我们有了几何模型，我们就需要明确问题，即要求解的目标。
不同的问题会有不同的定义方式，通常需要我们用数学符号和语言进行精确描述。
3. 分析问题在定义问题之后，我们需要通过分析模型和问题，来找到一些潜在的解决方法和路径。
这个过程中，我们需要运用数学知识和技巧，例如计算几何、向量和三角几何等等。
同时，我们也需要注意处理问题中可能出现的特殊情况和边界条件。
4. 求解问题一旦我们找到了解决问题的方法和路径，我们就可以开始具体的求解过程。
九年级数学上册《有关正多边形的折纸》教案、教学设计
2.学生在尺规作图和折叠技巧上存在能力差异，有的学生可能动手操作能力较强，而有的学生则需要更多实践机会来提高。
3.学生在解决问题时，可能缺乏独立思考和合作交流的经验，需要教师在教学过程中给予适当的引导和鼓励。
-从生活中寻找一个正多边形的实例，如建筑图案、艺术作品等，并描述其特点，测量相关数据，计算其面积和周长。
-总结正多边形内角和、外角和的规律，并用自己的语言解释这些规律的原因。
2.选做作业：
-设计一个以正多边形为主题的折纸作品，可以是平面图案也可以是立体结构，要求至少包含三种不同的正多边形。
-探索正多边形与平面几何的其他知识点的联系，例如正多边形与圆的关系、正多边形在三角形或四边形中的镶嵌问题等，并撰写一篇小报告。
2.计算给定正多边形的面积和周长。
3.解决实际问题，如计算正多边形地板的总面积。
学生独立完成练习题，我巡回辅导，及时解答学生的疑问。对于典型错误，我在课堂上进行讲解和纠正。
（五）总结归纳
在本节课的尾声，我结归纳：
1.正多边形的定义和性质：学生应掌握正多边形各边相等、各角相等的特点，以及内角和、外角和等性质。
2.学会使用尺规作图折叠正多边形，并能够运用数学语言和符号进行表达。
-通过实际操作，让学生掌握将正多边形从平面纸张折叠成立体图形的技巧，培养空间想象能力。
-引导学生运用数学证明的思路，用尺规作图验证正多边形的性质，如等边等角。
3.掌握正多边形面积和周长的计算方法，能够解决实际问题。
-通过例题和练习，让学生掌握正多边形面积和周长的公式推导和应用。
2.增强学生的合作意识和解决问题的能力，通过小组合作学习，共同探讨正多边形的折叠技巧和数学性质。
公考：掌握技巧,六面体折纸盒一点都不难!
掌握技巧，六面体折纸盒一点都不难！折纸盒，即空间重构，可以说是国考图形推理中必考的题型，其中六面体是出现频率最高的空间重构题型。
那如何快速“搞定”六面体折纸盒问题呢？本文将对此类题目的得分技巧进行介绍。
一、相对面1.相对面的判定（1）同行或同列相隔一个面如上图所示，两个白面、两个黑面、两个灰面均为相对面。
（2）“Z”字形两端图1～图3中灰面位于“Z”字形的两端，为相对面。
“Z”字形两端的条件：相对面要紧临“Z”字形的中线。
如图4，面a的相对面是面d，而不是面e。
2.相对面的应用：相对面无法同时出现在选项的三个面中，出现应直接排除。
【例】（2018四川）左图给定的是正方体纸盒的外表面，下面哪一项能由它折叠而成？【题目分析】从选项入手与题干对应。
A项：选项出现两个斜对角线的面，在展开图中是典型的一组相对面（中间隔一个面），不能同时出现，排除；B项：选项出现两个中间有一条线的面，在展开图中这两个面为“Z”字两端，是一组相对面，不能同时出现，排除；C项：展开图中斜对角线面和直线面均有两个，不容易判断，保留；D项：“×”面和“田”面在展开图中是相对面（中间隔一个面），不能同时出现，排除。
故正确答案为C。
二、相邻面六面体的挨着的两个面叫相邻面，相邻的两个面存在唯一的一条公共边，相邻的三个面存在唯一的一个公共点。
如上图1所示，面A与面C的公共边为两个面中间的边，面A与面D的公共边为绿色的边（两个面构成的直角边为同一条边），面B与面E的公共边为蓝色的边（一排4个面，两头的两条边是同一条边），面A、面C与面D的公共点为红点。
什么时候考虑相邻面的方法呢？当看到一些特征图形时，可优先考虑。
特征图形：指向性非常明显的图形，如等腰三角形、箭头、字母（A、T、Y、V 等）、数字（2、3、4、6、9等）及特殊阴影面。
若六面体的面上出现这些特征图形，可根据特征图形折叠前后与相邻面的相对位置应保持不变来进行判断。
如上面图1中出现的箭头、三角形、66和爱心等有“指向性”的图形，图1中箭头的“尖”指向爱心面（绿线为两个面的公共边），而图2中箭头的“尖”指向“66”面（蓝线为两个面的公共边），二者不一致，可直接判断图2错误。
《数学活动——折纸做60°,30°,15°的角》
问题3：根据等腰三角形和矩形的对称性，你能利用矩形纸片ABCD折出以AB为底的等腰三角形吗？
师生活动：学生独立尝试通过动手操作，利用图形的轴对称性，折出等腰三角形。
【设计意图】直接折出等边三角形是ห้องสมุดไป่ตู้个难点，利用学生的最近发展区，让学生先动手尝试折叠等腰三角形，再折叠等边三角形，降低难度。
问题4：你能折出等边三角形吗？（以小组为单位进行讨论），并说明理由.
师生活动：学生以小组为单位进行讨论，教师针对每组的讨论引导学生观察、分析、思考，然后请学生代表上台展示说明操作过程，板书证明过程。
【设计意图】在折纸的过程中让学生体会轴对称变换的性质，为学生更容易构造腰和底相等的等边三角形打下基础，分散难点。
师生活动：学生推理论证三个角都相等并且都等于30°。
【设计意图】学生了解折纸可以得到角的倍分关系。
问题6：通过折纸，构造等边三角形，我们已经能够折出60°和30°的角，你还有其它的折法吗？
师生活动：不同学生进行展示，
【设计意图】学生经历动手操作、实验度量、大胆猜想、推理论证后最终解决问题，培养学生的动手操作能力、逻辑推理能力、空间观念，同时通过一个问题多种解决方法，培养学生的发散思维能力。
2.复习巩固知识链接
1.如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相，这个图形就叫做.
2.等腰三角形、等边三角形，矩形都是对称图形.
3.轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的.
4.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离.
【设计意图】复习是一座架设在学生新、旧知识之间的桥梁，加强了对旧知识的巩固，也为接下来的内容做好铺垫。
折纸数理学
折纸数理学
折纸数理学是一门研究折纸的数学科学。
折纸是将一张平面纸通
过多次折叠形成的一个或多个图形。
由于折纸本身涵盖了几何、计算、拓扑等多个数学领域，因此折纸数理学也自然成为了一个跨学科的领域。
最早关于折纸的数学研究可以追溯到日本的数学家和折纸艺术家
湊川秀树所著的《折纸的数学》一书，这本书最先揭示了折纸与数学
的有机联系。
自此之后，折纸数理学的研究逐渐展开，人们开始探索
折纸中隐藏的数学规律和规则。
折纸的基本原理就是将一张平面的纸通过对称、平移、旋转等操作，将平面纸从原来一维的状态变成了三维的分形结构，折纸过程中
需要遵循一些数学定律，比如要求挑战者可以在限度内实现折叠，不
可以撕开或剪开纸张，不可以使用外力等等。
这些限制条件和约束条
件都涉及到一些数学知识。
此外，在折纸过程中还要涉及到直线、角度、对称、比例、参考系等多个数学概念。
折纸数理学在现代应用中起到了很大的作用。
例如，通过折纸可以设计出更加稳固、强韧的纸质结构，还可以为人们提供更好的折纸教程，便于新手入门，并不断推动折纸艺术的发展。
同时，折纸数理学的应用也有助于增加人们对数学、物理学、形态学等学科的兴趣。
总的来说，折纸数理学是一门开放的、创新性的学科。
它既包含了传统意义上的折纸艺术，又涵盖了诸多数学定律和计算公式，对于提升人们对数学、物理学乃至形态学等领域的认识和理解，具有关键性的意义。
我们在学习数学的同时，也许可以找到一些新的视角来理解这些知识，甚至为自己的生活和工作带来一些新的灵感。
人教版九年级数学中考复习专题折纸中的数学——三角形的内接矩形模型
∆ 是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻
t的值；若不存在，请说明理由．
∆ 放飞思维：
∆ 如 图 ， 四 边 形 ABCD 纸片 满 足 AD∥BC， AD＜BC，AB⊥BC，AB＝8，CD＝10，小 明把该纸片折叠，得到叠合矩形恰好为正 方形，请你帮助画出所有可能的叠合正方 形的示意图，并求出AD，BC的长．
1． 2
①
①
② ②
③ ③
活动三 拓展应用 ——多边形中的叠合矩形 ∆ 在平行四边形中折一个叠合矩形，有没有可能会出现 如图的折法？ ∆ 此时如何确定矩形的四个顶点？
操作型问题都可 以转化为我们学
习过的知识
小结与作业 ∆ 你学习到了什么？ 操作探究型问题是中考热点 一般：内接矩形—>特殊：内接正方形、叠合矩形—>拓展 ∆ 你感悟到了什么？ 建立数学模型 数学思想：方程、转化 ∆ 你还想探究什么？更多精彩等你发现！！！
∆ 方程思想：相似比=对应高的比
活动二 探索新知 在三角形中折一个面积尽可能大的矩形
∆ 结论：上题中，若改为“已知三角形底BC=a，高AD=b”，
用a、b表示这个正方形的边长为 ab ． ab
∆ 折出这个内接正方形
活动二 探索新知 在三角形中折一个面积尽可能大的矩形
第三环节
∆ 已知原三角形和底和高，怎么折出面积最大的内接矩形？
活动一 操作引入 折出与三角形有关的线段
活动一 操作引入
A
折出与三角形有关的线段
A
B
C' D C
折出三角形一边的高
A
C'
BDCຫໍສະໝຸດ 折出三角形一角的角平分线A
折纸中的图形性质——关于数学活动教学的课例研究
４ １０ ， ３９ ０
论 一 坛
猜想——验证， 体会科学发现的一般规律 ， 得到解决问
活 动重 点 ： 在 折 纸活 动 中运用 图形 的相 关性 质 。 活动难点：
题的 成 功 体验 。
数学生在证明中面临困难。 如何有效地解决这个教学难点
是 本 节课 例研 究 的出发 点 。 所 周 知 ， “ 众 用 操作 观察 ‘ 猜 想 ” 分析 ” “ 的手 段 去感 悟 几何 图形 的性 质 是学 习 几 何 的重 要 方法 。 由此 ， 想 到 了从 学生 已有 的生 活经 验 、 学基 础 我 数 出发 ， 重新 设 计 了“ 角 形 的中 位线 ” 三 的教 学过 程 。让学 生 从研 究“ 纸 中的 图形性 质 ” 索 出三 角形 的 中位 线 性质 并 折 探
（ 责任编辑 刘 红）
的情感 ， 他们神情专注 ， 思绪飞向了远方， 仿佛看到了一幅 美好 的夏 日荷塘图。有的孩子说： 这儿有清清 的泉水， “ 高 大的树木 ， 小小的荷叶， 可爱的蜻蜒， 景色真美 ！” 有的孩子 说：大 自然这么美， “ 真希望人类不要破坏它， 让我们居住的 环境永远这么美好 ！” 这时我展示 出夏 日的美丽画面， 使孩
探索精神有重要的价值 。
活动 目标 ：
动地投入到探索活动创设情境 ， 激发学生的学习热情 。
【 动 ２ 活 】
知识与技能在折纸的情境 中， 能综合运用角平分线、 线
段垂 线 的性质 及 与三 角形 、 四边 形相 关 的一些 性质 和判 定 。 过程 与 方法 建立 生活 世 界中 的一 些活动 与 几何 世界 的 多种 联系 ， 发 学生 学 习几何 的 兴趣 ； 激 建立几 何 与现 实生 活
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折纸中的图形性质
活动背景：
在几何教学内容中，对三角形中位线性质的证明，是教学的一个难点，只有少数优秀学生能在课上独立完成，大多数学生在证明中面临困难。
如何有效地解决这个教学难点是本节课例研究的出发点。
众所周知，用“操作”“观察”“猜想”“分析”的手段去感悟几何图形的性质是学习几何的重要方法。
由此，我想到了从学生已有的生活经验、数学基础出发，重新设计了“三角形的中位线”的教学过程。
让学生从研究“折纸中的图形性质”探索出三角形的中位线性质并加以说明。
一方面，折纸活动本身能唤起学生很多美好的回忆，如折纸飞机、纸帆船、千纸鹤等。
另一方面，折纸活动又是一种有效的操作活动，学生可以通过自己动手操作来感悟图形的几何性质，运用图形运动去发现问题、分析问题。
而且折纸活动本身也承载着许多重要的几何问题，可以提炼出更一般的几何方法，它对于培养学生的学习兴趣、好奇心与探索精神有重要的价值。
活动目标：
知识与技能在折纸的情境中，能综合运用角平分线、线段垂线的性质及与三角形、四边形相关的一些性质和判定。
过程与方法建立生活世界中的一些活动与几何世界的多种联系，激发学生学习几何的兴趣；建立几何与现实生活问题的联系，培养数学的思考方式。
情感、态度与价值观经历数学学习过程：观察——探索——猜想——验证，体会科学发现的一般规律，得到解决问题的成功体验。
活动重点：
在折纸活动中运用图形的相关性质。
活动难点：
三角形中位线性质的证明。
活动过程设计：
【活动1】
问题与情境：同学们，你们做过折纸游戏吗？折纸飞机、纸船、纸鹤等。
我们日常生活中接触最多的纸是长方形的，如把这样一张纸折起一个角，就得到了一个直角三角形。
师生行为：教师演示，提问：那么怎样用长方形的纸片折出等腰三角形呢？请同学们折一下。
学生联想以往的折纸方式折纸。
设计意图：从折纸活动中提出问题，为学生能够积极主动地投入到探索活动创设情境，激发学生的学习热情。
【活动2】
问题与情境：我们已经知道长方形纸片能折出直角三角形。
现在考虑反方向的问题，即直角三角形纸片能否折成长方形？
师生行为：学生以小组为单位，进行观察、尝试、讨论折纸，探索折法，表达自己的发现。
教师展示图片1并加以提示：注意图中线段的位置与长度的关系，图中是否有等腰三角形？哪些三角形全等？
教师根据学生的回答归纳板书：1、EF=GB=GC=BC/2,EG=AF=FC=AC/2,因此EF//BC,EG//AC2、折痕将三角形ABC分成四个全等的直角三角形，两个等腰三角形。
3、连接EC,AE=BE=EC=AB/2,∠A+∠B=90€啊?
教师用PPT展示图片1并提出问题:大家知道了E是AB的中点，并且得到三点发现，其中第三点中的两条性质我们以前证明过，今天我们用折纸的方法又一次进行了说明。
请大家过中点G、F作一条折痕，思考这条折痕GF与斜边AB 有什么关系？它能不能成为长方形的一边？
设计意图：在学生独立思考后，再通过交流和引导，让学生表达自己的数学发现培养学生的推理能力和概括能力。
【活动3】
问题与情境：现在，我们考虑更一般的问题，即一般三角形的纸片能否折成长方形？
师生行为：学生尝试用任意三角形折长方形。
教师巡视中指导：同学们可以回想刚才是怎样折的。
活动进行得差不多时，学生在投影仪上演示：用高线转化成两个直角三角形的折叠过程。
教师演示：打开纸片展平，画出所有折痕，并标上字母。
同时用PPT展示图2，并提出问题：从刚才的折纸活动中，你发现了这个图形中线段、角和三角形之间存在哪些位置、形状、数量关系？请各小组的同学讨论一下，发表小组讨论结果。
教师边归纳边板书学生讨论的结果。
设计意图：让学生主动尝试从数学角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略，训练学生“能清晰地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据”的意识。
【活动4】
问题与情境：猜想：你认为在什么条件下才能得到一条线段是另一条线段的一半长？
师生行为：学生发现：线段的中点；直角三角形斜边上的中线；三角形两边的中点连线。
教师出示三角形中位线的概念，并提出问题：现在你们猜测一下这个中位线与第三边有什么样的关系？学生提出猜想：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
设计意图：对三角形中位线性质的归纳，是学生对本节课所学知识的一次升华。
【活动5】
问题与情境：刚才大家猜出了三角形中位线的性质，现在你是否能验证这个性质并加以说明。
师生行为：学生折纸，用折纸比较各条边长及各个角的大小。
然后教师引导学生小组讨论如何验证?如何说明？
学生互相说明与辩论。
在实物投影仪上说明∠A+∠B+∠C=180€埃凰谋咝蜤FHG是长方形。
设计意图：通过证明，验证猜测的正确性，让学生感受数学结论的确定性和证明的必要性，突出了教学重点。
【活动6】
问题与情境：评价和反思
这节课你知道了什么？学会了什么？有什么发现？有什么体会？还有什么问题与困惑？
布置作业
用正方形的纸片折叠图形，并在操作中探究，从中发现问题。
师生行为：学生交流获得的知识和感受。
学生课后独立完成，教师做好辅导并记载。
设计意图：通过评价和反思，概括本节课的学习内容，总结三角形中位线的性质及与三角形、四边形相关的一些性质和判定，体验探究过程中的感受。
学生独立思考，完成课后作业，使课堂知识继续延伸。
活动评价与反思：
从上述过程可以看出，教学活动的过程主要强调学生从已有生活经验出发，在动手操作的活动过程中学习，进而完成对知识的主动构建。
但是数学探究活动的发生又不同于科学探究活动，具体实物材料的摆弄和操作（折纸活动）只是“外在的活动”，而实质性的数学探究往往发生在学生的头脑里，教师的任务就是使学生经历“直观——感性认识——理性思考”的活动过程，同时体验和感受数学发现的过程（从猜想到证明）的欣喜和挑战。
而这一课例无疑关注了学生对数学学习过程的情感体验。
布鲁纳也指出：“我们教一门科目，并不是希望学生成为该科目的一个小型书库，而是要他们参与获得知识的过程。
学习是一种过程，而不是结果。
”可见，让学生在活动中“学会学习”本身比“学会什么”更重要。