离散数学(第3讲)

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基本要求
1、深刻理解等价式的定义，知道公式之间 的等价关系具有自反性、对称性、传递性； 2、牢记基本等价式的名称及它们的内容； 3、熟练地应用基本等价式及置换规则进行 等价演算 4、理解对偶原理及在等价演算中的应用 5、理解逻辑联结词功能完备集和最小功能 完备集的概念
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对偶式
E3 ～E18 ，E23 ～E24 都是成对出现的，它是逻辑系 统对偶性的反映，即对偶式。利用对偶式可以 扩大等价式的个数，也可减少证明的次数。
定义1.13：设A和A*是两个包含、∨、∧的命题 公式。如果把A中的联结词∨换成∧，把∧换成 ∨，把Ｔ换成Ｆ，把Ｆ换成Ｔ后得到的正是A* ， 则称A*是A的对偶公式。 如公式（P∨Q）∧R的对偶式为（P∧Q）∨R ～P∨（Q∧R）的对偶式为～P∧（Q∨R）
1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0
Ｐ∨Q P→Q PQ
0
1 0 1
0
0 1 1
0
0 0 1
0
0 1 0
0
1 0 0
1
0 0 0
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定义 1.14 设P和Q是命题公式，分别称P↑Q和 P↓Q为“与非”和“或非”命题公式。其相应的 真值表如下所示： P
Q，16代表P∧Q，可见，已定义的9个联
结词就是全部可以定义的联结词。
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定义 1.15
设S 是由某些联结词构成的集合，
如果每个逻辑联结词的功能都能够由S中的联结
词实现，则称S是逻辑联结词的一个功能完备集；
进一步，如果去掉S中的任何一个联结词后，至 少有一个联结词的功能不能由S中剩余的联结词 实现时，则称S是逻辑联结词的一个最小功能完 备集。
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基本等价式——命题定律
1. Ｅ1: GH (G→H)∧(H→G) 2. Ｅ2：(G→H) (～G∨H) 3. Ｅ3：G∨G G Ｅ4：G∧G G 4. Ｅ5：G∨H H∨G Ｅ6：G∧H H∧G 5. Ｅ7：G∨(H∨S) (G∨H)∨S Ｅ8: G∧(H∧S) (G∧H)∧S 6. Ｅ9：G∨(G∧H) G Ｅ10：G∧(G∨H) G
Q P
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0
1 0 1
0
0 1 1
0
0 0 1
0
0 1 0
0
1 0 0
1
0 0 0
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显然公式1是永真式，2代表矛盾式，3代表 Ｐ∨Q，4代表Q→P,5代表P→Q，6代表P↑Q， 7 是P，8是Q，9代表PQ，10代表PQ，11代表～Q ，12代表～P，13代表P↓Q，14代表Q 表P P,15代
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根据定义,我们知道{↑}、{↓}是最小的功 能完备集，那么{～，∨，∧}是不是最小功能 完备集？由于P∨Q～(～P∧～Q)，可见∨可 由{～，∧}表达；同理, P∧Q～(～P∨～Q) , 因而∧可由{～，∨}表达，这说明{～，∨，∧} 不是最小功能完备集，但是 在实际应用中，普 遍采用的功能完备集却是{～,∨,∧},这也是逻 辑系统中最主要的3个常用联结词。
式。
其次，如果要求用计算机来判断命题公式G、
H是否逻辑等价，即GH那是办不到的，然而计
算机却可“计算”公式GH是否是永真公式。
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等价式的判定
1.真值表法 2.公式推演（等价变换） 例1-3.1：试证 P→Q ～Q→～P 证：P→Q ～P∨Q 蕴涵 E2 ～P∨～～Q 双重否定 E19 ～～Q∨～P 交换律 E5 ～Q→～P 蕴涵 E2
冯伟森
Email：fws365@scu.edu.cn 2013年7月4日星期四
1.3 命题公式的等价
定义1.12 设G、H是公式，如果在任意解释Ｉ 下，G与H的真值相同，则称公式G、H是等价的 ， 记作GH。
等价式的性质: 1）自反性：A A 2）对称性：若 A B，则 B A 3）可传递性:若 A B，B C，则A C
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这些等价式告诉我们，↑可由∧和～表
示出来，↓可由∨和～表示出来，反过
来，↑和↓都可以单独表示出所有已知
联结词，它们的这一性质使得在逻辑电 路设计中只用一种门式电路元件就能实 现任何电路功能，当然，元件的数量通 常也显得更多。
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还有一个二元联结词“ ”,称为条件否定， 可以用下面的真值表定义： P 1 1 Q 1 0 P Q
0
1
0
0
1
0
0
0 Q～(P→Q)
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显然，P
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至此我们定义了9个联结词，其中1
个一元联结词，8个二元联结词。那么，
还能不能定义出新的联结词呢？下面是 含两个命题变元的所有公式的真值表所 能取得的情况：
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P↑Q
P↓Q P
Q
P∧Q
T F
Q→P
P Q
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对偶原理（定理1.5）
设A和B是两个命题公式，若A B， 则 A* B*
例1-3.4 证明（a）～(P∧Q)→(～P∨(～P∨Q) ～P∨Q （b）(P∨Q) ∧(～P∧(～P∧Q)) ～P∧Q 证明:（a） ～(P∧Q)→(～P ∨(～P∨Q)) (P∧Q)∨(～P∨(～P∨Q)) （蕴涵） (P∧Q)∨～P∨Q (幂等律) ((P∨～P)∧(Q∨～P))∨Q (结合律) （分配律） ～P∨Q∨Q （矛盾律）(同一律) 该式正好是右端的对偶式 ～P∨Q (幂等律) （b） 该式正好是（b）左端的对偶式, 由（a）及对偶原 理得证
表都应该存在相应的联结词。下面从真值表取值
情况的角度定义几个新的联结词。
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下面是含两个命题变元的所有公式的真值表所能取 得的情况：
T F Q→P P Q PQ ～Q ～P
P∧Q
P 1
1 0 0
Q 1
0 1 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0
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1.4
联结词的完备集
前面我们已经介绍了最常见的6种逻辑联结 词。他们都和自然语言中使用的联结词紧密相关， 易于理解。不同联结词产生的真值表是互不相同
的，根据对含两个命题变元的公式的解释方式看，
共有2*2=4种不同的解释，因而公式的真值表相
应有2*2*2*2=16种可能结果。对其中每一种真值
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替换定理
定理1.2设G1是G的子公式(即 G1是公式G的一
部分)，H1 是任意的命题公式，在G中凡出现G1
处都以H1 替换后得到新的命题公式H，若G1
H1，则G H。
替换定理是经常使用的重要定理。
定理1.3公式G、H等价的充分必要条件是公 式 GH是永真公式。 此定理是从另一角度来看待等价性
1 1 0 0
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Q
1 0 1 0
P↑Q
0 1 1 1
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P 1
1 0 0
Q 1
0 1 0
P↓Q 0
0 0 1
由真值表可以看出
P↑Q～（P∧Q）,
P↓Q ～（P∨Q）
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根据联结词↑和↓的定义，不难证明下面的 等价式。 ① P↑P～（P∧P）～P ② ( P↑Q)↑( P↑Q) ～( P↑Q) P∧Q ③ ( P↑P)↑(Q↑Q) ～P↑～Q ～（～P∧～Q）P∨Q ④ P↓P～（P∨P）～P ⑤ ( P↓Q) ↓( P↓Q) ～( P↓Q) P∨Q ⑥ ( P↓P) ↓(Q↓Q) ～P↓～Q ～（～P∨～Q）P∧Q
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基本等价式（续）
11.Ｅ19：～ (～G) G (双重否定律)
12.Ｅ21：（GH）(～G∧H)∨(G∧～H) (排中律) 13.Ｅ22：P→Q ～Q→～P （逆反律） 14.Ｅ23：～ (G∨H) ～G∧～H Ｅ24：～ (G∧H) ～G∨～H。 (De.Morgan定律)
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“” 与“”的区别
首先，双条件词“”是一种逻辑联结词，
公式GH是命题公式，其中“”是一种逻辑运
算，GH的结果仍是一个命题公式。 而逻辑等价“”则是描述了两个公式G与H 之间的一种逻辑等价关系，GH表示“命题公式 G等价于命题公式H”，GH 的结果不是命题公
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问题：如果两个公式等价，那么它们的对偶式是否也是 等价的？ 定理1.4 ：设P1,P2,…Pn 是公式A和A* 中的所有命题变元， 则 ～A（P1,P2,…Pn）A*（～P1,～P2,…,～Pn） 证：∵由 De Morgan定律可知 ～（P∨Q） ～P∧～Q， ～（P∧Q） ～P∨～ Q ～T F， ～F T ∴对公式的否定可以直接作用到原子本身，并且把公式 中的∧变成∨，把∨变成∧，即得 ～A（P1,P2,…Pn）A*（～P1,～P2,…,～Pn）
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例1-3.2（续）
所以该电路图可简化为：
P Q R
Байду номын сангаас
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例1-3.3
证明P∨┐((P∨┐Q)∧Q) 是永真公式。
证：P∨┐((P∨┐Q)∧Q) P∨┐(P∨┐Q)∨┐Q (De Morgan定律) (P∨┐Q)∨┐(P∨┐Q) (交换律) (结合律) T ■（矛盾律）
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例1-3.2
试将下图所示之逻辑电路简化。
P Q R
与门 AND 或门 OR
AND AND OR
解: 可将上述电路写成如下命题公式： ((P∧Q)∨(P∧R))∧(Q∨R) 利用基本等价公式转化为： ((P∧Q)∨(P∧R))∧(Q∨R) (P∧(Q∨R))∧(Q∨R)（分配律） P∧(Q∨R) (幂等律)
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习题一
5（1）（3）、6、 8(1)（3）、9、10、
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PQ ～Q ～P
P 1
1 0 0
Q 1
0 1 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0
1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0
Ｐ∨Q P→Q PQ
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(等价律) (蕴涵律) (幂等律)
(交换律) (结合律)
(吸收律)
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基本等价式（续）
7. Ｅ11：G∨(H∧S) (G∨H)∧(G∨S) (分配律） Ｅ12：G∧(H∨S) (G∧H)∨(G∧S) 8. Ｅ13：G∨F G (同一律) Ｅ14：G∧T G 9. Ｅ15：G∨T T (零律) Ｅ16：G∧F F 10.Ｅ17：G∨～G T (矛盾律) Ｅ18：G∧～G F