高考数学大一轮复习 2.1函数及其表示 理
高考数学一轮复习 21函数及其表示课件 理
(2)函数的定义域、值域
在函数 y＝f(x)，x∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做 函数的 定义域 ；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数
值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 值域 ．显然，值域是集合
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第1讲 函数及其表示
基础梳理 1．函数的基本概念 (1)函数的定义：设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对 应关系f，使对于集合A中的 任意 一个数x，在集合B中都 有 唯一 确定的数f(x)和它对应，那么称f：A→B为从集合A 到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A.
(2)函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫自变量，x的取值范围A叫做
5．函数y＝f(x)的图象如图所示．那么，f(x)的定义域是 ________；值域是________；其中只与x的一个值对应的y值的 范围是________．
考向一 求函数的定义域
【例1】►求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝ lo|xg－2x2－|－11；
(2)f(x)＝
lnx＋1 －x2－3x＋4.
以－x代x得，2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)．②
由①②消去f(－x)得
f(x)＝23lg(x＋1)＋13lg(1－x)，x∈(－1,1)．
求函数解析式的方法主要有：(1)代入法；(2)换元
法；(3)待定系数法；(4)解函数方程等．
•11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 •12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 •13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/182022/1/18January 18, 2022 •14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 •15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 •17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/182022/1/182022/1/181/18/2022 •18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2022/1/182022/1/18
2025年高考数学一轮复习-2.1-函数的概念及其表示【课件】
1.设函数 则满足 的 的取值范围是( )
A. B. C. D.
解析：选D.根据题意作出函数 的图象如图所示，结合图象知，满足 ,则 或 所以 .故选D.
√
2.已知函数 若 ,则实数 的值为_______.
4或
解析：当 时， ,所以 ;当 时， ,所以 .所以实数 的值为4或 .
A. B. C. D.
3.(2022·高考北京卷)函数 的定义域是_______________.
解析：由题意得 解得 .
√
4.已知函数 若 ,则实数 的值为____.
解析：因为 ,且 ,所以 ,故 .依题知 ,解得 .
1.直线 与函数 的图象至多有1个交点.
2.分段函数若函数在其定义域的______子集上,因对应关系不同而分别用几个____________来表示,这种函数称为分段函数.[提醒] 分段函数是一个函数,而不是几个函数,分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.
解析法
图象法
列表法
不同
不同的式子
【练一练】
1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
2.已知定义在 上的函数 满足 ，若当 时， ,则当 时， _ __________.
解析：因为 ,所以 ,所以 .
考点三 分段函数（多维探究）
[高考考情] 分段函数常作为考查函数知识的载体，因其考查函数知识较全面而成为高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，重点考查求值、解方程与不等式，涉及函数的零点、图象及性质等，难度中低档.
（1）函数 与 是同一个函数.( )
√
（2）若两个函数的定义域与值域都相同,则这两个函数是同一个函数.( )
×
高考数学一轮复习 2-1函数的概念及其表示课件 理
• (1)函数的定义
• 设A，B是两个数非集空的 应法则f，对于集
，如果按某种对
唯一
• 合A中的每一个元素x，在集合B中都有 元素y＝y和f(x)它，x∈A
• 对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个 函数，记
•作
.精品
3
基础诊断
考点突破
课堂总结
•(2)函数的定义域、值域
•在函数y＝f(x)，x∈A中，其中所有的输入值x组 成的集合A称定为义域
精品
14
基础诊断
考点突破
课堂总结
【训练 1】 (1)函数 f(x)＝log21x－2的定义域为________．
(2)函数 f(x)＝ln1＋1x＋ 1－x2的定义域为________． 解析 (1)由题意知lxo－g22x＞－02，≠0， 解得xx≠ ＞32， ， 所以函数
f(x)的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．
精品
13
基础诊断
考点突破
课堂总结
•规律方法 (1)给出解析式的函数的定义域是使 解析式中各个部分都有意义的自变量的取值集 合 ，在求解时，要把各个部分自变量的限制条 件列成一个不等式(组)，这个不等式(组)的解集 就是这个函数的定义域，函数的定义域要写成 集合或者区间的形式．(2)对于实际问题中求得 的函数解析式，在确定定义域时，除了要考虑 函数解析式有意义外，还要使实际问题有意 义．
• 第1讲 函数的概念及其表示
精品
1
基础诊断
考点突破
课堂总结
• 考试要求 1.映射、函数的概念，求简单函数 的定义域和值域，B级要求；2.选择恰当的方 法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，B 级要求；3.简单的分段函数及应用，A级要 求．
(全国通用版)高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 课时分层作业四 2.1 函数及其表示 理
课时分层作业四函数及其表示一、选择题(每小题5分,共35分)1.下列所给图象是函数图象的个数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.①中当x>0时,每一个x的值对应两个不同的y值,因此不是函数图象,②中当x=x0时,y的值有两个,因此不是函数图象,③④中每一个x的值对应唯一的y值,因此是函数图象.2.(2018·滨州模拟)函数y=的定义域为( )A.(1,+∞)B.[1,+∞)C.(1,2)∪(2,+∞)D.(1,2)∪[3,+∞)【解析】选C.由ln(x-1)≠0,得x-1>0且x-1≠1.由此解得x>1且x≠2,即函数y=的定义域是(1,2)∪(2,+∞).3.给出下列命题:①函数是其定义域到值域的映射;②f(x)=+是一个函数;③函数y=2x(x∈N)的图象是一条直线;④f(x)=lgx2与g(x)=2lgx是同一函数.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选A.由函数的定义知①正确.因为满足f(x)=+的x不存在,所以②不正确.又因为y=2x(x∈N)的图象是位于直线y=2x上的一群孤立的点,所以③不正确.又因为f(x)与g(x)的定义域不同,所以④也不正确.4.(2018·某某模拟)已知函数f(x)=若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于( )A.-3B.-1C.1D.3【解析】选A.当a>0时,由f(a)+f(1)=0得2a+2=0,可见不存在实数a满足条件,当a<0时,由f(a)+f(1)=0得a+1+2=0,解得a=-3,满足条件.【一题多解】本题还可以采用如下解法:方法一:选A.由指数函数的性质可知:2x>0,又因为f(1)=2,所以a<0,所以f(a)=a+1,即a+1+2=0,解得:a=-3. 方法二:选A.验证法,把a=-3代入f(a)=a+1=-2,又因为f(1)=2,所以f(a)+f(1)=0,满足条件,从而选A.【变式备选】已知函数f(x)=且f(0)=2,f(-1)=3,则f(f(-3))= ( )A.-2B.2C.3D.-3【解析】选B.f(0)=a0+b=1+b=2,解得b=1;f(-1)=a-1+b=a-1+1=3,解得a=.故f(-3)=+1=9,f(f(-3))=f(9)=log39=2.【方法技巧】求函数值的四种常考类型及解法(1)f(g(x))型:遵循先内后外的原则.(2)分段函数型:根据自变量值所在区间对应求值,不确定时要分类讨论.(3)已知函数性质型:对具有奇偶性、周期性、对称性的函数求值,要用好其函数性质,将待求值调节到已知区间上求解.(4)抽象函数型:对于抽象函数求函数值,要用好抽象的函数关系,适当赋值,从而求得待求函数值.5.已知函数f(x)满足f(x)+2f(3-x)=x2,则f(x)的解析式为 ( )A.f(x)=x2-12x+18B.f(x)=x2-4x+6C.f(x)=6x+9D.f(x)=2x+3【解析】选B.由f(x)+2f(3-x)=x2可得f(3-x)+2f(x)=(3-x)2,由以上两式解得f(x)=x2-4x+6.6.现向一个半径为R的球形容器内匀速注入某种液体,下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h随时间t变化的函数关系的是( )【解析】选C.从球的形状可知,水的高度开始时增加的速度越来越慢,当超过半球时,增加的速度又越来越快.7.已知[x]表示不超过实数x的最大整数(x∈R),如:[-1.3]=-2,[0.8]=0,[3.4]=3.定义{x}=x-[x],则++…+= ( )A.2017B.C.1008D.2016【解析】选B.=,=,…,=,=0,所以原式=++…+=.【题目溯源】本考题源于教材人教A版必修1P25习题B组T3,“函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数,例如,[-3.5]=-4,[2.1]=2.当x∈(-2.5,3]时,写出函数f(x)的解析式,并作出函数的图象”的变式.【变式备选】设[x]表示不大于x的最大整数,则对任意实数x,有( )A.[-x]=-[x]B.=[x]C.[2x]=2[x]D.[x]+=[2x]【解析】选D.选项A,取x=1.5,则[-x]=[-1.5]=-2,-[x]=-[1.5]=-1,显然[-x]≠-[x].选项B,取x=1.5,则=[2]=2≠[1.5]=1.选项C,取x=1.5,则[2x]=[3]=3,2[x]=2[1.5]=2,显然[2x]≠2[x].二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2018·某某模拟)函数y=ln+的定义域为______________.【解析】由⇒⇒0<x≤1.所以该函数的定义域为(0,1].答案:(0,1]9.已知函数f(x)=则f(f(-3))=________,f(x)的最小值是________.【解析】f(f(-3))=f(1)=0,当x≥1时,f(x)≥2-3,当且仅当x=时,等号成立;当x<1时,f(x)≥0,当且仅当x=0时,等号成立,所以f(x)的最小值为2-3.答案:0 2-310.已知函数f(x)的定义域是[-1,1],则f(log2x)的定义域为______________.【解析】因为函数f(x)的定义域是[-1,1],所以-1≤log2x≤1,所以≤x≤2.故f(log2x)的定义域为.答案:1.(5分)下列函数中,不满足f(2x)=2f(x)的是( )A.f(x)=|x|B.f(x)=x-|x|C.f(x)=x+1D.f(x)=-x【解析】选C.对于选项A,f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x);对于选项B,f(x)=x-|x|=当x≥0时,f(2x)=0=2f(x),当x<0时,f(2x)=4x=2·2x=2f(x),恒有f(2x)=2f(x);对于选项D,f(2x)=-2x=2(-x)=2f(x);对于选项C,f(2x)=2x+1=2f(x)-1.2.(5分)(2018·某某模拟)若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,则函数解析式为y=x2+1,值域为{1,3}的同族函数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选C.由x2+1=1得x=0,由x2+1=3得x=±,所以函数的定义域可以是{0,},{0,-},{0,,-},故值域为{1,3}的同族函数共有3个.3.(5分)若函数f(x)=(a>0且a≠1)的值域是[4,+∞),则实数a的取值X围是__________. 导学号12560407【解析】当x≤2,故-x+6≥4,要使得函数f(x)的值域为[4,+∞),只需f1(x)=3+log a x(x>2)的值域包含于[4,+∞),故a>1,所以f1(x)>3+log a2,所以3+log a2≥4,解得1<a≤2,所以实数a的取值X围是(1,2].答案:(1,2]4.(12分)已知f(x)=x2-1,g(x)=(1)求f(g(2))与g(f(2)).(2)求f(g(x))与g(f(x))的表达式.【解析】(1)g(2)=1,f(g(2))=f(1)=0;f(2)=3,g(f(2))=g(3)=2.(2)当x>0时,f(g(x))=f(x-1)=(x-1)2-1=x2-2x;当x<0时,f(g(x))=f(2-x)=(2-x)2-1=x2-4x+3.所以f(g(x))=同理可得g(f(x))=5.(13分)某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过4吨时,每吨为1.80元,当用水超过4吨时,超过部分每吨为3.00元.某月甲、乙两户共交水费y元,已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x、3x(吨).(1)求y关于x的函数.(2)若甲、乙两用户该月共交水费26.40元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.【解析】(1)当甲的用水量不超过4吨时,即5x≤4,乙的用水量也不超过4吨,y=(5x+3x)×1.8=14.4x;当甲的用水量超过4吨,乙的用水量不超过4吨,即3x≤4且5x>4时,y=4×1.8+3(5x-4)+3x×1.8=20.4x-4.8;当乙的用水量超过4吨时,即3x>4,y=24x-9.6,所以y=.(2)由于y=f(x)在各段区间上均为单调递增,当x∈时,y≤f<26.4;当x∈时,y≤f<26.4;当x∈时,令24x-9.6=26.4,解得x=1.5.所以甲户用水量为5x=7.5吨,付费S1=4×1.80+3.5×3.00=17.70(元); 乙户用水量为3x=4.5吨,付费S2=4×1.80+0.5×3.00=8.70(元).。
高考数学(理科)一轮复习：2.1 函数及其表示
第二章
知识梳理 考点自测
2.1
函数及其表示
关键能力 学科素养
必备知识
-7-
第二章
知识梳理 考点自测
2.1
函数及其表示
关键能力 学科素养
必备知识
-8-
1
2
3
5
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”. (1)函数是其定义域到值域的映射.( ) (2)函数y=f(x)的图像与直线x=1有两个交点.( ) (3)定义域相同,值域也相同的两个函数一定是相等函数.( (4)二次函数y=x2-1的值域可以表示为{y|y=x2-1,x∈R},即为 {y|y≥-1}.( ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的.( )
2.1
函数及其表示
关键能力 学科素养
必备知识
-6-
1.映射:(1)映射是函数的推广,函数是特殊的映射,A,B为非空数集的 映射就是函数; (2)映射问题允许多对一,但不允许一对多. 2.判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全 一致. 3.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各 段函数的值域的并集,分段函数虽由几部分组成,但它表示的是一 个函数.
必备知识
-12-
1
2
3
4
5
5.如图表示的是从集合A到集合B的对应,其中 是函数.(只填序号)
是映射,
关闭
函数与映射都要求对于集合A中的任一元素在集合B中都有唯一确定的元 素与之对应,所以③不是映射也不是函数;①②④表示的对应是映射;①②
是函数,由于④中的集合A,B不是数集,所以不是函数.
关闭
①②④ ①②
第二章 函数
2 .1
高考数学一轮复习第二章函数2.1函数及其表示公开课课件省市一等奖完整版
方法 3 分段函数的解题策略
1.求函数值,弄清自变量所在区间,然后代入对应的解析式,从最内层逐 层往外计算,求“层层套”的函数值. 2.求最值,分别求出每段上的最值,然后比较大小取得最值. 3.解不等式,根据分段函数中自变量取值范围的界定,代入相应解析式求 解. 4.求参数,“分段处理”,利用代入法列出各区间上的方程求解.
17,
∴a=2,b=7,故f(x)=2x+7.
(3)当x∈(-1,1)时,有
2f(x)-f(-x)=lg(x+1). ①
以-x代x,得
2f(-x)-f(x)=lg(-x+1). ②
由①②消去f(-x)得
f(x)= 2 lg(x+1)+1 lg(1-x),x∈(-1,1).
3
3
评析 (1)用的是换元法,定义法的实质也是换元;(2)用的是待定系数法; (3)-x与x互为相反数,赋值消元可求得函数解析式.
1.已知函数解析式,函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范
围,只需要解不等式(组)即可.
2.对于复合函数的定义域问题,若已知f(x)的定义域为[a,b],a,b∈R,其复
合函数f(g(x))的定义域应由不等式a≤g(x)≤b解出.
3.实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外,还应使实际问题或几
高考数学
§2.1 函数及其表示
知识清单
考点一 函数的概念及其表示
1.函数的概念 如果A、B都是非空的数集,那么A到B的映射f:A→B就叫做A到B的函数, 记作y=f(x),其中x∈A,y∈B.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域,象的 集合C⊆B叫做函数y=f(x)的值域. 2.函数的三要素:① 定义域 ,值域,对应关系. 3.两个函数能成为同一函数的条件是定义域、值域、② 对应关系 都相同. 4.函数的表示法主要有:③ 解析法 ,④ 图象法 ,⑤ 列表法 . 图象法表示函数是函数变量间对应关系的直观体现,是数形结合思想的 重要表现,是研究函数性质的基础.利用函数解析式作出函数图象,利用
2.1 函数及其表示-2020-2021学年新高考数学一轮复习讲义
§2.1函数及其表示1．函数2.函数的三要素(1)定义域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域．(2)值域对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应．我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域．(3)对应法则f：A→B.3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．4．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 概念方法微思考1．分段函数f (x )的对应法则用两个式子表示，那么f (x )是两个函数吗？ 提示 分段函数是一个函数．2．请你概括一下求函数定义域的类型．提示 (1)分式型；(2)根式型；(3)指数式型、对数式型；(4)三角函数型． 3．请思考以下常见函数的值域： (1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R . (2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域：当a >0时，值域为⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞；当a <0时，值域为⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a .(3)y ＝kx(k ≠0)的值域是{y |y ≠0}．(4)y ＝a x (a >0且a ≠1)的值域是(0，＋∞)． (5)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是R .题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |，其对应是从A 到B 的函数．( × ) (2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( × ) (3)已知f (x )＝5(x ∈R )，则f (x 2)＝25.( × )(4)函数f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点．( √ )题组二教材改编2．以下属于函数的有________．(填序号)①y＝±x；②y2＝x－1；③y＝x－2＋1－x；④y＝x2－2(x∈N)．答案④3．函数y＝f(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________．答案[－3,0]∪[2,3][1,5][1,2)∪(4,5]题组三易错自纠4．下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是()答案C解析A选项中的值域不满足，B选项中的定义域不满足，D选项不是函数的图象，由函数的定义可知选项C正确．5．(多选)(2019·山东省济南市历城第二中学月考)下列各组函数是同一函数的是()A ．f (x )＝x 2－2x －1与g (s )＝s 2－2s －1B ．f (x )＝－x 3与g (x )＝x －xC ．f (x )＝x x 与g (x )＝1x 0D ．f (x )＝x 与g (x )＝x 2 答案 AC6．函数y ＝x －2·x ＋2的定义域是________． 答案 [2，＋∞)7．已知f (x )＝x －1，则f (x )＝____________. 答案 x 2－1(x ≥0)解析 令t ＝x ，则t ≥0，x ＝t 2，所以f (t )＝t 2－1(t ≥0)，即f (x )＝x 2－1(x ≥0)．8．(2019·湖北黄石一中模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x －1，x >0，则f (f (0))的值为________；方程f (－x )＝1的解是________． 答案 1 0或－1解析 ∵f (0)＝1，∴f (f (0))＝f (1)＝1.当－x ≤0时，f (－x )＝－x ＋1＝1，解得x ＝0；当－x >0时，f (－x )＝2－x－1＝1，解得x ＝－1.第1课时 函数的概念及表示法函数的概念1．下列各曲线表示的y 与x 之间的关系中，y 不是x 的函数的是( )答案 C2．(2019·武汉模拟)下列五组函数中，表示同一函数的是________．(填序号) ①f (x )＝x －1与g (x )＝x 2－1x ＋1；②f (x )＝lg x 2与g (x )＝2lg x ；③f (x )＝x ＋2，x ∈R 与g (x )＝x ＋2，x ∈Z ；④f (u )＝1＋u1－u与f (v )＝1＋v1－v； ⑤y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1)． 答案 ④3．已知A ＝{x |x ＝n 2，n ∈N }，给出下列关系式：①f (x )＝x ；②f (x )＝x 2；③f (x )＝x 3；④f (x )＝x 4；⑤f (x )＝x 2＋1，其中能够表示函数f ：A →A 的是________． 答案 ①②③④解析 对于⑤，当x ＝1时，x 2＋1∉A ，故⑤错误，由函数定义可知①②③④均正确．思维升华 (1)函数的定义要求第一个数集A 中的任何一个元素在第二个数集B 中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B 中有可能存在与A 中元素不对应的元素． (2)构成函数的三要素中，定义域和对应法则相同，则值域一定相同．求函数的解析式例1 求下列函数的解析式：(1)已知f (1－sin x )＝cos 2x ，求f (x )的解析式； (2)已知f ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2＝x 4＋1x4，求f (x )的解析式； (3)已知f (x )是一次函数且3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式； (4)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求f (x )的解析式． 解 (1)(换元法)设1－sin x ＝t ，t ∈[0,2]， 则sin x ＝1－t ，∵f (1－sin x )＝cos 2x ＝1－sin 2x ， ∴f (t )＝1－(1－t )2＝2t －t 2，t ∈[0,2]． 即f (x )＝2x －x 2，x ∈[0,2]．(2)(配凑法)∵f ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 22－2， ∴f (x )＝x 2－2，x ∈[2，＋∞)． (3)(待定系数法)因为f (x )是一次函数， 可设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∴3[a (x ＋1)＋b ]－2[a (x －1)＋b ]＝2x ＋17. 即ax ＋(5a ＋b )＝2x ＋17，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，5a ＋b ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7.∴f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋7.(4)(消去法)当x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．①以－x 代替x 得，2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．② 由①②消去f (－x )得，f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．思维升华 函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法．(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．(3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式．(4)消去法：已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．跟踪训练1 (1)(2020·济南月考)若f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1－x ，则当x ≠0，且x ≠1时，f (x )等于( ) A.1x B.1x －1 C.11－x D.1x －1 答案 B解析 f (x )＝1x1－1x＝1x －1(x ≠0且x ≠1)．(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________. 答案 12x 2－32x ＋2解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.(3)已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x －1，求f (x )． 解 已知2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x －1，① 以1x 代替①中的x (x ≠0)，得 2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x－1，② ①×2－②，得3f (x )＝6x －3x －1，故f (x )＝2x －1x －13(x ≠0)．分段函数命题点1 求分段函数的函数值例2 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1，x <2，x 2＋ax ，x ≥2，若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫23＝－6，则实数a 的值为________，f (2)＝________. 答案 －5 －6解析 由题意得，f ⎝⎛⎭⎫23＝3·23＋1＝3， 所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫23＝f (3)＝9＋3a ＝－6， 所以a ＝－5，f (2)＝4－5×2＝－6.(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx 2，x ≤0，f (x －1)＋1，x >0，则f (2)＝________.答案 3解析 f (2)＝f (1)＋1＝f (0)＋2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2×0＋2＝1＋2＝3.命题点2 分段函数与方程、不等式问题例3 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝12的x 的集合为__________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，22 解析 由题意知，若x ≤0，则2x ＝12，解得x ＝－1；若x >0，则|log 2x |＝12，解得x ＝122或x ＝122-.故所求x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，22. 本例中，则使f (x )>12的x 的集合为________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪－1<x <22或x >2解析 当x ≤0时，由2x >12得－1<x ≤0；当x >0时，由|log 2x |>12得0<x <22或x > 2.综上，所求x 的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪－1<x <22或x >2.思维升华 (1)分段函数的求值问题的解题思路①求函数值：当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来． 跟踪训练2 (1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，12x ，x <0，则f (f (－1))＝________.答案 3解析 ∵f (－1)＝12－1＝2，∴f (f (－1))＝f (2)＝3.(2)(2018·全国Ⅰ改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是________．答案 (－∞，0)解析 方法一 ①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)<f (2x )即为2－(x ＋1)<2－2x ，即－(x ＋1)<－2x ，解得x <1.因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x >0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x ≤0，即－1<x ≤0时，f (x ＋1)<f (2x )即1<2－2x ，解得x <0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x >0，即x >0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，0)．方法二 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示．由图可知，当x ＋1≤0且2x ≤0时，函数f (x )为减函数，故f (x ＋1)<f (2x )转化为x ＋1>2x . 此时x ≤－1.当2x <0且x ＋1>0时，f (2x )>1，f (x ＋1)＝1， 满足f (x ＋1)<f (2x )． 此时－1<x <0.综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，－1]∪(－1,0)＝(－∞，0)．1．下列集合A 到集合B 的对应f 是函数的是( ) A ．A ＝{－1,0,1}，B {－1,0,1}，f ：A 中的数的平方 B ．A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数求平方根C ．A ＝Z ，B ＝Q ，f ：A 中的数取倒数D ．A ＝R ，B ＝{正实数}，f ：A 中的数取绝对值 答案 A解析 选项B 中A 中元素出现一对多的情况；选项C ，D 中均出现元素0无对应元素的情况． 2．下列图象中不能作为函数图象的是( )答案 B解析 B 项中的图象与垂直于x 轴的直线可能有两个交点，显然不满足函数的定义，故选B. 3．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A ．－74 B.74 C.43 D ．－43答案 B解析 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，所以f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1， 所以f (a )＝4a －1＝6，即a ＝74.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，1－log 2x ，x >0，则f (f (3))等于( )A.43B.23 C ．－43 D ．－3 答案 A解析 因为f (3)＝1－log 23＝log 223<0，所以f (f (3))＝f ⎝⎛⎭⎫log 223＝22log 132+＝432log 2＝43. 5．(2019·衡水调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥0，3x 2，x <0，且f (x 0)＝3，则实数x 0的值为( )A ．－1B ．1C ．－1或1D ．－1或－13答案 C解析 由条件可知，当x 0≥0时，f (x 0)＝2x 0＋1＝3，所以x 0＝1；当x 0<0时，f (x 0)＝3x 20＝3，所以x 0＝－1.所以实数x 0的值为－1或1.6.如图，△AOD 是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD 是四分之一圆的扇形，点P 在线段AB 上，PQ ⊥AB ，且PQ 交AD 或交弧DB 于点Q ，设AP ＝x (0<x <2)，图中阴影部分表示的平面图形APQ (或APQD )的面积为y ，则函数y ＝f (x )的大致图象是( )答案 A解析 观察可知阴影部分的面积y 的变化情况为：(1)当0<x ≤1时，y 随x 的增大而增大，而且增加的速度越来越快．(2)当1<x <2时，y 随x 的增大而增大，而且增加的速度越来越慢．分析四个答案中的图象，只有选项A 符合条件．7．(多选)下列四组函数中，f (x )与g (x )相等的是( ) A ．f (x )＝ln x 2，g (x )＝2ln x B ．f (x )＝x ，g (x )＝(x )2C ．f (x )＝x ，g (x )＝3x 3D ．f (x )＝x ，g (x )＝log a a x (a >0且a ≠1) 答案 CD解析 对于选项A ，f (x )的定义域为{x |x ≠0}，g (x )的定义域为{x |x >0}，两个函数的定义域不相同，不是相等函数；对于选项B ，f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为{x |x ≥0}，两个函数的定义域不相同，不是相等函数；对于选项C ，g (x )＝3x 3＝x ，两函数的定义域和对应法则相同，是相等函数；对于选项D ，g (x )＝log a a x ＝x ，x ∈R ，两个函数的定义域和对应法则相同，是相等函数． 8．(多选)函数f (x )＝x1＋x 2，x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，则下列等式成立的是( )A ．f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫1x B ．－f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫1x C.1f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫1x D ．f (－x )＝－f (x )答案 AD解析 根据题意得f (x )＝x 1＋x 2，所以f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x1＋⎝⎛⎭⎫1x 2＝x1＋x 2， 所以f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫1x ；f (－x )＝－x 1＋(－x )2＝－x 1＋x 2＝－f (x )，所以f (－x )＝－f (x )．9．已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝3x ·f ⎝⎛⎭⎫1x ＋1，则f (x )＝______________. 答案 －38x －18(x >0)解析 在f (x )＝3x ·f ⎝⎛⎭⎫1x ＋1中，将x 换成1x ，则1x 换成x ，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝31x·f (x )＋1，将该方程代入已知方程消去f ⎝⎛⎭⎫1x ，得f (x )＝－38x －18(x >0)． 10．(2020·福州质检)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎨⎧cos πx2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，则 f (f (15))的值为________．答案22解析 由函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，可知函数f (x )的周期是4，所以f (15)＝f (－1)＝⎪⎪⎪⎪－1＋12＝12，所以f (f (15))＝f ⎝⎛⎭⎫12＝cos π4＝22. 11．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (1)＝________. 答案 2解析 令x ＝1，得2f (1)－f (－1)＝4，①令x ＝－1，得2f (－1)－f (1)＝－2，②联立①②得，f (1)＝2.12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋log 2x ，x >0，x 2－x －1，x ≤0，则不等式f (x )≤5的解集为________．答案 [－2,4]解析 由于f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋log 2x ，x >0，x 2－x －1，x ≤0，当x >0时，令3＋log 2x ≤5， 即log 2x ≤2＝log 24，解得0<x ≤4； 当x ≤0时，令x 2－x －1≤5， 即(x －3)(x ＋2)≤0，解得－2≤x ≤3，∴－2≤x ≤0.∴不等式f (x )≤5的解集为[－2,4]．13．(2019·湖北宜昌一中模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x <1，2x ，x ≥1.若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56＝4，则b 等于( ) A ．1 B.78 C.34 D.12答案 D解析 f ⎝⎛⎭⎫56＝3×56－b ＝52－b ， 当52－b ≥1，即b ≤32时，f ⎝⎛⎭⎫52－b ＝5-22b ， 即5-22b ＝4＝22，得到52－b ＝2，即b ＝12；当52－b <1，即b >32时，f ⎝⎛⎭⎫52－b ＝152－3b －b ＝152－4b ， 即152－4b ＝4，得到b ＝78<32，舍去． 综上，b ＝12，故选D.14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x <0，x 2－2x ，x ≥0，若f (f (－2))>f (t )，则实数t 的取值范围是____________．答案 (－4,4)解析 f (－2)＝4，f (4)＝8，不等式f (f (－2))>f (t )可化为f (t )<8.当t <0时，－2t <8，得－4<t <0；当t ≥0时，t 2－2t <8，即(t －1)2<9，得0≤t <4.综上所述，t 的取值范围是(－4,4)．15．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称f (x )为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是____________．(填序号) 答案 ①③解析 对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足．综上，满足“倒负”变换的函数是①③.16．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧cx，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，则c ＝________，A ＝________. 答案 60 16解析 因为组装第A 件产品用时15分钟，所以cA＝15，① 所以必有4<A ，且c 4＝c2＝30，② 联立①②解得c ＝60，A ＝16.第2课时 函数的定义域与值域函数的定义域求下列函数的定义域： (1)y ＝12－|x |＋x 2－1；(2)y ＝25－x 2＋lg cos x ；(3)y ＝x －12x－log 2(4－x 2)； (4)y ＝1log 0.5(x －2)＋(2x －5)0.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ 2－|x |≠0，x 2－1≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠±2，x ≤－1或x ≥1.所以函数的定义域为{x |x ≤－1或x ≥1且x ≠±2}．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧25－x 2≥0，cos x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧－5≤x ≤5，2k π－π2<x <2k π＋π2(k ∈Z ).所以函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－5，－32π∪⎝⎛⎭⎫－π2，π2∪⎝⎛⎦⎤3π2，5. (3)要使函数有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧x －12x ≥0，x ≠0，4－x 2>0，解得－2<x <0或1≤x <2， ∴函数的定义域为(－2,0)∪[1,2)．(4)由⎩⎪⎨⎪⎧log 0.5(x －2)>0，2x －5≠0得⎩⎪⎨⎪⎧2<x <3，x ≠52，∴函数的定义域为⎝⎛⎭⎫2，52∪⎝⎛⎭⎫52，3. 思维升华 (1)给定函数的解析式，求函数的定义域的依据是使解析式有意义，如分式的分母不等于零，偶次根式的被开方数为非负数，零指数幂的底数不为零，对数的真数大于零且底数为不等于1的正数以及三角函数的定义域等．(2)求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题．在解不等式组时要细心，取交集时可借助数轴，并且要注意端点值或边界值．函数的值域例1 (2019·长沙月考)求下列函数的值域： (1)y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； (2)y ＝2x ＋1x －3；(3)y ＝2x －x －1； (4)y ＝x ＋1＋x －1.解 (1)(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2， 由x ∈[0,3)，再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2,6)．(2)(分离常数法)y ＝2x ＋1x －3＝2(x －3)＋7x －3＝2＋7x －3，显然7x －3≠0，∴y ≠2.故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． (3)(换元法)设t ＝x －1，则x ＝t 2＋1，且t ≥0， ∴y ＝2(t 2＋1)－t ＝2⎝⎛⎭⎫t －142＋158， 由t ≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为⎣⎡⎭⎫158，＋∞.(4)函数的定义域为[1，＋∞)，∵y ＝x ＋1与y ＝x －1在[1，＋∞)上均为增函数，∴y ＝x ＋1＋x －1在[1，＋∞)上为单调递增函数，∴当x ＝1时，y min ＝2，即函数的值域为[2，＋∞)．结合本例(4)求函数y ＝x ＋1－x －1的值域．解 函数的定义域为[1，＋∞)，y ＝x ＋1－x －1＝2x ＋1＋x －1， 由本例(4)知函数y ＝x ＋1＋x －1的值域为[2，＋∞)，∴0<1x ＋1＋x －1≤22， ∴0<2x ＋1＋x －1≤2， ∴函数的值域为(0，2]．思维升华 求函数值域的一般方法(1)分离常数法；(2)反解法；(3)配方法；(4)不等式法；(5)单调性法；(6)换元法；(7)数形结合法；(8)导数法． 跟踪训练1 求下列函数的值域：(1)y ＝1－x 21＋x 2； (2)y ＝x ＋41－x ；(3)y ＝2x 2－x ＋12x －1⎝⎛⎭⎫x >12. 解 (1)方法一 y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x 2，因为x 2≥0，所以x 2＋1≥1，所以0<21＋x 2≤2. 所以－1<－1＋21＋x 2≤1. 即函数的值域为(－1,1]．方法二 由y ＝1－x 21＋x 2，得x 2＝1－y 1＋y. 因为x 2≥0，所以1－y 1＋y≥0. 所以－1<y ≤1，即函数的值域为(－1,1]．(2)设t ＝1－x ，t ≥0，则x ＝1－t 2，所以原函数可化为y ＝1－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋5(t ≥0)，所以y ≤5，所以原函数的值域为(－∞，5]．(3)y ＝2x 2－x ＋12x －1＝x (2x －1)＋12x －1＝x ＋12x －1＝x －12＋12x －12＋12， 因为x >12，所以x －12>0， 所以x －12＋12x －12≥2⎝⎛⎭⎫x －12·12⎝⎛⎭⎫x －12＝2， 当且仅当x －12＝12x －12，即x ＝1＋22时取等号．所以y ≥2＋12，即原函数的值域为⎣⎡⎭⎫2＋12，＋∞. 定义域与值域的应用例2 (1)(2020·广州模拟)若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________． 答案 －92解析 函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，a ＋ab ＋b ＝0，4a ＋2ab ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3， 所以a ＋b ＝－32－3＝－92. (2)已知函数y ＝x 2＋ax －1＋2a 的值域为[0，＋∞)，求a 的取值范围．解 令t ＝g (x )＝x 2＋ax －1＋2a ，要使函数y ＝t 的值域为[0，＋∞)，则说明[0，＋∞)⊆{y |y ＝g (x )}，即二次函数的判别式Δ≥0，即a 2－4(2a －1)≥0，即a 2－8a ＋4≥0，解得a ≥4＋23或a ≤4－23，∴a 的取值范围是{a |a ≥4＋23或a ≤4－23}．思维升华 已知函数的定义域、值域求参数问题．可通过分析函数解析式的结构特征，结合函数的图象、性质、转化为含参数的方程、不等式(组)，然后求解．跟踪训练2 (1)若函数f (x )＝ax －2 021在[2 021，＋∞)上有意义，则实数a 的取值范围为________． 答案 [1，＋∞)解析 由于函数f (x )＝ax －2 021在[2 021，＋∞)上有意义，即ax －2 021≥0在[2 021，＋∞)上恒成立，即a ≥2 021x 在[2 021，＋∞)上恒成立，而0<2 021x≤1，故a ≥1. (2)已知函数f (x )＝12(x －1)2＋1的定义域与值域都是[1，b ](b >1)，则实数b ＝________.答案 3解析 f (x )＝12(x －1)2＋1，x ∈[1，b ]且b >1， 则f (1)＝1，f (b )＝12(b －1)2＋1， ∵f (x )在[1，b ]上为增函数，∴函数值域为⎣⎡⎦⎤1，12(b －1)2＋1. 由已知得12(b －1)2＋1＝b ，解得b ＝3或b ＝1(舍)．我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用y ＝f (x )表示，抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身，是考查函数的良好载体．一、抽象函数的函数值例1 (1)设函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)，f (xy )＝f (x )＋f (y )，若f (8)＝3，则f (2)＝________.答案 12解析 因为f (8)＝3，所以f (2×4)＝f (2)＋f (4)＝f (2)＋f (2×2)＝f (2)＋f (2)＋f (2)＝3f (2)＝3，所以f (2)＝1.因为f (2)＝f (2×2)＝f (2)＋f (2)＝2f (2)，所以2f (2)＝1，所以f (2)＝12. (2)设函数f (x )的定义域为R ，对于任意实数x 1，x 2，都有f (x 1)＋f (x 2)＝2f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22·f ⎝⎛⎭⎫x 1－x 22，f (π)＝－1，则f (0)＝________.答案 1解析 令x 1＝x 2＝π，则f (π)＋f (π)＝2f (π)f (0)，∴f (0)＝1.二、抽象函数的定义域例2 (1)(2019·皖南八校模拟)已知函数f (x )＝ln(－x －x 2)，则函数f (2x ＋1)的定义域为________．答案 ⎝⎛⎭⎫－1，－12 解析 由题意知，－x －x 2>0，∴－1<x <0，即f (x )的定义域为(－1,0)．∴－1<2x ＋1<0，则－1<x <－12. (2)若函数f (2x )的定义域是[－1,1]，则f (log 2x )的定义域为________．答案 [2，4]解析 对于函数y ＝f (2x )，－1≤x ≤1，∴2－1≤2x ≤2.则对于函数y ＝f (log 2x )，2－1≤log 2x ≤2， ∴2≤x ≤4.故y ＝f (log 2x )的定义域为[2，4]．1．函数f (x )＝1(log 2x )2－1的定义域为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 答案 C解析 由题意可知x 满足(log 2x )2－1>0，即log 2x >1或log 2x <－1，解得x >2或0<x <12，故所求函数的定义域是⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)． 2．下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( ) A ．y ＝1sin x B ．y ＝ln x xC ．y ＝x e xD ．y ＝sin x x 答案 D解析 因为y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，而y ＝1sin x 的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，y ＝ln x x 的定义域为{x |x >0}，y ＝x e x 的定义域为R ，y ＝sin x x的定义域为{x |x ≠0}，故D 正确． 3．函数y ＝x －1＋1的值域为( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．[1，＋∞)答案 D解析 函数y ＝x －1＋1，定义域为[1，＋∞)，根据幂函数性质可知，该函数为增函数，当x ＝1时，该函数取得最小值1，故函数y ＝x －1＋1的值域为[1，＋∞)．4．(2019·衡水中学调研)函数f (x )＝－x 2－3x ＋4lg (x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,0)∪(0,1]B ．(－1,1]C ．(－4，－1)D ．(－4,0)∪(0,1] 答案 A解析 要使函数f (x )有意义，应有⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2－3x ＋4≥0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0或0<x ≤1，故选A. 5．函数y ＝1＋x －1－2x 的值域为( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，32 B.⎝⎛⎦⎤－∞，32 C.⎝⎛⎭⎫32，＋∞D.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 答案 B解析 设1－2x ＝t ，则t ≥0，x ＝1－t 22，所以y ＝1＋1－t 22－t ＝12(－t 2－2t ＋3)＝－12(t ＋1)2＋2，因为t ≥0，所以y ≤32.所以函数y ＝1＋x －1－2x 的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，32，故选B. 6．(2019·佛山模拟)函数f (x )＝3x3x ＋2x的值域为( ) A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(0,1]D ．(0,1) 答案 D 解析 f (x )＝3x3x ＋2x ＝11＋⎝⎛⎭⎫23x ，∵⎝⎛⎭⎫23x >0，∴1＋⎝⎛⎭⎫23x >1，∴0<11＋⎝⎛⎭⎫23x <1.7．(多选)下列函数中值域为R 的有( )A ．f (x )＝3x －1B ．f (x )＝lg(x 2－2)C ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，0≤x ≤22x ，x >2D ．f (x )＝x 3－1答案 ABD解析 A 项，f (x )＝3x －1为增函数，函数的值域为R ，满足条件；B 项，由x 2－2＞0得x ＞2或x ＜－2，此时f (x )＝lg(x 2－2)的值域为R ，满足条件；C 项，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ≤2，2x ，x >2，当x ＞2时，f (x )＝2x ＞4， 当0≤x ≤2时，f (x )＝x 2∈[0,4]，所以f (x )≥0，即函数的值域为[0，＋∞)，不满足条件；D 项，f (x )＝x 3－1是增函数，函数的值域为R ，满足条件．8．(多选)若函数y ＝x 2－4x －4的定义域为[0，m ]，值域为[－8，－4]，则实数m 的值可能为() A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 ABC解析 函数y ＝x 2－4x －4的对称轴方程为x ＝2，当0≤m ≤2时，函数在[0，m ]上单调递减，x ＝0时，取最大值－4，x ＝m 时，有最小值m 2－4m －4＝－8，解得m ＝2.则当m ＞2时，最小值为－8，而f (0)＝－4，由对称性可知，m ≤4.∴实数m 的值可能为2,3,4.9．(2019·江苏)函数y ＝7＋6x －x 2的定义域是________．答案 [－1,7]解析 要使函数有意义，则7＋6x －x 2≥0，解得－1≤x ≤7，则函数的定义域是[－1,7]．10．函数f (x )＝3x ＋2x，x ∈[1,2]的值域为________． 答案 [5,7]解析 令g (x )＝3x ＋2x＝3⎝⎛⎭⎫x ＋23x ，x >0， 易证g (x )在⎣⎡⎭⎫23，＋∞上是增函数， ∴f (x )在[1,2]上为增函数，从而得f (x )的值域为[5,7]．11．(2020·石家庄模拟)若函数f (x )＝x －2＋2x ，则f (x )的定义域是________，值域是________． 答案 [2，＋∞) [4，＋∞)解析 x －2≥0⇒x ≥2，所以函数f (x )的定义域是[2，＋∞)；因为函数y ＝x －2，y ＝2x 都是[2，＋∞)上的单调递增函数，故函数f (x )＝x －2＋2x 也是[2，＋∞)上的单调递增函数，所以函数f (x )的最小值为f (x )min ＝f (2)＝4，故函数f (x )＝x －2＋2x 的值域为[4，＋∞)．12．函数y ＝x 2＋2x ＋3x －1(x >1)的值域为________． 答案 [26＋4，＋∞)解析 令x －1＝t >0，∴x ＝t ＋1.∴y ＝(t ＋1)2＋2(t ＋1)＋3t ＝t 2＋4t ＋6t ＝t ＋6t＋4 ≥2 6＋4，当且仅当t ＝6t即t ＝6时等号成立． ∴函数的值域为[26＋4，＋∞)．13．若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是( ) A ．[0,1)B ．[0,1]C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1) 答案 A解析 函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，要使函数g (x )有意义，可得⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解得0≤x <1，故选A. 14．定义新运算“★”：当m ≥n 时，m ★n ＝m ；当m <n 时，m ★n ＝n 2.设函数f (x )＝(2★x )x －(4★x )，x ∈[1,4]，则函数f (x )的值域为____________．答案 [－2,0]∪(4,60]解析 由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4，x ∈[1，2]，x 3－4，x ∈(2，4]， 当x ∈[1,2]时，f (x )∈[－2,0]；当x ∈(2,4]时，f (x )∈(4,60]，故当x ∈[1,4]时，f (x )∈[－2,0]∪(4,60]．15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，0≤x ≤5，1－⎝⎛⎭⎫14x ，a ≤x <0的值域为[－15,1]，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2]B ．[－2,0)C ．[－2，－1]D ．{－2} 答案 B解析 当0≤x ≤5时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，所以－15≤f (x )≤1；当a ≤x <0时，f (x )＝1－⎝⎛⎭⎫14x 为增函数，所以1－⎝⎛⎭⎫14a ≤f (x )<0，因为f (x )的值域为[－15,1]，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－⎝⎛⎭⎫14a ≥－15，a <0，故－2≤a <0，故选B.16．(多选)若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”，例如函数y ＝x 2，x ∈[1,2]与函数y ＝x 2，x ∈[－2，－1]即为“同值函数”，给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是( )A ．y ＝[x ]([x ]表示不超过x 的最大整数，例如[0.1]＝0)B ．y ＝x ＋x ＋1C ．y ＝1x－log 3x D ．y ＝⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＋1答案 AD解析 根据题意，“同值函数”需满足：对于同一函数值，有不同的自变量与其对应．因此，能够被用来构造“同值函数”的函数必须满足在其定义域内不单调．对于选项A ，y ＝[x ]，定义域为R ，在定义域内不是单调函数，有不同的自变量对应同一函数值，故A 可以构造“同值函数”；对于选项B ，y ＝x ＋x ＋1，为定义在[－1，＋∞)上的单调增函数，故B 不可以构造“同值函数”；对于选项C ，y ＝1x－log 3x ，为定义在(0，＋∞)上的单调减函数，故C 不可以构造“同值函数”； 对于选项D ，y ＝⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＋1，不是定义域上的单调函数， 有不同的自变量对应同一函数值，故D 可以构造“同值函数”．所以能够被用来构造“同值函数”的是A ，D.。
高考数学一轮复习总教案：2.1函数的概念及表示法
第二章 函 数高考导航 考试要求重难点击 命题展望1.了解构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.2.在实际生活中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单运用.4.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.5.会运用函数的图象理解和研究函数的性质.6.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.7.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数通过的特殊点.8.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.9.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数通过的特殊点.10.了解指数函数y ＝ax 与对数函数y ＝logax (a ＞0且a≠1)互为反函数.11.了解幂函数的概念，结合函数y ＝x ， y ＝x2， y ＝x3 ,y ＝x 1， y ＝21x 的图象，了解它们的变化情况.12.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程的根的联系，判断一元二次方程根的存在性和根的个数.13.根据具体函数图象，能够用二分法求相应方程的近似解. 14.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征；知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义. 15.了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型的广泛应用. 本章重点：1.函数的概念及其三要素； 2.函数的单调性、奇偶性及其几何意义；3.函数的最大(小)值；4.指数函数与对数函数的概念和性质；5.函数的图象及其变换；6.函数的零点与方程的根之间的关系；7.函数模型的建立及其应用. 本章难点：1.函数概念的理解；2.函数单调性的判断；3.函数图象的变换及其应用；4.指数函数与对数函数概念的理解及其性质运用；5.研究二次函数的零点与一元二次方程的根的关系；6.函数模型的建立及求解.高考对函数的考查，常以选择题和填空题来考查函数的概念和一些基本初等函数的图象和性质，解答题则往往不是简单地考查概念、公式和法则的应用，而是常与导数、不等式、数列、三角函数、解析几何等知识及实际问题结合起来进行综合考查，并渗透数学思想方法，突出考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想方法.知识网络2.1函数的概念及表示法典例精析题型一 求函数的解析式【例1】 (1)已知f(x ＋1)＝x2＋x ＋1，求f(x)的表达式； (2)已知f(x)＋2f(－x)＝3x2＋5x ＋3，求f(x)的表达式. 【解析】(1)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1，代入得f(x)＝(t －1)2＋(t －1)＋1＝t2－t ＋1，所以f(x)＝x2－x ＋1. (2)由f(x)＋2f(－x)＝3x2＋5x ＋3，x 换成－x ，得f(－x)＋2 f(x)＝3x2－5x ＋3，解得f(x)＝x2－5x ＋1.【点拨】已知f(x)，g(x)，求复合函数f[g(x)]的解析式，直接把f(x)中的x 换成g(x)即可，已知f[g(x)]，求f(x)的解析式，常常是设g(x)＝t ，或者在f[g(x)]中凑出g(x)，再把g(x)换成x.【变式训练1】已知f(x x+-11)＝2211x x +-，求f(x)的解析式.【解析】设x x +-11＝t ，则x ＝t t +-11，所以f(t)＝22)11(1)11(1t t t t +-++--＝212t t +， 所以f(x)＝212x x+(x≠－1).题型二 求函数的定义域【例2】(1)求函数y ＝229)2lg(x x x --的定义域；(2)已知f(x)的定义域为[－2,4]，求f(x2－3x)的定义域. 【解析】(1)要使函数有意义，则只需要⎩⎨⎧>->-,09,0222x x x 即⎩⎨⎧<<-<>,33,02x x x 或解得－3＜x ＜0或2＜x ＜3，故所求的定义域为(－3,0)∪(2,3). (2)依题意，只需－2≤x2－3x≤4，解得－1≤x≤1或2≤x≤4，故f(x2－3x)的定义域为[－1,1]∪[2,4]. 【点拨】有解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，往往列不等式组求解.对于抽象函数f[g(x)]的定义域要把g(x)当作f(x)中的x 来对待. 【变式训练2】已知函数f(2x)的定义域为[－1,1]，求f(log2x)的定义域.【解析】因为y ＝f(2x)的定义域为[－1,1]，即－1≤x≤1时2－1≤2x≤21，所以y ＝f(x)的定义域为[12，2].令12≤log2x≤2，所以2≤x≤22＝4，故所求y ＝f(log2x)的定义域为[2，4].题型三 由实际问题给出的函数【例3】 用长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架(如图)，若矩形底部长为2x ，求此框围成的面积y 与x 的函数关系式，并指出其定义域.【解析】由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，而矩形的长AB ＝2x ，设宽为a ，则有2x ＋2a ＋πx ＝l ，即a ＝2l －2πx －x ，半圆的半径为x ， 所以y ＝22πx ＋(2l －π2x －x)·2x ＝－(2＋π2)x2＋lx.由实际意义知2l －π2x －x ＞0，因x ＞0，解得0＜x ＜π+2l.即函数y ＝－(2＋π2)x2＋lx 的定义域是{x|0＜x ＜π+2l}.【点拨】求由实际问题确定的定义域时，除考虑函数的解析式有意义外，还要考虑使实际问题有意义.如本题使函数解析式有意义的x 的取值范围是x ∈R ，但实际问题的意义是矩形的边长为正数，而边长是用变量x 表示的，这就是实际问题对变量的制约.【变式训练3】一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x 、y ，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，记y ＝f(x)，则y ＝f(x)的图象是( ) 【解析】由题意得y ＝10x(2≤x≤10)，选A. 题型四 分段函数【例4】 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧≥+<+).0(1),0(32x x x x(1)求f(1)＋f(－1)的值； (2)若f(a)＝1，求a 的值；(3)若f(x)＞2，求x 的取值范围.【解析】(1)由题意，得f(1)＝2，f(－1)＝2，所以f(1)＋f(－1)＝4. (2)当a ＜0时，f(a)＝a ＋3＝1，解得a ＝－2；当a≥0时，f(a)＝a2＋1＝1，解得a ＝0.所以a ＝－2或a ＝0. (3)当x ＜0时，f(x)＝x ＋3＞2，解得－1＜x ＜0； 当x≥0时，f(x)＝x2＋1＞2，解得x ＞1. 所以x 的取值范围是－1＜x ＜0或x ＞1.【点拨】分段函数中，x 在不同的范围内取值时，其对应的函数关系式不同.因此，分段函数往往需要分段处理.【变式训练4】已知函数f(x)＝⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<.10,621,100|,lg |x x x x 若a ，b ，c 互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc 的取值范围是( )A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)【解析】不妨设a ＜b ＜c ，由f(a)＝f(b)＝f(c)及f(x)图象知110＜a ＜1＜b ＜10＜c ＜12，所以－lg a ＝lg b ＝－12c ＋6，所以ab ＝1，所以abc 的范围为(10,12)，故选C.总结提高1.在函数三要素中，定义域是灵魂，对应法则是核心，因为值域由定义域和对应法则确定，所以两个函数当且仅当定义域与对应法则均相同时才表示同一个函数，而值域相同是两函数为同一函数的必要非充分条件.2.若一个函数在其定义域不同的子集上，解析式不同，则可用分段函数的形式表示.3.函数的三种表示法各有利弊，一般情况下，研究函数要求出函数的解析式，通过解析式来解题.求函数解析式的方法有：配方法、观察法、换元法和待定系数法等.。
高考数学大一轮复习 第2章 第1节 函数及其表示 理
视点三：已知定义域确定参数问题 3．(2015·合肥模拟)若函数f(x)＝ 2x2＋2ax－a－1 的定义域为 R，则a的取值范围为________． [答案] [－1,0] [解析] 函数f(x)的定义域为R，所以2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R 恒成立，即2x2＋2ax－a≥1，x2＋2ax－a≥0恒成立，因此有Δ＝(2a)2 ＋4a≤0，解得－1≤a≤0.
4．(2014·上海)设f(x)＝xx2，，xx∈∈[－a，∞＋，∞a，. 若f(2)＝4，则a的取值范围为________．
答案：(－∞，2] 解析：根据题意，2∈[a，＋∞)，∴a≤2.
5．已知f1x＝x2＋5x，则f(x)＝________.
答案：5xx＋2 1(x≠0) 解析：令t＝1x，则t≠0，∴x＝1t ， ∴f(t)＝t12＋5t . ∴f(x)＝5xx＋2 1(x≠0)．
(1)已知函数解析式，求定义域； (2)已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域； (3)已知定义域确定参数问题．
视点一：已知函数解析式，求其定义域
1．(2014·山东)函数f(x)＝ log21x2－1的定义域为(
)
A.0，12
B．(2，＋∞)
C.0，12∪(2，＋∞)
D．0，12∪[2，＋∞)
精研析 巧运用 全面攻克
┃考点一┃ 函数与映射的概念——自主练透型
[调研1] (1)下列四组函数中，表示同一函数的是( )
A．y＝x－1与y＝ x－12
B．y＝
x－1与y＝
x－1 x－1
C．y＝4lg x与y＝2lg x2
D．y＝lg x－2与y＝lg
x 100
[答案] D
[解析] A中两个函数的对应关系不同；B中两个函数的定义域
高考数学一轮复习规划2.1函数的概念及其表示课件
第二章 函数
()
考试要求
必备知识
自主评价
核心考点
第二章 函数
命题角度 2 求抽象函数的定义域 (2021 开封期末)已知函数 f(2x－1)的定义域为(－1，2)，则函数 f(2－3x)的定
义域为__________. 解：函数 f(2x－1)的定义域为(－1，2)，故－3＜2x－1＜3， 所以对于函数 f(2－3x)，由－3＜2－3x＜3，解得－13＜x＜53，故函数 f(2－3x)的定
考试要求
必备知识
自主评价
核心考点
第二章 函数
2. 函数的表示方法 (1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. (2)列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. (3)图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 3. 函数的三要素 (1)函数的三要素是：定义域，对应关系，值域. (2)两个函数相等：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这 两个函数相等(或称它们是同一个函数).
第二章 函数
2.1 函数的概念及其表示
2. 1 函数的概念及其表示
第二章 函数
1. 在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画 函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用. 了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域. 2. 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法) 表示函数，理解函数图象的作用. 3. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.
为(2，3)∪(3，4]. 故选 C.
考试要求
必备知识
自主评价
核心考点
第二章 函数
【点拨】 求函数定义域的原则：用列表法表示的函数的定义域，是指表格中实数 x 的集合；用图象法表示的函数的定义域，是指图象在 x 轴上的投影所对应的实 数的集合；当函数 y＝f(x)用解析法表示时，函数的定义域是指使解析式有意义的 实数 x 的集合，一般通过列不等式(组)求其解集. 常见的限制条件有：分式的分母 不等于 0，对数的真数大于 0，偶次根式下的被开方数大于或等于 0 等.
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第2章 §2.1 函数的概念及其表示
3.已知 f(x3)＝lg x，则 f(10)的值为
A.1
B.3 10
√C.13
1
令x3＝10，则x＝103.
1 D. 3 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2024年高考数学一轮复习课件（新高考版）
第二章 函 数
§2.1 函数的概念及其表示
考试要求
1.了解函数的含义. 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)
表示函数. 3.了解简单的分段函数，并会简单的应用.
内容索引
第一部分
落实主干知识
第二部分
探究核心题型
第三部分
教材改编题
y＝x－2 1与 v＝t－2 1的定义域都是(－∞，1)∪(1，＋∞)，对应关系也相 同，所以是同一个函数，故选项 D 正确.
教材改编题
3.已知函数 f(x)＝lenx，x，x≤x>00，，
则函数
f
f
13等于
A.3
B.－3
√C.13
D.－13
由题意可知，f 13＝ln 13＝－ln 3，
思维升华
(1)无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其 中的x的取值集合； (2)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不 等式a≤g(x)≤b求出； (3)若复合函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则函数f(x)的定义域为g(x)在 [a，b]上的值域.
课时精练
第
一 部 分
落实主干知识
知识梳理
1.函数的概念 一般地，设A，B是 非空的实数集 ，如果对于集合A中的 任意 一个数x， 按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 唯一确定 的数y和它对应，那 么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2.函数的三要素 (1)函数的三要素： 定义域 、 对应关系 、 值域 . (2)如果两个函数的 定义域 相同，并且 对应关系 完全一致，则这两个函 数为同一个函数.
2025高考数学一轮复习-2.1-函数的概念及其表示【课件】
A.[0，1]
B.(0，1)
C.[0，1)
D.(0，1]
解析 由题意可知函数f(x)的定义域为[－1，1]， 即－1≤x≤1，令－1≤2x－1≤1，解得0≤x≤1. 又由g(x)满足1－x＞0且1－x≠1，解得x＜1且x≠0， 所以函数g(x)的定义域为(0，1).
4.已知函数 f(x)＝ax23＋x－ax1－3的定义域是R，则实数 a 的取值范围是( B )
解析 (1)错误.函数y＝1的定义域为R，而y＝x0的定义域为{x|x≠0}，其定义 域不同，故不是同一函数. (2)错误.值域可以为B的子集. (3)错误.集合A中的元素0在集合B中无元素与之对应. (4)错误.只有两个函数的定义域，对应关系分别相同时，这两个函数才是同一 个函数.
2.(易错题)下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，N＝{y|0≤y≤1}为
4.已知 a∈R，函数 f(x)＝ x|x2－－34|，＋xa>，2，x≤2.若 f(f( 6))＝3，则 a＝____2____.
解析 因为 6>2，所以 f( 6)＝6－4＝2， 所以 f(f( 6))＝f(2)＝1＋a＝3，解得 a＝2.
5.(易错题)已知 f( x)＝x－1，则 f(x)＝__x_2－___1_(_x_≥__0_)__.
解析 同一函数满足①定义域相同； ②对应关系相同，只有A、C满足.
3.已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是
函数的是___③_____.(填序号)
①f：x→y＝12x；②f：x→y＝13x； ③f：x→y＝23x；④f：x→y＝ x. 解析 ③中，f：x→y＝32x，x∈[0，4]时，y＝32x∈0，83 Q,故不满足函数的
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鉴于以上高考的特点我们在备考时应熟练掌握解决以 下问题的方法和规律：(1)函数图象的辨识问题．(2)函数性 质(单调性、奇偶性、周期性、最值、对称性)的确定与应用 问题．(3)利用导数研究曲线的切线问题．(4)利用导数研究 函数的单调性、极(最)值问题．(5)利用导数研究不等式恒成 立或证明不等式、比较大小问题．(6)利用图象研究简单方程 的解、简单函数的零点以及利用导数研究复杂方程的解、复 杂函数的零点问题．
1．考小题，重基础：有关函数与导数的小题，其考查 重点在于基础知识：函数的基本概念、基本性质和基本的解 题方法，导数的运算与几何意义等，这些考题都能在课本上 找到影子，是课本中例题、习题的变形与创新．
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2．考大题，难度仍保持中档或中高档：有关函数与导 数的解答题，侧重于考查导数在函数中的应用，特别是利用 导数来解决函数的单调性与极值、最值问题，这已成为新课 标高考的热点问题．
函数类型增长的含义． 型及其
2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函 应用 数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模
型)的广泛应用．
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知识点 考纲下载
1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意
义．
变化率 2．能根据导数定义求函数 y＝C，y＝x，y＝x2，y
与导 数、
＝x3，y＝1x，y＝ x的导数．
数
掌握指数函数图象所过的特殊点．
4．知道指数函数是一类重要的函数模型．
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知识点
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1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公
式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了
对数与 对数函 数
解对数在简化运算中的运用． 2．理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性， 掌握对数函数图象所过的特殊点． 3．知道对数函数是一类重要的函数模型．
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2．映射的定义 设 A，B 是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对 应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中 都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么称对应 f：A→B 为集 合 A 到集合 B 的一个映射．
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函数与映射有什么关系？ 提示：①函数是特殊的映射，其特殊性在于集合 A 与集 合 B 只能是非空数集，即函数是非空数集 A 到非空数集 B 的映射． ②映射不一定是函数，从 A 到 B 的一个映射，A，B 若 不是数集，则这个映射便不是函数．
3．考应用，融入实际生活之中：函数的实际应用是高 考考查函数知识的另一个热点，新课标高考为了体现“学数 学、用数学”的理念，有关函数的应用题成为高考考查的重 点．
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4．考综合，体现导数的工具作用：由于近几年高考试 题突出能力立意，加强对知识性和应用性的考查，故常常在 知识交汇点处命题，而函数知识是基础中的基础，故考查与 方程、三角、不等式、数列等综合性问题时突出导数的工具 性作用．
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1.理解函数的单调性及其几何意义． 单调性 2．理解函数最大值、最小值及其几何意义．
奇偶性 结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．
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1.了解指数函数模型的实际背景．
2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的
指数与 意义，掌握幂的运算．
指数函 3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，
函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大
值、最小值(对多项式函数一般不超过三次)．
3．会利用导数解决某些实际问题．
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定积分与微 1.了解定积分产生的实际背景，了解定积分的基
积分基本定 本思想，了解定积分的概念．
理
2．了解微积分基本定理的含义.
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纵观近三年高考函数与导数题，给我们的感觉是数中有 形、形中有数，静中求动、动中求不变，水乳交融，浑然一 体，犹如一幅充满诗意的山水画．现一起来赏其特点：
4．了解指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)与对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)互为反函数．
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1.了解幂函数的概念．
幂函数
2．结合函数
y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x
1 2
的
图象，了解它们的变化情况．
函数的 会运用函数图象理解和研究函数的性质． 图象
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1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程
根的关系，判断一元二次方程根的存在性及根的 函数与
个数． 方程
2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方 程的近似解．
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1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特
征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同 函数模
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1．判一判 (1)如图：
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以 x 为自变量的函数的图象为②④.( ) (2)函数 y＝1 与 y＝x0 是同一函数．( ) 答案：(1)√ (2)×
导数的 3．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则
运算 运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函
数(仅限于形如 f(ax＋b)的复合函数)的导数．
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1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研
究函数的单调性，会求函数的单调区间(对多项式
函数一般不超过三次)．
导数的 2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条 应用 件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式
必考部分
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第二章
函数、导数及其应用
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知识点
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1.了解构成函数的要素；会求一些简单函数的定
义域和值域；了解映射的概念． 函数及 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的 其表示 方法(如图象法、列表法、解析法)
知识点
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第一节 函数及其表示
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主干知识·整合 热点命题·突破
课堂实 效·检测
课时作业
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主干知识·整合 01
要点梳理 追根求源
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函数与映射的概念 1．函数的定义 一般地，设 A，B 是两个_非__空____的数集，如果按照某种 确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集 合 B 中都有_唯__一____确定的数 f(x)和它对应；那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数．记作_y_＝__f_(_x)_，__x_∈__A__.