用回溯法解决0-1背包问题

动态规划与回溯法解决0-1背包问题

0-1背包动态规划解决问题一、问题描述：有n个物品，它们有各自的重量和价值，现有给定容量的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？二、总体思路：根据动态规划解题步骤（问题抽象化、建立模型、寻找约束条件、判断是否满足最优性原理、找大问题与小问题的递推关系式、填表、寻找解组成）找出01背包问题的最优解以及解组成，然后编写代码实现。

原理：动态规划与分治法类似，都是把大问题拆分成小问题，通过寻找大问题与小问题的递推关系，解决一个个小问题，最终达到解决原问题的效果。

但不同的是，分治法在子问题和子子问题等上被重复计算了很多次，而动态规划则具有记忆性，通过填写表把所有已经解决的子问题答案纪录下来，在新问题里需要用到的子问题可以直接提取，避免了重复计算，从而节约了时间，所以在问题满足最优性原理之后，用动态规划解决问题的核心就在于填表，表填写完毕，最优解也就找到。

过程：a) 把背包问题抽象化（X1，X2，…，Xn，其中 Xi 取0或1，表示第i 个物品选或不选），V i表示第i 个物品的价值，W i表示第i 个物品的体积（重量）；b) 建立模型，即求max(V1X1+V2X2+…+VnXn)；c) 约束条件，W1X1+W2X2+…+WnXn<capacity；d) 定义V(i,j)：当前背包容量j，前i 个物品最佳组合对应的价值；e) 最优性原理是动态规划的基础，最优性原理是指“多阶段决策过程的最优决策序列具有这样的性质：不论初始状态和初始决策如何，对于前面决策所造成的某一状态而言，其后各阶段的决策序列必须构成最优策略”。

判断该问题是否满足最优性原理，采用反证法证明：假设(X1，X2，…，Xn)是01背包问题的最优解，则有(X2，X3，…，Xn)是其子问题的最优解，假设(Y2，Y3，…，Yn)是上述问题的子问题最优解，则理应有(V2Y2+V3Y3+…+V n Yn)+V1X1 > (V2X2+V3X3+…+VnXn)+V1X1；而(V2X2+V3X3+…+VnXn)+V1X1=(V1X1+V2X2+…+VnXn)，则有(V2Y2+V3Y3+…+VnYn)+V1X1 > (V1X1+V2X2+…+VnXn)；该式子说明(X1，Y2，Y3，…，Yn)才是该01背包问题的最优解，这与最开始的假设(X1，X2，…，Xn)是01背包问题的最优解相矛盾，故01背包问题满足最优性原理；f) 寻找递推关系式，面对当前商品有两种可能性：第一，包的容量比该商品体积小，装不下，此时的价值与前i-1个的价值是一样的，即V(i,j)=V(i-1,j)；第二，还有足够的容量可以装该商品，但装了也不一定达到当前最优价值，所以在装与不装之间选择最优的一个，即V(i,j)=max｛V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i) ｝其中V(i-1,j)表示不装，V(i-1,j-w(i))+v(i) 表示装了第i个商品，背包容量减少w(i)但价值增加了v(i)；由此可以得出递推关系式：1) j<w(i) V(i,j)=V(i-1,j)2) j>=w(i) V(i,j)=max｛ V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i) ｝number＝4，capacity＝7四、构造最优解：最优解的构造可根据C列的数据来构造最优解，构造时从第一个物品开始。

回溯法和分支限界法解决背包题

0-1背包问题计科1班朱润华 32方法1：回溯法一、回溯法描述：用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。

问题的解空间至少包含问题的一个（最优）解。

对于0-1背包问题，解空间由长度为n的0-1向量组成。

该解空间包含对变量的所有0-1赋值。

例如n=3时，解空间为：｛（0，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，0，0），（0，1，1），（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1）｝然后可将解空间组织成树或图的形式，0-1背包则可用完全二叉树表示其解空间给定n种物品和一背包。

物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。

问:应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大形式化描述：给定c >0, wi >0, vi >0 , 1≤i≤n.要求找一n元向量(x1,x2,…,xn,), xi∈{0,1}, ∑ wi xi≤c,且∑ vi xi达最大.即一个特殊的整数规划问题。

二、回溯法步骤思想描述：0-1背包问题是子集选取问题。

0-1 背包问题的解空间可以用子集树表示。

在搜索解空间树时，只要其左儿子节点是一个可行节点，搜索就进入左子树。

当右子树中有可能含有最优解时，才进入右子树搜索。

否则，将右子树剪去。

设r是当前剩余物品价值总和，cp是当前价值；bestp是当前最优价值。

当cp+r<=bestp时，可剪去右子树。

计算右子树上界的更好的方法是将剩余物品依次按其单位价值排序，然后依次装入物品，直至装不下时，再装入物品一部分而装满背包。

例如：对于0-1背包问题的一个实例，n=4,c=7,p=[9,10,7,4],w=[3,5,2,1]。

这4个物品的单位重量价值分别为[3,2,3,5,4]。

以物品单位重量价值的递减序装入物品。

先装入物品4，然后装入物品3和1.装入这3个物品后，剩余的背包容量为1，只能装的物品2。

由此得一个解为[1,,1,1]，其相应价值为22。

尽管这不是一个可行解，但可以证明其价值是最优值的上界。

回溯法解决0-1背包问题

回溯法解决0-1背包问题问题描述：有n件物品和⼀个容量为c的背包。

第i件物品的价值是v[i]，重量是w[i]。

求解将哪些物品装⼊背包可使价值总和最⼤。

所谓01背包，表⽰每⼀个物品只有⼀个，要么装⼊，要么不装⼊。

回溯法： 01背包属于找最优解问题，⽤回溯法需要构造解的⼦集树。

在搜索状态空间树时，只要左⼦节点是可⼀个可⾏结点，搜索就进⼊其左⼦树。

对于右⼦树时，先计算上界函数，以判断是否将其减去，剪枝啦啦！上界函数bound():当前价值cw+剩余容量可容纳的最⼤价值<=当前最优价值bestp。

为了更好地计算和运⽤上界函数剪枝，选择先将物品按照其单位重量价值从⼤到⼩排序，此后就按照顺序考虑各个物品。

#include <stdio.h>#include <conio.h>int n;//物品数量double c;//背包容量double v[100];//各个物品的价值double w[100];//各个物品的重量double cw = 0.0;//当前背包重量double cp = 0.0;//当前背包中物品价值double bestp = 0.0;//当前最优价值double perp[100];//单位物品价值排序后int order[100];//物品编号int put[100];//设置是否装⼊//按单位价值排序void knapsack(){int i,j;int temporder = 0;double temp = 0.0;for(i=1;i<=n;i++)perp[i]=v[i]/w[i];for(i=1;i<=n-1;i++){for(j=i+1;j<=n;j++)if(perp[i]<perp[j])//冒泡排序perp[],order[],sortv[],sortw[]{temp = perp[i];perp[i]=perp[i];perp[j]=temp;temporder=order[i];order[i]=order[j];order[j]=temporder;temp = v[i];v[i]=v[j];v[j]=temp;temp=w[i];w[i]=w[j];w[j]=temp;}}}//回溯函数void backtrack(int i){double bound(int i);if(i>n){bestp = cp;return;}if(cw+w[i]<=c){cw+=w[i];cp+=v[i];put[i]=1;backtrack(i+1);cw-=w[i];cp-=v[i];}if(bound(i+1)>bestp)//符合条件搜索右⼦数backtrack(i+1);}//计算上界函数double bound(int i){double leftw= c-cw;double b = cp;while(i<=n&&w[i]<=leftw){leftw-=w[i];b+=v[i];i++;}if(i<=n)b+=v[i]/w[i]*leftw;return b;}int main(){int i;printf("请输⼊物品的数量和容量：");scanf("%d %lf",&n,&c);printf("请输⼊物品的重量和价值：");for(i=1;i<=n;i++){printf("第%d个物品的重量：",i);scanf("%lf",&w[i]);printf("价值是：");scanf("%lf",&v[i]);order[i]=i;}knapsack();backtrack(1);printf("最有价值为：%lf\n",bestp);printf("需要装⼊的物品编号是：");for(i=1;i<=n;i++){if(put[i]==1)printf("%d ",order[i]);}return 0;}时间复杂度分析：上界函数bound()需要O(n)时间，在最坏的情况下有O(2^n)个右⼦结点需要计算上界，回溯算法backtrack需要的计算时间为O(n2^n)。

0-1背包问题——回溯法求解【Python】

0-1背包问题——回溯法求解【Python】回溯法求解0-1背包问题：问题：背包⼤⼩ w，物品个数 n，每个物品的重量与价值分别对应 w[i] 与 v[i]，求放⼊背包中物品的总价值最⼤。

回溯法核⼼：能进则进，进不了则换，换不了则退。

（按照条件深度优先搜索，搜到某⼀步时，发现不是最优或者达不到⽬标，则退⼀步重新选择）注：理论上，回溯法是在⼀棵树上进⾏全局搜索，但是并⾮每种情况都需要全局考虑，毕竟那样效率太低，且通过约束+限界可以减少好多不必要的搜索。

解决本问题思路：使⽤0/1序列表⽰物品的放⼊情况。

将搜索看做⼀棵⼆叉树，⼆叉树的第 i 层代表第 i 个物品，若剩余空间允许物品 i 放⼊背包，扩展左⼦树。

若不可放⼊背包，判断限界条件，若后续继续扩展有可能取得最优价值，则扩展右⼦树（即此 i 物品不放⼊，但是考虑后续的物品）。

在层数达到物品的个数时，停⽌继续扩展，开始回溯。

注：如何回溯呢？怎样得到的，怎样恢复。

放⼊背包中的重量取出，加在bagV上的价值减去。

约束条件：放⼊背包中物品的总质量⼩于等于背包容量限界条件：当前放⼊背包中物品的总价值（i及之前） + i 之后的物品总价值 < 已知的最优值这种情况下就没有必要再进⾏搜索数据结构：⽤⼀个变量记录当前放⼊背包的总价值 bagV（已扩展），⼀个变量记录后续物品的总价值 remainV（未扩展），当前已得到的⼀种最优值 bestV（全局情况），⼀个⽤0/1表⽰的数组bestArr[]记录哪些物品放⼊了背包。

核⼼结构：递归思路进⾏解决。

层层递归，递归到尽头，保留最优值，恢复递归中，层层回溯，即将原来加上去的重量与价值恢复。

# -*- coding:utf-8 -*-def Backtrack(t):global bestV, bagW, bagV,arr, bestArr, cntVif t > n: #某次深度优先搜索完成if bestV < bagV:for i in range(1, n+1):bestArr[i] = arr[i]bestV = bagVelse: #深度优先搜索未完成if bagW + listWV[t][0] <= w: #第t个物品可以放⼊到背包中，扩展左⼦树arr[t] = TruebagW += listWV[t][0]bagV += listWV[t][1]Backtrack(t+1)bagW -= listWV[t][0]bagV -= listWV[t][1]if cntV[t] + bagV > bestV: #有搜索下去的必要arr[t] = FalseBacktrack(t+1)if__name__ == '__main__':w = int(input()) #背包⼤⼩n = int(input()) #物品个数listWV = [[0,0]]listTemp = []sumW = 0sumV = 0for i in range(n):listTemp = list(map(int, input().split())) #借助临时list每次新增物品对应的list加⼊到listWV中sumW += listTemp[0]sumV += listTemp[1]listWV.append(listTemp) #依次输⼊每个物品的重量与价值bestV = 0bagW = 0bagV = 0remainV = sumVarr = [False for i in range(n+1)]bestArr = [False for i in range(n+1)]cntV = [0 for i in range(n+1)] #求得剩余物品的总价值,cnt[i]表⽰i+1~n的总价值 cntV[0] = sumVfor i in range(1, n+1):cntV[i] = cntV[i-1] - listWV[i][1]if sumW <= w:print(sumV)else:Backtrack(1)print(bestV)print(bestArr)print(cntV)检测：1052 65 34 52 43 617[False, True, False, True, False, True][24, 18, 15, 10, 6, 0]。

Python基于回溯法子集树模板解决0-1背包问题实例

Python基于回溯法⼦集树模板解决0-1背包问题实例本⽂实例讲述了Python基于回溯法⼦集树模板解决0-1背包问题。

分享给⼤家供⼤家参考，具体如下：问题给定N个物品和⼀个背包。

物品i的重量是Wi,其价值位Vi ，背包的容量为C。

问应该如何选择装⼊背包的物品，使得放⼊背包的物品的总价值为最⼤？分析显然，放⼊背包的物品，是N个物品的所有⼦集的其中之⼀。

N个物品中每⼀个物品，都有选择、不选择两种状态。

因此，只需要对每⼀个物品的这两种状态进⾏遍历。

解是⼀个长度固定的N元0,1数组。

套⽤回溯法⼦集树模板，做起来不要太爽代码'''0-1背包问题'''n = 3 # 物品数量c = 30 # 包的载重量w = [20, 15, 15] # 物品重量v = [45, 25, 25] # 物品价值maxw = 0 # 合条件的能装载的最⼤重量maxv = 0 # 合条件的能装载的最⼤价值bag = [0,0,0] # ⼀个解（n元0-1数组）长度固定为nbags = [] # ⼀组解bestbag = None # 最佳解# 冲突检测def conflict(k):global bag, w, c# bag内的前k个物品已超重，则冲突if sum([y[0] for y in filter(lambda x:x[1]==1, zip(w[:k+1], bag[:k+1]))]) > c:return Truereturn False# 套⽤⼦集树模板def backpack(k): # 到达第k个物品global bag, maxv, maxw, bestbagif k==n: # 超出最后⼀个物品，判断结果是否最优cv = get_a_pack_value(bag)cw = get_a_pack_weight(bag)if cv > maxv : # 价值⼤的优先maxv = cvbestbag = bag[:]if cv == maxv and cw < maxw: # 价值相同，重量轻的优先maxw = cwbestbag = bag[:]else:for i in [1,0]: # 遍历两种状态 [选取1, 不选取0]bag[k] = i # 因为解的长度是固定的if not conflict(k): # 剪枝backpack(k+1)# 根据⼀个解bag，计算重量def get_a_pack_weight(bag):global wreturn sum([y[0] for y in filter(lambda x:x[1]==1, zip(w, bag))])# 根据⼀个解bag，计算价值def get_a_pack_value(bag):global vreturn sum([y[0] for y in filter(lambda x:x[1]==1, zip(v, bag))])# 测试backpack(0)print(bestbag, get_a_pack_value(bestbag))效果图更多关于Python相关内容感兴趣的读者可查看本站专题：《》、《》、《》及《》希望本⽂所述对⼤家Python程序设计有所帮助。

回溯法解决01背包问题

回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的搜索算法。

它在包含问题的所有解的解空间树中按照深度优先的策略，从根节点出发搜索解空间树。

算法搜索至解空间树的任一节点时，总是先判断该节点是否肯定不包含问题的解。

如果肯定不包含，则跳过对以该节点为根的子树的系统搜索，逐层向其原先节点回溯。

否则，进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。

运用回溯法解题通常包含以下三个步骤：∙针对所给问题，定义问题的解空间；∙确定易于搜索的解空间结构；∙以深度优先的方式搜索解空间，并且在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索；在0／1背包问题中，容量为M的背包装载。

从n个物品中选取装入背包的物品，物品i的重量为Wi，价值为Pi。

最佳装载指装入的物品价值最高，即∑PiXi(i=1..n)取最大值。

约束条件为∑WiXi ≤M且Xi∈[0,1](1≤i≤n)。

在这个表达式中，需求出Xi的值。

Xi=1表示物品i装入背包，Xi＝0表示物品i不装入背包。

∙即判断可行解的约束条件是：∑WiXi≤M（i=0..n），Wi>0,Xi∈[0,1](1≤i≤n)∙目标最大值：max∑PiXi（i=0..n-1）,Pi>0,Xi=0或1（0≤i<n）0/1背包问题是一个自己选取问题，适合于用子集树表示0／1背包问题的解空间。

在搜索解空间树时，只要左儿子节点是一个可行节点，搜索就进入左子树，在右子树中有可能包含最优解才进入右子树搜索，否则将右子树剪去。

程序分析：将物品个数，每个物品体积／价值输入，计算总物品体积S，输入背包体积V，如果V<0或者V>S则前置条件错误，即背包体积输入错误，否则顺序将物品放入背包。

假设放入前i件物品，背包没有装满，继续选取第i+1件物品，若该物品“太大”不能装入，则弃之继而选取下一件直到背包装满为止；如果剩余物品中找不到合适物品以填满背包，则说明“刚刚”装入的第i件物品不合适，应将i拿出，继续从i＋1及以后的物品中选取，如此重复，直到找到满足条件的解。

回溯法和分支限界法解决0-1背包题要点教学内容

回溯法和分支限界法解决0-1背包题要点0-1背包问题计科1班朱润华 2012040732方法1：回溯法一、回溯法描述：用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。

问题的解空间至少包含问题的一个（最优）解。

对于0-1背包问题，解空间由长度为n的0-1向量组成。

该解空间包含对变量的所有0-1赋值。

例如n=3时，解空间为：｛（0，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，0，0），（0，1，1），（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1）｝然后可将解空间组织成树或图的形式，0-1背包则可用完全二叉树表示其解空间给定n种物品和一背包。

物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。

问:应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?形式化描述：给定c >0, wi >0, vi >0 , 1≤i≤n.要求找一n元向量(x1,x2,…,xn,), xi∈{0,1}, ? ∑ wi xi≤c,且∑ vi xi达最大.即一个特殊的整数规划问题。

二、回溯法步骤思想描述：0-1背包问题是子集选取问题。

0-1 背包问题的解空间可以用子集树表示。

在搜索解空间树时，只要其左儿子节点是一个可行节点，搜索就进入左子树。

当右子树中有可能含有最优解时，才进入右子树搜索。

否则，将右子树剪去。

设r是当前剩余物品价值总和，cp是当前价值；bestp是当前最优价值。

当cp+r<=bestp时，可剪去右子树。

计算右子树上界的更好的方法是将剩余物品依次按其单位价值排序，然后依次装入物品，直至装不下时，再装入物品一部分而装满背包。

例如：对于0-1背包问题的一个实例，n=4,c=7,p=[9,10,7,4],w=[3,5,2,1]。

这4个物品的单位重量价值分别为[3,2,3,5,4]。

以物品单位重量价值的递减序装入物品。

先装入物品4，然后装入物品3和1.装入这3个物品后，剩余的背包容量为1，只能装0.2的物品2。

回溯法（二）——0-1背包问题

回溯法（⼆）——0-1背包问题问题1、给定背包容量w，物品数量n，以及每个物品的重量wi，求背包最多能装多少多重的物品。

问题2、给定背包容量w，物品数量n，以及每个物品的重量wi、价值vi，求背包最多能装多少价值的物品。

这是⼀个基本的0-1背包问题，每个物品有两种状态（0：不装、1：装），总共有n步，所以可以⽤回溯法来解决，复杂度是O(2^n)。

C++版代码如下#include <iostream>#include <math.h>#include <cstring>using namespace std;#define MAXSIZE 256int maxWeight = -9999;// 回溯法解决0-1背包问题（其实可以暴⼒(n层for循环)，回溯法也是n层for循环，即复杂度是O(2^n)）void basePackage(int stuff[], int curState, int state, int curWeight, int weight){// 如果装满了（其实应该是接近装满了）或者已经“⾛完”所有物品if(curState == state || curWeight == weight){if(curWeight > maxWeight)maxWeight = curWeight;return ;}// 不装basePackage(stuff, curState + 1, state, curWeight + 0, weight);// 装if(curWeight + stuff[curState] <= weight)basePackage(stuff, curState + 1, state, curWeight + stuff[curState], weight);}// 回溯法解决0-1背包问题（其实可以暴⼒(n层for循环)，回溯法也是n层for循环，即复杂度是O(2^n)）// 背包升级问题回溯法解决（加⼊背包的价值）void secPackage(int weight[], int value[], int curV, int curW, int weightLimit, int curS, int n){// 如果背包总重量等于背包限制if(curW == weightLimit || curS == n){if(curV > maxWeight)maxWeight = curV;return ;}// 不装secPackage(weight, value, curV, curW, weightLimit, curS + 1, n);if(curW + weight[curS] <= weightLimit)// 装secPackage(weight, value, curV + value[curS], curW + weight[curS], weightLimit, curS + 1, n);}int main(int argc, char* argv[]){// 总重量，物品个数int w, n;cin>>w>>n;int a[MAXSIZE + 1];for(int i = 0; i < n; i++)cin>>a[i];basePackage(a, 0, n, 0, w);cout<<maxWeight<<endl;return 0;}。

0-1背包问题(回溯法)

0-1背包问题(回溯法)实验报告姓名：学号：指导老师：一．算法设计名称：0-1背包问题（回溯法）二.实验内容问题描述:给定n 种物品和一背包。

物品i 的重量是w i ，其价值为v i ，背包的容量为C 。

问应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?在选择装入背包的物品时，对每种物品i 只有两种选择，即装入背包或不装入背包。

不能将物品装入背包多次，也不能只装入部分的物品。

三.实验目的1.运用回溯思想，设计解决上述问题的算法，找出最大背包价值的装法。

2.掌握回溯法的应用四．算法设计：问题求解思路1.由0-1背包问题的最优子结构性质，建立计算m[i][j]的递归式如下：i i i w j w j j i m i v w j i m j i m j i m <≤≥⎩⎨⎧-+---=0],1[]}[],1[],,1[max{),(2.查找装入背包物品的回溯函数：从0-1二叉树的根开始搜索：若是叶子节点，则判断此时的价值是否比当前最优的价值大，否则将之替换，并获得最优解向量且返回；若不是叶子节点，则向左右子树搜索，先改变当前的数据状态，递归的调用自己，然后恢复数据状态表示回溯。

3.边界函数bound主要是当还未搜索到叶子节点时，提前判断其子树是否存可能存在更优的解空间，否则进行回溯，即裁剪掉子树的解空间。

关键数据结构及函数模块：（Backtrack.h ）#ifndef __BACKTRACK_H__#define __BACKTRACK_H__class BP_01_P{public:∑=ni i i x v 1max ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈≤∑=n i x C x w i n i i i 1},1,0{1BP_01_P(int w,int n):m_Sum_weitht(0),m_Number(0) {m_Sum_weitht=w;m_Number=n;bestHav=0;bestVal=0;curVal=0;curHav=0;m_hav=new int[n];m_val=new int[n];temop=new int[n];option=new int[n];}~BP_01_P(){delete []m_hav;delete []m_val;delete []temop;delete []option;}void traceBack(int n);int bound(int n);void printBestSoulation();int *m_hav;//每个物品的重量int *m_val;//每个物品的价值int *temop;//01临时解int *option;//01最终解int bestHav;//最优价值时的最大重量int bestVal;//最优的价值int curVal;//当前的价值int curHav;//当前的重量private:int m_Sum_weitht;//背包的总容量int m_Number;//物品的种类};#endif __BACKTRACK_H__五：主要的算法代码实现：（Backtrack.cpp）边界函数：bound( )int BP_01_P::bound(int n){int hav_left=m_Sum_weitht-curHav;int bo=curVal;while(n<m_Number && m_hav[n]<=hav_left){hav_left-=m_hav[n];bo+=m_val[n];n++;}if(n<m_Number){bo+=m_val[n]*hav_left/m_hav[n];//bo+=hav_left;}return bo;}回溯递归函数：traceBack( )void BP_01_P::traceBack(int n){if(n>=m_Number){if(curVal>=bestVal){bestVal=curVal;for(int i=0;i<n;i++){option[i]=temop[i];}return ;}}if(curHav+m_hav[n]<=m_Sum_weitht)//向左子树搜索 {curHav=curHav+m_hav[n];curVal=curVal+m_val[n];temop[n]=1;//标记要选择这个物品traceBack(n+1);curHav=curHav-m_hav[n];curVal=curVal-m_val[n];}if(bound(n+1)>bestVal)//向右子树搜索{temop[n]=0;//标记要丢弃这个物品traceBack(n+1);}}主控函数：(main.cpp)#include <iostream>#include "Backtrack.h"using namespace std;int main(){int number,weigth;cout<<"包的总容量:";cin>>weigth;cout<<"物品的种类:";cin>>number;BP_01_P *ptr=new BP_01_P(weigth,number);cout<<"各种物品的重量:"<<endl;for(int i=0;i<number;i++)cin>>ptr->m_hav[i];cout<<"各种物品的价值:"<<endl;for(i=0;i<number;i++)cin>>ptr->m_val[i];ptr->traceBack(0);ptr->printBestSoulation();cout<<"总重量:"<<ptr->bestHav<<"\t总价值:"<<ptr->bestVal<<endl;return 0;}六：算法分析采用回溯法解决0-1背包问题，明显比动态规划法更优良。

回溯法和分支限界法解决0-1背包题精

if(false == excha nge)}} 〃如果这次遍历没有元素的交换,那么排序结束{ break ;template vclass Type> inline void Swap(Type & a,Type &b) {Type temp = a;a = b;五、回溯法解决0-1背包问题复杂度分析：计算上界需要0(n)时间，在最坏情况下有 0(2八n)个右儿子节点需要计算上界，故解0-1背包问题的回溯算法所需要的计算时间为O(n2A n)。

方法2:分支限界法：一、分支限界法描述：给定n 种物品和一背包。

物品i 的重量是wi ，其价值为vi ，背包的容量为C 。

问: 应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？形式化描述：给定 c >0, wi >0, vi >0 , 1n.要求找一 n 元向量(x1,x2,…,xn,),xi € {0,1}, ?刀wi xi 且vi xi 达最大.即一个特殊的整数规划问题。

二、分支限界法步骤思想：首先，要对输入数据进行预处理，将各物品依其单位重量价值从大到小进行排列。

在优先队列分支限界法中，节点的优先级由已装袋的物品价值加上剩下的最大单位重量价值的物品装b = temp;}四、程序运行结果:匕4〉 :20 §分别为： <2,7〉 <1, 最大价值为五、分支限界法解决 0-1背包问题复杂度分析: {Type temp = a;a = b;b = temp;}四、程序运行结果:时间复杂度为：O(2A n);空间复杂度：0(n25)。

六、回溯法与分支限界法分析比较：这两种算法都得到了验证，运行结果证明了算法设计是可行的。

通过对 0-1背包问题的算法设计及时间复杂度分析可以看出：无论采用回溯法还是分支限界法，都是在已知约束条件下求解最大值建立数学模型算法实现的过程；但算法具体实现和数据结构的建立要用到递归和栈操作。

回溯法、分支限界法解0-1背包问题(计算机算法设计与分析实验报告)

for(inti = 0; i <n; i++) {
q[i] =newElement(i + 1, pp[i] / ww[i]);
}
Arrays.sort(q,newElemComparator());
p=newdouble[n+ 1];
w=newdouble[n+ 1];
for(inti = 1; i <=n; i++) {
BufferedReader in =newBufferedReader(newInputStreamReader(System.in));
do{
try{
do{
System.out.println("请选择数字功能键：1--输入数据，2--退出系统");
flag = in.readLine().trim();
doubleb =cp;
//以物品单位重量价值递减装填剩余容量
while(i <=n&&w[i] <= cleft) {
cleft -=w[i];
b +=p[i];
i++;
}
//装填剩余容量装满背包
if(i <=n) {
b +=p[i] /w[i] * cleft;
}
returnb;
}
//添加新的活节点到子集树和优先队列中
return1;
}else{
return0;
}
}
}
publicstaticvoidmain(String[] args) {
String input;
String flaguble[] pp;

回溯法实验(0-1背包问题)

算法分析与设计实验报告第五次附加实验cp += p[i];Backtrack(i+1); //回溯//回溯结束回到当前根结点cw -= w[i];cp -= p[i];}//进入右子树，条件是上界值比当前最优值大，否则就将右子树剪掉if(Bound(i+1)>bestp){Backtrack(i+1);}}测试结果当输入的数据有解时：当输入的数据无解时：当输入的数据稍微大点时：附录：完整代码（回溯法）//0-1背包问题回溯法求解 #include <iostream> using namespace std;template <class Typew,class Typep>class Knap //Knap 类记录解空间树的结点信息 {template <class Typew,class Typep>friend Typep Knapsack(Typep [],Typew [],Typew,int ); private :Typep Bound(int i); //计算上界的函数void Backtrack(int i); //回溯求最优解函数实验分析在实验中并没有生成多组数据，进行比较，也没有利用随机生成函数，因为在这种有实际有关联的问题中，利用随机生成函数生成的数据是十分的不合适的，在此我们只需要验证该程序是否正确即可。

0-1背包问题和之前的最优装载其实质上一样的，都是利用解空间树，通过深度优先搜索子集树，通过利用上界函数和一些剪枝策略，从而得到最优解。

由于数据较小，所以时间上并不能反映出什么东西。

实验心得在这一章的回溯算法中，我们用的比较多的就是；利用子集树来进行问题的探索，就例如上图是典型的一种子集树，在最优装载、0-1背包都是利用了这种满二叉树的子集树进行求解，然后通过深度优先的策略，利用约束函数和上界函数，将一些不符合条件或者不包含最优解的分支减掉，从而提高程序的效率。

回溯法求01背包问题

实验题目给定n种物品和一个容量为C的背包，物品i的重量是wi，其价值为vi，0/1背包问题是如何选择装入背包的物品（物品不可分割），使得装入背包中物品的总价值最大?实验目的（1）掌握回溯法的设计思想；（2）掌握解空间树的构造方法，以及在求解过程中如何存储求解路径；（3）考察回溯法求解问题的有效程度。

实验内容（包括代码和对应的执行结果截图）#include<iostream>using namespace std;int n,c,bestp;//物品的个数，背包的容量，最大价值int p[100],w[100],x[100],bestx[100];//物品的价值，物品的重量，x[i]暂存物品的选中情况,物品的选中情况void Backtrack(int i,int cp,int cw)//cw当前包内物品重量，cp当前包内物品价值{int j;if(i>n)//结束回溯{if(cp>bestp){bestp=cp;for(i=0;i<=n;i++)bestx[i]=x[i];}}elsefor(j=0;j<=1;j++){x[i]=j;if(cw+x[i]*w[i]<=c){cw+=w[i]*x[i]; //每个解向量的分量的c与当前的w[i]和前一个解向量分量的cw有关cp+=p[i]*x[i];Backtrack(i+1,cp,cw); //递归调用}}}int main(){int i;bestp=0;cout<<"输入物品个数:"<<endl;cin>>n;cout<<"输入背包最大容量:"<<endl;cin>>c;cout<<"依次输入物品的重量:"<<endl;for(i=1;i<=n;i++)cin>>w[i];cout<<"请依次输入物品的价值:"<<endl;for(i=1;i<=n;i++)cin>>p[i];Backtrack(1,0,0);cout<<"最大价值为:"<<endl<<bestp<<endl;cout<<"物品的选中情况依次为（0表示没有被选中，1表示被选中）"<<endl;for(i=1;i<=n;i++)cout<<bestx[i];cout<<endl;return 0;}实验结果分析由于问题的解向量X=(x1, x2, …, xn)中的每个分量xi(1≤i≤n)都属于一个有限集合Si={ai1, ai2, …, airi}，因此，回溯法可以按某种顺序（例如字典序）依次考察笛卡儿积S1×S2×…×Sn中的元素。

回溯法解0-1背包问题实验报告

实验4 回溯法解0-1背包问题一、实验要求1．要求用回溯法求解0-1背包问题；2．要求交互输入背包容量，物品重量数组，物品价值数组；3．要求显示结果。

二、实验仪器和软件平台仪器：带usb接口微机软件平台：WIN-XP + VC++三、实验源码#include ""#include<iostream>#include<cstdio>#include<>#include<iomanip>using namespace std;template<class ty>class Knap{public:friend void Init();friend void Knapsack();friend void Backtrack(int i);friend float Bound(int i);bool operator<(Knap<ty> a)const{if(fl< return true;else return false;}private:ty w; ;cout<<endl;cout<<"请依次输入"<<n<<"个物品的价值P:"<<endl;for(i=0;i<n;i++)cin>>bag[i].v;for(i=0;i<n;i++){bag[i].flag=0; bag[i].kk=i;bag[i].fl=*bag[i].v/bag[i].w;}}void Backtrack(int i){if(i>=n) <=c) lag=1; cw+=bag[i].w;cp+=bag[i].v; Backtrack(i+1);cw-=bag[i].w; cp-=bag[i].v;}if(Bound(i+1)>bestp)lag=0; Backtrack(i+1);}}<=cleft){;b+=bag[i].v;i++;}/bag[i].w * cleft;return b;}void Knapsack() k]=bag[k].flag; lag*bag[k].v; //价值累加}cout<<endl;cout<<"当前最优价值为:"<<L<<endl;cout<<"变量值x = ";for(int i=1;i<=n;i++){cout<<x[i-1];}delete []bag; bag=NULL;delete []x; x=NULL;cout<<endl; getch();}int main(){cout<<endl;cout<<"|**********回溯法解0-1背包问题**********|"<<endl;Init();Backtrack(0);Knapsack();return 0;}四、运行结果五、实验小结通过该实验，我充分了解了回溯法与分支界限法的区别。

回溯法01背包问题例题

回溯法是一种解决0-1背包问题的有效方法。

以下是使用回溯法解决0-1背包问题的具体步骤和例题：1.定义问题：假设有N件物品，每件物品有一定的重量Wi和价值Vi，背包能够承受的最大重量为W。

目标是选择一些物品放入背包，使得背包中物品的总价值最大，同时不超过背包的最大承重。

2.使用回溯法求解：回溯法的核心是深度优先搜索，通过尝试每一种可能性来找到最优解。

o初始化：将所有物品按照价值从大到小排序。

o递归函数：▪如果当前选择的物品重量超过了背包的承重，则返回（因为无法放入背包）。

▪如果当前选择的物品价值大于之前所有选择物品的总价值，则更新当前最大价值。

▪标记当前选择的物品为已选（例如，使用一个布尔数组表示）。

▪递归地尝试下一个物品。

o回溯：如果递归到最后一个物品，并且没有超过背包的承重，则将最后一个物品加入背包，并更新最大价值。

然后回溯到上一个物品，尝试不放入背包中。

3.求解步骤：o初始状态：未选择任何物品，总价值为0。

o递归函数：对于每个物品i，如果未选择（即第i个物品的布尔数组标记为false），则执行递归函数。

如果选择了第i个物品，并且总价值大于当前最大价值，则更新最大价值。

标记第i个物品为已选。

然后递归地尝试下一个物品。

o回溯：如果尝试了所有物品都没有超过背包的承重，并且总价值大于当前最大价值，则将最后一个选择的物品加入背包，并更新最大价值。

然后回溯到上一个物品，尝试不放入背包中。

4.例题：假设有3件物品，重量分别为20、15、10，价值分别为20、30、25，背包的承重为25。

根据回溯法求解的步骤如下：o首先尝试第一个物品（重量20，价值20）。

由于20>25，所以无法放入背包。

o接下来尝试第二个物品（重量15，价值30）。

由于15+20=35>25，所以也无法放入背包。

o然后尝试第三个物品（重量10，价值25）。

由于10+20=30<25，所以可以放入背包中。

此时的最大价值为25+25=50。

回溯法解决01背包问题算法

回溯法解决01背包问题算法回溯法是一种常见的解决0-1背包问题的算法。

以下是使用Python编写的基于回溯法的0-1背包问题的解决方案：```pythondef knapsack(weights, values, capacity):n = len(weights)dp = [[0 for _ in range(capacity + 1)] for _ in range(n + 1)]for i in range(1, n + 1):for w in range(1, capacity + 1):if weights[i - 1] <= w:dp[i][w] = max(dp[i - 1][w], dp[i - 1][w - weights[i - 1]] + values[i - 1])else:dp[i][w] = dp[i - 1][w]return dp[n][capacity]def backtrack(weights, values, capacity, i, w):if i == 0 or w == 0:returnif weights[i - 1] <= w:backtrack(weights, values, capacity, i - 1, w - weights[i - 1])print(f"Pick {values[i - 1]} with weight {weights[i - 1]}")backtrack(weights, values, capacity, i - 1, w)else:backtrack(weights, values, capacity, i - 1, w)def knapsack_backtrack(weights, values, capacity):backtrack(weights, values, capacity, len(weights), capacity)```在这个代码中，`knapsack`函数使用动态规划方法来解决问题，而`backtrack`函数使用回溯法。

回溯法求0-1背包问题

学号:日期:《算法设计与分析》实验报告姓名:得分：____________、实验内容:用回溯法求解0/1背包问题注：给定n种物品和一个容量为C的背包，物品i的重量是W i，其价值为V i，背包问题是如何使选择装入背包内的物品，使得装入背包中的物品的总价值最大。

其中，每种物品只有全部装入背包或不装入背包两种选择。

、所用算法的基本思想及复杂度分析：1. 回溯法求解背包问题：1)基本思想：回溯法：为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状态，要不断地利用限界函数(bounding function) 来处死那些实际上不可能产生所需解的活结点，以减少问题的计算量。

这种具有限界函数的深度优先生成法称为回溯法。

对于有n种可选物品的0/1背包问题，其解空间由长度为n的0-1 向量组成，可用子集数表示。

在搜索解空间树时，只要其左儿子结点是一个可行结点，搜索就进入左子树。

当右子树中有可能包含最优解时就进入右子树搜索。

2)复杂度分析：回溯法求解0/1背包问题的时间复杂度为：T(n) 0(2n)。

空间复杂度：有n个物品，即最多递归n层，存储物品信息就是一个一维数组，即回溯法求解0/1背包问题的空间复杂度为0(n) o2. 以动态规划法验证：1)基本思想：令V(i,j)表示在前i(1 i n)个物品中能够装入容量为j(1 j C) 的背包中的物品的最大值，则可以得到如下动态函数：V(i,0) V(0,j) 0V(i,j)V(i 1,j)(j W i)maxV(i 1, j),V(i 1, j wj y (j wj按照下述方法来划分阶段：第一阶段，只装入前1 个物品，确定在各种情况下的背包能够得到的最大价值；第二阶段，只装入前2 个物品，确定在各种情况下的背包能够得到的最大价值；以此类推，直到第n 个阶段。

最后，V n,C)便是在容量为C的背包中装入n个物品时取得的最大价值。

2)复杂度分析：动态规划法求解0/1 背包问题的时间复杂度为：T(n) O(n C) 。

用回溯法解决0-1背包问题

}
void Print()
{
int i;
printf("\n路径为{");
for(i=1;i<n;++i)
printf("%d,",bestAnswer[i]);
printf("%d}\t价值为%d\n",bestAnswer[i],bestPrice);
}
void main()
{
int i;
/*输入部分*/
printf("\n最优解路径为{");
for(i=1;i<n;++i)
printf("%d,",bA[i]);
printf("%d}\t总价值为%d\n",bA[i],bp);
printf("\n\n总共搜索结点数%d\n",times);
}
printf("请依次输入%d个物品的价值:\n",n);
for(i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&price[i]);
printf("各符合条件的路径为：\n");
Backtracking(1);
printf("*******************************************************\n");
printf("请输入物品的数量:\n");
scanf("%d",&n);
printf("请输入背包的容量(能承受的重量):\n");

回溯法解决01背包问题

回溯法解决01背包问题
2021/7/1
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回溯法解决01背包问题
1、算法思想 2、问题描述 3、设计实现
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2
回溯法解决01背包问题
回溯法：是一个既带有系统性又带有跳跃性的的搜索算法。它在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先的策略，从根结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任一结点时，总是先判断该结点是否肯定不包含问题的解。如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子树的系统搜索，逐层向其原先结点回溯。否则，进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。
且在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索；
2021/7/1
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0/1背包问题概述
在0/1背包问题中，需对容量为c的背包进行装载。从n个物品中选取装入背包的物品，每件物品
i的重量为wi, 价值为pi。对于可行的背包装载，背包
中的物品的总重量不能超过背包的n 容量，最佳装载
是指所装入的物品价值最高，即 p ix i取得最大值。
课堂上老师已经讲解过用回溯法解决n-皇后问题， m-图着色问题以及哈密顿环问题，他们有相同的特征即问题的求解目标都是求满足约束条件的全部可行解。而0/1背包是最优化问题，还需要使用限界函数剪去已能确认不含最优答案结点的子树。
2021/7/1
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回溯法解决0/1背包问题
运用回溯法解题通常包含以下三个步骤： a. 针对所给问题，定义问题的解空间； b. 确定易于搜索的解空间结构； c. 以深度优先的方式搜索解空间，并
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回溯法解决01背包问题
void Print();
void Backtracking(int i)
{
times+=1;