平面图形密铺的特点：
平面图形密铺的特点：
平面图形密铺的特点(1)用一种或几种全等图形进行拼接。
(2)拼接处不留空隙、不重叠。
(3)连续铺成一片。
能密铺的图形在一个拼接点处的特点是：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360º，并使相等的边互相重合.问题1：用形状大小完全相同的正三角形能否密铺？观察每个拼接点处有几个角？他们之间有什么关系？用大小完全相同的正三角形可以密铺，每个拼接点处有六个角，他们的和为360度所以，用6个这样的三角形就可以组合起来密铺成一个平面。
问题2：用同一种正方形可以密铺吗？观察每个拼接点处有几个角？他们之间有什么关系？拿出自制的正方形演示拼接，观察分析，小组交流探讨出结论。
也可以密铺，每个拼接点处有四个角，他们的和也是360度。
问题3：正五、六边形能否密铺？正七、八边形呢？请简述你的理由。
通过上面的长方形、正方形的学习的方法学生很快就会知道：正六边形能密铺。
因为正六边形的每个内角都120度,在每个拼接点处，恰好能容纳下3个内角，而且相互不重叠，没有空隙。
而正五边形的每个内角都是108°，360不是108的整数倍。
在每个拼接点处，三个内角之和为324°，小于360°，而四个内角之和又大于360°。
在每个拼接处，拼三个内角不能保证没空隙，而拼四个角时，必定有重叠现象. 通过实际的拼摆、探究看一看得出:要用正多边形密铺成一个平面的关键是看：这种正多边形的一个内角的倍数是否是360°，在正多边形里，正三角形的每个内角都是60°，正四边形的每个内角都是90°，正六边形的每个内角都是120°，这三种多边形的一个内角的倍数都是360°，而其他的正多边形的每个内角的倍数都不是360°，所以说：在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以密铺，而其他的正多边形不可密铺。
只有正三角形、正方形和正六边形可以密铺，其他正多边形不可以密铺吗？探究二：用一种任意多边形密铺问题1：用任意几个全等的三角形能否密铺？观察每个拼接点处有几个角？他们与这种三角形有什么关系？(学生分组拼接、讨论，寻找规律，教师巡视指导) 结论：任意全等的一种三角形可以密铺，每个拼接点处有六个角（其中有三组分别相等）这六个角的和是360 。
图形密铺的实际应用
图形密铺的实际应用图形密铺是指将多个图形无缝地拼接在一起，填满整个平面的一种技术或方法。
它不仅能够创造出美观的图案和设计，还有广泛的实际应用价值。
本文将介绍图形密铺在装饰设计、数学领域以及计算机图形学中的实际应用，并讨论其优势和局限性。
一、装饰设计中的应用图形密铺在装饰设计中有着广泛的应用。
通过将多个相同或不同的图形无缝地拼接在一起，可以创建出各种独特、美观的图案。
无论是地砖、壁纸、地毯还是衣物等，图形密铺都能为室内外空间增添艺术氛围和视觉吸引力。
以拼贴画为例，通过合理的图形密铺，可以将各种大小不同的图片拼接在一起，形成富有表现力和独特风格的艺术作品。
二、数学领域中的应用在数学领域中，图形密铺有着重要的应用。
图形密铺是一个有趣而复杂的数学问题，吸引了很多数学家和研究者的关注。
通过研究图形密铺问题，可以深入理解几何学原理，拓展几何学的应用范围。
图形密铺还与对称性、周期性等数学概念密切相关，因此在数学教学中也被广泛应用，帮助学生提升几何学的理解和解题能力。
三、计算机图形学中的应用图形密铺在计算机图形学中有着广泛的应用，对于生成真实感图像、制作游戏场景等具有重要意义。
通过图形密铺算法，可以自动生成各种复杂的纹理，用于渲染三维模型的表面。
这种算法不仅可以提高渲染效率，还可以大大提升图像的逼真程度和视觉效果。
此外，图形密铺还在计算机游戏开发中发挥着重要作用，通过将多个小的纹理图案无缝拼接在一起，可以创建出生动、丰富的游戏场景。
图形密铺的实际应用具有广泛的领域和丰富的内涵，它不仅仅是一种装饰手法，更是一种创造性的表现方式和解决问题的工具。
然而，图形密铺也存在一些挑战和局限性。
首先，图形密铺的设计和计算需要耗费大量的时间和精力，对于一些复杂的图案来说，可能需要借助计算机辅助设计工具。
其次，图形密铺的效果受到图形形状、大小、对称性等因素的限制，不适用于所有的图案和装饰需求。
综上所述，图形密铺在装饰设计、数学领域以及计算机图形学中都有着重要的实际应用。
初中数学知识点精讲精析 平面图形的密铺
4·7 平面图形的密铺1. 密铺的定义用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片，叫作平面图形的密铺．2. 密铺的特征（1）边长都相等；（2）顶点公用；（3）在一个顶点处各正多边形的内角和为3600．3. 能够密铺的多边形能够密铺的多边形有三种：三角形、四边形、正六边形.学习中不仅要了解能密铺的多边形有哪些，还要了解为什么这些图形能够密铺，除了通过实际操作探索外，还要明白内在的数学上的理由.因为三角形的内角和是180°，把相同三角形的顶点拼结在一起时能够容纳6个角（其中三组角两两相等，恰好是两个三角形的内角），可以无重叠无空隙地拼接在一起，四边形是同样的解释.正六边形是因为它的每个内角是120°，把三个正六边形拼接在一起，三个内角的和恰为360°，也能无重叠、无空隙地拼接在一起.难点：不理解密铺所具备的条件.密铺所具备的条件是：多边形的几个内角拼在一起，恰好是360°，即这几个内角的和为360°.易错点：误认为边数为偶数的正多边形都能够密铺.比如：认为正八边形、正十边形可以密铺；其实正八边形、正十边形不能密铺，理由是正八边形的每个内角为135°，两个内角拼在一起小于360°，三个内角拼在一起大于 360°.不能无重叠、无空隙地拼在一起；正十边形也是同样的道理. 例1. 由7个大小、形状完全相同的矩形不重复，无重叠地拼成如图所示的大矩形，大矩形的周长为68，则此大矩形的面积为多少？解：设小矩形的长为x ，宽为y ，由图可知：53452y x y y x ++==⎧⎨⎩即：63452y x y x +==⎧⎨⎩∴=∴=y x 410，∴小矩形的面积为4×10=40，大矩形的面积为7×40=280一变：如图所示，正方形是由K 个形状大小完全相同的矩形密铺而成，其中上下各横排2个，中间竖排若干个，求K 的值.一变解：∴中间有4个矩形，∴共有8个矩形，即：K=8.点拨：此种题要与代数知识、及密铺的一些知识结合起来考虑.设正方形的边长为，矩形的宽为，则矩形的长为a x a 2由图可知：，a x a x a 224+==。
初一知识点：平面图形的密铺知识点
初一知识点：平面图形的密铺知识点读书使学生认识丰富多彩的世界，获取信息和知识，拓展视野。
接下来小编为大家精心准备了平面图形的密铺知识点，希望大家喜欢!1.用形状、大小完全相同的三角形可以密铺.因为三角形的内角和为180°，所以，用6个这样的三角形就可以组合起来镶嵌成一个平面.从用三角形密铺的图案中，观察到：每个拼接点处有6个角，这6个角分别是这种三角形的内角(其中有三组分别相等)，它们可以组成两个三角形的内角，它们的和为360°.2.用同一种四边形也可以密铺，在用四边形密铺的图案中，观察到：每个拼接点处的四个角恰好是一个四边形的四个内角.四边形的内角和为360°，所以它们的和为360°.3.从拼接活动中，我们知道了：要用几个形状、大小完全相同的图形不留空隙、不重叠地密铺一个平面，需使得拼接点处的各角之和为360°.通过探索活动，我们得知：用形状、大小完全相同的四边形或三角形可以密铺一个平面，那么其他的多边形能否密铺?下面大家来想一想，议一议：(1)正六边形能否密铺?简述你的理由.(2)分析如下图，讨论正五边形不能密铺.课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。
为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。
要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。
可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。
这样,一年就可记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。
这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。
要练说，得练听。
听是说的前提，听得准确，才有条件正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。
我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。
平面图形的密铺知识精讲
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图 ３
三角形可 以密铺 ； 因为正方 形的内角是 ９ 。 ３０ ９ 。 ０ ，６ 。÷ ０ ：４ 所 以正 方形 可 以密 铺 ； ， 因为 正 六 边形 的 内角 是 １０ ，６ 。 ２ 。 ， 以正六 边形 可 以密铺． ２ 。３０ ÷１０ ＝３ 所 而正 五
图４
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知识 点 ２ 能 密 铺 的 同一 种 图 形 ： 当 绕一 点 拼 在 一 起 的 几 个 多 边 形 的 内 角 加 在 一 起 恰好组成一个周角时 ， 或者说当一个正 多边形 的内角能 整 除 ３０ 时 ， 个 正 多 边形 就 可 以密铺 ． ６。 这 因 为正 三 角 形 的 内角 是 ６ 。３０ ÷ ０ ＝ ， 以 正 ０ 。６ 。 ６ 。 ６ 所
２
实践与应用 ： 请用正三角形和正方形尽 可能多的设 计出不 同效果的铺满平面的方法． 分析 可用正三角形 和正方形绕一点混铺 ， 也可以 绕一点分别利用一种单独铺设 ； 正三角形 的内角是 ６ 。 ｏ， 正方形 的内角是 ９ 。 当 ３个 ６ 。 ２个 ９ 。 一点时 ， ０， ｏ与 ０绕 可 围 成一 个 ３０ ； ６ 。６个 ６ 。 围 成 ３０ ； ｏ可 ６ 。４个 ９ 。 可 围 ０也
数学中密铺的定义
数学中密铺的定义
密铺（Tiling），在数学领域中，尤其是在几何学和组合学里，指的是用一种或多种形状的图形填满平面上一个给定区域的过程，不留任何空隙，也不重叠。
这些图形通常是多边形，如正方形、三角形或其他多边形，它们能够按照一定的规则排列，使得它们的边缘精确对齐，完全覆盖目标区域。
密铺有一些重要的特征：
1. 无空隙：图形之间紧密排列，不存在未被覆盖的空白区域。
2. 不重叠：用于密铺的图形不会相互重叠，每个图形都占据自己独立的空间。
3. 周期性：在密铺中，图形的排列通常具有某种程度的规律性和周期性，可以沿一个或多个方向平移而重现相同的图案。
4. 边界匹配：图形边缘之间的匹配必须精确无误，这样才能保证整个平面的连续性。
密铺可以分为几种类型：
正规铺砌（Regular tiling）：使用同一种多边形进行铺砌，并且每个顶点周围的图形环境和排列顺序都相同。
半正铺砌（Semiregular tiling）：由两种或两种以上不同的多边形构成，这些多边形按照一定的方式组合在一起，并且在顶点处呈现对称性。
阿基米德铺砌（Archimedean tiling）：由两种或两种以上的多
边形组成，这些多边形在顶点处相遇的次数是相同的，但它们的形状不一定相同。
彭罗斯铺砌（Penrose tiling）：非周期的密铺方式，由两种或两种以上的菱形组成，无法通过平移来复制整个图案。
密铺不仅是数学研究的对象，它在艺术、建筑、计算机科学等领域也有广泛的应用。
在数学中，研究密铺可以帮助我们理解平面和空间的填充问题，以及如何利用几何形状创造美观且实用的设计。
奇妙的图形密铺教案及反思
奇妙的图形密铺教案及反思一、教学目标：知识与技能：1. 让学生了解和掌握平面几何图形密铺的特点和规律。
2. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
过程与方法：1. 通过观察、操作、探究等活动，让学生体验图形密铺的过程。
2. 培养学生合作交流、归纳总结的能力。
情感态度与价值观：1. 激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生的创新意识。
2. 培养学生热爱生活，发现生活中数学美的情感。
二、教学内容：1. 平面几何图形的密铺特点2. 图形密铺的规律3. 实际生活中的图形密铺现象三、教学重点与难点：重点：1. 平面几何图形密铺的特点和规律。
2. 运用几何知识解决实际问题的方法。
难点：1. 图形密铺规律的探究和运用。
四、教学方法：观察法、操作法、讨论法、讲授法五、教学准备：1. 教学PPT2. 几何图形模板3. 练习题4. 实物举例教案一、导入新课（5分钟）1. 利用PPT展示各种生活中的图形密铺现象，引导学生关注数学与生活的联系。
2. 提问：同学们，你们在生活中在哪里见过这样的图形密铺呢？二、自主探究（10分钟）1. 学生分组讨论，观察、分析、归纳平面几何图形密铺的特点和规律。
2. 每组派代表分享讨论成果，教师点评并总结。
三、课堂讲解（15分钟）1. 教师根据学生的讨论结果，讲解平面几何图形密铺的特点和规律。
2. 通过实例演示，让学生理解图形密铺的原理和应用。
四、练习巩固（10分钟）1. 学生独立完成练习题，巩固所学知识。
2. 教师巡回指导，解答学生疑问。
五、课堂小结（5分钟）1. 教师引导学生总结本节课所学内容，巩固知识点。
2. 学生分享自己在课堂上的收获和感悟。
六、课后作业（课后自主完成）1. 运用所学知识，找出生活中的图形密铺现象，拍摄照片或绘制图案，下节课分享。
2. 结合实际情况，运用图形密铺规律，解决一个问题。
教学反思：本节课通过观察、操作、讨论等方式，让学生掌握了平面几何图形密铺的特点和规律，并能运用所学知识解决实际问题。
平面图形的密铺课件
新技术的应用
总结词
随着数字化和智能化技术的快速发展，新的 设计软件和制造技术为平面图形的密铺提供 了更高效和精准的实现方式。
详细描述
利用计算机辅助设计软件，设计师可以更加 方便地创建和修改密铺图案。同时，提供了可能。这些技术不仅可以提高 设计效率，还能降低生产成本，实现个性化 定制。
01
拼图需要多块不同形状的图形拼 凑在一起，而密铺则是由单一或 多个相同或不同形状的图形完整 地填满一个平面。
02
拼图通常需要一定的技巧和耐心 ，而密铺则更多地关注图形的特 性和规律。
02 常见的平面图形
三角形
三角形可以密铺成平面图案，通过将等边或等腰三角形进行拼接，可以形成丰富多 样的图案。
三角形密铺时，需要确保相邻的三角形之间没有空隙，并且每个三角形的顶点都与 其它三角形的顶点相接。
在实际应用中，这一规则对于保证密 铺的质量和效果至关重要，任何边长 的不匹配都可能导致密铺失败或效果 不佳。
这一规则确保了密铺的连续性和完整 性，使得图形之间无缝衔接，形成连 续的表面覆盖。
完全相等的角
与边长相等的规则类似，所有用于密铺 的图形角度也必须完全相等。这要求在 密铺过程中，每个图形的内角和外角都
密铺的特性
密铺图形之间没有重叠，也没有 空隙，能够完全填满一个封闭的 空间。
密铺的特性
01
02
03
完整性
密铺图形能够完全填满一 个平面，不留任何空隙。
无重叠性
密铺图形之间不会出现重 叠现象，每个图形都有其 固定的位置。
无空隙性
密铺图形之间没有空隙， 紧密相连，形成一个完整 的图案。
密铺与拼图的区别
装饰画制作
初中数学《平面图形的密铺》说
北师大版初中数学《平面图形的密铺》说课稿一、教材分析《平面图形的密铺》是四边形一章的结尾，位居多边形内角和与外角和之后，是多边形知识的生活应用。
内容的编写旨在通过生活中密铺的现象去发现它所蕴含的数学问题，理解并运用密铺的原理设计图案，培养学生的动手能力和数学应用意识。
二、学情分析知识储备：学生已学过图形的平移和对称，多边形的内角和、外角和公式、正多边形等，在日常生活中见到用瓷砖密铺的实例，具有了一定的生活经历。
心理特点：八年级学生好奇心和探索欲望特别强，但推理能力较弱，抽象思维能力较差，认识事物感性经验占主导。
校情学情：我校地处城乡结合部，学生基础薄弱，但我班学生活泼好动，思维活跃，学习数学的兴趣比较高。
经过一年多的训练，他们的动手能力，合作学习能力有了较大提高，为本节课使用小组合作学习打下了一定基础。
三、目标设计基于以上分析，制定如下教学目标知识与技能目标：知道密铺的概念和原理。
知道任意一个三角形、四边形、正六边形可以密铺。
过程与方法目标：经历探索多边形密铺条件的过程，发展学生的动手能力和合情推理能力。
.情感态度价值观目标: 在探索活动中，培养学生的合作交流意识和一定的审美情感，体会数学的应用价值.重点：认识三角形，四边形和正六边形是密铺图形，理解密铺的原理。
四、教法学法教法上我采用以学案导学的DJP教学模式，为了引导和帮助学生更有效地自主学习，在课堂学习过程中，尽量放手让学生讨论、展示、讲解。
动手实践---合作探究----总结归纳是本节课的主要学习方法。
五教学设计本节课的设计思路是：图片欣赏，感知密铺含义——动手实践，归纳密铺原理——分类讨论，寻找密铺方案——设计图案，解决密铺问题。
（注：素材和资料部分来自网络，供参考。
请预览后才下载，期待你的好评与关注！）。
初中数学知识点精讲精析 平面图形的密铺
第七节平面图形的密铺要点精讲一、平面图形的密铺（平面图形的镶嵌）:用形状和大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称平面图形的镶嵌．二、判断平面是否可以密铺用形状、大小完全相同的一种平面图形能够进行密铺的有：任意三角形、任意四边形、正六边形．正五边形不能密铺．平面图形能否密铺，关键看每个拼接点处的各多边形的这几个内角的和能否组合成360°．相关链接所谓“密铺”，就是指任何一种图形，如果能既无空隙又不重叠的铺在平面上，这种铺法就叫做“密铺”。
可以进行密铺的图形叫做密铺图形。
用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌。
典型解析1．如果仅用一种多边形进行镶嵌，那么下列正多边形不能够将平面密铺的是【】A．正三角形B．正四边形C．正六边形D．正八边形【答案】D【解析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，再利用镶嵌应符合一个内角度数能整除360°即可作出判断：A．正三角形的一个内角度数为180°－360°÷3＝60°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；B．正四边形的一个内角度数为180°－360°÷4＝90°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；C．正六边形的一个内角度数为180°－360°÷6＝120°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；D．正八边形的一个内角度数为180°－360°÷8＝135°，不是360°的约数，不能镶嵌平面，符合题意．故选D．中考案例1．（2011年十堰）现有边长相同的正三角、正方形和正六边形纸片若干张，下列拼法中不能镶嵌成一个平面图案的是（）A．正方形和正六边形B．正三角形和正方形C．正三角形和正六边形D．正三角形、正方形和正六边形【答案】A【解析】正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．针对训练1．幼儿园的小朋友们打算选择一种形状、大小都相同的多边形塑胶板铺活动室的地面，为了保证铺地时既无缝隙又不重叠，请你告诉他们下面形状的塑胶板可以选择的是（）①三角形；②四边形；③正五边形；④正六边形；⑤正八边形．A．③④⑤ B．①②④ C．①④ D．①③④⑤2．用以下图形为基本单位，不能进行密铺（铺满地面）的是（）A．等边三角形 B．矩形 C．正五边形 D．正六边形3．小芳家房屋装修时，选中了一种漂亮的正八边形地砖．建材店老板告诉她，只用一种八边形地砖是不能密铺地面的，便向她推荐了几种形状的地砖．你认为要使地面密铺，小芳应选择另一种形状的地砖是（）A．B．C．D．4．下列正多边形中，不能铺满地面的是（）A．正三角形B．正方形C．正六边形D．正七边形5．有下列五种正多边形地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤正八边形，现要用同一种大小一样、形状相同的正多边形地砖铺设地面，其中能做到此之间不留空隙、不重叠地铺设的地砖有（）A、4种B、3种C、2种D、1种6．按下面摆好的方式，并使用同一种图形，只通过平移方式就能进行平面镶嵌（即平面密铺）的有（写出所有正确答案的序号）．7．将完全相同的平行四边形和完全相同的菱形镶嵌成如图所示的图案．设菱形中较小角为x度，平行四边形中较大角为y度，则y与x的关系式是8．6张不透明的卡片，除正面画有不同的图形外，其它均相同，把这6张卡片洗匀后，正面向下放在桌上，另外还有与卡片上图形形状完全相同的地板砖若干块，所有地板砖的长都相等.（1）从这6张卡片中随机抽取一张，与卡片上图形形状相对应的这种地板砖能进行平面镶嵌的概率是多少？（2）从这6张卡片中随机抽取2张，利用列表或画树状图计算：与卡片上图形形状相对应的这两种地板砖能进行平面镶嵌的概率是多少？参考答案1．【答案】B【解析】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．①任意三角形的内角和是180°，放在同一顶点处6个即能密铺；②任意四边形的内角和是360°，放在同一顶点处4个即能密铺；③正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺；④正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺；⑤正八边形的每个内角为：180°-360°÷8=135°，不能整除360°，不能密铺．故选B．2．【答案】C【解析】根据密铺的条件可知，等边三角形，矩形，正六边形的每个内角都能整除360°，所以能密铺；正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺．A．等边三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺；B．矩形的每个内角是90°，4个能密铺；C．正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺；D．正六边形每个内角是120°，能整除360°，能密铺．故选C．3．【答案】B【解析】A、正八边形、正三角形内角分别为135°、60°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满正；B、正方形、八边形内角分别为90°、135°，，由于135×2+90=360，故能铺满；C、正六边形和正八角形内角分别为120°、135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；D、正八边形、正五边形内角分别为135°、108°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满．故选B．4．【答案】D【解析】A、∵正三角形的内角是60°，6×60°=360°，∴正三角形能铺满地面，故本选项正确；B、∵正方形的内角是90°，4×90°=360°，∴正方形能铺满地面，故本选项正确；C、∵正六边形的内角是120°，3×120°=360°，∴正六形能铺满地面，故本选项正确；D、∵正七形的内角是，，同任何一个正整数相乘都不等于360°，∴正，七边形不能铺满地面，故本选项错误．故选D．5．【答案】B【解析】解：①正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能够铺满地面； ②正方形的每个内角是90°，能整除360°，能够铺满地面；③正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能够铺满地面； ④正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能够铺满地面；⑤正八边形的每个内角为：180°﹣360°÷8=135°，不能整除360°，不能够铺满地面． 6．【答案】②③【解析】根据一种图形平面镶嵌的条件，即能整除360°的多边形，而且只通过平移就能进行平面镶嵌，∴①正三角形虽然能平面镶嵌但是需通过旋转得出，故此选项错误；②正方形，每个内角等于90°，通过平移就能进行平面镶嵌，故此选项正确； ③矩形，每个内角等于90°，通过平移就能进行平面镶嵌，故此选项正确； ④正五边形，每个内角等于108°，不能平面镶嵌，故此选项错误． 7．【答案】2y-x=180或y=x+90． 【解析】根据菱形的性质得出∠ADC=180-x ，∠CDB=y，进而根据∠ADC+∠CDB+∠ADB=360，得出y ，x 之间的关系．解答：解：根据平面镶嵌的性质得出： ∠ADC=180-x ，∠CDB=y， ∴∠ADC+∠CDB+∠ADB=360，180-x+y+y=360， 2y-x=180或y=x+90 8．【答案】（1）∵这6个图形中只有正三角形，正方形，正六边形能够进行平面镶嵌，（2）根据题意得：由上表可知，共有30种可能的结果，且每种结果的可能性相同，其中能进行平面镶嵌的结果有8种，分别是：AB ， AD ， BE ， CF ， BA ， DA ， EB ， FC .1212()31==62P 单独一种能镶嵌. 【解析】（1）根据镶嵌的定义可得这6个图形中只有正三角形，正方形，正六边形能够进行平面镶嵌，再根据概率的概念即可求出利用一种地板砖能进行平面镶嵌的概率；（2）利用列表法展示所有等可能的15种结果，其中能进行平面镶嵌的结果有8种，再根据概率的概念计算即可．()843015P ==两种能镶嵌。
平面图形的密铺(PPT-36)
内角和 180°360°540°720° （ n -2）180°
每个内角的度数 60° 90° 108°120°（ n -2）180°／ n
能否密铺
能 能否 能
否
乘胜前进
请同学们用准备好的多边形进行试验探索：用形状、 大小完全相同的任意三角形能否密铺？用形状、大 小完全相同的任意四边形能否密铺？其它多边形呢？
能否密铺
成果展示 正三角形、正方形、正六边形可以密铺。
正多边形边数 3 4 5
内角和 180°360°
每个内角的度数 60° 90°
能否密铺
能能
6 720° 120°
能
n (＞6)
密铺时：在每个拼接点处，所有角之和为3600。 相邻的边一般长度要相等。
成果展示
正三角形、正方形、正六边形可以密铺。 正五边形为什么不可以密铺？
2. 用多边形进行密铺时，要注意两点： ①两个多边形在拼接时，相邻的边一般长度要相等； ②几个多边形在每个拼接点处的角之和为3600。
3. 三角形、四边形和正六边形都可以单独密铺。
密铺在现实生活中应用非常广泛
课后作业
1、优化测试P51-52 2、注意观察周围的密铺图案，欣赏的同时，分析是由什 么“基本图形”铺成的。 3、自己创作一幅漂亮的密铺图案。
成果展示
12
3 3
12
3 2
21
3 3
1 2
12
1
1 23
3 2
13
2 13 32
1
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2
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22 311 3
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密铺ppt课件
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常见的无限密铺图形包括平心线、三 角形平分线等。
无限密铺的数学原理在于，对于一组 特定的几何图形，可以通过数学计算 和证明，证明它们可以无限地重复排 列，形成一个完整的图案。
无限密铺的特性包括无限性、重复性 和规律性，这些特性使得无限密铺在 数学、美学和艺术等领域有着广泛的 应用。
03
密铺在艺术中的应用
拓扑学
拓扑学是研究图形或物体在连续变形下保持不变性质的数学分支。密铺问题在拓扑学中也有着重要的应用，例 如在研究地图的染色问题中，密铺理论可以提供重要的思路和方法。
物理学领域
固体物理学
在固体物理学中，密铺理论被广泛应用于晶体结构的研究。 晶体中的原子或分子通过特定的排列方式，以最小能量状态 稳定存在，这些排列方式与密铺理论密切相关。
。
常见的平面密铺图形有正方形、等边三角形 、正六边形等。
平面密铺的数学原理在于，对于任意一个正 多边形，都可以找到另一个正多边形，其内 角和它相加等于360度，从而在平面上实现 无空隙密铺。
平面密铺的特性包括对称性、重复性和统一 性，这些特性使得密铺图形具有很高的美学 价值。
空间密铺
空间密铺的数学原理在于，对于 任意一个几何体，都可以找到其 他几何体，使得它们组合后能够 占据整个空间。
空间密铺的特性包括空间性、层 次性和立体感，这些特性使得空 间密铺在建筑设计、装饰艺术等 领域有着广泛的应用。
01
空间密铺是指将几何体按照一定 的规律和顺序进行排列，使得它 们之间没有空隙和重叠。
02
03
04
常见的空间密铺几何体包括球体 、立方体、圆柱体等。
无限密铺
无限密铺是指将一组特定的几何图形 无限地重复排列，不留空隙和重叠。
北师大版四年级数学下册数学好玩——密铺、奥运中的数学、优化
10.4环
格贝维拉 10.4环
10.1环
1.第10枪郭文珺打出了10.8环，格贝维拉至少需要打多少 环才能获得冠军？ 10.4
2.格贝维拉第10枪的成绩是8.8环，两人总成绩相差了多少 环？ 1.5
3.下面左边图是在空中看到的设计比赛场景。右边四幅图， 分别是①②③④哪个位置看到的？
①②③
④
数学好玩
2008年北京奥运会 金牌榜
排名 国家/地区 金牌数 1 中国 51 2 美国 36 3 俄罗斯 23
2012年伦敦奥运会 金牌榜
排名 国家/地区 金牌数 1 美国 46 2 中国 38 3 英国 29
2004年奥运会上，中国选手 刘翔在男子110米栏的比赛中获 得了冠军，并打破了当时该项目 的奥运会纪录，平了该项目的世 界纪录。
3.正六边形的每个内角都是120°,也能拼接 出周角,所以 正六边形可以密铺.
注意:只用正五边形一种图形不能密铺.
因此， 可以用同一种多边形密铺的图形只有 任意三角形、任意四边形、正六边形
数学好玩 奥运中的数学
北师大版 四年级下册
奥运中的数学
2004年雅典奥运会 金牌榜
排名 国家/地区 金牌数 1 美国 35 2 中国 32 3 俄罗斯 27
三角形能不能密铺？四边形可不可以？
动手实验
1.按照设计方案将剪好的三角形或四边形拼一拼， 摆一摆。
Hale Waihona Puke 动手实验1.按照设计方案将剪好的三角形或四边形拼一拼， 摆一摆。
动手实验
1.按照设计方案将剪好的三角形或四边形拼一拼， 摆一摆。
做一做（一）
哪些图形可以密铺，哪些图形不可以密铺?
用形状、大小完全相同的三角形、四边形 能否密铺？
密铺瓷砖的数学原理
密铺瓷砖的数学原理
密铺瓷砖的数学原理涉及到几何形状的角度和边的关系，以及它们如何拼合在一起覆盖平面而不留空隙。
详细原理如下：
1. 正方形密铺：正方形每个内角为90度，当四个正方形放在一起时，它们的角恰好能够组成360度，这符合平面密铺的要求。
2. 正六边形密铺：正六边形每个内角为120度，三个正六边形拼在一起时，它们的内角度数总和也是360度，因此正六边形也能够实现密铺。
3. 四边形密铺条件：对于一般的四边形，要实现密铺，需要满足特定的条件，即每个内角在每个拼接点处只出现一次，并且相等的边互相重合。
4. 多多边形组合：数学家使用一种记法来描述顶点周围的多边形边数，例如由正三角形构成的密铺记作"3.3.3.3.3.3"，因为每个顶点周围都是正三角形的边。
5. 视觉和谐与数学原理：在设计密铺图案时，不仅要考虑视觉上的和谐，还要基于构成底层密铺的数学原理，确保图形能够无缝拼接。
综上所述，密铺瓷砖的数学原理主要是通过几何形状的角度和边的特性来实现无缝拼接。
这些原理在设计和装饰领域有着广泛的
应用，不仅美观而且具有实用性。
2022-2023学年洛阳市洛龙区数学六上期末教学质量检测模拟试题含解析
2022-2023学年六上数学期末模拟试卷一、仔细推敲，细心判断。
（对的打“√ ”，错的打“×”）1．正方体的棱长扩大到原来的3倍，那么它的表面积就扩大到原来的6倍，体积就扩大到原来的9倍．（_______）2．两个真分数的积一定是真分数．（______）3．图形旋转时，它的位置、方向、大小都没有变化。
（________） 4．因为0.2 +0.8=1,所以0.2 和0.8 互为倒数． （____） 5．甲数的一定比乙数的大． （____）二、反复思考，慎重选择。
（将正确答案的序号填在括号里） 6．把8∶15的前项增加16，要使比值不变，后项应该（ ）。
A ．加16B ．乘16C ．加30D ．乘27．下列各式中（a 、b 均不为0），a 和b 成反比例的是（ ）。
A ．95ba ⨯=B ．74a b =C ．1403a b ⨯-÷= D ．710a b += 8．一个三位小数四舍五入后为4.80，这个三位小数最大的可能是（ ） A ．4.799B ．4.804C ．4.8099．下面哪个图形可以密铺．（ ）A ．B ．C ．10．一个正方形被分成3部分（如下图），这3部分面积之间关系正确的是（ ）。
A ．图①＜图②，图②＜图③B ．图①＜图②，图②＝图③C ．图①＝图②，图②＜图③D ．图①＝图②，图②＝图③三、用心思考，认真填空。
11．72÷8=9,我们就说72是8的倍数，8是72的（_______________）。
12．最小的质数与它的倒数的和是（________），再加（________）就是最小的合数。
13．科龙电脑城四月份售出台式计算机120套，售出笔记本电脑的数量是台式计算机的320。
售出笔记本电脑________套。
14．在○里填上“>”“<”或“=”。
1752525○ 70.98○ 24163020○ 35327275++○ 15．在1、2、6、8、17、24这几个数中，奇数有（______）个，合数有（______）个。
《图形的密铺》 讲义
《图形的密铺》讲义一、什么是图形的密铺当我们观察生活中的地面、墙面，常常会发现它们是由各种形状的瓷砖、砖石等拼接而成的，这些拼接没有留下空隙也没有重叠，这就是图形的密铺。
简单来说，图形的密铺是指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺。
例如，常见的正方形、长方形、正六边形等都可以单独进行密铺。
二、常见的可密铺图形1、正方形正方形的四条边长度相等，四个角都是直角。
由于其角度和边长的特点，将多个正方形拼接在一起，可以轻松实现密铺。
2、长方形长方形的对边相等，四个角也都是直角。
和正方形类似，多个长方形通过合理的排列也能够实现密铺。
3、正三角形正三角形的三条边相等，三个角都是 60 度。
通过将正三角形以一定的规律拼接，可以实现密铺。
4、正六边形正六边形的六条边相等，六个角都是 120 度。
它的内角和为 720 度，每个内角的度数使得多个正六边形拼接时能够完美地密铺。
三、为什么这些图形可以密铺要理解为什么某些图形能够密铺，需要考虑图形的内角和与拼接时角度的关系。
对于一个平面来说，其角度总和为 360 度。
如果一个图形的内角能够组合成 360 度，那么它就有可能实现密铺。
以正方形为例，其每个内角为 90 度，4 个 90 度正好是 360 度，所以多个正方形可以密铺。
正六边形的每个内角为 120 度，3 个 120 度就是 360 度，因此正六边形也能密铺。
而一些其他图形，如正五边形，其每个内角约为 108 度，无法通过整数个内角组合成 360 度，所以正五边形不能单独密铺。
四、图形密铺在生活中的应用1、地板和地砖在家庭装修和公共场所的地面铺设中，常常会用到图形的密铺。
常见的有正方形、长方形和正六边形的地砖，通过不同的排列组合，既能满足美观的需求，又能实现地面的无缝拼接。
2、墙面装饰不仅是地面，墙面的瓷砖装饰也会用到密铺的原理。
例如，浴室的墙面瓷砖，通过密铺可以保证防水效果和美观度。
徐州市新沂市2023年数学四年级第二学期期末质量跟踪监视试题含解析
徐州市新沂市2023年数学四年级第二学期期末质量跟踪监视试题一、神奇小帮手。
1．把6.28的小数点去掉，这个数就_____倍，把6.28缩小10倍，就把小数点向_____移动_____。
2．爸给小红买了一个等腰三角形的风筝。
它的一个的底角是70°，顶角是_____。
3．如图是一种常见的图案，这个图案有（_____________）条对称轴，请在图上画出对称轴。
4．10枚1元的硬币叠放在一起的高度大约是2厘米。
照这样推算，1000枚1元的硬币叠放在一起的高度大约是（________）米。
100万枚1元的硬币叠放在一起的高度大约是（________）米。
5．0.95的计数单位是（________），还需要再加上（________）个这样的计数单位才能得到自然数1。
6．0.3里面有（______）个0.1；0.75里面有（______）个0.01。
7．不改变数的大小，把2.6改写成两位小数是（________）；不改变数的大小，把2改写成一位小数是（________）。
8．0.60的计数单位是（__________），它含有（__________）个这样的计数单位。
二、我是小法官。
（对的打√，错的打×）9．3.6475精确到百分位是3.64。
（______）10．小刚所在班级的平均身高是135cm，小刚就一定是135厘米高。
（________）11．W的关于某条对称轴对称的图形一定是M. （____）12．一个数除以9，商是13，余数是6，则这个数是87。
（______）13．正方形、圆、等边三角形，这三种图形均可以单独密铺．（______）14．用5厘米、5厘米和10厘米长的三根小棒可以围成一个等腰三角形。
（______）15．任何三角形都可以密铺。
（________）16．648－36＋64＝648－(36＋64)．（____）17．一条小河平均水深1米，小强身高1.2米，他不会游泳，但他下河玩耍池肯定安全．（_____）18．只露出一个角不能确定它是什么三角形。
平面图形的密铺 效果分析
平面图形的密铺效果分析
综合实践教学，应是以学生发展为本，以思维训练为核心，以丰富的信息资源为基础，以现代信息技术为支撑的生动活泼、新颖有趣、扎实有效的课堂，通过学生自主探究，合作研讨，主动创新，获得知识技能上的提高，获得兴趣、情感等方面的需要，提高数学素质和信息素养。
本节课结合信息技术的特点，有效整合教学内容，较好发挥了信息技术的最佳优势：一是省去了繁琐的教学具准备；二是节省了操作、验证所需要的时间；三是提高了设计的效率；四是向全体学生及时反馈展示学生个体的学习成果。
这些优势使得课堂教学直观、生动、轻松、高效, 学生兴趣盎然、参与积极；传统教学方式的缺陷得到较好弥补,课堂教学效率极大提高！
实践证明，信息技术与综合实践教学的有机结合，是综合时间教学改革中的一种新型教学手段，是时代发展的必然趋势！本节课正因为有效整合了信息技术与学科教学内容，才使教学获得了“事半功倍”的效果。
我坚信，只要勤于思考、勤于实践、勇于创新，明天的信息化教学一定会更加灿烂、更加辉煌！。
北师大版小学数学五年级上册《图形密铺的规律》知识点讲解突破
图形密铺的规律知识精讲图形密铺的规律用形状、大小完全相同的一种或几种图形进行拼接，如果能既无空隙、又不重叠地铺在同一个平面上，这种铺法就叫作“密铺”。
能够密铺的图形特征是相交于一点的几个角之和是360°。
名师点睛密铺与图形内角的关系一种图形能够密铺的关键是图形的角能够不重叠地铺满360°。
（1）所有的三角形都可以密铺。
因为任意一个三角形的内角和都是180°，是360°的一半，所以任意三角形都可以密铺，如下图所示。
（2）所有的四边形都可以密铺。
因为任意四边形的内角和都是360°，所以四边形都能够密铺。
不仅规则的四边形如长方形、正方形、梯形、平行四边形等可以密铺，不规则的四边形也可以密铺，如下图所示。
（3）正多边形中只有等边三角形、正方形、正六边形可以密铺。
因为任意三角形和四边形都可以密铺，所以等边三角形和正方形都可以密铺。
正六边形的一个内角是120°，120°×3=360°，所以正六边形可以密铺。
而其他正多边形都不能密铺。
易错易误点拼成的图案有缝隙或有重叠密铺要求图形的拼接方式既无空隙，又不重叠。
如果有缝隙或者有重叠现象，就不是密铺，如下面两个图案都不是密铺。
典型例题例下面图形中能够密铺的图形有（）。
解析：一种图形能够密铺的关键是图形的角和能够不重叠地铺满360°。
三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°，所以A三角形、B平行四边形、E四边形、G梯形都可以密铺。
在所有正多边形中，只有等边三角形、正方形、正六边形能密铺，其他正多边形都不能密铺。
圆形铺的时候有缝隙，所以不能密铺。
因此D正六边形可以密铺，C正五边形、F正八边形、H圆形均不能密铺。
答案：A，B，D，E，G。
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平面图形密铺的特点
(1) 用一种或几种全等图形进行拼接。
(2) 拼接处不留空隙、不重叠。
(3) 连续铺成一片。
能密铺的图形在一个拼接点处的特点是：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于
360o,并使相等的边互相重合.
问题 1：用形状大小完全相同的正三角形能否密铺？观察每个拼接点处有几个角？他们之间有什么关系？用大小完全相同的正三角形可以密铺，每个拼接点处有六个角，他们的和为 360 度所以，用 6 个这样的三角形就可以组合起来密铺成一个平面。
问题 2：用同一种正方形可以密铺吗？观察每个拼接点处有几个角？他们之间有什么关系？
拿出自制的正方形演示拼接，观察分析，小组交流探讨出结论。
也可以密铺，每个拼接点处有四个角，他们的和也是 360 度。
问题 3：正五、六边形能否密铺？正七、八边形呢？请简述你的理由。
通过上面的长方形、正方形的学习的方法学生很快就会知道：正六边形能密铺。
因为正六边形的每个内角都120度, 在每个拼接点处，恰好能容纳下3 个内角，而且相互不重叠，没有空隙。
而正五边形的每个内角都是 108°， 360 不是 108 的整数倍。
在每个拼接点处，三个内角之和为 324°，小于 360°，而四个内角之和又大于 360°。
在每个拼接处，拼三个内角不能保证没空隙，而拼四个角时，必定有重叠现象. 通过实际的拼摆、探究看一看得出 : 要用正多边形密铺成一个平面的关键是看：这种正多边形的一个内角的倍数是否是 360°，在正多边形里，正三角形的每个内角都是 60°，正四边形的每个内角都是 90°，正六边形的每个内角都是 120°，这三种多边形的一个内角的倍数都是 360°，而其他的正多边形的每个内角的倍数都不是360°，所以说：在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以密铺，而其他的正多边形不可密铺。
只有正三角形、正方形和正六边形可以密铺，其他正多边形不可以密铺吗？
探究二：用一种任意多边形密铺
问题1:用任意几个全等的三角形能否密铺？观察每个拼接点处有几个角？他们与这种三角形有什么关系？（学生分组拼接、讨论，寻找规律，教师巡视指导）结论：任意全等的一种三角形可以密铺，每个拼接点处有六个角（其中
有三组分别相等）这六个角的和是360。
问题2:用任意几个全等的四边形呢？（通过学生动手的拼摆，讨论等多种形式得出结论）结论：任意全等的一种四边形也可以密铺，在每个拼接点处有四个角，这四个角的和是360度。
师：通过以上几种图形的拼摆你能总结出什么规律吗？
从拼接活动中，我们知道了：要用几个形状、大小完全相同的图形不留空隙、不重叠地密铺一个平面，需使得拼接点处的各角之和为360。
单独使用正方形，等边三角形可以密铺•
单独使用不规则四边形可以密铺• 结论：1.任意全等的三角形能密铺，在每个拼接点处有六个角，而这六个角的和恰好是这个三角形的内角和的两倍，也就是它们的和为360o。
2. 任意全等的四边形能密铺，在每个拼接点处有四个角，而这四个角的和恰好是这个四边形的内角和，也就是它们的和为 3600。
密铺的关键是每个拼接点处的几个角拼在一起恰好组成一个360 o的周角。
正多边形密铺的条件：一种正多边形是否可以密铺与其内角度数有关。
内角度数可以整除360o，则可以密铺，反之则不能密铺。
用一种正多边形可以密铺的只有正三角形、正方形和正六边形。
四、归纳小结
1、平面图形的密铺指没有空隙和不重叠的拼接；
2、密铺的关键是几个角拼在一起恰好组成一个 360o的周角；
3、用一种多边形密铺时，三角形、四边形和正六边形都能密铺；。