二次根式全章教案(湘教版八年级下册)
初中数学初二数学下册《二次根式的运算》教案、教学设计
3.拓展题：针对学有余能力。
-探究题：引导学生自主探究二次根式的性质和运算规律，培养他们的探究精神。
-竞赛题：挑选数学竞赛中与二次根式相关的题目，鼓励学生挑战自我，提升竞争力。
1.基础题：完成课本相关练习题，巩固二次根式的性质、化简方法和运算规律。
-选择题：让学生通过选择题的形式，检验对二次根式概念的理解。
-计算题：设计不同类型的二次根式运算题目，让学生在练习中熟练掌握运算技巧。
2.提高题：根据学生的实际水平，适当增加难度，培养学生的逻辑思维能力和数学素养。
-综合题：将二次根式与其他数学知识相结合，设计综合性的题目，提高学生解决问题的能力。
4.设计丰富的例题和练习，帮助学生巩固所学知识，形成技能。
（三）情感态度与价值观
1.养成良好的学习习惯，严谨的学习态度，对数学产生浓厚的兴趣。
2.增强学生的自信心，让他们在克服困难、解决问题的过程中，体验成功的喜悦。
3.培养学生的团队合作意识，让他们在合作交流中学会倾听、尊重、互助。
4.使学生认识到数学在现实生活中的重要作用，激发他们运用数学知识解决实际问题的热情。
4.精讲精练，巩固知识
精选典型例题，进行详细讲解，帮助学生掌握解题思路和方法。同时，设计不同难度的练习题，让学生在练习中巩固所学知识。
5.及时反馈，调整教学
通过课堂提问、课后作业等方式，了解学生的学习情况，针对问题进行个别辅导，调整教学策略。
6.拓展延伸，提高能力
设计具有一定难度的拓展题，引导学生运用二次根式解决实际问题，提高他们的数学应用能力。
7.关注情感，激发兴趣
在教学过程中，关注学生的情感态度，鼓励他们积极参与课堂活动，体验数学学习的乐趣。
数学湘教版八年级下《二次根式和它的化简》教案1
4.1 二次根式和它的化简第一课时教学内容二次根式的概念及其运用教学目标a≥0）的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．教学重难点关键1（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；2（a≥0）”解决具体问题．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：已知反比例函数y=3x，那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是___________．问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．AC问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．老师点评：问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以，）．问题2：由勾股定理得问题3：由方差的概念得S= 二、探索新知a ≥0）•的式子叫做二次根式，”称为二次根号．（学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？3．当a<0有意义吗？ 老师点评:（略）例1．下列式子，哪些是二次根式，、1xx>0）、、、1x y+x ≥0，y •≥0）．分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号；第二，被开方数是正数或0．（x>0）、（x ≥0，y ≥0）；不是二次根1x、1x y +．例2．当x 是多少时，在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，能有意义．解：由3x-1≥0，得：x ≥13当x ≥13在实数范围内有意义． 三、巩固练习 教材练习1、2、3．四、应用拓展例3．当x 11x +在实数范围内有意义？分析：11x +在实数范围内有意义，0和11x +中的x+1≠0． 解：依题意，得23010x x +≥⎧⎨+≠⎩由①得：x ≥-32由②得：x ≠-1当x ≥-32且x ≠-111x +在实数范围内有意义．例4(1)已知，求xy的值．(答案:2)(2)=0，求a 2004+b 2004的值．(答案:25) 五、归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握：1a ≥0）的式子叫做二次根式，”称为二次根号．2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 六、布置作业1．教材复习巩固1、综合应用5． 2．选用课时作业设计．第一课时作业设计 一、选择题1．下列式子中，是二次根式的是（ ）A ．BCD ．x 2．下列式子中，不是二次根式的是（ ）A B C D ．1x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ）A．5 BC．15D．以上皆不对二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式．2．面积为a的正方形的边长为________．3．负数________平方根．三、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．当x是多少时，x+x2在实数范围内有意义？3．4.x有（）个．A．0 B．1 C．2 D．无数5.已知a、b，求a、b的值．第一课时作业设计答案:一、1．A 2．D 3．B二、1a≥0）23．没有三、1．设底面边长为x，则0.2x2=1，解答：2．依题意得：230xx+≥⎧⎨≠⎩，32xx⎧≥-⎪⎨⎪≠⎩∴当x>-32且x≠0＋x2在实数范围内没有意义．3.134．B5．a=5，b=-44.1 二次根式和它的化简第二课时教学内容1a≥0）是一个非负数；2．）2=a（a≥0）．教学目标（a≥02=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．a≥0）是一个非负数，用具体数2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．教学重难点关键1a≥0）是一个非负数；）2=a（a≥0）及其运用．2a≥0）是一个非负数；•用探究的方法导出2=a（a≥0）．教学过程一、复习引入（学生活动）口答1．什么叫二次根式？2．当a≥0a<0老师点评（略）．二、探究新知议一议：（学生分组讨论，提问解答）a≥0）是一个什么数呢？老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出做一做：根据算术平方根的意义填空：）2=_______；）2=_______；2=______；）2=_______；2=______；）2=_______；）2=_______．是44的非）2=4．同理可得：）2=2，2=9，2=3，2=13，2=72，）2=0，所以例1 计算1．2 2．（2 3．2 4．（2）2分析2=a （a ≥0）的结论解题．解：）2 =32，（2 =32·2=32·5=45，2=56，）274=． 三、巩固练习 计算下列各式的值：2 2 2）2 （）222-四、应用拓展 例2 计算1．2（x ≥0） 2．2 3．24．）2分析：（1）因为x ≥0，所以x+1>0；（2）a 2≥0；（3）a 2+2a+1=（a+1）≥0； （4）4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2≥0．所以上面的42=a（a≥0）的重要结论解题．解：（1）因为x≥0，所以x+1>02=x+1（2）∵a2≥02=a2（3）∵a2+2a+1=（a+1）2又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0 =a2+2a+1（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2又∵（2x-3）2≥0∴4x2-12x+9≥02=4x2-12x+9例3在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3分析：(略)五、归纳小结本节课应掌握：1a≥0）是一个非负数；2．2=a（a≥0）;反之:a=2（a≥0）．六、布置作业1．教材复习巩固2．（1）、（2）7．2．选用课时作业设计．第二课时作业设计一、选择题1个数是（）．A．4 B．3 C．2 D．12．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（）．A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a=0二、填空题1．（2=________．2_______数． 三、综合提高题 1．计算（1）2 （2）-）2 （3）（12）2 （4）（ 2(5) 2．把下列非负数写成一个数的平方的形式: （1）5 （2）3.4 （3）16（4）x （x ≥0）3=0，求x y 的值． 4．在实数范围内分解下列因式: （1）x 2-2 （2）x 4-9 3x 2-5第二课时作业设计答案: 一、1．B 2．C 二、1．3 2．非负数三、1．（1）2=9 （2）-2=-3 （3）（12）2=14×6=32（4）（2=9×23=6 (5)-62．（1）5=2 （2）3.4=2（3）16=2 （4）x=2（x ≥0）3．103304x y xx y-+==⎧⎧⎨⎨-==⎩⎩x y=34=814.（1）x2-2=（）（）（2）x4-9=（x2+3）（x2-3）=（x2+3）（（）(3)略4.1二次根式和它的化简第三课时教学内容a（a≥0）教学目标（a≥0）并利用它进行计算和化简．（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．教学重难点关键1a（a≥0）．2．难点：探究结论．3．关键：讲清a≥0a才成立．教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1a≥0）的式子叫做二次根式；2a≥0）是一个非负数；3．)2＝a（a≥0）．那么，我们猜想当a≥0是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．二、探究新知（学生活动）填空：=_______；=________=________． （老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：=2110=2337．例1 化简（1 （2 （3 （4分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32（a ≥0）•去化简．解：（1 （2=4（3 （4 三、巩固练习 教材练习2． 四、应用拓展例2 填空：当a ≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a 可以是什么数？（2，则a 可以是什么数？（3，则a 可以是什么数？分析（a ≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（ ）2”中的数是正数，因为，当a ≤0-a ≥0．（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可│a │，而│a │要大于a ，只有什么时候才能保证呢？a<0．解：（1，所以a≥0；（2，所以a≤0；（3）因为当a≥0，，即使a>a所以a不存在；当a<0，，即使-a>a，a<0综上，a<0例3当x>2-分析：(略)五、归纳小结（a≥0）及其运用，同时理解当a<0a的应用拓展．六、布置作业1．教材3、4、6、8．2．选作课时作业设计．第三课时作业设计一、选择题1）．A．0 B．23C．423D．以上都不对2．a≥0（）．A BC D．二、填空题1．．2是一个正整数，则正整数m的最小值是________．三、综合提高题1．先化简再求值：当a=9时，求甲的解答为：原式（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2．若│1995-a│=a，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│。
八年级下册二次根式教案
八年级下册二次根式教案目标：1. 理解二次根式的基本概念和性质。
2. 掌握解二次根式的基本方法和技巧。
3. 能够运用二次根式解决实际问题。
教学重点：1. 掌握二次根式的运算规则。
2. 理解二次根式的意义和应用。
3. 能够灵活运用二次根式解决实际问题。
教学难点：1. 理解二次根式与平方根的关系。
2. 能够正确运用二次根式解决复杂的实际问题。
教学准备：1. 教师：教案、黑板、粉笔、教辅材料。
2. 学生：教科书、习题本。
教学过程：一、导入（5分钟）教师通过提问的方式，复习上一节课所学的内容。
例如：平方根的定义和性质。
二、新知呈现（15分钟）1. 教师向学生介绍二次根式的概念，并对其进行解释。
2. 教师通过例题，向学生展示如何将一个数的平方根表示为二次根式的形式。
3. 教师讲解二次根式的运算规则，并通过例题进行演示。
三、巩固练习（20分钟）1. 教师提供一些基础练习题，让学生巩固对二次根式的运算规则的理解。
2. 学生独立完成练习题，并以小组为单位互相讨论和解答问题。
四、拓展应用（15分钟）1. 教师提供一些实际生活中的问题，让学生运用二次根式解决。
2. 学生以小组合作的形式完成问题，并向全班展示解题过程。
五、总结归纳（5分钟）教师对本节课的重点内容进行总结概括，并强调学生需要掌握的要点。
六、课后作业（5分钟）1. 学生完成课后习题，巩固对二次根式的运算规则的掌握。
2. 学生预习下一节课的内容。
扩展活动：教师可引导学生进行更多的应用性训练，如解决三角形面积、体积等问题，以提高学生对二次根式的应用能力。
教学反思：在课堂教学中，教师应注重引导学生思考和解决问题的能力培养，充分发挥学生的主体性和积极性。
同时，教师也要注意对学生进行巩固性的训练和练习，确保学生对二次根式的运算规则的掌握和理解。
八年级数学二次根式全章教案4篇
八年级数学二次根式全章教案4篇八年级数学二次根式全章教案篇1一、学习目标：1.经历探索平方差公式的过程.2.会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.二、重点难点重点：平方差公式的推导和应用难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式.三、合作学习你能用简便方法计算下列各题吗?(1)2001×1999 (2)998×1002导入新课：计算下列多项式的积.(1)(x+1)(x-1) (2)(m+2)(m-2)(3)(2x+1)(2x-1) (4)(x+5y)(x-5y)结论：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.即：(a+b)(a-b)=a2-b2四、精讲精练例1：运用平方差公式计算：(1)(3x+2)(3x-2) (2)(b+2a)(2a-b) (3)(-x+2y)(-x-2y)例2：计算：(1)102×98 (2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)随堂练习计算：(1)(a+b)(-b+a) (2)(-a-b)(a-b) (3)(3a+2b)(3a-2b)(4)(a5-b2)(a5+b2) (5)(a+2b+2c)(a+2b-2c) (6)(a-b)(a+b)(a2+b2)五、小结：(a+b)(a-b)=a2-b2第三十五学时：4.2.2. 完全平方公式(一)一、学习目标：1.完全平方公式的推导及其应用.2.完全平方公式的几何解释.二、重点难点：重点：完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用难点：理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算三、合作学习Ⅰ.提出问题，创设情境一位老人非常喜欢孩子.每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们.来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块塘，…(1)第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖?(2)第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖?(3)第三天这(a+b)个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖?(4)这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多?多多少?为什么?Ⅱ.导入新课计算下列各式，你能发现什么规律?(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=_______;(2)(m+2)2=_______;(3)(p-1)2=(p-1)(p-1)=________;(4)(m-2)2=________;(5)(a+b)2=________;(6)(a-b)2=________.两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)这两个数的积的二倍的2倍.(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2四、精讲精练例1、应用完全平方公式计算：(1)(4m+n)2 (2)(y- )2 (3)(-a-b)2 (4)(b-a)2例2、用完全平方公式计算：(1)1022 (2)992随堂练习第三十六学时：14.2.2 完全平方公式(二)一、学习目标：1.添括号法则.2.利用添括号法则灵活应用完全平方公式二、重点难点重点：理解添括号法则，进一步熟悉乘法公式的合理利用难点：在多项式与多项式的乘法中适当添括号达到应用公式的目的.三、合作学习Ⅰ.提出问题，创设情境请同学们完成下列运算并回忆去括号法则.(1)4+(5+2) (2)4-(5+2) (3)a+(b+c) (4)a-(b-c)去括号法则：去括号时，如果括号前是正号，去掉括号后，括号里的每一项都不变号;如果括号前是负号，去掉括号后，括号里的各项都要变号。
八年级数学二次根式教学设计
八年级数学（下册）教学设计
第四章二次根式4.1二次根式和它的化简（第一课时）
板书设计：
二次根式
定义：一般地，我们把形如、万(a20)的式子叫做二次根式。
“「”称为二次根号。
性质1:而(a>0)
性质2 :(、a)2 =a( a>0)
性质3： a 2 2 = | a | ={ a(a>o)
课后反思:
数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。
有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。
从已有的知识经验中
生长新的知识经验的过程实际上就是由学生自己建构知识的过程。
二次根式全章教案(8课时)
初二数学二次根式全章教案授课时间：年月日第周星期课时序号一、课前导学：学生自学课本2-3页内容，并完成下列问题 1. 温故而知新：（1）如果一个数x 的平方等于a ，即2x =a ，那么x 叫做a 的，记为x =，（2）如果一个非负数x 的平方等于a ，即2x =a （0≥x ），那么非负数x 叫做a 的，记为x =， （3）计算下列各式的值：=，=，=，=，=，2)9(=，2．一般地我们把形如（）叫做二次根式，a 叫做_____________， 3. 试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3， 16-， 34， )0(3≥a a ， 12+x4．根据算术平方根意义计算 ：(1) 2)4( (2)（3）2)5.0( （4）2)31(根据计算结果，你能得出结论： （0≥a ）， 5.计算：(1)2)23( (2)2)52(- 二、合作、交流、展示： 1.理解二次根式概念（1）二次根式a 中，字母a 必须满足 ； （2）二次根式与算术平方根有何关系呢？ （3）当0≥a 时，a 是什么数？教 学 过 程 设 计2)3(________)(2=a【归纳】二次根式的双重非负性： 2．当x 取何值时，下列各二次根式有意义（1）； （2）x 322- （3）2)2(-x （4）x--21 3.若，则= ，4．已知，求xy的值．【收获感悟】：， 三、巩固与应用1. 若x -在实数范围内有意义，则x 为（）， A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数2．当x 时，二次根式x 35-有意义，3. 在式子xx+-121中，x 的取值范围是____________.4．在实数范围内因式分解：①72-x ② 4a 2-115a 的值为___________． 6．已知42-x +y x +2＝0，则=-y x _____________. 7．已知+3，求y x 的值．8.拓展提高：已知a 、b =b +4，求a 、b 的值．四、小结：1．二次根式的概念：； 2.二次根式的性质：（1），（2）； 3．巧用非负数解题． 五、作业：《作业本》第1页. 六、课后反思：授课时间： 年 月 日 第 周 星 期 课时序号 43-x 20a -2a b -一、课前导学：学生自学课本第4页内容，并完成下列问题 1.计算：=24=23.0=2)52(=20观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=≥2,0a a 时2．计算：=-2)4(=-2)3.0(=-2)52(=-2)20( 观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=<2,0a a 时 3.【归纳】二次根式的性质：=2a = 4．化简下列各式：（1）=22.0（2）=-2)3.0( （3）=-2)4( （4）()22a =（0<a ）5．代数式：用基本运算符号把连接起来的式子叫做代数式. 二、合作、交流、展示：1.理解二次根式三条基本性质： （1）双重非负性：a 0（） （2）()=2a （） （3） =2a2．【讨论】二次根式的性质：)0()(2≥=a a a 与a a =2有什么区别与联系？教 学 过 程 设 计3．化简下列各式（1）)0(42≥x x (2) 4x （3）)3()3(2≥-a a4．已知2＜x ＜3，化简：3)2(2-+-x x5．已知a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简b b c c a a ---++-22)(.三、巩固与应用 1. 课本第4页练习2； 2．2)4(-π= ；3．a 、b 、c 为三角形的三条边，则=--+-+c a b c b a 2)(________； 4.你能运用公式a a =2比较53与34的大小吗?5．当x = 6．拓展提高：（1）已知0＜x ＜1，化简：4)1(2+-xx －4)1(2-+xx（2）已知实数a 满足a a a =-+-2014)2013(2，求22013-a 的值.四、小结：1.二次根式的性质：，，；2．灵活运用二次根式的性质解题. 五、作业：《作业本》第2页. 六、课后反思：授课时间： 年 月 日 第 周 星 期 课时序号一、课前导学：学生自学课本6-7页内容，并完成下列问题1、探究 ⑴ 计算下列各式，观察计算结果：①×=______ ，=_______ ② × =_______ ，=_______ ③ × =_______ ， =_______ ⑵ 仔细观察上题中的规律，猜想b a ∙＝()0,0≥≥b a (二次根式乘法法则)再例举两个例子验证你的猜想：； 2、计算× ＝；×＝ ；274∙＝ ；123∙＝3、乘法公式反过来得到：=ab ()0,0≥≥b a ，4、填空：⑴=∙=⨯=24248；=∙=⨯=292918；⑵请你用上述方法化简下列二次根式： 12＝； 27＝； 48＝； 72＝； 98＝； 250x ＝；二、合作、交流、展示：1.二次根式的乘法法则：b a ∙＝，注意：乘法法则成立的条件是： （为什么？）2、积的算术平方根的性质（乘法法则的逆向运用）=ab 注意：⑴性质成立的条件是：（为什么？） ⑵如何化简：()()94-⨯-？4994⨯16252516⨯1003636100⨯23563、例题1 计算：⑴3127⨯ ⑵4510152⨯ ⑶1531372⨯-例题2 化简：⑴()()8116-⨯- ⑵3225b a ⑶4499ab ⑷【收获感悟】：如何进行二次根式的化简，例题3 计算：⑴714⨯ ⑵10253⨯ ⑶ xy x 31122⨯-三、巩固与应用 1、等式成立的条件是（ ）A ．x ≥1B ．x ≥-1C ．-1≤x ≤1D ．x ≥1或x ≤-12、下列各等式成立的是（ ）． A．4×2=8B ．5×4=20 C.5×2=10 D ．y x y x +=+224、不改变式子的值，把根号外的数移到根号里面： ⑴=32 ； ⑵313＝；⑶ －=62 5、比较下列两数的大小：⑴227 ⑵347 ⑶23-32-6、已知一个三角形的一条边长为502，这条边上的高为83，求这个三角形的面积.7、计算：（1）6×（-2）； （28、（拓展）化简⑴a a 1 ⑵aa 1-四、小结：1．二次根式的乘法法则：； 2.积的算术平方根的性质：， 五、作业：《作业本》第3页. 六、课后反思：授课时间： 年 月 日 第 周 星 期 课时序号 2212b a 1112-=-∙+x x x 55532532686一、课前导学：学生自学课本第8-9页内容，并完成下列问题 1、写出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质b a ∙＝，=ab2、计算： （1）38×（-46） （2）3612ab ab ⨯3、填空： （1；（2； （3；（4．你能发现什么规律呢？一般地，对二次根式的除法规定：二次根式的除法法则商的算术平方根的性质 4、计算：（1）312（2）16141÷5、化简：（1）257（2）932（3）)0,0(42522≥>b a a b 二、合作、交流、展示：仿照课本例题利用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质完成以下题目1、计算：（1（2（3）52154【温馨提示】：当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商的系数，教 学 过 程 设 计被开方数之商为被开方数。
八年级数学下册湘教版4.1 二次根式3教案湘教版
4.1 二次根式教学内容a（a≥0）教学目标（a≥0）并利用它进行计算和化简．（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．教学重难点关键1a（a≥0）．2．难点：探究结论．3．关键：讲清a≥0a才成立．教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1a≥0）的式子叫做二次根式；2a≥0）是一个非负数；3．2＝a（a≥0）．那么，我们猜想当a≥0是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．二、探究新知（学生活动）填空：=_______=______；=________．（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：=11023=0=37．（a≥0）例1 化简（1（2（3（4分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32（a≥0）•去化简．解：（1（2（3（4三、巩固练习教材P7练习2．四、应用拓展例2 填空：当a≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a可以是什么数？（2，则a可以是什么数？（3，则a可以是什么数？分析（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（）2”中的数是正数，因为，当a≤0-a≥0．（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0．解：（1，所以a≥0；（2，所以a≤0；（3）因为当a≥0，即使a>a所以a不存在；当a<0，，即使-a>a，a<0综上，a<0例3当x>2五、归纳小结（a≥0）及其运用，同时理解当a<0a的应用拓展．六、布置作业1．教材P8习题21．1 3、4、6、8．2．选作课时作业设计．第三课时作业设计一、选择题1+）．A．0 B．23C．423D．以上都不对2．a≥0比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（）．ABCD．二、填空题1．=________．2是一个正整数，则正整数m的最小值是________．三、综合提高题1．先化简再求值：当a=9时，求甲的解答为：原式（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2．若│1995-a│=a，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│。
八年级数学下册《二次根式》教案、教学设计
4.介绍二次根式的有理化方法，如将√2/3有理化，并解释有理化的意义。
5.结合实际案例，讲解二次根式在实际问题中的应用，如求矩形面积、三角形面积等。
（三）学生小组讨论，500字
1.教师将学生分成若干小组，每组分配一个讨论题目，如：“二次根式的性质有哪些？请举例说明。”
5.培养学生的集体荣誉感，使学生懂得团结协作的重要性。
二、学情分析
八年级学生已经具备了一定的数学基础，对算术运算、代数式等概念有了较为深入的了解。在此基础上，学生对二次根式的学习有以下特点：
1.学生对根式的概念已有初步认识，但二次根式的性质和运算法则尚不熟悉，需要通过具体实例和练习逐步引导。
2.学生在解决实际问题时，对二次根式的运用能力有待提高。教师应注重培养学生的实际应用能力，引导学生将所学知识运用到生活实践中。
3.教师选取部分学生的作业进行展示，组织学生讨论解题思路和技巧。
4.针对学生的错误，教师进行错题分析，帮助学生找出原因，提高解题能力。
（五）总结归纳，500字
1.教师引导学生回顾本节课所学内容，总结二次根式的定义、性质、化简方法、有理化方法等。
2.学生分享学习心得，交流学习过程中遇到的困难和解决方法。
（二）过程与方法
1.通过问题导入，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究二次根式的性质和运算法则。
2.利用实际例子，让学生体会二次根式在生活中的应用，培养学生学以致用的能力。
3.采用小组合作、讨论交流等形式，让学生在合作中发现问题、解决问题，提高学生的团队协作能力。
4.设计不同难度的练习题，使学生在解决问题中逐步掌握二次根式的化简、有理化等方法，提高学生的解题能力。
八年级数学下册 二次根式复习课学案 湘教版
二次根式复习课学案教学目标：回顾思考本意内容，进一步了解二次根式有意义的条件，熟练进行二次根式的运算。
重点：梳理所学内容，形成知识体系难点：二次根式的化简与运算教学过程：一、知识回顾提问：1.什么叫二次根式？ 2.二次根式的性质是什么？如何对二次根式进行化简？3.二次根式的加、减、乘、除法怎样进行？4.二次根式的混合运算怎样进行？ 对以上问题，大家逐个思考、交流。
二、归纳知识()的式子叫二次根式。
0≥a a 2.二次根式的性质：()()()()()()()()()()＝？思考： 2220,040,030201a b a a b ab b a b a ab a a a a a a ≥>=≥≥•=≥=≥= （1）二次根式的加、减运算，需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式的系数相加减，被开方数不变．（2）乘除法法则： ()()()0,00,0≥>=≥≥=•b a a b ab b a ab b a （3）混合运算：类同于整式乘法，注意合理使用运算律和乘法公式三、巩固练习()()()()()()()()()()()()()()()_____58_____527_____56_____645_____524_____73_____52_____5.0122222222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡====⨯===－ － － － － 3＝＿＿＿＿＿＿ 0.5＝＿＿＿＿＿＿ 8＝＿＿＿＿＿＿()()()()224123312712-+++--+x x x x x ()()()()225224844561--⨯ ()()33230024832747221503a a a a a a -+- － ()()()()()612427648106232232522÷+-+- － 提高练习：1.若ab<0则代数式b a 2可化简为( )2.如下：，甲、乙两同学的解法化简231+ 甲乙....A BCD --=====对于甲、乙两同学的解法，正确的判断是( )A.甲、乙的解法都正确B.甲正确、乙不正确C.甲、乙都不正确D.乙正确、甲不正确1<x<4时，化简：的结果是_________4.计算：四、小结：本节课复习了二次根式概念、性质及其运算，要求同学们会熟练进行二次根式的运算，并会对结果进行化简处理。
八年级下册二次根式的教案
八年级下册二次根式的教案一、教学背景分析本节课是八年级下册数学教学内容的一部分，主要涉及二次根式的概念及相关运算。
二次根式是八年级数学学习中的重要内容，是学生进一步掌握代数运算技巧和解决实际问题的基础。
本节课的目标是使学生能够理解二次根式的概念、进行二次根式的运算，并能运用所学知识解决实际问题。
二、教学目标1. 知识目标：a. 理解二次根式的概念与性质；b. 掌握二次根式的化简和展开运算；c. 能够运用二次根式解决实际问题。
2. 能力目标：a. 培养学生的分析和解决问题的能力；b. 培养学生的逻辑思维和数学推理能力。
3. 情感目标：a. 培养学生对数学的兴趣和探究精神；b. 培养学生的合作意识和团队意识。
三、教学重难点1. 教学重点：a. 理解二次根式的概念；b. 掌握二次根式的化简和展开运算。
2. 教学难点：a. 将二次根式与实际问题联系起来，运用二次根式解决问题。
四、教学过程1. 情境导入（5分钟）将一个红果梨和一个青果梨放在桌子上，问学生两个梨的总重是多少？引导学生思考，是否可以用直接相加的方法得到答案？导出结论：两个梨的重量与它们具体的重量值有关，不能直接相加，需要通过某种运算方法来得到准确的结果。
2. 概念解释（10分钟）a. 引入二次根式的概念：通过介绍正方形面积问题，引导学生总结出根号的含义。
b. 通过一些具体的例子，解释二次根式与实际问题之间的关系，并引导学生体会并总结二次根式的一般形式。
3. 基本运算（20分钟）a. 化简二次根式：通过多个具体的例子，让学生了解化简二次根式的基本方法，培养学生对二次根式化简的灵活运用能力。
b. 展开二次根式：通过多个具体的例子，让学生了解展开二次根式的基本方法，培养学生对二次根式展开的灵活运用能力。
4. 实际问题应用（15分钟）通过一些实际问题的讨论和解答，让学生在解决问题的过程中巩固和运用所学的二次根式知识。
a. 设置一些与长度、面积相关的实际问题，引导学生用二次根式解决问题。
八年级数学下册《二次根式的运算》教案、教学设计
四、教学内容与过程
（一）导入新课，500字
在导入新课环节，我将结合生活实际，提出以下问题：“同学们，你们在生活中遇到过不能直接用整数或分数表示的数据吗？比如，一块正方形的桌布，边长是5厘米，它的面积是多少？”通过这个问题，引导学生回顾已学的面积公式，并引出二次根式的概念。
4.通过二次根式的学习，引导学生感受数学的简洁美和统一美，培养学生的审美情趣。
二、学情分析
八年级学生已经具备了一定的数学基础，掌握了实数的初步概念和基本运算，具备了一定的逻辑思维能力和解决问题的能力。在此基础上，他们对二次根式的学习既有兴趣，也可能存在一定的困难。具体学情分析如下：
1.学生对二次根式概念的理解尚不深入，容易混淆二次根式与分数、整数的运算规律。
（二）过程与方法
1.通过导入生活中的实际问题，激发学生对二次根式的学习兴趣，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识。
2.采用探究式教学方法，引导学生自主发现二次根式的性质和运算规律，培养学生的观察、分析和总结能力。
3.设计丰富的课堂练习，巩固学生对二次根式的理解和运用，提高学生的运算能力和逻辑思维能力。
1.基础练习题：包括二次根式的性质、运算规律、化简、分解和合并等方面的题目。这些题目旨在帮助学生巩固所学知识，提高运算技巧。建议学生完成以下题目：
- (1)计算：$\sqrt{27} + \sqrt{12} - \sqrt{18}$
- (2)化简：$\frac{\sqrt{72}}括课堂提问、作业、测验等，全面了解学生的学习情况；
-关注学生的个体差异，给予每个学生积极的评价和鼓励，提高学生的自信心；
-引导学生自我评价，反思学习过程中的优点和不足，促进学生的自我提高。
湘教版八年级下册第四章二次根式教案新部编本
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校湘教版八年级下册第四章二次根式主备人：攸县大同桥中学陈一灿教学目标：1、复习回顾二次根式的有关性质2、掌握二次根式的意义3、利用二次根式的性质化简重点：利用二次根式的性质化简难点：利用二次根式的性质化简教学流程：(一)自主学习预案自主探究：自学P129—131。
完成下列练习：必做题1、如果一个数的平方等于a（a≥0），这个数就叫做a的平方根，表示为, 数a的非负的平方根叫做算术平方根，表示为。
例如：2的平方根是，其中算术平方根是。
0的平方根是，0 的算术平方根是。
-2的平方根。
2、写出下列a的取值范围。
3、化简：，。
仔细体会这两个公式的区别例如：，，。
，。
选做题4、求x的取值范围：5、化简：（二）、质疑反馈（三）、交流展示已知。
提示：由“几个非负数的和等于0，则这几个非负数都等于0”可知a=，b= 。
可求出：= ，= ，然后代入化简。
解：（四）巩固检测：必做题1、若式子有意义，则x 的取值范围是。
当x 满足时，有意义。
2、化简：选做题3、化简：（五）、教学反思：在二次根式这一章的学习中，重点是是掌握二次根式的运算，教学的关键是理解二次根式的性质，这块教学内容是在实数的基础上，着重研究二次根式。
在本章教学中，存在以下问题：1、在教学设计中，仍然存在着对学情分析不足，主要是过高估计学生的学习能力，一方面每节课设计的教学内容过多，经常一节课结束后还有不少内容没有完成，另一方面对以前学过的知识的复习工作做的不够，导致后续的新知识的学习遇到不少麻烦。
如对二次根式的性质的应用时，考虑到以前已经学过，自以为学生不存在困难，就没有重点分析，结果导致不少学生在二次根式的化简过程中因此而出错。
2、八年级数学是新教材，在教学过程中，我的教学理念还没有及时更新，有时对新老教材的区别关注不够，从而导致教学不到位。
八年级数学下册《二次根式》教案
八年级数学下册《二次根式》教案一、教学目标1. 知识目标（1）能够掌握二次根式的概念和性质。
（2）能够对二次根式进行合并、分解、化简和比较大小。
2. 能力目标（1）能够掌握解二次根式的方法。
（2）能够运用二次根式解决一些实际问题。
3. 情感目标（1）培养学生自信、探究和创新的精神。
（2）培养学生团结、合作和交流的能力。
二、教学重点和难点1. 教学重点：掌握二次根式的概念和性质，能够对二次根式进行合并、分解、化简和比较大小。
2. 教学难点：能够掌握解二次根式的方法，并能够运用二次根式解决一些实际问题。
三、教学过程1. 导入新课（1）导入问题：“如果一支火箭要在太空中行驶，需要吸收多少能量才能达到其最大速度？”请学生回答该问题。
（2）教师解释：火箭在太空中行驶时需要很大的能量，而二次根式在数学中也有着类似的作用。
2. 学习基础（1）导入问题：“学过的开放引式能够化为二次根式吗？为什么？”请学生回答该问题。
（2）教师解释：“开方引式”和“二次根式”是等价的，因为一个开方引式可以化为一个二次根式，而一个二次根式也可以化为一个开方引式。
（3）学生完成用二次根式计算的类比练习。
3. 学习二次根式的概念和性质（1）学习什么是二次根式。
（2）学习二次根式的加减法、乘法、除法和化简。
（3）学习二次根式的比较大小。
4. 学习解二次根式的方法（1）学习平方完全平方公式。
（2）学习用公式解一元二次方程。
（3）学习用二次根式解一些实际问题。
5. 练习巩固（1）要求学生进行写作练习，将所学知识转化为文字，同时要求学生掌握解题思路和解题方法。
（2）要求学生进行随堂练习，检测学生的学习情况，及时纠正错误。
6. 课堂小结本节课主要介绍了二次根式的概念、性质、解题方法和实际应用。
同时，还要求学生进行写作和随堂练习，以检测学生的掌握程度。
在下一节课中，我们将继续学习二次函数和图像的知识。
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4.1 二次根式和它的化简（第一课时）教学内容：二次根式的概念及其运用教学目标：a≥0）的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．教学重难点关键：1a≥0）的式子叫做二次根式的概念；2（a≥0）”解决具体问题．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：已知反比例函数y=3x，那么它的图像在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是___________．问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．BAC问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．老师点评：问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以．问题2：由勾股定理得问题3：由方差的概念得S=二、探索新知都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，（a ≥0）•的式子叫做二次根式，”称为二次根号． （学生活动）议一议：1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0有意义吗？ 老师点评:（略）例11x（x>0）、、1x y+、x ≥0，y•≥0）．分析；第二，被开方数是正数或0．（x>0）、（x ≥0，y ≥0）；不是二次根式的1x、1x y +．例2．当x分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x ≥13 当x ≥13在实数范围内有意义． 三、巩固练习 教材练习1、2、3． 四、应用拓展例3．当x 11x +在实数范围内有意义？分析：11x +在实数范围内有意义，0和11x +中的x+1≠0．解：依题意，得23010x x +≥⎧⎨+≠⎩ 由①得：x ≥-32 由②得：x ≠-1当x ≥-32且x ≠-111x +在实数范围内有意义．例4(1)已知，求xy的值．(答案:2)(2)=0，求a2004+b2004的值．(答案:2 5 )五、归纳小结（学生活动，老师点评）本节课要掌握：1（a≥0）的式子叫做二次根式，2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．六、布置作业1．教材复习巩固1、综合应用5．2．选用课时作业设计．第一课时作业设计一、选择题1．下列式子中，是二次根式的是（）A．B C D．x22．下列式子中，不是二次根式的是（）A B C D．1 x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）A．5 B C．15D．以上皆不对二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式．2．面积为a的正方形的边长为________．3．负数________平方根．三、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．当x2在实数范围内有意义？3．4.x有（）个．A．0 B．1 C．2 D．无数5.已知a、b，求a、b的值．第一课时作业设计答案:一、1．A 2．D 3．B 二、1a≥0）23．没有三、1．设底面边长为x，则0.2x2=1，解答：2．依题意得：2300x x +≥⎧⎨≠⎩，320x x ⎧≥-⎪⎨⎪≠⎩∴当x>-32且x ≠0时，x ＋x 2在实数范围内没有意义． 3. 134． B 5． a=5，b=-44.1 二次根式和它的化简（第二课时）教学内容 1a ≥0）是一个非负数； 2．）2=a （a ≥0）． 教学目标a ≥0）2=a （a ≥0），并利用它们进行计算和化简．a ≥0）是一个非负数，用具体数据结2=a （a ≥0）；最后运用结论严谨解题． 教学重难点关键1a ≥0）是一个非负数；2=a （a ≥0）及其运用．2．难点、关键：a ≥0）是一个非负数；•用探究的方法导出）2=a （a ≥0）．教学过程一、复习引入 （学生活动）口答1．什么叫二次根式？ 2．当a ≥0叫什么？当a<0二、探究新知议一议：（学生分组讨论，提问解答）a ≥0）是一个什么数呢？老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出做一做：根据算术平方根的意义填空：）2=_______；）2=_______；2=______；）2=_______；2=______；2=_______；）2=_______．是4的算术平方根，是一个平方等于4的非负数，）2=4．同理可得：2=2，2=9，）2=3，2=13，）2=72，）2=0，所以 例1 计算1．2 2．（2 3．2 4． 2分析）2=a （a ≥0）的结论解题．解：2 =32， （2 =32·）2=32·5=45，2=56， ）274=．三、巩固练习 计算下列各式的值： 2 2（4）2 ）2 （2 22-四、应用拓展 例2 计算1．2（x ≥0）2． 2 3．2 4．2 分析：（1）因为x ≥0，所以x+1>0； （2）a 2≥0； （3）a 2+2a+1=（a+1）≥0；（4）4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2≥0．所以上面的42=a （a ≥0）的重要结论解题．解：（1）因为x ≥0，所以x+1>0 2=x+1（2）∵a 2≥02=a 2（3）∵a 2+2a+1=（a+1）2 又∵（a+1）2≥0，∴a 2+2a+1≥0 2+2a+1 （4）∵4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2 又∵（2x-3）2≥0∴4x 2-12x+9≥02=4x 2-12x+9例3在实数范围内分解下列因式: （1）x 2-3 （2）x 4-4 (3) 2x 2-3 五、归纳小结 本节课应掌握：1a ≥0）是一个非负数； 2．2=a （a ≥0）;反之:a=2（a ≥0）． 六、布置作业 1．教材复习巩固2．（1）、（2） 7．2．选用课时作业设计． 第二课时作业设计 一、选择题1、是（ ）． A ．4 B ．3 C ．2 D ．12．数a 没有算术平方根，则a 的取值范围是（ ）． A ．a>0 B ．a ≥0 C ．a<0 D ．a=0 二、填空题1．（）2=________． 2_______数． 三、综合提高题1．计算 （1）2 （2）-）2 （3）（12）2 （4）（2(5) 2．把下列非负数写成一个数的平方的形式: （1）5 （2）3.4 （3）16（4）x （x ≥0）3=0，求x y 的值．4．在实数范围内分解下列因式: （1）x 2-2 （2）x 4-9 3x 2-5 第二课时作业设计答案: 一、1．B 2．C 二、1．3 2．非负数三、1．（1）2=9 （2）-）2=-3（3）（12）2=14×6=32 （4）（）2=9×23=6 (5)-62．（1）5=2 （2）3.4=2 （3）16=2 （4）x=）2（x ≥0）3．103304x y x x y -+==⎧⎧⎨⎨-==⎩⎩ x y =34=81 4.（1）x 2-2=（）（）（2）x 4-9=（x 2+3）（x 2-3）=（x 2+3）（（） (3)略4.1二次根式和它的化简（第三课时）教学内容：a （a ≥0）教学目标： （a ≥0）并利用它进行计算和化简．（a ≥0），并利用这个结论解决具体问题．教学重难点关键 1a （a ≥0）． 2．难点：探究结论．3．关键：讲清a ≥0a 才成立． 教学过程一、复习引入： 老师口述并板书上两节课的重要内容；1a ≥0）的式子叫做二次根式；2a ≥0）是一个非负数；3．2＝a （a ≥0）．那么，我们猜想当a ≥0是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题． 二、探究新知 （学生活动）填空：=_______；=________=________． （老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：=0.01110=23=37．例1 化简（1（2（3 （4分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32（a ≥0）•去化简．解：（1（2（3（4 三、巩固练习 教材练习2．四、应用拓展例2 填空：当a ≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a 可以是什么数？（2，则a 可以是什么数？（3，则a 可以是什么数？分析（a ≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（ ）2”中的数是正数，因为，当a ≤0-a ≥0．（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）│a │，而│a │要大于a ，只有什么时候才能保证呢？a<0．解：（1，所以a ≥0；（2，所以a ≤0；（3）因为当a ≥0，即使a>a 所以a 不存在；当a<0，要，即使-a>a ，a<0综上，a<0例3当x>2． 五、归纳小结本节课应掌握：（a ≥0）及其运用，同时理解当a<0a 的应用拓展．六、布置作业 1．教材3、4、6、8． 2．选作课时作业设计． 第三课时作业设计一、选择题1）．A．0 B．23C．423D．以上都不对2．a≥0）．A BC D．二、填空题1．=________．2是一个正整数，则正整数m的最小值是________．三、综合提高题1．先化简再求值：当a=9时，求的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式（1-a）=1；乙的解答为：原式（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2．若│1995-a│=a，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│答案:一、1．C 2．A 二、1．-0．02 2．5三、1．甲甲没有先判定1-a是正数还是负数2．由已知得a-•2000•≥0，•a•≥2000所以=a，a-2000=19952，所以a-19952=2000． 3. 10-x4.2.1 二次根式的乘法教学目标1 进一步加深对积的算式平方根的性质的理解，体会它在二次根式乘法中的价值，同时进一步掌握二次根式的化简。
2 使学生会逆用算术平方根的性质进行二次根式的乘法运算。
3 通过逆用积的算术平方根的性质进行二次根式的乘法运算培养学生逆向思维能力.重点、难点重点：逆用积的算式平方根的性质进行二次根式的乘法运算。
难点：二次根式乘法结果的化简教学过程一、创设情景，导入新课1 复习：（1）二次根式有哪些性质？①0(__)a≥2__(___),__(___)a a==，若a<0, __=，为什么？（2）__(__,__)a b=2米的长方形空地上种草皮，如果草皮每平方米a元，那么这块空地铺满草皮需要多少元？（学生独立作）估计学生会用下面方法：（1元，（2≈7.3×2.4=17.52a,（元）(3) 18a==(元)分析：方法1的结果还不明朗，方法2的结果是近似值，方法3的结果是准确值，但能否这样计算是什么运算？（二次根式的乘法），这节课我们来学习---4.2.1二次根式的乘法。