微分方程习题课1

dx
积分得
1 p
ax C1,
利用
px 0 yx 0 1得C11
再解
dy dx
1 , 1 ax
并利用
yx00,定常数
C2
.
思考
若问题改为求解
y12y30 yx00, y x01
则求解过程中得
p2
1, 1 x
问开方时正负号如何确定?
P348,6.设函数 f ( x ) 连续，且满足
f(x)exxtf(t)dtxxf(t)dt ，求 f ( x )
非齐次线性微分方程(2)的通解.
定理 4 设非齐次方程(2)的右端 f (x)是几个函 数之和, 如y P(x) y Q(x) y f1(x) f2(x) 而y1*与y2* 分别是方程,
y P(x) y Q(x) y f1(x) y P(x) y Q(x) y f2(x) 的特解, 那么y1* y2*就是原方程的特解.
yp y q y 0
特征方程为 r2prq0
特征根的情况
通解的表达式
实根r1r2
yC1er1xC2er2x
实根r1r2
y(C1C2x)er2x
复根r1,2i yex(C1cosxC2sinx)
６、二阶常系数非齐次线性微分方程解法
y p y q y f(x ) 二阶常系数非齐次线性方程
解法 待定系数法.
lnx
ln x
(3)dy y
dx 2(lnyx)
提示:
可化为关于
x
的一阶线性方程
dx2x2lny dy y y
xe2ydy( 2lnye2ydydyC)
y
y2( 2lnyy2dyC) y
y2( 2yln yd yC)
y2(y2lnyy2 C) 2
Cy2 lny1 2
2ylnydylnydy2
P353 题3 求下列微分方程的通解
( 7 )y 2 y 5 y s2 i xn
特征根: r1,212i,
齐次方程通解: Y e x (C 1 c2 o x C s 2 s2 ix ) n 令非齐次方程特解为 y * A c2 o x B s s2 ix n
代入方程可得 A 1 1,7B 4 17 原方程通解为 y e x (C 1 c2 o x C s 2 s2 ix ) n
４、线性微分方程解的结构
（1） 二阶齐次方程解的结构:
形 y P ( x ) 如 y Q ( x ) y 0( 1 )
wenku.baidu.com 定理1 如果函数y1(x)与y2(x)是方程(1)的两个
解,那末yC1y1C2y2也是(1)的解.（ C1,C2是常 数）
定 理2： 如 果 y1(x)与 y2(x)是 方 程 (1)的 两 个 线 性
2、一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微分方程
形g 如 (y )d y f(x )dx 分离变量法
解法 g(y)d yf(x)dx
(2) 齐次方程 形如dyf(y) dx x
解法
作变量代换 u y x
则yux,
dy uxdu ,
dx
dx
(3) 一阶线性微分方程
形如 d yP (x)yQ (x) dx
当 Q(x)0, 上方程称为齐次的．
当 Q(x)0,
上方程称为非齐次的.
解法 齐次方程的通解为 yCeP(x)dx.
（使用分离变量法） 非齐次微分方程的通解为
y [Q (x )e P (x )dd x x C ]e P (x )dx
（常数变易法）
3、可降阶的高阶微分方程的解法 (1) y(n)f(x)型
( 2 )f ( x ) e x [ P l ( x ) cx o P n ( x ) sx i ] 型 n
设 y * x k e x [ R m ( 1 )( x ) co x R m ( s 2 )( x ) si x ] n ,
其R 中 m (1)(x)R , m (2)(x)是 m次多项 m 式 m ， l,a n x
５、二阶常系数齐次线性方程解法
形 y ( n ) P 1 y ( n 1 如 ) P n 1 y P n y f ( x )
n阶常系数线性微分方程
y p y q y 0 二阶常系数齐次线性方程 y p y q y f( x )二阶常系数非齐次线性方程
解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确 定其通解的方法称为特征方程法.
P353 题3 求下列微分方程的通解:
(1)xyy2xy
提示: 令 u = x y , du yxdy
dx
dx
化成可分离变量方程 :
du 2 u du dx uxC
dx
2u
xyxC
( 2 ) x y lx n y a x ( lx n 1 )
提示: 这是一阶线性方程 , 其中
P(x) 1 , xlnx
(1 ) f(x ) e xP m (x )型
设 y*xkexQ m (x),
0 k 1
不是根 是单根 ,
Q(x)xkQm(x),
2 是重根
Q m (x ) b 0 x m b 1 x m 1 b m 1 x b m
Qm(x)是 Pm(x) 与同次的多项式.
Q(x) (2 p )Q (x )(2pq)Q (x)Pm(x)
思考
1 1c 7 o 2xs1 4s 7i2n x
若 (7) 中非齐次项改为 sin2 x, 特解设法有何变化 ?
提示: si2nx1c2o2xs,故 y * A c2 o x B s s2 ix n D
P354 题4(2) 求解
yay20 yx00, y x01
提示: 令 yp(x),则方程变为 d p a p 2
第七章 微分方程习题课（一） 高阶微分方程
微分方程解题思路
一阶方程
作降 变阶 换
高阶方程
作变换
分离变量法
非
变
齐次方程
积分因子
量 可
常数变易法
分
离
特征方程法
待定系数法
1、基本概念
微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程 叫微分方程． 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称为微分方程的阶．
2u 3
C u2
故原方程通解 (x2y)3x33xyC 2
练习题: P353 题 2 (2); 3 (7) ; 4 (2)；
解答提示
P353 题2 (2) 求以 yC 1exC 2e2x为通解的微分方程 . 提示: 由通解式可知特征方程的根为 r11,r22,
故特征方程为 (r 1 )r( 2 ) 0 ,即 r23r20 因此微分方程为 y3 y2y0
0
0
分析：此等式中含有积分上限函数，因此想到利用积分
上限函数的性质，求导可建立微分方程，从而求解。
解：等式两边对 x 求导得
f(x ) e x x f(x )xf(t) d t x f(x ) e x xf(t) d t
0
0
两边再对 x 求导得 f(x)exf(x)
即
f(x)f(x)ex
为二阶线性非齐次微分方程，且 f(0)1,f(0)1
微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等 式的函数称为微分方程的解．
通解 如果微分方程的解中含有任意常数，并且 任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的 解叫做微分方程的通解．
特解 确定了通解中的任意常数以后得到的解， 叫做微分方程的特解．
初始条件 用来确定任意常数的条件.
初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题， 叫初值问题．
0 i不 是 特 征 方 程 的 根 时 ; k 1 i是 特 征 方 程 的 单 根 时 .
练习题: P353 题1，2，3 (1), (2), (3), (6), (10)
(题3只考虑方法及步骤)
P353 题2 求以 (xC)2y21为通解的微分方程.
提示:
(xC)2y21 消去 C 得 y2(y21)1 2 (x C ) 2 y y 0
无 关 的 特 解 , 那 么 yC1y1C2y2就 是 方 程 (1)的 通 解 .
（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:
形 y P ( x ) y 如 Q ( x ) y f ( x ) ( 2 )
定理3 设y*是(2)的一个特解,Y 是与(2)对应 的齐次方程(1)的通解, 那么yYy*是二阶
可解得此二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为
f(x)C1cosxC2sinx1 2ex
再由 f(0)1,f(0)1，可得特解
f(x)1(cosxsinxex) 2
1
dx
ln C 1y(C 1y)21C 1xC 2
公式
(1)0yx x2y
提示: 令 u x2yx, 即 y2xuu2,则
d y 2u2 x d u 2 u d u
dx
dx dx
原方程2化u为2(xu)duu dx
dx 2x 2 du u
x eu2du 2eu2duduC
u122u2duC
y2lny y2 1dy
y y2lny1y2 C
2
公式
(6)yyy210
提示: 为可降阶方程 , 令 py(pp(y))y p dp
dy
ypdpp2 10 dy
pdp dy p2 1 y
1 2lnp(21)lnylnC1 p2(C1y)21
p (C1y)21d dyxy(C1y)21
dy (C1y)2
解法 接连积分n次，得通解．
( 2 )y f(x ,y )型
特点 不显含未知函数y. 解法 令yP(x), yP,
代入原方程, 得 Pf(x,P).
( 3 )y f(y ,y )型
特点 不显含自变量x. 解法 令yP(x), y P dp ,
dy 代入原方程, 得 Pdp f (y,P).
dy
Q(x)a(1lnx) lnx
ln xdx
xlnx 1xxd x
xln xxC
yexl1n xd[x a(1ln x)exl1n xdd x xC ] ln x
l1 n x[a(1ln lxn x)ln xdC x]
l1n x[a(ln xd xxd)xC]
1[a(xlnxxx)C] ax C