微分方程习题课1

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常微分方程二阶线性微分方程习题课

7
二阶线性微分方程
例7 求微分方程 yy y2 y2 ln y 的通解.
解： y
0,
y
yy y2
y2
ln
y,
y
ln yx
y ,方程改写为： y
ln y
ln y,
令 z ln y z z 0，二阶常系数齐次线性方程
特征方程 2 1 0，特征根 1.
通解 z C1e x C2e x ln y C1e x C2e x .
(3n 1)!
y( x)
x
x4
x7
x3n2
4! 7!
(3n 2)!
20
二阶线性微分方程
解 (2) 相应的齐次微分方程
y y y ex y(0) 1，y(0) 0
y y y 0, 特征方程 2 1 0
特征根
1,2
1 2
3 i, 2
非齐次方程的特解： y Ae x
将y, y, y 代入方程 A 1 ,
特征根的情况
通解的表达式
实根 1 2
实根 1 2
复根 1，2 i
y C1e1x C2e2 x y (C1 C2 x)e1x y e x (C1 cos x C2 sin x)
2
二阶线性微分方程
例2 求方程 y 4 y 4 y 0 的系数线性非齐次方程
f ( x) 2e x . 1.
(1) 求对应齐次方程的通解
特征方程 2 3 2 0,
特征根 1 1，2 2，
对应齐次方程通解 Y C1e x C2e2x
14
二线性微分方程
例10 设函数 y y( x)满足微分方程 y 3 y 2 y 2e x ,
例6 求 y(5) y(4) 2 y 2 y y y 0 的通解. 解特征方程 5 4 2 3 2 2 1 0

多元函数微分法习题课

z
x
y
2z + y + λ yz = 0
解方程组
2z + x + λxz = 0
2(x + y) + λxy = 0 xyz −V0 = 0
4 得唯一驻点 x = y = 2z = 3 2V0 , λ = 3 −V 2
0
由题意可知合理的设计是存在的, 因此 , 当高为 3 V0 , 长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省. 思考: 思考 1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何? x 提示: 提示利用对称性可知, x = y = z = 3 V0 2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价最省, 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何? 提示: 提示 F = 2(xz + yz) + 2 x y + λ (x yz −V0 ) 长、宽、高尺寸相等 .
2 2
2. 设 3. 在曲面平面
求上求一点 , 使该点处的法线垂直于并写出该法线方程 . 的切平面
4. 在第一卦限内作椭球面
使与三坐标面围成的四面体体积最小,并求此体积.
4
z
y
例4. 求原点到曲线的最短距离。的最短距离。
x 2 + ( y − 1) 2 + z 2 = 4 Γ: x + y + z = 1
习题课
多元函数微分法
一、基本概念二、多元函数微分法三、多元函数微分法的应用
一、基本概念
1. 多元函数的定义、极限、连续 • 定义域及对应规律 • 判断极限不存在及求极限的方法 • 函数的连续性及其性质 2. 几个基本概念的关系连续性方向导数存在偏导数存在可微性

习题课_微分方程(解答)

有两个不相等实根 r1 , r2
有两个相等实根 r r1 r2
有一对共轭复根 r1 ,2 i
y C1e
rx
r1 x
C2 e
r2 x
y e (C1 C2 x)
y e x (C1 cos x C2 sinx)
4
10. 二阶常系数线性非齐次方程 ay '' by ' cy f ( x)
0
x
解： f ( x)sinx x f (t )dt tf (t )dt ， f (0) 0 ，
0 0
x 0
x
x
f ( x)cosx f (t )dt ， f (0)1 ，f ( x ) sin x f ( x ) ，
y y sin x 得初值问题：。 y(0) 0, y(0)1 1 求得通解为 y C1cos x C 2 sinx xcos x ， 2 1 代入初始条件 y(0)0, y(0)1 ，得 C1 0 ， C 2 ， 2 1 ∴ y f ( x ) (sin x x cos x ) 。 2
(1) α iβ
ex [ Pm ( x ) cos x Pn ( x ) sinx ]
(1) y ex [ RL ( x ) cos x ( 2) RL ( x ) sinx ]
(1) y xex [ RL ( x ) cos x ( 2) RL ( x ) sinx ]
2
9
三、计算题
1．求方程 yy ' (sin x y 2 )cot x 的解。
( y x 2 y 2 )dx xdy 0 ( x 0) 2．求初值问题的解。 y x1 0

高等数学第十二章常微分方程习题课

(5)式n的个根 (3)之对通应 n项解 : 的
1 4x41 2x2y21 4y4
(0,0) (x,0)
1 4x41 2x2y21 4y4c 为原方程的隐式通解.
例 5. (x3x2y)dx(x2yy3)dy0
又.解dy dx
x3xy2 x2yy3
1
y x
y2
x2 y3 x3
齐次方程
设 u x y,则 y x u ,d d x y u x d d u x .
P y(xys(xiyyn ) syi(y x n )2 coy)s
Q x
例 6. dy3(x1)2(y1)2 dx 2(x1)(y1)
解 .令 u x 1 ,v y 1 ,
则dyd(v1) d v dx d(u1) d u
dv 3u2 v2 du 2uv
3
2
v u v u
x
du dx
1 cosu
,
cousdudxx, xcesinxy .
例 3.(cx o )d dx s yysixn 1 解 . d dx y(tax)n ysexc 一阶线性方程
ye ta xd nx se xe c ta xd nd x x c
e lc n x o ss x e e lc c n x d o c s x
uxd du x1 u u u2 3, xd d u x 1 2 u u 2 u 3 u 4 1 u u 2, 1uduu2 dxx, 1 2ln 1u (2) ln xln c,
ln 1 u (2 ) 2 ln x 2 lc n ,
x2(1u2)2c, x2y2c2.
例 5 .( x 3 x 2 ) d y ( x 2 y y 3 ) d 0 y 事 ,x ( x 实 2 y 2 ) d 上 y x ( x 2 y 2 ) d 0 y

常微分方程习题课

y
P ( x, y)
(99.数1,6分)
Q
O
x
解 :曲线y = y( x )上点P ( x , y )处的切线为 :
Y − y = y '( x )( X − x ).
y 它与 x 轴的交点为( x − , 0)， y'
由于 y '( x ) > 0, y (0) = 1, 所以 y ( x ) > 0,
所以此时间间隔内湖泊中污染物A的改变量 m0 m dm = ( − )dt。 6 3
m0 分离变量得 : m = − Ce 2
代入初始条件 m
t =0
−
t 3
,
9 = 5m0 , 得 C = − m0 . 2
− t 3
所以
m0 m= (1 + 9 e 2
).
令 m = m 0 , 得 : t = 6 ln 3。
(1 + xg ( x ))(1 + ∆ xg ( ∆ x )) − 1 − xg ( x ) = lim ∆x → 0 ∆ xg ( x )∆ xg ( ∆ x )) + ∆ xg ( ∆ x ) = lim ∆x → 0 ∆ = xg ( x ) + 1 = f ( x )，
即有 f ( x ) = f '( x ), ⇒ f ( x ) = Ce x。
12 有一盛满水的圆锥形漏斗,高为10cm,顶角
π
3
,
漏斗下面有面积为0.5cm2的孔,求水面高度的变化规律及水流完所花时间. 解:由水力学知道:
dV Q= = 0.62 S 2 gh , dt
r
h
dh
在[ t , t + dt ]时间段内, 水面高度由 h降为

计算物理学(刘金远)第5章：微分方程(课后习题及答案)

5.1 计算物理学第５章：微分方程课后习题答案初值问题【5.1.1】采用euler 方法求初值问题'2/, 01(0)1y y x y x y =-££ìí=î【解】取0.1h =，1(,)(2/)n n n n n n n n y y hf x y y h y x y +=+=+-x0.00.10.20.3y 1.000 1.1000 1.1918 1.2774【5.1.2】用euler 预测-校正公式求初值问题22', (0)1y x y y ì=-í=î【解】取0.1h =，1(,)n n n n y y hf x y +=+111(,)n n n n y y hf x y +++=+1000(,)0.9y y hf x y =+=221011(,)10.1(0.10.9)0.92y y hf x y =+=+´-=【5.1.3】用euler 公式和梯形公式建立的预测-校正公式求初值问题'23, 0(0)1y x y x y =+£ìí=î取0.1h =，(1)求(0.1)y ;(2)编程计算0:0.01:2x =【解】1111(,)1[(,)(,)]2n n n n n n n n n n y y hf x y y y h f x y f x y ++++=+=++10001000110.1(23) 1.30.05[(23)(23)]1.355y y x y y y x y x y =++==++++=【5.1.4】用显式Euler 方法，梯形方法和预估-校正Euler 方法给出求初值问题1,01(0)1d y y x x dx y ì=-++<<ïíï=î的迭代公式（取步长0.1h =）【解】取0.1h =，,0,1,k x kh k ==L ，（1）显式Euler 方法12(,)(1)(1)k k k k k k k y y hf x y y h y kh y h kh h+=+=+-++=-++1911010010k k k y y +=++（2）梯形方法为1121()2(2)(21)2219112110510k k k k k k k h y y f f h y k h h y hy k +++=++-+++=+=++（3）预估-校正Euler 方法为1111(,)[(,)(,)],20,1,,1x k k k k k k k k k k k y y h f x y h y y f x y f x y k n ++++=+ìïï=++íï=-ïîL 221(1/2)(/2)0.9050.00950.1k k k y y h h kh h h hy k +=-++-+=++【5.1.5】考虑下面初值问题2'''(0)1;'(0)2y y y t y y ì=-++í==î使用中点RK2，取步长0.1h =，求出()y h 的近似值【解】00,0.1t h =='y u y æö=ç÷èø，012u æö=ç÷èø，2''(,)'y u f t u y y t æö==ç÷-++èø，1002(,)1k f t u æö==ç÷èø，2001212 1.111(,)(0.05,0.05)(0.05,)21 2.0522 2.05 2.050.891.1 2.050.05k f t h u hk f f æöæöæö=++=+=ç÷ç÷ç÷èøèøèøæöæö==ç÷ç÷-++èøèø102 1.2052.089u u hk æö=+=ç÷èø，1(0.1) 1.205y y ==【5.1.6】考虑下面初值问题2'''2''(0)1;'(0)0,''(0)2y y y t y y y ì=++í===-î使用中点RK2，取步长0.2h =，求出()y h 的近似值【解】00,0.2t h ==取表示符号'''y u y y æöç÷=ç÷ç÷èø，2''(,)''2''y u f t u y y y t æöç÷==ç÷ç÷++èø，0102u æöç÷=ç÷ç÷-èø，010002000'()0(,)''()262()''()y t k f t u y t y t y t t æöæöç÷ç÷===-ç÷ç÷ç÷ç÷++èøèø200121011(,)(0.1,00.12)2226 10.20.2(0.1,0.2) 1.4 1.41.4 3.9721( 1.4)0.1k f t h u hk f f æöæöç÷ç÷=++=+-ç÷ç÷ç÷ç÷-èøèøæö--æöæöç÷ç÷ç÷=-=-=-ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷-´+-èøèøèø1020.960.281.206u u hk æöç÷=+=-ç÷ç÷-èø，(0.2)0.96y =【5.1.7】采用Rk4编程求下列微分方程的初值问题：（1）23'1, (0)0y y x y =++=（2）2'2(1), (1)2y y x y =+--=（3）'', ()0,'()3y y y y p p =-==【5.1.8】求下面微分方程组的数值解2323'2'4(0)1,(0)0x x y t t t y x y t tx y ì=-+--ï=+-+íï==î补充题【5.1.1】对微分方程'(,)y f x y =用Sinpson 求积公式推出数值微分公式【解】{}111111111'(,)4(,)(,)3n n x n n n n n n n n x y dx y y h f x y f x y f x y +-+---++=-=++ò【5.1.2】用标准的4阶龙格库塔方法求初值问题',(0)1y x y y =+ìí=î，取0.1h =，计算出(0.2)y 【解】()1123422/6i i y y h k k k k +=++++1213243(,)(/2,/2)(/2,/2)(,)i i i i i i i i k f x y k f x h y hk k f x h y hk k f x h y hk ==++=++=++'(,)y f x y x y ==+，00(,)(0,1)x y =100200130024003(,)1(/2,/2) 1.1(/2,/2) 1.105(,) 1.2105k f x y k f x h y hk k f x h y hk k f x h y hk ===++==++==++=()10123422/6 1.1103y y h k k k k =++++=，11(,)(0.1,1.1103)x y =111211*********(,) 1.2103(/2,/2) 1.3208(/2,/2) 1.3263(,) 1.4429k f x y k f x h y hk k f x h y hk k f x h y hk ===++==++==++=()2112342(0.2)22/6 1.2428y y y h k k k k y ==++++==然后由22(,)(0.2,1.2428)x y =计算3(0.3)y y =，。

经典偏微分方程课后习题答案

第四章抛物型微分方程有限差分法1设已知初边值问题22, 01, 0<(,0)sin , 01(0,)(1,)0, 0 u ux t t x u x x x u t u t t T π⎧∂∂=<<⎪∂∂⎪⎪=≤≤⎨⎪==≤≤⎪⎪⎩T ≤, 试用最简显格式求上述问题的数值解。

取h=0.1,r=0.1.0 1/10 2/10 … 1 T 2τ τt解: 1.矩形网格剖分区域. 取空间步长1, 时间2510h =0.00τ=以及0.01τ=的矩形网格剖分区域, 用节点)表示坐标点(,j k (,)(,)j k x t jh k τ=, 0,1,...1/; 0,1,...,/j h k T τ==, 如图所示.显然, 我们需要求解这(1/1)(/1)h T τ+×+个点对应的函数值. 事实上由已知初边界条件蓝标附近的点可直接得到, 所以只要确定微分方程的解在其它点上的取值即可. 沿用记号[]k(,)j j k u x t =。

u 2. 建立差分格式, 对于11,...1; 0,1,...,1Tj k hτ=−=−, 用向前差商代替关于时间的一阶偏导数, 用二阶中心差商代替关于空间的二阶偏导数, 则可定义最简显格式:1122k k k k k1jj j j u u u u u h ++−+=. 变形j τ−−有:1112(12) (k k k kj j j j u ru r u ru r h τ+−+=+−+=(4.1)用向后差商代替关于时间的一阶偏导数, 用二阶中心差商代替关于空间的二阶偏导数, 则可定义最简显格式最简隐格式:111122k k k k k j jj j j u u u u u h τ++++−−+=11+−1kj +,变形有:1111(12) k k k j j j ru r u ru u ++−−−++−= (4.2)(4.1)*0.5+(4.2)*0.5得CN 格式为:111112222k k k k k k k k j jj j j j j j u u u u u u u u h τ+++−+−−++−+=111++−1kj +x x变形有:111111(22)(22) k k k k k j j j j j ru r u ru ru r u ru ++−−+−−++−=+−+ (4.3)3 初边界点差分格式处理.对于初始条件u x (,0)sin , 01=π≤≤h 离散为(4.4)0sin 0,1,...1/j u jh j π==对于边界条件离散为(0,)(1,)0, 0 u t u t t T ==≤≤00 0,1,.../k k N u u k T τ===(4.5)总结: 联立方程(4.1)(4.4)(4.5)得到已知问题的最简显格式差分方程组:11100(12)1 1,...1; 0,1,...,1sin 0,1,...1/0 0,1,.../k k k k j j j j jk k N u ru r u ru T j k h u jh j h u u k T τπτ+−+⎧=+−+⎪⎪=−=−⎪⎨⎪==⎪⎪===⎩ 联立方程(4.2)( 4.4)( 4.5)得到已知问题的最简隐格式差分方程组:1111100(12) 1 1,...1; 0,1,...,1sin 0,1,...1/0 0,1,.../k k k k j j j j jk k N ru r u ru u T j k h u jh j h u u k T τπτ++−−+⎧−++−=⎪⎪=−=−⎪⎨⎪==⎪⎪===⎩ 联立方程(4.3)( 4.4)( 4.5)得到已知问题的CN 格式差分方程组:11111100(22)(22) 1 1,...1; 0,1,...,1sin 0,1,...1/0 0,1,.../k k k k k j j j j j jk k N ru r u ru ru r u ru T j k h u jh j h u u k T τπτ++−−+−⎧−++−=+−+⎪⎪=−=−⎪⎨⎪==⎪⎪===⎩1k j + 4 求解并显示结果利用软件计算(Matlab)如上最简显格式差分方程组.h=1/10;tau=0.0025;T=0.5; r=tau/h^2;M=1/h+1;N=T/tau+1; u=zeros(M,N);for m=1:Mu(m,1)=sin((m-1)*h*pi); endu(1,1:N)=0;u(M,1:N)=0;for n=1:N-1for m=2:M-1u(m,n+1)=r*(u(m+1,n)+u(m-1,n))+(1-2*r)*u(m,n); end end u=u’ 这样我们就计算出不同时刻不同位置k t j x 对应的函数值(,)j k u x t 取tau=0.0025, 即r=0.25绘图, 取tau=0.01, r=1再绘图,如图()图4.2 习题1数值解图示(左r=0.25, 右r=1)2.试构造初边值问题 ()()()()(), 0.51, 0,,0, 0.51,0.5,0, 1,0.51,, 0u u x x x T t x x u x x x u ⎪∂u t t u t t T x ϕ⎧∂∂∂⎛⎞=<<<≤⎜⎟⎪∂∂∂⎝⎠⎪⎪=≤≤⎨⎪==−≤≤⎪∂⎩的显格式，并给出其按最大范数稳定的充分条件。

第十二章微分方程习题课

它的特征方程解得两个不同的实根
故齐次方程的通解为
r 2 3r 2 0
r1 1, r2 2
Y C1e x C2e2 x
x 由于 f ( x) 5 是Pm ( x)e 型(其中 Pm ( x) 5, 0 )，且 0
0 y * ae a ，求出不是特征方程根，所以应设特解
y y 2 y (1 2 x)e x
y Y y C1e x C2e2 x xe x
【例5】求方程 y 3 y 2 y 5 满足初始条件 y(0) 1 , y(0) 2 的特解。
分析：此为二阶常系数非齐次线性微分方程，由解的结构，先求出对应齐次的通解，再求出其本身的一个特解. 解：所给的方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，
1．定义
y py qy 0 (2)二阶常系数线性非齐次微分方程: y py qy f ( x )
(1)二阶常系数线性齐次微分方程： 2．解的结构性质 (1)若 y1 和 y2 是齐次方程的解,则 C1 y1 C2 y2是齐次方程的解。 (2)若 y1 和 y2 是齐次方程的线性无关解,则 C1 y1 C2 y2 是齐次方程的通解。
解题方法流程图
求 y py qy f ( x ) 通解特征方程：r 2 pr q 0 Yes 有实根 No
Yes
r1 r2
No
r1,2 i
Y C1er1x C2er2 x
f ( x ) 的类型
Yes 混合型 No
Y (C1 C2 x)e r1 x
可降阶的高阶微分方程
解题方法流程图
No
Yes
y ( n) f ( x)

微积分(一)同步练习

§1.1 函数与映射一、指出下列函数是由那些简单初等函数复合而成：1.2arcsin y x =；2.x y ln ln ln =. 、设)(x f 的定义域为](1,0，求下列函数的定义域：1.)(2x f ；2.)(cos x f ；3.)(ax f )0(>a .三、设⎩⎨⎧=,,2)(x x x f 00≥<x x ，⎩⎨⎧-=,3,5)(x x x g 00≥<x x ，求)]([x g f 及)]([x f g .四、用x x f sin )(=的图形作下列函数图形：1.)2(+=x f y ；2.)(2x f y =；3.)2(x f y =.五、已知(sin )1cos 2x f x =+，求(cos )2xf .六、设定义在(,)-∞+∞的函数()f x 严格递增，且有[()]()f f x f x =，求()f x .七、证明：241()1x f x x+=+在(,)-∞+∞内有界. §1.2数列与极限 §1.3函数的极限一、根据数列极限的定义证明：1.0sin lim =∞→n n n ；2.21)21(lim 222=+++∞→nn n n n . 二、若lim 0n n x a →∞=≠，证明||||lim a x n n =∞→.反过来成立吗？成立给出证明，不成立举出反例.三、根据函数极限的定义证明：1.8)13(lim 3=-→x x ； 2.2)4(lim 2-=--+∞→x x x x .四、设31,1()2, 1x x f x x x ->⎧=⎨<⎩，试求：1.)(lim 1x f x →； 2.)(lim 2x f x →； 3.)(lim 0x f x →.五、设函数||35||3)(x x x x x f -+=，试求：1.)(lim x f x +∞→；2.)(lim x f x -∞→；3.0lim ()x f x +→； 4.0lim ()x f x -→； 5.)(lim 0x f x →. §1.4无穷大与无穷小 §1.5极限运算法则一、下列函数在指定的变化趋势下是无穷小量还是无穷大量：1.ln x )1(→x 及)0(+→x ；2.)21(sin +xx )0(→x .二、证明函数x x y cos =在),0(+∞内无界，但当+∞→x 时，这函数不是无穷大. 三、计算下列极限：1.)2141211(lim n n ++++∞→ ； 2.12lim ++++∞→x x x x x ；3. 2231lim 9x x x x →---； 4. 232121lim 1x x x x x x →-+--+.四、计算下列极限：1. 10515(1)(21)lim (32)x x x x →∞+-+ ； 2 53153lim()11x x x→--- 3 x →∞ 五、已知 22lim 222=--++→x x bax x x ，求常数,a 和b . §1.6极限存在准则 §1.7无穷小的比较一、计算下列极限：1.x x x csc 20)sin 31(lim -→； 2.x x x x x x )cos 1(1sin3sin lim20++→；3. 6lim sin()tan 26x x x ππ→-； 4. 1lim()1x x x x →∞+-.二、利用夹逼准则证明：1. 1)12111(lim 222=++++++∞→nn n n n n ； 2. 01lim []1x x x+→=.三、设01>=a x ，)2(211nn n x x x +=+ ,3,2,1=n ，利用单调有界准则证明：数列}{n x 收敛，并求其极限.四、确定α的值，使αx x x 41~sin 1tan 1+-+ （)0→x .§1.8 函数的连续性与间断点 §1.9连续函数的运算与初等函数的连续性 §1.10闭区间上连续函数的性质一、判断下列函数在指定点处的间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使其连续.1.23122+--=x x x y 1,2x x ==；2.tan x yx= x k π=,)2,1,0(2 ±±=+=k k x ππ.二、讨论函数nnn x x x f 2211lim )(+-=∞→的连续性，若有间断点，判断其类型.三、求下列极限：1.0e 1x →-； 2.11031lim 31xx x+→-+.四、设函数2(),1[ln ln()],f x b x x x x=⎨⎪⎪-+⎪⎩ 02002x x x ππ-<<=<<，问b a ,为何值时，)(x f 在(,)22ππ-内连续五、证明方程135=-x x 至少有一个根介于1和2之间.第一章习题课一、计算下列极限：1.)1311(lim31xx x ---→； 2.)11(lim 22--+∞→x xx ； 3.()0lim 1cos x x x →-； 4. 0lim x +→；5.xx arctan 3lim ∞→ ； 6.limx ．二、已知 1)11(lim 23=--++∞→b ax x x x ，求常数,a 和b ．三、设0x →时，()12511ax+-与ln cos x 是等价无穷小，求常数a 的值．四、设a b c <<，证明：方程1110x a x b x c++=---在(),a b 与(),b c 内各至少有一实根．五、设()f x 在[]0,2a 上连续，()()02f f a =，证明：存在[]0,a ξ∈使得()()f f a ξξ=+． §2.1导数概念 §2.2函数的求导法则（一）一、下列各题中均假定)(0x f '存在，按照导数的定义，A 分别表示什么？1.000()()lim x f x x f x A x∆→-∆-=∆，则A = ；2.A xx f x =→)(lim0，且)0(f '存在，则A = ； 3.000()()lim h f x h f x h A h→+--= 则A = ．二、讨论下列函数在0=x 处的连续性与可导性：1.x y sin = ；2.21sin ,00, 0x x y x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩．三、设函数2, 1(),1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩，若函数()f x 在1x =处可导，b a ,应取什么值？四、设sin ,(),x f x x ⎧=⎨⎩ 0≤>x x ,求)(x f '. 五、已知函数)(x f 可导，且对任何实数y x ,满足：（1）()e ()e ()x y f x y f y f x +=+；（2）(0)e f '=，证明：1()()e x f x f x +'=+. 六、求下列函数在给定点处的导数：1.x x y cos sin -=，求6π='x y ； 2.23()5x f x x =+，求)0(f '和)2(f '§2.2函数的求导法则（二） §2.3高阶导数一、求下列函数的导数：1.23253++-=x x e x y ；2.23e 2x x y +-=⋅；3.3)(arcsin x y = ；4.)ln(22x a x y -+= ；5.)1ln(ln ln 2+=x y ；6.xx y +-=11arcsin ；7.y =； 8.xy 1arcsin = ．二、设)(x f 可导，求d d y x： 1.()(e )e x f x y f =⋅ ； 2.)(cos )(sin 22x f x f y +=.三、求下列函数的二阶导数：1.21sin e x y x -=⋅；2.)1(ln 2x x x y ++=.四、设6)10()(+=x x f ，求)2(f '''、)2()6(f及)2()20(f .五、求2234x y x x =--的n 阶导数.§2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 §2.5 函数的微分一、求由下列方程所确定的隐函数的导数d d yx：1.y x y x ln cos )sin(=+ ；2.y x x y =.二、用对数求导法求下列函数的导数：1. xx y tan )(sin =； 2.54)1()3(2+-+=x x x y .三、求下列参数方程所确定的函数的导数d d y x，22d d yx ：1. ⎪⎩⎪⎨⎧==32bty at x ； 2. ⎩⎨⎧=-=θθθθcos )sin 1(y x .四、求曲线在所给参数值相应的点处的切法线方程：1.⎩⎨⎧==t y t x cos sin ， 4t π=处；2.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=2221313t aty t at x ，2t =处.五、求下列函数的微分：1.21arcsin x y -=；2.x yy x arctan ln 22=+.六、求||y x x =的微分.第二章习题课一、设3e ,0()sin ,0x b x f x ax x ⎧+≤=⎨>⎩，且)(x f 在0=x 处可导，求b a ,的值．二、求下列函数的导数：1.x x arc y 2cot 2-=；2.ln(e x y = ．三、设)2002(sin )22)(sin 12(sin )(2002---=t t t t f πππ，求)1(f '.四、设))((y x g f u +=，其中)(x y y =由方程2e sin()y y x y +=+确定，且g f ,一阶可导，求d d u x .五、设()f x 在e x =处有连续的一阶导数，且2(e)e f '=，求0d lim (e d x f x+→.六、已知⎩⎨⎧-==t t t y t x cos sin cos ln ，求224d d ,|d d t y yx x π=.七、设x y 3cos =，求)(n y .§3.1中值定理一、验证函数32()4710f x x x x =+--在[1,2]-上满足罗尔定理的条件，并确定ξ的值．二、设()f x 在(,)a b 内可导，且lim ()lim ()x ax bf x f x A +-→→==，证明：在(,)a b 内存在一点c ，使得()0f c '=．三、证明：1≥x 时，有π≡++212arcsin arctan 2xxx ．四、设01210=++++n a a a n ，证明：方程010=+++n n x a x a a 在)1,0(内必有一个零点．五、设1,0><<p x y ，证明：)()(11y x px y x y x py p p p p -≤-≤---．六、若()f x 在(,)-∞+∞内满足关系式()(),f x f x '=-且(0)1f =，则()e x f x -=．七、设()f x 在[,]a b 上二阶可导，123,,x x x 为[,]a b 上的三个点，123x x x <<，且123()()()f x f x f x ==，证明：存在一点ξ，使得()0f ξ''=．§3.2罗必达法则 §3.3泰勒公式一、求下列极限：1.20)1ln(lim xx x x +-→； 2.)32(lim 11x x x x -∞→ ；3.)ln 11(lim 1xx x x --→； 4.110(1)lim[]e xx x x →+；5.xx x 1)(ln lim +∞→ ； 6.22lim (tan )x x x ππ--→．二、若30sin 6()lim 0x x xf x x →+=，求206()lim x f x x→+．三、求x +1的3阶麦克劳林展开式．四、求12-=x y 在20=x 处的3阶泰勒公式．五、利用泰勒公式求下列极限：1.21lim[ln(1)]x x x x →+∞-+ ；2.x xx x x 30sin cos sin lim -→ ．§3.4函数单调性和曲线的凹凸性 §3.5函数的极值与最大值（1）一、求下列函数的单调区间：1.69323+--=x x x y ； 2.xxy 2ln = ．二、证明下列不等式：1.x x x 1321->>时，；2.02x π≤≤时，2sin x x π≥．三、讨论方程x x 2ln =的实根数目．四、求下列函数的凹凸区间及拐点：1.123+=x x y ； 2.e x y x = ．五、已知点)3,1(为曲线23bx ax y +=的拐点，求b a ,．六、求下列函数的极值：1.x x y ln 2=；2.|)1(|2-=x x y ．§3.5函数的极值与最大值（2） §3.6函数图形的描绘一、求函数x x y 2+=在区间]4,0[上的最大值和最小值．二、已知船航行一昼夜的费用由两部分组成：一为固定部分a 元；另一为变动部分，它与速度的立方成正比.试问当船的航程为s 时，船应以怎样的速度v 行驶，费用最省？三、过平面上点(1,4)P 作一直线，使得它在两坐标轴上的截距都是正的，且它们的和最小，求此直线的方程．四、求椭圆223x xy y -+=上纵坐标最大和最小的点．五、试作函数241x xy +=的图形．六、作函数e xy x=的图形．第三章习题课一、求下列极限：1.1ln sin1xx x→--； 2.2lim tan4nn nπ→∞⎛⎫+⎪⎝⎭；3.11lim cotsinxxx x→⎛⎫⋅-⎪⎝⎭； 4.xxxxxcba1)3(lim++→．二、证明下列不等式：1. 设0x >，证明：()()221ln 10x x x ++-<；2.01x <<时，2e sin 12xx x -+<+．三、求椭圆22334x xy y -+=上离原点O 最远及最近的点.四、求数列中最大的一项.五、设)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且0)1(=f ，则必有ξξξξ)()()1,0(f f -='∈使得.六、设]0[)(c x f ，在上有定义，)(x f '存在且单调减少，0)0(=f ，试用拉格朗日定理证明：对)()()(,0b f a f b a f c b a b a +≤+≤+≤≤≤有.§4.1不定积分的概念和性质 §4.2换元积分法一、下列不定积分：1.2d x⎰； 2.21()d x x x -⎰；3.422d 1x x x-+⎰； 4.2332d 5x x x x ⋅-⋅⎰；5.22d sin cos x x x ⎰；6.cos 2d sin cos xx x x+⎰；⎰．7.cot(sin csc)d-x x x x(e,3)，且在任一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数，求此曲线的二、一曲线过点2方程．三、设1)0(,sec )(tan 22=='f x x f ，求)(x f ．§4.2换元积分法（续）求下列不定积分：1. x ⎰； 2.；3. x ；4.d e e x x x-+⎰；5. 3cos d sin x x x ⎰；6.3sin d x x ⎰；7. arcsin xx ； 8. sin cos d 2xx x ⎰；9.1lndlnxxx x+⎰；10.3222d()xa x-⎰；11. x；12.§4.3分部积分法 §4.4有理函数的积分求下列不定积分：1.2ln ()d x x x ⎰； 2.2sin d x x x ⎰；3.1e d x x x +⎰；4.x ⎰；5.22arctan d 1x x x x +⎰； 6.22d (1)(1)xx x -+⎰；7.5d (1)x x x +⎰； 8.2sin d 2cos x x x -+⎰；9.dsin tan xx x +⎰； 10.；11. ．第四章习题课一、求下列不定积分：1. 4sin cos d 2sin x x x x +⎰； 2. x ；3.⎰； 4.2d 12tan xx +⎰；5.6.2cos sin d x x xx x-⎰；7. x； 8.1182d (1)x xx +⎰ ．二、设e ,0()2ln(1) ,2x x x f x x x x x -⎧≤=<<-≥⎪⎩，计算()d f x x ⎰.三、设)()(x f x F ='，0≥x 时成立x x F x f 2sin )()(=，且1)0(,0)(=≥F x F ，求)(x f .§5.1定积分的概念与性质 §5.2微积分基本公式（1）（2）一、用定积分定义，计算() (1)d ba x x ab +<⎰．二、利用定积分的几何意义，说明下列等式成立的理由．1311.d 0x x -=⎰； 2 0 02.sin d 2sin d 22x x x x ππ=⎰⎰； 03.x π=⎰．三、设()f x 在[],a b 上连续非负，且有()[]000,,f x x a b >∈，证明() d 0ba f x x >⎰．四、不计算比较大小 24 1d x x ⎰还是 25 1d x x ⎰，并说明严格不等式成立的原因．五、计算下列函数的导数：221.x x ⎰； 382.x t ⎰； 3 cos22 e3.sin d xxx x ⎰．六、求下列极限：22 02cos d 1.limx x x x x →⎰； ()2222 0e d 2.lim e d xt xx t t t t-→⎰⎰．七、设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 上可导且()0f x '≥，令()() 1d xaF x f x x x a =-⎰，证明在(),a b 内有()0F x '≥．§5.2微积分基本公式（3） §5.3定积分的换元法和分部积分法（1）一、计算下列各定积分：11.1d x ⎰； 2 02.cos d x x π⎰；23 43.tan d x x ππ⎰； 24.()d f x x ⎰，其中()21,11,12x x f x x x +≥⎧⎪=⎨<⎪⎩．二、计算下列各定积分：2 01.sin d 4x x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰； 22 02.sin d x x π⎰；3e 13.⎰14.5. 36.x x ⎰．三、设()f x 是连续函数，求证：220()()(2)a a a af x dx f x dx f a x dx =+-⎰⎰⎰，并求2sin 1cos x xdx xπ+⎰．§5.3定积分的换元法和分部积分法（2） §5.4反常积分一、计算下列各定积分：201.e d xx x ⎰；2 02.sin d t t t πωω⎰，ω为非零常数；4 03.e cos 2d x x x π⎰； 4.x ．二、计算120ln(1)(2)x I dx x +=-⎰．三、求20|sin |I x x dx π=⎰．四、判定下列反常积分的敛散性，若收敛，计算广义积分的值.() 01.e cos d ,0pt t t p ωω+∞->⎰； 2 d 2.46x x x +∞-∞++⎰；12 0d 3.1x xx -⎰； 2 04.x ⎰．五、证明：2440011dx x dx x x +∞+∞==++⎰⎰第五章习题课一、设 2 02tan()sec d x y x x y t t ---=⎰，求d d y x .二、设sin ,0(),()20 ,x x f x x g x π⎧≤≤⎪==⎨⎪⎩其他，当0≥x 时，求 0()()()d x F x f t g x t t =-⎰.三、计算下列定积分： 1. 2 2x ππ-⎰； 2. 0d x x ⎰；3. ln 0x ⎰；4. 3 0[]d x x x ⎰，其中[]x 为不超过x 的最大整数．四、计算 3|| 3(||)e d x x x x --+⎰.五、证明： 2 0sin 1d 2xx x ππ<<⎰.六、已知 1ln ()d 1x t f x t t =+⎰，求)21()2(f f +.七、设n 为自然数，求 4 0tan d n n I x x π=⎰.§6.1定积分的元素法 §6.2定积分在几何学上的应用（1）（2）一、求由下列各曲线所围成的图形的面积：2221.2y x x y =+=与（两部分都要计算）； 2.ln ,y x y =轴与直线ln 2,ln 4y y ==．二、求由下列各曲线所围成的图形的面积：()1.2sin 0a a ρθ=>； ()2.sin ,(1cos ),02x a t t y a t t π=-=-≤≤．三、把抛物线()()2002 0 0y px p x x x =>=>及所围成的图形绕x 轴旋转，计算所得旋转体的体积．四、求由曲线32,0,4y x y x ===所围图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积．五、计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积．六、记()V ξ为曲线2,0,0,1y y x x x ξ====+所围图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积，求lim ()V ξξ→+∞．§6.2定积分在几何学上的应用（3）第六章习题课一、求曲线ln cos 02y x x a π⎛⎫=≤≤< ⎪⎝⎭的弧长．二、在摆线()()sin 1cos x a t t y a t =-⎧⎪⎨=-⎪⎩上求分摆线第一拱成3:1的点的坐标．三、设曲线0 , [0,]y t xπ=∈⎰，求曲线之长.四、求1yx=与直线3y x x==及所围图形的面积．五、求双纽线22cos 2r a ϕ=所围图形的面积．六、求()sin ,00y x y x π==≤≤所围图形分别绕x 轴、y 轴旋转所得旋转体的体积．§7.1 微分方程的基本概念 §7.2 可分离变量的微分方程一、判断下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：1.1cot ,21cos dy x y y dx x=-=- 2.2121,ln cos()y y y C x C ''=+=-+二、确定下列各题的函数关系式中的参数，使函数满足所给的初始条件：1.2202,|3x x y C y =-==2.1222cos sin ,|1,|2x x y C x C x y y ππ=='=+==三、设曲线在点(,)x y 处切线的斜率等于该点纵坐标的立方，写出该曲线满足的微分方程。

微分方程习题课共54页

41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育；而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰难的遭遇里习题课
26、机遇对于有准备的头脑有特别的亲和力。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力量泉源之一，也是成功的利器之一。没有它，天才也会在矛盾无定的迷径中，徒劳无功。- -查士德斐尔爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯潘。

微分习题1

4）解：设艇速 v=v(t)，阻力 R= - kv 艇的质量为 m ），则
dv m = kv , v = Ce dt
20 3600
k t m
∵ v t = 0 = 10 ∴ v = 10e
k t m
∵v
= 6 ∴ 10e
k 20 m 3600
k 5 = 6, = 180 ln m 3
∴v =
求下列微分方程满足所给初始条件的特解: 4 、求下列微分方程满足所给初始条件的特解 :
2 y 3 dx + 2( x 2 xy 2 )dy = 0 , x = 1时， y = 1 ； x(1+ 2ln y) y = 0
1
三、已知某曲线经过点( 1 , 1 ) ,它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标, 距等于切点的横坐标,求它的方程 . y = x xln x
y=y(x)，p(x,y)是曲线上的任一点 1）解: 设曲线方程 y=y(x)，p(x,y)是曲线上的任一点 AP弦的方程 AP弦的方程 y 1 y 1 Y 1= ( X 0), 即 Y = X +1 x0 x
由题意
梯形面积可不用定积分
x 0 x y 1 xy x 3 ( X + 1)dX , 即 x = ∫ ydx 0 x 2 2
ln( u cos u) = ln x + ln C ,
2
两边积分
C ∴ u cos u = 2 , x
y y C ∴ cos = 2 , 所求通解为 xy cos y = C . x x x x
求通解 xy′ + 2 y = 3x3 y . 4 2 2 解原式可化为 y′ + y = 3 x y 3 , 伯努利方程 x 4 2 1 即 y 3 y′ + y 3 = 3 x 2 , x 1 2 3 令 z= y , 3 z′ + z = 3 x 2 , 原式变为 x 2 z = x2 , 即 z′ 一阶线性非齐方程 3x 1 7 2 3 3 方程的通解为 3 3

第六章微分方程习题课

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习题课
第十二章微分方程
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习题课
第十二章微分方程
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习题课
第十二章微分方程
- 15Байду номын сангаас-
习题课
第十二章微分方程
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习题课
第十二章微分方程
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习题课
第十二章微分方程
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习题课
第十二章微分方程
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习题课
第十二章微分方程
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习题课
第十二章微分方程
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习题课
第十二章微分方程
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习题课
第十二章微分方程
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习题课
第十二章微分方程
其中 du( x , y ) P ( x , y )dx Q( x , y )dy
第十二章微分方程
或
Py Q x
解法
u( x , y )
x
P ( x , y )dx Q( x , y )dy
( x0 , y0 )
y
x P ( x , y 0 ) dx y Q ( x , y ) dy 0 0
或凑微分法，求得 u ( x , y ), 解为 u( x , y ) C .
-2-
习题课
例1 求解下列微分方程
1）
第十二章微分方程
-3-
习题课

常微分方程课后练习题含答案

常微分方程课后练习题含答案练习1：考虑动力学方程组：$$ \\begin{align} \\frac{dx}{dt}&=x(1-y)\\\\ \\frac{dy}{dt}&=y(1-x)\\end{align} $$a)画出相图b)确定方程组的固定点及其稳定性c)求出轨道在极限$\\lim\\limits_{t\\to\\infty}$时的行为答案1：a)相图如下所示：image-1b)如果(x,y)是方程组的一个固定点，则：$$ \\begin{aligned} \\frac{dx}{dt}&=0 \\\\ \\frac{dy}{dt}&=0\\end{aligned} $$由$\\frac{dx}{dt}=x(1-y)$得，固定点必须是x=0或y=1•当x=0时，$\\frac{dy}{dt}=y$，因此固定点为(0,0)，是不稳定的。

•当y=1时，$\\frac{dx}{dt}=0$，因此固定点为(1,1)，是稳定的。

综上，方程组的固定点为(0,0)和(1,1)，其中(1,1)是稳定的。

c)当$t\\to\\infty$时，我们需要检查轨道的极限行为。

假设(x(t),y(t))是由方程组确定的轨迹，x0=x(0)和y0=y(0)是轨迹的起点。

轨迹的限制曲线由y(1−x)=x(1−y)确定，展开可得y=x或xy=0.5。

将方程组改写为$$ \\frac{dy}{dx}=\\frac{y(1-x)}{x(1-y)} $$则在y=x处，$$ \\frac{dy}{dx}=1 $$这意味着沿着这个轨道移动的速度是恒定的，因此轨迹沿着一条直线移动。

由$\\frac{dy}{dx}=\\frac{y(1-x)}{x(1-y)}$可知，在非负轴上，当y>1−x时$\\frac{dy}{dx}>0$，当y<1−x时$\\frac{dy}{dx}<0$。

常微分方程第三版课后习题答案(1)

常微分方程第三版课后习题答案常微分方程习题2.11.,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：3解：原式可化为：12．解15．16．解：，这是齐次方程，令17.解：原方程化为令方程组则有令当当另外19.已知f(x).解：设f(x)=y,则原方程化为两边求导得20.求具有性质x(t+s)=的函数x(t),已知x’(0)存在。

解：令t=s=0x(0)==若x(0)0得x=-1矛盾。

所以x(0)=0.x’(t)=)两边积分得a r c t gx(t)=x’(0)t+c所以x(t)=t g[x’(0)t+c]当t=0时x(0)=0故c=0所以x(t)=t g[x’(0)t]习题2.2求下列方程的解1．=解：y=e(e)=e[-e()+c]=c e-()是原方程的解。

2．+3x=e解：原方程可化为：=-3x+e所以：x=e(e e)=e(e+c)=c e+e是原方程的解。

3．=-s+解：s=e(e)=e()=e()=是原方程的解。

4．，n为常数.解：原方程可化为：是原方程的解.5．+=解：原方程可化为：=-()=是原方程的解. 6．解：=+令则=u因此：=（*）将带入（*）中得：是原方程的解.13这是n=-1时的伯努利方程。

两边同除以，令P(x)=Q(x)=-1由一阶线性方程的求解公式=14两边同乘以令这是n=2时的伯努利方程。

两边同除以令P（x）=Q(x)=由一阶线性方程的求解公式==15这是n=3时的伯努利方程。

两边同除以令=P(y)=-2y Q(y)=由一阶线性方程的求解公式==16y=+P(x)=1Q(x)=由一阶线性方程的求解公式==c=1y=17设函数(t)于∞<t<∞上连续，(0)存在且满足关系式(t+s)=(t)(s)试求此函数。

令t=s=0得(0+0)=(0)(0)即(0)=故或（1）当时即∞,∞)(2)当时====于是变量分离得积分由于，即t=0时1=c=1故20.试证：（1）一阶非齐线性方程（2.28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解；（2）若是（2.3）的非零解，而是（2.28）的解，则方程（2.28）的通解可表为，其中为任意常数.（3）方程（2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解.证明：（2.28）（2.3）（1）设，是（2.28）的任意两个解则（1）（2）（1）-（2）得即是满足方程（2.3）所以，命题成立。

常微分方程课后答案

d2 y dx2
−
1 1−x2
y
=
1
+
x,
y(0) = 1;
(3) y = ex +
x 0
y(t)
dt;
(4)
dy dx
=
; x4 +y 3
xy2
(5) 2xydy − (2y2 − x)dx = 0;
(6) (y ln x − 2)ydx = xdy;
(7)
3xy2
dy dx
+
y3
+
x3
=
0;
(8)
y
=
0(其中c是任意常数);
(5)
y = ecx,
(
dy dx
)2
−
y
d2 y dx2
= 0(其中c是任意常数);
2
−
(x−C1 4
)2
,
−∞ < x < C1;
(6)
y =
0, C1 < x < C2,
(x−C1 4
)2
,
C2 < x < +∞,
dy dx
=
|y|.
答：将解代入验证就可得知是否为微分方程的解：
dy dx
=
y x+y
3
.
3
解： (1)方程两边同时乘以因子e−x，由此得到方程的通解为
y
=
C ex
−
sin
x
+ 2
cos x
其中C为任意常数；
R
(2)方程两边同时乘以因子e−
1 1−x2
dx，由此得到方程的通解为

微分方程习题课(1)-10

第七章习题课 (一) 一阶微分方程的解法及应用
一、一阶微分方程求解二、解微分方程应用问题
机动
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一、一阶微分方程求解
1. 一阶标准类型方程求解四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 贝努里方程关键: 关键辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解变量代换法 —— 代换自变量自变量代换因变量因变量代换某组合式某组合式
y − y′x = x 1 y′ − y = −1 即 x 定解条件为 y x=1 =1.
思考: 思考能否根据草图列方程?
y
M(x, y)
x tanα = xy′
o
机动
x
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x
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第七章习题课 (二) 二阶微分方程的解法及应用
一、两类二阶微分方程的解法二、微分方程的应用
机动
思考若问题改为求解 y x=0 = 0 ,
则求解过程中得问开方时正负号如何确定正负号如何确定? 正负号如何确定
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例7.
且满足方程
f (x) = sin x − ∫
求 f (x) .
x (x − t) f (t) dt 0
x x f (t) dt + t 0 0
通解
2 − y3
1 − y3 e = ex + C 3
机动
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结束
′ = x2 − y2 + y (2) xy
方程两边同除以 x 即为齐次方程 , 令 y = u x ,化为分离变量方程.

9微分方程习题课2019.12.37

ln y C1ex C2e x
工科数分习题课2019.12.27
( f ( x ) 1 ( e x e x )＋1 sin x )
4
2
工科数分习题课2019.12.27
工科数分习题课2019.12.27
工科数分习题课2019.12.27
工科数分习题课2019.12.27
答案：
f ( x ) －1 cos x＋2 sin x＋1 - 1 cos 2x
3
26
工科数分习题课2019.12.27
7. yy y2 y2 ln y
提示：yy y2
y2

ln
y
yy y2 ( y) (ln y)
y2
y
(ln y) ln y
提示：齐次方程 y 2 y 3 y 0的通解为 y C1e x C2e3x
设原方程的特解y (ax b)e x ,代入原方程，得
a 1,b 1
2
4
原方程的通解为y

C1e
x

C2e 3 x
+（
1 2
x

1 )e
4
x
Hale Waihona Puke 工科数分习题课2019.12.27
u sin y Ce x x
工科数分习题课2019.12.27
7. 若方程 y （p x）y ex 的特解 y （x+1）ex，求该方程的通解. （p x）= 1, 通解 y Ce x +（x+1）e x
工科数分习题课2019.12.27
二、可降阶的微分方程问题：
dy

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0
0
分析：此等式中含有积分上限函数，因此想到利用积分
上限函数的性质，求导可建立微分方程，从而求解。
解：等式两边对 x 求导得
f(x ) e x x f(x )xf(t) d t x f(x ) e x xf(t) d t
0
0
两边再对 x 求导得 f(x)exf(x)
即
f(x)f(x)ex
为二阶线性非齐次微分方程，且 f(0)1,f(0)1
(1 ) f(x ) e xP m (x )型
设 y*xkexQ m (x),
0 k 1
不是根是单根 ,
Q(x)xkQm(x),
2 是重根
Q m (x ) b 0 x m b 1 x m 1 b m 1 x b m
Qm(x)是 Pm(x) 与同次的多项式.
Q(x) (2 p )Q (x )(2pq)Q (x)Pm(x)
当 Q(x)0, 上方程称为齐次的．
当 Q(x)0,
上方程称为非齐次的.
解法齐次方程的通解为 yCeP(x)dx.
（使用分离变量法）非齐次微分方程的通解为
y [Q (x )e P (x )dd x x C ]e P (x )dx
（常数变易法）
3、可降阶的高阶微分方程的解法 (1) y(n)f(x)型
无关的特解 , 那么 yC1y1C2y2就是方程 (1)的通解 .
（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:
形 y P ( x ) y 如 Q ( x ) y f ( x ) ( 2 )
定理3 设y*是(2)的一个特解,Y 是与(2)对应的齐次方程(1)的通解, 那么yYy*是二阶
非齐次线性微分方程(2)的通解.
定理 4 设非齐次方程(2)的右端 f (x)是几个函数之和, 如y P(x) y Q(x) y f1(x) f2(x) 而y1*与y2* 分别是方程,
y P(x) y Q(x) y f1(x) y P(x) y Q(x) y f2(x) 的特解, 那么y1* y2*就是原方程的特解.
５、二阶常系数齐次线性方程解法
形 y ( n ) P 1 y ( n 1 如 ) P n 1 y P n y f ( x )
n阶常系数线性微分方程
y p y q y 0 二阶常系数齐次线性方程 y p y q y f( x )二阶常系数非齐次线性方程
解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.
可解得此二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为
f(x)C1cosxC2sinx1 2ex
再由 f(0)1,f(0)1，可得特解
f(x)1(cosxsinxex) 2
2u 3
C u2
故原方程通解 (x2y)3x33xyC 2
练习题: P353 题 2 (2); 3 (7) ; 4 (2)；
解答提示
P353 题2 (2) 求以 yC 1exC 2e2x为通解的微分方程 . 提示: 由通解式可知特征方程的根为 r11,r22,
故特征方程为 (r 1 )r( 2 ) 0 ,即 r23r20 因此微分方程为 y3 y2y0
yp y q y 0
特征方程为 r2prq0
特征根的情况
通解的表达式
实根r1r2
yC1er1xC2er2x
实根r1r2
y(C1C2x)er2x
复根r1,2i yex(C1cosxC2sinx)
６、二阶常系数非齐次线性微分方程解法
y p y q y f(x ) 二阶常系数非齐次线性方程
解法待定系数法.
( 2 )f ( x ) e x [ P l ( x ) cx o P n ( x ) sx i ] 型 n
设 y * x k e x [ R m ( 1 )( x ) co x R m ( s 2 )( x ) si x ] n ,
其R 中 m (1)(x)R , m (2)(x)是 m次多项 m 式 m ， l,a n x
dx
积分得
1 p
ax C1,
利用
px 0 yx 0 1得C11
再解
dy dx
1 , 1 ax
并利用
yx00,定常数
C2
.
思考
若问题改为求解
y12y30 yx00, y x01
则求解过程中得
p2
1, 1 x
问开方时正负号如何确定?
P348,6.设函数 f ( x ) 连续，且满足
f(x)exxtf(t)dtxxf(t)dt ，求 f ( x )
y2lny y2 1dy
y y2lny1y2 C
2
公式
(6)yyy210
提示: 为可降阶方程 , 令 py(pp(y))y p dp
dy
ypdpp2 10 dy
pdp dy p2 1 y
1 2lnp(21)lnylnC1 p2(C1y)21
p (C1y)21d dyxy(C1y)21
dy (C1y)2
第七章微分方程习题课（一）高阶微分方程
微分方程解题思路
一阶方程
作降变阶换
高阶方程
作变换
分离变量法
非
变
齐次方程
积分因子
量可
常数变易法
分
离
特征方程法
待定系数法
1、基本概念
微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程．微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶．
2、一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微分方程
形g 如 (y )d y f(x )dx 分离变量法
解法 g(y)d yf(x)dx
(2) 齐次方程形如dyf(y) dx x
解法
作变量代换 u y x
则yux,
dy uxdu ,
dx
dx
(3) 一阶线性微分方程
形如 d yP (x)yQ (x) dx
解法接连积分n次，得通解．
( 2 )y f(x ,y )型
特点不显含未知函数y. 解法令yP(x), yP,
代入原方程, 得 Pf(x,P).
( 3 )y f(y ,y )型
特点不显含自变量x. 解法令yP(x), y P dp ,
dy 代入原方程, 得 Pdp f (y,P).
dy
思考
1 1c 7 o 2xs1 4s 7i2n x
若 (7) 中非齐次项改为 sin2 x, 特解设法有何变化 ?
提示: si2nx1c2o2xs,故 y * A c2 o x B s s2 ix n D
P354 题4(2) 求解
yay20 yx00, y x01
提示: 令 yp(x),则方程变为 d p a p 2
0 i不是特征方程的根时 ; k 1 i是特征方程的单根时 .
练习题: P353 题1，2，3 (1), (2), (3), (6), (10)
(题3只考虑方法及步骤)
P353 题2 求以 (xC)2y21为通解的微分方程.
提示:
(xC)2y21 消去 C 得 y2(y21)1 2 (x C ) 2 y通解
( 7 )y 2 y 5 y s2 i xn
特征根: r1,212i,
齐次方程通解: Y e x (C 1 c2 o x C s 2 s2 ix ) n 令非齐次方程特解为 y * A c2 o x B s s2 ix n
代入方程可得 A 1 1,7B 4 17 原方程通解为 y e x (C 1 c2 o x C s 2 s2 ix ) n
1
dx
ln C 1y(C 1y)21C 1xC 2
公式
(1)0yx x2y
提示: 令 u x2yx, 即 y2xuu2,则
d y 2u2 x d u 2 u d u
dx
dx dx
原方程2化u为2(xu)duu dx
dx 2x 2 du u
x eu2du 2eu2duduC
u122u2duC
lnx
ln x
(3)dy y
dx 2(lnyx)
提示:
可化为关于
x
的一阶线性方程
dx2x2lny dy y y
xe2ydy( 2lnye2ydydyC)
y
y2( 2lnyy2dyC) y
y2( 2yln yd yC)
y2(y2lnyy2 C) 2
Cy2 lny1 2
2ylnydylnydy2
４、线性微分方程解的结构
（1）二阶齐次方程解的结构:
形 y P ( x ) 如 y Q ( x ) y 0( 1 )
定理1 如果函数y1(x)与y2(x)是方程(1)的两个
解,那末yC1y1C2y2也是(1)的解.（ C1,C2是常数）
定理2：如果 y1(x)与 y2(x)是方程 (1)的两个线性
Q(x)a(1lnx) lnx
ln xdx
xlnx 1xxd x
xln xxC
yexl1n xd[x a(1ln x)exl1n xdd x xC ] ln x
l1 n x[a(1ln lxn x)ln xdC x]
l1n x[a(ln xd xxd)xC]
1[a(xlnxxx)C] ax C
P353 题3 求下列微分方程的通解:
(1)xyy2xy
提示: 令 u = x y , du yxdy
dx
dx
化成可分离变量方程 :
du 2 u du dx uxC
dx
2u
xyxC
( 2 ) x y lx n y a x ( lx n 1 )