2021年高考数学(理)12月模拟评估卷(一)(全国1卷)(答题卡)

合集下载

(全国I卷)2021届高三数学12月教育教学质量监测考试试题理.doc

（全国I 卷）2021届高三数学12月教育教学质量监测考试试题理注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。

3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.本试卷满分150分，测试时间120分钟。

5.考试范围：高考全部内容。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.5273i i i --=+ A.1175858i + B.1175858i -+ C.1175858i - D.1175858i --2.已知集合M ＝{x|8x 2－9x ＋1≤0}，N ＝{x|y ，则()R MN =A.[1,)+∞B.11(,)82 C.11[,)82 D.1(,1]23.记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝35，S 3＝2120，则a 4＝ A.340-或8140 B.－8140或340 C.8140 D.3404.设向量m ，n 满足|m|＝2，|n|＝3，现有如下命题：命题p ：|m －2n|的值可能为9；命题q ：“(m －2n)⊥m ”的充要条件为“cos<m ，n>＝13”；则下列命题中，真命题为A.pB.p ∧qC.(﹁p)∧qD.p ∨(﹁q)5.记抛物线C ：y 2=2px(p>0)的焦点为F ，点M 在抛物线上，若MN NF =，且N(2，2)，则抛物线C 的准线方程为A.x ＝－1B.x ＝－2C.x ＝－3D.x ＝－46.函数3sin 2()xx x f x e+=在[－2π，2π]上的图象大致为7.元朝著名的数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗。

”基于此情境，设计了如图所示的程序框图，若输入的x的值为，输出的x值为9，则判断框中可以填A.i>4B.i>5C.i>6D.i>78.2021年10月，德国爆发出“芳香烃门”事件，即一家权威的检测机构在德国销售的奶粉中随机抽检了16款(德国4款、法国8款、荷兰4款)，其中8款检测出芳香烃矿物油成分，此成分会严重危害婴幼儿的成长，有些奶粉已经远销至中国。

2021年高三上学期12月月考数学(理)试卷含答案

2021年高三上学期12月月考数学（理）试卷含答案一、选择题（本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．集合A={﹣1，3，5}，若f：x→2x﹣1是集合A到B的映射，则集合B可以是（）A．{0，2，3} B．{1，2，3} C．{﹣3，5} D．{﹣3，5，9}2．若的值等于（）A． B．C． D．3．二面角为，、是棱上的两点，、分别在半平面、内，，且，，则的长为A．1 B． C． D．4．已知为内一点，满足, ,且,则的面积为（）A． B． C． D．5．设是由正数组成的等比数列，公比q=2，且a1a2a3…a30=，则a3a6a9…a30=（）A．210 B．215 C．216 D．2206．若不等式在区间上有解，则a的取值范围为（）A．（,）B．C．D．7．在直角中，，，为中点（左图）．将沿折起，使得（如图），则二面角的余弦值为A． B． C． D．8．过点作圆的两切线，设两切点为、，圆心为，则过、、的圆方程是A． B．C． D．9．如果，那么的值等于（）A．－1 B．－2C．0 D．210．执行下面的程序框图，输出的S＝（）A．25 B．9 C．17 D．20第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）11．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是__________．12．的所有正约数之和可按如下方法得到：因为，所以的所有正约数之和为22222222++++⨯+⨯++⨯+⨯=++++=，参照上(133)(22323)(22323)(122)(133)91述方法，可求得的所有正约数之和为．13．矩阵A＝（k≠0）的一个特征向量为α＝，A的逆矩阵A－1对应的变换将点（3，1）变为点（1，1）．则a+k = ．14．如图，在中，，，点D在线段AC上，且，，则．15．长、宽、高分别为的长方体，沿相邻面对角线截取一个三棱锥（如图），剩下几何体的体积为．三、解答题（本大题共6小题,满分75分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．如图4，四棱锥中，底面是菱形，其对角线的交点为，且．（1）求证：平面；（2）设，，是侧棱上的一点，且平面，求三棱锥的体积．17．已知定义域为R的函数f（x）＝是奇函数．（1）求a，b的值；（2）若对任意的t∈R，不等式f（t2－2t）＋f（2t2－k）＜0恒成立，求k的取值范围．18．已知数列{a n}的前三项与数列{b n}的前三项相同，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1a n＝8n对任意n∈N*都成立，数列{b n＋1－b n}是等差数列．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）是否存在k∈N*，使得（b k－a k）∈（0,1）？请说明理由．19．选修42：矩阵与变换已知矩阵M＝有特征值λ1＝4及对应的一个特征向量e1＝．（1）求矩阵M；（2）求曲线5x2＋8xy＋4y2＝1在M的作用下的新曲线的方程．20．某校200位学生期末考试物理成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：、、、、．（1）求图中的值;（2）根据频率分布直方图，估计这200名学生物理成绩的平均值和中位数．21．已知向量，，函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）已知、、分别为内角、、的对边，其中为锐角，，,且，求，和的面积．参考答案1-5：DDCBD 6-10:AAABC11．12．．13．314．15．16．（1）略（2）17．（1）2，1；（2）18．（1）a n＝24－n（n∈N*）， b n＝n2－7n＋14（n∈N*）．（2）不存在k∈N*，使得（b k－a k）∈（0,1）19．（1）（2）x2＋y2＝2．20．（1）（2）73,21．（Ⅰ）；（Ⅱ），，．umV27052 69AC 榬x n-V35089 8911 褑30540 774C 睌30093 758D 疍n26159 662F 是22672 5890 墐。

2021年高考数学模拟试卷一(理科)附答案解析

2021年高考数学模拟试卷（全国卷1）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|3−x>1}，B={x|3−3x>0}，则()A. A∩B={x|x>1}B. A∪B={x|x>2}C. A∪B=RD. A∩(∁R B)={x|1≤x<2}2.设(−1+2i)x=y−1−6i，x，y∈R，则|x−yi|=()A. 6B. 5C. 4D. 33.函数f(x)=ln|x||x|的图象是()A. B.C. D.4.某高中为了解学生课外知识的积累情况，随机抽取200名同学参加课外知识测试，测试共5道题，每答对一题得20分，答错得0分.已知每名同学至少能答对2道题，得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则下列说法正确的是()A. 该次课外知识测试及格率为90%B. 该次课外知识测试得满分的同学有30名C. 该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数D. 若该校共有3000名学生，则课外知识测试成绩能得优秀的同学大约有1440名5.已知向量a⃗=(−1,2)，b⃗ =(2,−3)，则a⃗−2b⃗ 在a⃗+b⃗ 方向上的投影为()A. 13√22B. −13√22C. 13√8989D. −13√89896.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=1，AA1=√3，点D是侧棱BB1的中点，则直线C1D与平面ABC所成角的余弦值为()A. √32B. 2√55C. √77D. 2√777.已知函数f(x)=cos(2x+φ)(−π≤φ≤π)的图象向右平移π12个单位长度后，与函数g(x)=sin2x的图象重合，则f(x)的单调递减区间为()A. [kπ+π3,kπ+5π6](k∈Z) B. [kπ−π6,kπ+π3](k∈Z)C. [kπ+π6,kπ+2π3](k∈Z) D. [kπ−π3,kπ+π6](k∈Z)8.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的半圆的直径为2，则该几何体的表面积为()A. 3π+2B. 4π+2C. 3π+3D. 4π+39.意大利数学家斐波那契于1202年在他撰写的《算盘全书》中提出一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…….这个数列称为斐波那契数列，该数列与自然界的许多现象有密切关系，在科学研究中有着广泛的应用.该数列{a n}满足a1=a2= 1，a n+2=a n+a n+1(n∈N+)，则该数列的前1000项中，为奇数的项共有()A. 333项B. 334项C. 666项D. 667项10.已知抛物线C：y2=4x，过点(2,0)的直线l交C于A，B两点，则直线OA，OB(O为坐标原点)的斜率之积为()A. −8B. −4C. −2D. −111.已知数列{a n}满足a2n−a2n−1=3n−1，a2n+1+a2n=3n+5(n∈N+)，则数列{a n}的前40项和S40=()A. 321+1972B. 320+1972C. 910+98D. 920+9812. 已知定义域为(0,+∞)的函数f(x)满足f′(x)+f(x)x=1x 2，且f(e)=2e ，e 为自然对数的底数，若关于x 的不等式f(x)x−x −ax +2≤0恒成立，则实数a 的取值范围为( )A. [1,+∞)B. [2,+∞)C. [e+2e,+∞) D. [−e 3+2e 2+2e,+∞)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知实数x ，y 满足{x +y ≥1x ≤1y ≤1，则z =3x −y 的最小值为______ ．14. 小张计划从5个沿海城市和4个内陆城市中随机选择2个去旅游，则他至少选择1个沿海城市的概率是______ ． 15. 已知双曲线C ：x 2−y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在其右支上，△F 1PF 2的内切圆为⊙I ，F 2M ⊥PI ，垂足为点M ，O 为坐标原点，则|OM|= ______ ．16. 定义在R 上的函数f(x)满足f(−x)+f(x)=0，当x ≥0时，f(x)=x 2.若不等式14f(ax 2)+f(3−x)≥0对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的最小值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且bcosA =c −√32a ．(1)求角B ；(2)若△ABC 的面积为2√3，BC 边上的高AH =1，求b ，c ．18. 某射击小组由两名男射手与一名女射手组成，射手的每次射击都是相互独立的，已知每名男射手每次的命中率为23，女射手每次的命中率为13． (1)当每人射击2次时，求该射击小组共射中目标4次的概率；(2)当每人射击1次时，规定两名男射手先射击，如果两名男射手都没有射中，那么女射手失去射击资格.一个小组共射中目标3次得100分，射中目标2次得60分，射中目标1次得10分，没有射中目标得−50分.用随机变量X 表示这个射击小组的总得分，求X 的分布列及数学期望．19. 点E ，F 分别是正方形ABCD 的边AB ，BC 的中点，点M 在边AB 上，且AB =3AM ，沿图1中的虚线DE ，EF ，FD 将△ADE ，△BEF ，△CDF 折起使A ，B ，C 三点重合，重合后的点记为点P ，如图2． (1)证明：PF ⊥DM ．(2)求二面角P −DM −F 的余弦值．20. 已知动点P 到点(−√6,0)的距离与到直线x =−4√63的距离之比为√32．(1)求动点P 的轨迹C 的标准方程．(2)过点A(−4,0)的直线l 交C 于M ，N 两点，已知点B(−2,−1)，直线BM ，BN 分别交x 轴于点E ，F.试问在x 轴上是否存在一点G ，使得BE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GF ⃗⃗⃗⃗⃗ +GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．21.已知函数f(x)=ln(x+3)−x．(1)求函数f(x)的最大值．(2)若关于x的方程ae x+ln ax+3=3(a>0)有两个不等实数根x1，x2，证明：e x1+e x2>2a．22.在极坐标系中，点A(1,π6)，B(1,π2)，曲线C：ρ=2sin(θ+π3).以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．(1)在直角坐标系中，求点A，B的直角坐标及曲线C的参数方程；(2)设点P为曲线C上的动点，求|PA|2+|PB|2的取值范围．23.(1)已知a+b+c=1，证明：(a+2)2+(b+2)2+(c+2)2≥49．3(2)若对任意实数x，不等式|x−a|+|2x+1|≥3恒成立，求实数a的取值范围．2答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A={x|3−x>1}={x|x<2}，B={x|3−3x>0}={x|x<1}，∴A∩B={x|x<1}，A∪B={x|x<2}，∁R B={x|x≥1}，∴A∩(∁R B)={x|1≤x<2}．故选：D．求出集合A，B，进而求出A∩B，A∪B，∁R B，A∩(∁R B)，由此能求出结果．本题考查集合的运算，考查交集、并集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题．2.【答案】B【解析】解：∵(−1+2i)x=y−1−6i，x，y∈R，∴−x+2xi=y−1−6i，∴{−x=y−12x=−6，解得x=−3，y=4，∴|x−yi|=|−3−4i|=√(−3)2+(−4)2=5．故选：B．推导出−x+2xi=y−1−6i，利用复数相等的定义列出方程组，求出x=−3，y= 4，由此能求出|x−yi|．本题考查向量的模的求法，考查向量相等、向量的模等基础知识，考查运算求解能力等核心思想，是基础题．3.【答案】A是偶函数，排除B，C选项．【解析】解：函数f(x)=ln|x||x|当0<x<1时，y=ln|x|<0，<0．∴y=ln|x||x|故选：A．根据奇偶性，在利用代入特殊点即可选出答案．本题考查了函数图象变换，是基础题．4.【答案】C【解析】解：由测试成绩百分比分布图知：对于A，该次课外知识测试及格率为1−8%=92%，故A错误；对于B，该次课外知识测试得满分的同学有：200×(1−8%−32%−48%)=24名，故B错误；对于C，该次测试成绩的中位数为80分，该次测试成绩的平均数为：40×8%+60×32%+80×48%+100×(1−8%−32%−48%)=71.6(分)，∴该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数，故C正确；对于D，该校共有3000名学生，则课外知识测试成绩能得优秀的同学大约有：3000×(1−8%−32%)=1800(名)，故D错误．故选：C．利用测试成绩百分比分布图直接求解．本题考查命题真假的判断，考查扇形分布图的性质等基础知识，考查运算求解能力、数据分析能力等核心思想，是基础题．5.【答案】B【解析】解：∵a⃗−2b⃗ =(−5,8)，a⃗+b⃗ =(1,−1)，∴(a⃗−2b⃗ )⋅(a⃗+b⃗ )=−5−8=−13，|a⃗+b⃗ |=√2，∴a⃗−2b⃗ 在a⃗+b⃗ 方向上的投影为：(a⃗ −2b⃗)⋅(a⃗ +b⃗)|a⃗ +b⃗|=√2=−13√22．故选：B．根据条件可求出向量a⃗−2b⃗ 和a⃗+b⃗ 的坐标，然后即可求出(a⃗−2b⃗ )⋅(a⃗+b⃗ )和|a⃗+b⃗ |的值，根据投影的计算公式即可求出a⃗−2b⃗ 在a⃗+b⃗ 方向上的投影．本题考查了向量加法、减法、数乘和数量积的运算，投影的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：因为平面ABC//平面A1B1C1，所以直线C1D与平面ABC所成的角，即是直线C1D与平面A1B1C1所成的角，因为BB1⊥平面平面A1B1C1，所以∠DCB即是直线C1D与平面A1B1C1所成的角，设其大小为θ，则tanθ=B1DB1C1=√321=√32，所以cosθ=1√1+tan2θ=2√77．故选：D．根据直线与两平行平面的成角相等，求出正切值再求余弦值判断．本题考查了正三棱柱性质，考查了直线与平面成角问题，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：∵函数f(x)=cos(2x+φ)(−π≤φ≤π)的图象向右平移π12个单位长度后，可得y=cos(2x−π6+φ)的图象，所得图象与函数g(x)=sin2x的图象重合，∴−π6+φ=−π2，∴φ=−π3，f(x)=cos(2x−π3).令2kπ≤2x−π3≤2kπ+π，求得kπ+π6≤x≤kπ+2π3，可得f(x)的单调递减区间为[kπ+π6,kπ+2π3]，k∈Z，故选：C．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求得f(x)的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体由一个半径为1的14的球和一个底面半径为1，高为1的半圆柱组成．故该几何体的表面积为：S 表=14⋅4⋅π⋅12+2×12⋅π⋅12+π⋅1⋅1+2×1=3π+2．故选：A．首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出组合体的表面积．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的表面积公式，球的表面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：该数列第3，6，9，…项为偶数，以3为周期，1000=3×333+1，所以前1000项中，为偶数的项共有333项，则为奇数的项共有1000−333=667项．故选：D．该数列第3，6，9，…项为偶数，以3为周期，可求出为偶数的项数，从而可求得为奇数的项的项数．本题考查了数列递推式，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则k OA=y1x1,k OB=y2x2，所以k OA⋅k OB=y1y2x1x2，设直线AB的方程为：x=my+2，并代入抛物线方程消去x可得：y2−4my−8=0，所以y1y2=−8，则x1x2=(y1y2)216=4，所以k OA⋅k OB=y1y2x1x2=−84=−2，故选：C．设出点A，B的坐标，由此即可求出直线OA，OB的斜率之积，再由已知设出直线AB 的方程，并与抛物线方程联立，利用韦达定理以及斜率之积的关系式即可求解．本题考查了直线与抛物线的位置关系的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：数列{a n}满足a2n−a2n−1=3n−1，a2n+1+a2n=3n+5(n∈N+)，∴a2n+1+a2n−1=6，a 2n+2+a 2n −(a 2n+1+a 2n−1)=a 2n+2−a 2n+1+a 2n −a 2n−1=3n+1−1+3n −1=4×3n −2，∴a 2n+2+a 2n =4×3n +4，∴(a 1+a 3)+⋯…+(a 37+a 39)=6×10=60．(a 2+a 4)+⋯…+(a 38+a 40)=4×(3+33+⋯…+319)+4×10=4×3(1−910)1−9+40=321−32+40．则数列{a n }的前40项和S 40=60+321−32+40=321+1972．故选：A ．数列{a n }满足a 2n −a 2n−1=3n −1，a 2n+1+a 2n =3n +5(n ∈N +)，可得a 2n+1+a 2n−1=6，又可得a 2n+2+a 2n =4×3n +4，通过分组求和及其利用等比数列的求和公式即可得出．本题考查了数列递推式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：令F(x)=xf(x)，则F′(x)=f(x)+xf′(x)，而f′(x)+f(x)x=1x 2，故F ′(x)=1x ，故F (x)=lnx +c ，由F(e)=ef(e)=2=lne +c =2，解得：c =1，故F (x)=lnx +1，故f(x)=lnx+1x，若关于x 的不等式f(x)x−x −a x +2≤0恒成立，则a ≥lnx+1x−x 2+2x 在x ∈(0,+∞)恒成立，令g(x)=lnx+1x −x 2+2x ，x ∈(0,+∞)，则g′(x)=−lnx x 2−2(x −1)，x ∈(0,1)时，lnx <0，x −1<0，故g′(x)>0，g(x)在(0,1)递增， x ∈(1,+∞)时，lnx >0，x −1>0，g′(x)<0，g(x)在(1,+∞)递减，故g(x)max =g(1)=2，故a ≥2，即a 的取值范围是[2,+∞)，故选：B ．令F(x)=xf(x)，根据题意得到f(x)=lnx+1x，问题转化为a ≥lnx+1x−x 2+2x 在x ∈(0,+∞)恒成立，令g(x)=lnx+1x−x2+2x，x∈(0,+∞)，根据函数的单调性求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是中档题．13.【答案】−1【解析】解：由约束条件作出可行域如图，直线x+y=1与y轴交于A(0,1)，化z=3x−y为y=3x−z，由图可知，y=3x−z过点(0,1)时，直线在y轴上的截距最大，z取得最小值−1．故答案为：−1．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．14.【答案】56【解析】解：小张计划从5个沿海城市和4个内陆城市中随机选择2个去旅游，基本事件总数n=C92=36，他至少选择1个沿海城市包含的基本事件个数m=C51C41+C52=30，则他至少选择1个沿海城市的概率P=mn =3036=56．故答案为：56．基本事件总数n=C92=36，他至少选择1个沿海城市包含的基本事件个数m=C51C41+ C52=30，由此能求出他至少选择1个沿海城市的概率．本题考查概率的运算，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题．15.【答案】a【解析】解：设内切圆I与边PF1的切点为Q，与边PF2的切点为L，与x轴的切点为K，由切线长定理可得||F1K|=|F1Q|，|F2K|=|F2L|，|PF1|−|PF2|=2a=|F1Q|−|F2L|=|F1K|−|F2K|，又|F1K|+|F2K|=2c，解得|F2K|=c−a，则K(a,0)，即I的横坐标为a，即I在直线x=a上，延长F2M交PF1于N，可得PM为NF2的垂直平分线，可得|PN|=|PF2|，且M为NF2的中点，可得|OM|=12|NF1|，而|PF1|−|PF2|=|NF1|=2a，可得|OM|=a，故答案为：a．设内切圆I与边PF1的切点为Q，与边PF2的切点为L，与x轴的切点为K，运用圆的切线长定理和双曲线的定义可得|F2K|=c−a，延长F2M交PF1于N，运用等腰三角形的三线合一以及中位线定理，双曲线的定义，求解OM即可．本题考查双曲线的定义和性质，以及圆的切线长定理的运用，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．16.【答案】16【解析】解：因为定义在R上的函数f(x)满足f(−x)+f(x)=0，即f(x)=−f(x)，所以f(x)为奇函数，又当x≥0时，f(x)=x2，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，由f(x)为奇函数，图象关于原点对称，所以f(x)在(−∞,0)上单调递增，又14f(ax2)+f(3−x)≥0，即f(12ax2)≥f(x−3)，所以12ax2≥x−3对任意x∈R恒成立，当x=0时，不等式成立；当x ≠0时，不等式等价于a ≥(2x−6x 2)max ，令g(x)=2x−6x 2，g′(x)=2x 2−2x(2x−6)x 4=2x(6−x)x 4，令g′(x)>0，可得0<x <6，令g′(x)<0，可得x <0或x >6，所以g(x)在(0,6)上单调递增，在(−∞,0)，(6,+∞)上单调递减，当x ∈(−∞,0)时，g(x)<0，所以g(x)max =g(6)=16，所以a ≥16，所以a 的最小值为16．故答案为：16．判断函数f(x)的奇偶性与单调性，将不等式转化为12ax 2≥x −3对任意x ∈R 恒成立，当x =0时，不等式成立，当x ≠0时，分离参数可得a ≥(2x−6x 2)max ，令g(x)=2x−6x 2，利用导数求出g(x)的最大值，即可得解．本题主要考查不等式恒成立问题，考查函数奇偶性与单调性的综合，以及导数的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)因为bcosA =c −√32a ，所以由正弦定理可得sinBcosA =sinC −√32sinA =sin(A +B)−√32sinA =sinAcosB +cosAsinB −√32sinA ，可得sinAcosB =√32sinA ，因为sinA ≠0，可得cosB =√32，所以由B ∈(0,π)，可得B =π6．(2)因为△ABC 的面积为2√3，BC 边上的高AH =1，在Rt △ABH 中，可得c =AH sinB =1sin π6=2，BH =√c 2−AH 2=√22−12=√3，所以2√3=12acsinB =12×(√3+HC)×2×12，解得HC =3√3，可得a =BH +HC =4√3，在△ABC 中，由余弦定理可得b =√a 2+c 2−2accosB =√(4√3)2+22−2×4√3×2×√32=2√7．【解析】(1)由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式，结合sinA ≠0，可得cos B 的值，结合B ∈(0,π)，可得B 的值．(2)在Rt △ABH 中，由已知利用三角函数的定义可求c ，利用勾股定理可求BH 的值，进而根据三角形的面积公式可求HC 的值，从而可得a ，在△ABC 中，由余弦定理即可求得b 的值．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式化，勾股定理，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】解：(1)某射击小组由两名男射手与一名女射手组成，射手的每次射击都是相互独立的，每名男射手每次的命中率为23，女射手每次的命中率为13．当每人射击2次时，该射击小组共射中目标4次的概率为：P =C 44(23)4C 20(23)2+C 43(23)3(13)C 21(13)(23)+C 42(23)2(13)2C 22(13)2=827．(2)随机变量X 表示这个射击小组的总得分，则X 的可能取值为−50，10，60，100， P(X =−50)=13×13=19，P(X =10)=C 21(23)(13)(23)=827，P(X =60)=C 21(23)(13)(13)+(23)2(23)=1227，P(X =100)=(23)2(13)=427，∴X 的分布列为：数学期望E(X)=−50×19+10×827+60×1227+100×427=3509．【解析】(1)利用n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次概率计算公式能求出当每人射击2次时，该射击小组共射中目标4次的概率．(2)随机变量X 表示这个射击小组的总得分，则X 的可能取值为−50，10，60，100，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力、应用意识等核心素养，是中档题．19.【答案】(1)证明：由题意知PE 、PF 、PD 两两垂直，所以PF ⊥平面PED ，又因为DM ⊂平面PED ，所以PF ⊥DM ．(2)解：由(1)可建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方形边长为6，则各点坐标如下：D(0,0，6)，E(0,3，0)，F(3,0，0)，M(0,2，0)，P(0,0，0)， MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,6)，MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−2,0)，设平面DMF 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， {MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−2y +6z =0MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =3x −2y =0，令y =3，m⃗⃗⃗ =(2,3，1)，平面PMD 的法向量为n⃗ =(1,0，0)，设二面角P −DM −F 的大小为θ，由图可知θ为锐角，所以cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=2√14⋅1=√147．故二面角P −DM −F 的余弦值√147．【解析】(1)证明直线垂直另一直线所在平面即可；(2)用向量数量积计算二面角的余弦值．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．20.【答案】解：(1)设P(x,y)，由题意可得√(x +√6)2+y 2=|x +4√63|⋅√32，两边平方得x 2+2√6x +6+y 2=34(x 2+8√63x +323)，整理得14x 2+y 2=2，即x 28+y 22=1．(2)①当直线l 与x 轴不重合时，设直线l 的方程为x =my −4，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立{x =my −4x 2+4y 2=8，得(n 2+4)y 2−8ny +8=0，所以△=64n 2−32(n 2+4)=32(n 2−4)>0，解得n <−2或n >2， y 1+y 2=8n n 2+4，y 1y 2=8n 2+4，所以直线BM 的方程为y +1=y 1+1x 1+2(x +2)，令y =0得x =(n−2)y 1−4y 1+1，即E((n−2)y 1−4y 1+1,0)，同理可得F 坐标((n−2)y 2−4y 2+1,0)，设存在满足题意的点G(t,0)，BE⃗⃗⃗⃗⃗ =((n−2)y 1−4y 1+1+2,1)=(ny 1−2y 1+1,1)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =((n−2)y 2−4y 2+1+2,1)=(ny 2−2y 2+1,1)， GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =((n−2)y 1−4y 1+1−t,0)=((n−t−2)y 1−t−4y 1+1,0)，GF⃗⃗⃗⃗⃗ =((n−2)y 2−4y 2+1−t,0)=((n−t−2)y 2−t−4y 2+1,0)，所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GF ⃗⃗⃗⃗⃗ +GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(ny 1−2)[(n−t−2)y 2−t−4](y 1+1)(y 2+1)+(ny 2−2)[(n−t−2)y 1−t−4](y 1+1)(y 2+1)=0，所以(ny 1−2)[(n −t −2)y 2−t −4]+(ny 2−2)[(n −t −2)y 1−t −4]=0，所以(2n 2−2nt −4n)y 1y 2−(nt +6n −2t −4)(y 1+y 2)+4t +16=0，所以(2n 2−2nt −4n)8n 2+4−(nt +6n −2t −4)(8nn 2+4)+4t +16=0，整理得−4n 2−n 2t +4t +16=0，即−n 2(t +4)+4(t +4)=0，得(4−n 2)(t +4)=0，因为n <−2或n >2，所以4−n 2≠0，所以t =−4，②当直线l 与x 轴重合时，M ，N 为C 的左右两个顶点，设M(−2√2,0)，N(2√2,0)，则E 与M 重合，F 与N 重合，所以E(−2√2,0)，F(2√2,0)，取t =−4，则G(−4,0)，BE⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−2√2,1)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2+2√2,1)，GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4−2√2,0)，GF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4+3√2,0)，所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GF ⃗⃗⃗⃗⃗ +GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−2√2)(4+2√2)+(2+3√2)(4−2√2)=0，满足题意，综上存在满足题意的定点G(−4,0)．【解析】(1)设P(x,y)，由题意可得√(x +√6)2+y 2=|x +4√63|⋅√32，化简即可得出答案．(2)分两种情况：①当直线l 与x 轴不重合时，②当直线l 与x 轴重合时，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GF ⃗⃗⃗⃗⃗ +GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即可得出答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)f(x)=ln(x +3)−x ，定义域是(−3,+∞)，f′(x)=1x+3−1=−x−2x+3，令f′(x)=0，解得：x =−2，令f′(x)>0，解得：−3<x <−2，令f′(x)<0，解得：x >−2，故f(x)在(−3,−2)递增，在(−2,+∞)递减，则f(x)的最大值是f(−2)=2；(2)证明：方程ae x +ln ax+3=3(a >0)可化为e x+lna +x +lna =x +3+ln(x +3)=e ln(x+3)+ln(x +3)，设g(x)=e x +x ，在(−∞,+∞)上单调递增，又g(x +lna)=g(ln(x +3))，所以有x +lna =ln(x +3)，即方程ln(x +3)−x =lna 有两个实数根x 1，x 2，由(1)知f(x)=ln(x +3)−x ≤2，则有lna <2，所以a 的取值范围为(0,e 2)，因为方程f(x)=lna 有两个实数根x 1，x 2，所以{ln(x 1+3)=x 1+lnaln(x 2+3)=x 2+lna ，则(x 1+3)−(x 2+3)ln(x1+3)−ln(x 2+3)=1，要证明e x 1+e x 2>2a ，即ae x 1+ae x 2>2，所以ae x 1+ae x 2=e x 1+lna +e x 2+lna =e ln(x 1+3)+e ln(x 2+3)=x 1+x 2+6，需要证明x 1+3+x 2+3>2，需要证明x 1+3+x 2+3>2(x 1+3)−2(x 2+3)ln(x 1+3)−ln(x 2+3)，不妨设−3<x 1<x 2，令t =x 1+3x 2+3，则0<t <1，即要证lnt <2(t−1)t+1(0<t <1)，设ℎ(t)=lnt −2(t−1)t+1(0<t <1)，则ℎ′(t)=(t−1)2t(t+1)2>0，所以ℎ(t)在(0,1)上的单调递增，所以ℎ(t)<ℎ(1)=0，即lnt <2(t−1)t+1成立，故原式成立．【解析】(1)f(x)的定义域是(−3,+∞)，求导得f′(x)=−x−2x+3，分析f′(x)的正负，f(x)单调性，即可得出答案．(2)方程ae x +ln ax+3=3(a >0)可化为e x+lna +x +lna =x +3+ln(x +3)=e ln(x+3)+ln(x +3)，设g(x)=e x +x ，分析单调性，进而可得方程ln(x +3)−x =lna 有两个实数根x 1，x 2，由(1)知f(x)=ln(x +3)−x ≤2，则有lna <2，解得a 的取值范围，由方程f(x)=lna 有两个实数根x 1，x 2，得{ln(x 1+3)=x 1+lnaln(x 2+3)=x 2+lna ，进而可得(x 1+3)−(x 2+3)ln(x1+3)−ln(x 2+3)=1，要证明e x 1+e x 2>2a ，即证明x 1+3+x 2+3>2(x 1+3)−2(x 2+3)ln(x 1+3)−ln(x 2+3)，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，函数的零点，解题中注意转化能力的应用，属于中档题． 22.【答案】解：(1)点A(1,π6)，B(1,π2)根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为直角纵坐标为A(√32,12)，B(0.1)．曲线C ：ρ=2sin(θ+π3)，整理得ρ2=ρsinθ+√3ρcosθ，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为直角坐标方程为(x −√32)2+(y −12)2=1，转换为参数方程为{x =√32+cosαy =12+sinα(α为参数)．(2)把曲线C 的直角坐标方程转换为参数方程为{x =√32+cosαy =12+sinα(α为参数)，设点P(√32+cosα,12+sinα)，所以|PA|2+|PB|2的=3+√3cosα−sinα=3+2cos(α+π6)，由于cos(α+π6)∈[−1,1]，故3+2cos(α+π6)∈[1,5]．故|PA|2+|PB|2的取值范围为[1,5]．【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用两点间的距离公式和三角函数的关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的变换，余弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)由柯西不等式可得，(12+12+12)[(a+2)2+(b+2)2+(c+2)2]≥(a+2+b+2+c+2)2=72=49，即为(a+2)2+(b+2)2+(c+2)2≥493(当且仅当a=b=c=13取得等号)；(2)对任意实数x，不等式|x−a|+|2x+1|≥32恒成立，即为32≤(|x−a|+|2x+1|)min，由|x−a|+|2x+1|=|x−a|+|x+12|+|x+12|≥|x−a−x−12|+|−12+12|=|a+1 2|(当且仅当x=−12时取得等号)，所以|x−a|+|2x+1|的最小值为|a+12|，则|a+12|≥32，解得a≥1或a≤−2．则实数a的取值范围是(−∞,−2]∪[1,+∞)．【解析】(1)运用柯西不等式即可得证；(2)由题意可得32≤(|x−a|+|2x+1|)min，由绝对值不等式的性质和绝对值的意义，可得最小值，结合绝对值不等式的解法，可得所求范围．本题考查不等式的证明和不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．。

2021年高三第一次模拟诊断(12月)数学(理)试题含答案

2021年高三第一次模拟诊断（12月）数学（理）试题含答案数学试题卷共2页。

考试时间120分钟。

第1至12题为选择题，60分；第13至23题为非选择题，90分。

满分150分。

注意事项:1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2．答第1至12题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．答第13至23题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）则（）A、 B、 C、 D、2．在中，“”是“”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件3．已知是虚数单位，复数=（）A、B、C、D、4．已知等比数列中，若那么（）A、B、C、D、5．执行如右图所示的程序框图，如果输入，则输出的（）A、 B、 C、 D、6．有4名优秀的大学毕业生被某公司录用，该公司共有5个部门，由公司人事部门安排他们去其中任意3个部门上班，每个部门至少安排一人，则不同的安排方法为（）A、B、C、D、7．若二项式的展开式中的系数是84，则实数（）A、 B、 C、 D、8.设，变量满足条件，若的最小值为3，则的值为（）A、1B、2C、3D、49．已知点是边长为2的正方形的内切圆内（含边界)的一动点，则的取值范围是（）A、 B、 C、 D、10. 已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（）A、B、C、D、11．设点Ｍ（,1），若在圆O:上存在点Ｎ，使得，则的取值范围是（）A、 B、 C、 D、12．已知，函数在处与直线相切，设，若在区间上，不等式恒成立，则实数（）A、有最小值B、有最小值C、有最大值D、有最大值第Ⅱ卷本卷包括必做题和选作题两部分，第13-21题为必做题，每个试题考生都必须作答。

2021届高三新高考数学12月模拟评估卷一(原卷word版)

2021年高三12月月考数学理试卷含答案

2021年高三12月月考数学理试卷含答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.）1.已知集合，则（）A． B． C． D．2.若复数满足，则的共轭复数的虚部是（）A． B． C. D．3.已知，且是的必要不充分条件，则的取值范围是（）A． B． C． D．4.执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是( )A.或B.或C.或D.或5.设变量满足约束条件则的最大值为（）A．6 B．4 C．2 D．06.曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（）.A. B. C. D.7.世博会期间，某班有四名学生参加了志愿工作.将这四名学生分配到三个不同的展馆服务，每个展馆至少分配一人.若甲要求不到馆，则不同的分配方案有( )种A.36B.30C.24D.208.为得到函数的图像，只需将函数的图像（）A．向右平移个长度单位 B．向左平移个长度单位C．向右平移个长度单位 D．向左平移个长度单位9.设四边形为平行四边形，．若点满足，则=（）.A. 6 B. 9 C. 15 D. 2010.一个正三棱柱的主（正）视图是长为,宽为2的矩形,则它的外接球的表面积等于( )A.B. C. D.11.已知是双曲线的左顶点，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线上一点，是的重心，若，则双曲线的离心率为( )A． B． C． D．与的取值有关12.定义在上的函数的图像关于对称，且当时，（其中是的导函数），若，，，则的大小关系是（）.A. B. C. D.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸上.）13.若,则=___________.14.从抛物线上一点引抛物线准线的垂线，垂足为，且，设抛物线的焦点为，则= .15.已知函数，若函数有三个零点，则的取值范围为.三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设数列的前项和为，，，.⑴求数列的通项公式；⑵求数列的前项和. 18．(本小题满分12分）由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从某中学随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检査得到每个学生的视力状况的茎叶图（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如下：若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”.⑴求校医从这16人中随机选取3人，至多有1人是“好视力”的概率；⑵以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多）任选3人，记表示抽到“好视力”学生的人数，求的分布列及数学期望.19.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，，分别是的中点．⑴证明：；⑵若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值20.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．⑴求椭圆的方程；⑵若过点的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满足(为坐标原点)，当时，求实数取值范围21．（本小题满分12分）已知函数⑴讨论函数的单调性；⑵证明：若，则对任意，，有．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题时在答题纸上注明所选题目的题号.22.（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲．已知为半圆的直径，为半圆上一点，过点作半圆的切线，过点作于，交圆于点. ⑴求证：平分；⑵求的长．23.（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为.若以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线的极坐标方程为.⑴求曲线的直角坐标方程；⑵求直线被曲线所截得的弦长.24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．已知，且，若恒成立，⑴求的最小值；⑵若对任意的恒成立，求实数的取值范围.唐山市开滦二中xx年高三年级12月月考理科数学参考答案一、二.选择题、填空题：CABDB ACDBC BA （13），（14），（15），（16）或三、解答题：17. 解⑴,，………2分，，，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，………4分.………………6分⑵，①132212232232121+-+-+++=∴n n n n n T ，② 由①－②得1113221221121412212122222222121+++--⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=--+++=n n n n n n n T ，………………10分是的中点，,,,平面,平面,,,平面,. ………………5分⑵解：由⑴平面于点，平面，是在平面的射影，是与平面所成的角，且当最短即时，,此时，,…………7分以点为坐标原点，分别以直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，令，则()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21,23,0,1,3,0,0,3,0,0,0F C E A ,,设平面的法向量为，则，，令，解得，平面的一个法向量为，同理平面的一个法向量为，…………9分，…………11分二面角的余弦值为……………………12分.20解:(1)由题意知：所以又故所求椭圆的方程为 ……………………………… 4分(2) 由题意知直线的斜率存在.设其方程为：，由得.，设，，，∴，. (6分)∵，∴，，.∵点在椭圆上，∴，∴( 8分)∵＜，∴，∴即∴ 得： ∴ ………10分又∴或 ,故实数的取值范围是…12分21⑴解：函数的定义域为，，①当时，，由，解得，由，解得或；②当时，，在恒成立；③当时，，由，解得，由，解得或.……… 4分综上可得，当时，函数在上单调递减，在，单调递增；当时，函数在单调递增；当时，函数在上单调递减，在，单调递增……………………… 5分⑵证明：令()()()()()+∞∈-+--=+=,0,ln 11212x x a x a x x x f x F ，则()()()()()+∞∈-+--=-+--=,0,11112'x xa x a x x a a x x F ， ()()()()051141,512<--=---=∆∴<<a a a a a ，在恒成立，在上单调递增，………………… 9分①当时，，即，；②当时，，即，；综上可得，若，则对任意，，有.… 12分22⑴证明：连结， 2分为半圆的切线，，又，，，，平分．……………………5分⑵解：由⑴知，………………………………………… 6分连结，四点共圆，，，……… 8分，所以．…………………… 10分.23解：解：(1) 由得：两边同乘以得： -------------3分。

2021年高考数学12月模拟试卷理(含解析)

2021年高考数学12月模拟试卷理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设集合A={x|﹣1≤x≤2，x∈N}，集合B={2，3}，则A∪B=（）A．{1，2，3} B．{0，1，2，3} C．{2} D．{﹣1，0，1，2，3}2．（5分）设复数z满足z•i=xx﹣i，i为虚数单位，则在复平面内，复数z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知||=1，=（0，2），且•=1，则向量与夹角的大小为（）A．B．C．D．4．（5分）某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为（）A．8万元B．10万元C．12万元D．15万5．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=2x+4y的最小值为（）A．10 B．﹣10 C．6 D．﹣66．（5分）已知三棱锥的直观图及其俯视图与侧视图如图，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图面积为（）A．B．2 C．4 D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．3 B．﹣6 C．10 D．﹣158．（5分）设a=log，b=log，c=（）0.3则（）A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞b＞c9．（5分）已知点A（0，2），抛物线C1：y2=ax（a＞0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|=1：，则a的值等于（）A．B．C．1 D．410．（5分）已知a、b、c是三条不同的直线，命题“a∥b且a⊥c⇒b⊥c”是正确的，如果把a、b、c中的两个或三个换成平面，在所得的命题中，真命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．（5分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A≠0，ω＞0，﹣＜φ＜）的图象关于直线x=对称，它的周期是π，则（）A．f（x）的图象过点（0，）B．f（x）的图象在上递减C．f（x）的最大值为AD．f（x）的一个对称中心是点（，0）12．（5分）对于函数f（x），若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”．已知函数f（x）=是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（）A．B．C．D．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

2021届高考理科数学模拟卷(全国Ⅰ卷)(有答案)

2021届高考理科数学模拟卷一、选择题 1.设复数2i1iz =+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知0m >，设集合{}2{||},230M x x m N x x x =<=-<∣∣，且{1}M N x x n ⋃=-<<∣，则 m n +=( )A.12B.1C.2D.523.在ABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 。

若2,sin cos a b B B ==+=则角A 的大小为( )。

A.π3或2π3 B.π6 C.π6或5π6 D.5π64.已知12,F F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点,点 P 在C 上,122PF PF =,则12cos F PF ∠等于( )A.14 B.35C.34D.45 5.根据下表中的数据可以得到线性回归直线方程0.70.35y x =+,则实数,m n 应满足( )6.已知函数()f x 是偶函数,当0x >时,()ln 1f x x x =+,则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为( ) A.y x =-B.2y x =-+C.y x =D.2y x =+7.25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为( )A. 5B. 10C. 15D. 208.若πtan 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πtan 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭( )A. B. 9.若将函数2sin 2y x =的图像向左平移π12个单位长度,则平移后图象的对称轴为( )A. ππ26k x =-(Z)k ∈B. ππ26k x =+(Z)k ∈C. ππ212k x =-(Z)k ∈D. ππ212k x =+(Z)k ∈10.已知四棱锥P ABCD -的体积是,底面ABCD 是正方形,PAB 是等边三角形,平面PAB ⊥平面ABCD ,则四棱锥P ABCD -的外接球的体积为( )A. D.11.设双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与圆2210x y +=相交于A B C D ，，，四点，若四边形ABCD 的面积为12，则双曲线的离心率是( )D ．12.函数π()cos lnπxf x x x-=+的图象大致为( ) A. B.C. D.二、填空题13.已知0,0x y >>,且41x y +=,则14x x y++的最小值为_____________. 14.已知向量()()()1,2,2,2,1,λ==-=a b c .若()2+c a b ,则λ=_________________.15.已知12,F F 分别是双曲线22233(0)x y a a -=>的左、右焦点，P 是抛物线28y ax =与双曲线的一个交点.若1212PF PF +=，则抛物线的准线方程为_________. 16.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 。

2021-2022年高三12月模拟考试数学(理)试题含答案

2021年高三12月模拟考试数学（理）试题含答案一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}{}0,2,3,|,,,A B x x ab a b A a b ===∈≠，则B 的子集的个数是（） A. 4 B. 8 C. 16 D. 152.已知复数，则对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象3.下列命题错误的是( )A. 命题“若，则”的逆否命题为“若中至少有一个不为则” B. 若命题，则C. 中，是的充要条件D. 若向量满足，则与的夹角为钝角.4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B. C. D.5.函数的图象向左平移个单位，所得的图象对应的函数是（） A.值域为［0,2］的奇函数 B.值域为［0,1］的奇函数 C.值域为［0,2］的偶函数 D.值域为［0,1］的偶函数6.已知，若的必要条件是，则之间的关系是( ) A. B. C. D.7.如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段A 1B 上的动点，则下列结论错误的是( )A ．DC 1⊥D 1PB ．平面D 1A 1P⊥平面A 1APC ．∠APD 1的最大值为90° D ．AP+PD 1的最小值为8.在的展开式中，记项的系数为,则的值为（） A ． 45 B ． 60 C ． 120 D ． 2109.某宾馆安排A 、 B 、 C 、 D 、 E 五人入住3个房间, 每个房间至少住1人, 且A 、 B 不能住同一房间, 则不同的安排方法有（）种A. 24B. 48C. 96D. 114 10.在直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为，O 为坐标原点，动点P 满足，则的最小值是( )（第4题（第7题图）A ．B ．C ．D ．11.若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是( ) A ． B ． C ． D ．12.对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数则( ) A .xx B.2 014 C.2 015 D.2 016第Ⅱ卷非选择题（共90分）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 的取值范围是_______. 14.已知椭圆的离心率，则的取值范围为 __________． 15.若△ABC 的内角满足，则的最小值是________． 16.若函数的图像关于直线对称，则的最大值为___．三．解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分12分)已知各项均不相等的等差数列的前四项和，且成等比数列．（I ）求数列的通项公式；（II ）设为数列的前项和，若对任意的正整数恒成立，求实数的最大值．18.(本小题满分12分)已知正棱锥S-ABC 的侧棱SA,SB,SC 两两互相垂直，D,E,F 分别是它们的中点，SA=SB=SC=2，现从A,B,C,D,E,F 六个点中任取三个点，加上点S ，把这四个点两两相连后得到一个“空间体”，记这个“空间体”的体积为X （若点S 与所取三点在同一平面内，则规定X=0）.（I ）求事件“X=0”的概率；（II ）求随机变量X 的分布列及数学期望.19.(本小题满分12分)在如图所示的空间几何体中，平面平面，与都是边长为的等边三角形，，和平面所成的角为，且点在平面上的射影落在的平分线上．（I ）求证：平面；（II ）求二面角的余弦值.20. (本小题满分12分)已知椭圆的右焦点为F ，离心率为，过点F 且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，O 为坐标原点．（I ）求椭圆C 的方程；（II ）如图所示，设直线与圆、椭圆C 同时相切，切点分别为A ，B ，求|AB|的最大值．（第13题图）（第19题图）21. (本小题满分12分) 设函数，、（I ）当时，求函数的单调区间；（II ）令()()(2103)2aF x f x ax bx x x=+++<≤，其图像上任意一点处切线的斜率为，若恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）当时，方程在区间[]内有唯一实数解，求实数的取值范围.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图所示，已知与⊙相切，为切点，过点的割线交圆于两点，弦，相交于点，为上一点，且．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求的长．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线的参数方程为 (为参数，)，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与曲线相交于、两点，当变化时，求的最小值．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数．（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．（第22题xx—1模拟考试数学试题（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一题号 1 2 3 4 5 6答案 A B D B D A题号7 8 9 10 11 12答案 C C D C B B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. [－3,4] 14. 15. 6－2416．36.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）18.（本小题满分12分）……5分19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意知，，都是边长为2的等边三角形，取中点，连接，则，， (2)分又∵平面⊥平面，∴⊥平面，作⊥平面，那么，根据题意，点落在上，∴，易求得，…………4分∴四边形是平行四边形，∴，∴平面…………6分（Ⅱ）解法一：作，垂足为，连接，∵⊥平面，∴，又，∴平面，∴，∴就是二面角的平面角．…………9分中，，，．∴．即二面角的余弦值为.………12分解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，可知平面的一个法向量为设平面的一个法向量为则，可求得．………………9分所以，又由图知，所求二面角的平面角是锐角，所以二面角的余弦值为．…12分20．(本题满分12分)解：（Ⅰ）设F （C ，0），则，知a=，过点F 且与x 轴垂直的直线方程为x=c ，代入椭圆方程有222221,222c y y b a b +==±=解得，于是，解得b ＝1，又，所以椭圆C 的方程为……4分（Ⅱ）依题意直线l 的斜线存在，设直线l ：y ＝kx ＋m 将22222(12)422022y kx mk x kmx m x y =+⎧+++-=⎨+=⎩联立得，令△＝0，22222222164(22)(12)0,2(1)(12)0k m m k k m m k --+=--+=…………………6分2222222222(14)14B 1212(12)12km m k m k OB k k k k -++∴∴==++++切点（,）,2222222(1)1m l x y r r m r k k +===++直线与圆相切，即由22222222222122(1)111212(1)2111k k m k k r k r k k k ++-=+∴+=+∴===-+++…………8分又22222222222222222421412(14)(1)(12)121(12)(1)(12)(1)231k k k k k k k AB OB r k k k k k k k k ++++-+∴=-=-===++++++++＝当且仅当时取等号…………………12分 21．(本题满分12分)请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号22. （本小题满分10分）解：（Ⅰ）∵,∴∽,∴……………………2分又∵,∴, ∴,∴∽，∴，∴…………4分又∵，∴．……………………5分（Ⅱ）∵, ∴ ，∵ ∴由（1）可知：，解得.……………………7分 ∴． ∵是⊙的切线，∴∴，解得．……………………10分 23．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由，得所以曲线C 的直角坐标方程为.……………………5分（Ⅱ）将直线的参数方程代入，得. 设、两点对应的参数分别为、，则，，∴，当时，的最小值为4. ……………………10分 24．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧≤--+≤≤-⎪⎩⎪⎨⎧≤-++>6)32()12(23216)32()12(23x x x x x x 或或解得：.即不等式的解集为． ……………………5分（Ⅱ）不等式等价于，因为4|)32()12(||32||12|=--+≥-++x x x x ，所以的最小值为4，于是即所以或．…10分。

2021年全国1卷高考理科数学模拟试卷及答案解析

★启用前注意保密2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试数学本试卷共5页，22小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的市（县、区）、学校、班级、姓名、考场号、座位号和考生号填写在答题卡上。

将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知全集U＝R，集合M＝{x|lnx＜1}，N＝{x|x2﹣4≥0}，则M∩（∁U N）＝（）A．（﹣2，e）B．（﹣2，2）C．（0，e）D．（0，2）2．（5分）复数1+i+i2+…+i15等于（）A．0B．i C．﹣i D．13．（5分）已知直线l1：ax+2y+3＝0，l2：x+（3﹣a）y﹣3＝0，则“a＝6”是“l1⊥l2”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：广告费用x（万元）23456销售额y（万元）1925343844根据上表可得回归直线方程为y=6.3x+a，下列说法正确的是（）A．回归直线y=6.3x+a必经过样本点（2，19）、（6，44）B．这组数据的样本中心点(x，y)未必在回归直线y=6.3x+a上C．回归系数6.3的含义是广告费用每增加1万元，销售额实际增加6.3万元D．据此模型预报广告费用为7万元时销售额为50.9万元5．（5分）若a ＜b ＜0，则下列不等式中不成立的是（） A ．|a |＞|b |B ．a 2＞b 2C ．1a＞1bD ．1a−b＞1a6．（5分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DC 的中点，则异面直线BM 与A 1C 所成角的正弦值为（）A ．√21015B ．√1515C ．√6565D ．865√657．（5分）若函数f （x ）＝（3a ﹣1）x 是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是（） A ．(23，+∞)B ．(0，23)C ．(13，23)D ．(−∞，23)8．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a ＝3，√15bcosA =asinB ，则△ABC 面积的最大值是（） A ．3√152B ．3√154C ．3√158D ．3√15169．（5分）若函数f （x ）＝cos （2x +θ）+sin 2x 的最大值为G （θ），最小值为g （θ），则以下结论正确的个数为（）（1）∃θ0∈R ，使G （θ0）+g （θ0）＝π （2）∃θ0∈R ，使G （θ0）﹣g （θ0）＝π （3）∃θ0∈R ，使|G （θ0）•g （θ0）|＝π （4）∃θ0∈R ，使|G(θ0)g(θ0)|=πA ．3B ．2C ．1D ．010．（5分）点M ，N 分别是棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱BC ，CC 1的中点，动点P 在正方形BCC 1B 1（包括边界）内运动，且P A 1∥面AMN ，则P A 1的长度范围为（） A ．[1，√52]B ．[3√24，√52]C ．[3√24，32]D ．[1，32]11．（5分）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥l 于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（） A ．经过点O B ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP12．（5分）在△ABC 中，D 为BC 的中点，P 为AD 上的一点且满足BA →+BC →=3BP →，则△ABP 与△ABC 面积之比为（） A ．14B ．13C ．23D ．16二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13．（5分）若sin2α1−cos2α=13，tan （β﹣2α）＝1，则tan （α﹣β）＝．14．（5分）若（2a 2+b 3）n 的二项展开式中有一项为ma 4b 12，则m ＝．15．（5分）已知梯形ABCD 满足AB ∥CD ，∠BAD ＝45°，以A ，D 为焦点的双曲线Γ经过B ，C 两点．若CD ＝7AB ，则Γ的离心率为．16．（5分）已知函数f （x ）＝|4x ﹣3|+2，若函数g （x ）＝[f （x ）]2﹣2mf （x ）+m 2﹣1有4个零点，则m 的取值范围是．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）S n 为各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和，a 1＝1，3a 3是a 4和a 5的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =a n (a n +1)(a n+1+1)，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n ＜12．18．（12分）如图，在棱长均为2的三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，平面A 1CB ⊥平面A 1ABB 1，AB 1＝A 1B ，O 为AB 1与AB 的交点．（1）求证：AB 1⊥CO ；（2）求平面ACC 1A 1与平面ABC 所成锐二面角的余弦值．19．（12分）第十三届全国人民代表大会第二次会议和政协第十三届全国委员会第二次会议（简称两会）将分别于2019年3月5日和3月15日在北京开幕．全国两会召开前夕，某网站推出两会热点大型调查，调查数据表明，网约车安全问题是百姓最为关心的热点之一，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与者中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），得到的频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取3人赠送礼品，求抽取的3人中至少有1人年龄在第3组的概率；（Ⅱ）若从所有参与调查的人中任意选出3人，记关注网约车安全问题的人数为X ，求X 的分布列与期望；（Ⅲ）把年龄在第1，2，3组的人称为青少年组，年龄在第4，5组的人称为中老年组，若选出的200人中不关注网约车安全问题的人中老年人有10人，问是否有99%的把握认为是否关注网约车安全问题与年龄有关？附： P （K 2≥k 0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d20．（12分）过平面上点P 作直线l 1：y =12x ，l 2：y =−12x 的平行线分别交y 轴于点M ，N 且|OM |2+|ON |2＝8．（1）求点P 的轨迹C 方程；（2）若过点Q （0，1）的直线l 与轨迹C 交于A ，B 两点，若S △AOB =√7，求直线l 的方程．21．（12分）已知函数f （x ）＝e x ﹣1﹣xlnx ．（1）判断函数f （x ）的单调性；（2）设函数h （x ）＝f （x ）﹣ax ﹣1，讨论当x ∈[1，+∞）时，函数h （x ）的零点个数．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：{x =√3+2cosαy =−1+2sinα（其中α为参数）．以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设点A的极坐标为（3，﹣2π3），点B在曲线C上运动，求△OAB面积的最大值以及此时点B的极坐标．五．解答题（共1小题）23．（1）设a，b∈（0，+∞），且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．（2）设a，b，c为不全相等的正数，且abc＝1，求证：1a +1b+1c＞√a+√b+√c．2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试数学参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知全集U＝R，集合M＝{x|lnx＜1}，N＝{x|x2﹣4≥0}，则M∩（∁U N）＝（）A．（﹣2，e）B．（﹣2，2）C．（0，e）D．（0，2）【解答】解：∵M＝{x|0＜x＜e}，N＝{x|x≤﹣2或x≥2}，U＝R，∴∁U N＝{x|﹣2＜x＜2}，M∩（∁U N）＝（0，2）．故选：D．2．（5分）复数1+i+i2+…+i15等于（）A．0B．i C．﹣i D．1【解答】解：1+i+i2+…+i15=1×(1−i16)1−i=1−141−i=0．故选：A．3．（5分）已知直线l1：ax+2y+3＝0，l2：x+（3﹣a）y﹣3＝0，则“a＝6”是“l1⊥l2”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：l1：ax+2y+3＝0，l2：x+（3﹣a）y﹣3＝0，l1⊥l2⇔a×1+2×（3﹣a）＝0⇔a＝6．故“a＝6”是“l1⊥l2”的充分必要条件，故选：C．4．（5分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：广告费用x（万元）23456销售额y（万元）1925343844根据上表可得回归直线方程为y=6.3x+a，下列说法正确的是（）A．回归直线y=6.3x+a必经过样本点（2，19）、（6，44）B．这组数据的样本中心点(x，y)未必在回归直线y=6.3x+a上C ．回归系数6.3的含义是广告费用每增加1万元，销售额实际增加6.3万元D ．据此模型预报广告费用为7万元时销售额为50.9万元【解答】解：回归直线y =6.3x +a ，不一定经过任何一个样本点，故A 错；由最小二乘法可知，这组数据的样本中心点(x ，y)一定在回归直线y =6.3x +a 上，故B 错；回归系数6.3的含义是广告费用每增加1万元，预测销售额增加6.3万元，故C 错； x =15(2+3+4+5+6)=4，y =15(19+25+34+38+44)=32，将（4，32）代入y =6.3x +a ，可得a =6.8，则回归方程为y =6.3x +6.8， x ＝7时，y =6.3×7+6.8=50.9，故D 正确．故选：D ．5．（5分）若a ＜b ＜0，则下列不等式中不成立的是（） A ．|a |＞|b |B ．a 2＞b 2C ．1a＞1bD ．1a−b＞1a【解答】解：∵a ＜b ＜0，∴|a |＞|b |，a ab＜bab ，即1b ＜1a ，a 2＞b 2，因此A ，B ，C 正确．对于D ：∵0＞a ﹣b ＞a ，∴a−b a(a−b)＞aa(a−b)，即1a ＞1a−b，因此D 不正确．故选：D ．6．（5分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DC 的中点，则异面直线BM 与A 1C 所成角的正弦值为（）A ．√21015B ．√1515C ．√6565D ．865√65【解答】解：在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DC 的中点，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中设棱长为2，则B （2，2，0），M （0，1，0），A 1（2，0，2），C （0，2，0）， BM →=（﹣2，﹣1，0），A 1C →=（﹣2，2，﹣2），cos ＜BM →，A 1C →＞=BM →⋅A 1C→|BM →|⋅|A 1C →|=2√5⋅√12=√1515，则异面直线BM 与A 1C 所成角的正弦值为1−(√1515)2=√21015．故选：A ．7．（5分）若函数f （x ）＝（3a ﹣1）x 是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是（） A ．(23，+∞)B ．(0，23) C ．(13，23) D ．(−∞，23)【解答】解：函数f （x ）＝（3a ﹣1）x 是R 上的增函数，则3a ﹣1＞1，解得a ＞23；所以实数a 的取值范围是（23，+∞）．故选：A ．8．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a ＝3，√15bcosA =asinB ，则△ABC 面积的最大值是（） A ．3√152B ．3√154C ．3√158D ．3√1516【解答】解：因为√15bcosA =asinB ，所以由正弦定理可得√15sinBcosA =sinAsinB ，因为sin B ≠0，所以√15cosA =sinA ，即tanA =√15，则sinA =√154，cosA =14．由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc cos A，即9=b2+c2−12bc≥2bc−12bc=32bc，则bc≤6，故△ABC的面积S=12bcsinA≤12×6×√154=3√154．故选：B．9．（5分）若函数f（x）＝cos（2x+θ）+sin2x的最大值为G（θ），最小值为g（θ），则以下结论正确的个数为（）（1）∃θ0∈R，使G（θ0）+g（θ0）＝π（2）∃θ0∈R，使G（θ0）﹣g（θ0）＝π（3）∃θ0∈R，使|G（θ0）•g（θ0）|＝π（4）∃θ0∈R，使|G(θ0)g(θ0)|=πA．3B．2C．1D．0【解答】解：f（x）＝cos（2x+θ）+sin2x＝cos2x cosθ﹣sin2x sinθ+12（1﹣cos2x）＝﹣sinθsin2x+（cosθ−12）cos2x+12=√sin2θ+(cosθ−12)2sin（2x+φ）+12，∴G（θ）=√sin2θ+(cosθ−12)2+12=√54−cosθ+12，g（θ）=−√54−cosθ+12，所以G（θ）+g（θ）＝1，G（θ）g（θ）＝cosθ﹣1∈[﹣2，0]，G（θ）﹣g（θ）＝2√54−cosθ∈[1，3]，当g（θ）≠0时，|G(θ0)g(θ0)|=√54−cosθ+12√54−cosθ−12=1√54−cosθ−12∈[2，+∞），所以（1）（2）（3）错误，（4）正确．故选：C．10．（5分）点M，N分别是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动，且P A1∥面AMN，则P A1的长度范围为（）A．[1，√52]B．[3√24，√52]C．[3√24，32]D．[1，32]【解答】解：取B1C1的中点E，BB1的中点F，连结A1E，A1F，EF，取EF中点O，连结A 1O ，∵点M ，N 分别是棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱BC ，CC 1的中点， ∴AM ∥A 1E ，MN ∥EF ， ∵AM ∩MN ＝M ，A 1E ∩EF ＝E ， ∴平面AMN ∥平面A 1EF ，∵动点P 在正方形BCC 1B 1（包括边界）内运动，且P A 1∥面AMN ， ∴点P 的轨迹是线段EF ，∵A 1E ＝A 1F =√12+(12)2=√52，EF =12√12+12=√22， ∴A 1O ⊥EF ，∴当P 与O 重合时，P A 1的长度取最小值：A 1O =(√52)2+(√24)2=3√24，当P 与E （或F ）重合时，P A 1的长度取最大值：A 1E ＝A 1F =√52．∴P A 1的长度范围为[3√24，√52]．故选：B ．11．（5分）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥l 于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（） A ．经过点O B ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP【解答】解：（本题属于选择题）不妨设抛物线的方程为y 2＝4x ，则F （1，0），准线为l 为x ＝﹣1，不妨设P （1，2）， ∴Q （﹣1，2），设准线为l 与x 轴交点为A ，则A （﹣1，0），可得四边形QAFP 为正方形，根据正方形的对角线互相垂直，故可得线段FQ 的垂直平分线，经过点P ，故选：B ．12．（5分）在△ABC 中，D 为BC 的中点，P 为AD 上的一点且满足BA →+BC →=3BP →，则△ABP 与△ABC 面积之比为（） A ．14B ．13C ．23D ．16【解答】解：D 为BC 的中点，P 为AD 上的一点且满足BA →+BC →=3BP →，设AC 的中点为M ，又因为BA →+BC →=2BM →，所以BP →=23BM →，可得B ，P ，M 三点共线，且P 为三角形ABC 的重心，由重心性质可得：S △ABP S ABC=13．故选：B ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13．（5分）若sin2α1−cos2α=13，tan （β﹣2α）＝1，则tan （α﹣β）＝ 2 ．【解答】解：由sin2α1−cos2α=13，得2sinαcosα2sin 2α=13，即tan α＝3．又tan （β﹣2α）＝1，∴tan （α﹣β）＝tan[﹣α﹣（β﹣2α）]＝﹣tan[α+（β﹣2α）] =−tanα+tan(β−2α)1−tanαtan(β−2α)=−3+11−3×1=2．故答案为：2．14．（5分）若（2a 2+b 3）n的二项展开式中有一项为ma 4b 12，则m ＝154．【解答】解：根据二项式的展开式的通项为T r+1=C n r 2n−r a 2n−2r b 3r，令{2n −2r =43r =12，解得{n =6r =4，所以m =C 6422=60．故答案为：60．15．（5分）已知梯形ABCD 满足AB ∥CD ，∠BAD ＝45°，以A ，D 为焦点的双曲线Γ经过B ，C 两点．若CD ＝7AB ，则Γ的离心率为3√24．【解答】解：如图：连接AC ，BD ；设双曲线的焦距AD ＝2c ；实轴长为2a ；则BD ﹣AB＝AC ﹣CD ＝2a ；设AB ＝m ，则CD ＝7m ，BD ＝2a +m ，AC ＝2a +7m ，依题意，∠BAD ＝45°，∠ADC ＝135°，在△ABD 中，由余弦定理及题设可得：（2a +m ）2＝m 2+4c 2﹣2√2mc ；在△ACD 中，由余弦定理及题设可得：（2a +7m ）2＝49m 2+4c 2+14√2mc ；整理得：√2（c 2﹣a 2）＝m （√2a +c ）； √2（c 2﹣a 2）＝7m （ √2a ﹣c ）；两式相结合得：√2a +c ＝7（√2a ﹣c ）⇒6 √2a ＝8c ； ∴双曲线Γ的离心率为e =ca =3√24；故答案为：3√24．16．（5分）已知函数f （x ）＝|4x ﹣3|+2，若函数g （x ）＝[f （x ）]2﹣2mf （x ）+m 2﹣1有4个零点，则m 的取值范围是（3，4）．【解答】解：g （x ）＝[f （x ）]2﹣2mf （x ）+m 2﹣1＝0，即[f （x ）﹣（m +1）][f （x ）﹣（m ﹣1）]＝0，解得f （x ）＝m ﹣1或f （x ）＝m +1．由f （x ）的图象，可得{2＜m −1＜52＜1+m ＜5，解得3＜m ＜4，即m 的取值范围是（3，4）．故答案为：（3，4）．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）S n为各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和，a1＝1，3a3是a4和a5的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n(a n+1)(a n+1+1)，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜12．【解答】（Ⅰ）解：由题意，设等比数列{a n}的公比为q（q＞0），则a3＝q2，a4＝q3，a5＝q4，∵3a3是a4和a5的等差中项，∴6a3＝a4+a5，即6q2＝q3+q4，化简整理，得q2+q﹣6＝0，解得q＝﹣3（舍去），或q＝2，∴a n＝1•2n﹣1＝2n﹣1，n∈N*，（Ⅱ）证明：由（Ⅰ），可得b n=a n(a n+1)(a n+1+1)=2n−1(2n−1+1)(2n+1)=12n−1+1−12n+1，∴T n＝b1+b2+…+b n=11+1−121+1+121+1−122+1+⋯+12n−1+1−12n+1=12−12n+1＜1 2，∴T n＜1 2．18．（12分）如图，在棱长均为2的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1CB⊥平面A1ABB1，AB1＝A1B，O为AB1与AB的交点．（1）求证：AB1⊥CO；（2）求平面ACC 1A 1与平面ABC 所成锐二面角的余弦值．【解答】解：（1）证明：∵在棱长均为2的三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，四边形A 1ABB 1是菱形， ∴A 1B ⊥AB 1，∵平面A 1CB ⊥平面A 1ABB 1，平面A 1CB ∩平面A 1ABB 1＝A 1B ， ∴A 1B ⊥平面A 1CB ，∵CO ⊂平面A 1CB ，∴AB 1⊥CO ．（2）解：∵AB 1＝A 1B ，∴菱形A 1ABB 1为正方形，在Rt △COA 中，CO =√AC 2−OA 2=√2，在△COB 中，CO ＝OB =√2，CB ＝2，CO 2+OB 2＝CB 2， ∴CO ⊥OB ，又CO ⊥AB 1，A 1B ∩AB 1＝O ， ∴CO ⊥平面A 1ABB 1，以O 为坐标原点，以OA ，OB ，OC 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， A （√2，0，0），A 1（0，−√2，0），C （0，0，√2），B （0，√2，0）， AA 1→=（−√2，−√2，0），AC →=（−√2，0，√2），AB →=（−√2，√2，0），设平面ACC 1A 1的一个法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅AC →=−√2x +√2z =0n →⋅AA 1→=−√2x −√2y =0，取x ＝1，n →=（1，﹣1，1），设平面ABC 的一个法向量m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅AC →=−√2x +√2z =0m →⋅AB →=−√2x +√2y =0，取x ＝1，得m →=（1，1，1），设平面ACC 1A 1与平面ABC 所成锐二面角为θ，则cos θ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=1√3×√3=13，∴平面ACC 1A 1与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为13．19．（12分）第十三届全国人民代表大会第二次会议和政协第十三届全国委员会第二次会议（简称两会）将分别于2019年3月5日和3月15日在北京开幕．全国两会召开前夕，某网站推出两会热点大型调查，调查数据表明，网约车安全问题是百姓最为关心的热点之一，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与者中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），得到的频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取3人赠送礼品，求抽取的3人中至少有1人年龄在第3组的概率；（Ⅱ）若从所有参与调查的人中任意选出3人，记关注网约车安全问题的人数为X，求X 的分布列与期望；（Ⅲ）把年龄在第1，2，3组的人称为青少年组，年龄在第4，5组的人称为中老年组，若选出的200人中不关注网约车安全问题的人中老年人有10人，问是否有99%的把握认为是否关注网约车安全问题与年龄有关？附：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d【解答】解：（I）由10（0.01+a+0.015+0.03+0.01）＝1，得a＝0.035，所以第1，2，3组的人数分别为20，30，70，从第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取12人，则第1，2，3组抽取的人数分别为2，3，7，记从12人中随机抽取3人，至少有1人年龄在第3组为事件A，则P(A)=1−C53C123=2122，（II ）由题知参与调查的人中关注网约车安全问题的概率为45，X ＝0，1，2，3，X ～B （3，45），P(X =0)=C 30(1−45)3=1125，P(X =1)=C 3145(1−45)2=12125， P(X =2)=C 32(45)2(1−45)1=48125，P(X =3)=C 33(45)3=64125所以X 的分布列为：X 0123P 1125121254812564125E(X)=3×45=125；（III ）由题意得2×2列联表如下：关注网约车安全不关注网约车安全合计青少年 90 30 120 中老年 70 10 80 合计16040200K 2=200×(90×10−70×30)2160×40×80×120=7516=4.6875＜6.635，所以没有99%的把握认为是否关注网约车安全问题与年龄有关．20．（12分）过平面上点P 作直线l 1：y =12x ，l 2：y =−12x 的平行线分别交y 轴于点M ，N 且|OM |2+|ON |2＝8．（1）求点P 的轨迹C 方程；（2）若过点Q （0，1）的直线l 与轨迹C 交于A ，B 两点，若S △AOB =√7，求直线l 的方程．【解答】解：（1）设P （x 0，y 0），若P 为原点，则M ，N 都为原点O ，|OM |＝|ON |＝0，不合题意，所以P 不为原点，由题设y =12(x −x 0)+y 0，令x ＝0，得y M =y 0−12x 0，再由y =−12(x −x 0)+y 0，令x ＝0，得y N =y 0+12x 0，又|OM |2+|ON |2＝8，即(y 0−12x 0)2+(y 0+12x 0)2=8 化简整理得：x 0216+y 024=1，所以点P 的轨迹C 方程x 216+y 24=1．（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，A ，B ，O 在一条直线上，不合题意，直线l 的斜率存在，故设其方程为y ＝kx +1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， {y =kx +1x 216+y 24=1⇒(4k 2+1)x 2+8kx −12=0，则x 1+x 2=−8k4k 2+1，x 1⋅x 2=−124k 2+1，从而|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1⋅x 2=√256k 2+484k 2+1，又S △AOB=12|OQ|⋅|x 1−x 2|=12×1×√256k 2+484k 2+1=3√72，所以k 2=14⇒k =±12，故直线l 的方程为y =±12x +1． 21．（12分）已知函数f （x ）＝e x ﹣1﹣xlnx ．（1）判断函数f （x ）的单调性；（2）设函数h （x ）＝f （x ）﹣ax ﹣1，讨论当x ∈[1，+∞）时，函数h （x ）的零点个数．【解答】解：（1）f （x ）的定义域是（0，+∞）， f ′（x ）＝e x ﹣1﹣lnx ﹣1，f ″（x ）＝e x ﹣1−1x ，∵f ″（x ）在（0，+∞）递增，且f ″（1）＝0，故x ∈（0，1）时，f ″（x ）＜0，f ′（x ）递减，当x ∈（1，+∞）时，f ″（x ）＞0，f ′（x ）递增，从而当x ∈（0，+∞）时，f ′（x ）≥f ′（1）＝0，f （x ）递增，故函数f （x ）在（0，+∞）递增，无递减区间；（2）h （x ）＝f （x ）﹣ax ﹣1＝e x ﹣1﹣xlnx ﹣ax ﹣1，x ＞0，令h （x ）＝0，得a =e x−1x −lnx −1x ，令g （x ）=e x−1x −lnx −1x ，则函数h （x ）在x ∈[1，+∞）的零点个数即直线y ＝a 和函数g （x ）的图象在[1，+∞）上的交点个数，又g ′（x ）=(ex−1−1)(x−1)x 2，故当x ∈（1，+∞）时，g ′（x ）＞0，g （x ）递增，故g （x ）在[1，+∞）的最小值是g （1）＝0，又∵当x →+∞时，g （x ）→+∞，故①a ≥0时，直线y ＝a 与函数g （x ）的图象在[1，+∞）上有1个交点， ②当a ＜0时，直线y ＝a 与函数g （x ）的图象在[1，+∞）上没有交点，综上，当a ≥0时，函数h （x ）在[1，+∞）上有1个零点，当a ＜0时，函数h （x ）在[1，+∞）上没有零点．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：{x =√3+2cosαy =−1+2sinα（其中α为参数）．以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设点A 的极坐标为（3，﹣2π3），点B 在曲线C 上运动，求△OAB 面积的最大值以及此时点B 的极坐标．【解答】解：（1）曲线C ：{x =√3+2cosαy =−1+2sinα（其中α为参数），转换为直角坐标方程为(x −√3)2+(y +1)2=4，整理得x 2+y 2−2√3x +2y =0，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为极坐标方程为：ρ2−2√3ρcosθ+2ρsinθ=0，化简为：ρ=4cos(θ+π6)．（2）设B （ρ，θ），A 的极坐标为（3，﹣2π3），所以OA 和OB 的夹角为θ+2π3，所以S △OAB =12×3×ρ×sin(θ+2π3)=32×4×cos(θ+π6)×sin(θ+2π3)，=6cos2(θ+π6)，当θ+π6=0时，S△OAB的最大值为6，即B（4，−π6）．五．解答题（共1小题）23．（1）设a，b∈（0，+∞），且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．（2）设a，b，c为不全相等的正数，且abc＝1，求证：1a +1b+1c＞√a+√b+√c．【解答】（1）方法一（分析法）：要证a3+b3＞a2b+ab2成立，即需证（a+b）（a2﹣ab+b2）＞ab（a+b）成立，又因a+b＞0，故只需证a2﹣ab+b2＞ab成立，即需证a2﹣ab+b2＞0 成立，即需证（a﹣b）2＞0 成立，而依题设a≠b，则（a﹣b）2＞0 显然成立，由此命题得证；方法二（综合法）：a≠b⇔a﹣b≠0⇔（a﹣b）2＞0⇔a2﹣2ab+b2＞0⇔a2﹣ab+b2＞ab，注意到a，b∈（0，+∞），a+b＞0，由上式即得（a+b）（a2﹣ab+b2）＞ab（a+b），所以a3+b3＞a2b+ab2；（2）解：∵a，b，c为不全相等的正数，且abc＝1，∴1a +1b+1c=bc+ca+ab，又bc+ca≥2√bc⋅√ca=2√c，ca+ab≥2√ca⋅√ab=2√a，ab+bc≥2√ab⋅√bc=2√b，且a，b，c不全相等，∴上述三个不等式中的“＝”不能同时成立，∴2bc+2ca+2ab＞2√c+2√a+2√b，即bc+ca+ab＞√c+√b+√a，故1a+1b+1c＞√a+√b+√c．。

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理（全国卷1，含答案）

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理（全国卷1）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设1i2i 1iz -=++，则||z = A ．0B ．12C ．1D ．22．已知集合{}220A x x x =-->，则A =RA ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|1|2x x x x <->D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥3．某地域通过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地域农村的经济收入转变情况，统计了该地域新农村建设前后农村的经济收入组成比例，取得如下饼图：建设前经济收入组成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a A ．12-B ．10-C ．10D ．125．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A ．172B ．52C ．3D ．28．设抛物线C ：y 2=4x 的核心为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅= A ．5B ．6C ．7D ．89．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆组成，三个半圆的直径别离为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部份记为II ，其余部份记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 311．已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右核心，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点别离为M 、N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |= A ．32B ．3 C． D ．412．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为 ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高三数学一模考试12月试题理含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校双流区棠湖2021届高三数学一模考试〔12月〕试题理〔含解析〕第I 卷(选择题一共60分〕一、选择题(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每个小题所给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的规定的正确位置.〕2z i =+，其中i 是虚数单位，那么=z ()B.1C.3D.5【答案】A 【解析】【分析】根据复数模的定义求解.【详解】=z = A.【点睛】此题考察复数的模，考察根本分析求解才能，属根底题.{}2,1,0,1,2M =--，{}220N x x x =--<，那么MN =〔〕A.{}2,1--B.{}1,0- C.{}0,1D.{}1,2【答案】C 【解析】【分析】先求解集合N 中的不等式，再求交集即可。

【详解】{|12};{0,1}Nx x M N =-<<∴⋂=；应选：C【点睛】此题考察集合的根本运算，求两个集合的交集，属于根底题。

3.某四棱锥的三视图如下列图，那么该四棱锥的体积为〔〕A.23B.43C.83【答案】C 【解析】【分析】由中的三视图，可知该几何体是一个底面为正方形的四棱锥，然后求解几何体的体积即可．【详解】该三视图复原成直观图后的几何体是如图的四棱锥A BCDE -为三视图复原后的几何体，CBA 和ACD 是两个全等的直角三角形；A C=C D=B C=2，几何体的体积为：1822233⨯⨯⨯=，应选：C【点睛】此题考察由三视图求体积，解决此题的关键是复原该几何体的形状． 4.某程序框图如下列图，那么执行该程序后输出的a 的值是〔〕A.1-B.12C.1D.2【答案】A 【解析】【分析】由中的程序框图可知，该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量a 的值，模拟程序的运行过程，即可得到答案【详解】代入2a=，12018i =<，那么11122a =-=，112i =+=；再次代入得1a =-，3i =；继续代入得2a =，4i =；不难发现出现了循环，周期为3那么当2018i =时，1a =-，2018120192018i=+=>，跳出循环得到1a =-应选A【点睛】此题主要考察的是程序框图，在循环构造中找出其循环规律，即可得出结果，较为根底5.在△ABC 中，6B π=，c=4，cosC =，那么b=〔〕A.B.3C.32D.43【答案】B 【解析】【分析】由利用同角三角函数根本关系式可求sinC 的值，根据正弦定理即可计算解得b 的值．【详解】∵6B π=，c=4，cosC =，∴2sin 3C==， ∴由正弦定理sin b csinB C=，可得：41223b =，解得：b=3．应选：B ．【点睛】此题主要考察了同角三角函数根本关系式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考察了转化思想，属于根底题．,a b 是非零向量，那么“存在实数λ，使得λab 〞是“a b a b+=+〞的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由题意结合向量一共线的性质分类讨论充分性和必要性是否成立即可.【详解】存在实数λ，使得λab ，说明向量,a b 一共线，当,a b 同向时，a b a b+=+成立，当,a b 反向时，a b a b+=+不成立，所以，充分性不成立.当a b a b+=+成立时，有,a b 同向，存在实数λ，使得λab 成立，必要性成立，即“存在实数λ，使得λa b 〞是“a b a b+=+〞的必要而不充分条件.应选：B .【点睛】此题主要考察向量一共线的充分条件与必要条件，向量的运算法那么等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.l 过抛物线28y x =的焦点F ，与抛物线交于A ，B 两点，与其准线交于点C .假设点F 是AC 的中点，那么线段BC 的长为〔) A.83B.3C.163D.6【答案】C 【解析】【分析】由题意结合抛物线的定义和性质首先求得直线AB 的方程，然后联立直线方程与抛物线方程可得点B 的坐标，进一步整理计算即可求得最终结果.【详解】如图，A 在准线上的射影为E ，B 在准线上的射影为H ，由抛物线y 2=8x ，得焦点F 〔2，0〕， ∵点F 是的AC 中点，∴AE =2p =8，那么AF =8，∴A 点横坐标为6，代入抛物线方程，可得(6,A.62AF k ∴==-AF 所在直线方程为)2y x -.联立方程：)228y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩可得：2320120x x -+=， 264,3B B x x ∴==，那么28233BF BH ==+=. 故816833BC CF BF AF BF =-=-=-=.应选：C .【点睛】此题主要考察抛物线的HY 方程，抛物线的几何性质及其应用等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.8.五名同学相约去国家博物馆参观“伟大的变革：庆贺HY 开放40周年大型展览〞，参观完毕以后五名同学排成一排照相纪念，假设甲、乙二人不相邻，那么不同的排法一共有() A.36种 B.48种C.72种D.120种【答案】C 【解析】【分析】根据插空法求不相邻问题.【详解】除甲、乙二人外，其他3个同学先排成一排，一共有33A ＝6种，这3个同学排好后，留下4个空位，排甲、乙，一共有24A ＝12种，所以，不同排法有：6×12＝72种，选C 。

2021年全国卷Ⅰ高考理科数学模拟试题含答案解析 (1)

2021年全国卷Ⅰ高考理科数学模拟试题1学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题(共12题，每题5分，共60分)1．设A ,B 是两个非空集合,定义集合A -B ={x |x ∈A ,且x ∉B }.若A ={x ∈N |0≤x ≤5},B ={x |x 2-7x +10<0},则A -B =A.{0,1}B.{1,2}C.{0,1,2}D.{0,1,2,5}2．已知复数z =1+i,z ¯为z 的共轭复数,则1+z z¯=A.3+i 2B.1+i 2C.1-3i 2D.1+3i 23．已知函数f (x )={log 3x,x >0x 2,x ≤0,则f (f (-√3))=A.-2B.2C.-1D.14．下列说法正确的是A.二次函数y =ax 2+bx +c ,x ∈[a ,b ]的最值一定是4ac -b 24aB.二次函数y =ax 2+bx +c (x ∈R ),不可能是偶函数C.二次函数y =x 2+mx +1在[1,+∞)上单调递增的充要条件是m ≥-2D.若二次函数f (x )满足f (2-x )=f (x ),则该二次函数在x =1处取得最小值5．定义在R 上的奇函数f (x )连续且可导,若f (x )-f'(x )<x -1恒成立(其中f'(x )为f (x )的导函数),则A.f'(0)<1B.f (-1)+f'(-1)<0C.f (1)<f (0)<f (-1)D.f (-1)<f (0)<f (1)6．某展览馆在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生来参观,若每天最多安排一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安排方法有A.50种B.60种C.120种D.210种7．若m ,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是A.若α⊥β,m ⊥β,则m ∥αB.若m ∥α,n ⊥m ,则n ⊥αC.若m ⊥α,n ∥β,m ⊥n ,则α⊥βD.若m ∥β,m ⊂α,α∩β=n ,则m ∥n8．执行如图所示的程序框图,若输入的a ,b 分别是2 018,1,则输出的i =A.5B.6C.7D.89．已知等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,若对于任意的自然数n ,都有S n T n=2n−34n−3,则a 3+a 152(b 3+b 9)+a 3b2+b 10=A.1941 B.1737C.715D.204110．已知双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >b >0)的两条渐近线分别为l 1:y =b ax ,l 2:y =-b ax ,焦距为2c ,F 为双曲线的右焦点,点A (m ,n )是双曲线右支上一点,过点A 作AB ∥l 2,交l 1于点B ,当n =√3c2时,四边形OBAF 的面积为5√3c 216(O 为坐标原点),则双曲线的离心率为A.√2B.√3C.2√33D.211．设θ∈R ,则“|θ−π12|<π12”是“sinθ<12”的 A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.即不充分也不必要条件D.充要条件12．已知某几何体的直观图、正视图、侧视图如图所示,正视图是等腰直角三角形,侧视图的外框是正方形,则直线BC 与平面ACD 所成角的正弦值为A.√63B.√32C.12D.√33第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题(共4题，每题5分，共20分)13．已知函数f(x)=x3+ax+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(-1,1),则a=.14．设等差数列{a n}的前n项和为S n,a11=S13=13,则a9= .15．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.根据上表提供的数据,求出y关于x的线性回归方程为y＾=0.7x+0.35,那么表中t的值为.16．已知直线l过点A(-1,0)且与☉B:x2+y2-2x=0相切于点D,以坐标轴为对称轴的双曲线E 过点D,其一条渐近线平行于l,则双曲线E的实轴长为.三、解答题(共7题，共70分)17．(本题12分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,a2+b2-c2=2S.(1)求cos C;(2)若a cos B+b sin A=c,a=√5,求b.18．(本题12分)在四棱锥P-ABCD中,AB⊥AD,AB=AD=√2,BC=CD=√5.(1)若M是AB的中点,N是棱PC上一点,且CN=2PN,求证:MN∥平面PAD;(2)当平面PBD⊥平面ABCD,且PB=PD=√2时,求二面角A-PB-C的正弦值.19．(本题12分)党的十八大提出建设“美丽中国”的要求,切实增强生态意识,切实加强生态环境保护,把我国建设成为生态环境良好的国家.某中学举办了以“美丽中国,我是行动者”为主题的环保知识竞赛.赛后从参赛者中随机抽取了100人,将他们的竞赛成绩分为6组: [40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并得到如图所示的频率分布直方图.其中成绩在[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[90,100]内的频率之比为1∶2∶4∶6∶2.(1)求成绩落在[90,100]内的频率,并估算本次竞赛的平均成绩;(2)若将频率视为概率,成绩在[90,100]内的定义为优秀.从参赛者中随机抽取3人,记这3人中优秀的人数为a ,非优秀人数为b ,X =|a -b |,求X 的分布列与数学期望.20．(本题12分)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，点M(1,32)在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知P(−2,0)与Q(2,0)为平面内的两个定点，过点(1,0)的直线l 与椭圆C 交于A,B 两点，求四边形APBQ 面积的最大值.21．(本题12分)已知函数f (x )=ax+1+lnx(a ∈R)(1)当a =2时，比较f (x )与1的大小；(2)当a =92时，如果函数g (x )=f (x )−k 仅有一个零点，求实数k 的取值范围； (3)求证：对于一切正整数n ，都有ln(n +1)>13+15+17+⋯+12n+1请考生在第 22、23 三题中任选二道做答，注意：只能做所选定的题目。

2021年高三12月模拟考试(一)数学(理)试题含答案

2021年高三12月模拟考试（一）数学（理）试题含答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.下列函数中，与函数有相同定义域的是A． B． C． D．2.设是虚数单位，若复数是纯虚数，则（）A．4 B．3 C．2 D．13.由函数和函数的图象围成的封闭图形的面积为（）A、 B、 C、 D、4.已知数列的前项和，第项满足，则A．9 B．8 C． 7 D． 65.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则A． B． C． D．6.已知双曲线的左右焦点分别为，其一条渐近线方程为，点在该双曲线上，则A． B． C． D．7. 已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数a满足，则的最小值为A． B． C． D．8.设，若函数有大于零的极值点，则A． B． C． D．9.在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A,B的一点，光线从点P 出发，经BC,CA 反射后又回到点P （如图）.若光线QR 经过的重心，则AP 等于A ．B ．C ．D ．10.已知P 为抛物线上一个动点，Q 为圆上一个动点，当点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和最小时，点P 的横坐标为A ．B ．C ．D ．11.对于函数，若存在区间，当时的值域为，则称为倍值函数。

若是倍值函数，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．12.已知函数，函数，若存在使得成立，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

.13.若的内角A,B,C 满足，则 .14.已知向量，且与夹角为，则 .15.等差数列的前项和为，已知，则的最小值为 .16.已知AC,BD 为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，则四边形ABCD 的面积的最大值为 .三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、（本小题满分10分）已知（1）求的值；（2）求的值.18. (本小题满分12分)已知向量)cos ,(cos ),cos ,sin 3(x x x x ωωωω-==其中.函数的最小正周期为.（1）求的值；（2）设三边满足，且边所对的角为，若关于的方程有两个不同的解，求实数的取值范围.19.（10分）已知数列的前项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.20.（12分）如图，是边长为3的正方形，平面，，且，.（1）试在线段上确定一点的位置，使得平面；（2）求二面角的余弦值.21、已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若斜率为的直线经过点，且与椭圆交于不同的两点,求面积的最大值.22、（本小题满分12分）设函数（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若时，恒成立，求整数的最小值.18解：由已知得故---------5分（2）注意到，]67,6(64302122ππππ-∈-⇒≤<⇒=-≥x x ac ac ac 故--------------------------10分由函数的图像，知要有两个不同的实数解，需-----------------------------12分19、【答案】（1）；（2）.，解得，；当时，，综上所述，；……………4分（2）由（1）知，1231132333(1)33n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-•+• ① 23413132333(1)33n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-•+• ②①-②得：， 113(13)323(31)3132n n n n n T n n ++--=-•=--•- .………………10分．20、试题解析：（1）取的三等分点（靠近点），则有，过作交于，由平面，，可知平面，∴， ∴，且，……………………3分所以四边形为平行四边形，可知平面，∵，∴为的一个三等分点（靠近点）；……………5分（2）如图建立空间直角坐标系：因为二面角为钝二面角，可得，所以二面角的余弦值为．……………………12分21、解：（1）设椭圆的标准方程为，有椭圆的定义可得2a =+= 又故椭圆的标准方程为…………………………4分.（2）设直线的方程为，由得，依题意，…………………………6分设，则，………………7分2AB x ∴=-=，……………8分由点到直线的距离公式得，………………9分12S ∆∴==……………10分设()2216664341313OAB t t S t t t t∆∴=⨯=⨯=⨯≤++++，当且仅当时，上式取等号，所以，面积的最大值为 (12)高三数学试题试题答题纸一、选择题：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12二、填空题：13. 14. 15. 16.三、解答题：17.18.19.20.精品文档21.22.c `39113 98C9 飉Cc;29652 73D4 珔g21615 546F 呯27058 69B2 榲Jw40730 9F1A 鼚实用文档。

2021届高三新高考数学12月模拟评估卷一(解析word版)

2021年高三新高考数学12月模拟评估卷（一）注意事项：1.本试卷共6页，包含单项选择题（第1题～第8题，共40分）、多项选择题（第9题～第12题，共20分）、填空题（第13题～第16题，共20分）和解答题（第17题～第22题，共70分）四部分.本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡、试卷和草稿纸的指定位置上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨水的签字笔将答案写在答题卡上.写在本试卷或草稿纸上均无效.4.考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）1.设集合A={x|1⩽x⩽3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=()A. {x|2<x⩽3}B. {x|2⩽x⩽3}C. {x|1⩽x<4}D. {x|1<x<4.}【答案】C【解析】【分析】本题考查并集运算，属于容易题．直接用并集定义可得结果．【解答】解：因为集合A={x|1⩽x⩽3}，B={x|2<x<4}．2. 在四边形ABCD 中，若DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则这个四边形是( ) A. 平行四边形B. 菱形C. 矩形D. 等腰梯形【答案】D 【解析】【分析】本题考查了向量的共线、等腰梯形的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用向量的共线、等腰梯形的定义即可判断出结论．【解答】解：∵DC ⃗⃗⃗⃗⃗=25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |， ∴DC//AB ，DC ≠AB ，AD =BC ．则这个四边形是等腰梯形．故选D ．3. (1+i)(2+i)=( )A. 1−iB. 1+3iC. 3+iD. 3+3i【答案】B 【解析】【分析】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．直接计算即可．【解答】解：原式=2−1+3i =1+3i ．故选：B ．4. 下列命题中为假命题．．．的是 A. 垂直于同一直线的两个平面平行 B. 垂直于同一平面的两条直线平行 C. 平行于同一直线的两条直线平行D. 平行于同一平面的两条直线平行【解析】【分析】本题考查空间线面和线线、面面的位置关系的判断，考查平行和垂直的判断和性质，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题．由面面平行的判定定理可判断A；由线面垂直的性质定理；可判断B，由平行公理可判断C；由线面平行的性质可判断D．【解答】解：由面面平行的判定定理可得，垂直于同一直线的两个平面平行，故A正确；由线面垂直的性质定理可得，垂直于同一平面的两条直线平行，故B正确；由平行公理可得，平行于同一直线的两条直线平行，故C正确；由线面平行的性质可得，平行于同一平面的两条直线可能平行或相交或异面，故D错误．故选D．5.某校运动会上，高一(1)班共有28名同学参加比赛，其中有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有2人，没有人同时参加三项比赛，则同时参加田径比赛和球类比赛的人数为()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】解：设同时参加田径比赛和球类比赛的人数为x，只参加田径比赛的人数为y，只参加球类比赛的人数为z，作出维恩图，由维恩图，得：{3+x+y=82+x+z=1410+3+2+x+y+z=28，解得x=4，y=1，z=8．∴同时参加田径比赛和球类比赛的人数为4．故选：D．设同时参加田径比赛和球类比赛的人数为x，只参加田径比赛的人数为y，只参加球类比赛的人数为z，作出维恩图，由维恩图能求出同时参加田径比赛和球类比赛的人数．本题考查同时参加田径比赛和球类比赛的人数的求法，考查维恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.甲、乙、丙三人随意坐下一排座位，乙正好坐中间的概率为()A. 12B. 13C. 14D. 16【答案】B【解析】解：所有的坐法共有6种，即甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，乙正好坐中间的坐法有2种，故乙正好坐中间的概率为26=13，故选B．所有的坐法共有6种，乙正好坐中间的坐法有2种，由此可得乙正好坐中间的概率．本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．7.已知函数f(x)=2a x+3log a x(a>0,且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为3log a2+12,则a的值为()A. 12B. 13C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】本题主要考查对数函数的值域问题．解决对数函数的题目时，一定要讨论其底数和1的大小关系，属于中档题．先对a>1以及0<a<1分别求出其最大值和最小值，可知最大值与最小值之和都是f(1)+f(2)，再结合最大值与最小值之和为3log a2+12，即可求a的值．【解答】解：因为函数f(x)=2a x+3log a x(a>0且a≠1)，所以当a>1时，函数f(x)在[1,2]上递增，最大值为f(2)=2a2+3log a2；最小值为f(1)=2a1+3log a1，当0<a<1时，函数f(x)在[1,2]上递减，最大值为f(1)=2a1+3log a1，最小值为f(2)=2a2+3log a2；故最大值和最小值的和为：f(1)+f(2)=2a2+3log a2+2a1+3log a1=3log a2+12．∴2a2+2a−12=0⇒a=2或a=−3(舍)．故选C．8.函数y=x2+ln|x|的图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【解析】【试题解析】【分析】本题考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数的单调性和函数值的变化趋势，属于基础题．先求出函数为偶函数，再根据函数值的变化趋势或函数的单调性即可判断．【解答】解：∵f(−x)=x2+ln|x|=f(x)，∴y=f(x)为偶函数，∴y=f(x)的图象关于y轴对称，故排除B，C，当x→0时，y→−∞，故排除D，或者根据，当x>0时，y=x2+lnx为增函数，故排除D，故选A．每小题5分，共20分.在每小题给出的选二、多项选择题：（本题共4小题,项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）9.下列说法中正确的是()A. 对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据(x i,y i)(i=1,2,⋯,8)，其线性回归方程是ŷ=13x+â，且x1+x2+x3+...+x8=2(y1+y2+y3+...+y8)=6，则实数â的值是18B. 正态分布N(1,9)在区间(−1,0)和(2,3)上取值的概率相等C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1D. 若一组数据1，a，2，3的平均数是2，则这组数据的众数和中位数都是2【答案】ABD【解析】【分析】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及正态分布，线性相关以及平均数、中位数和众数，回归直线方程，是基本知识的考查．属于较易题．根据正态分布，线性相关以及平均数、中位数和众数的基本知识判断选项的正误即可．【解答】解：由x1+x2+x3+...+x8=2(y1+y2+y3+...+y8)=6，则x = 68 = 34 , y = 38 ,这组数据的样本中心点是( 34 , 38 )，把样本中心点代入回归直线方程ŷ=13x+â得： 3 8 = 1 3 × 34 +â，解得â= 1 8，故A正确；正态总体N(1,9)在区间(−1,0)和(2,3)上取值的概率相等，满足正态分布的性质，故B正确；若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1，也可以是−1，所以C不正确；若一组数据1、a、2、3的平均数是2，则1+a+2+34=2，解得a=2，则易得到这组数据的众数和中位数都是2，故D正确；故选ABD．10. 以下四个命题表述正确的是( )A. x 2+y 2+Dx +Ey +F =0一定表示圆;B. 直线(3+m)x +4y −3+3m =0(m ∈R)恒过定点(−3,−3);C. 圆x 2+y 2=4上有且仅有3个点到直线l:x −y +√2=0的距离都等于1;D. 圆C 1:x 2+y 2+2x =0与圆C 2:x 2+y 2−4x −8y +4=0恰有三条公切线．【答案】CD 【解析】【试题解析】【分析】本题考查圆的一般方程、直线过定点、直线和圆的关系以及圆与圆的公切线条数，熟练掌握圆与直线、圆与圆相关定理是解题的关键．当D 2+E 2−4F >0时，x 2+y 2+Dx +Ey +F =0表示圆可判断A;确定直线过定点的坐标可判断B ，确定圆心(0,0)到直线l 的距离等于半径的一半可判断C ，判断圆C 1与圆C 2外切可判断D ．【解答】解：A.当D 2+E 2−4F >0时，x 2+y 2+Dx +Ey +F =0表示圆，故A 错误； B .(3+m)x +4y −3+3m =0化为(−x −3)m =3x +4y −3，由{−x −3=03x +4y −3=0得{x =−3y =3,∴直线(3+m)x +4y −3+3m =0(m ∈R)恒过定点(−3,3)，故B 错误 ; C .圆x 2+y 2=4的圆心为(0,0)，半径为2，圆心(0,0)到直线l:x −y +√2=0的距离为√2|√2=1，∴圆心(0,0)到直线l 的距离等于半径的一半，∴圆x 2+y 2=4上有且仅有3个点到直线l:x −y +√2=0的距离都等于1，故C 正确； D .x 2+y 2+2x =0化为(x +1)2+y 2=1，x 2+y 2−4x −8y +4=0化为(x −2)2+(y −4)2=16，圆C 1的圆心为：(−1,0)，半径r 1=1；圆C 2的圆心为：(2,4)，半径r 2=4，圆心距C 1C 2=√(2+1)2+(4−0)2=5=r 1+r 2，∴圆C 1与圆C 2外切，∴圆C 1:x 2+y 2+2x =0与圆C 2:x 2+y 2−4x −8y +4=0恰有三条公切线，故D 正确．故选CD ．11.对于函数f(x)=2sin(2x−π6)(x∈R)，下列命题正确的是()A. f(x)图像关于直线x=−π6对称B. 将f(x)图像的横坐标伸长2倍，纵坐标不变，得到y=2sin(2x−π6)的图像C. f(x)在(π6,π2)上单调递增D. f(x)的表达式可改写成y=2cos(2x+π3)【答案】AB【解析】【分析】本题考查了诱导公式，正余弦函数的图象与性质，函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质．因为，故A正确；利用函数的伸缩变换得出B正确；求出函数的增区间得出C错误；利用诱导公式得出D错误．【解答】解：，故A正确；将f(x)图象的横坐标伸长2倍，纵坐标不变，得到y=2sin(x−π6)的图象，故B正确；由得f(x)在单调递增，所以f(x)不单调，故C错误；，故D错误．故选AB．12.已知a>0，b>0，且a+b=1，则()A. +B. >C. a+b−2D. +【答案】ABD【解析】【分析】本题考查利用不等式比较大小，函数性质的应用，基本不等式的应用，属于中档题．结合各选项依次判断即可．【解答】解：因为a >0，b >0，且a +b =1，所以a 2+b 2=a 2+(1−a)2=2a 2−2a +1=2(a −12)2+12≥12，故A 正确；由已知得0<a <1，0<b <1，所以−1<a −b <1，所以2a−b >2−1=12，故B 正确；log 2a +log 2b =log 2ab ≤log 2(a+b)24=−2，当且仅当a =b 时，等号成立，故C 错误；(√a +√b)2=a +b +2√ab ≤1+2√(a+b)24=2，则√a +√b ≤√2，当且仅当a =b 时，等号成立，故D 正确，故选ABD ．三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 如图，在三棱锥P −ABC 的平面展开图中，AC =1，AB =AD =√3，AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE =30°，则cos∠FCB =__________．【答案】−14【解析】【分析】本题考查利用正余弦定理解三角形，属于中档题．现在△ACE中由余弦定理求得CE，则CE=CF=1，再在△ABC中由勾股定理求得BC，最后在△BCF中由余弦定理即可得解．【解答】解：由已知得BD=√2AB=√6，∵D、E、F重合于一点，∴AE=AD=√3，BF=BD=√6，∴△ACE中，由余弦定理得，∴CE=CF=1，BC²=AC²+AB²，BC=2，∴在△BCF中，由余弦定理得．故答案为．14. O 为坐标原点，F 为抛物线C:y 2=4√2x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF|=4√2，则△POF 的面积为．【答案】2√3 【解析】【分析】本题主要考查了抛物线的概念与标准方程、有关三角形面积计算等问题，属于中档题．解题时先求得焦准距p ，再由抛物线定义求得点P 的横坐标、点P 坐标，最后根据三角形面积公式求解即可．【解答】解：∵抛物线C 的方程为y 2=4√2x ，∴2p =4√2，可得p2=√2，则焦点F(√2,0)．设P(m,n)，根据抛物线的定义，得|PF|=m +p2=4√2，即m +√2=4√2，解得m =3√2．由点P 在抛物线C 上，得n 2=4√2×3√2=24， ∴n =±2√6．∵|OF|=√2，∴△POF 的面积为S =12|OF|×|n|=2√3．15. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3=3，S 4=10，则∑1S kn k=1=______．【答案】2nn+1 【解析】【分析】本题考查等差数列的求和，裂项消项法求和的应用，考查计算能力，属于中档题．利用已知条件求出等差数列的前n 项和，然后化简所求的表达式，求解即可．【解析】解：等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3=3，S 4=10，由S 4=4(a 1+a 4)2=2(a 2+a 3)=10，可得a 2=2，等差数列{a n }的公差为1，首项为1，所以a n =n, S n =n(n+1)2，1S n=2n(n+1)=2(1n −1n+1)，则∑1S kn k=1=2[1−12+12−13+13−14+⋯+1n −1n+1]=2(1−1n+1)=2nn+1．故答案为2nn+1．16. 某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示，O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan∠ODC =35，BH//DG ，EF =12cm ，DE =2cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积为__________cm 2．【答案】52π+4 【解析】【分析】本题考查平面图形中的边角关系，结合题意确立对应的角和边的长度以及比例关系，最后算出大的扇形面积和三角形面积减去小半圆的面积即可求解，是中档题．【解答】解：设上面的大圆弧的半径为x ，由题意中的长度关系易知∠AGD =45∘ ，同理∠AHO =45∘，可得▵AOH 为等腰直角三角形，可得OJ =AJ =√22x ，OL =JK =5−√22x ，DL =DK −LK =DK −OJ =7−√22x ，其中tan∠ODC =OL DL =35 ，可得5−√22x 7−√22x=35，解得x =2√2 ，，故答案为52π+4．四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a >b ，a =5，c =6，sinB =35． (Ⅰ)求b 和sin A 的值； (Ⅱ)求sin(2A +π4)的值．【解析】本题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，同角三角函数关系，考查倍角公式的应用，属于中档题．(Ⅰ)由已知结合同角三角函数基本关系式求得cos B ，再由余弦定理求得b ，利用正弦定理求得sin A ；(Ⅱ)由同角三角函数基本关系式求得cos A ，再由倍角公式求得sin2A ，cos2A ，展开两角和的正弦得答案．【答案】解：(Ⅰ)在△ABC 中，∵a >b ，故由sinB =35，可得cosB =45．由已知及余弦定理，有b2=a2+c2−2accosB=25+36−2×5×6×45=13，∴b=√13．由正弦定理asinA =bsinB，得sinA=asinBb=3√1313．∴b=√13，sinA=3√1313；(Ⅱ)由(Ⅰ)及a<c，得cosA=2√1313，∴sin2A=2sinAcosA=1213，cos2A=1−2sin2A=−513．故sin(2A+π4)=sin2Acosπ4+cos2Asinπ4=1213×√22−513×√22=7√226．18.等比数列{a n}的各项均为正数，2a5，a4，4a6成等差数列，且满足a4=4a32．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=a n+1(1−a n)(1−a n+1)，n∈N∗，求数列{b n}的前n项和S n．【解析】本题考查了“裂项求和”方法、等差数列的性质，等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)设等比数列{a n}的公比为q>0，由2a5，a4，4a6成等差数列，可得2a4=2a5+4a6，化为：2q2+q−1=0，q>0，解得q.又满足a4=4a32，化为：1=4a1q，解得a1，可得a n；(2)b n=a n+1(1−a n)(1−a n+1)=2n(2n−1)(2n+1−1)=12n−1−12n+1−1，n∈N∗，利用“裂项求和”方法即可得出．【答案】解：(1)设等比数列{a n}的公比为q>0，∵2a5，a4，4a6成等差数列，∴2a4=2a5+4a6，∴2a4=2a4(q+2q2)，化为：2q2+q−1=0，q>0，解得q=12，又满足a4=4a32，∴a1q3=4(a1q2)2，化为：1=4a1q，解得a1=12，∴a n=(12)n(n∈N∗)；(2)b n=a n+1(1−a n)(1−a n+1)=2n(2n−1)(2n+1−1)=12n−1−12n+1−1，n∈N∗，∴数列{b n}的前n项和S n=(12−1−122−1)+(122−1−123−1)+⋯+(12n−1−12n+1−1)=1−12n+1−1，n∈N∗．19.绿色出行越来越受到社会的关注，越来越多的消费者对新能源汽车感兴趣.但是消费者比较关心的问题是汽车的续驶里程.某研究小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车调查其续驶里程(单次充电后能行驶的最大里程)，被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：[50,100),[100,150),[150,200),[200,250),[250,300]，绘制成如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中m的值；(2)求本次调查中续驶里程在[200,300]的车辆数；(3)若从续驶里程在[200,300]的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车续驶里程在[200,250]的概率．【解析】本题考查了频率分布直方图，古典概型的概率计算，在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距．(1)利用小矩形的面积和为1，求得m值；(2)求得续驶里程在[200,300]的车辆的频率，再利用频数=频率×样本容量求车辆数；(3)利用排列组合，分别求得5辆中随机抽取2辆车的抽法种数与其中恰有一辆汽车的续驶里程为[200,250)抽法种数，根据古典概型的概率公式计算．【答案】解：(1)由直方图可得：(0.002+0.005+0.008+m +0.002)×50=1，解得m =0.003；(2)由题意知续驶里程在[200,300]的车辆数为20×(0.003×50+0.002×50)=5； (3)由题意知，续驶里程在[200,250)的车辆数为3，设为a ，b ，c ，续驶里程在[250,300]的车辆数为2，设为d ，e ，共有10个基本事件：ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de ，设“其中恰有一辆车续驶里程在[200,250]”为事件A ，则事件A 包含6个基本事件：ad ，ae ，bd ，be ，cd ，ce ，则P(A)=610=35．20. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，PD//平面MAC ，PA =PD =√6，AB =4． (1)求证：M 为PB 的中点； (2)求二面角B −PD −A 的大小；(3)求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值．【解析】本题考查线面角与面面角的求法，考查利用空间向量求线面和面面的夹角，属中档题．(1)设AC ∩BD =O ，则O 为BD 的中点，连接OM ，利用线面平行的性质证明OM//PD ，再由平行线截线段成比例可得M 为PB 的中点；(2)取AD 中点G ，可得PG ⊥AD ，再由面面垂直的性质可得PG ⊥平面ABCD ，连接OG ，则PG ⊥OG ，再证明OG ⊥AD.以G 为坐标原点，分别以GD 、GO 、GP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求出平面PBD 与平面PAD 的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B −PD −A 的大小；(3)求出CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，由CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与平面PBD 的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值．【答案】(1)证明：如图，设AC ∩BD =O ， ∵ABCD 为正方形，∴O 为BD 的中点，连接OM ，∵PD//平面MAC ，PD ⊂平面PBD ，平面PBD ∩平面MAC =OM ， ∴PD//OM ，则BOBD =BM BP，即M 为PB 的中点； (2)解：取AD 中点G ， ∵PA =PD ，∴PG ⊥AD ，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD =AD ，PG ⊂平面PAD ， ∴PG ⊥平面ABCD ，连接OG ，∵OG ⊂平面ABCD ，则PG ⊥OG ，由G 是AD 的中点，O 是AC 的中点，可得OG//DC ，又DC ⊥AD ，则OG ⊥AD ．以G 为坐标原点，分别以GD 、GO 、GP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系G −xyz ，由PA =PD =√6，AB =4，得D(2,0，0)，A(−2,0，0)，P(0,0，√2)，C(2,4，0)，B(−2,4，0)，M(−1,2，√22)，DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,√2)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,4,0)．设平面PBD 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则由{m ⃗⃗⃗ ⋅DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得{−2x +√2z =0−4x +4y =0，取z =√2，得m ⃗⃗⃗ =(1,1,√2)．取平面PAD 的一个法向量为n ⃗ =(0,1,0)． ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=12×1=12，由图知二面角B −PD −A 是锐二面角， ∴二面角B −PD −A 的大小为60°；(3)解：CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,−2,√22)，平面BDP 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(1,1,√2)．∴直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值为|cos <CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,m ⃗⃗⃗ >|=|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅m ⃗⃗⃗|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ || =√9+4+12×2=2√69．21. 设椭圆的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12,已知A 是抛物线的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12．(Ⅰ)求椭圆的方程和抛物线的方程；(Ⅱ)设l 上两点P,Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B(B 异于点A)，直线BQ 与x 轴相交于点D ，若△APD 的面积为√62，求直线AP 的方程．【解析】本题考查椭圆与抛物线的定义与性质，直线与椭圆的位置关系，属于较难题． (Ⅰ)根据椭圆和抛物线的性质列方程组求出a ，b ，p 即可得出方程．(Ⅱ)设AP 方程为x =my +1(m ≠0)，联立方程组得出B ，P ，Q 三点坐标，从而得出直线BQ 的方程，解出D 点坐标，根据三角形的面积列方程解出m 即可得出答案．【答案】解：(Ⅰ)设F 的坐标为(−c,0)，依题意可得{ca =12a =p2a −c =12,解得a =1，c =12，p =2，于是b 2=a 2−c 2=34，所以椭圆的方程为x 2+4y 23=1，抛物线的方程为y 2=4x ．(Ⅱ)直线l 的方程为x =−1，设直线AP 的方程为x =my +1(m ≠0)，联立方程组{x =−1x =my +1, 解得点P(−1,−2m )，故Q(−1,2m )，联立方程组{x =my +1x 2+4y 23=1, 消去x ，整理得(3m 2+4)y 2+6my =0，解得y =0，或y =−6m3m 2+4， ∴B(−3m 2+43m 2+4,−6m3m 2+4)，∴直线BQ 的方程为 (−6m 3m +4−2m)(x +1)−(−3m 2+43m +4+1)(y −2m)=0，令y =0，解得x =2−3m 23m 2+2，故D (2−3m 23m 2+2,0)，∴|AD|=1−2−3m 23m 2+2=6m 23m 2+2，又∵△APD 的面积为√62，∴12×6m 23m 2+2×2|m|=√62，整理得3m 2−2√6|m|+2=0，解得|m|=√63，∴m =±√63，∴直线AP 的方程为3x +√6y −3=0，或3x −√6y −3=0．22. 设函数f(x)=[ax 2−(3a +1)x +3a +2]e x ．(Ⅰ)若曲线y =f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0，求a ； (Ⅱ)若f(x)在x =1处取得极小值，求a 的取值范围．【解析】本题考查导数的运用：求切线的斜率和极值，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题．(Ⅰ)求得f(x)的导数，由导数的几何意义可得f′(2)=0，解方程可得a 的值； (Ⅱ)求得f(x)的导数，注意分解因式，讨论a =0，a =1，a >1，0<a <1，a <0，由极小值的定义，即可得到所求a 的范围．【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=[ax 2−(3a +1)x +3a +2]e x 的导数为 f′(x)=[ax 2−(a +1)x +1]e x ．曲线y =f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0，可得(4a −2a −2+1)e 2=0，解得a =12；(Ⅱ)f(x)的导数为f′(x)=[ax 2−(a +1)x +1]e x =(x −1)(ax −1)e x ，若a =0，则x <1时，f′(x)>0，f(x)递增； x >1时，f′(x)<0，f(x)递减．所以x =1处f(x)取得极大值，不符题意；若a =1，则f′(x)=(x −1)2e x ≥0，f(x)递增，无极值；若a >1，则1a <1，f(x)在(1a ,1)递减；在(1,+∞)递增，可得f(x)在x=1处取得极小值；若0<a<1，则1a >1，f(x)在(−∞,1)递增；在(1,1a)递减，可得f(x)在x=1处取得极大值，不符题意；若a<0，则1a <1，f(x)在(1a,1)递增；在(1,+∞)递减，可得f(x)在x=1处取得极大值，不符题意．综上可得，a的范围是(1,+∞)．。

2021年高三新高考数学12月模拟评估卷(一)(答题卡)

2021年高三新高考数学12月模拟评估卷（一）姓名：班级：考场/座位号：
注意事项
1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场填写清楚，并认真核对
条形码上的姓名和准考证号。

2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹。

3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答
无效。

要求字体工整、笔迹清晰。

作图时，必须用2B铅笔，并描浓。

4．在草稿纸、试题卷上答题无效。

5．请勿折叠答题卡,保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁。

贴条形码区（正面朝上，切勿贴出虚线方框）正确填涂缺考标记客观题
1 [A] [B] [C] [D]
2 [A] [B] [C] [D]
3 [A] [B] [C] [D]
4 [A] [B] [C] [D]
5 [A] [B] [C] [D]
6 [A] [B] [C] [D]
7 [A] [B] [C] [D]
8 [A] [B] [C] [D]
9 [A] [B] [C] [D]
10 [A] [B] [C] [D]
11 [A] [B] [C] [D]
12 [A] [B] [C] [D]
填空题13. 14. 15. 16.
解答题17.
18.
19. 20.
21.
22.。

2021普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅰ卷)理科数学模拟题(附解析)

2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）理科数学模拟试题（附解析）本卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知复数z 满足24(1)(12)i z i --=-，则||z =（）A ．1B ．2C D2．设集合{}{}21,2,5,40A B x x x m ==-+=，若{}1A B ⋂=，则B =（） A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A ．514- B ．512- C ．514+ D ．512+ 4．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线过点()3,4，且双曲线的一个焦点与抛物线220y x =的焦点重合，则双曲线的方程为（）A ．221916x y -=B ．221169x y -=C ．22143x y -=D ．22134x y -=5．某电商对连续5个月的广告费和销售额进行了统计，得到如下统计数据：根据表中数据所得的回归方程是ˆˆ9.2ybx =+，则当广告费为8万元时销售额的预测值是（） A ．84.8B ．87C ．90.8D ．95.46．已知曲线()2ln f x a x x =+在1x =处的切线方程为0x y b ++=，则ab =（） A ．3B ．5C ．6D ．87．记函数()()sin f x x ωϕ=+(其中0>ω，2πϕ<)的图像为C ，已知C 的部分图像如图所示，为了得到函数()sin g x x ω=，只要把C 上所有的点（）A ．向右平行移动6π个单位长度B ．向左平行移动6π个单位长度 C ．向右平行移动12π个单位长度 D ．向左平行移动12π个单位长度8．261(1)()x x x x++⋅-的展开式中的常数项为（）A ．5-B ．10C ．15D ．209．已知1sin 33παα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（） A ．13 B ．13-C ．79D ．79-10．在四面体S ABC -中，SA ⊥平面,120,2,1ABC BAC SA AC AB ∠=︒===，则该四面体的外接球的表面积为（） A ．103π B ．7π C ．403π D ．40π11．设点(3,4)M 在圆222(0)x y r r +=>外，若圆O 上存在点N ，使得3OMN π∠=，则实数r 的取值范围是（）A ．5[,)2+∞B ．)+∞C ．D ．5[,5)212．若实数2a ≥，则下列不等式中一定成立的是（）A ．12log (2)1a a a a +++>+ B ．1log (1)a a a a++<C ．1log 1)log )((2a a a a ++<+D ．21(1)(2)a a a a +++>+二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则23z x y =-的最小值为______．14．已知平面向量,a b 满足||2,||1,1a b a b ==⋅=-，则||a b +=______.15．设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A 、B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若(),OP OA OB λμλμ=+∈R ，18λμ=，则该双曲线的离心率为______.16．已知l 为空间中的一条直线，α为空间中的一个平面，且l α⊥，垂足为点O .等腰直角三角形ABC 中，2A π∠=，2AB =，若,A l C α∈∈，则OB 的最大值为___三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足25a =，5930a a +=，{}n a 的前n 项和为n S . （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）令()*1n nb n N S =∈，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，2ABC π∠=，122AB BC AD ===，且PA a =，E ，F 分别为PC ，PB 的中点.（1）若2a =，求证：PB ⊥平面ADEF ；（2）若四棱锥P ABCD -的体积为2，求二面角A PD C --的余弦值. 19．（本小题满分12分）为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14、16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12、23；两人滑雪时间都不会超过3小时．（1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列． 20．（本小题满分12分）椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的左焦点为()，且椭圆C 经过点()0,1P ，直线21y kx k =+-(0k ≠)与C 交于A ，B 两点（异于点P ）.（1）求椭圆C 的方程；（2）证明：直线PA 与直线PB 的斜率之和为定值，并求出这个定值. 21．（本小题满分12分）已知函数()ln xf x x e a x ax =⋅--.（1）若a e =，讨论()f x 的单调性﹔（2）若对任意0x >恒有不等式()1f x ≥成立，求实数a 的值.请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为222111t x tt y t ⎧+=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩（t 为参数）.以原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos （3πθ+）=. （1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，交x 轴于点P ，求11PA PB+的值. 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|2||1|f x x m x =+-+.（1）若2m =-，求不等式()8f x 的解集；（2）若关于x 的不等式()|3|f x m x +对于任意实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.答案与解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）（13）5- （14（15（16）11.【解析】24(1)2(2)1212i i z i i--+==--，∴22212i z i +==-，故选：B. 2.【解析】由{}1A B ⋂=可知21403m m -+=⇒=，当3m =时，2430x x -+=，解得：1x =或3x =，即{}1,3B =.故选：C3.【解析】如图，设,CD a PE b ==，则PO ==，由题意212PO ab =，即22142a b ab-=，化简得24()210b b a a -⋅-=，解得b a =.故选：C.4.【解析】因为双曲线C 的渐近线by x a=±过点()3,4，所以双曲线C 的渐近线为3=4y x ±，设双曲线的方程为221169x y t t-=，又因为双曲线的一个焦点与抛物线220y x =的焦点()5,0重合，所以5c ==，解得1t =，所以双曲线的方程为221169x y -=. 故选：B5.【解析】由题意，根据表格中的数据，求得()12345645x =++++=， 1(2941505971)505y =++++=，把(4,50)代入回归直线的方程ˆˆ9.2y bx =+，得到092ˆ54.b=⨯+，解得ˆ10.2b =，即回归直线的方程为ˆ10.29.2y x =+，令8x =，可得10.289..8ˆ290y=⨯+=.故选：C. 6.【解析】由()2ln f x a x x =+，得()2af x x x'=+，所以()f x 在1x =处的切线斜率()12k f a '==+，又()f x 在1x =处的切线方程为0x y b ++=，所以斜率1k =-，所以21a +=-，解得3a =-，则()23ln f x x x =-+，()11f =，将点(1,1)代入0x y b ++=，得110b ++=，解得2b =-，所以()()326ab =-⨯-=.故选：C. 7.【解析】由图象可知周期74()123T πππ=-=，所以222T ππωπ===，又图象上一个最低点为7(,1)12π-，所以7sin 2112πϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭，所以7322122k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈，即23k πϕπ=+，k Z ∈，因为2πϕ<，所以3πϕ=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭sin 26x π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以为了得到函数()sin 2g x x =，只要把C 上所有的点向右平行移动6π个单位长度. 故选：A8.【解析】因为61()x x-的通项公式为6621661()(1)k k k k kk k T C C xxx -+-=⋅-⋅⋅⋅-=，所以要求常数项，则令620k -=或621k -=-或622k -=-，解得3k =或72k =（舍）或4k =，当3k =时，34620T C =-=-，当4k =时，425615T C x -==，所以常数项为2011515-⨯+⨯=-，故选：A.9.【解析】因为11sin sin sin 322πααααααα⎛⎫-== ⎪⎝⎭ 1sin sin cos 32663ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以sin 2sin 2cos 26233ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22172cos 121639πα⎛⎫=--=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=- ⎪⎝⎭，故选：D10.【解析】如图所示，该四面体的外接球的球心O 必经过ABC 外接圆的圆心O '且垂直于平面ABC 的直线上，且到,A S 的距离相等.在ABC 中，由余弦定理得BC ==1202O A '=，解得O A '=，又因为112OO SA '==，根据球的截面性质，可得3OA ==，即四面体外接球的半径为3r =，故其表面积为24043ππ⨯=⎝⎭. 故选：C .11.【解析】如图所示：222(0)x y r r +=>上存在点N 使得3OMN π∠=，则OMN ∠的最大值大于或者等于3π时，一定存在点N 使得3OMN π∠=，当MN 与圆相切时，OMN ∠取得最大值，此时，5OM =，sin 5ON ON OMN OM∠==≥，解得：ON ≥，即r ≥又(3,4)M 在圆外，22234r ∴+>，解得：5r <5r ≤<.故选：C.12.【解析】A.设()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=，当0x e <<时，()0f x '>，当x e >时，()0f x '<，所以()f x 在()0,e 上递减，在(),e +∞上递增；而21a a e +>+>，所以()()ln 2ln 121a a a a ++<++，则 ()()ln 22ln 11a a a a ++<++，由换底公式得12log (2)1a a a a +++<+，故错误； B. 因为22log 9log 8>，所以22log 33>，即()221log 212++>，所以2a =时，不等式1log (1)a a a a++<不成立，故错误； C.因为()2212a a a +>+ ，所以()()22lg 1lg 2a a a +>+，所以()()lg lg 2lg 12a a a +++>>，所以()()()()2lg lg 2lg 1lg lg 22a a a a a +++>>⋅+，所以()()()lg 1lg 2lg lg 1a a aa ++>+，()()()1log 1log 2a a a a ++>+故错误；D. 设()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=，当0x e <<时，()0f x '>，当x e >时，()0f x '<，所以()f x 在()0,e 上递减，在(),e +∞上递增；而21a a e +>+>，所以()()ln 2ln 121a a a a ++<++，则()()()()2ln 11ln 2a a a a ++>++，即()()21ln 1ln 2a a a a +++>+，所以()()2112a a a a +++>+，故正确；故选：D13.【解析】由x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩作出可行域,如图由2121x y x y +=⎧⎨+=-⎩，解得()1,1A - 由210x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得11,33C ⎛⎫⎪⎝⎭由2100x y x y ++=⎧⎨-=⎩，解得11,33B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 将目标函数23z x y =-化为2133y x z =-，则z 表示直线2133y x z =-在y 轴上的截距的13-倍. 要求z 的最小值，则需求直线2133y x z =-在y 轴上的截距的最大值.由图可知，当目标函数过点()1,1A -时，直线2133y x z =-在y 轴上的截距的最大值.此时z 的最小值为()21315z =⨯--⨯=- 故答案为：5-14.【解析】因为||2,||1,1a b a b ==⋅=-，所以()2||a b a b+=+222a a bb=+⋅+==15.【解析】双曲线的渐近线为：by x a=±，设焦点(),0F c ，因为过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A 、B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，则,bc A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，, bc B c a ⎛-⎫ ⎪⎝⎭，2, b c a P ⎛⎫⎪⎝⎭，因为OP OA OB λμ=+，所以()()2,,bc c a b c aλμλμ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1λμ+=，b c λμ-=，解得：2c b c λ+=，2c b c μ-=，又由18λμ=，得：222148c b c -=，即()2222148c c a c --=，则2212ac =，所以22e =，则e =16.【解析】作出等腰直角三角形ABC 所在的平面的示意图，如下图所示，过点B 作BM α⊥于M ，过点A 作AN BM ⊥于N ，连接OB ，因为,2AB AC BAC π=∠=，所以BAN OAC ∠=∠，又2BNA AOC π∠=∠=，所以BAN CAO ≅，所以,AO AN BN OC ==，设02ACO πθθ⎛⎫∠=≤≤⎪⎝⎭，则2sin ,2cos AO CO θθ==，所以2sin ,2cos AN OM BN θθ===，所以()()()22222+2sin +2cos 2sin 2OB BM OM θθθθβ==+=-1tan 2β⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为022πθβθβπβ≤≤-≤-≤-，，所以，当22πθβ-=时，2OB取得最大值，所以OB 的最大值为1+17.【解析】（1）设公差为d ，由5930a a +=得：7230a =，所以715a =，则72155255a a d --===，所以()2221n a a n d n =+-=+， 13a =，所以()()122n n n a a S n n +==+，（2）()1111222n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，1111111112324112n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()1111323122124212n n n n n +⎛⎫=+--=- ⎪++++⎝⎭ 18.【解析】（1）当2a =时，AP AB =，点F 是BP 的中点， AF BP ∴⊥，又AP ⊥平面ABCD ，AD AP ∴⊥，且AD AB ⊥，AP AB A =，AD ∴⊥平面PAB ，BP ⊂平面PAB ，AD BP ∴⊥，又AFA AD =，BP ∴⊥平面ADEF ；（2）()1112422332P ABCD ABCD V S AP AP -=⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯=，解得：1AP =，如图，以A 为原点，,,AB AD AP ，为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，()0,0,0A ，()0,0,1P ，()2,2,0C ，()0,4,0D ，()2,2,1PC =-，()0,4,1PD =-，设平面PCD 的法向量(),,m x y z =，则00m PC m PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即22040x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，令1y =，则1,4x z ==，()1,1,4m ∴=，显然AB ⊥平面PAD ，设平面PAD 的法向量()1,0,0n =，1cos ,11m n m n m n ⋅<>===+，二面角A PD C --是锐二面角，∴二面角A PD C -- 19.【解析】（1）两人所付费用相同，相同的费用可能为0、40、80元，两人都付0元的概率为11114624P =⨯=；两人都付40元的概率为2121233P =⨯=；两人都付80元的概率为31112111426324P ⎛⎫⎛⎫=--⨯--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 则两人所付费用相同的概率为12311152432412P P P P =++=++=；（2）设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ可能取值为0、40、80、120、160，则()11104624P ξ==⨯=，()121114043624P ξ==⨯+⨯=， ()11121158046236412P ξ==⨯+⨯+⨯=，()1121112026344P ξ==⨯+⨯=，()1111604624P ξ==⨯=. 所以，随机变量ξ的分布列为：20.【解析】（1）由题意得：1c b ==，则2223a b c =+=，∴椭圆方程为2213x y +=；（2）解法一（常规方法)：设()()1122,,,A x y B x y ，联立222113y kx k x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简可得：()()()22316211210k x k k x k k ++-+-=，直线1)20(y kx k k =+-≠与椭圆C 交于A B 、两点，0,∴∆>即()()()221231214810k k k k ⎡⎤+-=-⎣⎦-->，解得：01k <<，由韦达定理()121222621121,3()311k k k k x x x x k k --+=-=++ ()121221121211PA PB y y k k x y x y x x x x --∴+=+=+-+ ()()121212222kx x k x x x x +-+=()()226621121211211212k k k k k k k k k -+--===-- ∴直线PA PB 、得斜率和为定值1．解法二（构造齐次式)：由题直线1)20(y kx k k =+-≠恒过定点()2,1--， ① 当直线AB 不过原点时，设直线AB 为()()11*mx n y +-=则221mx n --=，即12m n +=-有12m n =--，由2213x y +=有()()2231610y x y +-+-=，则()()()22316110x y y mx n y +-⎡⎤⎣-+-⎦+=，整理成关于,1x y -的齐次式： ()()()2236161 0n y mx y x +-+-+=，进而两边同时除以2x ，则()21366110y m x n y x -⎛⎫+-⎛⎫++= ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，令1y k x -=，则121216116213636PA PB n y y m k k x x n n⎛⎫-- ⎪--⎝⎭∴+=+=-==++， ②当直线AB 过原点时，设直线AB 的方程为()()00001,,,,2y x A x y B x y =-- 0000001121212PA PB y y y k k x x x --∴+=+==⨯= 综合①②直线PA 与直线PB 的斜率之和为定值1．21.【解析】（1）()()()()111x x x x x a a f x e xe a e x x e x x a x ⎛⎫-+'=+--= ⎪⎝++-⎭= 当a e =时， ()()1x e f x x e x '=+-⎛⎫ ⎪⎝⎭0x > 当1x >时x e e x>，0x e e x ->可得()0f x '>，()f x 单调递增，当01x <<时，x e e x<，0x e e x -<，可得()0f x '<，()f x 单调递减，综上所述：()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；（2）由（1）知()()1⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭x a f x x e x ， ①当0a <时，()()10x a f x x e x ⎛⎫'= ⎝->⎪⎭+恒成立，此时()f x 单调递增， ()f x 的值域为R ，不符合题意；当0a =时，则1211122f e ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，也不符合题意. 当0a >时，令()()10⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭x a f x x e x 可得0x a e x-=，即0x e x a ⋅-=，令()xg x e x =⋅，则()()10x x x g x e x e e x '=⋅+=+>，所以()x g x e x =⋅在()0,∞+单调递增，设存在()00x ∈+∞,使得00x e x a ⋅=，两边同时取对数可得00ln ln x x a +=则00x x <<时，x e x a ⋅<，()0f x '<，当0x x >时，x e x a ⋅<，()0f x '>，所以当0x x =时，()()0000in 0m 0ln ln ln x f x x e a x ax a a x a ax a a a =⋅--=--+-=-，故只需1a alna -≥即可，令()ln h a a a a =-()0a >， ()11ln ln h a a a a a'=--⨯=-，由()0h a '>可得01a <<，由()0h a '<可得1a >，因此()h a 在()0,1上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，从而()()1101max h a h ==-=，所以()1h a a alna =-≤，又因为()1h a a alna =-≥，所以()1h a a alna =-=，由以上证明可知()11h =，所以1a = ，故满足条件的实数a 的值为1.22.【解析】（1）曲线C 的参数方程为222111t x t t y t ⎧+=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩（t 为参数），转化为直角坐标方程为x 2﹣4y 2=1（1x ≠-）直线l 的极坐标方程为ρcos （3πθ+）=.转化为直角坐标方程为：12x y = （2）由于直线与x0），所以直线的参数方程为12x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入x 2﹣4y 2=1得到：210t --=，所以：12t t +=t 1⋅t 2=-1，则：121211t t PA PB t t -+===8. 23.【解析】（1）当2m =-时，34,2,(),21,34,1,x x f x x x x x ---⎧⎪=--<<-⎨⎪+-⎩当2x -时，348x --，解得4x -；当21x -<<-时，不等式无解；当1x -时，348x +，解得43x . 综上，不等式的解集为4(,4],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭.（2）由题意知，|2|(|1||3|)x m x x ++++，所以|2||1||3|x m x x ++++.记|2|()|1||3|x g x x x +=+++，则1,(,3][1,),2()2,(3,1),2x g x x x ⎧∈-∞-⋃-+∞⎪⎪=⎨+⎪∈--⎪⎩，当31x -<<-时，()()()22122322x x g x x x +⎧-≤<-⎪⎪=⎨--⎪-<<-⎪⎩，则()12g x <，又当2x =-时，()min 0g x =，所以1()0,2g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以12m ，所以实数m 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.。

2021年高三数学12月检测试题理

2021年高三数学12月检测试题理本试卷共5页，分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.共150分，检测时间120分钟.第I卷（选择题，共50分）注意事项：1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、学号、学校、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试卷上.一、选择题：本大题10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则A. B.C. D.2.抛物线的焦点坐标为A. B. C. D.3.已知，命题“若，则”的否命题是A.若B.若C.若D.若4.命题“为真”是命题“为真”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.设曲线在点处的切线方程为，则A.0B.1C.2D.36.设，若的最小值为A. B.8 C. D.7.函数的图象可能是8.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象都经过点，则的值可以是A. B. C. D.9.双曲线的离心率，则以双曲线的两条渐近线与抛物线的交点为顶点的三角形的面积为A. B.C. D.10.已知是自然对数的底数，函数的零点为，函数的零点为b，则下列不等式成立的是A. B.C. D.第II 卷（非选择题共100分）注意事项：1.第II 卷包括填空题和解答题共两个大题；2.第II 卷所有题目的答案考生需用中性笔答在答题卡指定的位置上.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上.11.函数的定义域为__________.12.若变量满足约束条件的最小值为，则=_________.13.已知正方体中，点E 是棱的中点，则直线AE 与平面所成角的正弦值是_________.14.已知圆O 过椭圆的两焦点且关于直线对称，则圆O 的方程为_______.15.如果对定义在R 上的函数，对任意两个不相等的实数都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x ⋅+⋅>⋅+⋅，则称函数为“H 函数”.给出下列函数：①；②；③；④.以上函数是“H 函数”的所有序号为__________（把所有正确命题的序号都填上）.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）已知△ABC 中的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为，且满足()()()sin sin sin ,cos 3.b a B A b c C C a -+=-== （I ）求；（II ）求△ABC 的面积.17.（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB//CD,∠ABC=60°,AB=2CB=2.在梯形ACEF中，EF//AC，且平面ABCD.（I）求证：；（II）若二面角为45°，求CE的长.18.（本小题满分12分）设等差数列的前项和为.数列的前项和为，且.（I）求数列的通项公式；（II）设，求数列的前项和.19.（本小题满分12分）某市近郊有一块大约的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米.（I）分别用表示和S的函数关系式，并给出定义域；（II）怎样设计能使S取得最大值，并求出最大值.20.（本小题满分13分）已知椭圆的离心率为，右焦点到直线的距离为.（I）求椭圆C的方程；（II）过椭圆右焦点斜率为的直线与椭圆C相交于E、F两点，A为椭圆的右顶点，直线AE，AF分别交直线于点M，N，线段MN的中点为P，记直线的斜率为，求证：为定值.21.（本小题满分12分）设函数.（I）当时，求的极值；（II）设上单调递增，求的取值范围；（III）当时，求的单调区间.数学（理）参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共50分） DBABD DABCC二、填空题（每小题5分，共25分）11． 12． 13． 14． 15．②③三、解答题：16．（本小题满分12分）解：(Ⅰ)由正弦定理可得， ……………2分即，由余弦定理得，……………4分又, 所以；因为，所以. …………………6分所以sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+. ……………………8分（Ⅱ）在中，由正弦定理,得，解得， ……………………10分所以的面积11363223sin 3222262S ac B ++==⨯⨯⨯=.………12分 17．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：在中,2222cos 603AC AB BC AB BC =+-⋅=，所以,由勾股定理知所以． ……2分又因为 ⊥平面，平面，所以．………4分又因为所以 ⊥平面，又平面所以． ………………………6分（Ⅱ）因为⊥平面，又由（Ⅰ）知，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 . 设，则,,，,，.……8分设平面的法向量为，则所以，令.所以. …………………9分又平面的法向量 ……………………………10分所以，解得． ……………………11分所以的长为． ……………………………………12分18．（ 12分）解：（Ⅰ）由题意，，得． ………3分，，，两式相减，得数列为等比数列，． …………6分（Ⅱ）．当为偶数时，13124()()n n n P a a a b b b -=+++++++212(444)6(14)222214n n n n n ++-⋅-=+=+--． ……………9分当为奇数时，132241()()n n n n P a a a a b b b --=++++++++ 1221(44)6(14)2221214n n n n n n -++⋅-=+=++-- ． …………11分． ………12分19.（12分）解：(Ⅰ)由已知，，其定义域是.又，， 150015000(210)(3)3030(6)S x x x x=--=-+,其定义域是.……………6分(Ⅱ) 150003030(6)3030303023002430S x x =-+=-=-⨯=，当且仅当，即时，上述不等式等号成立，此时，，，.答：设计，时，运动场地面积最大，最大值为平方米.……12分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意得，，…………2分所以，，所求椭圆方程为． …………………… 4分（Ⅱ）设过点的直线方程为：，设点，点， …………………………………5分将直线方程代入椭圆，整理得： ………………………………… 6分因为点在椭圆内，所以直线和椭圆都相交，恒成立，且 …………………………7分直线的方程为：，直线的方程为：令，得点，，所以点的坐标，……………………9分直线的斜率为)22(41130)22(21'22112211-+-=---+-=x y x y x y x y k 4)(24)(32414)(2)(241212121212121211212++-++-⋅=++-+-+=x x x x k x x k x kx x x x x y y y x x y ，……… 11分将代入上式得：222222224128234134343'412844244343k k k k k k k k k k k k k -⋅-⋅+++=⋅=---+++，所以为定值． (13)21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）函数的定义域为 …………………1分当时，，∴ ………………2分由得故，（Ⅱ）由题意，，在上单调递增，在上恒成立，设在上恒成立， ………………………………5分当时，恒成立，符合题意. ………………………………………6分当时，在上单调递增，的最小值为，得，所以, ………………………………………8分当时，在上单调递减，不合题意,所以（也可以用分离变量的方法）……………………………10分（Ⅲ）由题意，，令得，10分若，由得；由得 …………11分若，①当时，，或时，；时，；②当时，；③当时，或,;,…………………………13分综上，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，函数的单调递减区间为；当时，函数的单调递减区间为单调递增区间为．…………………………14分h32677 7FA5 羥Y32847 804F 聏T24278 5ED6 廖,37674 932A 錪3B23832 5D18 崘R &。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2021年高考数学（理）12月模拟评估卷（一）（全国1卷）
答题卡
姓名：______________班级：______________
１、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
２、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
３、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
４、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
5、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
6、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
7、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
8、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
9、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
13、 . 14、 .
15、 . 16、 .
17、
缺考标记
考生禁止填涂缺考标记！只能由监考老师负责用黑色字迹
的签字笔填涂。

注意事项
1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。

2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内
3、选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整
4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。

5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。

6、填涂样例正确 [■] 错误 [--][√] [×]
18
19、
20、
2
22、23（任选一题）
4。

2021年高考数学(理)12月模拟评估卷(一)(全国1卷)(答题卡)

(全国I卷)2021届高三数学12月教育教学质量监测考试试题 理.doc

2021年高三上学期12月月考数学(理)试卷 含答案