北师大高中数学选修22培优新方案习题课二 导数及其应用 含解析

习题课（二） 导数及其应用

1.已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x －b )2＋c 的图象如图所示，则函

数f (x )的图象可能是( )

解析：选D 由导函数图象可知，当x <0时，函数f (x )递减，排除A 、B ；当00，函数f (x )递增．因此，当x ＝0时，f (x )取得极小值，故选D.

2．已知函数f (x )＝13x 3－12

x 2＋cx ＋d 有极值，则c 的取值范围为( ) A.⎝

⎛⎭⎫－∞，14 B ．⎝⎛⎦⎤－∞，14 C.⎣⎡⎭⎫14，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫14，＋∞

解析：选A 由题意得f ′(x )＝x 2－x ＋c ，若函数f (x )有极值，则Δ＝1－4c ＞0，解得c ＜14

. 3．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋36x －24在x ＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是( )

A ．(2,3)

B ．(3，＋∞)

C ．(2，＋∞)

D ．(－∞，3)

解析：选B 因为函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋36x －24在x ＝2处有极值，又f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋36，所以f ′(2)＝0，解得a ＝－15.令f ′(x )＞0，解得x ＞3或x ＜2，所以函数的一个递增区间是(3，＋∞)．

4．已知f (x )＝3x 2＋ln x ，则lim Δx →0

f (1＋2Δx )－f (1－Δx )Δx ＝( ) A ．7

B ．73

C ．21

D ．－21

解析：选C ∵f ′(x )＝6x ＋1x ，

∴lim Δx →0 f (1＋2Δx )－f (1－Δx )Δx ＝3lim 3 Δx →0 f (1＋2Δx )－f (1－Δx )3Δx

＝3f ′(1)＝21，选C.

5．函数y ＝ln x －x 在x ∈(0，e]上的最大值为( )

A ．e

B ．1

C ．－1

D ．－e

解析：选C 函数y ＝ln x －x 的定义域为(0，＋∞)，又y ′＝1x －1＝1－x x

，令y ′＝0得x ＝1，当x ∈(0,1)时，y ′>0，函数单调递增；当x ∈(1，e)时，y ′<0，函数单调递减．当x ＝1时，函数取得最大值－1，故选C.

6．已知函数f (x )＝－13

x 3＋2x 2＋2x ，若存在满足0≤x 0≤3的实数x 0，使得曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋my －10＝0垂直，则实数m 的取值范围是( )

A ．[6，＋∞)

B ．(－∞，2]

C ．[2,6]

D ．[5,6]

解析：选C f ′(x )＝－x 2＋4x ＋2＝－(x －2)2＋6，因为x 0∈[0,3]，所以f ′(x 0)∈[2,6]，又因为切线与直线x ＋my －10＝0垂直，所以切线的斜率为m ，所以m 的取值范围是[2,6]．

7．(2019·天津高考)曲线y ＝cos x －x 2

在点(0,1)处的切线方程为________． 解析：y ′＝－sin x －12

，将x ＝0代入， 可得切线斜率为－12

. 所以切线方程为y －1＝－12x ，即y ＝－12

x ＋1. 答案：y ＝－12

x ＋1 8．内接于半径为R 的球且体积最大的圆锥的高为________．

解析：设圆锥高为h ，底面半径为r ，则R 2＝(h －R )2＋r 2，∴r 2＝2Rh －h 2，∴V ＝13πr 2h ＝π3

h (2Rh －h 2)＝23πRh 2－π3h 3，V ′＝43πRh －πh 2.令V ′＝0得h ＝43R . 当00；当4R 3

R 时，圆锥体积最大． 答案：43

R 9．设x 1，x 2是函数f (x )＝x 3－2ax 2＋a 2x 的两个极值点，若x 1＜2＜x 2，则实数a 的取值范围是________．

解析：由题意得f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2的两个零点x 1，x 2满足x 1＜2＜x 2，所以f ′(2)＝12－8a ＋a 2＜0，解得2＜a ＜6.

答案：(2,6)

10．已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2＋4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x －3.

(1)求a ，b 的值；

(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极小值．

解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x ＋4.

∵曲线在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x －3.

∴f (0)＝－3，f ′(0)＝2，

∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－3，a ＋b ＋4＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝1，

b ＝－3.

(2)由(1)，知f (x )＝e x (x －3)－x 2＋4x ，

f ′(x )＝e x (x －2)－2x ＋4＝(x －2)(e x －2)．

令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2或x ＝2.

∴当x ∈(－∞，ln 2)∪(2，＋∞)时，f ′(x )>0；

当x ∈(ln 2,2)时，f ′(x )<0，

故f (x )在(－∞，ln 2)，(2，＋∞)上单调递增，在(ln 2,2)上单调递减．

∴当x ＝2时，函数f (x )取得极小值，

且极小值为f (2)＝4－e 2.

11．某工厂某种产品的年产量为1 000x 吨，其中x ∈[20,100]，需要投入的成本为C (x )(单

位：万元)，当x ∈[20,80]时，C (x )＝12x 2－30x ＋500；当x ∈(80,100]时，C (x )＝20 000x

.若每吨商品售价为ln x x 万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．

(1)写出年利润L (x )(单位：万元)关于x 的函数关系式；

(2)年产量为多少吨时，该厂所获利润最大？

解：(1)由题意，知L (x )＝1 000ln x －C (x )＝ ⎩⎨⎧ 1 000ln x －⎝⎛⎭⎫12x 2－30x ＋500，x ∈[20，80]，1 000ln x －20 000x ，x ∈(80，100].

(2)当x ∈[20,80]时，L ′(x )＝－(x －50)(x ＋20)x

，