因式分解之换元法
人教版-数学-八年级上册-15.4因式分解 用“换元法”分解因式
用“换元法”分解因式我们的课本中介绍了对一个多项式进行因式分解的两种方法，比如提公因式法、运用公式法，这些方法都是最基础的因式分解方法．一些同学在解答课外题时，往往感到只用这些方法还是有点力不从心，于是他们纷纷找到李老师，请她“再传授几招，以便能够解答更多类型的因式分解题目”．李老师欣然同意，当场就为同学们介绍了一种因式分解的常用方法———换元法．李老师把换元法分解因式分成了三种情况．一、换单项式例1分解因式x6+16x3y+64y2．析解：注意到x6=（x3）2，若把单项式x3换元，设x3= m，则x6=m2，原式变形为m2+16my+64y2=（m+8y）2=（x3+8y）2．二、换多项式例2分解因式（x2+4x+6）（x2+6x+6）+x2．析解：本题前面的两个多项式有相同的部分，我们可以只把相同部分换元，设x2+6=m，则x2+4x+6=m+4x，x2+6x+6=m+6x，原式变形为（m+4x）（m+6x）+x2=m2+10mx+24x2+x2=m2+10mx+25x2=（m+5x）2=（x2+6+5x）2=2=（x+2）2（x+3）2．以上这种换元法，只换了多项式的一部分，所以称为“局部换元法”．当然，我们还可以把前两个多项式中的任何一个全部换元，就成了“整体换元法”．比如，设x2+4x+6=m，则x2+6x+6=m+2x，原式变形为m（m+2x）+x2=m2+2mx+x2=（m+x）2=（x2+4x+6+x）2=（x2+5x+6）2=2=（x+2）2（x+3）2．三、换系数例3分解因式x3+x2-2004×2005x．析解：此题若按照一般思路解答，很难奏效．注意到2004、2005两个数字之间的关系，把其中一个常数换元．比如，设2004＝m，则2005=m+1．于是，原式变形为x3+x2-2004×2005x=x2（x+1）-m（m+1）x=x=x（x2+x-m2-m）=x=x=x（x-m）（x+m+1）=x（x-2004）（x+2004+1）=x（x-2004）（x+2005）．以上介绍的是用换元法进行因式分解的初步知识，同学们在以后解题时要多分析题目的结构特点，灵活运用各种因式分解的方法．也可以多进行一题多解的训练，达到举一反三的目的．最后请同学们思考一下：刚才举的几道例题，还有没有其它解法？如果有的话，赶快把你的新解法写出来吧．。
因式分解(双十字相乘法)换元法,添拆项法,
【例12】分解因式：
【例13】分解因式：
【例14】分解因式
【例15】分解因式：
【例16】分解因式：
【例17】分解因式：
【例18】分解因式：
【例19】分解因式：
【例20】分解因式：
【例21】分解因式：
【例22】分解因式：
模块二：拆项与添项
【例21】分解因式：
【例22】分解因式：
【例23】分解因式：
板块二：选主元
【例1】分解因式：
【例2】分解因式：
【例3】分解因式：
【例4】Байду номын сангаас解因式：
【例5】分解因式：
【例6】分解因式：
【例7】分解因式：
板块三：双十字相乘
双十字相乘法：对于某些二元二次六项式 ，可以看作先将关于 的二次三项式
的“常数项” 用十字相乘法分解，然后再次运用十字相乘法将关于 的二次三项式分解。
【例35】分解因式：
【例36】分解因式：
【例37】分解因式： =__________.
【例38】分解因式：
由于这种方法两次使用了十字相乘法，故称之为双十字相乘法.
【例8】分解因式：
【例9】分解因式：
【例10】分解因式：
【例11】分解因式：
【例12】分解因式：
【例13】分解因式：
【例14】分解因式：
【例15】分解因式：
【例16】分解因式：
【例17】已知： 、 、 为三角形的三条边，且 ，求证：
【例18】分解因式：
【例19】分解因式：
【例20】分解因式：
板块一：换元法
【例1】分解因式：
【例2】分解因式：
【例3】分解因式：
初中数学因式分解常用七大解题方法,分类讲解+例题解析,收藏
初中数学因式分解常用七大解题方法，分类讲解+例题解析，收藏初中数学|因式分解常用七大解题方法，分类讲解+例题解析，收藏 -一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)；(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ———a2±2ab+b2=(a±b)2；(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；三、分组分解法（一）分组后能直接提公因式比如，从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
（二）分组后能直接运用公式分组后能直接运用公式，主要是通过对题目当中各因式的观察，进行分组后，能够进行提公因式分解，直到分解的最后能够变成几个多项式或单项式与多项式的乘积为止。
综合练习：四、十字相乘法.十字相乘法是因式分解当中比较难的一种分解方式。
在运用过程当中，对同学们的思维提出了更高的要求，等大家都熟练了这种方法以后，其实对于因式分解是非常简单的，而且比较方便。
对于十字相乘法，我们分为四种类型。
给大家做详细的讲解。
针对每一种方法都有经典的例题解析，通过例题解析的方式让大家明白因式分解时该如何操作，遵循怎样的分解步骤，才能比较顺利的解决和掌握十字相乘法。
测试卷2：因式分解的方法二—换元法参考答案
因式分解的方法二——换元法参考答案知识要点：换元法是数学中的一种重要方法，在解题和证明中常常起到桥梁作用。
用换元法分解因式，是把题目中的某一部分或某几部分看成一个整体，设为一个或几个新的变元，从而使代数式的结果简单化，便于分解。
A 卷一、填空题1、分解因式：()()_______________122122=-++++x x x x .2、分解因式：()()()()_______________157531=+++++x x x x .3、（重庆市竞赛题）分解因式：()____________________199911999199922=---x x .4、（第12届“五羊杯”初二试题）分解因式：()()()_____________22333=-----y x y x . 5、（“TI 杯”初中竞赛题）若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则y x +的值为 .二、选择题6、当1=-y x 时，42233433y xy y x y x xy x ++---的值为（ ）A 、1-B 、0C 、2D 、17、（武汉市选拔赛）若133=-x x ，则199973129234+--+x x x x 的值等于（ ）A 、1999B 、2001C 、2003D 、20058、要使()()()()m x x x x +--+-8431为完全平方式，则m 为（ ）A 、12B 、24C 、196D 、200B 卷一、填空题9、化简：()()()_______________111120022=++++++++x x x x x x x .11、（2005年第16届“希望杯”初二年级竞赛题）在有理数范围内分解因式： ()()()()________________________________________63212=+++++x x x x x二、解答题12、分解因式：（2）()13322132222-+-+-x x x x 解原式()()13211132222---+-=x x x x令y x x =-322，则原式()11112--+=y y y y 92-=()9-=y y()()9323222---=x x x x ()()()32332+--=x x x x（3）()()()91729522---+a a a （湖北省黄冈市竞赛题）解原式()()()()91723352---++=a a a a()()[]()()[]91723352---++=a a a a()()9121215222-----=a a a a 令y a a =-22，则原式()()912115---=y y224362+-=y y()()828--=y y()()8228222----=a a a a()()()827242--+-=a a a a （4）()()42424101314x x x x x ++++-（第13届“五羊杯”竞赛题）解：设y x =+14，则原式()()4221034x x y x y ++-=44221012x x y x y +--=4222x y x y --=()()222x y x y +-=()()1122424+++-=x x x x()()[]2222211x x x -+-=()()()1112222-+++-=x x x x x （5）()()()2121231-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+++y x y x xy xy xy （天津市竞赛题） 解：设a y x =+，b xy =，则 原式()()()2121231--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++=a a b b b ()2212a b b -++=()()a b a b -+++=11()()y x xy y x xy --++++=11()()()()1111--++=y x y x （6）()()()3331252332y x y x y x ---+-（第13届“五羊杯”竞赛题） 解原式()()()[]33352332y x y x y x ---+-= ()()()()[]33323322332y x y x y x y x -+---+-= 设a y x =-32，b y x =-23，则原式()333b a b a +-+= ()b a ab +-=3()()()y x y x y x 5523323----=()()()y x y x y x 233215----=C 卷一、解答题13、（安徽省竞赛试题）证明：12000199919981997+⨯⨯⨯是一个整数的平方，并求出这个整数。
因式分解特殊解法之换元法
特殊解法之换元法【知识要点】换元法：将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，用一个新字母替代它，从而简化运算过程，分解后要注意将新字母还原。
【典型例题】例1 因式分解（换一元）1、120)8(22)8(222++++a a a a2、222(231)22331x x x x -+-+-3、3)5)(3(22-----x x x x4、2223)67)(65(x x x x x -++++5、90)384)(23(22-++++x x x x6、2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++7、()()2723144-+++y y 8、19981999199824-+-x x x例2 因式分解（换二元）1、2)1()2)(2(ab b a ab b a -+-+-+2、)12)(1()21(22--+--b a a b a a3、22244)()()(b a b a b a -+++-4、22224(21)(32)(334)x x x x x x -++---+例3 因式分解：333)()()(cz ax cz by by ax ---+-例4 利用因式分解的方法进行计算：1、2199319931993199119931992222-+ 2、()()20032002199919972001399720002006200022⨯⨯⨯⨯+-【大展身手】1、因式分解：（1）12)2)(1(22-++++x x x x （2）22(815)(87)15x x x x +++++（3）15)7)(5)(3)(1(+++++x x x x （4）()()22212127123x x x x x -++++（5）()()224341256x x x x -+--+ （6）(1)(4)(2)(3)24x x x x ++++-（7）2(61)(21)(31)(1)x x x x x ----+ （8）44(5)(3)82x x +++-2、因式分解：（1）、)1)(1()2)((-+++++xy xy xy y x y x（2）、2(1)(2)(2)xy x y x y xy -++-+-（3）、21(1)(3)2()(1)2xy xy xy x y x y +++-++-+-3、计算：9991000199999910001999333⋅⋅--【小试锋芒】一、填空题（每空2分，共20分）1、把6x2y－8xy2 分解因式时应该提取公因式是_______________.2、3ay－3by=_______________.3、a2－14a＋49=_________________.4、n2－m2=____________ a2＋4ab＋4b2=_______________5、分解因式x2(a＋b) －y2(a＋b)=__________________6、利用因式分解计算：36×3.14＋47×3.14＋17×3.14=_________________.7、若4x2＋kxy＋9y2是一个完全平方式，则k的值是______________.8、如果方程x(ax＋2)=0的两根是x1=0,x2=4,那么a=______________.9、若x2y＋M=xy(N＋2y),则M=______________N=______________.二、选择题（每题3分，共30分）1、下列从左向右的变形是属于因式分解的是（）A、9－a2=(3＋a)(3－a)B、a2－2ax＋2x2=(a－x)2＋x2C、(2x＋1)(x＋2)=2x2－3x－2D、(y－2)(y－1)=(2－y)(1－y)2、下列提取公因式分解因式中，正确的是（）A、2x2－4xy=x(2x－4y)B、a3＋2a2＋a=a(a2＋2a)C、－2a－2b=2(a＋b)D、－a2＋a=－a(a－1)3、下列二项式中，能用平方差公式分解因式的是（）A、x2＋4y2B、－4y2＋x2C、－x2－4y2D、x－4y24、下列各式中，不能用完全平方式分解因式的是（）A、x2－2xy－y2B、x2－2xy＋y2C、x2＋y2＋2xyD、－x2＋2xy－y25、下列因式分解正确的是（）A、6(x－2)＋x(2－x)=(x－2)(6＋x);B、x3＋2x2＋x=x(x2＋2x)C、a(a－b)2＋ab(a－b)=a(a－b);D、3x n＋1＋6x n=3x n(x＋2)6、计算（2ab2－8a2b）÷(4a－b)的结果为（）A、－2abB、2abC、3a2bD、－3ab7、分解因式6a(a－b)2－8(a－b)3时，应提取公因式是（）A、aB、6a(a－b)3C、8a(a－b)D、2(a－b)28、a2－9b2因式分解是（）9、x2＋8x＋16因式分解是（）A、(x＋8)2B、(x＋4)2C、(x－8)2D、(x－4)210、如果a2＋16与一个单项式的和是一个完全平方式，这个单项式是（）A、4aB、±8aC、±4aD、±8a或－16三、解答题1、分解因式：（每题4分，共32分）（1）16a2－9b2(2)4x2－12x＋9 (3)4x3＋8x2＋4x(4)3m(a－b)3－18n(b－a)3(5)20a3x－45ay2x (6)4x2y2－4xy＋1(7)(m＋n)2－(m－n)2(8)(x2＋1)2－4x22、计算：（a4－16）÷(a－2) ( 本题4分)3、解方程：（每题4分，共8分）（1）x2－5x=0 (2)(3x－2)2=(1－5x)24、如果在一个半径为a的圆内，挖去一个半径为b（b<a）的圆，（本题6分）（1）写出剩余部分面积的代数表达式，并因式分解它。
因式分解的七种常见方法
因式分解的七种常见方法因式分解是代数学中非常重要的一个基本概念，可以帮我们优化计算过程，得到简化的式子。
在因式分解的过程中，需要运用不同的方法来将一个给定的式子分解为若干个简单的乘积，本文将会介绍七种常见的因式分解方法。
1. 公式法公式法是一种较为常见的因式分解方法，它可以应用于一些特定的式子。
公式法常用的公式有两个：（1）$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$该公式被称为"a二次减b二次"公式。
它告诉我们，一个平方数减另一个平方数的结果可以表示为两个因子的乘积，并分别是它们的和与差。
例如：$16-9=7\times5=(4+3)\times(4-3)$（2）$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$该公式被称为"a立方加b立方"公式。
它告诉我们一个立方数加另一个立方数的结果可以表示为两个因子的乘积，并分别是它们的和与差减去它们的积。
例如：$8^3+1^3=513=(8+1)\times(8^2-8+1)$2. 提公因式法提公因式法是一种常用的因式分解方法。
它的主要思想是将式子中的公因式先提出来，再对剩下的部分进行因式分解。
例如：$ax^2+bx=a(x^2+\frac{b}{a}x)$在上述式子中，$a$是公因式，$(x^2+\frac{b}{a}x)$是剩余部分的因式分解。
这样我们就把原始式子分解成了两个因子的乘积。
3. 十字相乘法十字相乘法主要用于二次三项式的因式分解。
该方法基于以下思想：将二次三项式分解为两个一次三项式的乘积，其中每个一次三项式的首项系数积等于原始式子的二次项系数，常数项积等于原始式子的常数项。
例如：$ax^2+bx+c$，首先将它分解为两个一次三项式$(px+q)(rx+s)$，然后进行十字相乘运算$(px+q)(rx+s)=px\times rx+px\times s+qrx+qs$，其中最后两项括号里的$c$是常数项。
因式分解的14种方法
因式分解的14种方法因式分解是代数学中的一种重要概念，它用于将一个多项式分解成几个较为简单的因子的乘积形式。
在代数学中，有多种方法用于进行因式分解，下面将介绍其中的14种常见的因式分解方法。
1.提取公因式法：从多项式中提取出公共因子，例如将2x^2+4x分解为2x(x+2)。
2.平方差公式：通过平方差公式将两个平方差表达式相加或相减，例如将x^2-4分解为(x-2)(x+2)。
3.平方和公式：通过平方和公式将两个平方和表达式相加或相减，例如将x^2+4分解为(x+2i)(x-2i)。
4. 公式法：根据一些特定公式进行因式分解，例如(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab。
5.组合方法：将多项式拆分成两个或多个较小的多项式，例如将x^3+8拆分为(x+2)(x^2-2x+4)。
6.凑项法：通过增减一些合适的项来凑出因子，例如将x^2+3x+2分解为(x+2)(x+1)。
7.换元法：通过引入新的变量来进行因式分解，例如将x^2+y^2分解为(x+y)(x-y)。
8.分组法：将多项式分成两组，然后进行公因式提取，最后再进行合并，例如将3x^3-3x^2+2x-2分解为3x^2(x-1)+2(x-1)=(x-1)(3x^2+2)。
9.公因式分解法：将多项式中的每一项提取出公共因子，例如将3x^2+6x+9分解为3(x^2+2x+3)。
10.因式分解公式法：根据一些特定的因式分解公式进行分解，例如(x+a)^2-b^2=(x+a+b)(x+a-b)。
11. 完全平方差公式：将完全平方差公式应用到多项式中，例如将x^2 + 2xy + y^2分解为(x + y)^212.构造法：通过构造合适的项来分解多项式，例如将x^3-64分解为(x-4)(x^2+4x+16)。
13.分解因子法：将多项式因子化，并检查是否存在相同的因子，例如将x^2-4x+4分解为(x-2)^214.复数法：使用复数进行因式分解，例如将x^2+2x+2分解为(x+(1+i))(x+(1-i))。
因式分解法的四种方法
因式分解法的四种方法因式分解是代数学中的一个重要概念，它在解决多项式的因式分解、求根和化简等问题中起着至关重要的作用。
因式分解法有多种方法，本文将介绍其中的四种常用方法，提公因式法、分组分解法、配方法和换元法。
首先，提公因式法是一种常用的因式分解方法。
当多项式中的各项有一个公因式时，可以利用提公因式法进行因式分解。
例如，对于多项式$2x^2+6x$，可以提取公因式2x，得到$2x(x+3)$，从而完成因式分解。
其次，分组分解法是另一种常见的因式分解方法。
当多项式中的项可以分成两组，每组分别提取一个公因式时，可以利用分组分解法进行因式分解。
例如，对于多项式$xy+2x+y+2$，可以将其分成两组$x(y+2)$和$1(y+2)$，然后提取公因式得到$(x+1)(y+2)$，完成因式分解。
除了提公因式法和分组分解法，配方法也是一种常用的因式分解方法。
当多项式可以通过配方法化简成完全平方时，可以利用配方法进行因式分解。
例如，对于多项式$x^2+6x+9$，可以通过配方法化简成$(x+3)^2$，完成因式分解。
最后，换元法是一种较为灵活的因式分解方法。
当多项式中存在较为复杂的因式时，可以通过适当的换元变换，将多项式化简成较为简单的形式，然后进行因式分解。
例如，对于多项式$x^3+8$，可以通过换元$x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)$，完成因式分解。
综上所述，提公因式法、分组分解法、配方法和换元法是常用的因式分解方法。
在解决多项式的因式分解问题时，可以根据具体情况选择合适的方法进行处理，以便更加高效地完成因式分解。
希望本文介绍的四种方法能够帮助读者更好地理解和掌握因式分解的技巧，提高代数学习的效率和水平。
“换一换”就是不一样——例说换元法在因式分解中的运用
作 一个 整 体 ， 用一 个新 的字 母 代替 （ 即 换 杂 的类 型 更 是 如 此 ， 我 们 可 以设 ４ （ 叶６ ） ＝ ｍ，
元） ， 不 仅 可 以 简 化 要 分 解 的 多 项 式 的 结 ５ （ ｒ 卜６ ） ＝ ， 贝 Ｕ 构 ， 而 且能 使 式 子 的特 点更 加 明显 ， 便 于 观 察 出如 何 进 行 因式 分 解 ， 这 种方法 就是
原式＝ （ 叶６ ＋ ＋ １ ） （ 叶６ ＋ 一１ ） ．
２０ —１ ５—３ ３
。
侈 ｑ ５ 才 巴 （ ｙ ＋ １ ） （ ） ， ＋ ２ ） （ ｙ ＋ ３ ） ＋ １ 分 解 因式 ．
＝
一
２ｎ 一 ４８
＝
（ ８） （ 叶 ６） ．
【 解析 】 注 意到ｙ （ ｙ ＋ ３ ） 与（ ｙ ＋ １ ） （ ｙ ＋ ２ ） 结 果 中都含有 （ ＋ ３ ） ， 可 以重组 运算后再 换元 ．
【 解析 】 对 部 分 同学 而 言 ， 完 全 平 方 公 级 中学 ）
Ｔ ｎ ｔ ｅ ｌ ｌ ｉ ｇ ｅ ｎ ｔ ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ
Ｊ ． ＿ 一 冀数 学
１ 歹 ｚ ］ ２ 把
因式 ．
【 解析】 注 意 到两个 因式 中都含 有 ＋ ７ ｘ ．
方法一 ： 可 以设 ２ ＋ ７ ｘ ＝ ａ ， 则 原式＝ （ （ 卜５ ） （ 叶３ ） 一 ３ ３
＝ 一
・ ． ．
（ ｍ＋ ｎ） 一１
＝
（ ｍ＋ ｎ ＋ １ ） （ ｍ＋ ｎ 一 １ ） ．
原式＝ ［ ｙ （ ｙ ＋ ３ ） ］ ［ （ ｙ ＋ １ ） （ ｙ ＋ ２ ） ］ ＋ １
换元法与主元法
换元法与主元法一、、换元法，即对结构复杂的多项式，把其中的某些部分看成一个整体。
例：分解因式(x4+x2-4)( x4+x2+3)+10练习：1、(x2+4x+8)+3x(x2+4x+8)+2x2;2、(x2+x+1)(x2+x+2)-12；3、ab(a+b)2-(a+b)2+1；4、(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1;二、主元法：即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，按降幂排列多项式，排除字母间的干扰，简化问题结构。
例：分解因式：x2y-y2z+z2x-x2z+y2x+z2y-2xyz练习：1、x2+xy-6y2+x+13y-6；2、x2+xy-2y2-x+7y-6；3 、x3+(2a+1)x2+(a2+2a-1)x+(a2-1)；三、折项和添加项法：利用公式进行配方，根据题目的情况进行项的拆分与添加。
例1：因式分解：4x2-4x-y2+4y-3例2、因式分解：x3+5x+6练习：1、x4-7x+12、x4+x2+2ax+1-a23、x4+2x3+3x2+2x+14、x3+6x2+11x+6四、应该熟悉的结果1、ab+a+b+1=(a+1)(b+1)2、ab-a-b+1=(a-1)(b-1)3、ab+a-b-1=(a-1)(b+1)4、ab-a+b-1=(a+1)(b-1)5、a4+4=(a2+2a+2)(a2-2a+2)6、4a4+1=(2a2+2a+1)(2a2-2a+1)7、a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)28、a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac)因式分解的应用例1：若a4+b4=a2-2a2b2+b2+6，则a2+b2=_____________；例2、若x2+xy+y=14，y2+xy+x=28，则x+y=_________；例3、求方程6xy+4x-9y-7=0的整数解；(2x-3)(2+3y)=1。
换元法在因式分解中的应用
换元法在因式分解中的应用
换元法是中学数学中一种重要的解题方法，属于非常规思维，带有试探性、不规则性及创造性．用换元法解题，不蹈常规，见解独特，是培养学生创造性思维能力的重要手段。
因式分解是初中数学的重要内容之一，是多项式乘法的逆运算，在代数式的化简、求值、解方程等领域中都有着广泛、直接的应用。
但当一个多项式的项数、字母较多，次数较高或还含有代数式乘积的项时，结构复杂，容易造成思路混乱，这时可对多项式中某些相同的部分设辅助元代换，达到减少项数、降低次数，便于分解因式。
把复杂、繁难的问题变得简单、容易的目的。
举例简解如下。
一、整体换元
例1因式分解
解：设，原式
例2若是方程的两根。
因式分解
解：因为是方程的两根，所以
设，原式
但
同理
所以原式
二、局部换元
例3因式分解
解：设
原式
例4因式分解
解：设，原式
三、局部分解后，重组再换元
例5因式分解
解：原式
原式
例6因式分解
解：原式
设，原式
注：这里分解后重组的目的是为了寻找整体或局部换元的可能。
四、多元换元
例7因式分解
解：设
原式
例8因式分解
解：设
原式
例9因式分解
解：设注意到
所以原式
注：类似例7、8、9等，不能展开，否则将不堪繁琐，难以继续分解。
由上述数例可知，比较复杂的多项式因式分解，需综合应用多种分解方法，而换元法是一种行之有效的手段，在换元分解结束后，必需把原代换的代数式代换回来，恢复成原字母的分解式。
初中数学重点梳理：换元法
换元法 知识定位很多时候，我们遇到的问题直观比较复杂，在这种情况下把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
知识梳理知识梳理1：换元法在因式分解中的运用利用换元法分解因式，就是将多项式中的某一部分用一个新字母（元）来代替，进行变量替换，将问题转化，从而起到化繁为简、化隐为显、化难为易的作用。
知识梳理2：换元法在解方程中的运用换元法在解方程中是一种常用的方法，特别是解特殊方程中经常能产生事半功倍的 效果，下面介绍解特殊方程时应用换元法的几种常见的方法。
例题精讲【试题来源】【题目】分解因式：()()a a a a a 22216112++-++【答案】【解析】直接换元设a m 21+=，则原式=+-+()()m a m a a 6122=-+=--=+-+-=-+-m am a m a m a a a a a a a a 22222256231213311()()()()()()【知识点】换元法【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式：()()()a b b c c a ----24 【答案】【解析】双元换元设b c m c a n -=-=，则a b m n -=-+()，原式=-+-[()]m n mn 24=-=---=+-()[()()]()m n b c c a a b c 2222【知识点】换元法【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式：()()()a b ab a b ab +-+-+-2212【答案】【解析】和积换元设a b m ab n +==，原式=--+-()()()m n m n 2212=---+=--=+--=--()()()()()()m n m n m n a b ab a b 22222211111【知识点】换元法【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式：()()()ab a b ab a b --+---1222 【答案】【解析】和差换元设a b ab m n +-=+22--=-a b m n则m ab n a b ab =-=+--11， 原式=-+-m m n m n 2()()=--=m m n n 2222()=+--=--()()()a b ab a b 111222【知识点】换元法【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式：a a a 42200320022003+++【答案】【解析】常值换元设2003=m ，则20021=-m ，原式=++-+a ma m a m 421()=-+++()()a a m a a 421=++-+=++-+()()()()a a a a m a a a a 2222112003【知识点】换元法【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式： ()()()()x m x m x m x m m +++++2344 【答案】【解析】均值换元 原式=+++++()()x mx m x mx m m 222245456 设n x mx m x mx m =+++++1254562222[()()] =++x mx m 2255则原式=-++()()n m n m m 224==++n x mx m 222255()【知识点】换元法 【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】分解因式：291492432a a a a -+-+【答案】【解析】倒数换元 原式=-+-+a a a a a 222291492()=+-++a a a a a 222219114[()()] 设a a m +=1，则原式=--+a m m 2222914[()]=-+=--a m m a m m 2222910225()()()=+-+-=-+-+=---a a a a a a a a a a a a 222212225212521221()()()()()()()【知识点】换元法【适用场合】阶段测验【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式：()()()a b b c c a abc ++++【答案】【解析】变形后换元原式=++-++-++-+()()()a b c c a b c a a b c b abc设a b c m ++=，则原式=---+()()()m c m a m b abc =-+++++-+=-+++=++++m a b c m ab bc ca m abc abcm m m ab bc ca mab bc ca a b c 3232()()()()()·【知识点】换元法【适用场合】课后两周练习【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式： ()()()a a a 212472----【答案】【解析】整体换元原式=+----[()()][()()]a a a a 141272 =---+-()()a a a a 22343272设a a m 232-+=，则原式=--()m m 672=--=-+=-+--++=+--+m m m m a a a a a a a a 222267212632123262538()()()()()()()【知识点】换元法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式： ()12323+++-m m m m【答案】【解析】局部换元设12++=m m a ，则原式=+-()a m m 323 =++-=++-=++-=++-=++++++a am m m a am m m a am m m aa a m m m m m m m m m 23632333233343223422121211()()()()()【知识点】换元法【适用场合】课后两周练习【难度系数】3【试题来源】【题目】解方程：x 4+(x －4)4=626.【答案】x=5；或x=－1.【解析】（用平均值24-+x x 代换，可化为双二次方程.） 设 y= x －2 ，则x=y+2.原方程化为 (y+2)4+(y －2)4=626.［((y+2)2－(y －2)2)2＋2(y+2)2(y －2)2－626=0整理，得 y 4+24y 2－297=0. (这是关于y 的双二次方程).(y 2+33)(y 2－9)=0.当y 2+33=0时， 无实根 ；当y 2－9=0时， y=±3.即x －2=±3，∴x=5；或x=－1.【知识点】换元法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】解方程：2x 4+3x 3－16x 2+3x+2=0 .【答案】x=－2+3；x=－2－3； x=2；或x=21. 【解析】∵这是个倒数方程，且知x ≠0， 两边除以x 2,并整理 得2(x 2+21x )+3(x+x 1)－16=0. 设x+x 1=y, 则x 2+21x =y 2－2. 原方程化为 2y 2+3y －20=0.解得 y=－4；或y=25.由y=－4得 x=－2+3；或x=－2－3.由y=2.5得 x=2；或x=21. 【知识点】换元法【适用场合】课后两周练习【难度系数】3【试题来源】【题目】 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++++=+++++01012124012522222y x y xy x y x y xy x 【答案】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=33213321y x ；或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--=33213321y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=412412y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧+=-=412412y x . 【解析】（这个方程组的两个方程都是二元对称方程，可用基本对称式代换.）设x+y=u, xy=v. 原方程组化为：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++010********v u u v u u . 解得⎩⎨⎧-==374v u ； 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=91132v u . 即⎩⎨⎧-==+374xy y x ； 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+91132xy y x . 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=33213321y x ；或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--=33213321y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=412412y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧+=-=412412y x .【知识点】换元法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】 【题目】解方程=++++)7(27x x x x 35－2x. 【答案】【解析】7=x x t ++则原式变为2t 420t +-=，解得t = -7 或 6【知识点】换元法【适用场合】课后两周练习【难度系数】3【试题来源】【题目】解方程(16x 2－9)2+(16x 2－9)(9x 2－16)+(9x 2－16)2=(25x 2－25)2. 【答案】【解析】可以换元令16x 2－9 = a ，9x 2－16 = b ，25x 2－25 = a + b 则原式变为 ()222a ab b a b++=+化简得ab = 0即【知识点】换元法【适用场合】阶段测验【难度系数】3【试题来源】【题目】解方程(2115-+x )4+(2315-+x )4=16.【答案】1，3【解析】【知识点】换元法【适用场合】阶段测验【难度系数】3【试题来源】【题目】解方程x x x x 112+++=223.【答案】无实数解【解析】x x x x 112+++=223 即111x x x x +++=223.令1x x + = t原方程变为1t t +=223.【知识点】换元法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】解方程组【答案】【解析】【知识点】换元法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】［a ］表示不大于a 的最大整数，如［2］=1，［－2］=－2， 那么 方程 ［3x+1］=2x －21 的所有根的和是_____.【答案】-2【解析】【知识点】换元法【适用场合】课后一个月练习【难度系数】4【试题来源】 【题目】解方程1112---++x x x =x. 【答案】45 【解析】设11-++x x =y, 那么y 2=2x+212-x . 原方程化为： y －21y 2=0 . 解得 y=0；或y=2.当y=0时，11-++x x =0 (无解) 当y=2时， 11-++x x =2，解得，x=45. 检验（略）. 【知识点】换元法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3。
因式分解(双十字相乘法)换元法,添拆项法。
因式分解(双十字相乘法)换元法,添拆项法。
例1】将$x^2+4x+8$看作一个整体，设为$y$，则原式变为$y^2+3xy+2x^2$。
将$y$代入可得$(x^2+4x+8)^2+3x(x^2+4x+8)+2x^2$。
最终结果为$(x^2+3x+4)^2-x+16$。
例2】设$x^2+5x+2=a$，$x^2+5x+3=b$，则原式变为$ab-12$。
将$a+b$代入可得$(x^2+5x+2)+(x^2+5x+3)=2x^2+10x+5$，最终结果为$(2x^2+10x+5)^2-169$。
例3】将$x+1$看作一个整体，设为$a$，则原式变为$(a+2)(a+4)(a+6)(a+8)+15$。
将$a+5$代入可得$(x+6)(x+4)(x+2)(x+10)+15$。
例4】将$a-2$看作一个整体，设为$x$，则原式变为$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24$。
将$x+2$代入可得$(a-2+2)(a-2+3)(a-2+4)(a-2+5)-24$，最终结果为$(a^2-5a+10)^2-24$。
例5】设$x^2+x+1=a$，$x^2+x+2=b$，则原式变为$ab-12$。
将$a+b$代入可得$(x^2+x+1)+(x^2+x+2)=2x^2+2x+3$，最终结果为$(2x^2+2x+3)^2-49$。
板块二：选主元例1】将$1+a+b+c$看作一个整体，设为$x$，则原式变为$(x-1)^2+(a+1)(b+1)(c+1)$。
展开可得$x^2-2x+1+ab+ac+bc+2a+2b+2c+1$，最终结果为$(a+b+c+1)^2$。
例2】将$a(6a+11b+4)+b(3b-1)-2$看作一个整体，设为$x$，则原式变为$x-2$。
展开可得$6a^2+11ab+4a+3b^2-b-2$，最终结果为$(3a+b+1)^2$。
例3】将$2a^2-b^2-ab+bc+2ac$看作一个整体，设为$x$，则原式变为$x$。
巧用换元法分解因式
＝ （ 一３ａ＋８）（ 一３０—１Ｏ） ＝ （ａ＋２）（口一５）（ｃ 一３０＋８） 四 、局 部换 元 例 ４分解 因式 （１＋ａ＋ ＋ ） 一 解 ：设 １＋。＋ ＝，ｎ，贝０ 原式 ＝ （ｍ＋ ） 一ａ３
＝ ｍ ＋ ２ｍａ３＋ 一
＝ ｍ ＋２，， ＋ （ 一１）
设 口＋ｊ－ ＿：ｍ，贝０
原式 ＝ａ２［２（ｍ 一２）一９ｍ＋１４】 ＝ａ２（２ｍ 一９ｍ ＋ｌ０） ＝ａ２（ｍ一２）（２ｍ 一５）
： ０２（。＋ 一２）（２口＋ 一５）
ａ
ａ
＝ （ａ２—２ａ＋１）（２ａ２—５ａ＋２）
＝ （ａ一１）。（ａ一２）（２口一１） 七 、均 值换 元
例７分解 因 式 —１） —２） —３） 一４）一１２０
＝ｍ ＋２ｍ￣＋ （口一１）（ ＋口＋１）
＝ｍ ＋２， ＋ （Ⅱ一１）ｍ
＝ｍ（ｍ＋２ ＋０４一
＝ （１＋ａ＋ ）（１＋ａ＋０２＋ ＋ ）
五 、常数 换元
例５分解 因式 ＋２０１３ｘ２—２０１３ｘ＋２０１４
解 ：设 ２０１４＝ｍ，￣ ２０１３＝ｍ 一１
原 式 ＝ ＋ 一１） 一 （ｍ —１） ＋ｍ
Ｉ彗 曼 堡
技 Ｉ 栏 ，㈨ …
解 ：原 式 ＝ ［（口＋１）（ａ一４）】【（ａ一１）（口一２）］一７２
＝ （ 一３ａ一４）（ａ２—３口＋２）一７２ 设 一３口一４＝，ｎ，贝９ 一３口＋２＝ｍ ＋６．
原 式 ＝ｍ（ｍ＋６）一７２
＝ （ｍ＋１２）（ｍ一６） ＝ （ 一３ａ一４＋１２）（ 一３口一４—６）
例 １分 解 因式 ： 一４ｘｙ＋ 一 ＋１２ｙ＋９ 解 ：原 式 ＝ 一２ｙ）。一６（ｘ一２ｙ）＋９． 设 一２ｙ＝ｍ，贝０ 原式 ＝／ｎ２—６ｍ＋９
第04讲 解一元二次方程——因式分解法与换元法
第04讲 解一元二次方程——因式分解法与换元法知识点01 因式分解的方法1. 因式分解的方法：①提公因式法：=++cm bm am ；②公式法：平方差公式：=-22b a ；完全平方公式：=+±222b ab a ；③十字相乘法：分解c bx x ++2，若mn c =且b n m =+，则=++c bx x 2 。
题型考点：①对因式分解进行熟练应用。
【即学即练1】1．把下列各式因式分解：（1）2a 2﹣4a ；（2）（a 2+9）2﹣36a 2； （3 ）x 2+2x ﹣15．知识点02 利用因式分解法解一元二次方程1. 因式分解法解一元二次方程的基本步骤：①将一元二次方程的右边全部移到左边，使其右边为 。
②对方程的左边进行 ，使其成为两个整式的积的形式。
③别分令两个整式为 ，得到两个一元一次方程。
④解这两个一元一次方程，一元一次方程的解合起来就是一元二次方程的解。
题型考点：①根据求根公式确定c b a ，，的值。
②利用公式法解一元二次方程。
【即学即练1】2．一元二次方程（x ﹣5）2＝4（x ﹣5）的解为（ ）A ．x ＝5B ．x ＝﹣5C ．x 1＝5x 2＝9D ．x 1＝5x 2＝1【即学即练2】3．方程x 2﹣3x ﹣18＝0的根是（ ）A ．x 1＝3，x 2＝6B ．x 1＝﹣3，x 2＝6C ．x 1＝3，x 2＝﹣6D ．x 1＝﹣3，x 2＝﹣6 【即学即练3】4．解方程（3x ﹣4）2﹣（4x +1）2＝0．知识点03 整体法或换元法解一元二次方程1. 整体法或换元法：在解一元二次方程时，有时候会把含有未知数的一个式子看作一个整体，然后用一个简单的字母表示，起达到方程简化的目的，在解其方程的方法叫做整体法或换元法。
例题讲解：【【【【【【()()041512=+---x x 【 【【【y x =-1，【【【【【【【0452=+-y y 【 【【4121==y y ，【 【y=1【【【x -1=1【【【x =2【【y=4【【【x -1=4【【【x =5【【【【【【【【【x 1=2【x 2=5【题型考点：利用整体法或换元法解一元二次方程。
因式分解特殊方法
因式分解的特殊技巧方法【考点聚焦】分解因式特殊技巧：技巧一：换元法技巧二：主元法技巧三：添项拆项技巧四：待定系数法（赋值法）技巧五：试根法【典例剖析】考点1：因式分解的特殊技巧方法一：换元法【例1】把22222)84(384x x x x x x ++++++）（分解因式【例2】分解因式：1)4)(3)(2)(1(+++++x x x x【变式1】分解因式：9)5)(3)(1(2-++-y y y【变式2】分解因式：2)6)(3)(2)(1(m m m m m +++++【例3】分解因式：))((4)(2d c b a d c b a +++--+【变式】分解因式：)(4)(22222y x xy y xy x +-++考点2：因式分解的特殊技巧方法2--主元法（双十字乘法）【例4】分解因式：（1）121553222-+---y x y xy x（2）45322-+--y x y x【变式】分解因式：（1）22227376z yz xz y xy x -+--- （2）22--++y x y xy考点3：因式分解的特殊技巧方法3--待定系数法【例5】已知m x x +-232有因式12+x ，求m 的值；【变式】若432+-kx x 被13-x 除余3，则k = .【例6】已知多项式556234++++x x x x 能被12++x x 整除，请分解前者的因式.【变式】已知154723--+x bx ax 能被13+x 和32-x 整除，求b a 、的值，并将该多项式因式分解.考点4：因式分解的特殊技巧方法4--试根法【例7】分解因式：（1）65223--+x x x （2）462234+--x x x【变式1】（1）8292234+--+x x x x （2）231968234++-+x x x x【变式2】（1）2426923+++x x x （2）abc c b a 3333-++考点5：因式分解的特殊技巧方法5--添项、拆项法【例8】（1）233+-x x （2）4464b a +9 （3）611623+++x x x。