变分法

( y1 , y2 , yn )

x1
x0
, y2 ,, yn )dx F ( x, y1 , y2 , yn , y1
d Fyi Fyi 0 dx
i 1, 2, n
边界固定，依赖多自变函数一阶导数的泛函 ( y1 , y2 , yn )
, y2 ,, yn )dx F ( x, y1 , y2 , yn , y1 fi ( x, y1 , y2 , , yn ) 0 约束条件： i 1, 2, , k

x1
x0
F ( x) ( x)dx 0
(1.18)
则在 [x0,x1] 上就有F(x)≡0. 证明用反证法
1.3.2 欧拉方程

x1
[ y] F ( x, y, y )dx
x0
x1
x1
x0
F y F ydx y y b a

x1
x0
F ( x, y y , y y ) y F ( x, y y , y y ) y dx u1 u2 0
x1 [ y y ] ＝0 F ( x, y, y ) y F ( x, y, y ) y dx x 0 y y
1.变分法
1.1 泛函与变分定义
1.1.1 泛函的概念
引例1： 平面两点 A (x0, y0)、B (x1,y1)，求连接A、B两点的最短弧线。 解：设A、B 两点间函数为y=y(x) 则由弧长微分公式
x1
» AB = L =
ò
x2
1+ [ y ¢ ( x)]2 dx
(1.1)
y
B (x1, y1)
y
y y1=y1(x) y2=y2(x)
y2=y2(x)
y1=y1(x)
o (a)
x
0 (b)
x
图1.3
曲线的接近度
dy和δy的区别
dy : δy：
是在x不变时，针对两条接近
的函数曲线 的微差 y 。 y 是x 的函数。 y 在边界点一定为零。
o x
是针对一条曲线 y =y(x) ，当△x= dx 时 函数值增量的线 性主部是 dy 。 dy一般不等于零。？
[ y( x), y( x)] max y( x)
[ y ( x) y ( x)] L[ y ( x), y ( x)] [ y ( x), y ( x)]max y ( x) { [ y ( x), y ( x)]}max y ( x) 0 L[ y ( x), y ( x)]
x0

x1
f i d Fy j i ( x ) Fy j 0 y dx i 1 j
k
j 1, 2, , n
1.4泛函的条件极值变分法
, y2 ,, yn )dx ( y1 , y2 , yn ) F ( x, y1 , y2 , yn , y1
拉氏定义：微分也等于y(x+ε△x)对ε导数在ε=0时的值。
y( x x ) y( x x ) x y( x x ) 0 y( x ) x dy( x )
(1.5)
泛函变分定义
一般定义： [ y( x) y( x)] [ y( x)]
B(x1,y1)
( x c2 ) 2 ( y c1 ) 2 r 2
其中常数c1,c2, r 可由条件
o C D
x
图1.2 曲边梯形的面积
y( x0 ) y0 , y( x1 ) y1, 及
x1
x0
1 [ y( x)]2 dx l
来确定。
引例3：由最小势能原理，变形全能随所选取的三个位移函
L 随函数y =y(x) 的选取而变，它是一个泛
函。用间接法确定使L最短的函数曲线即泛函有极 值的自变函数曲线为
o
y=y(x) A (x0, y0) dL
y =c1x+c2 ,1阶导数2个待定常数
其中常数 c1 、c2可由边界点A、B的坐标（即边 界条件）确定。
图1.1 两点间的最短弧线
x
引例2：求通过两点A (x0, y0)、B (x1,, y1)且长度l 为一定值的函数曲线
x0 x1
表1.1第四行：
fi ( x, y1 , y2 ,, yn ) 0
构成新的泛函
F d F 0 y j dx y j
（i 1, 2,, k）
y1 , y2 ,, yn ,
1 ( x), 2 ( x),, k ( x)
代人式(1.20)
Fy Fxy Fyy y Fyy y 0 (1 21)
上述欧拉方程为二阶偏微分方程 。解此方程可
求出使泛函Φ(y)达到极值的y(x) ，称间接解法. 其它欧拉方程形式为：
泛函形式
欧拉方程
(n)
n d d2 n d Fy Fy 2 Fy (1) Fy( n ) 0 n dx dx dx
数ui(i=1,2,3)而变，[u]也是一个泛函。而ui必须满足的体积不
变条件
L、As、Φ都是依赖于可变化的函数。称其为自变函数，随 自变函数而变的量称为泛函。用符号φ、J 表示，记作 φ[y(x)]或φ(y)等。 • 变分法就是研究求泛函极大值和极小值的方法。
1.1.2 泛函自变函数的变分
• 函数y=y(x) ,自变量为x ，增量 △x, 称dx为自变 量x微分。 • 泛函φ[y(x)],自变函数为y(x)，当△y(x) 变化无 限小时，称为自变函数的变分，表为δy(x) ，δy • δy是指函数y(x) 和跟它相接近的另一函数y1(x) 的微差。
零阶接近度：对任何x值， y1(x) 和y2(x)的差都很小， δy = y2(x) –y1(x)很小 . ………… n阶接近度：
一阶接近度:不仅纵坐标值很接近. δy = y2(x) – y1(x) δy′= y(x)′–y1(x)′也很小
y 0, y 0, y 0, y ( n ) 0
ab (ab) ab
F d F d F y ( y ) ( ) y dx x0 dx y dx y y
x1 F F d F x1 y x ( ) ydx 0 x0 y y dx y
即证明了拉格朗日的泛函变分的定义：
[ y( x) y( x)] 0
(1.8)
例：简单泛函 [ y]

x1
x0
F ( x, y, y )dx
一阶变分。
x1 [ y y ] F ( x, y y , y y )dx x0 u1 u2
新泛函欧拉方程组
( j 1, 2, , n)
k f F d F F F i ( x) fi i ( x) i ( )0 y j i 1 y j dx yj i 1


k
( j 1, 2, , n)
x1
0
共k+n个方程，k+n个未知数
：
( ) ydx x y dx y
2 x1
(1 10)
[ y y ] [ y ] 1 2 2
x1
x0
F ( x, y y, y y)－F ( x, y, y)dx
1.2变分运算与泛函极值条件
1.2.1 运算规则
1
y n ny n 1 y
0 2 0
0 2 0
源自文库
泛函取极小值 ,
泛函取极大值
(1.17)
1.3 变分基本引理与欧拉方程
1.3.1 变分基本引理
设F(x)在[x0,x1]上连续，( x)是一类任意的连续函数， ( x) , ( x) ; 一阶或若干阶可微；在线段（x0，x1)端点为零； 若下列积分为零
F
d F
边界条件：2n?个积分常数 y1 x0 y10 , , yn x0 yn 0 ;
y1 x1 y11 , , yn x1 yn1
1.5 泛函极值的直接解法
以求解欧拉方程求极值函数（解析解），叫泛函变分的间接解法 ，用近

x1
x0
F F y y y ydx
(1.9)
泛函二阶变分及增量为：
2 F 2 F 2 F 2 2 2 ( y) 2 y y ( y) dx 2 x0 yy y y
x0 x0
x1
x1
(dy ) d ( y )
dy d ( y ) , 或 ( y) ( y) dx dx
3.注意：d ( xy) ydx xdy
( xy) x y
1.2.2 泛函极值的条件
泛函极值条件与函数极值条件具有相似的定义。如果
( y) F ( x, y, y, y,, y )dx
x0
x1
边界固定，依赖高阶导数的泛函
[ w( x, y, z )] F ( x, y, z, w, wx ,
V
wy , wz )dxdydz 边界固定，依赖于多元函数的泛函
Fw
Fwx Fwy Fwz 0 x y z
L[ y ( x) y ( x)] [ y ( x), y ( x)] max y ( x)
L[ y( x), y( x)]
是泛函增量的 线性主部
拉格朗日定义
[ y( x) y( x)] [ y( x)] [ y( x)] L[ y( x), y( x)]
(u v) u v,
(uv) u v v u, (u v) (v u u v) / v 2
2
变分号可由积分号外进入积分号内
x1 x1 x0 x0
F ( x, y, y)dx F ( x, y, y)dx
ydx ydx
端点固定条件 y( x0 ) y( x1 ) 0

x1
由基本引理式(1.18)
(1 20)
x0
F d F y dx ( y ) ydx
F d F ( )0 y dx y
注意到F（x,y,y')是对x的全导数
d F 2 F 2 F dy 2 F dy dx y y x y y dx y y dx Fxy Fyy y Fy y y
y δy y1=y1(x) y=y(x)
y
y(x) 和 y1(x)
dy
△x=dx
图 1.4 dy和δ y的区别
1.1.3 泛函的变分
微分一般定义 ：△y=y(x+△x)-y(x) ＝A(x)△x + (x,△x)△x
dy dy A( x)x y( x)x, x dx; y x A( x) dx
y=y(x)，使图中曲边梯形ABCD的面积AS达到最大。
As

x1
x0
ydx
（1.2）
AS依y的选取而定，它也是一个泛函，约束条件为AB长度
l
x1
x0
1 [ y( x)]2 dx const （1.3）
y A(x0 , y0)
y
这是带约束条件的泛函极值由间接 变分法，泛函As的极值曲线为