数值计算方法A卷标准答案样本
完整word版,《数值计算方法》试题集及答案(1-6) 2..
《计算方法》期中复习试题一、填空题：1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得⎰≈31_________)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。
答案：2.367，0.252、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。
答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+5、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式⎰1d )(xx f ≈(⎰++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )；12、 为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+ 。
13、 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。
2019-2020数值分析A 答案
-*+ 密 封 线2019-2020学年 第 1学 期 数值分析（A ） 答案一、填空题（每空2分，共10分）1. 模型误差、测量误差、截断误差、舍入误差2. ()010()[,,,],!n n n f f x x x x x n ξξ=K 其中介于、之间。
3. 2n+14. 213123k k k k k x x x x x +++=−+5. 8二 简答题（10分）1. 有效数字各有 6位、3位、5位；误差限为0.00005、0.00005、0.5. ……….4分2.112222ππ解：令f(x)=2x-sinx-2,则f(x)在[,]连续,且f()<0,f()>0,且 f'(x)=2-cosx>0,所以有唯一根。
…….3分1*1sin 1.211()sin 12221()|'()|<1,22122|'()|01k x x x x x x x πϕπϕϕπϕ+=+=+≤≤≠建立迭代格式：由于在区间[,]满足，所以，迭代格式对任意初值属于[,]都收敛。
因为，所以阶收敛。
……….6分三、计算题（共20分）1.（10分）注：本题中误差限可以适当放松。
30011223332()()()()()(0)(1)(2)(1)(1)(2)0(1)(10)(11)(12)(01)(01)(02)(1)(0)(2)(1)(0)(1)215(11)(10)(12)(21)(20)(21)21L x l x y l x y l x y l x y x x x x x x x x x x x x x x =+++---+--=??------+--+--+--+??+--+--=+-………………………….5分001001201012301232()()[,]()[,,]()()[,,,]()()()0(1)(1)2(1)(0)(1)(0)(1)1N x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+-+--+---=+--+--+---=+-…………………………10分 2. （10分）令所要求的多项式为1()p x a bx =+，取()()011,x x x ϕϕ==，计算()1000,11dx ϕϕ==⎰，()10101,2xdx ϕϕ==⎰，()121101,3x dx ϕϕ==⎰，()100,x f e dx e ϕ==⎰，()110,e 1x f x dx ϕ==⎰……………………………………………………………….…….5’得法方程组1e 211123a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩…………………………………….7’解之，得： 4.87, 4.31a b ==−，于是得一次最佳平方逼近多项式为1() 4.87 4.31.p x x =−.………………………………………………………………………….10’四、计算题（共30分）1. （10分）()a(()4()())62bb a a bf x dx f a f f b −+++⎰的辛普森公式：验证代数精度： 取f (x ) = 1, 有：左边＝()baf x dx b a =−⎰=右边；取f (x ) = x , 有：左边＝()221()2baf x dx b a =−⎰=右边；……………（4分） 取2()f x x = ，有：左边＝()331()3baf x dx b a =−⎰=右边； 取3()f x x = ，有：左边＝()441()4baf x dx b a =−⎰= 右边；当4()f x x = ，左边＝()441()4baf x dx b a =−≠⎰右边；…………（8分）故公式对4()f x x =不精确成立，其代数精度为4；…………………………………………（10分）2.（10分）解：{}1max 83,78A ==， （2分）{}max 54,99A ∞==， （4分）111213212223212133100212100=013,100612u u u A LU l u u l l u ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦………………………（6分）121201,013.3212⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦所以，L=U=………………………（10分）3. （10分）由题意可知，()()2014,1,1,,1i m n x x x ϕϕω=====()4000,15i ϕϕ===∑，，()()4201100,,5327i x ϕϕϕϕ====∑，()44110,7277699i x ϕϕ===∑，()()400,271.4i i f f x ϕ===∑，()()4210,369321.5i i f f x x ϕ===∑…………（4分）可得55327271.453277277699369321.5a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭解得0.050.97a b =⎧⎨=⎩故此多项式为20.050.97y x =+…………………………………………………………（10分） ’五、计算题（10分）方程组的Gauss-Seidel 迭代格式为(1)()()123(1)(1)21(1)(1)31522(1)/3(22)/7k k k k k k k x x x x x x x +++++⎧=++⎪=−+⎨⎪=−⎩(5分) 其迭代矩阵为10221022221300033207044077G B −⎡⎤−−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−=−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦−⎢⎥⎣⎦（8分） 其特征方程为32223021260207λλλλλλλ−−=−= 解之得123260,21λλλ===谱半径26()121G B ρ=>，故迭代发散。
数值计算方法A卷标准答案
一. 填空题（每空2分，共34分）1. 设 *2.40315x = 是真值 2.40194x =的近似值，则 *x 有 3 位有效数字。
2.求方程c ox x =根的牛顿迭代格式是1c o s _____________1s inkkk kkx x xx x+-=-+。
3． 迭代法12213k k kx x x +=+收敛于*__________x=，此迭代格式是__2__阶收敛的。
5. 形如 0()()nbk k a k f x dx A f x =≈∑⎰的插值型求积公式, 其代数精度至少可达_________n 次，至多可达___21______n +次。
6. 向量 (3,2)TX =-，, 矩阵7231A -⎛⎫=⎪-⎝⎭，则=1AX___36____，Cond ()___90_____A ∞=。
7．对矩阵A 作如下的LU 分解：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=601032211012001542774322b aA ，则 ___2____a =，___3____b =8. 设100aA b ⎛⎫=⎪⎝⎭，要使lim 0kk A →∞=，a 与b 应满足 ___1,1____a b <<。
10. 设(0,1,2,3,4,5)i x i =为互异节点，()i l x 为对应的5次Lagrange 插值基函数，则5540((ln 2)1)()i i i i x x l x =++∑=54__(ln 2)1_________x x ++二. (12分)设函数)(x f 在区间[0,2]上具有四阶连续导数，试求满足下列插值条件的一个次数不超过3的插值多项式)(x H ，并写出其余项()()()R x f x H x =- 的表达式解：2()(0)[0,1]()[0,1,2]()(1)N x f f x f x x =++-213(1)321x x x x x =++-=-+ （5分）2()()(1)(2)H x N x ax x x =+--'()62(1)(2)43x H x x a x x a ==-+--== （8分）2232()3213(1)(2)3641H x x x x x x x x x =-++--=-++ （10分）令)()()(x H x f x R -=，作辅助函数2()()()()(1)(2)g t f t H t k x t t t =----则)(t g 在]3,0[上也具有4阶连续导数且至少有4个零点：21,0,，x t = 反复利用罗尔定理可得：!4)()()4(ξfx k =，)0)(()4(=ξg所以(4)2()()(1)(2)4!fR x x x x ξ=--(12分)三．（12分） 求积公式 1'0100()(0)(1)(0),f x dx A f A f B f ≈++⎰ 又知其误差余项为'''(),[0,1]R kf ξξ=∈。
《数值计算方法》试题集和答案解析
《数值计算方法》复习试题一、填空题：1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=15561415014115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得⎰≈31_________)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。
答案：2.367，0.253、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。
答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+6、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；8、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为( )],(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f hy y )；10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )；11、 两点式高斯型求积公式⎰1d )(xx f ≈(⎰++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )；12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。
数值试卷A答案(手写版)
解得 ，即
第三步，求解
解得 ，即
七、证明题
《数值计算方法》A卷答案
一、填空题
1、4 3
解：
2.
解：
3、6 7
解：
4、
解：
5、8
解：
6、1/8
解：
7、B的谱半径<1
解：/link?url=OKcBFzq2AhWGpKyovuza_sfa0KyqVt3GTThkmOGfA6A3KItDQ-tG_Ve58ZvEBlW37hjsbDJa8yKyxAaOLq_X5r6rr6FQXWmPcuDsL568PM3
四次的Newton插值多项式：
四、计算题(共10分)
解：函数 在区间[1,9]上取9个点如下
1
2
3
4
5
6
7
8
9
则复合Simpson公式如下：
由题可知
则
函数 的四阶导数为
则复合Simpson公式的余项:
取 得最大误差为：
五、计算题
解：修改的欧拉公式
六、计算题
解：
第一步，用LU公式法可以将矩阵A分解如下
8、
解：
9、3 2
解：
二、计算题(共10分)
解：令 则函数
则有题给出的表的数据，可以得到 与 的关系如下：
1
3
5
8
10
4
5
10
1造差商表如下：
一阶差商
二阶差商
三阶阶差商
四阶差商
1
1
2
4
3
3
7
3
0
4
8
1
-1
-1/3
5
6
数值计算方法试题和答案解析
数值计算方法试题一一、 填空题(每空1分,共17分) 1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数,需对分( )次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件就是α取值在( )。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 就是三次样条函数,则a =( ),b =( ),c =( )。
4、)(,),(),(10x l x l x l n Λ就是以整数点n x x x ,,,10Λ为节点的Lagrange 插值基函数,则∑==nk kx l0)(( ),∑==nk k jk x lx 0)(( ),当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k n k k( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 与节点,,2,1,0,2/Λ==k k x k 则=],,,[10n x x x f Λ 与=∆07f。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ,5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ就是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族,其中1)(0=x ϕ,则⎰=14)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ,a 为实数,当a 满足 ,且20<<ω时,SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 就是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ,当∈a ( )时,必有分解式T LL A =,其中L为下三角阵,当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足( )条件时,这种分解就是唯一的。
数值计算方法试卷二A+答案
π
6
B.
π
4
C.
π
3
D.
π
2
）敛速。 D. 三次 D. O h 2
4. 设求方程 f ( x ) = 0 的根的切线法收敛，则它具有（ A． 线性 B. 超越性 C. 平方 5. 改进欧拉法的局部截断误差为（ ） A． O h5
( )
B. O h 4
( )
C. O h3
( )
( )
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1. π 的近似值 3.1428 是准确到
三、计算题（每小题 12 分，共 60 分） 1. 用已知函数表
x y
0 1
1 2
2 5Βιβλιοθήκη 求抛物插值多项式，并求 f ( ) 的近似值。
1 2
河北理工大学数值计算方法试卷
2. 用紧凑格式解方程组
⎡ 4 −1 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡1⎤ ⎢ −1 4 −1⎥ ⎢ x ⎥ = ⎢3⎥ ⎢ ⎥⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣1⎥ ⎦ ⎣ 0 −1 4 ⎥ ⎦⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦ ⎢
0
1
1 ⎡
4
⎛4
4⎞ 1⎤
因为 f ( x ) = 所以， R4 ( f
1 24 ( 4) ( 4) ， f ( x) = ， M 4 = max f ( x ) = 24 5 1+ x (1 + x )
)≤
24 1 = 4 2880 × 2 1920 x= 1 3 ( x + 1) = ϕ ( x ) 4
α (α > 0 ) 等同于求方程 x 2 − α = 0 的正根，
2
令 f ( x ) = x − α , f ′ ( x ) = 2 x ，代入切线法迭代公式得：
数值计算方法答案
1数值计算方法习题一（2）习题二（6）习题三（15）习题四（29）习题五（37）习题六（62）习题七（70）2009．9，92习题一1．设x>0相对误差为2%，4x的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()f x xf x f x xf x f xδδ∆=≈得（1）()f x=11()()*2%1%22x xδδδ≈===；（2）4()f x x=时444()()'()4()4*2%8%xx x x xxδδδ≈===2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。
解：由教材9P关于1212.m nx a a a bb b=±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，53．用十进制四位浮点数计算（1）31.97+2.456+0.1352；（2）31.97+（2.456+0.1352）哪个较精确？解：（1）31.97+2.456+0.1352≈21((0.3197100.245610)0.1352)fl fl⨯+⨯+=2(0.3443100.1352)fl⨯+=0.3457210⨯（2）31.97+（2.456+0.1352）21(0.319710(0.245610))fl fl≈⨯+⨯= 21(0.3197100.259110)fl⨯+⨯=0.3456210⨯易见31.97+2.456+0.1352=0.345612210⨯，故（2）的计算结果较精确。
4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？3解：设该正方形的边长为x，面积为2()f x x=，由(())(())'()()()()f x xf x f x xf x f xδδ∆=≈解得(())()()'()f x f xxxf xδδ≈=2(())(())22f x x f xx xδδ==0.5%5．下面计算y的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知1x<<，（A）11121xyx x-=-++，（B）22(12)(1)xyx x=++；（2）已知1x>>，（A）y=，（B）y=；（3）已知1x<<，（A）22sin xyx=，（B）1cos2xyx-=；（4）（A）9y=（B）y=解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
数值计算方法答案
数值计算方法答案(总71页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--数值计算方法习题一（2）习题二（6）习题三（15）习题四（29）习题五（37）习题六（62）习题七（70）2009．9，9习题一1．设x >0相对误差为2%4x 的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈得（1）()f x =11()()*2%1%22x x δδδ≈===；（2）4()f x x =时444()()'()4()4*2%8%x x x x x xδδδ≈===2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。
解：由教材9P 关于1212.m nx a a a bb b =±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，53．用十进制四位浮点数计算 （1）++； （2）+（+）哪个较精确 解：（1）++ ≈21((0.3197100.245610)0.1352)fl fl ⨯+⨯+=2(0.3443100.1352)fl ⨯+ =210⨯ （2）+（+） 21(0.319710(0.245610))fl fl ≈⨯+⨯= 21(0.3197100.259110)fl ⨯+⨯=210⨯易见++=210⨯，故（2）的计算结果较精确。
4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少解：设该正方形的边长为x ，面积为2()f x x =，由(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈解得(())()()'()f x f x x xf x δδ≈=2(())(())22f x x f x x xδδ==%5．下面计算y 的公式哪个算得准确些为什么（1）已知1x <<，（A ）11121xy x x -=-++，（B ）22(12)(1)x y x x =++； （2）已知1x >>，（A ）y=，（B ）y = （3）已知1x <<，（A ）22sin x y x=，（B ）1cos 2xy x -=；（4）（A）9y =B ）y =解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
数值计算方法答案
数值计算方法习题一（2）习题二（6）习题三（15）习题四（29）习题五（37）习题六（62）习题七（70）2009．9，9习题一1．设x >0相对误差为2%，4x 的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈得（1）()f x =11()()*2%1%22x x δδδ≈===；（2）4()f x x =时444()()'()4()4*2%8%x x x x x x δδδ≈===2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。
解：由教材9P 关于1212.m nx a a a bb b =±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，53．用十进制四位浮点数计算 （1）31.97+2.456+0.1352； （2）31.97+（2.456+0.1352）哪个较精确？解：（1）31.97+2.456+0.1352 ≈21((0.3197100.245610)0.1352)fl fl ⨯+⨯+ =2(0.3443100.1352)fl ⨯+=0.3457210⨯（2）31.97+（2.456+0.1352）21(0.319710(0.245610))fl fl ≈⨯+⨯ = 21(0.3197100.259110)fl ⨯+⨯ =0.3456210⨯易见31.97+2.456+0.1352=0.345612210⨯，故（2）的计算结果较精确。
4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？解：设该正方形的边长为x ，面积为2()f x x =，由(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈解得(())()()'()f x f x x xf x δδ≈=2(())(())22f x x f x x xδδ==0.5%5．下面计算y 的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知1x <<，（A ）11121xy x x-=-++，（B ）22(12)(1)x y x x =++； （2）已知1x >>，（A）y =，（B）y = （3）已知1x <<，（A ）22sin x y x =，（B ）1cos 2xy x-=；（4）（A）9y =（B）y =解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
数值计算方法期末A卷参考答案(14-15-2)
3． ， ，
4． .
5． ， ，
6.
7. ， ， ； ， ，
8. ，
9.
10.ode23、ode45和ode113.
二、选择题（每小题4分，共40分）(D) (B) (A) (B) (C)
3、解：将原方程组改写为等价的方程组
它是一个严格对角占优方程组，故雅可比迭代格式和高斯－塞德尔迭代格式都收敛。
课程《数值计算方法》【■A卷□B卷】任课教师周小林
2014-2015学年第二学期考试时长：_100分钟【■闭卷□开卷】
说明:
1.请填写课程名称、任课教师姓名、考试时长和考试方式，并注明是A卷还是B卷；2.请在该试卷上集中出题，标清题号，学生答题纸将统一另备。
答案：
一、填空题（每小题4分，共40分）
1． ,
雅可比迭代格式：高斯ຫໍສະໝຸດ 塞德尔迭代格式：四、解：令 ，
，
.
五、解：显式欧拉公式
欧拉预估-校正公式
显式欧拉公式的解欧拉预估-校正公式的解
0.1 0 0.005
0.2 0.01 0.02
《数值计算办法》试题集及参考答案
《数值计算方法》复习试题一、填空题：1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=15561415014115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为，拉格朗日插值多项式为。
答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有(2)位有效数字；5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是()；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+6、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f (1),=]4,3,2,1,0[f (0)；7、计算方法主要研究(截断)误差和(舍入)误差；8、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为(12+-n a b )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为(0.15)； 11、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。
12、 为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+。
13、 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为0.5，1,进行两步后根的所在区间为0.5，0.75。
数值计算方法答案
数值计算方法习题一（2）习题二（6）习题三（15）习题四（29）习题五（37）习题六（62）习题七（70）2009．9，9习题一1．设x >0相对误差为2%4x 的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈得（1）()f x =11()()*2%1%22x x δδδ≈===；（2）4()f x x =时444()()'()4()4*2%8%x x x x x xδδδ≈===2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。
解：由教材9P 关于1212.m nx a a a bb b =±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，53．用十进制四位浮点数计算 （1）++； （2）+（+）哪个较精确 解：（1）++ ≈21((0.3197100.245610)0.1352)fl fl ⨯+⨯+=2(0.3443100.1352)fl ⨯+=210⨯（2）+（+）21(0.319710(0.245610))fl fl ≈⨯+⨯ = 21(0.3197100.259110)fl ⨯+⨯ =210⨯易见++=210⨯，故（2）的计算结果较精确。
4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少解：设该正方形的边长为x ，面积为2()f x x =，由(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈解得(())()()'()f x f x x xf x δδ≈=2(())(())22f x x f x x xδδ==%5．下面计算y 的公式哪个算得准确些为什么（1）已知1x <<，（A ）11121xy x x-=-++，（B ）22(12)(1)x y x x =++； （2）已知1x>>，（A ）y=，（B ）y = （3）已知1x <<，（A ）22sin x y x =，（B ）1cos2xy x-=；（4）（A）9y =-（B ）y =解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
《数值计算方法》试题集及答案（1-6）2
《数值计算方法》试题集及答案（1-6）2《计算方法》期中复习试题一、填空题：1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得?≈31_________)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。
答案：2.367，0.252、(f 34答案567； 811、 (5)；12、为了使计算32)1()1(110---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+。
13、用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为0.5，1,进行两步后根的所在区间为0.5，0.75。
14、计算积分?15.0d xx ,取4位有效数字。
用梯形公式计算求得的近似值为0.4268，用辛卜生公式计算求得的近似值为0.4309，梯形公式的代数精度为1，辛卜生公式的代数精度为3。
15、设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的二次牛顿插值多项式为)1(716)(2-+=x x x x N 。
16、≈bnx f A x x f )(d )(1)次代数17、18、1920a =(3 21、0l ∑=nk kl(2223 2410次。
25a=3,b=-3,c=126、若用复化梯形公式计算?0dxe x ，要求误差不超过610-，利用余项公式估计，至少用477个求积节点。
27、若4321()f x x x =++，则差商2481632[,,,,]f =3。
28、数值积分公式11218019()[()()()]f x dx f f f -'≈-++?的代数精度为2。
选择题1、三点的高斯求积公式的代数精度为(B)。
《数值计算方法》试题集及答案解析
=
9
。
4 8 2 A= 2 5 7 1 3 6 的 A = LU ，则 U = 32、设矩阵
4 8 2 U = 0 1 6 1 0 0 − 2
。
3
33、若 f ( x ) = 3 x + 2 x + 1 ，则差商 f [ 2, 4, 8,16, 32] =
5、舍入误差是( A )产生的误差。 A. 只取有限位数 C． 观察与测量 B．模型准确值与用数值方法求得的准确值 D．数学模型准确值与实际值
6、3.141580 是π的有( B )位有效数字的近似值。 A． 6 B． 5 C． 4 C )误差。 D． 舍入
4
D． 7
7、用 1+x 近似表示 ex 所产生的误差是( A． 模型 B． 观测
1 x +1 + x
27 、若用二分法求方程 f ( x ) = 0 在区间 [1,2] 内的根，要求精确到第 3 位小数，则需要对分 10 次。
2 x 3 , 0 ≤ x ≤ 1 S (x ) = 3 2 x + ax + bx + c, 1 ≤ x ≤ 2 是 3 次样条函数，则 28、设
C． 截断
8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是( A )。 A．控制舍入误差 C．防止计算时溢出 B． 减小方法误差 D． 简化计算
x 3 9、用 1+ 3 近似表示 1 + x 所产生的误差是(
D )误差。 D． 截断 )位有效数字。 D． 8
A． 舍入
B． 观测
C． 模型
10、-324．7500 是舍入得到的近似值，它有( C A． 5 B． 6 C． 7
答案_数值计算与M12-13学年第2学期试卷A-8开
1.0
1.4
1.8
2.2
2.6
z
1.0741
2.1142
3.3670
4.4643
5.5924
于是，取 ， 和权函数 ，用 通过最小二乘法拟合上述数据，则拟合函数中的系数 和 满足正规方程组：
(6分)
由 ， ， ， ，
，得正规方程组
(9分)
解之，得， ， 。故所求的最小二乘拟合函数为：
，即 。(11分)
8.设 ，其中 , ，则 （精确值）。当b有误差 （ ）时，引起解向量x的为误差x，则 的上界为。 8， 上界为82。
二、解下列各题：（共36分,每小题9分）
1.确定求积公式 中的待定参数 ，使其代数精度尽量高，并指出所确定的求积公式的代数精度。
解：首先令 ，分别代入求积公式中，使其精确地成立，得关于系数 的方程：
解：Gauss-Seidel法迭代法的分量形式如下：
（*）（6分）
其迭代矩阵为
（8分）
由 特征多项式 ，所以 的谱半径 ，由此即知格式（*）收敛充要条件为 。（9分）
3.设 的函数数据பைடு நூலகம்如下:
xk
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
yk
1.00000
0.99500
0.98007
0.95534
0.92106
。（9分）
天津大学试卷专用纸
学院专业班年级学号姓名A卷共三页第3页
三、应用题：（共22分，每小题11分）
1.给定实验数据如下：
x
1.0
1.4
1.8
2.2
2.6
y
0.931
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一. 填空题( 每空2分, 共34分)
1. 设 *
2.40315x = 是真值 2.40194x =的近似值, 则 *x 有 3 位有效数字。
2.求方程cos x x =根的牛顿迭代格式是1
cos _____________1sin k k
k k
k
x x x
x x +-=-+。
3． 迭代法1221
3k k k
x x x +=
+
收敛于*__x =, 此迭代格式是__2__阶收敛的。
5. 形如 0
()()n
b
k k a
k f x dx A f x =≈∑⎰ 的插值型求积公式, 其代数精度至少可
达_________n 次, 至多可达___21______n +次。
6. 向量 (3,2)T X =-, , 矩阵 7231A -⎛⎫
= ⎪-⎝⎭, 则
=1AX ___36____, Cond ()___90_____A ∞=。
7．对矩阵A 作如下的LU 分解:
⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6001032211012001542774322b a A , 则 ___2____a =, ___3____b =
8. 设 100a A b ⎛⎫
= ⎪⎝⎭, 要使lim 0k k A →∞
=, a 与b 应满足 ___1,1____a b <<。
10. 设(0,1,2,3,4,5)i x i =为互异节点, ()i l x 为对应的5次Lagrange 插值基函数, 则5
540((ln 2)1)()i i i i x x l x =++∑=54__(ln 2)1_________x x ++
二. (12分)
设函数)(x f 在区间[0,2]上具有四阶连续导数, 试求满足下列插值条件的一个次数不超过3的插值多项式)(x H , 并写出其余项()()()R x f x H x =- 的表示式
解: 2()(0)[0,1]()[0,1,2]()(1)N x f f x f x x =++-
2
13(1)321
x x x x x =++-=-+ ( 5分)
2()()(1)(2)H x N x ax x x =+--
0'()62(1)(2)43
x H x x a x x a ==-+--== ( 8分)
223
2
()3213(1)(2)3641
H x x x x x x x x x =-++--=-++ ( 10分)
令)()()(x H x f x R -=, 作辅助函数2()()()()(1)(2)g t f t H t k x t t t =----
则)(t g 在]3,0[上也具有4阶连续导数且至少有4个零点: 21,0,，
x t = 重复利用罗尔定理可得:
!4)()()
4(ξf x k =
, )0)(()
4(=ξg
因此 (4)2
()()(1)(2)4!
f R x x x x ξ=
-- (12分)
三．( 12分) 求积公式
1
'0100
()(0)(1)(0),f x dx A f A f B f ≈++⎰
又知其误差余项为
'''(),[0,1]R kf ξξ=∈。
试确定系数010,,A A B 及, 使该求积公式有尽可能高的代数
精度, 指出其代数精确度的次数并确定误差式中的 k 值。
解: 将2()1,,f x x x =分别代入公式得:
0110
100111
121
233613
A A A
B A A B A ⎧
⎪=+⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩解得＝，＝， ＝
( 6分)
当3()f x x =时, 左边等于14, 右边等于1
3
, 因此求积公式最高代数精度为2。
( 9分)
将3()f x x =代入有误差项中的积分式中
1
30
11643
172
x dx k k =
=+=-
⎰
( 12分)
四．(12分)
分别用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法求解方程组
121223
324
x x x x +=⎧⎨+=⎩
写出迭代格式, 并判断收敛性。
若将原方程组变为
1212324
23
x x x x +=⎧⎨+=⎩
再用上述两种迭代法求解是否收敛? 说明原因。
解: 雅可比迭代格式为
10
233
202
k k x x +-⎡⎤
⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
()B ρ= 发散 ( 4分) 高斯-赛德尔迭代格式为
13025032k k x x +⎡⎤
-⎡⎤
⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
⎣⎦
()3B ρ= 发散 (8分) 方程组变为形式后
方程均严格对角占优, 则收敛。
( 12分)
五. ( 16分)
1.( 8分) 用Gauss 列主元消去法解方程组:
1231231
234,54312,211.
x x x x x x x x x -+=-⎧⎪
-+=-⎨⎪++=⎩ 解: 54
31211145431212
85431211140555211112111113
179055
5⎛
⎫ ⎪
------⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎪--→--→--
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎝
⎭
( 3分) 5431254312131791317900555555
128550005551313⎛
⎫⎛⎫
⎪ ⎪
----
⎪ ⎪
⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪-
--⎝⎭⎝⎭
(6分)
(3,6,1)x T =- (8分)
六.( 下列2题任选一题, 8分)
1．设0a >, 试建立计算
x =的牛顿迭代公式, 并分析其收敛性。
解: 1. 1. 解: 问题转换为求解2()(0)f x x a x =->的正根。
牛顿迭代公式为
211(),0,1,2
22k k k k k k
x a a
x x x k x x +-=-=+= ( 2分)
下面证明对任何初值00x >迭代过程收敛。
'()20,"()20.f x x f x =>=> 根据定理2.8,
对于任何0x >, 迭代公式收敛。
( 5分)
当0x ∈, 由f 的单调性知
010000000()'()
'()
)'()
)f x x x f x f x x f x x x ξ=-=+
>+= 对任何初值00x >迭代过程收敛。
( 8分) 七.( 6分)
设()f x 在[,]a b 上具有二阶连续导数, 且()()0,f a f b ==证明
2''1
()()()8max max a x b a x b
f x b a f x ≤≤≤≤≤-
证明:
''''
()()()
()()()()()
()()2!()
()()2!
x b x a f x f x f a f b x a x b a b b b f x x a x b --=++----=
-- ( 3分)
则
''2''1
()()()()21
()()8max
max max a x b
a x b
a x b
f x x a x b f x b a f x ≤≤≤≤≤≤≤
--≤- ( 6分)
*********************** 一. 填空题( 每空2分, 共40分)
1. 设 *0.231x = 是真值 0.229x =的近似值, 则 *x 有 2 位有效数字。
5. 向量 (2,3)T X =-, , 矩阵 2154A ⎛⎫
= ⎪⎝⎭, 则
=1AX ___3_____, Cond ()___21_____A ∞=。