(完整版)(整理)第七章空间解析几何

第七章空间解析几何与向量代数内容概要

习题7-1

★★1．填空：

（1） 要使b a b a -=+成立，向量b a , 应满足b a ⊥

（2） 要使

b a b a +=+成立，向量b a , 应满足 //b a ，且同向

★2．设c b a v c b a u

-+-=+-=3 , 2，试用c b a , , 表示向量v u 32-

知识点：向量的线性运算

解：c b a c b a c b a v u 711539342232+-=+-++-=-

★3．设Q , P 两点的向径分别为21 , r r ，点

R 在线段PQ 上，且

n

m

RQ

PR =

，证明点R 的向径为 n m m n

+=

+r r r 12

知识点：向量的线性运算

证明：在OPQ ∆中，根据三角形法则PQ OP OQ =-，又)(21r r -+=+=

n

m m

n m m ，

∴n

m m n n m m

PR OP OR

++=-++

=+=22r r r r r 1

11)(

★★4．已知菱形

ABCD 的对角线b a ==B , ，试用向量b a , 表示 , , , 。

知识点：向量的线性运算

解：根据三角形法则， b a ==-==+B D AD , AB AC BC AB ，又ABCD 为菱形，

∴

=（自由向量），

∴222

AB AC BD AB CD DC AB --=-=-⇒=⇒=-=-=

u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r a b b a

a b ∴2b a +==，2

DA +=-u u u r a b

★★5．把ABC ∆的BC 边五等分，设分点依次为4321 , , , D D D D ，再把各分点与点

A 连接，试以

a c ==BC AB , 表示向量 , , 321A D A D A D 和A D 4。

知识点：向量的线性运算 解：见图7-1-5，

根据三角形法则，

)5

1(51 ,11111a c +-=-=⇒=

=+AD A D BC BD AD BD AB 同理：)5

4

( ),53( ),52((432a c a c a c +-=+-=+-=D D D

习题7-2

★1在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？

(2 , 2 , 3)A -； 5) , 3 , 3(-B ； )4 , 2 , 3(--C ； 2) , 3 , 4(--D

答：(2 , 2 , 3)A -在第四卦限，5) , 3 , 3(-B 在第五卦限，)4 , 2 , 3(--C 在第八卦限，

2) , 3 , 4(--D 在第三卦限

★2．在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？并指出下列各点的位置：

A B C D -(2,3,0); (0,3,2); (2,0,0); (0,2,0)

知识点：空间直角坐标

答：在各坐标面上点的坐标有一个分量为零，坐标轴上点的坐标有两个分量为零，

∴点

A 在xoy 坐标面上；

B 在yoz 坐标面上；

C 在x 轴上；

D 在y 轴上。

★3．求点a b c (,,)关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标。

答：（1）a b c (,,)关于xoy 面的对称点的坐标为),,(c b a -；关于xoz 面的对称点的坐标为),,(c b a -；

关于yoz 面的对称点的坐标为),,(c b a -。

（2）a b c (,,)关于x 轴的对称点的坐标为),,(c b a --；关于y 轴的对称点的坐标为),,(c b a --；

关于z 轴的对称点的坐标为),,(c b a --

（3）a b c (,,)关于原点的对称点的坐标为),,(c b a ---

★★4．过点P x y z 0

000(,,)分别作平行于z 轴的直线和平行于xoy 坐标面的平面，问在它们上面的点的坐标各有什么特点？

答：过点P x y z 0

000(,,)平行于z 轴的直线上的点x 、y 坐标一定为00,y x ，因此坐标为x y z 00(,,)；过点P x y z 0

000(,,)平行于xoy 坐标面的平面上的点的竖坐标一定为0z ，因此坐标为x y z 0(,,) ★5．求点M -(5,3,4)到各坐标轴的距离。

解：∵),,(z y x M 到x 轴的距离为22y z +

∴M -(5,3,4)到x 轴的距离为516922=+=+y z ；

同理M -(5,3,4)到y 轴的距离为

41162522=+=+z x ；

M -(5,3,4)到z 轴的距离为3492522=+=+y x

★★6．在yoz 面上，求与三点

A B C --(3,1,2),(4,2,2),(0,5,1)等距离的点。

知识点：空间两点的距离

解：∵所求点在yoz 面上，∴设所求点的坐标为),,0(z y ，由条件可知：

2

22222)1()5()2()2(16)2()1(9-+-=++++=-+-+z y z y z y

⎩

⎨

⎧-==⇒⎩⎨⎧=--=+⇒21

64543z y z y z y ，∴所求点为)2,1,0(- ★7．已知两点M M -12(0,1,2),(1,1,0)，试用坐标表示式表示向量M M M M -u u u u u u r u u u u u u r 1212

,2。 知识点：空间两点的距离、向量的坐标表示及代数运算

解：}2 , 2,1{21--=M M ；}4 ,4 ,2{}2 , 2,1{2221-=---=-M M

★8．求平行于向量=-a

{6,7,6}的单位向量

知识点：向量的坐标表示及代数运算