线性代数期末考线代题

一、填空题（每空3分，共15分）

(1).设三阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=111111111A ，⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=150421321B ，则=B A T .

(2).设A 为3阶方阵, 且A 的行列式8

1=

A ,*A 为A 的伴随矩阵, 则 *183A A --=___________ .

(3).设A 为n 阶方阵，且0=AX 有非零解，则A 必有特征值 .

(4).设R 3上的线性变换A 在标准基下的矩阵为⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=23020111k A ，而

)1,2,3(-=β，若A )4,5,0(-=β,则 k = .

(5)设正交矩阵Q =⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-22220001

22220，则=-1Q .

二、计算行列式（16分） (1). 设41213201

12134321

--=A ，求,44434241M M M M +++其中ij M 为A 中

的元素ij a 的余子式。

(2).n

n a a a a a

a a a a

a a a a

a a D +++=+

0001211,其中 .021≠n a a a .

三、(10分)已知矩阵⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=111011001A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011101110B ，且矩阵X 满足 E BXA AXB BXB AXA ++=+，其中E 为三阶单位矩阵，求矩阵X.

四、(12分) 设B A B A +,，

为n 阶矩阵，且AB B A =+，证明：(1)E A -可逆，E 为n 阶单位矩阵；(2) BA AB =.

五、(12分)设T 1)0,1,1(=α, T 2)1,1,0(=α, T 3)1,0,1(=α为R 3的一组基，

T 1)0,0,1(=β,T 2)0,1,1(=β,T 3)1,1,1(=β为R 3的另一组基，(1)求由基321,,βββ到基321,,ααα的过渡矩阵P ; (2)在3R 中是否有在基321,,ααα和基321,,βββ下坐标相同的向量？若有，试求出这样的向量.

六、(10分) 已知T 1)3,2,0,1(=α, T 2)5,3,1,1(=α, T 3)1,2,1,1(+-=a α， T 4)8,4,2,1(+=a α,T )5,3,1,1(+=b β.问b a ,为何值时向量β不能由向量组4321,,,αααα线性表示.

七、(12分) 讨论当a , b 为何值时，线性方程组

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=--+-=++=+++1

23,

2)3(,122,043214324324321ax x x x b x x a x x x x x x x x 有惟一解、有无穷多解或无解；并求出有无穷多解时的通解（表为其特解

与其导出组通解之和的形式）.

八、(13分) 已知二次曲面42222

22=+++++yz xz bxy z ay x 通过正交变换

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ζηξP z y x 化成椭圆柱面4422=+ζη，求参数a 和b 及正交矩阵P .