【典型题】高二数学上期中试卷带答案(1)
高二(上学期)期中考试数学试卷及答案
高二（上学期）期中考试数学试卷及答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．一直线过点(0,3),(3,0)-，则此直线的倾斜角为（ ）A ．45°B ．135°C ．－45°D ．－135°2．已知{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 为其前n 项和．若3133S a =+，则d =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．23．已知ABC 的顶点B ，C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC 的周长是（ ）A ．B ．6C ．4D ．4．设a R ∈，若直线10ax y +-=与直线10x ay ++=平行，则a 的值是（ ）A ．1B ．1,1-C ．0D ．0，15．已知直线:sin cos 1l x a y a -=，其中a 为常数且[0,2)a π∈．有以下结论：①直线l 的倾斜角为a ；①无论a 为何值，直线l 总与一定圆相切；①若直线l 与两坐标轴都相交，则与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1；①若(,)p x y 是直线l 上的任意一点，则221x y +≥．其中正确结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>满足b a =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则双曲线C 的方程为（ ）A ．22145x y -= B ．221810x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 7．在平面直角坐标系xoy 中，已知点()3,1P -在圆222:22150C x y mx y m +--+-=内，动直线AB 过点P 且交圆C 于,A B 两点，若ABC 的面积的最大值为8，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(3-+B ．[]1,5C ．][(35,3-⋃+D ．][(),15,∞∞-⋃+8．已知A ，B 为圆22:2430C x y x y +--+=上的两个动点，P 为弦AB 的中点，若90ACB ∠=︒，则点P 的轨迹方程为（）A ．221(1)(2)4x y -+-=B ．22(1)(2)1x y -+-=C ．221(1)(2)4x y +++=D ．22(1)(2)1x y +++=二、多选题9．已知直线30ax y a -+-=在两坐标轴上的截距相等，则实数=a （ ）A ．1B ．1-C ．3D ．3-10．设抛物线24y x =，F 为其焦点，P 为抛物线上一点.则下列结论正确的是（ ）A ．若()1,2P ，则2PF =B ．若P 点到焦点的距离为3，则P 的坐标为(2,.C ．若()2,3A ，则PA PF +D ．过焦点F 做斜率为2的直线与抛物线相交于A ，B 两点，则6AB =11．如图，椭圆221:13+=x C y 和222:13y C x +=的交点依次为,,,.A B C D 则下列说法正确的是（ ）A ．四边形ABCD 为正方形B ．阴影部分的面积大于3.C ．阴影部分的面积小于4.D ．四边形ABCD 的外接圆方程为222x y +=12．已知圆222:22(1)2230()C x y mx m y m m m R ++-+++-=∈上存在两个点到点(0,1)A -的距离为4，则m 的可能的值为A ．1B ．1-C ．3-D ．5-三、填空题13．设()1,0F c -，()2,0F c 分别为椭圆()222210x y a b a b +=>>的左，右焦点，若直线22a x c=上存在点P ，使22PF c =，则椭圆离心率的取值范围为______.14．已知在数列{}n a 中，12a =，111n na a +=-，*n N ∈，则2021a =________．15．已知焦点为1F ，2F 的双曲线C P 为C 上一点，且满足2123PF PF =，若12PF F △的面积为C 的实轴长为________四、双空题16．抛物线2:2C y x =的焦点坐标是______；经过点()4,1P 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则AF BF +=______．五、解答题17．已知{n a }为等差数列，Sn 为其前n 项和，若1356,0a a a =+=．(1)求数列{n a }的通项公式；(2)求Sn ．18．已知A (4, 9), B (6, 3)两点，求以线段AB 为直径的圆的方程．19．已知直线10:4l mx y ++=和直线()()2:2100,0l m x ny m n +-+=>>互相垂直，求m n 的取值范围． 20．已知①ABC 的顶点A （-1，5），B （-1，-1），C （3，7）.(1)求边BC 上的高AD 所在直线的方程；(2)求边BC 上的中线AM 所在直线的方程；(3)求①ABC 的面积.21．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，且M 点的纵坐标为4，52p MF =．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点(0,4)Q -作直线交抛物线C 于,A B 两点，试问抛物线C 上是否存在定点N 使得直线NA 与NB 的斜率互为倒数？若存在求出点N 的坐标，若不存在说明理由．22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，以椭圆C 的四个顶点为顶点的四边形面积为 (1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的左顶点为A ，右焦点是F ．点P 是椭圆C 上的点（异于左、右顶点），M 为线段PA 的中点，过M 作直线PF 的平行线l ．延长PF 交椭圆C 于Q ，连接AQ 交直线l 于点B ．①求证：直线l 过定点．①是否存在定点1D 、2D ，使得12BD BD +为定值，若存在，求出1D 、2D 的坐标；若不存在说明理由．参考答案：1．A【分析】根据斜率公式求得直线的斜率，得到tan 1α=，即可求解.【详解】设直线的倾斜角为α， 由斜率公式，可得03130k -==--，即tan 1α=， 因为0180α≤<，所以45α=，即此直线的倾斜角为45.故选：A.2．C【解析】根据{}n a 是公差为d 的等差数列，且3133S a =+，利用等差数列的前n 项和公式求解.【详解】因为{}n a 是公差为d 的等差数列，且3133S a =+，所以113333a d a +=+，解得1d =，故选：C3．D【分析】先由椭圆方程求出a =.【详解】由椭圆2213x y +=，得：a =由题意可得ABC 的周长为:221224AC CF F B BF a a a +++=+==.故选：D.4．A【分析】根据两直线平行则两直线斜率相等截距不相等可得答案.【详解】0a =时，两直线为10y -=、直线10x +=，显然不平行；所以0a ≠，两直线为1y ax =-+，1(1)=-+y x a， 所以1a a -=-，且11a -≠， 解得1a =．故选：A.5．C【分析】根据直线的性质及直线与圆的关系对选项一一判断即可.【详解】对于①，直线l 的倾斜角的取值范围为[0,)π，与角a 的不同，故①错误；对于①，(0,0)1=，则无论a 为何值，直线l 总与221x y +=相切，故①正确；对于①，若直线l 与两坐标轴都相交，则截距分别为1sin a ，1cos a -，则与两坐标轴围成的三角形的面积为111112sin cos sin 2a a a⋅=≥，故①正确； 对于①，由①知直线l 总与221x y +=相切，则直线l 上的点到原点的距离大于等于1，即221x y +≥，故①正确；综上所述，①①①共3个正确；故选：C6．A【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的几何性质，列出方程，求得,a b 的值，即可求解. 【详解】由椭圆的标准方程为221123x y +=，可得21239c =-=，即3c =， 因为双曲线C 的焦点与椭圆221123x y +=的焦点相同，所以双曲线C 中，半焦距3c =，又因为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>满足b a =，即b =，又由222+=a b c ，即229a ⎫⎪⎪⎝⎭+=，解得24a =，可得25b =， 所以双曲线C 的方程为22145x y -=. 故选：A ．7．C【分析】由题知圆心为(),1,4C m r =，进而根据三角形面积公式得ABC 面积最大时，AB =，圆心C 到直线AB 的距离为4PC ≤<即可得答案.【详解】解：圆222:22150C x y mx y m +--+-=，即圆()()22:116C x m y -+-=，即圆心为(),1,4C m r =， 所以ABC 的面积为21sin 8sin 82ABC S r ACB ACB =∠=∠≤△，当且仅当2ACB π∠=，此时ABC 为等腰直角三角形，AB =C 到直线AB 的距离为= 因为点()3,1P -在圆222:22150C x y mx y m +--+-=内，所以4PC ≤<，即4<，所以，28(3)416m ≤-+<，解得31m -≤或53m ≤<+所以，实数m 的取值范围是][(35,3-⋃+故选：C8．B【分析】在直角三角形中利用几何关系即可获解【详解】圆C 即22(1)(2)2x y -+-=,半径r =因为CA CB ⊥,所以2AB ==又P 是AB 的中点,所以112CP AB == 所以点P 的轨迹方程为22(1)(2)1x y -+-=故选：B9．BC【分析】显然0a ≠，再分30a -=与30a -≠两种情况讨论，若30a -≠，求得直线在,x y 轴上的截距，即可得到方程，解得即可；【详解】解：依题意可知0a ≠，所以当30a -=，即3a =时，直线30ax y a -+-=化为30x y -=，此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当30a -≠，即3a ≠时，直线30ax y a -+-=在x 轴上的截距为3a a-，在y 轴上的截距为3a -，故33a a a -=-，解得1a =-； 综上所述，实数3a =或1a =-.故选：BC10．AC【分析】由抛物线的性质依次计算各选项所求，即可得出结果.【详解】抛物线24y x =，()1,0F .对于A ，()1,2P ，2PF ，A 正确；对于B ，设(,P x ±，()22143x x -+=，2x =，P 的坐标为(2,±.B 错误；对于C,()min PA PF AF +==正确；对于D ，直线:22l y x =-，联立24y x =，得：2310x x -+=，3A B x x +=,2=5B A x x AB ++=,D 错误. 故选：AC.11．ABC【分析】根据曲线的对称性，可判定A 正确；联立方程组求得A 的坐标，求得ABCD 的面积为13S =，可判定B 正确；由直线1,1x y =±=±围成的正方形的面积可判定C 正确；由232OA =，得出圆的方程，可判定D 错误．【详解】由题意，椭圆221:13+=x C y 和222:13y C x +=，根据曲线的对称性， 可得四边形ABCD 为正方形，选项A 正确；联立方程组，求得A ，所以正方形ABCD 的面积为13S =， 所以阴影部分的面积大于3，选项B 正确：由直线1,1x y =±=±围成的正方形的面积为2=4S ，所以阴影部分的面积小于4，选项C 正确；由232OA =，所以四边形ABCD 的外接圆方程为2232x y +=，选项D 错误． 故选：ABC .12．ACD【解析】根据题意，圆()()222:12C x m y m ++-+=⎡⎤⎣⎦与圆()222:14A x y ++=相交，再由两圆圆心距大于两圆半径之差，小于两圆半径之和，列出不等式，解得即可.【详解】由题知，圆()()222:12C x m y m ++-+=⎡⎤⎣⎦与圆()222:14A x y ++=相交，所以，4242CA -<<+，即26，解得()()1,20,171m ∈--，即m 的值可以为：1或3-或5-.故选：ACD.【点睛】本题体现了转化的数学思想，解题的关键在于将问题转化为两圆相交，属于基础题. 13．0e <≤【分析】由题设易知222||a PF c c≥-，结合椭圆离心率的性质即可得离心率的取值范围. 【详解】由题设，222||2a PF c c c=≥-，则22223c e a =≤，而01e <<，所以0e <≤故答案为：0e <≤14．12##0.5 【分析】由递推关系依次求出数列的前几项，归纳出周期后可得结论．【详解】由题意12a =，211122a =-=，311112a =-=-，41121a =-=-， 所以数列{}n a 是周期数列，周期为3，所以202136732212a a a ⨯+===． 故答案为：12．15【分析】由2123PF PF =和双曲线定义可得12,46a PF a PF ==，再结合余弦定理和c e a ==122cos 3F PF ∠=，利用面积公式1212121||||sin 2PF F S PF PF F PF =∠=a =. 【详解】由题意，221123PF PF PF PF ∴=> 由双曲线定义可知，122PF PF a -=21,46a PF a PF ==∴222222221212122212||||||36164524cos 2||||4848PF PF F F a a c a c F PF PF PF a a +-+--∴∠===又122cos 3c e c F PF a ===∴∠=又1212(0,)sin F PF F PF π∠∈∴∠=122121211||||sin 2422PF F S PF PF F PF a =∠=⨯=221,a ∴=又0a a >∴=故双曲线C16． ()1,0##0.5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭； 9. 【分析】由抛物线的解析式可知22p =，即可得出焦点坐标为1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭；过A 、B 、P 作准线的垂线且分别交准线于点M 、N 、K ，根据抛物线的定义可知AM BN AF BF +=+，由梯形的中位线的性质得出()1942212AM BN PK +==+=，进而可求出AF BF +的结果. 【详解】解：由抛物线2:2C y x =，可知22p =，则122p =， 所以抛物线2:2C y x =的焦点坐标为1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 如图，过点A 作AM 垂直于准线交准线于M ，过点B 作BN 垂直于准线交准线于N ，过点P 作PK 垂直于准线交准线于K ，由抛物线的定义可得AM BN AF BF +=+，再根据()4,1P 为线段AB 的中点，而四边形AMNB 为梯形， 由梯形的中位线可知()1942212AM BN PK +==+=， 则9AM BN +=，所以9AF BF +=. 故答案为：1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭；9. 17．(1)an ＝8﹣2n ；(2)27n S n n =-+.【分析】（1）应用等差数列通项公式求基本量，进而写出通项公式； （2）由等差数列前n 项和公式求Sn . （1）设等差数列{an }的公差为d ，由a 1＝6，a 3+a 5＝0，则6+2d +6+4d ＝0，解得d ＝﹣2， 因此an ＝a 1+（n ﹣1）d ＝8﹣2n ， 所以{an }的通项公式为an ＝8﹣2n ． （2）由题意知：()21172n n n S na d n n -=+=-+，18．(x -5)2＋(y -6)2＝10【分析】根据题意，求得圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程.【详解】因为线段AB 为直径，所以线段AB 的中点C 为该圆的圆心，即C (5, 6)．又因为AB ，所以所求圆的半径r ＝2AB， 因此，所求圆的标准方程为(x －5)2＋(y －6)2＝10. 19．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】通过两直线垂直的充要条件得到22n m m =+，然后两边同时除以m ，使用不等式即可解决. 【详解】因为12l l ⊥，所以()()210m m n ++⨯-=，所以22n m m =+，因为0m >，所以2221m m m m n m +==+． 因为0m >，所以22m +>，所以11022m <<+，故m n 的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． 20．(1)x +2y -9=0 (2)4y x =-+ (3)12【分析】（1）求得BC k ，根据垂直关系可得12AD k =-，再根据点斜式求解高AD 所在直线的方程即可；（2）根据中点坐标公式，结合两点式方程求解即可；（3）根据两点式方程可得边BC 所在直线的方程，再根据点到线的距离公式可得点A 到直线BC 的距离，进而根据三角形的面积公式求解即可. （1） 因为7(1)23(1)BC k --==--，所以12AD k =-，从而边BC 上的高AD 所在直线的方程为()1512y x -=-+，即x +2y -9=0（2）因为M 是BC 的中点，所以M （1，3），从而边BC 上的中线AM 所在直线的方程为315311y x --=---，即4y x =-+ （3）由题意知，边BC 所在直线的方程为()()()()117131y x ----=----，即210,x y BC -+==所以点A 到直线BC 的距离h ==ABC 的面积1122BC h =⋅=.21．(1)24y x =(2)存在，()44，【分析】（1）利用抛物线的焦半径公式求得点M 的横坐标，进而求得p,可得答案;（2）根据题意可设直线方程，和抛物线方程联立，得到根与系数的关系式，利用直线NA 与NB 的斜率互为倒数列出等式，化简可得结论. (1)（1）0(,4)M x 设 则05||22p pMF x =+=， 02x p ∴=， 2416p ∴=，0,2p p >∴=，故C 的方程为：24y x = ；(2)假设存在定点N ，使得直线NA 与NB 的斜率互为倒数， 由题意可知，直线AB 的斜率存在，且不为零，(4)AB x m y =+设的方程为，2011220(,),(,),(,)4y A x y B x y N y ，()244x m y y x ⎧=+⎨=⎩由， 24160y my m --=得，所以{Δ>0y 1+y 2=4m y 1y 2=−16m ， 即4m <- 或0m > ，01020102222222000012010212441444444NA NB y y y y y y y y k k y y y y y y y y y y x x ----∴⋅=⋅=⋅=⋅=++---- 2001212()16y y y y y y ∴+++=，200(416)160y m y ∴-+-=恒成立，则024160160y y -=⎧⎨-=⎩ ，04y ∴=， (4,4),N ∴存在定点使得直线NA 与NB 的斜率互为倒数. 22．(1)2211612x y +=；(2)（i ）证明见解析；（ii ）存在，且()13,0D -、()21,0D -.【分析】（1）根据已知条件得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，可得出椭圆C 的方程； （2）（i ）分析可知直线PQ 不与x 轴重合，设设直线PQ 的方程为2x my =+，设点()00,P x y 、()11,Q x y ，写出点M 的坐标，化简直线l 的方程，即可得出直线l 所过定点的坐标；（ii ）点(),B x y ，写出点B 的坐标，利用相关点法求出点B 的轨迹方程，可知点B 的轨迹为椭圆，求出椭圆的两个焦点坐标，结合椭圆的定义可得出结论. (1)解：由题意可得222121222c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=+⎪⎪⎩42a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 因此，椭圆C 的方程为2211612x y +=. (2)解：（i ）易知点()2,0F 、()4,0A -，若PQ 与x 轴重合，则P 或Q 与点A 重合，不合乎题意，设直线PQ 的方程为2x my =+，设点()00,P x y 、()11,Q x y ，点M 的坐标为004,22x y -⎛⎫⎪⎝⎭，直线MB 的方程为00422x y x m y -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭且002x my =+， 所以，直线l 的方程为1x my =-，因此，直线l 过定点()1,0-. （ii ）因为B 为AQ 的中点，则114,22x y B -⎛⎫ ⎪⎝⎭，且有221111612x y +=， 设点(),B x y ，则11422x x y y -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得11242x x y y =+⎧⎨=⎩， 所以，()()2224211612x y ++=，即()222143x y ++=，即点B 的轨迹方程为()222143x y ++=，因为椭圆22143x y +=的两个焦点坐标分别为()1,0-、()1,0， 椭圆()222143x y ++=可由椭圆22143x y +=向左平移2个单位得到， 故椭圆()222143x y ++=的两个焦点坐标别为()3,0-、()1,0-， 故存在定点()13,0D -、()21,0D -使得124BD BD +=为定值. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.。
2023-2024学年北京通州区高二(上)期中数学试题和答案
2023北京通州高二（上）期中数 学本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 直线20x y -+=的倾斜角为（ ）A.π4B.π3C.2π3D.3π42. 已知()2,3,1A --，()6,5,3B -，则AB =（ ）A. B. C. D. 123. 已知()2,3,1a =-，()1,3,0b =，()0,0,1c = ，则()a b c ⋅+ 等于（ ）A. -4B. -6C. -7D. -84. 已知圆1C ：222880x y x y +++-=，圆2C ：()()222210x y -+-=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（ ）A. 外离B. 外切C. 相交D. 内含5. 设直线1l ：240ax y +-=，2l ：()120x a y +++=.则“1a =”是“12l l //”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件6. 已知ABCD 为矩形，4,1,AB AD ==点P 在线段CD 上，且满足AP BP ⊥，则满足条件的点P 有（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 4个7. 如图，四面体ABCD 中，AB a=，AC b = ，AD c = ，M 为BD 的中点，N 为CM 的中点，则AN =（ ）A. 111444a b c ++B. 111442a b c ++C. 111222a b c ++ D. 111424a b c ++ 8. 在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD 中，M ，N 分别为BC ，AD 的中点，则AM 和CN 夹角的余弦值为（ ）A.23C.13D. 23-9. 如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，4AB AD ==，1AA =，60BAD ∠=︒，1145DAA BAA ∠=∠=︒，AC 与BD 相交于点O .则1OA 的长为（ ）B. 2C. D. 10. 过直线1y x =-上一点P 作圆()2252x y -+=的两条切线1l ，2l ，切点分别为A ，B ，当直线1l ，2l 关于1y x =-对称时，线段PA 的长为（ ）A. 4B. D. 2第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知直线经过点A(0,4)和点B（1，2），则直线AB 的斜率为_____________.12. 在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，则直线1AA 到平面11BB C C 的距离为_______13. 在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0AB = ，()0,2,0AC = ，()0,0,2AD = .则CD 与CB的夹角的余弦值为___________；CD 在CB的投影向量a = ___________.14. 若直线y x b =+与曲线y =恰有一个公共点，则实数b 的一个可能取值是_________.15. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈.给出下列四个结论：①所有满足条件的点P 组成的区域面积为1；②当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值；③当1λ=时，点P 到1A B 距离的最小值为1；④当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P .则所有正确结论的序号为__________.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16. 已知直线1:280l x y +-=，直线2:20l x y -+=，设直线1l 与2l 的交点为A ，点P 的坐标为()2,0.（1）求点A 的坐标；（2）求经过点P 且与直线1l 平行的直线方程；（3）求以AP 为直径的圆的方程.17. 已知直线10x y -+=，圆22:420C x y x y m +--+=.（1）若直线与圆相交，求实数m 的取值范围；（2）在（1）的条件下，设直线与圆交于A ，B 两点.（i ）求线段AB 的垂直平分线的方程；（ii ）若AB =m 的值.18. 如图，在五面体ABCDEF 中，平面ABCD 为正方形，平面ABFE 平面CDEF EF =，AD ED ⊥.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.（1）求证：//CD 平面ABFE ；（2）若1EF ED ==，2CD EF =，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面ADE 与平面BCF 夹角的大小.条件①：CD EA ⊥；条件②：CF =.19. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F G H 分别是棱AB ，11B C ，11C D ，1D D 的中点.（1）求证：,,,E F G H 四点共面；（2）求1B D 与平面EFGH 所成角的正弦值；（3）求点1B 到平面EFGH 的距离.20. 已知四边形ABCD 为正方形，O 为AC ，BD 的交点，现将三角形BCD 沿BD 折起到PBD 位置，使得PA AB =，得到三棱锥P ABD -.（1）求证：平面PBD ⊥平面ABD ；（2）棱PB 上是否存在点G ，使平面ADG 与平面ABD ？若存在，求PG GB；若不存在，说明理由.21. 长度为6的线段PQ ，设线段中点为G ，线段PQ 的两个端点P 和Q 分别在x 轴和y 轴上滑动.（1）求点G 的轨迹方程；（2）设点G 的轨迹与x 轴交点分别为A ，B （A 点在左），与y 轴交点分别为C ，D （C 点在上），设H 为第一象限内点G 的轨迹上的动点，直线HB 与直线AD 交于点M ，直线CH 与直线=3y -交于点N .试判断直线MN 与BD 的位置关系，并证明你的结论.参考答案第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 【答案】A【分析】根据解析式可得直线斜率为1k =，再由倾斜角与斜率之间的关系可得π4θ=.【详解】设直线的倾斜角为θ，将直线20x y -+=化为斜截式可得2y x =+，即直线斜率为1k =；所以tan 1k θ==，又[)0,πθ∈，所以π4θ=.故选：A 2. 【答案】D【分析】由空间向量模长的坐标表示代入计算即可求得结果.【详解】由()2,3,1A --，()6,5,3B -可得()8,8,4AB =-，所以12AB == .故选：D 3. 【答案】B【分析】根据空间向量的坐标运算法则进行运算即可.【详解】因为()2,3,1a =- ，()1,3,0b =，()0,0,1c = ，所以(1,3,1)b c +=，则()21(3)3116a b c ⋅+=⨯+-⨯+⨯=-，故选：B 4. 【答案】C【分析】依题意将圆的一般方程化为标准方程求出两圆圆心和半径，比较圆心距与两半径之差、之和的关系即可得出结论.【详解】根据题意将1C 化为标准方程可得()()221425x y +++=，即圆心()11,4C --，半径15r =；由()()222210x y -+-=可知圆心()22,2C ，半径2r =；此时圆心距为12C C ==，121255r r r r +=+-=-；显然1212122r r C C r r -+<<，即两圆相交.故选：C 5. 【答案】C【分析】求出12l l //时a 的值，即可判定.【详解】因为直线1l ：240ax y +-=，2l ：()120x a y +++=，故12l l //时，有(1)20a a +-=，解得1a =，或者2a =-，当1a =时，1l ：240x y +-=，2l ：220x y ++=，12l l //；当2a =-时，1l ：2240x y -+-=，即20x y -+=，2l ：20x y -+=，则两直线重合，故12l l //时，1a =，则“1a =”是“12l l //”的充要条件，故选：C.6. 【答案】C【分析】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系,设出P 点坐标，算出,AP BP 坐标，由AP BP ⊥得到0AP BP =，构建方程求解即可.【详解】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，可得()()0,0,4,0A B ,因为点P 在线段CD 上，所以可设()(),1,04P t t ≤≤，所以()(),1,4,1AP t BP t ==-,又AP BP ⊥，所以0AP BP =，可得4t =()410t t -+=，解得；2t =±，即满足条件的点P 有2个.故选：C.7. 【答案】D【分析】利用空间向量的线性运算，以,,a b c 为基底表示出向量AN即可.【详解】由题可知AN AM MN +=，由M 为BD 的中点，N 为CM 的中点可得()12AM MN AB AD NC +=++，即()()()111222AN AB AD NC AB AD NA AC a c NA b ++=+++=+=++，即()12AN a c NA b =+++ ，所以()122AN a c b =++，即111424AN a b c =++ .故选：D 8. 【答案】A【分析】根据正四面体性质取BN 的中点为P ，即可知AMP ∠即为异面直线AM 和CN 的夹角的平面角,计算出各边长利用余弦定理即可求得结果.【详解】连接BN ，取BN 的中点为P ，连接,AP MP ，如下图所示：由正四面体的棱长为1可得AM CN BN ===又,M P 分别是,BC BN 的中点，所以//MP CN，且12MP CN ==所以AMP ∠即为异面直线AM 和CN 的夹角的平面角，又易知BN AN ⊥，且12PN BN ==AP ===因此337241616cos 3AMP +-∠==，即AM 和CN 夹角的余弦值为23.故选：A 9. 【答案】B【分析】把111122OA AA AB AD =--两边平方并展开，根据向量数量积的定义计算即可.【详解】因为1111122OA AA AO AA AB AD =-=--,所以221111||22OA AA AB AD =-- 22111111442AA AB AD AA AB AA AD AB AD=++-⋅-⋅+⋅11844444422=++--⨯⨯⨯4=,则12OA =，即1OA 的长为2,故选：B.10. 【答案】C【分析】根据题意画出图形，观察图形可知圆心与点P 的连线垂直于直线1y x =-，利用这一关系即可求得切线段的长.【详解】如图所示，圆心(5,0)C ,连接CP ,因为直线1l ，2l 关于直线1y x =-对称，所以CP 垂直于直线1y x =-，故CP而||AC =,则PA ==,故选：C.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 【答案】2-【详解】由两点间斜率计算公式可得42201k -==--，故答案为2-.12. 【分析】先作出直线1AA 上的点到平面11BB C C 的垂线段，然后利用勾股定理求出垂线段的长度即可.【详解】在正三棱柱111ABC A B C -中，在底面ABC 内作AD BC ⊥，因为平面11BB C C ⊥底面ABC ，平面11BB C C 底面ABC BC =，所以AD ⊥平面11BB C C ，因为11AA CC ∥，1AA ⊄平面11BB C C ，1CC ⊂平面11BB C C ，所以1AA ∥平面11BB C C ，所以AD 即为直线1AA 到平面11BB C C 的距离，因为ABC 为等边三角形，且2AB =，所以直线1AA 到平面11BB C C 的距离为AD ==.13. 【答案】 ①. 12 ②. ()1,1,0-【分析】先根据空间向量的坐标运算求出CD 与CB的坐标，然后由向量夹角的运算公式和投影向量的计算公式即可求出结果.【详解】因为()2,0,0AB =，()0,2,0AC = ，()0,0,2AD = ，所以()0,2,2CD AD AC =-=- ，()2,2,0CB AB AC =-=-，所以1cos ,2CD CB CD CB CD CB 〈〉===，CD 在CB的投影向量为()cos ,1,1,0CB CD CD CB CB〈〉=-.故答案为：12；()1,1,0-.14. 【答案】1-（答案不唯一）【分析】画出图象，结合图象确定一个公共点时的位置，求出相应的b 的值，数形结合可得答案.【详解】曲线y =1的圆的上半部分，如图所示，有图可知，当直线y x b =+在2l 和3l 之间移动或与半圆相切，即处于1l 的位置时，直线与圆恰好有一个公共点，当直线y x b =+在3l 时，经过点(1,0)，所以1b =-，当直线y x b =+在2l 时，经过点()1,0-，所以1b =，1=，所以b =，或者b =（舍），故b =或者11b -≤<.故答案为: 1.-15. 【答案】①②③【分析】对于①，根据条件得点P 在正方形11BCC B 内，即可判断；对于②，点P 在线段11B C 上，从而点P 到平面1A BC 的距离为定值，1A BC S △为定值，从而三棱锥1P A BC -的体积为定值；对于③，点P 在线段1CC 上，当点P 与C 重合时，BP 即为P 到1A B 距离的最小值为1，从而判断；对于④，由题点P 在线段EF 上，当1A B ⊥平面1AB P 时，可得1//AE AB ，与1AE AB A ⋂=矛盾，从而即可判断.【详解】如图所示，对于①，因为1BP BC BB λμ=+ ，[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，所以点P 在正方形11BCC B 内（包括正方形），而正方形11BCC B 的面积为1，故①正确；对于②，1μ=时，1BP BC BB λ=+ ，所以1111,BP BB BC B P BC B C λλλ-=== ,故点P 在线段11B C 上，由题易得11//B C 平面1A BC ,所以11B C 上的点到平面1A BC 的距离都相等，又1112A BC S == 所以三棱锥1P A BC -的体积为定值，故②正确；对于③，1λ=时，1BP BC BB μ=+ ，所以111,BP BC BB CP BB CC μμμ-=== ,所以点P 在线段1CC 上，连接BP ,由题意可得，BC ⊥平面11ABB A ,1A B ⊂平面11ABB A ,1BC A B ⊥,当点P 与C 重合时，BP 即为P 到1A B 距离的最小值为1，故③正确；对于④，当12μ=时，112BP BC BB λ=+，取1BB 的中点E ,1CC 的中点F ,则点P 在线段EF 上，若1A B ⊥平面1AB P ，则AP ⊂平面1AB P ,必有1A B AP ⊥,因为PE ⊥平面11ABB A ，1A B ⊂平面11ABB A ，所以1PE A B ⊥,AP PE P ⋂=,所以1A B ⊥平面APE ，则有1A B AE ⊥,又11A B AB ⊥,所以1//AE AB ,与1AE AB A ⋂=矛盾，故不存在满足题意的点，④错误，故答案为：①②③.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16. 【答案】（1）()2,4（2）240x y +-=（3）()()22224x y -+-=【分析】（1）解两直线方程构成的方程组即可得解；（2）求出直线1l 的斜率，然后利用点斜式即可求出直线方程；（3）根据中点坐标公式求出圆心坐标，再利用两点距离公式求出半径，进而可得圆的方程.【小问1详解】由28020x y x y +-=⎧⎨-+=⎩解得24x y =⎧⎨=⎩，所以直线1l 与2l 的交点为()2,4A .【小问2详解】由1:280l x y +-=得直线1l 的斜率为2-，又点P 的坐标为()2,0，所以经过点P 且与直线1l 平行的直线方程为()22y x =--，即240x y +-=.【小问3详解】因为()2,4A ，()2,0P ，所以AP 的中点坐标为()2,2，22AP=，所以以AP 为直径的圆的方程为()()22224x y -+-=.17. 【答案】（1）(),3-∞（2）（i ）30x y +-= （ii ）52m =【分析】（1）由题意，根据圆心到直线的距离小于半径列式求解即可；（2）（i ）由题意线段AB 的垂直平分线经过圆心，从而可直接求得直线方程；（ii ）由弦长AB =.【小问1详解】由22420x y x y m +--+=得()()22215x y m -+-=-，所以当5m <时，22420x y x y m +--+=表示以()2,1为半径的圆，由于直线10x y -+=与圆相交，所以圆心到直线的距离d =<所以3m <，即实数m 的取值范围为(),3-∞.【小问2详解】（i）由题意，线段AB 的垂直平分线经过圆心()2,1，斜率为1-，所以线段AB 的垂直平分线的方程为()12y x -=--，即30x y +-=.（ii ）由于圆心到直线的距离d ，AB =所以由AB ==解得52m =.18. 【答案】（1）证明见详解（2）选条件①π4；选条件②π4【分析】（1）根据条件知//AB CD ，利用线面平行的判定定理即可证明；（2）建立空间直接坐标系，求出两个平面的法向量，根据向量夹角的余弦值即可求出夹角的大小.【小问1详解】因为在五面体ABCDEF 中，平面ABCD 为正方形，所以//AB CD ,又CD ⊄平面ABFE ，AB ⊂平面ABFE ,故//CD 平面ABFE ；【小问2详解】若选条件①：根据已知条件可得：CD AD ⊥,因为CD EA ⊥，EA AD A ⋂=,EA ⊂平面ADE ,AD ⊂平面ADE ,所以CD ⊥平面ADE ,因为DE ⊂平面ADE ,所以CD DE ⊥,则以D 为坐标原点，分别以,,DA DC DE 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直接坐标系如下图所示，因为1EF ED ==，22CD EF ==，所以(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,1),D A B C E则(2,0,0)BC =- ,由(1)知，//CD 平面ABFE ，CD ⊂平面CDEF ,又平面ABFE 平面CDEF EF =,所以//CD EF ,所以12EF CD =,所以(0,1,1),F 即(0,1,1)FC =- .因为CD ⊥平面ADE ,所以平面ADE 的法向量为(0,2,0)DC = ,设平面BCF 的法向量为(,,)n x y z = ，则200n BC x n FC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1,y =则(0,1,1)n = ，设平面ADE 与平面BCF 夹角为θ，则cos n DC n DC θ⋅===,又π02θ≤≤，则π,4θ=即平面ADE 与平面BCF 夹角的大小为π.4若选条件②：由(1)知，//CD 平面ABFE ，CD ⊂平面CDEF ,又平面ABFE 平面CDEF EF =,所以//CD EF ,过点F 作//FG ED ,交CD 于点G ,则四边形EFGD 为平行四边形，又1EF ED ==，2CD EF =，则1,1FG ED CG CD DG ===-=,又因为CF =则222CF FG CG =+,故π2FGC ∠=,即CG FG ⊥，则CD DE ⊥,则以D 为坐标原点，分别以,,DA DC DE 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直接坐标系如下图所示，因为1EF ED ==，22CD EF ==，所以(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,1),D A B C E则(2,0,0)BC =- ,又12EF CD =,所以(0,1,1),F 即(0,1,1)FC =- .因为CD ⊥平面ADE ,所以平面ADE 的法向量为(0,2,0)DC = ,设平面BCF 的法向量为(,,)n x y z = ，则200n BC x n FC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1,y =则(0,1,1)n = ，设平面ADE 与平面BCF 夹角为θ，则cos n DC n DC θ⋅===,又π02θ≤≤，则π,4θ=即平面ADE 与平面BCF 夹角的大小为π.419. 【答案】（1）证明见详解（2）13（3【分析】（1）取1BB 的中点,M 连接,,EM FM HM ，先证,,,H M F G 四点共面，再证,,,H M G E 四点共面，又这两个平面重合，即可证明；（2）以D 为原点，建立空间直角坐标系，求得平面EFGH 的法向量，1DB 与法向量夹角的余弦值的绝对值即为所求；（3）利用点到平面距离的向量表示公式计算即可.【小问1详解】如图，取1BB 的中点,M 连接,,EM FM HM ,因为,,,E F G H 分别是棱AB ，11B C ，11C D ，1D D 的中点，易得11//HM B D ,11//GF B D ,所以//HM GF ,所以,,,H M F G 四点共面，又1111//,//,//EM AB HG DC AB DC ,所以//EM HG ，则,,,H M G E 四点共面，而过不共线的的三点,,H M G 的平面具有唯一性，则平面HMFG 与平面EMGH 重合，故,,,E F G H 四点共面.【小问2详解】以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形的的边长为a则()()1,,,0,0,0,0,,0,222a aaB a a a D E a F a a G a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，则1(,,),(,,0),(,0,)22a a DB a a a GF GE a a ===-，设(),,n x y z = 是平面EFGH 的法向量，则00022000aan GFx y x y x z n GE ax az ⎧⎧⋅=+=+=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎪⎩-=⎩，取1x =,则1, 1.y z =-=所以(1,1,1)n =- ，所以1B D 与平面EFGH所成角的正弦值为11111sin ,cos ,3n DB n DB n DB n DB ⋅====⋅ 【小问3详解】由（2）知平面EFGH 的法向量(1,1,1)n =- ，又()11,0,0FB =因为1m FB m ⋅==即1B 到平面EFGH20. 【答案】（1）证明见解析（2）存在满足题意的点G ，且1PGGB =【分析】（1）由平面与平面垂直的判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求出平面ADG 与平面ABD 的法向量，然后根据求面面角的方法即可列式求解.【小问1详解】因为四边形ABCD 为正方形，所以OA OB OC OD ===，,OC OB OA OB ⊥⊥，所以折起后，OA OB OP OD ===，OP OB ⊥，由于折起前有222OA OB AB +=，且折起后PA AB =，所以折起后有222OA OP PA +=，即OP OA ⊥，又OP OB ⊥，OA OB O = ，,OA OB ⊂平面ABD ，所以OP ⊥平面ABD ，又OP ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面ABD .【小问2详解】由（1）知OP OB ⊥，OP OA ⊥，OA OB ⊥，所以以O 为原点，以OA 为x 轴，以OB 为y 轴，以OP 为z 轴建立空间直角坐标系，设1OA =，则()1,0,0A ，()0,1,0B ，()0,1,0D -，()0,0,1P ，则()1,1,0AD =-- ，()0,1,1PB =- ，()1,0,1AP =- ，假设存在满足题意的点G ，设()()0,,01PG PB λλλλ==-≤< ，则()1,,1AG AP PG λλ=+=-- ，设平面ADG 的法向量为(),,n x y z = ，则·0·0AD n AG n ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，即()010x y x y z λλ--=⎧⎨-++-=⎩，令1x =，得1y =-，11z λλ+=-，即11,1,1n λλ+⎛⎫=- ⎪-⎝⎭ ，易知平面ABD 的一个法向量为()0,0,1m = ，因为平面ADG 与平面ABD，所以11cos ,n m n m n m λλ+-〈〉=== ，解得12λ=，所以在棱PB 上存在点G ，使平面ADG 与平面ABD，且G 为棱PB 的中点，所以1PG GB=.21. 【答案】（1）229x y +=；（2）//MN BD ，证明见解析.【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到OG 的长度，进而判断出G 的轨迹，得到轨迹方程；（2）写出,,,A B C D 四点的坐标，联立直线HB 与直线AD 的方程求出点M 的坐标，联立直线CH 与直线=3y -的方程求出N 的坐标，再利用坐标求出MN k 并与BD k 进行比较即可.【小问1详解】在Rt POQ 中，因为G 是线段PQ 的中点，所以1||||32OG PQ ==，所以G 的轨迹为以O 为圆心，以3为半径的圆，所以G 的轨迹方程为229x y +=.【小问2详解】//MN BD ，证明如下：依题意，下列各点坐标为(3,0),(3,0),(0,3),(0,3)A B C D --，直线AD 的方程为3y x =--.因为H 为第一象限内点G 的轨迹上的动点，故设0000(,)(03,03)H x y x y <<<<，且22009x y +=.设直线HB 的方程为00(3)3y y x x =--，00(3)33y y x x y x ⎧=-⎪-⎨⎪=--⎩ ，解得0000000339363y x x x y y y x y -+⎧=⎪+-⎪⎨-⎪=⎪+-⎩，即00000003396()33y x y M x y x y -+-+-+-，.试题21设直线CH 的方程为0033y y x x -=+，00333y y x x y -⎧=+⎪⎨⎪=-⎩ ，解得00633x x y y -⎧=⎪-⎨⎪=-⎩，即006(3)3x N y ---.所以000000000633339633MN y x y k y x x x y y -++-=-+++-- 0000000000(23)(3)(3)(3)2(3)y x y y y x y x x y -++--=-+-++-20000220000039392x y y x x y y x x --+=-+++200002200000391392(9)x y y x x y y x y --+==+--+-，又03130BD MN k k +===-，所以//MN BD.。
2023-2024学年天津市滨海新区田家炳中学高二(上)期中数学试卷(1)【答案版】
2023-2024学年天津市滨海新区田家炳中学高二（上）期中数学试卷（1）一、单选题（每小题5分，共50分）1．点M （3，﹣2，1）关于平面yOz 对称的点的坐标是（ ） A ．（﹣3，﹣2，1 ） B ．（﹣3，2，﹣1） C ．（﹣3，﹣2，﹣1）D ．（﹣3，2，1）2．若向量a →=（2，2，3），b →=（﹣1，2，1），c →=（0，1，1），则a →•（b →+c →）＝（ ） A ．5B ．8C ．10D ．123．向量a →=(2x ，1，3)，b →=(1，−2y ，9)，若a →∥b →，则（ ） A ．x =−16，y =23B ．x =16，y =−32C ．x =12，y =−12D ．x ＝y ＝14．直线√3x −y −4=0的倾斜角是（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°5．已知圆的方程是（x ﹣1）2+（y ﹣3）2＝4，其圆心和半径分别是（ ） A ．（﹣1，﹣3），2B ．（﹣1，﹣3），4C ．（1，3），2D ．（1，3），46．若直线l 1：x ﹣y +1＝0与l 2：x +ay ﹣1＝0平行，则实数a ＝（ ） A ．1B ．2C ．63D ．﹣17．已知直线l 1：ax +2y ﹣1＝0，和直线l 2：（a +1）x ﹣ay +2＝0垂直，则（ ） A ．a ＝1B ．a ＝0C ．a ＝0或a ＝1D ．a ＝﹣18．两个圆C 1：x 2+y 2+2x +2y ﹣2＝0与C 2：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0的位置关系是（ ） A ．外切B ．内切C ．相交D ．外离9．在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，其中AB =BC =BB 1=2，∠ABB 1=∠ABC =∠B 1BC =π3，则|BD 1|＝（ ） A ．12B ．2√3C ．6D ．2√610．已知直线l 过定点A （1，2，3），向量n →=（1，0，1）为其一个方向向量，则点P （4，3，2）到直线l 的距离为（ ） A ．√2B ．√6C ．3D ．5√2二、填空题（每小题5分，共40分）11．若AB →=(3，4，5)，A 点的坐标为（﹣2，﹣1，0），则B 点的坐标为 ． 12．经过A(1，√3)，B(4，2√3)两点直线的斜率为 ．13．已知平面内有A （2，3，1），B （4，1，2），C （6，3，k ）三点，若AB →⊥AC →，则实数k 的值为 ． 14．如图，在三棱锥O ﹣ABC 中，点P ，Q 分别是OA ，BC 的中点，点D 为线段PQ 上一点，且PD →=2DQ →，若记OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，则OD →等于 ．（用a →，b →，c →表示）．15．点P （1，﹣2）到直线l 2：4x +3y ﹣8＝0的距离是 ． 16．直线3x +2y +6＝0和2x +5y ﹣7＝0的交点坐标为 ． 17．平行线x +2y ﹣5＝0与2x +4y ﹣5＝0间的距离为 ．18．已知圆C 经过两点A （0，2），B （4，6），且圆心C 在直线l ：2x ﹣y ＝0上，则圆C 的方程为 ． 三、解答题（每小题15分，共60分）19．（15分）已知△ABC 的三个顶点坐标分别是A （4，0），B （6，7），C （0，3）． （1）求边AC 所在的直线的一般式方程；（2）求BC 边上的中线AM 所在直线的一般式方程； （3）求边AB 上的高所在直线的一般式方程． 20．（15分）已知圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣6y +12＝0． （1）过点P （3，5）作圆C 的切线l ，求l 的方程；（2）若直线AB 方程为3x +y ﹣8＝0与圆C 相交于A 、B 两点，求|AB |．21．（15分）如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点． （1）求证：D 1F ∥平面A 1EC 1；（2）求直线AC 1与平面A 1EC 1所成角的正弦值； （3）求平面AA 1C 1和平面A 1C 1E 夹角的余弦值．22．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面四边形ABCD为矩形，AB＝4，BC＝2，PD=2√3，M为PB中点，N为CD靠近D的四等分点．（1）求证：PB⊥平面AMN；（2）求异面直线AM和CB所成角的余弦值；（3）求点D到平面AMN的距离．2023-2024学年天津市滨海新区田家炳中学高二（上）期中数学试卷（1）参考答案与试题解析一、单选题（每小题5分，共50分）1．点M （3，﹣2，1）关于平面yOz 对称的点的坐标是（ ） A ．（﹣3，﹣2，1 ） B ．（﹣3，2，﹣1） C ．（﹣3，﹣2，﹣1）D ．（﹣3，2，1）解：由空间直角坐标系的性质知：点M （3，﹣2，1）关于平面yOz 对称的点的坐标是（﹣3，﹣2，1）． 故选：A ．2．若向量a →=（2，2，3），b →=（﹣1，2，1），c →=（0，1，1），则a →•（b →+c →）＝（ ） A ．5B ．8C ．10D ．12解：∵b →=（﹣1，2，1），c →=（0，1，1）， ∴b →+c →=（﹣1，3，2）， 则a →•（b →+c →）＝﹣2+6+6＝10， 故选：C ．3．向量a →=(2x ，1，3)，b →=(1，−2y ，9)，若a →∥b →，则（ ） A ．x =−16，y =23B ．x =16，y =−32C ．x =12，y =−12D ．x ＝y ＝1解：因为向量a →=(2x ，1，3)，b →=(1，−2y ，9)，且a →∥b →， 所以y ≠0，且2x 1=1−2y =39，解得x =16，y =−32．故选：B ．4．直线√3x −y −4=0的倾斜角是（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解：直线√3x −y −4=0的斜率k =√3， ∵tan60°=√3，所以，直线√3x −y −4=0的倾斜角是60°．故选：B ．5．已知圆的方程是（x ﹣1）2+（y ﹣3）2＝4，其圆心和半径分别是（ ） A ．（﹣1，﹣3），2B ．（﹣1，﹣3），4C ．（1，3），2D ．（1，3），4解：因为圆的标准方程（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝r 2的圆心为（a ，b ），半径为r ， 所以圆（x ﹣1）2+（y ﹣3）2＝4的圆心和半径分别为（1，3），2． 故选：C ．6．若直线l 1：x ﹣y +1＝0与l 2：x +ay ﹣1＝0平行，则实数a ＝（ ） A ．1B ．2C ．63D ．﹣1解：∵直线l 1：x ﹣y +1＝0与l 2：x +ay ﹣1＝0平行， ∴11=a −1≠−11， 解得实数a ＝﹣1． 故选：D ．7．已知直线l 1：ax +2y ﹣1＝0，和直线l 2：（a +1）x ﹣ay +2＝0垂直，则（ ） A ．a ＝1B ．a ＝0C ．a ＝0或a ＝1D ．a ＝﹣1解：因为直线l 1和直线l 2垂直，故a （a +1）﹣2a ＝0，解得a ＝0或1， 经检验，符合要求． 故选：C ．8．两个圆C 1：x 2+y 2+2x +2y ﹣2＝0与C 2：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0的位置关系是（ ） A ．外切B ．内切C ．相交D ．外离解：圆C 1：x 2+y 2+2x +2y ﹣2＝0 即 （x +1）2+（y +1）2＝4，表示以C 1（﹣1，﹣1）为圆心，以2为半径的圆．C 2：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0 即 （x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝4，表示以C 2（2，1）为圆心，以2为半径的圆． 两圆的圆心距|C 1C 2|=√9+4=√13，2﹣2＜|C 1C 2|＜2+2，故两圆相交， 故选：C ．9．在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，其中AB =BC =BB 1=2，∠ABB 1=∠ABC =∠B 1BC =π3，则|BD 1|＝（ ） A ．12B ．2√3C ．6D ．2√6解：根据条件，以BA →，BC →，BB 1→作为一组基底， 因为BD 1→=BC →+CD →+DD 1→=BC →+BA →+BB 1→，所以BD 1→2=(BA →+BC →+BB 1→)2，BD 1→2=BA →2+BC →2+BB 1→2+2BA →⋅BC →+2BA →⋅BB 1→+2BC →⋅BB 1→，且AB =BC =BB 1=2，∠ABB 1=∠ABC =∠B 1BC =π3，所以|BD 1|2=4+4+4+2×2×2cos π3+2×2×2cos π3+2×2×2cos π3=24，所以|BD 1|=2√6． 故选：D ．10．已知直线l 过定点A （1，2，3），向量n →=（1，0，1）为其一个方向向量，则点P （4，3，2）到直线l 的距离为（ ） A ．√2B ．√6C ．3D ．5√2解：定点A （1，2，3），P （4，3，2）， 故a →=AP →=(3，1，−1)，所以|a →|=√11； 故：u →=n→|n →|=√2=(√22，0，√22)， 所以a →⋅u →=3√22−√22=√2， 所以点P （4，3，2）到直线l 的距离d =√a →2−(a →⋅u →)2=√11−2=3． 故选：C ．二、填空题（每小题5分，共40分）11．若AB →=(3，4，5)，A 点的坐标为（﹣2，﹣1，0），则B 点的坐标为 （1，3，5） ． 解：设B （x ，y ，z ），则AB →=(x +2，y +1，z)=(3，4，5)， ∴{x +2=3y +1=4z =5，解得：{x =1y =3z =5，∴B （1，3，5）． 故答案为：（1，3，5）．12．经过A(1，√3)，B(4，2√3)两点直线的斜率为 √33． 解：因为A(1，√3)，B(4，2√3)， 所以过两点直线的斜率为k =2√3−√34−1=√33． 故答案为：√33．13．已知平面内有A （2，3，1），B （4，1，2），C （6，3，k ）三点，若AB →⊥AC →，则实数k 的值为 ﹣7 ．解：A （2，3，1），B （4，1，2），C （6，3，k ）， 则AB →=(2，−2，1)，AC →=(4，0，k −1)， ∵AB →⊥AC →，∴2×4+0+k ﹣1＝0，解得k ＝﹣7． 故答案为：﹣7．14．如图，在三棱锥O ﹣ABC 中，点P ，Q 分别是OA ，BC 的中点，点D 为线段PQ 上一点，且PD →=2DQ →，若记OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，则OD →等于 13b →+13c →+16a → .（用a →，b →，c →表示）．解：由于在三棱锥O ﹣ABC 中，点P ，Q 分别是OA ，BC 的中点，点D 为线段PQ 上一点，且PD →=2DQ →，若记OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，所以OD →−OP →=2(OQ →−OD →)，整理得OD →=23OQ →+13OP →=23×(12b →+12c →)+13×12a →=13b →+13c →+16a →．故答案为：13b →+13c →+16a →．15．点P （1，﹣2）到直线l 2：4x +3y ﹣8＝0的距离是 2 解：点P （1，﹣2）到直线l 2：4x +3y ﹣8＝0的距离是√42+32=|−10|5=2．故答案为：2．16．直线3x +2y +6＝0和2x +5y ﹣7＝0的交点坐标为 （﹣4，3） ． 解：联立直线3x +2y +6＝0和2x +5y ﹣7＝0，即{3x +2y +6=02x +5y −7=0，得{x =−4y =3，则交点坐标为（﹣4，3）． 故答案为：（﹣4，3）．17．平行线x +2y ﹣5＝0与2x +4y ﹣5＝0间的距离为√52． 解：将方程x +2y ﹣5＝0两边乘以2，得2x +4y ﹣10＝0，所以两平行线间的距离为√22+42=√52． 故答案为：√52． 18．已知圆C 经过两点A （0，2），B （4，6），且圆心C 在直线l ：2x ﹣y ＝0上，则圆C 的方程为 （x ﹣2）2+（y ﹣4）2＝8 ．解：由题知：设圆C 的圆心C （a ，2a ），AB 的中点M （2，4），M 恰好在直线l ：2x ﹣y ＝0上，所以圆的圆心（2，4），半径r =12|AB |=12×√(4−0)2+(6−2)2=2√2，所以圆C 的方程为：（x ﹣2）2+（y ﹣4）2＝8； 故答案为：（x ﹣2）2+（y ﹣4）2＝8． 三、解答题（每小题15分，共60分）19．（15分）已知△ABC 的三个顶点坐标分别是A （4，0），B （6，7），C （0，3）． （1）求边AC 所在的直线的一般式方程；（2）求BC 边上的中线AM 所在直线的一般式方程； （3）求边AB 上的高所在直线的一般式方程． 解：（1）由A （4，0），C （0，3）， 由截距式方程可得x 4+y3=1，即3x +4y ﹣12＝0，所以边AC 所在的直线的一般式方程：3x +4y ﹣12＝0； （2）由A （4，0），B （6，7），C （0，3），得BC 的中点M 坐标为（3，5），AM 所在的直线的斜率k AM =5−03−4=−5， 所以中线AM 所在直线的方程：y ﹣5＝﹣5（x ﹣3），即5x +y ﹣20＝0， 所以中线AM 所在直线的一般式方程为5x +y ﹣20＝0； （3）由A （4，0），B （6，7），C （0，3）得， 所以AB →=（2，7），所以边AB 上的高所在的直线方程为：2（x ﹣0）+7（y ﹣3）＝0， 即2x +7y ﹣21＝0，所以边AB 上的高所在直线的一般式方程为2x +7y ﹣21＝0． 20．（15分）已知圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣6y +12＝0． （1）过点P （3，5）作圆C 的切线l ，求l 的方程；（2）若直线AB 方程为3x +y ﹣8＝0与圆C 相交于A 、B 两点，求|AB |．解：（1）圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣6y +12＝0的方程可化为（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1， 则圆心C （2，3），半径为1，由（3﹣2）2+（5﹣3）2＞1，可得点P 在圆外，①当过点P 的直线斜率不存在时，l 的方程为x ＝3，此时l 与圆C 相切，②当过点P 的直线斜率存在时，设1的方程为y ＝k （x ﹣3）+5，即kx ﹣y +5﹣3k ＝0， 则圆心C 1到直线l 的距离为√1+k 2=1，解得k =34，∴l 的方程为34x −y +114=0，即3x ﹣4y +11＝0，∴l 的方程为3x ﹣4y +11＝0或x ＝3． （2）直线AB 方程为3x +y ﹣8＝0， 则圆心C 到直线AB 的距离d =|6+3−8|10=√1010， ∴|AB|=2√1−d 2=3√105． 21．（15分）如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点． （1）求证：D 1F ∥平面A 1EC 1；（2）求直线AC 1与平面A 1EC 1所成角的正弦值； （3）求平面AA 1C 1和平面A 1C 1E 夹角的余弦值．解：（1）证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1（0，0，2），C 1（2，2，2），E （2，1，0），D 1（0，2，2），F （1，2，0）， 设平面A 1EC 1的一个法向量为n →=(x ，y ，z)， 则{n →⋅A 1E →=0n →⋅A 1C 1→=0， 即{2x +y −2z =02x +2y =0，令x ＝2，则y ＝﹣2，z ＝1， 即n →=(2，−2，1)，又D 1F →=(1，0，−2)，则D 1F →⋅n →=2×1+(−2)×0+1×(−2)=0， 即D 1F →⊥n →，因为D 1F ⊄平面A 1EC 1，所以D 1F ∥平面A 1EC 1； （2）设直线AC 1与平面A 1EC 1所成角的为θ， 由（1）可得：sin θ=|cos ＜AC 1→，n →＞|=|AC 1→⋅n→|AC 1→||n →||=23×23=√39， 即直线AC 1与平面A 1EC 1所成角的正弦值为√39； （3）由BD ⊥平面AA 1C 1，则平面AA 1C 1的一个法向量为m →=(2，−2，0)， 则cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →||n →|=83×2√2=2√23，则平面AA 1C 1与平面A 1C 1E 的夹角正弦值为√1−(223)2=13． 22．（15分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面四边形ABCD 为矩形，AB ＝4，BC ＝2，PD =2√3，M 为PB 中点，N 为CD 靠近D 的四等分点． （1）求证：PB ⊥平面AMN ；（2）求异面直线AM 和CB 所成角的余弦值； （3）求点D 到平面AMN 的距离．解：（1）证明：因为PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，因此PD ，AD ，CD 两两垂直，以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D ﹣xyz ：第11页（共11页） P(0，0，2√3)，B(2，4，0)，A(2，0，0)，M(1，2，√3)，N （0，1，0），C （0，4，0） AN →=(−2，1，0)，AM →=(−1，2，√3)，PB →=(2，4，−2√3)，因为PB →⋅AM →=2×(−1)+4×2+(−2√3)×√3=0，所以PB →⊥AM →，即PB ⊥AM ，因为PB →⋅AN →=2×(−2)+4×1+(−2√3)×0=0，所以PB →⊥AN →，即PB ⊥AN ，又因为AM ∩AN ＝A ，AM ⊂平面AMN ，AN ⊂平面AMN ，因此PB ⊥平面AMN ．（2）AM →=(−1，2，√3)，CB →=(2，0，0)，则cos ＜AM →，CB →＞=AM →⋅CB→|AM →||CB →|=−22√2⋅2=−√24， 异面直线AM 和CB 所成角的余弦值为√24． （3）点D 到平面AMN 的距离为DA →在平面AMN 的一个法向量PB →=(2，4，−2√3)上的投影的绝对值，其中DA →=(2，0，0)，所以点D 到平面AMN 的距离d =|DA →⋅PB→|PB →||=√3)√2+4+(−2√3)2=√22．。
2023-2024学年河南省洛阳市高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年河南省洛阳市高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线3x ﹣2y ﹣3＝0的一个方向向量是（ ） A ．（2，﹣3）B ．（2，3）C ．（﹣3，2）D ．（3，2）2．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 为上底面A 1C 1的中心，若AO →=AA 1→+xAB →+yAD →，则实数x ，y 的值分别为（ ） A ．x ＝1，y ＝1B ．x =12，y =12C ．x =12，y =1D ．x =1，y =123．“a ＝﹣2”是“直线ax +3y ﹣1＝0与直线6x +4y ﹣3＝0垂直”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．如图，一座圆拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽12米，则当水面下降1米后，水面宽为（ ）A ．√19米B ．√51米C ．2√19米D ．2√51米5．若过点（1，2）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线x ﹣y ﹣5＝0的距离为（ ） A ．5√22B ．3√22C ．√2D ．√226．已知直线l ：x +y cos θ﹣3＝0，则l 的倾斜角α的取值范围是（ ） A ．[0，π） B ．[π4，π2]C ．[π4，3π4]D ．[π4，π2)∪(π2，3π4]7．已知直线3x +2y ﹣6＝0分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，若直线x +y ﹣1＝0上存在一点C ，使|CA |+|CB |最小，则点C 的坐标为（ ） A ．(23，13)B ．(65，−15)C ．(43，−13)D ．(45，15)8．如图，二面角α﹣l ﹣β的棱上有两点A ，B ，线段BD 与AC 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l ，若AB ＝2，AC ＝3，BD ＝4，CD =√41，则二面角α﹣l ﹣β的大小为（ ）A ．π6B ．π3C ．23πD ．5π6二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年山东省泰安市高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省泰安市高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知圆的一般方程为x 2+y 2+4x ﹣2y ﹣4＝0，其圆心坐标是（ ） A ．（1，2）B ．（﹣1，2）C ．（﹣2，1）D ．（﹣1，﹣2）2．已知直线l 1：4x +my +2＝0和l 2：mx +y +1＝0平行，则实数m ＝（ ） A ．﹣2B ．0C ．2D ．±23．如图：在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，则下列向量中与BM →相等的向量是（ ）A ．−12a →+12b →+c →B ．12a →+12b →+c →C ．−12a →−12b →+c →D ．12a →−12b →+c →4．已知向量a →=（2，1，3），b →=（﹣1，2，﹣2），c →=（7，6，λ），若向量a →，b →，c →共面，则实数λ等于（ ） A ．10B ．8C ．5D ．35．已知A （﹣2，0），B （4，a ）两点到直线l ：3x ﹣4y +1＝0的距离相等，则a ＝（ ） A ．2B ．92C ．2或﹣8D ．2或926．如图所示，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1的距离为（ ）A ．12B ．√22C ．13D ．167．若圆O 1：x 2+y 2−2x =0和圆O 1：x 2+y 2+2x −4y =0的交点为A ，B ，则下列结论正确的是（ ）A ．公共弦AB 所在直线的方程为x +y ＝0 B ．线段AB 的垂直平分线的方程为x +y +1＝0C ．公共弦AB 的长为√22D ．P 为圆O 1上一动点，则点P 到直线AB 的距离的最大值为√22+1 8．已知曲线x −1=√4−y 2，则√x 2+(y −4)2的最大值，最小值分别为（ ） A ．√17+2，√17−2B ．√17+2，√5C ．√37，√17−2D ．√37，√5二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．给出下列命题，其中是真命题的是（ ）A ．若a →=(−1，1，−2)是直线l 的方向向量，b →=(−2，−1，12)是直线m 的方向向量，则l 与m 垂直B ．若a →=(1，1，−1)）是直线l 的方向向量，n →=(0，−1，−1)是平面α的法向量，则l ⊥α C ．若n 1→=(1，0，3)，n 2→=(0，1，2)分别为平面α，β的法向量，则α⊥βD ．若存在实数x ，y ，使MP →=xMA →+yMB →，则P ，M ，A ，B 共面 10．下列说法错误的是（ ）A ．任意一条直线都有倾斜角和斜率B ．直线y ＝x +1与直线y ＝x +2的距离为1C ．直线x ﹣y ﹣2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积为2D ．经过（1，1）且在x 轴，y 轴上截距相等的直线方程为x +y ﹣2＝011．已知圆C ：x 2+y 3﹣4x ﹣4y +7＝0，一条光线从点P （4，1）射出经x 轴反射，则下列结论正确的是（ ） A ．若反射光线平分圆C 的周长，则反射光线所在直线的方程为3x +2y ﹣10＝0 B ．圆C 关于直线y ＝x +1对称的圆的方程为x 2+y 2+2x ﹣6y +9＝0C ．若反射光线与圆C 相切于点A ，与x 轴相交于点B ，则|PB|+|BA|=2√3D ．若反射光线与圆C 交于M ，N 两点，则△CMN 的面积的最大值为1212．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 为侧面AA 1D 1D 上的动点，N 为侧面CC 1D 1D 上的动点，则下列结论正确的是（ ） A ．若BM =√52，则M 的轨迹长度为π4B ．若BM =√52，则M 到直线A 1D 的距离的最小值为√24C ．若B 1N ⊥AC 1，则N ∈CD 1，且直线B 1N ∥平面A 1BD D ．若M ∈A 1D ，则B 1M 与平面A 1BD 所成角正弦的最小值为√33三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知a →=(2，−1，3)，b →=(−4，2，x)，且a →⊥b →，则x ＝ ．14．经过两条直线2x +y ﹣8＝0和x ﹣2y +1＝0的交点，且垂直于直线3x ﹣2y +4＝0的直线的方程是 ．15．已知点A （4，6），点B 在圆x 2+y 2＝4上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹方程为 ． 16．已知O 为坐标原点，A ，B 均在直线x ﹣y ﹣6＝0上，|AB |＝2，动点P 满足|P A |=√2|PB |，则|OP |的最小值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知空间三点A （1，2，2），B （2，1，2），C （3，2，1）． （1）若向量m →分别与AB →，AC →垂直，且|m →|=2√6，求向量m →的坐标； （2）求点C 到直线AB 的距离．18．（12分）已知△ABC 三个顶点分别为A （1，1），B （﹣1，﹣3），C （3，﹣1）． （1）求△ABC 的面积；（2）过△ABC 内一点P （1，0）有一条直线l 与边AB ，AC 分别交于点M ，N ，且点P 平分线段MN ，求直线l 的方程．19．（12分）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱AA 1的长为3，且∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°，E ，F 分别在侧棱BB 1和DD 1上，且BE =13BB 1，DF =23DD 1．（1）若EF →=xAB →+yAD →+zAA 1→，求x +y +z ； （2）求直线EF 与AB 所成角的余弦值．20．（12分）已知圆C 与y 轴相切，圆心在直线x +y ﹣1＝0上，且被x 轴截得的弦长为2√3．（1）求圆C的方程；（2）已知直线l过点（1，﹣3），圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1，求直线l的方程．21．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为线段CD中点，现将△ADE沿AE折起，使得点D到点P位置，且AP⊥BE．（1）求证：平面AEP⊥平面ABCE；（2）已知点M是线段CP上的动点（不与点P，C重合），若使平面MAE与平面APE的夹角为π4，试确定点M的位置．22．（12分）如图，已知圆C：x2+y2﹣4y+3＝0，动点P（m，﹣1）（m∈R），过点P引圆的两条切线，切点分别为A，B．（1）求证：直线AB过定点；（2）若两条切线P A，PB与x轴分别交于E，F两点，求△PEF的面积的最小值．2023-2024学年山东省泰安市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知圆的一般方程为x 2+y 2+4x ﹣2y ﹣4＝0，其圆心坐标是（ ） A ．（1，2）B ．（﹣1，2）C ．（﹣2，1）D ．（﹣1，﹣2）解：根据题意，圆的一般方程为x 2+y 2+4x ﹣2y ﹣4＝0，即（x +2）2+（y ﹣1）2＝9，其圆心为（﹣2，1）， 故选：C ．2．已知直线l 1：4x +my +2＝0和l 2：mx +y +1＝0平行，则实数m ＝（ ） A ．﹣2B ．0C ．2D ．±2解：因为直线l 1：4x +my +2＝0和l 2：mx +y +1＝0平行，所以4﹣m 2＝0，解得m ＝±2，当m ＝2时，直线l 1：4x +2y +2＝0即为2x +y +1＝0，直线l 2：2x +y +1＝0，两直线重合，不符合题意， 当m ＝﹣2时，直线l 1：4x ﹣2y +2＝0即为2x ﹣y +1＝0，直线l 2：﹣2x +y +1＝0即为2x ﹣y ﹣1＝0，两直线平行，符合题意，故m ＝﹣2． 故选：A ．3．如图：在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，则下列向量中与BM →相等的向量是（ ）A ．−12a →+12b →+c →B ．12a →+12b →+c →C ．−12a →−12b →+c →D ．12a →−12b →+c →解：∵BM →=BB 1→+B 1M →=c →+12BD → =c →+12(BA →+BC →) =c →+12(−a →+b →) =−12a →+12b →+c →故选：A ．4．已知向量a →=（2，1，3），b →=（﹣1，2，﹣2），c →=（7，6，λ），若向量a →，b →，c →共面，则实数λ等于（ ） A ．10B ．8C ．5D ．3解：∵向量a →，b →，c →共面，∴存在实数m ，n 使得c →=m a →+n b →．∴{7=2m−n6=m+2nλ=3m−2n⇒{m=4n=1λ=10，∴λ＝10．故选：A．5．已知A（﹣2，0），B（4，a）两点到直线l：3x﹣4y+1＝0的距离相等，则a＝（）A．2B．92C．2或﹣8D．2或92解：∵A（﹣2，0），B（4，a）两点到直线l：3x﹣4y+1＝0的距离相等，∴22=22，解得a＝2或92．故选：D．6．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（）A．12B．√22C．13D．16解：如图，连接BD1，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由AD＝AA1＝1，AB＝2，得AD1=√2，AC=CD1=√5，则S△ACD1=12×√2×√5−12=32，设点E到平面ACD1的距离为h，则B到平面ACD1的距离为2h，由V D1−ABC =V B−ACD1，得13×12×1×2×1=13×32×2ℎ，解得h=13．故选：C．7．若圆O1：x2+y2−2x=0和圆O1：x2+y2+2x−4y=0的交点为A，B，则下列结论正确的是（）A．公共弦AB所在直线的方程为x+y＝0 B．线段AB的垂直平分线的方程为x+y+1＝0C．公共弦AB的长为√2 2D．P为圆O1上一动点，则点P到直线AB的距离的最大值为√22+1解：对于A，依题意知，两圆相交于AB，故两圆方程作差可得4x﹣4y＝0，即x﹣y＝0，即为两圆公共弦AB所在直线方程，故A错误；对于B，圆O1：x2+y2−2x=0，则其圆心为（1，0），k AB＝1，则线段AB的垂直平分线的斜率为﹣1，故线段AB的垂直平分线方程为y﹣0＝﹣（x﹣1），即x+y﹣1＝0，故B错误；对于C，圆心O1到直线AB的距离d=|1−0|√1+(−1)2=√22，圆O1半径r＝1，所以|AB|=2√1−(22)2=√2，故C错误；对于D，圆心O1到直线AB的距离d=|1−0|√1+(−1)2=√22，圆O1半径r＝1，则点P到直线AB的距离的最大值为√22+1，故D正确．故选：D．8．已知曲线x−1=√4−y2，则√x2+(y−4)2的最大值，最小值分别为（）A．√17+2，√17−2B．√17+2，√5C．√37，√17−2D．√37，√5解：由x−1=√4−y2，可知x≥1，﹣2≤y≤2，且有（x﹣1）2+y2＝4，表示的图形为以A（1，0）为圆心，2为半径的半圆，如图所示：又因为√x2+(y−4)2表示半圆上的动点与点P（0，4）的距离，又因为|P A|=√12+42=√17，所以√x2+(y−4)2的最大值为|P A|+2=√17+2，当动点与图中B （1，2）点重合时，√x 2+(y −4)2取最小值， 此时|PB |=√(1−0)2+(4−2)2=√5． 故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．给出下列命题，其中是真命题的是（ ）A ．若a →=(−1，1，−2)是直线l 的方向向量，b →=(−2，−1，12)是直线m 的方向向量，则l 与m 垂直B ．若a →=(1，1，−1)）是直线l 的方向向量，n →=(0，−1，−1)是平面α的法向量，则l ⊥α C ．若n 1→=(1，0，3)，n 2→=(0，1，2)分别为平面α，β的法向量，则α⊥βD ．若存在实数x ，y ，使MP →=xMA →+yMB →，则P ，M ，A ，B 共面 解：对于A ，因为a →⋅b →=(−1)×(−2)+1×(−1)+(−2)×12=0， 可知a →⊥b →，所以l 与m 垂直，故A 正确；对于B ，因为a →⋅n →=1×0+1×(−1)+(−1)×(−1)=0， 可知a →⊥n →，所以l ⊂α或l ∥α，故B 错误；对于C ，因为n 1→⋅n 2→=1×0+0×1+3×2=6≠0， 所以平面α，β不相互垂直，故C 错误；对于D ，若存在实数x ，y ，使MP →=xMA →+yMB →，则MP →，MA →，MB →为共面向量，所以P ，M ，A ，B 共面，故D 正确． 故选：AD ．10．下列说法错误的是（ ）A ．任意一条直线都有倾斜角和斜率B ．直线y ＝x +1与直线y ＝x +2的距离为1C ．直线x ﹣y ﹣2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积为2D ．经过（1，1）且在x 轴，y 轴上截距相等的直线方程为x +y ﹣2＝0 解：选项A ：当直线倾斜角为π2时，该直线斜率不存在．判断错误；选项B：直线y＝x+1与直线y＝x+2的距离为√1+1=√22．判断错误；选项C：直线x﹣y﹣2＝0与两坐标轴的交点分别为（2，0）和（0，﹣2），则此直线与两坐标轴围成的三角形的面积为12×2×2=2．判断正确；选项D：经过（1，1）且在x轴，y轴上截距相等的直线方程为x+y﹣2＝0和x﹣y＝0．判断错误．故选：ABD．11．已知圆C：x2+y3﹣4x﹣4y+7＝0，一条光线从点P（4，1）射出经x轴反射，则下列结论正确的是（）A．若反射光线平分圆C的周长，则反射光线所在直线的方程为3x+2y﹣10＝0B．圆C关于直线y＝x+1对称的圆的方程为x2+y2+2x﹣6y+9＝0C．若反射光线与圆C相切于点A，与x轴相交于点B，则|PB|+|BA|=2√3D．若反射光线与圆C交于M，N两点，则△CMN的面积的最大值为1 2解：圆C：x2+y2﹣4x﹣4y+7＝0，即（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1，故圆心为C（2，2），半径为1，点P（4，1）关于x轴的对称点为Q（4，﹣1），对于A：由题意知，反射光线过圆心C，则k QC=2−(−1)2−4=−32，反射光线所在直线的方程为y﹣2=−32（x﹣2），即3x+2y﹣10＝0，A正确；对于B：将x＝2代入y＝x+1得y＝3，将y＝2代入y＝x+1得x＝1，圆C关于直线y＝x+1对称的圆心为：（1，3），对称圆的半径r＝1，所以对称圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2＝1，即x2+y2﹣2x﹣6y+9＝0，B错误；对于C：如图，P关于x轴的对称点Q，B，切点A三点共线，|PB|+|BA|＝|QB|+|BA|＝|QA|，而|QC|2＝（4﹣2）2+（﹣1﹣2）2＝13，|CA|＝1，所以|QA|=√|QC|2−|CA|2=2√3，C正确；对于D：如图S△CMN=12|CM||CN|sin∠MCN=12×12•sin∠MCN≤12，（当∠MCN＝90°时取等号），D正确．故选：ACD ．12．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 为侧面AA 1D 1D 上的动点，N 为侧面CC 1D 1D 上的动点，则下列结论正确的是（ ） A ．若BM =√52，则M 的轨迹长度为π4B ．若BM =√52，则M 到直线A 1D 的距离的最小值为√24C ．若B 1N ⊥AC 1，则N ∈CD 1，且直线B 1N ∥平面A 1BD D ．若M ∈A 1D ，则B 1M 与平面A 1BD 所成角正弦的最小值为√33解：对于A ，因为BM =√52，所以M 在以B 为球心，√52为半径的球上． 又M 为侧面AA 1D 1D 上的点，所以M 在球被平面AA 1D 1D 截得的交线上． 因为AB ⊥平面AA 1D 1D ，AM ⊂平面AA 1D 1D ，可得AB ⊥AM ，由AB ＝1，BM =√52，所以AM =√BM 2−AB 2=12，所以，M 为以A 点为圆心，12为半径的圆上，如图，则M 的轨迹长度为14⋅2π⋅12=π4，故A 正确；对于B ，如上图，取A 1D 中点M 1，由正方形AA 1D 1D 的边长为1，可得AM 1=12√1+1=√22，由M 在以A 为圆心，12为半径的14圆弧上运动，可得M 到直线A 1D 的距离的最小值为√22−12，故B 错误；对于C ，如图，连结AC ，AD 1．因为CC 1⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以CC 1⊥BD ．又BD ⊥AC ，AC ⊂平面ACC 1，CC 1⊂平面ACC 1，AC ∩CC 1＝C ， 所以BD ⊥平面ACC 1．又AC 1⊂平面ACC 1，所以BD ⊥AC 1．因为D 1C 1⊥平面ADD 1A 1，A 1D ⊂平面ADD 1A 1，所以D 1C 1⊥A 1D ， 又A 1D ⊥AD 1，AD 1⊂平面AD 1C 1，D 1C 1⊂平面AD 1C 1，AD 1∩D 1C 1＝D 1， 所以A 1D ⊥平面AD 1C 1．又AC 1⊂平面AD 1C 1，则A 1D ⊥AC 1．又BD ⊂平面A 1BD ，A 1D ⊂平面A 1BD ，A 1D ∩BD ＝D ， 所以AC 1⊥平面A 1BD ．又B 1N ⊥AC 1，B 1∉平面A 1BD ，所以直线B 1N ∥平面A 1BD ，故C 正确； 对于D ，以点D 为坐标原点，分别以DA →，DC →，DD 1→为x ，y ，z 轴的正方向，如上图建立空间直角坐标系，则D （0，0，0），A 1（1，0，1），B （1，1，0），B 1（1，1，1）， DA 1→=(1，0，1)，DB →=(1，1，0)，DB 1→=(1，1，1)．因为M ∈A 1D ，设DM →=λDA 1→=(λ，0，λ)，（0≤λ≤1），B 1M →=DM →−DB 1→=(λ−1，−1，λ−1)． 设m →=（a ，b ，c ）是平面A 1BD 的一个法向量， 则{m →⋅DA 1→=a +c =0m →⋅DB →=a +b =0， 取a ＝1，则b ＝c ＝﹣1，m →=（1，﹣1，﹣1）是平面A 1BD 的一个法向量． 则cos ＜B 1M →，m →＞=m →⋅B 1M→|m →|⋅|B 1M →|=1√3×√(λ−1)2+1+(λ−1)2=1√3×√2λ−4λ+3，又2λ2﹣4λ+3＝2（λ﹣1）2+1≥1，当λ＝1时，有最小值1， 所以，√3√2λ2−4λ+3≤√3=√33，即cos ＜B 1M →，m →＞≤√33，所以，B 1M 与平面A 1BD 所成角正弦的最大值为√33，故D 错误． 故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知a →=(2，−1，3)，b →=(−4，2，x)，且a →⊥b →，则x ＝ 103． 解：因为a →=(2，−1，3)，b →=(−4，2，x)，且a →⊥b →， 则2×（﹣4）+（﹣1）×2+3x ＝0，则x =103， 故答案为：103． 14．经过两条直线2x +y ﹣8＝0和x ﹣2y +1＝0的交点，且垂直于直线3x ﹣2y +4＝0的直线的方程是 2x +3y ﹣12＝0 ．解：设两直线2x +y ﹣8＝0和x ﹣2y +1＝0的交点为P ， 联立方程组{2x +y −8=0x −2y +1=0，解得x ＝3，y ＝2，可得两直线的交点为P （3，2）．由直线3x ﹣2y +4＝0的斜率为32，可得所求直线的斜率为k =−23，所以所求直线的方程为y −2=−23(x −3)，即2x +3y ﹣12＝0．故答案为：2x +3y ﹣12＝0．15．已知点A （4，6），点B 在圆x 2+y 2＝4上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹方程为 （x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1 ．解：设M （x ，y ），B （x 1，y 1），由定点A （4，6），且M 是线段AB 的中点， 由中点坐标公式可得{x =4+x 12y =6+y 12，即{x 1=2x −4y 1=2y −6， 又点B 在圆上，故x 12+y 12=4，即（2x ﹣4）2+（2y ﹣6）2＝4，整理得（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1，所以线段AB 中点M 的轨迹方程是（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1． 故答案为：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1．16．已知O 为坐标原点，A ，B 均在直线x ﹣y ﹣6＝0上，|AB |＝2，动点P 满足|P A |=√2|PB |，则|OP |的最小值为 √2 ．解：设P （x ，y ），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由于|AB |＝2，所以|AB|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=2， 整理得(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=4， 由于|P A |=√2|PB |，所以|P A |2＝2|PB |2，整理得(x +x 1−2x 2)2+(y +y 1−2y 2)2=2(x 1−x 2)2+2(y 1−y 2)2=8， 故点P 是以（2x 2﹣x 1，2y 2﹣y 1）为圆心，2√2为半径的圆， 易得圆心在x ﹣y ﹣6＝0上， 由于点（0，0）到直线的距离d =√2=3√2， 所以|OP|min =3√2−2√2=√2． 故答案为：√2．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知空间三点A （1，2，2），B （2，1，2），C （3，2，1）． （1）若向量m →分别与AB →，AC →垂直，且|m →|=2√6，求向量m →的坐标； （2）求点C 到直线AB 的距离．解：（1）AB →=(1，−1，0)，AC →=(2，0，−1)， 设m →=(x ，y ，z)，∵m →⊥AB →，m →⊥AC →， ∴m →⋅AB →=0，m →⋅AC →=0． ∴{x −y =02x −z =0，整理得{y =x z =2x ，∵|m →|=√x 2+y 2+z 2=√6x 2=2√6，∴x ＝±2， ∴m →=(2，2，4)或m →=(−2，−2，−4)；（2）取u →=AB →|AB →|=(√22，−√22，0)，a →=AC →=(2，0，−1)，则a →⋅u →=√2，a →2=5． ∴C 到直线AB 的距离为√a →2−(a →⋅u →)2=√5−2=√3．18．（12分）已知△ABC 三个顶点分别为A （1，1），B （﹣1，﹣3），C （3，﹣1）． （1）求△ABC 的面积；（2）过△ABC 内一点P （1，0）有一条直线l 与边AB ，AC 分别交于点M ，N ，且点P 平分线段MN ，求直线l 的方程．解：（1）∵A （1，1），B （﹣1，﹣3），C （3，﹣1），∴直线AB 的斜率k AB ＝2，可得直线AB 的方程为2x ﹣y ﹣1＝0， 点C 到直线AB 的距离d =65=65√5， ∵|AB|=√(1+1)2+(1+3)2=2√5，∴S △ABC =12|AB|⋅d =12×65√5×2√5=6；（2）由题知，直线AC 的斜率k AC ＝﹣1，可得直线AC 的方程为x +y ﹣2＝0， 设M （x 0，y 0），则N （2﹣x 0，﹣y 0），∵点M ，N 分别在直线AB ，AC 上，∴{2x 0−y 0−1=02−x 0−y 0−2=0，解得{x 0=13y 0=−13， 因此，直线l 的斜率k l =0+131−13=12，l 的方程为y −0=12(x −1)，即x ﹣2y ﹣1＝0．19．（12分）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱AA 1的长为3，且∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°，E ，F 分别在侧棱BB 1和DD 1上，且BE =13BB 1，DF =23DD 1．（1）若EF →=xAB →+yAD →+zAA 1→，求x +y +z ； （2）求直线EF 与AB 所成角的余弦值．解：（1）由题意有：EF →=AF →−AE →=AD →+DF →−(AB →+BE →)=AD →+23DD 1→−(AB →+13BB 1→)=AD →+23AA 1→−AB →−13AA 1→=−AB →+AD →+13AA 1→，故x +y +z =−1+1+13=13； （2）令AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，则由题意有：|a →|=|b →|=2，|c →|=3，＜a →，b →＞=90°，＜a →，c →＞=＜b →，c →＞=120°，由（1）知：EF →=−a →+b →+13c →，则|EF →|=√(−a →+b →+13c →)2=√4+4+1+2−2=3，所以cos ＜EF →，AB →＞=−a →2+a →⋅b →+13a →⋅c →3×2=−4−16=−56，故直线EF 与AB 所成角的余弦值为56．20．（12分）已知圆C 与y 轴相切，圆心在直线x +y ﹣1＝0上，且被x 轴截得的弦长为2√3． （1）求圆C 的方程；（2）已知直线l 过点（1，﹣3），圆C 上恰有三个点到直线l 的距离等于1，求直线l 的方程． 解：（1）设圆C 的标准方程为（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝r 2（r ＞0）， ∵圆心C 在直线x +y ﹣1＝0上， ∴a +b ﹣1＝0①， ∵圆C 与y 轴相切， ∴r ＝|a |②，又∵圆C 被x 轴截得的弦长为2√3， ∴b 2+3＝r 2③，联立①②③解得，a ＝2，b ＝﹣1，r ＝2， ∴圆C 的方程为（x ﹣2）2+（y +1）2＝4． （2）∵圆C 上恰有三个点到直线l 的距离等于1， ∴圆心C 到直线l 的距离d ＝r ﹣1＝1． 当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1， 圆心C （2，﹣1）到直线l 的距离为1，符合题意； 当直线l 斜率不存在时，设直线l 的方程为y +3＝k （x ﹣1）， 即kx ﹣y ﹣k ﹣3＝0， ∴圆心C 到直线l 的距离d =|2k+1−k−3|√k +1=|k−2|√k +1=1，解之得，k =34，∴直线l 的方程为3x ﹣4y ﹣15＝0．综上，所求直线l 的方程为x ＝1或3x ﹣4y ﹣15＝0．21．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E 为线段CD 中点，现将△ADE 沿AE 折起，使得点D 到点P 位置，且AP ⊥BE ．（1）求证：平面AEP ⊥平面ABCE ；（2）已知点M 是线段CP 上的动点（不与点P ，C 重合），若使平面MAE 与平面APE 的夹角为π4，试确定点M 的位置．（1）证明：∵E 为CD 中点，AB ＝4，∴DE ＝CE ＝2， 又∵AD ＝2，四边形ABCD 为矩形， ∴AE 2=BE 2=2√2， ∴AE 2+BE 2＝AB 2，∴AE ⊥BE ，又∵AP ⊥BE ，AE ∩AP ＝A ，AP ，AE ⊂平面APE ， ∴BE ⊥平面APE ，又∵BE ⊂平面ABCE ， ∴平面AEP ⊥平面ABCE ；（2）解：过点E 作EQ ⊥平面ABCE ，以E 为坐标原点，以EA ，EB ，EQ 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2√2，0，0)，P(√2，0，√2)，C(−√2，√2，0)，E （0，0，0），B(0，2√2，0)， ∴CP →=(2√2，−√2，√2)，EC →=(−√2，√2，0)，EA →=(2√2，0，0)， 设CM →=λCP →，λ∈（0，1），则EM →=EC →+CM →=(2√2λ−√2，√2−√2λ，√2λ)， 设n →=(x ，y ，z)是平面AME 的一个法向量，则有{n →⋅EM →=0n →⋅EA →=0，即{2√2x =0(2√2λ−√2)x +(√2−√2λ)y +√2λz =0， 取y ＝λ，可得平面AME 的一个法向量为n →=(0，λ，λ−1)， 又EB →=(0，2√2，0)为平面APE 的一个法向量， ∴cos〈n →，EB →〉=√2λ2√2√λ+(λ−1)=√λ+(λ−1)，∵平面MAE 与平面APE 的夹角为π4，∴√λ2+(λ−1)2=√22，解得λ=12，∴当点M 为线段PC 的中点时，平面MAE 与平面APE 的夹角为π4．22．（12分）如图，已知圆C ：x 2+y 2﹣4y +3＝0，动点P （m ，﹣1）（m ∈R ），过点P 引圆的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）求证：直线AB 过定点；（2）若两条切线P A ，PB 与x 轴分别交于E ，F 两点，求△PEF 的面积的最小值．解：（1）证明：由题意知，圆心C （0，2），半径r ＝1， ∵P A ⊥CA ，PB ⊥CB ，∴A ，B 在以PC 为直径的圆上， ∵|PC|=√m 2+9，PC 的中点M(m 2，12)，∴以PC 为直径的圆M 的方程为(x −m 2)2+(y −12)2=m 2+94，即x 2+y 2﹣mx ﹣y ﹣2＝0．∵AB 为圆C 与圆M 的公共弦， ∴直线AB 的方程为mx ﹣3y +5＝0． ∴直线AB 过定点(0，53)．（2）①当P A ，PB 斜率均存在，即m ≠±1时， 设P A ，PB 的方程为y +1＝k （x ﹣m ）， 即kx ﹣y ﹣km ﹣1＝0，∵P A ，PB 与圆C 相切，∴圆心C到直线的距离d=√k+1=1，∴（m2﹣1）k2+6mk+8＝0．设P A，PB的斜率分别为k1，k2，∴k1+k2=−6mm2−1，k1k2=8m2−1，∴|k1−k2|=√(−6mm2−1)2−48m2−1=√4m2+32(m2−1)2，x E=m+1k1，x F=m+1k2，∴|EF|=|x E−x F|=|m+1k1−m−1k2|=|1k1−1k2|=|k1−k2||k1k2|=|2√m2+8m2−1||8m2−1|=√m2+84．∵当m∈R且m≠±1，∴当m＝0时，|EF|min=√22，此时，S△PEF=12×√22×1=√24．②当P A，PB有一条斜率不存在，即m＝±1时，不妨设P A的斜率不存在，则直线P A的方程为x＝﹣1，P（﹣1，﹣1），E（﹣1，0），设直线PB的方程为y+1＝k（x+1），由圆心（0，2）到PB的距离d=√k+1=1，解得k=43，∴直线PB的方程为4x﹣3y+1＝0，∴F(−14，0)，此时|EF|=34，S△PEF=12×34×1=38．由38＞√24，可得△PEF面积的最小值为√24．。
人教版高二上学期期中考试数学试题与答案解析(共两套)
人教版高二上学期期中考试数学试题（一） （本卷满分150分，考试时间120分钟）测试范围：选择性必修第一册：第一章、第二章、第三章一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知两个非零向量)(111z y x a ，，=，)(222z y x b ，，=，则这两个向量在一条直线上的充要条件是( )。
A 、||||b b a a ：：= B 、212121z z y y x x == C 、0212121=++z z y y x x D 、存在非零实数k ，使b k a =2．已知焦点在x 轴上的双曲线的焦距为32，焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的方程为( )。
A 、1222=-y xB 、1222=-y xC 、1222=-x y D 、1222=-x y3．若直线m my x +=+2与圆012222=+--+y x y x 相交，则实数m 的取值范围为( )。
A 、)(∞+-∞， B 、)0(，-∞ C 、)0(∞+， D 、)0()0(∞+-∞，， 4．点)24(-，P 与圆422=+y x 上任一点连线的中点的轨迹方程是( )。
A 、1)1()2(22=++-y x B 、4)1()2(22=++-y x C 、1)1()2(22=-++y x D 、4)2()4(22=-++y x5．若P 、Q 分别为直线01243=-+y x 与0586=++y x 上任意一点，则||PQ 的最小值为( )。
A 、59 B 、1029 C 、518 D 、5296．已知椭圆C ：12222=+b y a x (0>>b a )的左焦点1F ，过点1F 作倾斜角为 30的直线与圆222b y x =+相交的弦长为b 3，则椭圆的离心率为( )。
A 、21 B 、22 C 、43 D 、237．已知点1F 是抛物线C ：py x 22=的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F 、2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )。
2023-2024学年湖北省荆州市荆州中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年湖北省荆州市荆州中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．（3﹣2i ）（1+2i ）＝（ ） A ．﹣1+4iB ．7﹣4iC ．7+4iD ．﹣1﹣4i2．已知集合A ＝{x |x ﹣2＞0}，B ＝{x |x 2﹣x +m ＝0}，若A ∩B ≠∅，则m 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，﹣2）B ．（﹣∞，2]C ．（﹣∞，2）D ．（﹣∞，﹣2]3．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且PD →=3DC →，则BD →在AC →方向上的投影向量为（ ）A ．34AC →B ．−23AC →C ．−34AC →D ．23AC →4．抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A ＝“两枚骰子的点数之和为偶数”，事件B ＝“恰有一枚骰子的点数为偶数”，则（ ） A ．P （A ）＞P （B ）B ．P （A ）＜P （B ）C ．A 与B 互为对立事件D ．A 与B 互为互斥但不对立事件5．在△ABC 中，AB ＝1，BC =√5，cosA =56，则AC ＝（ ）A ．2B ．73C ．3D ．526．若A （2，2，1），B （0，0，1），C （2，0，0），则点A 到直线BC 的距离为（ ） A ．2√305B ．√305C ．2√55D ．√557．定义在R 上的奇函数f （x ）在区间（0，+∞）上单调递减，且f （6）＝0，则不等式xf （x ﹣4）＜0的解集为（ ）A ．（﹣2，0）∪（4，10）B ．（﹣2，0）∪（0，4）∪（10，+∞）C ．（﹣∞，﹣2）∪（10，+∞）D ．（﹣∞，﹣2）∪（0，4）∪（10，+∞）8．已知实数x ，y 满足2x ﹣y +2＝0，则√(x −9)2+y 2+√x 2+y 2−4x −4y +8的最小值为（ ） A ．3√13B ．10+√13C ．108D ．117二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．已知一组数据x ，x +2，3x ﹣3，2x +1，9的平均数为6，则（ ） A ．x ＝2B ．x ＝3C ．这组数据的第70百分位数为7D ．这组数据的第70百分位数为6.510．已知点A （1，4），B （3，2），C （2，﹣1），若直线l 经过点C ，且A ，B 到l 的距离相等，则l 的方程可能是（ ） A ．x +y ﹣1＝0B ．x ﹣y ﹣3＝0C ．x ﹣2＝0D ．y +1＝011．已知直线l ：(√3m +1)x −(m −√3)y −4=0与圆O ：x 2+y 2＝16相交于A ，B 两点，则△OAB 的面积可能为（ ） A ．8B ．4√3C ．4D ．2√312．苏州博物馆（图一）是地方历史艺术性博物馆，建筑物的顶端可抽象为如图二所示的上、下两层等高的几何体，其中上层EFGH ﹣NPQM 是正四棱柱，下层底面ABCD 是边长为4的正方形，E ，F ，G ，H 在底面ABCD 的投影分别为AD ，AB ，BC ，CD 的中点，若AF =√5，则下列结论正确的有（ ）A ．该几何体的表面积为32+8√2+4√6B ．将该几何体放置在一个球体内，则该球体体积的最小值为36πC ．直线CP 与平面ABF 所成角的正弦值为√63D ．点M 到平面BFG 的距离为√63三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．过点M(√3，0)作圆C ：x 2+（y ﹣1）2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为 ．14．若直线l 1：ax +4y +7＝0与l 2：2x ﹣3y ﹣1＝0垂直，则a ＝ ．15．已知函数f(x)=√3sin(ωx +π3)+sin(ωx −π6)(ω＞0)，若函数g （x ）＝f （x ）﹣1在（0，π）上恰有两个零点，则ω的取值范围为 ．16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AM ＝2MB ，N 为DD 1的中点，记平面CMN 与平面ADD 1A 1的交线为l ，则直线l 与直线AC 1所成角的余弦值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知直线l 1：x +ay ﹣a +2＝0与l 2：2ax +（a +3）y +a ﹣5＝0． （1）当a ＝1时，求直线l 1与l 2的交点坐标； （2）若l 1∥l 2，求a 的值．18．（12分）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB 的长为16米，最大高度CD 的长为4米，以C 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立直角坐标系． （1）求该圆弧所在圆的方程；（2）若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体）19．（12分）甲、乙准备进行一局羽毛球比赛，比赛规定：一回合中赢球的一方作为下一回合的发球方．若甲发球，则本回合甲赢的概率为34，若乙发球，则本回合甲赢的概率为14，每回合比赛的结果相互独立．经抽签决定，第1回合由甲发球． （1）求第3回合由乙发球的概率；（2）求前3个回合中甲赢的回合数不低于乙的概率．20．（12分）如图，在正四棱锥P ﹣ABCD 中，E ，F 分别为P A ，PC 的中点，DG →=2GP →． （1）证明：B ，E ，G ，F 四点共面．（2）记四棱锥P ﹣BEGF 的体积为V 1，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为V 2，求V 1V 2的值．21．（12分）已知O 为坐标原点，A （0，4），P 是平面内一动点，且PA →•PO →=0，记动点P 的轨迹为C ． （1）求C 的方程．（2）已知不经过原点且斜率存在的直线l 与C 相交于M ，N 两点，且k OM •k ON ＝﹣3，试问l 是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，说明理由．22．（12分）如图，在斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，△ABC 是边长为2的等边三角形，M ，Q 分别为AC ，A 1B 1的中点，且MQ ⊥AB ． （1）证明：MC 1⊥AB ．（2）若BB 1＝4，MQ =√15，求平面MB 1C 1与平面MC 1Q 夹角的余弦值．2023-2024学年湖北省荆州市荆州中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．（3﹣2i ）（1+2i ）＝（ ） A ．﹣1+4iB ．7﹣4iC ．7+4iD ．﹣1﹣4i解：（3﹣2i ）（1+2i ）＝3+6i ﹣2i ﹣4i 2＝7+4i ． 故选：C ．2．已知集合A ＝{x |x ﹣2＞0}，B ＝{x |x 2﹣x +m ＝0}，若A ∩B ≠∅，则m 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，﹣2）B ．（﹣∞，2]C ．（﹣∞，2）D ．（﹣∞，﹣2]解：因为A ＝{x |x ﹣2＞0}＝{x |x ＞2}，A ∩B ≠∅，所以B ≠∅，而B ＝{x |x 2﹣x +m ＝0}，当Δ＝（﹣1）2﹣4m ＝0，即m =14时，B ={x|x 2−x +14=0}={12}，则A ∩B ＝∅，不合题意；当Δ＝（﹣1）2﹣4m ＞0，即m ＜14时，方程x 2﹣x +m ＝0有两个不等实根，又二次函数y ＝x 2﹣x +m 的对称轴为x =12＜2，则要使A ∩B ≠∅，只须22﹣2+m ＜0，解得m ＜﹣2； 综上，m 的取值范围为（﹣∞，﹣2）． 故选：A ．3．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且PD →=3DC →，则BD →在AC →方向上的投影向量为（ ）A ．34AC →B ．−23AC →C ．−34AC →D ．23AC →解：因为P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，故以A 为坐标原点，AB ，AC ，P A 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，令AB ＝a ，AC ＝b ，P A ＝c ，则A （0，0，0），B （a ，0，0），C （0，b ，0），D(0，34b ，14c)，则AC →=(0，b ，0)，BD →=(−a ，34b ，14c)，所以BD →在AC →方向上的投影向量为AC →⋅BD →|AC →|⋅AC →|AC →|=34b 2|b|⋅AC →|b|=34AC →．故选：A ．4．抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A ＝“两枚骰子的点数之和为偶数”，事件B ＝“恰有一枚骰子的点数为偶数”，则（ ） A ．P （A ）＞P （B ）B ．P （A ）＜P （B ）C ．A 与B 互为对立事件D ．A 与B 互为互斥但不对立事件解：因为事件A ＝“两枚骰子的点数之和为偶数”，即事件A 包括两枚骰子的点数之和为偶数分为两枚骰子都为奇数和偶数，P(A)=3×3+3×36×6=12，事件B ＝“恰有一枚骰子的点数为偶数”，即事件B 为两枚骰子一枚为奇数，一枚偶数，即两枚骰子的点数之和为奇数．所以P(B)=2×3×36×6=12， 所以A 与B 互为对立事件，且P(A)=P(B)=12．故A ，B ，D 错误；C 正确．故选：C ．5．在△ABC 中，AB ＝1，BC =√5，cosA =56，则AC ＝（ ）A ．2B ．73C ．3D ．52解：因为在△ABC 中，AB ＝1，BC =√5，cosA =56，由余弦定理知cosA =AB 2+AC 2−BC22AB⋅AC ，所以56=12+AC 2−(√5)22×1×AC，则3AC 2﹣5AC ﹣12＝0，解得AC ＝3或AC =−43（舍去）．故选：C ．6．若A （2，2，1），B （0，0，1），C （2，0，0），则点A 到直线BC 的距离为（ ） A ．2√305B ．√305C ．2√55D ．√55解：由题意得，BA →=(2，2，0)，BC →=(2，0，−1)，则BA →在BC →上的投影向量的模为|BA →⋅BC →||BC →|=√5， 则点A 到直线BC 的距离为√|BA →|2−(|BA →⋅BC →||BC →|)2=√(√8)2−(45)2=2√305．故选：A ．7．定义在R 上的奇函数f （x ）在区间（0，+∞）上单调递减，且f （6）＝0，则不等式xf （x ﹣4）＜0的解集为（ ）A ．（﹣2，0）∪（4，10）B ．（﹣2，0）∪（0，4）∪（10，+∞）C ．（﹣∞，﹣2）∪（10，+∞）D ．（﹣∞，﹣2）∪（0，4）∪（10，+∞）解：因为定义在R 上的奇函数f （x ） 在区间 （0，+∞）上单调递减，且f （6）＝0， 所以f （x ）的图象大致如图所示：由xf（x﹣4）＜0，①当x＞0时，f（x﹣4）＜0，即﹣6＜x﹣4＜0或x﹣4＞6，解得0＜x＜4或x＞10；②当x＜0时，f（x﹣4）＞0，即x﹣4＜﹣6或0＜x﹣4＜6（舍），解得x＜﹣2；综上，0＜x＜4，或x＞10或x＜﹣2．故选：D．8．已知实数x，y满足2x﹣y+2＝0，则√(x−9)2+y2+√x2+y2−4x−4y+8的最小值为（）A．3√13B．10+√13C．108D．117解：√(x−9)2+y2+√x2+y2−4x−4y+8=√(x−9)2+y2+√(x−2)2+(y−2)2，该式表示直线l：2x﹣y+2＝0上一点到P（9，0），Q（2，2）两点距离之和的最小值．而P，Q两点在l的同一侧，设点P关于l对称的点P′（x0，y0），则{y0−0x0−9=−122×x0+92−y0+02+2=0，解得{x0=−7y0=8，∴P′（﹣7，8），故√(x−9)2+y2+√x2+y2−4x−4y+8≥|P′Q|=√(−7−2)+(8−2)2=3√13．故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9．已知一组数据x，x+2，3x﹣3，2x+1，9的平均数为6，则（）A．x＝2B．x＝3C．这组数据的第70百分位数为7D．这组数据的第70百分位数为6.5解：x，x+2，3x﹣3，2x+1，9的平均数为6，则x+x+2+3x﹣3+2x+1+9＝30，解得x＝3，故A错误，B正确；这组数据为3，5，6，7，9，由5×0.7＝3.5，则这组数据的第70百分位数为7，故C正确，D错误．故选：BC．10．已知点A（1，4），B（3，2），C（2，﹣1），若直线l经过点C，且A，B到l的距离相等，则l的方程可能是（）A．x+y﹣1＝0B．x﹣y﹣3＝0C．x﹣2＝0D．y+1＝0解：若A，B在l的同侧，则l∥AB，A（1，4），B（3，2），则k AB=2−43−1=−1，所以l的方程为x+y﹣1＝0，若A，B在l的两侧，则l经过线段AB的中点M（2，3），此时l的方程为x﹣2＝0，综上所述，l的方程可能是x+y﹣1＝0或x﹣2＝0．故选：AC．11．已知直线l：(√3m+1)x−(m−√3)y−4=0与圆O：x2+y2＝16相交于A，B两点，则△OAB的面积可能为（）A．8B．4√3C．4D．2√3解：将l的方程转化为(√3x−y)m+x+√3y−4=0，令{√3x−y=0x+√3y−4=0，解得{x=1y=√3，即1经过定点P(1，√3)，则圆心O到l的距离d≤|OP|＝2，设∠AOB＝θ，则cos θ2=d4≤12，故60°≤θ＜90°，即120°≤2θ＜180°，△OAB的面积S=12×42×sin2θ∈(0，4√3]．故选：BCD．12．苏州博物馆（图一）是地方历史艺术性博物馆，建筑物的顶端可抽象为如图二所示的上、下两层等高的几何体，其中上层EFGH﹣NPQM是正四棱柱，下层底面ABCD是边长为4的正方形，E，F，G，H 在底面ABCD的投影分别为AD，AB，BC，CD的中点，若AF=√5，则下列结论正确的有（）A．该几何体的表面积为32+8√2+4√6B．将该几何体放置在一个球体内，则该球体体积的最小值为36πC．直线CP与平面ABF所成角的正弦值为√6 3D．点M到平面BFG的距离为√6 3解：设F，G在平面ABCD的投影分别为AB，BC的中点R，S，由于AF=√5，AB＝4，所以F到平面ABCD的距离为FR=√AF2−(12AB)2=1，由于上、下两层等高，所以P到平面ABCD的距离为2，又FG =RS =12AC =2√2，由于GS ＝FR ＝1，BS =RB =12×4=2所以BG =GC =√GS 2+BS 2=√5=BF =AF ，所以△AFB ≌△BGC ，同理可得△CDH ≌△ADE ≌△AFB ≌△BGC ，△BFG ≌△CHG ≌△DEH ≌△AEF ， 则点B 到FG 的距离为√BF 2−(12FG)2=√(√5)2−(√2)2=√3，则△ABF 的面积为12AB ⋅FR =12×4×1=2，△BFG 的面积为12×2√2×√3=√6，故该几何体的表面积4×2+4×√6+4×4+2√2×2√2+2√2×4=32+8√2+4√6，故A 正确； 将该几何体放置在一个球体内，要使该球体体积最小，则球心在该几何体上下底面中心所连直线上， 且A 、B 、C 、D ，N 、P 、Q 、M 均在球面上，设球心到下底面ABCD 的距离为x ， 由于四边形MNPQ 为边长为2√2的正方形，四边形ABCD 为边长为4的正方形， 则其对角线长度分别为4，4√2，则(2√2)2+x 2=22+(2−x)2， 解得x ＝0，则该球体的半径为2√2，体积为4π3×(2√2)3=64√2π3，故B 错误；以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则C （4，4，0），P （2，0，2），B （4，0，0），F （2，0，1），G （4，2，1），M （2，4，2），CP →=(−2，−4，2)，BF →=（﹣2，0，1），BG →=(0，2，1)，BM →=（﹣2，4，2）， 平面ABF 的一个法向量为m →=（0，1，0），则cos ＜CP →，m →＞=−42√6=−√63，设直线CP 与平面ABF 所成角为θ，则sinθ=|cos ＜CP →，m →＞|=√63，故直线CP 与平面ABF 所成角的正弦值为√63，故C 正确； 设平面BFG 的法向量为n →=(x 1，y 1，z 1)，则{n →⋅BF →=−2x 1+z 1=0n →⋅BG →=2y 1+z 1=0，令x 1＝1，得n →=（1，﹣1，2）， 则点M 到平面BFG 的距离为|n →⋅BM →||n →|=√12+(−1)2+22=√63，故D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．过点M(√3，0)作圆C ：x 2+（y ﹣1）2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为 √3x −y =0 ．解：圆C ：x 2+（y ﹣1）2＝1①，则圆心C （0，1）， 以C （0，1），M （√3，0）为直径的圆的方程为：(x −√32)2+(y −12)2=1②， ①﹣②可得，√3x −y =0，故直线AB 的方程为√3x −y =0． 故答案为：√3x −y =0．14．若直线l 1：ax +4y +7＝0与l 2：2x ﹣3y ﹣1＝0垂直，则a ＝ 6 ． 解：因为l 1⊥l 2，所以2a ﹣12＝0，解得a ＝6． 故答案为：6．15．已知函数f(x)=√3sin(ωx +π3)+sin(ωx −π6)(ω＞0)，若函数g （x ）＝f （x ）﹣1在（0，π）上恰有两个零点，则ω的取值范围为 (2，83] ．解：由题意可知，f(x)=√3sin(ωx +π3)+sin(ωx −π6)=√3sin(ωx +π3)−cos(ωx +π3)=2sin(ωx +π6)，由g （x ）＝0，得sin(ωx +π6)=12．由0＜x ＜π，得π6＜ωx +π6＜ωπ+π6；由在（0，π）上恰有两个零点可得13π6＜ωπ+π6≤17π6，解得2＜ω≤83．故答案为：(2，83]．16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AM ＝2MB ，N 为DD 1的中点，记平面CMN 与平面ADD 1A 1的交线为l ，则直线l 与直线AC 1所成角的余弦值为7√111111．解：设I ∩AA 1＝P ，连接NP ，MP ，直线NP 即为直线l ．易证得MP ∥CN ，由AM ＝2MB ，N 为DD 1的中点，得AP =13AA 1，以D 为坐标原点，DA ．DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝6，则得：N （0，0，3），P （6，0，2），A （6，0，0），C 1（0，6，6）， NP →=（6，0，﹣1），AC 1→=（﹣6，6，6）， 所以得：|cos ＜NP →，AC 1→＞|=|NP →⋅AC 1→||NP →|⋅|AC 1→|=√37×6√3=7√111111，故直线与直线 AC 1 所成角的余弦值为7√111111． 故答案为：7√111111． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知直线l 1：x +ay ﹣a +2＝0与l 2：2ax +（a +3）y +a ﹣5＝0． （1）当a ＝1时，求直线l 1与l 2的交点坐标； （2）若l 1∥l 2，求a 的值．解：（1）因为a ＝1，所以l 1：x +y +1＝0，l 2：2x +4y ﹣4＝0，即x +2y ﹣2＝0， 联立{x +y +1=0x +2y −2=0解得{x =−4y =3，故直线l 1与l 2的交点坐标为（﹣4，3）．（2）因为l 1∥l 2，所以2a 2﹣a ﹣3＝0，解得a ＝﹣1或a =32，当a ＝﹣1时，l 1与l 2重合，不符合题意． 当a =32时，l 1与l 2不重合，符合题意．故a =32．18．（12分）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB 的长为16米，最大高度CD 的长为4米，以C 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立直角坐标系． （1）求该圆弧所在圆的方程；（2）若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体）解：（1）由圆的对称性可知，该圆弧所在圆的圆心在y 轴上， 由图形可得A （﹣8，0），B （8，0），D （0，4），设该圆的半径为r 米，则r 2＝82+（r ﹣4）2，解得r ＝10，圆心为（0，﹣6）， 故该圆弧所在圆的方程为x 2+（y +6）2＝100．（2）设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d 米，则(d 2)2+(6+1.6)2=102，解得d =2√42.24．若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度为4×2.5+3×0.5=11.5＜2√42.24．隧道能并排通过4辆该种汽车；若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度为5×2.5+4×0.5=14.5＞2√42.24，故该隧道不能并排通过5辆该种汽车．综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车．19．（12分）甲、乙准备进行一局羽毛球比赛，比赛规定：一回合中赢球的一方作为下一回合的发球方．若甲发球，则本回合甲赢的概率为34，若乙发球，则本回合甲赢的概率为14，每回合比赛的结果相互独立．经抽签决定，第1回合由甲发球． （1）求第3回合由乙发球的概率；（2）求前3个回合中甲赢的回合数不低于乙的概率． 解：（1）由题可知，第3回合由乙发球的概率为34×14+14×34=38； （2）前3个回合中甲赢的回合数不低于乙，则前3个回合中甲赢的回合数为2或3， 甲赢的回合数为2的概率为 34×34×14+34×14×14+14×14×34=1564， 甲赢的回合数为3的概率为34×34×34=2764， 故前3个回合中甲赢的回合数不低于乙的概率为 2764+1564=2132． 20．（12分）如图，在正四棱锥P ﹣ABCD 中，E ，F 分别为P A ，PC 的中点，DG →=2GP →． （1）证明：B ，E ，G ，F 四点共面．（2）记四棱锥P ﹣BEGF 的体积为V 1，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为V 2，求V 1V 2的值．解：（1）证明：因为E ，F 分别为P A ，PC 的中点，所以BE →=12BA →+12BP →，BF →=12BC →+12BP →，所以BG →=BD →+DG →=BD →+23DP →=BD →+23(BP →−BD →)=13BD →+23BP →=13BA →+13BC →+23BP →=23(12BA →+12BP →)+23(12BC →+12BP →)=23BE →+23BF →， 故B ，E ，G ，F 四点共面；（2）由正四棱锥的对称性知，V 1＝2V E ﹣PBG ，V 2＝2V A ﹣PBD ， 设点E 到平面PBG 的距离为d 1，点A 到平面PBD 的距离为d 2， 由E 是P A 的中点得d 2＝2d 1， 由DG →=2GP →得S △PBD ＝3S △PBG ，所以V 1V 2=V E−PBG V A−PBD=13S △PBG ⋅d 113S △PBD ⋅d 2=16． 21．（12分）已知O 为坐标原点，A （0，4），P 是平面内一动点，且PA →•PO →=0，记动点P 的轨迹为C ． （1）求C 的方程．（2）已知不经过原点且斜率存在的直线l 与C 相交于M ，N 两点，且k OM •k ON ＝﹣3，试问l 是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，说明理由． 解：（1）设P （x ，y ），由A （0，4），PA →•PO →=0，可得（﹣x ，4﹣y ）•（﹣x ，﹣y ）＝x 2﹣y （4﹣y ）＝0，化为x 2+y 2﹣4y ＝0， 则C 的方程为x 2+y 2﹣4y ＝0；（2）设直线l 的方程为y ＝kx +m （m ≠0）， 由直线l 与圆相交，可得√1+k22，即1+k 2＞14（m ﹣2）2， 直线l 的方程与圆x 2+y 2﹣4y ＝0联立，可得（1+k 2）x 2+（2km ﹣4k ）x +m 2﹣4m ＝0， 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），由韦达定理可得x 1x 2=m 2−4m 1+k2，由x =y−mk代入圆x 2+y 2﹣4y ＝0，可得（1+k 2）y 2﹣（2m +4k 2）y +m 2＝0，由韦达定理可得y1y2=m21+k2，由k OM•k ON＝﹣3，可得y1y2x1x2=m2m2−4m=−3，解得m＝3，即有直线l的方程为y＝kx+3，则直线l恒过定点（0，3）．22．（12分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，M，Q分别为AC，A1B1的中点，且MQ⊥AB．（1）证明：MC1⊥AB．（2）若BB1＝4，MQ=√15，求平面MB1C1与平面MC1Q夹角的余弦值．（1）证明：因为△A1B1C1是等边三角形，Q为A1B1的中点，所以C1Q⊥A1B1，又AB∥A1B1，所以C1Q⊥AB，因为MQ⊥AB，C1Q∩MQ＝Q，所以AB⊥平面MC1Q，又MC1⊂平面C1MQ，所以MC1⊥AB；（2）解：取AB靠近点A的四等分点N，连接MN，NQ，易证得MN∥C1Q，则MN⊥AB，且MN=√32，由BB1＝4，得QN=3√72，因为MQ=√15，所以MQ2+MN2＝QN2，即MQ⊥MN，又MQ⊥AB，从而MQ⊥平面ABC，以M为坐标原点，MN所在直线为x轴，MQ所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则M（0，0，0），B1（0，1，√15），C1（−√3，0，√15），则MB 1→=（0，1，√15），MC 1→=（−√3，0，√15）， 设平面MB 1C 1的法向量为m →=（x ，y ，z ），则有{m →⋅MB 1→=y +√15z =0m →⋅MC 1→=−√3x +√15z =0，令z ＝1，得m →=(√5，−√15，1)，由图可知，n →=（0，1，0）是平面MC 1Q 的一个法向量，设平面MB 1C 1与平面MC 1Q 的夹角为θ，则cosθ=|m →⋅n →||m →||n →|=√15√21=√357．。
山东省济南市山东省实验中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(含答案)
山东省实验中学2024～2025学年第一学期期中高二数学试题 2024.11（选择性必修—检测）说明：本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页.试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（共58分）一、单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分。
每小题只有一个选项符合题意）1.已知空间向量，，，若，，共面，则实数（ ）A.1B.2C.3D.42.“”是“直线与直线平行”的（ ）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.给出下列说法，其中不正确的是（）A.若，则，与空间中其它任何向量都不能构成空间的一个基底向量B.若，则点是线段的中点C.若，则，，，四点共面D.若平面，的法向量分别为，，且，则3.若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个4.实数，满足，则的最小值为（ ）A. B.7C. D.36.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）A.()1,2,0a = ()0,1,1b =- ()2,3,c m = a b cm =1m =-()1:2310l mx m y +++=2:30l x my ++=a b ∥a b c2PM PA PB =+M AB 2OA OB OC OD =+-A B C D αβ()12,1,1n =- ()21,,1n t =-αβ⊥3t =1:43l x y +=2:0l x y +=3:2l x my -=m x y 2222x y x y +=-3x y -+3+:20l kx y --=:1C x =-k k >5k <≤k <<1k <≤7.在三棱锥中，为的重心，，，，，，若交平面于点，且，则的最小值为（ ）A.B.C.1D.8.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上且位于第一象限，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为4，则的离心率为（ ）A.C.二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）9.下列说法正确的是（）A.若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B.圆与直线必有两个交点C.在轴、轴上的截距分别为，的直线方程为D.设，，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是10.已知椭圆的离心率为，长轴长为6，，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是（ ）A.焦距为2B.椭圆的标准方程为P ABC -G ABC △PD PA λ= PE PB μ= 12PF PC =λ()0,1μ∈PG DEF M 12PM PG =λμ+122343()2222:10x y C a b a b+=>>1F 2F P C 1O 1F P 2PF x 12PF F △2O 1O 2O 1O 2O C 123522:4O x y +=10mx y m +--=x y a b 1x y a b+=()2,2A -()1,1B :10l ax y ++=AB a (]322⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，，()2222:10x y E a b a b +=>>23F F '()1,1A P E E 22195x y +=C.D.的最大值为11.立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数24，棱长为的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有（）A.平面B.，，，四点共面C.点到平面的距离为D.若为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值范围为第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分.）12.已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围为______.13.如图，已知点，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是______.14.杭州第19届亚运会的主会场——杭州奥体中心体育场，又称“大莲花”（如图1所示）.会场造型取意于杭州丝绸纹理与纺织体系，建筑体态源于钱塘江水的动态，其简笔画如图2所示.一同学初学简笔画，先AF '=PA PF +6AG ⊥BCDG A F C D B ACD E BC DE AF 12⎡⎢⎣l 2,43ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭l ()8,0A ()0,4B -()3,0P AB OB OB P画了一个椭圆与圆弧的线稿，如图3所示.若椭圆的方程为，下顶点为，为坐标原点，为圆上任意一点，满足，则点的坐标为______；若为椭圆上一动点，当取最大值时，点恰好有两个，则的取值范围为______.图1 图2 图3四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（13分）已知两直线和的交点为.（1）直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程；（2）圆过点且与相切于点，求圆的一般方程.16.（15分）已知椭圆，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点，且点在第一象限，点，分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值.17.（15分）在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到位置，使得（如图2）.图1 图2（1）求证：平面平面；（2）线段上是否存在点，使得与平面的值；若不存在，请说明理由.E()222210x ya ba b+=>>10,2A⎛⎫-⎪⎝⎭O P C2PO PA=C Q QC Q a1:20l x y++=2:3210l x y-+=Pl P310x y++=lC()1,01l P C()2222:10x yC a ba b+=>>⎛⎝C12l C M N M A B CAMBN SABCD AB CD∥3BADπ∠=224AB AD CD===P AB AC DP O ACD△AC ACD'△D O OP'⊥D AC'⊥ABCPD'Q CQ BCD'PQPD'18.（17分）已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方.（1）求圆的方程；（2）直线与圆交于不同的，两点，且，求直线的斜率；（3）过点的直线与圆交于，两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由.19.（17分）已知点，是平面内不同的两点，若点满足（，且），则点的轨迹是以有序点对为“稳点”的-阿波罗尼斯圆.若点满足，则点的轨迹是以为“稳点”的-卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，，.（1）若以为“稳点”的-阿波罗尼斯圆的方程为，求，，的值；（2）在（1）的条件下，若点在以为“稳点”的5-卡西尼卵形线上，求（为原点）的取值范围；（3）卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若，，求证：不存在实数，，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称.:40l x ++=C l C x l C 2y kx =-C M N 120MCN ︒∠=2y kx =-()0,1M C A B A x y N y ANB ∠N A B P PAPBλ=0λ>1λ≠P (),A B λQ ()0QA QB μμ⋅=>Q (),A B μ()2,0A -()(),2B a b a ≠-(),A B λ221240x y x +-+=a b λQ (),A B OQ O 0b =λ=a μ(),A B μ山东省实验中学2024～2025学年第一学期期中高二数学试题参考答案 2024.11选择题1234567891011ABCBDDCCBDBCDABD填空题12..13.，.解答题15.【答案】（1）（2）.【详解】（1）直线与直线平行，故设直线为，……1分联立方程组，解得.直线和的交点.……3分又直线过点，则，解得，即直线的方程为.……5分（2）设所求圆的标准方程为，的斜率为，故直线的斜率为1，由题意可得，……8分解得，……11分故所求圆的方程为.(()1,-∞-+∞ ,20,3⎛⎫-⎪⎝⎭a >340x y ++=221140333x y x y +++-=l 310x y ++=l 130x y C ++=203210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩11x y =-⎧⎨=-⎩∴1:20l x y ++=2:3210l x y -+=()1,1P --l P 1130C --+=14C =l 340x y ++=()()222x a y b r -+-=1:20l x y ++=1-CP ()()()()2222221110111a b r a b r b a ⎧--+--=⎪⎪-+-=⎨⎪+⎪=+⎩216162518a b r ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩2211256618x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为一般式：.……13分16.【答案】（1）（2）【详解】（1）由椭圆，解得，……2分由椭圆过点，得，联立解得，，……4分所以椭圆的方程为.……5分（2）由题意可设，点在第一象限，，……6分设，，点，到直线的距离分别为，，由，消可得，，，……8分10分，，直线的一般式方程：，，，，……12分14分当时，有最大值为……15分17.【答案】（1）证明见解析（2）存在，【详解】（1）证明：在梯形中，，22114333x y x y+++-=2214xy+=2222:1x yCa b+==2a b= C⎛⎝221314a b+=2a=1b=C2214xy+=1:2l y x m=+M11m∴-<<()11,M x y()22,N x y A B l1d2d221412xyy x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩y222220x mx m++-=122x x m∴+=-21222x x m=-MN∴===()2,0A()0,1B l220x y m-+=1d∴=2d=12d d∴+=()121122AMN BMNS S S MN d d∴=+=⋅+==△△m=S13ABCD AB CD∥，，为的中点，，，，……1分是正三角形，四边形为菱形，，，……3分，，又，，平面，平面，……5分平面，平面平面.……6分（2）存在，，理由如下：……8分平面，，，，两两互相垂直，如图，以点为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系.则，，，，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，，……11分设，，，， (12)分设与平面所成角为，则，即，，解得，224AB AD CD ===3BAD π∠=P AB CD PB ∴∥CD PB =BC DP =ADP ∴△DPBC AC BC ∴⊥AC DP ⊥AC D O ⊥' D O OP '⊥AC OP O = AC OP ⊂ABC D O ∴'⊥ABC D O ⊂' D AC '∴D AC '⊥ABC 13PQ PD '=D O ⊥' BAC OP AC ⊥OA ∴OP OD 'O OA OP OD 'x y z ()C ()2,0B ()0,0,1D '()0,1,0P )2,1BD ∴'=- )CD '=CBD '(),,n x y z =00n BD n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩'' 200y z z -+=+=⎪⎩1x =0y =z =(1,0,n ∴=()01PQ PD λλ'=≤≤)CP =()0,1,1PD =-'),CQ CP PQ CP PD λλλ∴=+=+=- CQ BCD 'θsin cos ,CQ n CQ n CQ n θ⋅====23720λλ-+=01λ≤≤ 13λ=线段上存在点，且，使得与平面……15分18.【答案】（1）（2）（3）【详解】（1）设圆心，则，……2分解得或（舍），故圆的方程为.……4分（2）由题意可知圆心到直线的距离为，……6分，解得.……8分（3）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，由得，……10分，……12分若轴平分，则，即，即，即，即，即，……14分当时，上式恒成立，即；……15分当直线的斜率不存在或斜率为0时，易知满足题意；综上，当点的坐标为时，轴平分.……17分19.【答案】（1），，（2）（3）证明见解析【详解】（1）因为以为“稳点”的—阿波罗尼斯圆的方程为，设是该圆上任意一点，则，……1分所以，……3分∴PD 'Q 13PQ PD '=CQ BCD '224x y +=k =()0,4N ()(),04C a a >-422a +=0a =8a =-C 224x y +=C 2y kx =-2sin 301︒=1=k =AB AB ()10y kx k =+≠()()0,0N t t >()11,A x y ()22,B x y 224,1x y y kx ⎧+=⎨=+⎩()221230k x kx ++-=12221k x x k -∴+=+12231x x k -=+y ANB ∠AN BN k k =-12120y t y t x x --+=1212110kx t kx tx x +-+-+=()()1212210kx x t x x +-+=()()22126011t k k k k -⨯--+=++40k kt -+=4t =()0,4N AB ()0,4N N ()0,4y ANB ∠2a =0b =λ=[]1,3(),A B λ221240x y x +-+=(),P x y 22124x y x +=-()()()()22222222222222244162212224PA x y x y x x x y ax by a b a x by a bx a y b PB+++++===+--++--+-+-+-因为为常数，所以，，且，……5分所以，，.……6分（2）解：由（1）知，，设，由，所以，……7分，整理得，即，所以，……9分，……10分由，得，即的取值范围是.……12分（3）证明：若，则以—阿波罗尼斯圆的方程为，整理得，该圆关于点对称.……15分由点，关于点对称及，可得—卡西尼卵形线关于点对称，令，解得，与矛盾，所以不存在实数，，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称……17分22PA PB2λ2240a b -+=0b =2a ≠-2a =0b =λ==()2,0A -()2,0B (),Q x y 5QA QB ⋅=5=()222242516x y x ++=+2240y x =--≥42890x x --≤()()22190x x +-≤209x ≤≤OQ ==209x ≤≤13OQ ≤≤OQ []1,30b =(),A B ()()222222x y x a y ⎡⎤++=-+⎣⎦()22244240x y a x a +-++-=()22,0a +()2,0A -(),0B a 2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭QA QB μ⋅=μ2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭2222a a -+=2a =-2a ≠=-a μ(),A B μ。
山东省 2023~2024学年第一学期期中高二数学试题[含答案]
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42
2 y
22
4
，化
为 (x 2)2 ( y 1)2 1，故选 A.
考点：1、圆的标准方程；2、“逆代法”求轨迹方程.
【方法点晴】本题主要考查圆的标准方程、“逆代法”求轨迹方程，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直
接法，设出动点的坐标
x,
y
，根据题意列出关于
x,
y
的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲
y 1 mx 2m R
5. 在平面直角坐标系中，动圆
与直线
相切，则面积最
大的圆的标准方程为（ ）
x 12 y 12 4
A.
x 12 y 12 5
B.
x 12 y 12 6
C. 【答案】B
x 12 y 12 8
D.
【解析】
【分析】据题意分析可知直线经过定点 P ；圆的圆心到直线距离的最大时，圆的半径最大，即可得到面积
当直线 x ay 1 0 与直线 ax y 1 0 相互垂直时， a 1 不一定成立，所以“ a 1 ”是“直线
x ay 1 0 与直线 ax y 1 0 相互垂直”的非必要条件.
所以“ a 1 ”是“直线 x ay 1 0 与直线 ax y 1 0 相互垂直”的充分非必要条件.
2023~2024 学年第一学期期中高二数学试题
（选择性必修一检测） 2023.11
说明：本试卷满分 150 分，分为第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，第 I 卷为 第 1 页至第 3 页，第 II 卷为第 3 页至第 4 页.试题答案请用 2B 铅笔或 0.5mm 签字笔填涂到 答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间 120 分钟.
【典型题】高二数学上期中试卷附答案
【典型题】高二数学上期中试卷附答案一、选择题1．执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =( )A ．203B ．72C ．165D ．1582．民间有一种五巧板拼图游戏.这种五巧板（图1）可以说是七巧板的变形，它是由一个正方形分割而成（图2），若在图2所示的正方形中任取一点，则该点取自标号为③和④的巧板的概率为（ ）A ．518B ．13C ．718D ．493．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则 A ．270,75x s =<B ．270,75x s =>C ．270,75x s ><D ．270,75x s <>4．一组数据如下表所示：x1 2 3 4y e3e 4e 6e已知变量y 关于x 的回归方程为+0.5ˆbx ye =，若5x =，则预测y 的值可能为( ) A ．5eB ．112eC ．132eD ．7e5．在本次数学考试中，第二大题为多项选择题.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，小明因某原因网课没有学习，导致题目均不会做，那么小明做一道多选题得5分的概率为（ ） A ．115B ．112C ．111D ．146．如图所示的程序框图的算法思路源于世界数学名题“3x ＋1问题”．执行该程序框图，若输入的N ＝3，则输出的i ＝A ．9B ．8C ．7D ．67．从一批产品中取出三件产品，设事件A 为“三件产品全不是次品”，事件B 为“三件产品全是次品”，事件C 为“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（ ） A ．事件A 与C 互斥 B ．事件B 与C 互斥 C ．任何两个事件均互斥D ．任何两个事件均不互斥8．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率是( ) ． A ．12B ．13C ．23D ．19．某校高一1班、2班分别有10人和8人骑自行车上学，他们每天骑行路程（单位：千米）的茎叶图如图所示：则1班10人每天骑行路程的极差和2班8人每天骑行路程的中位数分别是 A ．14，9.5B ．9，9C ．9，10D ．14，910．从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 A ．4n mB ．2n mC ．4mnD ．2mn11．已知函数()cos3xf x π=，根据下列框图，输出S 的值为( )A ．670B ．16702C ．671D ．67212．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 A ．甲地：总体均值为3，中位数为4 B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体均值为2，总体方差为3二、填空题13．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为___________．14．为了防止职业病，某企业采用系统抽样方法，从该企业全体1200名员工中抽80名员工做体检，现从1200名员工从1到1200进行编号，在115~中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从4660~这15个数中应抽取的数是__________． 15．如图，四边形ABCD 为矩形，3AB =，1BC =，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧»DE，在DAB ∠内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________.16．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为98、63，则输出的a =_______．17．某单位为了了解用电量y （度）与气温x （℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温（如表），并求得线性回归方程ˆ360yx =-为: x c9 14 -1y 184830d不小心丢失表中数据c ，d ，那么由现有数据知3c d -____________．18．执行如图所示的程序框图，若输入的A ，S 分别为0,1，则输出的S =____________．19．已知x ，y 取值如表，画散点图分析可知y 与x 线性相关，且求得回归方程为$35y x =-，则m 的值为__________．x0 13 5 6y 1 2m 3m - 3.8 9.220．从2个黄球，3个红球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是______．三、解答题21．某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的60名学生，得到数据如下表：喜欢统计课程不喜欢统计课程合计男生201030女生102030合计303060（1）判断是否有99.5％的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关？（2）用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生作进一步调查，将这6名学生作为一个样本，从中任选3人，求恰有2个男生和1个女生的概率．下面的临界值表供参考：0.050.0250.0100.0050.0013.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++）22．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足．．的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.23．某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 (1)求y关于t的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝－．24．下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.附注：参考数据：，，，≈2.646.参考公式：相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：20,45的教师队伍中随机选取25．为了调查教师对教育改革认识水平，现从某市年龄在[]30,35,35,40,40,45中用100名教师，得到的频率分布直方图如图所示，若从年龄在[)[)[]分层抽样的方法选取6名教师代表．（1）求年龄在[)35,40中的教师代表人数；（2）在这6名教师代表中随机选取2名教师，求在[)35,40中至少有一名教师被选中的概率．26．某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x （单位：千万元）对年销售量y （单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用i x 与年销售量()1,2,,10i y i =L 的数据，得到散点图如图所示：（Ⅰ）利用散点图判断，y a bx =+和dy c x =⋅（其中c ，d 为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用x 和年销售量y 的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）；（Ⅱ）对数据作出如下处理：令ln i u x =，ln i y υ=，得到相关统计量的值如下表：根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，求y 关于x 的回归方程； （Ⅲ）已知企业年利润z （单位：千万元）与x ，y 的关系为27z y x e=-（其中2.71828e =L ），根据（Ⅱ）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u u u υυυL ，其回归直线u υαβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()1122211ˆnniii ii i nni i i i u u u nu u uu nuυυυυβ====---==--∑∑∑∑，ˆˆˆu αυβ=-【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：根据题意由13≤成立，则循环，即1331,2,,2222M a b n =+====;又由23≤成立，则循环，即28382,,,33323M a b n =+====;又由33≤成立，则循环，即3315815,,,428838M a b n =+====;又由43≤不成立，则出循环，输出158M =． 考点：算法的循环结构2．C解析：C 【解析】 【分析】分别求出③和④的巧板的面积，根据几何概型的概率关系转化为面积比. 【详解】设巧板①的边长为1，则结合图2可知大正方形的边长为3， 其面积239S ==.其中巧板③是底边长为2的等腰直角三角形， 其面积为112112S =⨯⨯=的正方形 与腰长为1的等腰直角三角形的组合图形，其面积为22151122S ⨯⨯+==， 故所求的概率12718S S P S +==. 故选:C .【点睛】本题考查几何概型的概率求法，转化为面积比，属于中档题 .3．A解析：A 【解析】 【分析】分别根据数据的平均数和方差的计算公式，求得2,x s 的值，即可得到答案． 【详解】由题意，根据平均数的计算公式，可得7050806070907050x ⨯+-+-==，设收集的48个准确数据分别记为1248,,,x x x L ， 则()()()()()2222212481757070706070907050x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦L ()()()2221248170707050050x x x L ⎡⎤=-+-++-+⎣⎦， ()()()()()222222124817070708070707050s x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦L ()()()222124817070701007550x x x ⎡⎤=-+-++-+<⎣⎦L ， 故275s <．选A ． 【点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记数据的平均数和方差的公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，数基础题．4．C解析：C 【解析】 【分析】令ln z y $=，求得,x z 之间的数据对照表，结合样本中心点的坐标满足回归直线方程，即可求得b ；再令5x =，即可求得预测值y . 【详解】将式子两边取对数，得到$ln 0.5y bx =+，令ln z y $=，得到0.5z bx =+， 根据已知表格数据，得到,x z 的取值对照表如下：12342.54x +++==，1346 3.54z +++==， 利用回归直线过样本中心点，即可得3.5 2.50.5b =+， 求得 1.2b =，则 1.20.5z x =+， 进而得到$ 1.2+0.5x y e =，将5x =代入， 解得136.52y e e ==.故选：C .【点睛】本题考查利用样本中心点坐标满足回归直线方程求参数值，以及由回归方程进行预测值得求解，属中档题.5．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意结合组合的知识可知，总的答案的个数为11个，而正确的答案只有1个，根据古典概型的计算公式，即可求得结果. 【详解】总的可选答案有：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ， ABC ，ABD ，ACD ，BCD ，ABCD ，共11个， 而正确的答案只有1个， 即得5分的概率为111p =. 故选：C. 【点睛】本题考查了古典概型的基本知识，关键是弄清一共有多少个备选答案，属于中档题.6．B解析：B 【解析】模拟执行程序，当3,1n i == ，n 是奇数，得10,2n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，5,3n i == ，不满足条件1n =，满足条件n 是奇数，16,4n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，8,5n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，4,6n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，2,7n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，1,8n i ==，满足条件1n =，输出8i =，选B.点睛：本题主要考查的知识点是循环结构的程序框图，当循环的次数不多或有规律时，常常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．7．B解析：B【解析】 【分析】根据互斥事件的定义，逐个判断，即可得出正确选项． 【详解】A 为三件产品全不是次品，指的是三件产品都是正品，B 为三件产品全是次品，C 为三件产品不全是次品，它包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件由此知：A 与B 是互斥事件；A 与C 是包含关系，不是互斥事件；B 与C 是互斥事件，故选B ． 【点睛】本题主要考查互斥事件定义的应用． 8．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】解：甲，乙，丙三人中任选两名代表有233C =种选法，甲被选中的情况有两种，所以甲被选中的概率23223P C ==，故选C. 9．A解析：A 【解析】2班共有8个数据，中间两个是9和10，因此中位数为9.5，只有A 符合，故选A ．（1班10个数据最大为22，最小为8，极差为14）．10．C解析：C 【解析】此题为几何概型．数对(,)i i x y 落在边长为1的正方形内，其中两数的平方和小于1的数落在四分之一圆内，概型为41m P n π==，所以4mnπ=．故选C ． 11．C解析：C 【解析】 【分析】根据框图的流程，依次计算前六次的运算结果，判断终止运行的n 值，再根据余弦函数的周期性计算即可. 【详解】由程序框图知：第一次运行()11cos 32f π==，10.1122S n =+=+=； 第二次运行()212cos32f π==-，12S =，213n =+=， 第三次运行()3cos 1f π==-，12S =，314n =+=， 第四次运行()414cos 32f π==-，12S =，415n =+=， 第五次运行()515cos32f π==，1S =，6n =， 第六次运行()6cos21f π==，2S =，7n =， 直到2016n =时，程序运行终止，Q 函数cos3n y π=是以6为周期的周期函数，201563355=⨯+， 又()()2016cos336cos 21381f ππ==⨯=，∴若程序运行2016次时，输出2336672S =⨯=，∴程序运行2015次时，输出33621671S =⨯-=．故选C ． 【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．12．D解析：D 【解析】试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第天）人数的平均数为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感染人数总数为，又由于方差大于，故这天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合.考点：众数、中位数、平均数、方差二、填空题13．【解析】从分别写有12345的5张卡片中随机抽取1张放回后再随机抽取1张基本事件总数n=5×5=25抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有： （21）（31）（32）（41）解析：25【解析】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张， 基本事件总数n=5×5=25， 抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4）， 共有m=10个基本事件，∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p=2.5故答案为25. 14．52【解析】由题意可知抽取的人数编号组成一个首项为7公差为15的等差数列则从这个数中应抽取的数是：故答案为52解析：52 【解析】由题意可知，抽取的人数编号组成一个首项为7，公差为15的等差数列， 则从4660~这15个数中应抽取的数是：715352+⨯=. 故答案为 52．15．【解析】【分析】连接可求得满足条件的事件是直线AP 与线段BC 有公共点根据几何概型的概率公式可得【详解】连接如图所示所以满足条件的事件是直线AP 在∠CAB 内且AP 与BC 相交即直线AP 与线段BC 有公共点解析：13【解析】 【分析】连接AC ，可求得CAB ∠，满足条件的事件是直线AP 与线段BC 有公共点，根据几何概型的概率公式可得CABP DAB∠=∠. 【详解】连接AC，如图所示，tan CB CAB AB ∠==，所以π6CAB ∠=， 满足条件的事件是直线AP 在∠CAB 内且AP 与BC 相交，即直线AP 与线段BC 有公共点，所以所求事件的概率π16π32CAB P DAB ∠===∠.故答案为：13.【点睛】本题考查几何概型的概率计算，考查学生的计算能力与推理能力，属于基础题.16．7【解析】【分析】模拟执行程序框图只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算直到达到输出条件即可得到输出的值【详解】由程序框图可知：则因此输出的为故答案为7【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图属解析： 7 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出a 的值. 【详解】由程序框图可知：9863a b =>=，359863,286335a b ∴←=-←=-， 73528,21287a b ∴←=-←=-，14217,72114a b ←=-←=-，7147a ←=-，则7a b ==，因此输出的a 为7，故答案为7. 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.17．【解析】分析：由题意首先确定样本中心点然后结合回归方程过样本中心点整理计算即可求得最终结果详解：由题意可得：回归方程过样本中心点则：即：整理可得：故答案为：270点睛：(1)正确理解计算的公式和准确解析：【解析】分析：由题意首先确定样本中心点，然后结合回归方程过样本中心点整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得：91412244c c x ++-+==，1848309644d dy ++++==， 回归方程过样本中心点，则：962236044d c ++=⨯-，即：()96322240d c +=+-， 整理可得：3270c d -=. 故答案为：270．点睛：(1)正确理解计算$,ba $的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键． (2)回归直线方程y bx a =+$$$必过样本点中心(),x y ．(3)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测．18．36【解析】执行程序可得；不满足条件执行循环体不满足条件执行循环体满足条件推出循环输出故答案为【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图属于中档题解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要解析：36 【解析】执行程序，可得0A =，1S =； 1k =，011A =+=，111S =⨯=，不满足条件4k >，执行循环体，3k =，134A =+=，144S =⨯=，不满足条件4k >，执行循环体，5k =，459A =+=，4936S =⨯=，满足条件4k >，推出循环，输出36S =,故答案为36．【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.19．3【解析】由题意可得：回归方程过样本中心点则：即：解得：点睛：(1)正确理解计算的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键(2)回归直线方程必过样本点中心(3)在分析两个变量的相关关系时可根据样本数据 解析：3 【解析】由题意可得：0135635x ++++== ，回归方程过样本中心点，则：=3354y ⨯-= ，即：()123 3.89.245m m ++-++= ，解得：3m = .点睛：(1)正确理解计算$,a b$的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键． (2)回归直线方程y bx a =+$$$必过样本点中心(),x y ．(3)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测．20．【解析】两球颜色不同的概率是解析：35【解析】两球颜色不同的概率是252363105C ⨯== 三、解答题21．(1)见解析;(2)35. 【解析】分析：（1）计算K 2的值，与临界值比较，即可得到结论；（2）确定样本中有4个男生，2个女生，利用列举法确定基本事件，即可求得结论． 详解：（1）由公式，所以没有99.5%的把握认为喜欢统计专业与性别有关．（2）设所抽样本中有m 个男生，则643020mm ，得==人， 所以样本中有4个男生，2个女生， 从中选出3人的基本事件数有20种 恰有两名男生一名女生的事件数有12种所以.点睛：(1)古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，他们是否是等可能的．(2)用列举法求古典概型，是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．(3)注意一次性抽取与逐次抽取的区别：一次性抽取是无顺序的问题，逐次抽取是有顺序的问题. 22．（Ⅰ）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i ）答案见解析；（ii ）67． 【解析】分析：（Ⅰ）由分层抽样的概念可知应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i ）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．且分布列为超几何分布，即P（X =k ）=34337C C C k k-⋅（k =0，1，2，3）．据此求解分布列即可，计算相应的数学期望为()127E X =．（ii）由题意结合题意和互斥事件概率公式可得事件A发生的概率为67．详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．P（X=k）=34337C CCk k-⋅（k=0，1，2，3）．所以，随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望()0123353535357E X=⨯+⨯+⨯+⨯=．（ii）设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A=B∪C，且B与C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=67．所以，事件A发生的概率为67．点睛：本题主要在考查超几何分布和分层抽样.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)nN=样本容量该层抽取的个体数总体的个数该层的个体数；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．23．（Ⅰ）ˆy＝0.5t＋2.3；（Ⅱ）预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.【解析】试题分析：（1）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b$的值，再求出$a的值，即可求出线性回归方程；（2）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t的值，即可预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.试题解析：（1）由已知得1(1234567)47t =⨯++++++=，1(2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9) 4.37y =⨯++++++=.721()941014928ii tt =-=++++++=∑，71()()(3)( 1.4)(2)(1)(1)(0.7)00.110.520.93 1.614ii i tt y y =--=-⨯-+-⨯-+-⨯-+⨯+⨯+⨯+⨯=∑121()()140.58)ˆ2(niii ni i t t y y bt t ==--===-∑∑，$ 4.30.54 2.3ay bt =-=-⨯=$ ∴所求回归方程为$0.5 2.3y t =+．（2）由（1）知，ˆ0.50b=>，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号9t =代入(1)中的回归方程，得$0.59 2.3 6.8y =⨯+=，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．24．(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)答案见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据相关系数的公式求出相关数据后，代入公式即可求得的值，最后根据值的大小回答即可；（Ⅱ）准确求得相关数据，利用最小二乘法建立y 关于t 的回归方程，然后预测．试题解析：（Ⅰ）由折线图中数据和附注中参考数据得，，，，.因为与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.（Ⅱ）由及（Ⅰ）得，.所以，关于的回归方程为：.将2016年对应的代入回归方程得：.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨. 【考点】线性相关系数与线性回归方程的求法与应用．【方法点拨】（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数公式求出，然后根据的大小进行判断．求线性回归方程时要严格按照公式求解，并一定要注意计算的准确性． 25．（1）2名；（2）35【解析】 【分析】（1）根据分层抽样的比例关系计算得到答案.（2）记在[)35,40中选取2名教师代表为a ，b ，其余的4名代表为A 、B 、C 、D ，列出所有情况和满足条件的情况，相除得到答案. 【详解】（1）由频率分布直方图得：年龄在[)30,35的教师有1000.06530⨯⨯=， 年龄在[)35,40的教师有1000.04520⨯⨯=， 年龄在[]40,45的教师有1000.02510⨯⨯=， 设年龄在[)35,40的教师代表人数为x ，则66020x =，∴2x = ∴从年龄在[)35,40中选取教师代表人数为2名；（2）记在[)35,40中选取2名教师代表为a ，b ，其余的4名代表为A 、B 、C 、D 从这6名教师中选2名教师的选法为： ab ，aA ，aB ，aC ，aD ， bA ，bB ，bC ，bD ， AB ，AC ，AD ， BC ，BD ， CD 以上共15种在[)35,40中至少有一名教师被选中的选法为： ab ，aA ，aB ，aC ，aD ， bA ，bB ，bC ，bD 以上9种在[)35,40中至少有一名教师被选中为事件A ，则()93155P A ==. ∴在[35，40）中至少有一名教师被选中的概率为35. 【点睛】本题考查了频率直方图，分层抽样，概率的计算，意在考查学生的综合应用能力. 26．（Ⅰ）由散点图知，选择回归类型y c x α=⋅更适合； （Ⅱ）13y e x =⋅；（Ⅲ）要使年利润取最大值，预计下一年度投入27千万元. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据散点图的特点可知，相关关系更接近于幂函数类型； （Ⅱ）根据所给数据，代入公式求得回归直线的方程；（Ⅲ）先求出年利润的表达式，结合不等式特点利用导数可得最值. 【详解】（Ⅰ）由散点图知，选择回归类型dy c x =⋅更适合．（Ⅱ）对dy c x =⋅两边取对数，得ln ln ln y c d x =+，即ln v c du =+ 由表中数据得： 1.5u v ==，∴()()()1122221130.510 1.5 1.5146.510 1.53ˆn niii i i i nni ii i u u v v u v nuvdu u unu ====----⨯⨯====-⨯--∑∑∑∑，∴1ln 1.5 1.51,3ˆc v duc e =-=-⨯=∴=， ∴年研发费用x 与年销售量y 的回归方程为13y e x =⋅. (Ⅲ)由（Ⅱ）知，13()27z x x x =-， ∴23()91z x x-='-，令23()910z x x --'==，得27x =，且当(0,27)x ∈时，()0z x '>,()z x 单调递增； 当(27,)x ∈+∞时，()0z x '<,()z x 单调递减．所以当27x =千万元时，年利润z 取得最大值，且最大值为(27)54z =千万元. 答：要使年利润取最大值，预计下一年度投入27千万元. 【点睛】本题主要考查非线性回归方程的求解及决策判断，非线性回归方程一般是转化为线性回归方程求解，侧重考查数学建模和数据分析的核心素养.。
高二上学期期中考试数学试题(带答案)
高二上学期期中考试数学试题(带答案)高二上学期期中考试数学试题（带答案）注：题号后（A）表示1-7班必做，（B）表示8班必做。
）完卷时间：120分钟，总分：150分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.设$a,b,c\in R$，且$a>b$，则（）A．$ac>bc$B．$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$C．$a^2>b^2$D．$a^3>b^3$2.已知数列$\{a_n\}$是公差为2的等差数列，且$a_1,a_2,a_5$成等比数列，则$a_2=$（）A．$-2$B．$-3$C．$2$D．$3$3.已知集合$A=\{x\in R|x^2-4x-12<0\},B=\{x\in R|x<2\}$，则$A\cap B=$（）A．$\{x|x<6\}$B．$\{x|-2<x<2\}$C．$\{x|x>-2\}$D．$\{x|2\leq x<6\}$4.若变量$x,y$满足约束条件$\begin{cases}x+y\leq 4\\x\geq 1\end{cases}$，则$z=2x+y$的最大值和最小值分别为（）A．4和3B．4和2C．3和2D．2和55.已知等比数列$\{a_n\}$的前三项依次为$a-1,a+1,a+4$，则$a_n=$A．$4\cdot (\frac{3}{2})^{n-1}$B．$4\cdot (\frac{2}{3})^{n-1}$C．$4\cdot (\frac{3}{2})^{n-2}$D．$4\cdot (\frac{2}{3})^{n-2}$6.在$\triangle ABC$中，边$a,b,c$的对角分别为$A,B,C$，且$\sin^2 A+\sin^2 C-\sin A\sin C=\sin^2 B$。
2023-2024学年湖北省部分省级示范高中高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年湖北省部分省级示范高中高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知点A （2，0），B （0，4），若过P （﹣6，﹣8）的直线l 与线段AB 相交，则实数k 的取值范围为（ ） A ．k ≤1B ．k ≥2C ．k ≥2或k ≤1D ．1≤k ≤22．圆 C 1：（x +2）2+（y ﹣2）2＝4和圆C 2：（x ﹣2）2+（y ﹣5）2＝16的位置关系是（ ） A ．外离B ．相交C ．内切D ．外切3．若圆C 经过点A （2，5），B （4，3），且圆心在直线l ：3x ﹣y ﹣3＝0 上，则圆C 的方程为（ ） A ．（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝4 B ．（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝8 C ．（x ﹣3）2+（y ﹣6）2＝2D ．（x ﹣3）2+（y ﹣6）2＝104．已知直线ax +3y +2a ＝0和2x +（a +1）y ﹣2＝0平行，则实数a 的值等于（ ） A ．a ＝2或a ＝﹣3B ．a ＝2C ．a ＝﹣3D ．a ＝﹣2或a ＝35．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1，B 1D 1的交点．若AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，则向量BM →=（ ）A ．−12a →+12b →+c →B ．12a →+12b →+c →C ．−12a →−12b →+c →D ．12a →−12b →+c →6．若椭圆x 29+y 24=1的弦AB 被点P （1，1）平分，则AB 所在直线的方程为（ ）A ．4x +9y ﹣13＝0B ．9x +4y ﹣13＝0C ．x +2y ﹣3＝0D ．x +3y ﹣4＝07．若直线l ：kx ﹣y ﹣2＝0与曲线C ：√1−(y −1)2=x ﹣1有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．k ＞43B ．43＜k ≤2C ．43＜k ≤2或−2≤k ＜−43D ．43＜k ≤48．吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种埙的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆．半椭圆y 2a 2+x 2b 2=1（y ≥0，a ＞b ＞0且为常数）和半圆x 2+y 2＝b 2（y ＜0）组成的曲线C 如图2所示，曲线C 交x 轴的负半轴于点A ，交y 轴的正半轴于点G ，点M 是半圆上任意一点，当点M 的坐标为(√22，−12)时，△AGM 的面积最大，则半椭圆的方程是（ ）A ．4x 23+y 22=1(y ≥0)B ．16x 29+y 23=1(y ≥0)C ．2x 23+4y 23=1(y ≥0)D ．4x 23+2y 23=1(y ≥0)二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有2个或2个以上选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．下面结论正确的是（ ）A ．若事件A 与B 是互斥事件，则A 与B 也是互斥事件 B ．若事件A 与B 是相互独立事件，则A 与B 也是相互独立事件C ．若P （A ）＝0.6，P （B ）＝0.2，A 与B 相互独立，那么P （A +B ）＝0.8D ．若P （A ）＝0.8，P （B ）＝0.7，A 与B 相互独立，那么P(AB)=0.2410．已知直线l ：kx ﹣y ﹣k ＝0，圆M ：x 2+y 2+Dx +Ey +1＝0的圆心坐标为（2，1），则下列说法正确的是（ ） A ．直线l 恒过点（0，1）B ．D ＝﹣4，E ＝﹣2C ．直线l 被圆M 截得的最短弦长为2√2D ．当k ＝1时，圆M 上存在无数对点关于直线l 对称 11．设椭圆x 29+y 23=1的右焦点为F ，直线y =m(0＜m ＜√3)与椭圆交于A ，B 两点，则（ ） A ．|AF |+|BF |＝6B ．△ABF 的周长的取值范围是[6，12]C ．当m ＝1时，△ABF 的面积为√6D ．当m =√32时，△ABF 为直角三角形12．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点P 为平面ABCD 内一动点，则下列说法正确的是（ ） A ．若点P 在棱AD 上运动，则A 1P +PC 的最小值为2+2√2B ．若点P 是棱AD 的中点，则平面PBC 1截正方体所得截面的周长为2√5+3√2C ．若点P 满足PD 1⊥DC 1，则动点P 的轨迹是一条直线 D ．若点P 在直线AC 上运动，则P 到棱BC 1的最小距离为2√33三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡上相应位置的横线上.） 13．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆x 2+y 2＝16内的概率是 ．14．已知两点A （﹣3，﹣4），B （6，3）到直线l ：ax +y +1＝0的距离相等，则实数a 的值等于 ． 15．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知A （1，0），B （4，0），若动点P 满足|PA||PB|=12，设点P 的轨迹为C ，过点（1，2）作直线l ，C 上恰有三个点到直线l 的距离为1，则满足条件的一条直线l 的方程为 ． 16．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，A 是椭圆的下顶点，直线AF 2交椭圆于另一点P ，若|PF 1|＝|P A |，则椭圆的离心率为 ．四、解答题（本大题共6小题，第17小题10分，其余各小题每题12分，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（10分）甲、乙两名魔方爱好者在30秒内复原魔方的概率分别是0.8和0.6．如果在30秒内将魔方复原称为“复原成功”，且每次复原成功与否相互之间没有影响，求：（1）甲复原三次，第三次才成功的概率；（2）甲、乙两人在第一次复原中至少有一人成功的概率． 18．（12分）已知△ABC 中，A （﹣2，1），B （4，3）．（1）若C （3，﹣2），求BC 边上的高AD 所在直线的一般式方程； （2）若点M （3，1）为边AC 的中点，求BC 边所在直线的一般式方程．19．（12分）如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝AA 1＝2，点E 在AB 上，且AE ＝1． （1）求直线A 1E 与BC 1所成角的余弦值； （2）求点B 到平面A 1EC 的距离．20．（12分）已知点A （1，2），圆C ：x 2+y 2+2mx +2y +2＝0． （1）若过点A 可以作两条圆的切线，求m 的取值范围；（2）当m ＝﹣2时，过直线2x ﹣y +3＝0上一点P 作圆的两条切线PM 、PN ，求四边形PMCN 面积的最小值．21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F(√3，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设经过点A （1，0）的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ．若点B （0，1）在以线段MN 为直径的圆上，求直线l 的方程．22．（12分）如图1，已知ABFE 是直角梯形，EF ∥AB ，∠ABF ＝90°，∠BAE ＝60°，C 、D 分别为BF 、AE 的中点，AB ＝5，EF ＝1，将直角梯形ABFE 沿CD 翻折，使得二面角F ﹣DC ﹣B 的大小为60°，如图2所示，设N 为BC 的中点．（1）证明：FN ⊥AD ；（2）若M 为AE 上一点，且AMAE =λ，则当λ为何值时，直线BM 与平面ADE 所成角的正弦值为5√714．2023-2024学年湖北省部分省级示范高中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知点A （2，0），B （0，4），若过P （﹣6，﹣8）的直线l 与线段AB 相交，则实数k 的取值范围为（ ） A ．k ≤1B ．k ≥2C ．k ≥2或k ≤1D ．1≤k ≤2解：过P （﹣6，﹣8）的直线l 与线段AB 相交，如图所示：可得k AP ≤k ≤k PB ， 即0−(−8)2−(−6)≤k ≤4−(−8)0−(−6)，即k ∈[1，2]．故选：D ．2．圆 C 1：（x +2）2+（y ﹣2）2＝4和圆C 2：（x ﹣2）2+（y ﹣5）2＝16的位置关系是（ ） A ．外离B ．相交C ．内切D ．外切解：两个圆的圆心分别为 C 1（﹣2，2）、C 2：（2，5），半径分别为2、4，两圆的圆心距 C 1C 2=√(2+2)2+(5−2)2=5，大于半径之差而小于半径之和，故两个圆相交， 故选：B ．3．若圆C 经过点A （2，5），B （4，3），且圆心在直线l ：3x ﹣y ﹣3＝0 上，则圆C 的方程为（ ） A ．（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝4 B ．（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝8 C ．（x ﹣3）2+（y ﹣6）2＝2D ．（x ﹣3）2+（y ﹣6）2＝10解：圆C 经过点A （2，5），B （4，3），可得线段AB 的中点为（3，4），又 k AB =5−32−4=−1，所以线段AB 的中垂线的方程为y ﹣4＝x ﹣3，即x ﹣y +1＝0． 由{x −y +1=03x −y −3=0，解得{x =2y =3，即C （2，3），圆C 的半径 r =√(2−2)2+(5−3)2=2， 所以圆C 的方程为 （x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝4． 故选：A ．4．已知直线ax +3y +2a ＝0和2x +（a +1）y ﹣2＝0平行，则实数a 的值等于（ ） A ．a ＝2或a ＝﹣3B ．a ＝2C ．a ＝﹣3D ．a ＝﹣2或a ＝3解：由直线ax +3y +2a ＝0和2x +（a +1）y ﹣2＝0平行， 可得{a(a +1)=2×33×(−2)≠2a(a +1)，解得a ＝2或a ＝﹣3．故选：A ．5．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1，B 1D 1的交点．若AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，则向量BM →=（ ）A ．−12a →+12b →+c →B ．12a →+12b →+c →C ．−12a →−12b →+c →D ．12a →−12b →+c →解：∵在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1，B 1D 1的交点． AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，∴向量BM →=BB 1→+12B 1D 1→=BB 1→+12(BA →+AD →) =−12a →+12b →+c →．故选：A ． 6．若椭圆x 29+y 24=1的弦AB 被点P （1，1）平分，则AB 所在直线的方程为（ ）A ．4x +9y ﹣13＝0B ．9x +4y ﹣13＝0C ．x +2y ﹣3＝0D ．x +3y ﹣4＝0解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则{x 129+y 124=1x 229+y 224=1，所以x 12−x 229+y 12−y 224=0，整理得y 1−y 2x 1−x 2=−4(x 1+x 2)9(y 1+y 2)，因为P （1，1）为弦AB 的中点，所以x 1+x 2＝2，y 1+y 2＝2， 所以k AB =y 1−y2x 1−x 2=−4(x 1+x 2)9(y 1+y 2)=−49，所以弦AB 所在直线的方程为y −1=−49(x −1)，即4x +9y ﹣13＝0． 故选：A ．7．若直线l ：kx ﹣y ﹣2＝0与曲线C ：√1−(y −1)2=x ﹣1有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．k ＞43B ．43＜k ≤2C ．43＜k ≤2或−2≤k ＜−43D ．43＜k ≤4解：直线l ：kx ﹣y ﹣2＝0恒过定点（0，﹣2），∵√1−(y −1)2=x −1，得到（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1（x ≥1），∴曲线C 表示以点（1，1）为圆心，半径为1，且位于直线x ＝1右侧的半圆（包括点（1，2），（1，0）），如下图所示：当直线l 经过点（1，0）时，l 与曲线C 有两个不同的交点，此时k ＝2； 当l 与半圆相切时，则由题可得√k 2+1=1，解得k =43，由图可知，当43＜k ≤2时，l 与曲线C 有两个不同的交点． 故选：D ．8．吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种埙的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆．半椭圆y 2a 2+x 2b 2=1（y ≥0，a ＞b ＞0且为常数）和半圆x 2+y 2＝b 2（y ＜0）组成的曲线C 如图2所示，曲线C 交x 轴的负半轴于点A ，交y 轴的正半轴于点G ，点M 是半圆上任意一点，当点M 的坐标为(√22，−12)时，△AGM 的面积最大，则半椭圆的方程是（ ）A ．4x 23+y 22=1(y ≥0)B ．16x 29+y 23=1(y ≥0)C ．2x 23+4y 23=1(y ≥0)D ．4x 23+2y 23=1(y ≥0)解：由点M(√22，−12)在半圆上，所以b =√32，G （0，a ），A （﹣b ，0）， 要使△AGM 的面积最大，可平行移动AG ，当AG 与半圆相切于M(√22，−12)时，M 到直线AG 的距离最大， 此时OM ⊥AG ，即k OM •k AG ＝﹣1； 又k OM =−12√22=−√22，k AG =a b ，∴−√22⋅a b =−1，∴a =√2b =√62，所以半椭圆的方程为4x 23+2y 23=1(y ≥0)．故选：D ．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有2个或2个以上选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．下面结论正确的是（ ）A ．若事件A 与B 是互斥事件，则A 与B 也是互斥事件 B ．若事件A 与B 是相互独立事件，则A 与B 也是相互独立事件C ．若P （A ）＝0.6，P （B ）＝0.2，A 与B 相互独立，那么P （A +B ）＝0.8D ．若P （A ）＝0.8，P （B ）＝0.7，A 与B 相互独立，那么P(AB)=0.24解：A 中，由互斥事件的定义可知，事件A 、B 互斥，则A 与B 也是互斥事件不成立， 比如事件A 、B 是对立事件，则A 与B 是同一事件，显然不互斥，故A 错误； B 中，若A 与B 相互独立，则A 与B ，B 与A ，A 与B 都是相互独立事件，故B 正确；C 中，如果A 与B 相互独立，则P （A +B ）＝P （A ）+P （B ）﹣P （AB ）＝0.8﹣0.12＝0.68，故C 错误；D 中，如果A 与B 相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)=P(A)(1−P(B))=0.8×(1−0.7)=0.24，故D 正确． 故选：BD ．10．已知直线l ：kx ﹣y ﹣k ＝0，圆M ：x 2+y 2+Dx +Ey +1＝0的圆心坐标为（2，1），则下列说法正确的是（ ） A ．直线l 恒过点（0，1） B ．D ＝﹣4，E ＝﹣2C ．直线l 被圆M 截得的最短弦长为2√2D ．当k ＝1时，圆M 上存在无数对点关于直线l 对称解：对于A ，直线l ：kx ﹣y ﹣k ＝0⇒k （x ﹣1）﹣y ＝0，恒过点（1，0），所以A 不正确；对于B ，圆M ：x 2+y 2+Dx +Ey +1＝0的圆心坐标为(−D2，−E2)，所以D ＝﹣4，E ＝﹣2，所以B 正确； 对于C ，圆M ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0⇒（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝4的圆心坐标为（2，1），圆的半径为2． 直线l ：kx ﹣y ﹣k ＝0，恒过点（1，0），圆的圆心到定点的距离为：√12+12=√2＜2，直线与圆相交， 直线l 被圆M 截得的最短弦长为2√4−2=2√2，所以C 正确；对于D ，当k ＝1时，直线方程为：x ﹣y ﹣1＝0，经过圆的圆心，所以圆M 上存在无数对点关于直线l 对称，所以D 正确． 故选：BCD ． 11．设椭圆x 29+y 23=1的右焦点为F ，直线y =m(0＜m ＜√3)与椭圆交于A ，B 两点，则（ ） A ．|AF |+|BF |＝6B ．△ABF 的周长的取值范围是[6，12]C ．当m ＝1时，△ABF 的面积为√6D ．当m =√32时，△ABF 为直角三角形解：∵椭圆方程为x 29+y 23=1，∴a ＝3，b =√3，c =√6，设椭圆的左焦点为F '，则|AF '|＝|BF |，∴|AF |+|BF |＝|AF |+|AF '|＝2a ＝6，∴A 选项正确； ∵△ABF 的周长为|AB |+|AF |+|BF |，又|AF |+|BF |＝6，易知|AB |的范围是（0，6）， ∴△ABF 的周长的范围是（6，12），∴B 选项错误；将y ＝1与椭圆方程联立，解得A(−√6，1)，B(√6，1)，∴S △ABF =12×2√6×1=√6，∴C 选项正确；将y =√32与椭圆方程联立，可解得A(−3√32，√32)，B(3√32，√32)，又易知F(√6，0)， ∴AF →⋅BF →=(√6+3√32)(√6−3√32)+(√32)2=0，∴△ABF 为直角三角形，∴D 选项正确． 故选：ACD ．12．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点P 为平面ABCD 内一动点，则下列说法正确的是（ ） A ．若点P 在棱AD 上运动，则A 1P +PC 的最小值为2+2√2B ．若点P 是棱AD 的中点，则平面PBC 1截正方体所得截面的周长为2√5+3√2C ．若点P 满足PD 1⊥DC 1，则动点P 的轨迹是一条直线D ．若点P 在直线AC 上运动，则P 到棱BC 1的最小距离为2√33解：对于A ：如图将平面ABCD 展开与平面ADD 1A 1处于一个平面，连接A 1C 与AD 交于点P ， 此时A 1P +PC 取得最小值，即(A 1P +PC)min =√22+42=2√5，故A 错误；对于B ：如图取DD 1的中点E ，连接BP 、PE 、C 1E 、AD 1， 因为点P 是棱AD 的中点，所以PE ∥AD 1且PE =12AD 1，又AB ∥C 1D 1且AB ＝C 1D 1，所以四边形ABC 1D 1为平行四边形，所以AD 1∥BC 1， 所以PE ∥BC 1，所以四边形EPBC 1即为平面PBC 1截正方体所得截面， 又BC 1=2√2，PE =12AD 1=√2，BP =EC 1=√12+22=√5， 所以截面周长为3√2+2√5，故B 正确；对于C ：如图，DC 1⊥D 1C ，BC ⊥平面DCC 1D 1，DC 1⊂平面DCC 1D 1， 所以DC 1⊥BC ，又D 1C ∩BC ＝C ，D 1C ，BC ⊂平面BCD 1A 1， 所以DC 1⊥平面BCD 1A 1，因为平面ABCD ∩平面BCD 1A 1＝BC ， D 1∈平面BCD 1A 1，P ∈平面ABCD ，又PD 1⊥DC 1，所以P 在直线BC 上，即动点P 的轨迹是一条直线，故C 正确；对于D ：如图建立空间直角坐标系，则B （2，2，0），C 1（0，2，2），设P （a ，2﹣a ，0）（a ∈[0，2]）， 所以BC 1→=(−2，0，2)，BP →=(a −2，−a ，0)， 所以P 到棱BC 1的距离d =√|BP →|2−(BC 1→⋅BP →|BC 1→|)2=√32a 2−2a +2=√32(a −23)2+43，所以当a =23时d min =√43=2√33，故D 正确．故选：BCD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡上相应位置的横线上.） 13．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆x 2+y 2＝16内的概率是29．解：由题意知，本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的坐标，共有6×6＝36种结果， 而满足条件的事件是点P 落在圆x 2+y 2＝16内，列举出落在圆内的情况：（1，1）（1，2）（1，3） （2，1）（2，2）（2，3）（3，1）（3，2），共有8种结果， 根据古典概型概率公式得到P =836=29， 故答案为：2914．已知两点A （﹣3，﹣4），B （6，3）到直线l ：ax +y +1＝0的距离相等，则实数a 的值等于 −79或−13． 解：∵两点A （﹣3，﹣4），B （6，3）到直线l ：ax +y +1＝0的距离相等， ∴√a 2+1=√a 2+1，化为|3a +3|＝|6a +4|．∴6a +4＝±（3a +3），解得a =−79或−13． 故答案为：a =−79或−13．15．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知A （1，0），B （4，0），若动点P 满足|PA||PB|=12，设点P 的轨迹为C ，过点（1，2）作直线l ，C 上恰有三个点到直线l 的距离为1，则满足条件的一条直线l 的方程为 x ＝1或3x ﹣4y +5＝0（写出一条即可） ． 解：因为A （1，0），B （4，0），点P 满足|PA||PB|=12，设P （x ，y ），则2222=12，化简得x 2+y 2＝4，因为圆C 上恰有三个点到直线l 的距离为1，所以圆心到直线的距离为1． 若直线l 的斜率不存在，直线l 的方程为x ＝1；若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ﹣2＝k （x ﹣1），即kx ﹣y ﹣k +2＝0， d =|−k+2|√k +1=1，解得k =34，直线l 的方程为：3x ﹣4y +5＝0．故答案为：x ＝1或3x ﹣4y +5＝0（写出一条即可）．16．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，A 是椭圆的下顶点，直线AF 2交椭圆于另一点P ，若|PF 1|＝|P A |，则椭圆的离心率为 √33解：如图所示，∵点P 在椭圆上，∴|PF 1|+|PF 2|＝2a ， ∵点A 是椭圆的下顶点，∴|AF 1|＝|AF 2|＝a ，又∵|PF 1|＝|P A |＝|PF 2|+|AF 2|＝|PF 2|+a ＝2a ﹣|PF 1|+a ＝3a ﹣|PF 1|， ∴|PF 1|=3a 2，|PF 2|=12a ， 在△PF 1A 中，|PF 1|=3a 2，|P A |=3a2，|AF 1|＝a ， 由余弦定理可得：cos ∠F 1AP =|AF 1|2+|PA|2−|PF 1|22|AF 1||AP|=13，∴sin 2∠F 1AO =1−cos∠F 1AP 2=13， ∴sin ∠F 1AO =√33，又∵sin ∠F 1AO =ca ， ∴离心率e =ca =√33， 故答案为：√33．四、解答题（本大题共6小题，第17小题10分，其余各小题每题12分，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（10分）甲、乙两名魔方爱好者在30秒内复原魔方的概率分别是0.8和0.6．如果在30秒内将魔方复原称为“复原成功”，且每次复原成功与否相互之间没有影响，求：（1）甲复原三次，第三次才成功的概率；（2）甲、乙两人在第一次复原中至少有一人成功的概率．解：记“甲第i 次复原成功”为事件A i ，“乙第i 次复原成功”为事件B i ， 依题意，P （A i ）＝0.8，P （B i ）＝0.6．（1）“甲第三次才成功”为事件A 1A 2A 3，且三次复原过程相互独立， 所以，P(A 1A 2A 3)=P(A 1)P(A 2)P(A 3)=0.2×0.2×0.8=0.032． （2）“甲、乙两人在第一次复原中至少有一人成功”为事件C ． 所以P(C)=1−P(A 1⋅B 1)=1−P(A 1)⋅P(B 1)=1−0.2×0.4=0.92． 18．（12分）已知△ABC 中，A （﹣2，1），B （4，3）．（1）若C （3，﹣2），求BC 边上的高AD 所在直线的一般式方程； （2）若点M （3，1）为边AC 的中点，求BC 边所在直线的一般式方程．解：（1）因为B （4，3），C （3，﹣2）， 所以k BC =−2−33−4=5， 因为AD 是BC 边上的高， 所以k AD ⋅k BC =−1⇒k AD =−15，所以高AD 所在直线的方程为y −1=−15(x +2)⇒x +5y −3=0； （2）因为点M （3，1）为边AC 的中点，所以{3=−2+C x21=1+C y 2⇒C(8，1)，因此BC 边所在直线的方程为y−33−1=x−44−8⇒x +2y −10=0．19．（12分）如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝AA 1＝2，点E 在AB 上，且AE ＝1． （1）求直线A 1E 与BC 1所成角的余弦值； （2）求点B 到平面A 1EC 的距离．解：（1）由题意，建立如图所示空间直角坐标系，A 1(2，0，2)，E(2，1，0)，A 1E →=(0，1，−2)，B(2，3，0)，C 1(0，3，2)，BC 1→=(−2，0，2)， 设直线A 1E 与直线BC 1所成角为α，则cosα=|A 1E →⋅BC 1→|A 1E →|⋅|BC 1→||=5×22=√105．（2）由题意C(0，3，0)，EC →=(−2，2，0)， 设平面A 1EC 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅A 1E →=y −2z =0n →⋅EC →=−2x +2y =0，取n →=(2，2，1)，又BE →=(0，−2，0)，所以B 到平面A 1EC 的距离为|n →⋅BE →|n →||=|−43|=43．20．（12分）已知点A （1，2），圆C ：x 2+y 2+2mx +2y +2＝0． （1）若过点A 可以作两条圆的切线，求m 的取值范围；（2）当m ＝﹣2时，过直线2x ﹣y +3＝0上一点P 作圆的两条切线PM 、PN ，求四边形PMCN 面积的最小值．解：（1）由题意得A （1，2）在圆外， 则1+4+2m +6＞0，即m ＞−112， 又4m 2+4﹣8＞0，即m ＞1或m ＜﹣1， 所以−112＜m ＜−1或m ＞1；故m 的取值范围为（−112，﹣1）∪（1，+∞）； （2）m ＝﹣2时，圆方程为（x ﹣2）2+（y +1）2＝3， 则圆的半径r =√3，圆心C （2，﹣1），∴S 四边形PMCN =|PM|⋅r =√3|PM|=√3⋅√|PC|2−r 2=√3⋅√|PC|2−3． 直线方程为2x ﹣y +3＝0，设圆心（2，﹣1）到直线2x ﹣y +3＝0的距离为d ，∴|PC|min =d =|2×2−(−1)+3|5=85，∴(S 四边形PMCN )min =√3√645−3=√3√495=75√15． 21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F(√3，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设经过点A （1，0）的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ．若点B （0，1）在以线段MN 为直径的圆上，求直线l 的方程．解：（1）由题可知c =√3，ab =2，a 2＝b 2+c 2，∴a ＝2，b ＝1．∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．（2）易知当直线l 的斜率为0或直线l 的斜率不存在时，不合题意．当直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为x ＝my +1，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）． 联立{x =my +1x 2+4y 2=4，消去x ，可得（4+m 2）y 2+2my ﹣3＝0． Δ＝16m 2+48＞0，y 1+y 2=−2m 4+m 2，y 1y 2=−34+m 2． ∵点B 在以MN 为直径的圆上，∴BM →⋅BN →=0．∵BM →⋅BN →=(my 1+1，y 1−1)⋅(my 2+1，y 2−1)=（m 2+1）y 1y 2+（m ﹣1）（y 1+y 2）+2＝0， ∴(m 2+1)⋅−34+m 2+(m −1)⋅−2m4+m 2+2=0， 整理，得3m 2﹣2m ﹣5＝0， 解得m ＝﹣1或m =53．∴直线l 的方程为x +y ﹣1＝0或3x ﹣5y ﹣3＝0．22．（12分）如图1，已知ABFE 是直角梯形，EF ∥AB ，∠ABF ＝90°，∠BAE ＝60°，C 、D 分别为BF 、AE 的中点，AB ＝5，EF ＝1，将直角梯形ABFE 沿CD 翻折，使得二面角F ﹣DC ﹣B 的大小为60°，如图2所示，设N 为BC 的中点．（1）证明：FN ⊥AD ；（2）若M 为AE 上一点，且AM AE=λ，则当λ为何值时，直线BM 与平面ADE 所成角的正弦值为5√714． 解：（1）证明：如图1，已知ABFE 是直角梯形，EF ∥AB ，∠ABF ＝90°，∠BAE ＝60°，C 、D 分别为BF 、AE 的中点，AB ＝5，EF ＝1，将直角梯形ABFE 沿CD 翻折，使得二面角F ﹣DC ﹣B 的大小为60°，如图2所示，设N 为BC 的中点．∵由图1得：DC ⊥CF ，DC ⊥CB ，且CF ∩CB ＝C ，∴在图2中DC ⊥平面BCF ，∠BCF 是二面角F ﹣DC ﹣B 的平面角，则∠BCF ＝60°， ∴△BCF 是正三角形，且N 是BC 的中点，FN ⊥BC ， 又DC ⊥平面BCF ，FN ⊂平面BCF ，可得FN ⊥CD ， ∵BC ∩CD ＝C ，BC ，CD ⊂平面ABCD ． ∴FN ⊥平面ABCD ，∵AD ⊂平面ABCD ，∴FN ⊥AD ．（2）∵FN ⊥平面ABCD ，过点N 做AB 平行线NP ，∴以点N 为原点，NP ，NB 、NF 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系N ﹣xyz ，如图，则A(5，√3，0)，B(0，√3，0)，D(3，−√3，0)，E （1，0，3）， 设M （x 0，y 0，z 0）则AM →=(x 0−5，y 0−√3，z 0)，AE →=(−4，−√3，3)， AD →=(−2，−2√3，0)，DE →=(−2，√3，3)．∵AM →=λAE →，∴{x 0−5=−4λy 0=√3−√3λz 0=3λ⇒{x 0=5−4λy 0=√3−√3λz 0=3λ．∴M(5−4λ，√3−√3λ，3λ)，∴BM →=(5−4λ，−√3λ，3λ)， 设平面ADE 的法向量为n →=(x ，y ，z)则{n →⋅AD →=0n →⋅DE →=0⇒{−2x −2√3y =0−2x +√3y +3z =0，取x =√3，得n →=(√3，−1，√3)， 设直线BM 与平面ADE 所成角为θ， ∴sinθ=|cos〈n →，BM →〉|=|n →⋅BM →||n →|⋅|BM →|=5√3√3+1+3⋅√28λ−40λ+25=5√714，∴28λ2﹣40λ+13＝0，解得λ=12或λ=1314． 故当λ为12或1314时，直线BM 与平面ADE 所成角的正弦值为5√714．。
2023-2024学年河南省南阳市高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年河南省南阳市高二（上）期中数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知直线l 过点（2，3），且倾斜角为90°，则直线l 的方程为（ ） A ．﹣x +y ＝1B ．x +y ﹣5＝0C ．y ＝3D ．x ＝22．二次函数y ＝ax 2（a ≠0）的图像为抛物线，其准线方程为（ ） A ．x =−14aB ．x =−a 4C ．y =−14aD ．y =−a 43．已知三条直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，倾斜角分别为α，β，γ．若α＜β＜γ，则下列关系不可能成立的是（ ） A ．k 3＜k 1＜k 2B ．k 1＜k 2＜k 3C ．k 2＜k 3＜k 1D ．k 3＜k 2＜k 14．国家体育场（鸟巢），是2008年北京奥运会的主体育场．在《通用技术》课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm ，短轴长为20cm ，小椭圆的短轴长为10cm ，则小椭圆的长轴长为（ ）cm ．A ．30B ．20C ．10√3D ．105．直线y ＝kx +1与椭圆x 24+y 2m=1总有公共点，则m 的取值范围是（ ）A ．（0，1）∪（1，+∞）B ．[1，4）∪（4，+∞）C ．（0，1）∪（1，4）D ．（1，+∞）6．已知△ABC 的顶点在抛物线y 2＝4x 上，若抛物线的焦点F 恰好是△ABC 的重心，则|F A |+|FB |+|FC |的值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．67．已知实数x 、y 满足x 2+y 2＝1，则|2x +y ﹣5|的最小值是（ ） A ．√5−1B ．√5+1C ．5−√5D ．5+√58．如图，加斯帕尔•蒙日是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆（或双曲线）上两条相互垂直的切线的交点P 的轨迹方程为圆，该圆称为外准圆，也叫蒙日圆．双曲线C ：x 24−y 2=1的蒙日圆的面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．已知直线l 1：ax +2y ﹣1＝0和直线l 2：x +（a +1）y ﹣1＝0，下列说法不正确的是（ ） A ．当a ＝﹣2或1时，l 1∥l 2 B ．当a =−23时，l 1⊥l 2C ．直线l 1过定点（0，1），直线l 2过定点（1，0）D ．当l 1，l 2平行时，两直线的距离为√2 10．已知方程x 27−t +y 23+t=1表示的曲线为C ，则下列四个结论中正确的是（ ）A ．当﹣3＜t ＜7时，曲线C 是椭圆B ．当t ＞7或t ＜﹣3时，曲线C 是双曲线 C ．若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则﹣3＜t ＜2D ．若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，则t ＞7 11．P 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上的一点，O 为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）A ．c ≤|OP |≤aB ．若∠F 1PF 2＝60°，则S △F 1PF 2=√3b 2C ．若存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，则椭圆C 的离心率e ∈[√22，1)D ．若PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2|=b2a12．已知F 是抛物线C ：y 2＝2px 的焦点，直线AB 经过点F 交抛物线于A 、B 两点，则下列说法正确的是（ ）A ．以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 B ．若AF →=2FB →，则直线AB 的斜率k ＝3C ．弦AB 的中点M 的轨迹为一条抛物线，其方程为y 2＝2px ﹣p 2D ．若p ＝4，则|AF |+4|BF |的最小值为18三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．请写出一个焦点在y 轴上，焦距为2的椭圆的标准方程 ．14．P 、Q 分别是圆E ：（x +9）2+（y +4）2＝1与圆F ：（x ﹣1）2+（y ﹣3）2＝1上的动点，A 为直线y ＝x 上的动点，则|AP |+|AQ |的最小值为 ． 15．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的焦点与椭圆x 281+y 272=1的焦点重合，离心率互为倒数，设F 1、F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，P 为右支上任意一点，则双曲线C 的离心率为 ；|PF 1|2|PF 2|的最小值为 ．16．参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点．他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为1个单位长度，在球的右上方有一个灯泡P （当成质点），灯泡与桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为A ，影子椭圆的右顶点到A 点的距离为3个单位长度，则这个影子椭圆的离心率e ＝ ．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）在平行四边形ABCD 中，A （﹣2，1），B （1，7），D （1，﹣2），点E 是线段CD 的中点． （1）求直线CD 的方程；（2）求过点E 且与直线BC 垂直的直线方程．18．（12分）已知焦点在y 轴上的双曲线的离心率为32，焦点到其中一条渐近线的距离为√5．（1）求双曲线的标准方程；（2）过双曲线的上焦点F 1的直线l 交双曲线的上支于M 、N 两点．在y 轴上是否存在定点T ，使得∠F 1TM ＝∠F 1TN 恒成立？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（12分）已知圆C ：x 2+3λx +y 2﹣λy ﹣10﹣10λ＝0． （1）证明：圆C 过定点．（2）当λ＝1时，是否存在斜率为1的直线l 交圆C 于A 、B 两点，使得以AB 为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由．20．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2且垂直于x 轴的弦长为3，且_____．（从以下三个条件中任选一个，将其序号写在答题卡的横线上并作答．） ①椭圆C 的长轴长为4；②椭圆C 与椭圆x 213+y 212=1有相同的焦点；③F 1，F 2与椭圆C 短轴的一个端点组成的三角形为等边三角形． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 经过F 2，且与椭圆交于M ，N 两点，求△F 1MN 面积的最大值．21．（12分）已知动圆M 经过点A （2，0），且与直线x ＝﹣2相切．设圆心M 的轨迹为C ． （1）求曲线C 的方程；（2）设P 为直线x ＝﹣2上任意一点，过P 作曲线C 的两条切线，切点分别为E 、F ，求证：PE ⊥PF ． 22．（12分）已知两定点A （﹣3，0），B （3，0），过动点P 的两直线P A 和PB 的斜率之积为−89．设动点P 的轨迹为C ． （1）求曲线C 的方程；（2）设F 1（﹣1，0），过F 1的直线l 交曲线C 于M 、N 两点（不与A 、B 重合）．设直线AM 与BN 的斜率分别为k 1，k 2，证明k 1k 2为定值．2023-2024学年河南省南阳市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知直线l过点（2，3），且倾斜角为90°，则直线l的方程为（）A．﹣x+y＝1B．x+y﹣5＝0C．y＝3D．x＝2解：∵直线l过点（2，3），且倾斜角为90°，∴直线l的方程为x＝2．故选：D．2．二次函数y＝ax2（a≠0）的图像为抛物线，其准线方程为（）A．x=−14aB．x=−a4C．y=−14a D．y=−a4解：将二次函数y＝ax2（a≠0）化为抛物线标准式得x2=1ay，所以准线方程为y=−14a．故选：C．3．已知三条直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α，β，γ．若α＜β＜γ，则下列关系不可能成立的是（）A．k3＜k1＜k2B．k1＜k2＜k3C．k2＜k3＜k1D．k3＜k2＜k1解：若γ＞90°＞β＞α，则tanβ＞tanα＞0＞tanγ，A成立，若α＜β＜γ＜90°，则tanα＜tanβ＜tanγ，B成立，若α＜90°＜β＜γ，则tanα＞0＞tanγ＞tanβ，C成立，故选：D．4．国家体育场（鸟巢），是2008年北京奥运会的主体育场．在《通用技术》课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm，则小椭圆的长轴长为（）cm．A．30B．20C．10√3D．10解：扁平程度相同的椭圆，即离心率相等，大椭圆a1=20，b1=10，c1=√202−102=10√3，离心率为e1=√32，小椭圆b 2＝5，离心率e 2=e 1=√32=√a 22−25a 2，解得a 2＝10，故长轴长为20．故选：B ．5．直线y ＝kx +1与椭圆x 24+y 2m=1总有公共点，则m 的取值范围是（ ）A ．（0，1）∪（1，+∞）B ．[1，4）∪（4，+∞）C ．（0，1）∪（1，4）D ．（1，+∞）解：直线y ＝kx +1恒过点（0，1），只需该点落在椭圆内或椭圆上， 即024+12m≤1，解得m ≥1，又m ≠4，则m 的取值范围是[1，4）∪（4，+∞）．故选：B ．6．已知△ABC 的顶点在抛物线y 2＝4x 上，若抛物线的焦点F 恰好是△ABC 的重心，则|F A |+|FB |+|FC |的值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），抛物线y 2＝4x ，则F （1，0）， 因为焦点F 恰好是△ABC 的重心，所以x 1+x 2+x 3＝3×1＝3， 故|F A |+|FB |+|FC |＝x 1+1+x 2+1+x 3+1＝6． 故选：D ．7．已知实数x 、y 满足x 2+y 2＝1，则|2x +y ﹣5|的最小值是（ ） A ．√5−1B ．√5+1C ．5−√5D ．5+√5解：x 2+y 2＝1，则圆心C （0，0），半径r ＝1， |2x +y ﹣5|=√5|2x+y−5|√2+1，√22+12表示圆上的点到直线2x +y ﹣5＝0的距离，该距离的最小值为√22+12−r =√5−1，故|2x +y ﹣5|的最小值是：√5×(√5−1)=5−√5． 故选：C ．8．如图，加斯帕尔•蒙日是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆（或双曲线）上两条相互垂直的切线的交点P 的轨迹方程为圆，该圆称为外准圆，也叫蒙日圆．双曲线C ：x 24−y 2=1的蒙日圆的面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π解：不妨设P （x 0，y 0），则过点P 的切线方程为y ﹣y 0＝k （x ﹣x 0），联立{x 2a 2−y 2b 2=1y −y 0=k(x −x 0)，消去y 并整理得（b 2﹣a 2k 2）x 2﹣2a 2k （y 0﹣kx 0）x −a 2[(y 0−kx 0)2+b 2]，因为过点P 的切线方程与双曲线只有一个交点，所以Δ＝0，解得(x 02−a 2)k 2−2x 0y 0k +y 02+b 2=0，易知k AP ，k BP 为关于k 的方程(x 02−a 2)k 2−2x 0y 0k +y 02+b 2=0的两个根，且k AP •k BP ＝﹣1，所以y 02+b 2x 02−a 2=−1，整理得x 02+y 02=a 2−b 2，所以点P 的轨迹方程为x 02+y 02=a 2−b 2（a ＞b ），可得双曲线C ：x 24−y 2=1的蒙日圆的轨迹方程为x 2+y 2＝3， 所以r =√3，则该蒙日圆的面积S ＝πr 2＝3π． 故选：A ．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．已知直线l 1：ax +2y ﹣1＝0和直线l 2：x +（a +1）y ﹣1＝0，下列说法不正确的是（ ） A ．当a ＝﹣2或1时，l 1∥l 2 B ．当a =−23时，l 1⊥l 2C ．直线l 1过定点（0，1），直线l 2过定点（1，0）D ．当l 1，l 2平行时，两直线的距离为√2解：A 中，两条直线平行时，则a （a +1）＝2×1，且a ×（﹣1）≠﹣1×1，解得a ＝﹣2，所以A 不正确；B 中，a =−23时，a •1+2•（a +1）=−23+23=0，即两条直线垂直，所以B 正确； C 中，直线l 1：ax +2y ﹣1＝0可得恒过定点（0，12），直线l 2：x +（a +1）y ﹣1＝0整理可得ay +x +y ﹣1＝0，恒过定点（1，0），所以C 不正确；D 中，由A 可知，两条直线平行时a ＝﹣2，此时直线l 1：﹣2x +2y ﹣1＝0，即x ﹣y +12=0， 直线l 2：x ﹣y ﹣1＝0，所以两条直线的距离d =|12−1|√1+(−1)=√24，所以D 不正确．故选：ACD ． 10．已知方程x 27−t+y 23+t=1表示的曲线为C ，则下列四个结论中正确的是（ ）A ．当﹣3＜t ＜7时，曲线C 是椭圆B ．当t ＞7或t ＜﹣3时，曲线C 是双曲线 C ．若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则﹣3＜t ＜2D ．若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，则t ＞7 解：当方程x 27−t+y 23+t=1是椭圆时，则{7−t ＞03+t ＞07−t ≠3+t，解得﹣3＜t ＜2或2＜t ＜7，∴A 错误，当方程x 27−t+y 23+t =1是双曲线时，则（7﹣t ）（t +3）＜0，解得t ＜﹣3或t ＞7，∴B 正确；若方程x 27−t +y 23+t =1是焦点在x 轴上的椭圆，则{7−t ＞3+t 3+t ＞0，解得﹣3＜t ＜2，∴C 正确； 若方程x 27−t+y 23+t=1是焦点在y 轴上的双曲线，则 {3+t ＞07−t ＜0，解得t ＞7，∴D 正确．故选：BCD ． 11．P 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上的一点，O 为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）A ．c ≤|OP |≤aB ．若∠F 1PF 2＝60°，则S △F 1PF 2=√3b 2C ．若存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，则椭圆C 的离心率e ∈[√22，1)D ．若PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2|=b2a解：对于A ，易知|OP |∈[b ，a ]，故A 错误； 对于B ，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m +n ＝2a ，根据余弦定理，（2c ）2＝m 2+n 2﹣2mn cos60°，解得mn =4a 2−4c 23=4b23，所以S △F 1PF 2=12mnsin60°=√3b 23，故B 错误；对于C ，若存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°， 则c ⩾b ，所以c 2⩾a 2﹣c 2，即c 2a 2⩾12，所以e ∈[√22，1)，故C 正确；对于D ，若PF 1的中点在y 轴上，则PF 2⊥x 轴，所以|PF 2|=b2a，故D 正确．故选：CD ．12．已知F 是抛物线C ：y 2＝2px 的焦点，直线AB 经过点F 交抛物线于A 、B 两点，则下列说法正确的是（ ）A ．以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 B ．若AF →=2FB →，则直线AB 的斜率k ＝3C ．弦AB 的中点M 的轨迹为一条抛物线，其方程为y 2＝2px ﹣p 2D ．若p ＝4，则|AF |+4|BF |的最小值为18解：A ．由抛物线的方程可得焦点F （p2，0），准线方程为：x =−p2，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则AB 的中点M （x 1+x 22，y 1+y 22），利用焦点弦的性质可得|AB |＝x 1+x 2+p ，而AB 的中点M 到准线的距离d =x 1+x 22−（−p 2）=12（1+x 2+p ）=12|AB |，∴以AB 为直径的圆与该抛物线的准线相切，因此A 正确；B ．设直线AB 的方程为x ＝my +p 2，k =1m ＞0，联立{x =my +p2y 2=2px ， 整理可得：y 2﹣2mpy ﹣p 2＝0， 可得y 1+y 2＝2mp ，y 1y 2＝﹣p 2， ∵AF →=2FB →，∴y 1＝﹣2y 2， 解得y 2＝﹣2mp ，y 1＝4mp ， ∴﹣8m 2p 2＝﹣p 2，解得m 2=18， ∴k =√1m 2=2√2，因此B 不正确； C ．设M （x ，y ），结合A ，B 可得：y =y 1+y 22=mp ，x =x 1+x 22=m(y 1+y 2)2+p 2=m 2p +p 2，消去m 可得：2y 2＝2px ﹣p 2，因此C 不正确； D ．若p ＝4，则抛物线C ：y 2＝8x ，不妨设x 1＞x 2＞0，x 1x 2=(y 1y 2)264=4，∴|AF |+4|BF |＝x 1+4x 2+10=4x 2+4x 2+10≥4×2√1x 2⋅x 2+10＝18，当且仅当x 2＝1，x 1＝4时取等号，因此D 正确． 故选：AD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13．请写出一个焦点在y 轴上，焦距为2的椭圆的标准方程 y 22+x 21=1（答案不唯一，只要焦点在y轴上且a 2﹣b 2＝1） ． 解：y 22+x 21=1（答案不唯一，只要焦点在y 轴上且a 2﹣b 2＝1）． 故答案为：y 22+x 21=1（答案不唯一，只要焦点在y 轴上且a 2﹣b 2＝1）．14．P 、Q 分别是圆E ：（x +9）2+（y +4）2＝1与圆F ：（x ﹣1）2+（y ﹣3）2＝1上的动点，A 为直线y ＝x 上的动点，则|AP |+|AQ |的最小值为 11 ． 解：由题意知E （﹣9，﹣4），F （1，3），如图，设圆E 关于y ＝x 的对称圆为圆G ，点Q 与点Q '关于y ＝x 轴对称，则圆G 的方程为（x +4）2+（y +9）2＝1，G （﹣4，﹣9），所以（|AP |+|AQ |）min ＝（|AP |+|AQ ′|）min ≥|PQ ′|，当且仅当P ，A ，Q ′三点共线时取得最小值， 此时|PQ ′|＝|FG |﹣1﹣1=√(−4−1)2+(−9−3)2−1﹣1＝11，所以AP |+|AQ |的最小值为11． 故答案为：11． 15．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的焦点与椭圆x 281+y 272=1的焦点重合，离心率互为倒数，设F 1、F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，P 为右支上任意一点，则双曲线C 的离心率为 3 ； |PF 1|2|PF 2|的最小值为 8 ． 解：已知椭圆x 281+y 272=1的离心率e 1=√1−7281=13，而c =√81−72=3， 因为双曲线C 与椭圆x 281+y 272=1的离心率互为倒数，所以双曲线C 的离心率e 2＝3，① 因为双曲线C 的焦点与椭圆x 281+y 272=1的焦点重合，所以双曲线C 的半焦距c ＝3，② 又a 2+b 2＝c 2，③联立①②③，解得a ＝1，b ＝2√2，则双曲线C 的方程为x 2−y 28=1，若F 1、F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，P 为右支上任意一点， 可得|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ＝2， 即|PF 1|＝2+|PF 2|， 所以|PF 1|2|PF 2|=(2+|PF 2|)2|PF 2|=4+4|PF 2|+|PF 2|2|PF 2|=4|PF 2|+|PF 2|+4，因为|PF 2|≥c ﹣a ＝1， 所以4|PF 2|+|PF 2|+4≥2√4|PF 2|⋅|PF 2|+4=8， 当且仅当4|PF 2|=|PF 2|，即|PF 2|＝2时，等号成立，则|PF 1|2|PF 2|的最小值为8．故答案为：3；8．16．参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点．他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为1个单位长度，在球的右上方有一个灯泡P （当成质点），灯泡与桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为A ，影子椭圆的右顶点到A 点的距离为3个单位长度，则这个影子椭圆的离心率e ＝79．解：以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，由题意可知，|NQ |＝a +c ，|QR |＝a ﹣c 由题意可得P （0，4），R （﹣3，0），则PR ：4x ﹣3y +12＝0，k PR =43， 设M （n ，1），Q （n ，0）， 则M 到PR 的距离d =|4n−3+12|√4+3=1，解得n ＝﹣1（舍去）．n =−72，则|QR |=72−3=12=a ﹣c ， 又设PN ：kx ﹣y +4＝0，由d =|−72k−1+4|√1+k =1，得45k 2﹣84k +32＝0．∴k PR •k PN =3245，则k PN =815，得x N =−152， ∴2a =152−3=92，a =94，解得c =74． ∴椭圆的离心率e =ca =79． 故答案为：79．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）在平行四边形ABCD 中，A （﹣2，1），B （1，7），D （1，﹣2），点E 是线段CD 的中点．（1）求直线CD 的方程；（2）求过点E 且与直线BC 垂直的直线方程． 解：（1）由题意可得k AB =7−11−(−2)=2，由平行四边形可得CD ∥AB ，所以直线CD 的斜率为2，所以直线CD 的方程为y ﹣（﹣2）＝2（x ﹣1），即2x ﹣y ﹣4＝0； （2）设所求直线为l ．设点C 的坐标为（m ，n ），则DC →=(m −1，n +2)， 由题意AB →=DC →，又AB →=(3，6)，故{m −1=3n +2=6，解得m ＝4，n ＝4，即C （4，4）， 点E 是线段CD 的中点，则E(52，1)， 直线BC 的斜率为k BC =7−41−4=−1，由于直线BC 与l 垂直，故直线l 的斜率为1， 所以直线l 的方程为y −1=x −52， 即2x ﹣2y ﹣3＝0．18．（12分）已知焦点在y 轴上的双曲线的离心率为32，焦点到其中一条渐近线的距离为√5．（1）求双曲线的标准方程；（2）过双曲线的上焦点F 1的直线l 交双曲线的上支于M 、N 两点．在y 轴上是否存在定点T ，使得∠F 1TM ＝∠F 1TN 恒成立？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）因为焦点在y 轴上的双曲线的离心率为32，所以e =√1+b 2a2=32，①因为焦点到其中一条渐近线的距离为√5， 所以d =√a 2+b=b =√5，②联立①②，解得a ＝2， 则双曲线的标准方程为y 24−x 25=1；（2）易知直线l 的斜率存在，不妨设直线l 的方程为y ＝kx +3，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 联立{y =kx +3y 24−x 25=1，消去y 并整理得（5k 2﹣4）x 2+30kx +25＝0，由韦达定理得x 1+x 2=−30k 5k 2−4，x 1x 2=255k 2−4，假设在y 轴上存在定点T ，使得∠F 1TM ＝∠F 1TN 恒成立， 不妨设点T （0，t ），此时k TM +k TN ＝0， 即y 1−t x 1+y 2−t x 2=x 2(y 1−t)+x 1(y 2−t)x 1x 2=x 2(kx 1+3−t)+x 1(kx 2+3−t)x 1x 2=2k +(3−t)(x 1+x 2)x 1x 2=2k +(3−t)−30k 5k 2−4255k 2−4=0，解得t =43，则点T 的坐标为(0，43)．综上，y 轴上存在点T(0，43)，使∠F 1TM ＝∠F 1TN 恒成立． 19．（12分）已知圆C ：x 2+3λx +y 2﹣λy ﹣10﹣10λ＝0． （1）证明：圆C 过定点．（2）当λ＝1时，是否存在斜率为1的直线l 交圆C 于A 、B 两点，使得以AB 为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由．解：（1）证明：圆C ：x 2+3λx +y 2﹣λy ﹣10﹣10λ＝0，即x 2+y 2﹣10+λ（3x ﹣y ﹣10）＝0， 令{3x −y −10=0x 2+y 2−10=0，解得{x =3y =−1， 把（3，﹣1）代入圆C ：x 2+3λx +y 2﹣λy ﹣10﹣10λ＝0成立， 所以圆过定点（3，﹣1）．（2）当λ＝1时，圆C 的方程为：x 2+y 2+3x ﹣y ﹣20＝0． 假设存在直线l 符合题意，直线l 的斜率为1，设直线l 的方程为y ＝x +m ，与圆C 联立{y =x +mx 2+y 2+3x −y −20=0，化简整理可得，2x 2+2（m +1）x +m 2﹣m ﹣20＝0，Δ＝4（m +1）2﹣4×2×（m 2﹣m ﹣20）＞0①， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） x 1+x 2＝﹣（m +1），x 1x 2=m 2−m−202， 若以AB 为直径的圆经过原点，则OA ⊥OB ，OA →⋅OB →=0，即x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(x 1+m)(x 2+m)=2x 1x 2+m(x 1+x 2)+m 2=m m 2﹣m ﹣20﹣m （m +1）+m 2＝m 2﹣2m ﹣20＝0，解得m =1±√21，均满足①，故直线l 的方程为y =x +1−√21或y =x +1+√21． 20．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2且垂直于x 轴的弦长为3，且_____．（从以下三个条件中任选一个，将其序号写在答题卡的横线上并作答．） ①椭圆C 的长轴长为4；②椭圆C 与椭圆x 213+y 212=1有相同的焦点；③F 1，F 2与椭圆C 短轴的一个端点组成的三角形为等边三角形． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 经过F 2，且与椭圆交于M ，N 两点，求△F 1MN 面积的最大值． 解：（1）选①：由题意得{2a =42b 2a =3，解得{a =2b =√3．所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．选②：椭圆x 213+y 212=1的焦点坐标为（±1，0），则c ＝1，又2a ＝4，得a ＝2，由a 2＝b 2+c 2得，b 2＝4﹣1＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．选③：由题意得2b 2a=3，因为F 1，F 2与椭圆C 短轴的一个端点组成等边三角形， 所以b =√3c ，又a 2＝b 2+c 2，得a ＝2，b =√3， 所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．（2）【解法一】：由题知F 2（1，0）， 设直线l 的方程为x ＝my +1，联立{x =my +1x 24+y 23=1，得（3m 2+4）y 2+6my ﹣9＝0，设点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 所以y 1+y 2=−6m 3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4． 所以S △F 1MN =S △MF 1F 2+S △NF 1F 2=12⋅2c|y 1−y 2|=|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√(−6m 3m 2+4)2−−363m 2+4=12√m 2+13m 2+4， 设t =√m 2+1≥1，则S △F 1MN =12t 3t 2+1=123t+1t，因为函数y =3t +1t在t ∈[1，+∞）上单调递增， 所以函数y =123t+1t在t ∈[1，+∞）上单调递减， 所以当t ＝1时，y max =123×1+1=3（此时m ＝0，直线为x ＝1）， 所以△F 1MN 面积的最大值为3． 【解法二】：由题知F 2（1，0），当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，此时M （1，32），N （1，−32）或M （1，−32），N （1，32），所以|MN |＝3，所以△F 1MN 的面积为12|F 1F 2|⋅|MN|=3，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣1）， 联立{y =k(x −1)x 24+y 23=1，得（3+4k 2）x 2﹣8k 2x +4k 2﹣12＝0，设点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 所以x 1+x 2=8k23+4k 2，x 1x 2=4k 2−123+4k 2，所以y 1+y 2=−6k3+4k 2，y 1y 2=−9k23+4k2，所以S △F 1MN =S △MF 1F 2+S △NF 1F 2=12⋅2c|y 1−y 2|=|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√(−6k 3+4k2−4⋅−9k23+4k2)=12√k 2(k 2+1)3+4k 2，设t ＝3+4k 2＞3，则k 2=t−34，所以S =12√(t−34)2−t−34t 2=3√1−2t −3t2（其中0＜1t ＜13），所以当1t→0时，S →3，综上所述：△F 1MN 面积的最大值为3．21．（12分）已知动圆M 经过点A （2，0），且与直线x ＝﹣2相切．设圆心M 的轨迹为C ． （1）求曲线C 的方程；（2）设P 为直线x ＝﹣2上任意一点，过P 作曲线C 的两条切线，切点分别为E 、F ，求证：PE ⊥PF ． 解：（1）因为动圆M 经过点A （2，0），且与直线x ＝﹣2相切， 所以|MA |＝|x +2|，即点M 到点A （2，0）的距离与到直线x ＝﹣2的距离相等，由抛物线定义知圆心M 的轨迹C 为抛物线，且焦点为（2，0），准线方程为x ＝﹣2， 所以曲线C 的方程为y 2＝8x ；（2）证明：易知过点P 的切线斜率存在，且不为0； 因为P 为直线x ＝﹣2上任意一点，不妨设P （﹣2，t ），切线方程为x +2＝m （y ﹣t ），联立{x +2=m(y −1)y 2=8x ，消去x 并整理得y 2﹣8my +8mt +16＝0，此时Δ＝64m 2﹣4（8tm +16）＝64m 2﹣32tm ﹣64＝0， 因为过点P 存在两条切线，所以关于m 的方程有两个不相等的实数根m 1，m 2， 由韦达定理得m 1m 2＝﹣1，不妨设切线PE 、PF 的斜率分别为k 1，k 2， 此时k 1k 2=1m 1⋅1m 2=−1，故PE ⊥PF ．22．（12分）已知两定点A （﹣3，0），B （3，0），过动点P 的两直线P A 和PB 的斜率之积为−89．设动点P 的轨迹为C ． （1）求曲线C 的方程；（2）设F 1（﹣1，0），过F 1的直线l 交曲线C 于M 、N 两点（不与A 、B 重合）．设直线AM 与BN 的斜率分别为k 1，k 2，证明k 1k 2为定值．解：（1）不妨设点P （x ，y ），因为过动点P 的两直线P A 和PB 的斜率之积为−89， 所以k PA ⋅k PB =yx+3⋅yx−3=−89， 整理得x 29+y 28=1(x ≠±3)；（2）证明：不妨设直线l 的方程为x ＝my ﹣1，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 联立{x =my −1x 29+y 28=1，消去x 并整理得（8m 2+9）y 2﹣16my ﹣64＝0，由韦达定理得y 1+y 2=16m 8m 2+9，y 1y 2=−648m 2+9， 则k 1k 2=y 1x 1+3⋅x 2−3y 2=x 2y 1−3y 1x 1y 2+3y 2=(my 2−1)y 1−3y 1(my 1−1)y 2+3y 2=my 1y 2−4y 1my 1y 2+2y 2=−64m8m 2+9−4y 1−64m 8m 2+9+2(16m8m 2+9−y 1)=−64m8m 2+9−4y 1−32m8m 2+9+2y 1=2．综上，k 1k 2为定值2．。
2023-2024学年湖北省部分重点中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年湖北省部分重点中学高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．两条不同直线l 1，l 2的方向向量分别为m →=(1，1，−2)，n →=(2，−2，1)，则这两条直线（ ） A ．相交或异面 B ．相交C ．异面D ．平行2．已知椭圆C ：x 2m+1+y 2m=1的离心率为12，则m ＝（ ）A ．13B ．1C ．3D ．43．一束光线从点A(−√3，3)射出，沿倾斜角为150°的直线射到x 轴上，经x 轴反射后，反射光线所在的直线方程为（ ） A ．y =√3x −2B ．y =−√3x +2C ．y =−√33x +2D ．y =√33x −24．实数x ，y 满足x 2﹣4x +y 2﹣6y +9＝0，则y−1x+1的取值范围是（ ） A ．[512，+∞)B ．[125，+∞)C ．[0，125]D ．[0，512]5．已知△ABC 的顶点A （﹣2，1），AC 边上的高BE 所在直线方程为x +y ﹣5＝0，AC 边上中线BD 所在的直线方程为3x ﹣5y +1＝0，则高BE 的长度为（ ） A ．√22B ．√2C ．2√2D ．3√26．在四面体ABCD 中，已知△ABD 为等边三角形，△ABC 为等腰直角三角形，斜边AB ＝4，CD =2√7，则二面角C ﹣AB ﹣D 的大小为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π67．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F （c ，0）（b ＞c ），上顶点为B ，直线l ：3√3x ﹣4y ﹣21＝0交椭圆于P ，Q 两点，若F 恰好为△BPQ 的重心，则椭圆的离心率为（ ） A ．√55B ．12C ．√22D ．√328．已知中心在原点O ，焦点在y 轴上，且离心率为√23的椭圆与经过点C （﹣2，0）的直线l 交于A ，B 两点，若点C 在椭圆内，△OAB 的面积被x 轴分成两部分，且△OAC 与△OBC 的面积之比为3：1，则△OAB 面积的最大值为（ ） A ．8√73B ．4√73C ．24√77D ．12√77二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知椭圆C ：x 24+y 23=1，F 1，F 2分别是椭圆的左，右焦点，P 为椭圆上任意一点．下列说法中正确的是（ ） A ．椭圆离心率为√32B ．|PF 1|的最小值为1C ．|PF 1|+|PF 2|＝2D ．0≤∠F 1PF 2≤π310．下列说法正确的是（ ）A ．已知点A （2，1），B(−1，2√3)，若过P （1，0）的直线l 与线段AB 相交，则直线l 的倾斜角范围为[π4，2π3]B ．“a ＝1”是“直线ax ﹣y +1＝0与直线x ﹣ay ﹣2＝0互相平行”的充要条件C ．曲线C 1：x 2+y 2+2x ＝0与C 2：x 2+y 2﹣4x ﹣8y +m ＝0恰有四条公切线，则m 的取值范围为4＜m ＜20D ．圆x 2+y 2＝2上有且仅有2个点到直线l ：x ﹣y +1＝0的距离都等于√2211．如图，在多面体ABCDEP 中，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，且DE ∥P A ，P A ＝AB ＝2DE ＝2，M ，N 分别是线段BC ，PB 的中点，Q 是线段DC 上的一个动点（不含端点D ，C ），则下列说法正确的是（ ）A ．存在点Q ，使得NQ ⊥PBB ．不存在点Q ，使得异面直线NQ 与PE 所成的角为30°C ．三棱锥Q ﹣AMN 体积的取值范围为(13，23)D ．当点Q 运动到DC 中点时，DC 与平面QMN 所成的余弦值为√6612．椭圆有如下的光学性质，从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点．现椭圆C 的焦点在x 轴上，中心在坐标原点，左、右焦点分别为F 1、F 2．一束光线从F 1射出，经椭圆镜面反射至F 2，若两段光线总长度为6，且椭圆的离心率为√53，左顶点和上顶点分别为A ，B ．则下列说法正确的是（ ） A ．椭圆的标准方程为x 29+y 24=1B ．若点P 在椭圆上，则sin ∠F 1PF 2的最大值为19C ．若点P 在椭圆上，|BP |的最大值为9√55D ．过直线y ＝x +2上一点M 分别作椭圆的切线，交椭圆于P ，Q 两点，则直线PQ 恒过定点(−92，2) 三、填空题：本大题共4题，每小题5分，共计20分.13．圆C 1：x 2+y 2＝1与圆C 2：（x ﹣1）2+（y +2）2＝4的公共弦所在的直线方程为 ．14．所有棱长都为1的平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若M 为A 1C 1与B 1D 1的交点，∠BAD ＝60°，∠DAA 1＝∠BAA 1＝30°，则|BM →|的值为 ． 15．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2a 2−1=1(a ＞1)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A 、B 两点，AF 2、BF 2分别交y 轴于P 、Q 两点，△PQF 2的周长为4．过F 2作∠F 2AF 1外角平分线的垂线与直线BA 交于点N ，则|ON |＝ ．16．已知直线l 与圆O ：x 2+y 2＝4交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，且|AB|=2√3，则|3x 1+4y 1﹣10|+|3x 2+4y 2﹣10|的最大值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在平面直角坐标系中，已知射线OA ：x ﹣y ＝0（x ≥0），OB ：x +2y ＝0（x ≥0）．过点P （3，0）作直线分别交射线OA ，OB 于点A ，B ． （1）已知点B （6，﹣3），求点A 的坐标；（2）当线段AB 的中点为P 时，求直线AB 的方程．18．（12分）如图，ABCD 和ABEF 是不在同一平面上的两个矩形，DM →=13DB →，AN →=13AE →，记AB →=a →，AD →=b →，AF →=c →．请用基底{a →，b →，c →}，表示下列向量： （1）FC →； （2）MN →．19．（12分）已知圆C ，圆C 1：（x +3）2+y 2＝9，圆C 2：(x −1)2+y 2=9，这三个圆有一条公共弦． （1）当圆C 的面积最小时，求圆C 的标准方程； （2）在（1）的条件下，直线l 同时满足以下三个条件：（i ）与直线√19x +y −3=0垂直； （ii ）与圆C 相切；（iii ）在y 轴上的截距大于0，若直线l 与圆C 2交于D ，E 两点，求|DE |．20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面是边长为2的菱形，∠ABC =π3，H 为BC 的中点，P A ＝PB ＝PH =√2．E 为PD 上的一点，已知PD ＝4PE ． （1）证明：平面P AB ⊥平面ABCD ； （2）求平面EAC 与平面P AB 夹角的余弦值．21．（12分）已知A(−√3，1)，B ，M 是椭圆C 上的三点，其中A 、B 两点关于原点O 对称，直线MA 和MB 的斜率满足k MA •k MB =−13． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）点Q 是椭圆C 长轴上的不同于左右顶点的任意一点，过点Q 作斜率不为0的直线l ，l 与椭圆的两个交点分别为P 、N ，若1|PQ|+1|QN|为定值，则称点Q 为“稳定点”，问：是否存在这样的稳定点？若有，试求出所有的“稳定点”，并说明理由；若没有，也请说明理由． 22．（12分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的焦距为4√3，且点P(2，√3)在椭圆E 上．（1）求椭圆E 的方程；（2）若A 、B 、Q 是椭圆E 上的三点，且直线AB 与x 轴不垂直，点O 为坐标原点，OQ →=λOA →+μOB →，则当△AOB 的面积最大时，求λ2+μ2的值．2023-2024学年湖北省部分重点中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．两条不同直线l 1，l 2的方向向量分别为m →=(1，1，−2)，n →=(2，−2，1)，则这两条直线（ ） A ．相交或异面 B ．相交C ．异面D ．平行解：令m →=λn →，即（1，1，﹣2）＝λ（2，﹣2，1），则{1=2λ1=−2λ−2=λ，此方程组无解，则直线l 1，l 2不平行，即相交或异面．故选：A ． 2．已知椭圆C ：x 2m+1+y 2m=1的离心率为12，则m ＝（ ）A ．13B ．1C ．3D ．4解：椭圆C ：x 2m+1+y 2m=1，可得a 2＝m +1，b 2＝m ， 所以该椭圆的离心率e =c a =√1−b 2a2=√1−m m+1=12，则m ＝3．故选：C ．3．一束光线从点A(−√3，3)射出，沿倾斜角为150°的直线射到x 轴上，经x 轴反射后，反射光线所在的直线方程为（ ） A ．y =√3x −2B ．y =−√3x +2C ．y =−√33x +2 D ．y =√33x −2解：由题意知，入射光线所在直线的斜率为tan150°=−√33， 所以入射光线为y ﹣3=−√33（x +√3），整理得y =−√33x +2，令y ＝0，得x =2√3，所以入射光线与x 轴的交点为(2√3，0)， 由对称性知，反射光线的斜率为√33， 所以反射光线的方程为y ﹣0=√33（x ﹣2√3），即y =√33x ﹣2．故选：D ．4．实数x ，y 满足x 2﹣4x +y 2﹣6y +9＝0，则y−1x+1的取值范围是（ ） A ．[512，+∞) B ．[125，+∞) C ．[0，125] D ．[0，512] 解：方程x 2﹣4x +y 2﹣6y +9＝0，即（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝4，所以（x ，y ）是以（2，3）为圆心，半径为2的圆上的点，y−1x+1表示点（x ，y ）与点（﹣1，1）连线的斜率，设直线y ﹣1＝k （x +1），kx ﹣y +1+k ＝0与圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝4相切， （2，3）到直线kx ﹣y +1+k ＝0的距离√k 2+1=√k 2+1=2，解得k ＝0或k =125，所以y−1x+1的取值范围是[0，125]． 故选：C ．5．已知△ABC 的顶点A （﹣2，1），AC 边上的高BE 所在直线方程为x +y ﹣5＝0，AC 边上中线BD 所在的直线方程为3x ﹣5y +1＝0，则高BE 的长度为（ ） A ．√22B ．√2C ．2√2D ．3√2解：根据题意，由{x +y −5=03x −5y +1=0，解得{x =3y =2，可知B （3，2）．由直线BE 的方程为x +y ﹣5＝0，且AC 、BE 相互垂直，可知k AC =−1kBE=1，结合点A （﹣2，1），得直线AC 的方程为y ﹣1＝x +2，即x ﹣y +3＝0， 因为点B 到直线AC 的距离d =|3−2+3|1+1=2√2，所以AC 边上的高BE 的长度等于2√2．故选：C ．6．在四面体ABCD 中，已知△ABD 为等边三角形，△ABC 为等腰直角三角形，斜边AB ＝4，CD =2√7，则二面角C ﹣AB ﹣D 的大小为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解：如图，取AB 中点M ，连接CM ，DM ，因为△ABD 为等边三角形，△ABC 为等腰直角三角形，所以CM ⊥AB ，DM ⊥AB ， 故∠CMD 即为二面角C ﹣AB ﹣D 的平面角． 因为AB ＝4，所以CM ＝2，DM =2√3，所以cos ∠CMD =CM 2+DM 2−CD 22⋅CM⋅DM =4+12−282×2×2√3=−√32，所以∠CMD =5π6，即二面角C ﹣AB ﹣D 的大小为5π6．故选：D ．7．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F （c ，0）（b ＞c ），上顶点为B ，直线l ：3√3x ﹣4y ﹣21＝0交椭圆于P ，Q 两点，若F 恰好为△BPQ 的重心，则椭圆的离心率为（ ） A ．√55B ．12C ．√22D ．√32解：不妨设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），线段PQ 的中点M （x 0，y 0），因为点F 是△BPQ 的重心，所以BF →=2FM →，即（c ，﹣b ）＝2（x 0﹣c ，y 0），所以x 0=3c 2，y 0=−b2， 此时x 1+x 2＝2x 0＝3c ，y 1+y 2＝2y 0＝﹣b ， 因为点M 在直线l 上，所以3√3•3c 2−4•（−b2）﹣21＝0，即9√3c +4b ﹣42＝0，①因为P ，Q 两点均在椭圆上，所以{ x 12a 2+y 12b 2=1x 22a 2+y 22b 2=1，两式作差得(x 1+x 2)(x 1−x 2)a 2+(y 1+y 2)(y 1−y 2)b 2=0，则直线l 的斜率k =y 2−y 1x 2−x 1=−b 2(x 1+x 2)a 2(y 1+y 2)=−b 2⋅3c a 2⋅(−b)=3√34，即√3a 2=4bc ，②又a 2＝b 2+c 2，b ＞c ③联立①②③，解得a ＝2c ，b =√3c ，则椭圆的离心率e =c a =12． 故选：B ．8．已知中心在原点O ，焦点在y 轴上，且离心率为√23的椭圆与经过点C （﹣2，0）的直线l 交于A ，B 两点，若点C 在椭圆内，△OAB 的面积被x 轴分成两部分，且△OAC 与△OBC 的面积之比为3：1，则△OAB 面积的最大值为（ ） A ．8√73B ．4√73 C ．24√77D ．12√77解：设椭圆的方程为y 2a 2+x 2b 2=1(a ＞b ＞0)，设直线l 的方程为x ＝my ﹣2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{y 2a 2+x 2b 2=1x =my −2，整理得：（b 2+a 2m 2）y 2﹣4ma 2y +4a 2﹣a 2b 2＝0，由椭圆的离心率e =c a =√1−b 2a2=√23，得b 2=79a 2，代入上式并整理得：（7+9m 2）y 2﹣36my +36﹣7a 2＝0， 则y 1+y 2=36m 7+9m 2，y 1y 2=36−7a 27+9m 2， 由△OAC 与△OBC 的面积之比为3：1，则y 1＝﹣3y 2，则y 2=−18m7+9m 2， 所以△OAB 的面积为S △OAC +S △OBC =12×|OC |×|y 1|+12|OC |×|y 2|＝|y 1﹣y 2|＝4|y 2| =4×18|m|7+9m 2≤4×18|m|2√7×9m 2=4×18|m|6√7|m|=12√77，当且仅当9m 2＝7，即m =±√73时，等号成立， 故△OAB 面积的最大值为12√77．故选：D ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知椭圆C ：x 24+y 23=1，F 1，F 2分别是椭圆的左，右焦点，P 为椭圆上任意一点．下列说法中正确的是（ ） A ．椭圆离心率为√32B ．|PF 1|的最小值为1C ．|PF 1|+|PF 2|＝2D ．0≤∠F 1PF 2≤π3解：因为椭圆C ：x 24+y 23=1，F 1，F 2分别是椭圆的左，右焦点，P 为椭圆上任意一点，故a ＝2，b =√3，c =√4−3=1，故椭圆离心率为ca=12，A 不对；|PF 1|的最小值为：a ﹣c ＝1，B 对； |PF 1|+|PF 2|＝2a ＝4，C 不对；当P 与A 重合，即为短轴端点时，∠F 1PF 2取最大值，此时|AF 1|＝|AF 2|＝a ＝|F 2F 1|，故∠F 1PF 2=π3，所以0≤∠F 1PF 2≤π3，故D 正确． 故选：BD ．10．下列说法正确的是（ ）A ．已知点A （2，1），B(−1，2√3)，若过P （1，0）的直线l 与线段AB 相交，则直线l 的倾斜角范围为[π4，2π3] B ．“a ＝1”是“直线ax ﹣y +1＝0与直线x ﹣ay ﹣2＝0互相平行”的充要条件C ．曲线C 1：x 2+y 2+2x ＝0与C 2：x 2+y 2﹣4x ﹣8y +m ＝0恰有四条公切线，则m 的取值范围为4＜m ＜20D ．圆x 2+y 2＝2上有且仅有2个点到直线l ：x ﹣y +1＝0的距离都等于√22解：A 选项，k P A =1−02−1=1，所以直线P A 的倾斜角为π4， k PB =2√3−0−1−1=−√3，所以直线PB 的倾斜角为2π3， 所以直线l 的倾斜角范围为[π4，2π3]，A 选项正确．B 选项，由a ×（﹣a ）＝（﹣1）×1，解得a ＝±1， 当a ＝1时，两直线为x ﹣y +1＝0，x ﹣y ﹣2＝0，两直线平行；当a ＝﹣1时，两直线为﹣x ﹣y +1＝0．x +y ﹣2＝0，即x +y ﹣1＝0，x +y ﹣2＝0，两直线平行， 所以a ＝1是直线ax ﹣y +1＝0与直线x ﹣ay ﹣2＝0互相平行的充分不必要条件，所以B 选项错误． C ．选项，C 1：x 2+y 2+2x ＝0即（x +1）2+y 2＝1，是圆心为C 1（﹣1，0），半径r 1＝1， 圆x 2+y 2﹣4x ﹣8y +m ＝0，即（x ﹣2）2+（y ﹣4）2＝20﹣m 要表示圆，则20﹣m ＞0即m ＜20， 此时圆心为C 2（2，4），半径为√20−m ，两圆有四条公切线，所以两圆外离，所以5＞1+√20−m ，解得4＜m ＜20，C 选项正确． D 选项，圆x 2+y 2＝2的圆心为（0，0），半径为√2，圆心到直线x ﹣y +1＝0的距离为√2=√22， 所以圆 x 2+y 2＝2上有且仅有3个点到直线l ：x ﹣y +1＝0的距离都等于√22，所以D 选项错误． 故选：AC ．11．如图，在多面体ABCDEP 中，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，且DE ∥P A ，P A ＝AB ＝2DE ＝2，M ，N 分别是线段BC ，PB 的中点，Q 是线段DC 上的一个动点（不含端点D ，C ），则下列说法正确的是（ ）A ．存在点Q ，使得NQ ⊥PBB ．不存在点Q ，使得异面直线NQ 与PE 所成的角为30°C ．三棱锥Q ﹣AMN 体积的取值范围为(13，23)D ．当点Q 运动到DC 中点时，DC 与平面QMN 所成的余弦值为√66解：以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则A （0，0，0），B （2，0，0），C （2，2，0），D （0，2，0），E （0，2，1），P （0，0，2），N （1，0，1），M （2，1，0），对于A ，假设存在点Q （m ，2，0）（0＜m ＜2），使得NQ ⊥PB ， ∵NQ →=（m ﹣1，2，﹣1），PB →=（2，0，﹣2），∴NQ →⋅PB →=2（m ﹣1）+2＝0，解得m ＝0，不合题意，故A 错误；对于B ，假设存在点Q （m ，2，0）（0＜m ＜2），使得异面直线NQ 与PE 所成的角为30°， ∵NQ →=（m ﹣1，2，﹣1），PE →=（0，2，﹣1）， ∴|cos ＜NQ →，PE →＞|=|NQ →⋅PE →||NQ →|⋅|PE →|=5√(m−1)+5⋅√5=cos30°=√32，解得m ＝1±√153，不符合0＜m ＜2， ∴不存在点Q ，使得异面直线NQ 与PE 所成角为30°，故B 正确； 对于C ，连接AQ ，AM ，AN ，DQ ＝m ，（0＜m ＜2），CQ ＝2﹣m ，∵S △AMQ ＝S ABCD ﹣S △ABM ﹣S △QCM ﹣S △ADQ ＝4﹣1−12(2−m)−m =2−m2， 点N 到平面AMQ 的距离为d =12PA =1， ∴V Q ﹣AMN ＝V N ﹣AMQ =13(2−m 2)=23−m 6， ∵0＜m ＜2，∴V Q ﹣AMN ∈（13，23），故C 正确； 对于D ，当点Q 运动到DC 中点时，Q （1，2，0）， ∵N （1，0，1），M （2，1，0），∴NQ →=（0，2，﹣1），NM →=（1，1，﹣1）， 设n →=（x ，y ，z ）是平面QMN 的法向量，则{n →⋅NQ →=2y −z =0n →⋅NM →=x +y −z =0，令y ＝1，则n →=（1，1，2），∵DC →=（2，0，0），设直线DC 与平面QMN 所成的角为θ，∴sin θ＝|cos ＜DC →，n →＞|=|DC →⋅n →||DC →|⋅|n →|=22×6=√66，故D 错误． 故选：BC ．12．椭圆有如下的光学性质，从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点．现椭圆C 的焦点在x 轴上，中心在坐标原点，左、右焦点分别为F 1、F 2．一束光线从F 1射出，经椭圆镜面反射至F 2，若两段光线总长度为6，且椭圆的离心率为√53，左顶点和上顶点分别为A ，B ．则下列说法正确的是（ ） A ．椭圆的标准方程为x 29+y 24=1B ．若点P 在椭圆上，则sin ∠F 1PF 2的最大值为19C ．若点P 在椭圆上，|BP |的最大值为9√55D ．过直线y ＝x +2上一点M 分别作椭圆的切线，交椭圆于P ，Q 两点，则直线PQ 恒过定点(−92，2) 解：选项A ，设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），焦距为2c ，由题意知，2a ＝6，离心率e =c a =√53， 所以a ＝3，c =√5，b =√a 2−c 2=2， 所以椭圆的方程为x 29+y 24=1，即选项A 正确；选项B ，当点P 位于椭圆的上或下顶点时，OP 平分∠F 1PF 2，且sin ∠OPF 2=ca =√53，cos ∠OPF 2=ba =23，所以sin ∠F 1PF 2＝sin2∠OPF 2＝2sin ∠OPF 2•cos ∠OPF 2＝2×√53×23=4√59＞19，即选项B 错误； 选项C ，设点P （x 0，y 0），其中y 0∈[﹣2，2]，则x 029+y 024=1，即x 02=9（1−14y 02），而B （0，2），所以|BP |2=x 02+(y 0−2)2=9（1−14y 02）+y 02−4y 0+4=−54y 02−4y 0+13=−54(y 0+85)2+815，在[﹣2，−85]上单调递增，在[−85，2]上单调递减， 所以当y 0=−85时，|BP |2取得最大值815，此时|BP |max =√815=9√55，即选项C 正确；选项D ，设点M （x 1，y 1），则y 1＝x 1+2①， 过点M 作椭圆的切线，切点弦所在的直线方程为x 1x 9+y 1y 4=1，即直线PQ 的方程为x 1x 9+y 1y 4=1②，联立①②，消去y 1可得，4x 1x +9x 1y +18y ﹣36＝0，整理得，（4x +9y ）x 1+18y ﹣36＝0，令{18y −36=04x +9y =0，解得{x =−92y =2， 所以直线PQ 恒过定点(−92，2)，即选项D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本大题共4题，每小题5分，共计20分.13．圆C 1：x 2+y 2＝1与圆C 2：（x ﹣1）2+（y +2）2＝4的公共弦所在的直线方程为 x ﹣2y ﹣1＝0 ． 解：圆C 1：x 2+y 2＝1与圆C 2：（x ﹣1）2+（y +2）2＝4，两圆方程相减可得x 2+y 2﹣[（x ﹣1）2+（y +2）2]＝1﹣4，即x ﹣2y ﹣1＝0， 则两圆的公共弦所在直线方程为x ﹣2y ﹣1＝0． 故答案为：x ﹣2y ﹣1＝0．14．所有棱长都为1的平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若M 为A 1C 1与B 1D 1的交点，∠BAD ＝60°，∠DAA 1＝∠BAA 1＝30°，则|BM →|的值为√52． 解：因为BM →=BB 1→+B 1M →=BB 1→+12(B 1A 1→+B 1C 1→)=−12AB →+12AD →+AA 1→，所以BM →2=(−12AB →+12AD →+AA 1→)2=14AB →2+14AD →2+AA 1→2−12AB →⋅AD →−AA 1→⋅AB →+AD →⋅AA 1→=14×1+14×1+1−12×1×1×cos60°−1×1×cos30°+1×1×cos30°=54， 所以|BM →|=√52． 故答案为：√52． 15．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2a 2−1=1(a ＞1)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A 、B 两点，AF 2、BF 2分别交y 轴于P 、Q 两点，△PQF 2的周长为4．过F 2作∠F 2AF 1外角平分线的垂线与直线BA 交于点N ，则|ON |＝ √17 ． 解：如图，∵PQ ∥AB ，∴|PQ||AB|=|PF 2||AF 2|=|QF 2||BF 2|=12，∵△PQF 2的周长为4，∴△ABF 2的周长|AF 1|+|AF 2|+|BF 1|+|BF 2|＝4a ＝8 ∴a ＝2，∴椭圆方程为x 24+y 23=1，c 2＝4﹣3＝1，F 1（﹣1，0），直线AB 垂直x 轴，设A （﹣1，y 0），不妨设y 0＞0， 则14+y 023=1，解得y 0=32，即A(−1，32)，∴|AF 2|2=|AF 1|2+|F 1F 2|2=94+4=254，即|AF 2|=52， ∵∠F 2AF 1外角平分线AT 的垂线与直线BA 交于点N ， ∴|AF 2|=|AN|=52，又|AF 1|=32， ∴|NF 1|=52+32=4，则|ON|2=|NF 1|2+|F 1O|2=42+1=17， ∴|ON|=√17， 故答案为：√17．16．已知直线l 与圆O ：x 2+y 2＝4交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，且|AB|=2√3，则|3x 1+4y 1﹣10|+|3x 2+4y 2﹣10|的最大值为 30 ． 解：|3x 1+4y 1−10|5+|3x 2+4y 2−10|5的几何意义为点A ，B 到直线3x +4y ﹣10＝0的距离之和，根据梯形中位线知其最大值是AB 的中点M 到直线3x +4y ﹣10＝0的距离的2倍， 由题可知，圆O ：x 2+y 2＝4的圆心O （0，0），半径为2，|AB|=2√3， 则|OM|=√22−(232)2=1，所以AB 的中点M 的轨迹是以原点O 为圆心，1为半径的圆， 故点M 到直线3x +4y ﹣10＝0的最大距离√32+42+1=3，所以|3x 1+4y 1−10|5+|3x 2+4y 2−10|5的最大值为2×3＝6，则|3x 1+4y 1﹣10|+|3x 2+4y 2﹣10|的最大值为30． 故答案为：30．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在平面直角坐标系中，已知射线OA ：x ﹣y ＝0（x ≥0），OB ：x +2y ＝0（x ≥0）．过点P （3，0）作直线分别交射线OA ，OB 于点A ，B ． （1）已知点B （6，﹣3），求点A 的坐标；（2）当线段AB 的中点为P 时，求直线AB 的方程． 解：（1）由题意知，k BP =0−(−3)3−6=−1， 因为P （3，0），所以直线BP 的方程为y ＝﹣（x ﹣3），即x +y ﹣3＝0， 联立{x +y −3=0x −y =0(x ≥0)，解得{x =32y =32，即A(32，32)．（2）不妨设A （a ，a ），B （﹣2b ，b ），a ＞0，b ＜0， 则线段AB 的中点为(a−2b 2，a+b2)， 因为线段AB 的中点为P ，所以{a−2b2=3a+b 2=0，解得{a =2b =−2， 所以A （2，2），B （4，﹣2），所以直线AB 的斜率为2−(−2)2−4=−2，因为直线AB 经过点P （3，0），所以直线AB 的方程为y ＝﹣2（x ﹣3），即2x +y ﹣6＝0， 故直线AB 的方程为2x +y ﹣6＝0．18．（12分）如图，ABCD 和ABEF 是不在同一平面上的两个矩形，DM →=13DB →，AN →=13AE →，记AB →=a →，AD →=b →，AF →=c →．请用基底{a →，b →，c →}，表示下列向量： （1）FC →； （2）MN →．解：（1）FC →=FA →+AB →+BC →=−AF →+AB →+AD →=a →+b →−c →．（2）MN →=AN →−AM →=AN →−（AD →+DM →）=13AE →−（AD →+13DB →）=13（AB →+AF →）﹣[AD →+13（AB →−AD →）] =13（a →+c →）﹣[b →+13（a →−b →）] =(13−1)b →+13c →=−23b →+13c →． 19．（12分）已知圆C ，圆C 1：（x +3）2+y 2＝9，圆C 2：(x −1)2+y 2=9，这三个圆有一条公共弦． （1）当圆C 的面积最小时，求圆C 的标准方程； （2）在（1）的条件下，直线l 同时满足以下三个条件： （i ）与直线√19x +y −3=0垂直； （ii ）与圆C 相切；（iii ）在y 轴上的截距大于0，若直线l 与圆C 2交于D ，E 两点，求|DE |． 解：（1）依题意，由{(x +3)2+y 2=9(x −1)2+y 2=9，解得{x =−1y =−√5或{x =−1y =√5， 因此圆C 1与圆C 2的公共弦的两个端点坐标分别为M(−1，−√5)，N(−1，√5)， 当圆C 的面积最小时，MN 是圆C 的直径，则圆C 的圆心为（﹣1，0），半径为√5， 所以圆C 的标准方程是（x +1）2+y 2＝5；（2）因为直线l 与直线√19x +y −3=0垂直，则设直线l 的方程为x −√19y +m =0， 而直线l 与圆C 相切，则有d =|−1+0+m|2√5=√5，解得m ＝1或m ＝﹣9，又因为l 在y 轴上的截距大于0，即√190，所以m ＝11，即直线l 的方程为x −√19y +11=0，而圆C 2的圆心C 2（1，0），半径r 2＝3， 点C 2到直线l ：x −√19y +11=0 的距离为d 2=|1+0+11|25=6√55，于是得|DE|=2√r 22−d 22=2√9−(655)2=6√55．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠ABC=π3，H为BC的中点，P A＝PB＝PH=√2．E为PD上的一点，已知PD＝4PE．（1）证明：平面P AB⊥平面ABCD；（2）求平面EAC与平面P AB夹角的余弦值．（1）证明：取AB中点O，连接PO，HO，∵P A＝PB，O为AB中点，∴PO⊥AB，∵PA=√2，OA=12AB=1，∴PO=√PA2−OA2=1，∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=π3，∴△ABC为等边三角形，∴AC＝2，又O，H分别为AB，BC中点，∴OH=12AC=1，∴OH2+PO2＝PH2，即PO⊥OH，∵OH∩AB＝O，OH，AB⊂平面ABCD，PO⊄平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，∵PO⊂平面P AB，∴平面P AB⊥平面ABCD；（2）解：连接CO，由（1）知：△ABC为等边三角形，∴CO⊥AB，CO=√3，以O为坐标原点，OC、OB、OP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则A(0，−1，0)，C(√3，0，0)，D(√3，−2，0)，P(0，0，1)，H(√32，12，0)， ∴AC →=(√3，1，0)，PD →=(√3，−2，−1)，PH →=(√32，12，−1)，PA →=(0，−1，−1)， 由PD ＝4PE 得：PE →=(√34，−12，−14)， ∴EA →=PA →−PE →=(−√34，−12，−34)， 设平面EAC 的法向量为m →=(x ，y ，z)，则{AC →⊥m →EA →⊥m →⇒⇒{AC →⋅m →=0EA →⋅m →=0⇒⇒{√3x +y =0−√34x −y 2−34z =0， 令z ＝1，解得：x =√3，y =−3，∴m →=(√3，−3，1)， ∵x 轴⊥平面P AB ，∴平面P AB 的一个法向量ℎ→=(1，0，0)， 设平面EAC 与平面P AB 的夹角为θ， 则cosθ=|cos ＜m →，ℎ→＞|=|m →⋅ℎ→||m →|⋅|ℎ→|=3√13=√3913，所以平面EAC 与平面P AB 夹角的余弦值为√3913． 21．（12分）已知A(−√3，1)，B ，M 是椭圆C 上的三点，其中A 、B 两点关于原点O 对称，直线MA 和MB 的斜率满足k MA •k MB =−13． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）点Q 是椭圆C 长轴上的不同于左右顶点的任意一点，过点Q 作斜率不为0的直线l ，l 与椭圆的两个交点分别为P 、N ，若1|PQ|+1|QN|为定值，则称点Q 为“稳定点”，问：是否存在这样的稳定点？若有，试求出所有的“稳定点”，并说明理由；若没有，也请说明理由． 解：（1）设M （x ，y ），易知B(√3，−1)， 由k MA ⋅k MB =−13，得x+√3⋅x−√3=−13，化简得x 26+y 22=1，故椭圆C 的标准方程为x 26+y 22=1．（2）∵点Q 是椭圆C 长轴上的不同于A 、B 的任意一点， 故可设直线PN 的方程为x ＝my +x 0，P （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 由{x =my +x 0x 26+y 22=1，得(m 2+3)y 2+2mx 0y +x 02−6=0， ∴y 1+y 2=−2mx 0m 2+3，y 1y 2=x 02−6m 2+3，Δ＞0恒成立．又|PQ|=√1+m 2|y 1|，|QN|=√1+m 2|y 2|， ∴1|PQ|+1|QN|=√1+m2(1|y 1|+1|y 2|)=√1+m 212−y 1y 2，=1√1+m 2√(y1+y 2)2−4y 1y 2−y 1y 2=1√1+m 2⋅√(−2mx 0m 2+3)2−4⋅x 02−6m 2+3−x 02−6m 2+3=26−x 02√6m 2−3x 02+18m 2+1=26−x 02√6(m 2+6−x 022)m 2+1， 要使其值为定值，则6−x 022=1，故当x 02=4，即x 0＝±2时，1|PQ|+1|QN|=√6．综上，存在这样的稳定点Q （±2，0）． 22．（12分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的焦距为4√3，且点P(2，√3)在椭圆E 上．（1）求椭圆E 的方程；（2）若A 、B 、Q 是椭圆E 上的三点，且直线AB 与x 轴不垂直，点O 为坐标原点，OQ →=λOA →+μOB →，则当△AOB 的面积最大时，求λ2+μ2的值．解：（1）由题意得，{2c =4√34a 2+3b 2=1a 2−b 2=c 2，解之得{a 2=16b 2=4c =2√3，故椭圆E 的方程为x 216+y 24=1；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），Q （x 0，y 0），直线AB 的方程为y ＝kx +t ． 将y ＝kx +t 代入x 216+y 24=1，整理得（1+4k 2）x 2+8ktx +4t 2﹣16＝0，Δ＝（8kt ）2﹣4（1+4k 2）（4t 2﹣16）＞0，即16k 2+4﹣t 2＞0， 则x 1+x 2=−8kt 1+4k2，x 1x 2=4t 2−161+4k2，故|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅4√16k 2−t 2+41+4k2．又原点O 到直线AB 的距离为d =|t|√1+k，所以S △AOB=12|AB|×d =12⋅√1+k 2⋅4√16k 2−t 2+41+4k 2⋅|t|√1+k=2√(16k 2−t 2+4)t 21+4k 2≤16k 2+41+4k 2=4， 当且仅当16k 2﹣t 2+4＝t 2，即2+8k 2＝t 2……①时，等号成立． 由OQ →=λOA →+μOB →，得{x 0=λx 1+μx 2，y 0=λy 1+μy 2，代入x 0216+y 024=1，整理得λ2(x 1216+y 124)+μ2(x 2216+y 224)+2λμ(x 1x 216+y 1y 24)=1，即λ2+μ2+2λμ(x 1x 216+y 1y 24)=1⋯⋯②．而x 1x 216+y 1y 24=x 1x 216+(kx 1+t)(kx 2+t)4=(1+4k 2)x 1x 2+4kt(x 1+x 2)+4t 216=(1+4k 2)×4t 2−161+4k2+4kt×(−8kt 1+4k2)+4t216=t 2−2−8k22(1+4k 2)．由①可知x 1x 216+y 1y 24=0，代入②式得λ2+μ2＝1．故λ2+μ2＝1的值为1．。
2023-2024学年河南省濮阳市高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年河南省濮阳市高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线√3x +y +2024=0的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，点M （m ，n ，p ）关于平面xOy 对称的点的坐标是（ ） A ．（m ，n ，﹣p ）B ．（m ，﹣n ，﹣p ）C ．（﹣m ，n ，﹣p ）D ．（﹣m ，﹣n ，p ）3．抛物线x 2＝16y 的焦点到点（2，5）的距离为（ ） A ．2B ．√5C ．√7D ．44．已知正四棱锥P ﹣ABCD 的底面中心为O ，AB →=a →，AD →=b →，AP →=c →，则OP →=（ ）A ．−12a →−12b →−c →B ．12a →+12b →−c →C ．−12a →−12b →+c →D ．12a →+12b →+c →5．过点A （﹣1，﹣1），B （2，2），C （﹣1，1）三点的圆的方程为（ ） A ．x 2+（y ﹣1）2＝9 B ．x 2+（y ﹣1）2＝4 C ．（x +1）2+y 2＝5D ．（x ﹣1）2+y 2＝56．如图所示为某高中校内伫立于教学楼前的“孔子像”的底座模型图，该底座可看作正方体BCDE ﹣HGJI 与直三棱柱ABH ﹣FEI 的组合体，且△ABH 为等腰直角三角形，则直线AH 与直线IG 所成的角为（ ）A ．π4B ．π6C ．2π3D ．π37．如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心F 1为一个焦点且离心率为12的椭圆，地球可看作半径为R 的球体，近地点离地面的距离为r ，则远地点离地面的距离l 为（ ）A ．3r +2RB ．2r +3RC ．r +2RD ．13r +R8．在棱长为2的正四面体ABCD 中，点P 为△ABC 所在平面内以A ，B 为左、右顶点，√33为半短轴长的椭圆上的一动点，则PD 的最大值为（ ） A ．4B ．2C ．5√66D ．√333二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年湖北省孝感市高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年湖北省孝感市高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．若复数z 满足2z −z =3+12i ，其中i 为虚数单位，z 是z 的共轭复数，则复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ）A ．一B ．二C ．三D ．四 2．已知向量a →=（﹣1，2），b →=（3，4），c →=2a →−λb →，若c →⊥b →，则实数λ＝（ ）A ．−25B ．12C ．−12D ．25 3．甲、乙两人独立地破译某个密码，如果每人译出密码的概率均为0.4，则密码被破译的概率为（ ）A ．0.36B ．0.48C ．0.64D ．0.544．经过点（1，3）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（ ）A ．x +y ＝4B ．y ＝x +2C ．y ＝3x 或x +y ＝4D ．y ＝3x 或y ＝x +25．关于空间中两条不同的直线m ，n 与两个不同的平面α，β，下列说法正确的是（ ）A ．若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m ∥nB ．若m ⊥α，n ⊥β，α∥β，则m ⊥nC ．若n ∥α，m ⊥n ，α⊥β，则m ∥βD ．若n ⊥α，m ∥n ，α∥β，则m ⊥β6．东寺塔和西寺塔为昆明市城中古景，分别位于昆明市南面的书林街和东寺街，一东一西隔街相望，距今已有1100多年历史，在二月的梅花和烟雨中，“双塔烟雨”成为明清时的“昆明八景”之一．东寺塔基座为正方形，塔身有13级，塔顶四角立有四只铜皮做成的鸟，俗称金鸡，所以也有“金鸡塔”之称．如图，从东到西的公路上有相距80（单位：m ）的B 、A 两个观测点，在A 点测得塔在北偏东60°的点D 处，在B 点测得塔在北偏西30°，塔顶C 的仰角为45°，则塔的高度CD 约为（ ）A ．40mB ．37mC ．35mD ．23m7．已知圆C ：x 2+y 2﹣2x ＝0，直线l ：x +y +1＝0，P 为l 上的动点，过点P 作圆C 的两条切线P A 、PB ，切点分别A 、B ，当|PC |•|AB |最小时，直线AB 的方程为（ ）A ．x +y ＝0B ．x ﹣y ＝0C ．2x ﹣2y +1＝0D ．2x +2y +1＝08．如图，棱长为2的长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段B 1D 1上动点（包括端点）．则以下结论正确的为（ ）A ．三棱锥P ﹣A 1BD 中，点P 到面A 1BD 的距离为定值4√33B ．过点P 平行于面A 1BD 的平面被正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1截得的多边形的面积为3√3C ．当点P 为B 1D 1中点时，三棱锥P ﹣A 1BD 的外接球体积为11√11π3 D ．直线P A 1与面A 1BD 所成角的正弦值的范围为[√33，√63] 二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分）9．已知事件A ，B ，且P （A ）＝0.5，P （B ）＝0.2，则下列结论正确的是（ ）A ．如果B ⊆A ，那么P （AB ）＝0.5 B ．如果A 与B 互斥，那么P （AB ）＝0C ．如果A 与B 相互独立，那么P(AB)=0.4D ．如果A 与B 相互独立，那么P （AB ）＝010．已知圆O ：x 2+y 2＝4，过点M （﹣1，0）直线l 与圆O 交于P ，Q 两点．下列说法正确的是（ ）A ．|PQ |的最小值为2√2B ．PO →⋅PQ →∈[6，8]C ．OP →⋅OQ →的最小值为﹣4D ．线段PQ 中点的轨迹为圆11．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，点D 是BB 1的中点，AA 1＝AB ＝4，AC ＝2，∠BAC ＝60°，点P 为侧面AA 1C 1C （含边界）上一点，BP ∥平面ADC 1，则下列结论正确的是（ ）A ．BC ⊥AC 1B ．直线C 1D 与直线A 1C 所成角的余弦值是2√55 C ．点A 1到平面AC 1D 的距离是√3D ．线段BP 长的最小值是8√55 12．已知F 为椭圆C ：x 24+y 22=1的左焦点，直线l ：y ＝kx （k ≠0）与椭圆C 交于A 、B 两点，AE ⊥x 轴，垂足为E ，BE 与椭圆C 的另一个交点为P ，则（ ）A ．1|AF|+4|BF|的最小值为2B ．△ABE 的面积的最大值为√2C ．直线BE 的斜率为k 2D ．∠P AB 为直角 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．已知有8个样本数据分别为4，7，8，10，12，15，20，22，则估计该组数据的总体的第三四分位数为 ．14．已知圆C 1：x 2+y 2＝4和圆C 2：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝4，若点P （a ，b ）（a ＞0，b ＞0）在两圆的公共弦上，则1a +9b 的最小值为 ． 15．如图，在矩形ABCD 中，已知AB ＝2AD ＝6，E 是AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE ，连接A 1C ．当三棱锥A 1﹣CDE 的体积取得最大值时，此时三棱锥A 1﹣CDE 外接球的体积为 ．16．设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的焦点为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，且∠F 1PF 2=π3，若△F 1PF 2的外接圆和内切圆的半径分别为R ，r ，当R ＝4r 时，椭圆的离心率为 ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量为n ）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，已知得分在[50，60），[90，100]的频数分别为8，2．（1）求样本容量n 和频率分布直方图中的x ，y 的值；（2）估计本次竞赛学生成绩的众数、中位数、平均数．18．（12分）法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名．对△ABC而言，若其内部的点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CP A＝120°，则称P为△ABC的费马点．如图所示，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，设P为△ABC的费马点，且满足∠PBA＝45°，P A＝2．（1）求△P AC的面积；（2）求PB的长度．19．（12分）在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝DC，E是SC的中点．（1）证明：SA∥平面BDE；（2）若点G在棱SC上，且SG：GC＝2：1，在棱SB上求一点H使得AH∥平面BDG．20．（12分）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆．已知平面直角坐标系中A（﹣2，0），B（1，0）且|P A|＝2|PB|．（1）求点P的轨迹方程；（2）若点P在（1）的轨迹上运动，点M为AP的中点，求点M的轨迹方程；（3）若点P（x，y）在（1）的轨迹上运动，求t=y+4x−6的取值范围．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面P AB⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，P A＝BC＝3，AB ＝AD＝2，PB=√13．E为PD中点，点F在PC上，且PC＝3FC．（1）求证：AB ⊥平面P AD ；（2）求二面角F ﹣AE ﹣D 的余弦值；（3）线段AC 上是否存在点Q ，使得DQ ∥平面F AE ？说明理由．22．（12分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)过点M(√3，12)，点A 为下顶点，且AM 的斜率为√32． （1）求椭圆E 的方程；（2）如图，过点B （0，4）作一条与y 轴不重合的直线，该直线交椭圆E 于C 、D 两点，直线AD ，AC 分别交x 轴于H ，G 两点，O 为坐标原点．求证：|OH ||OG |为定值，并求出该定值．2023-2024学年湖北省孝感市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．若复数z 满足2z −z =3+12i ，其中i 为虚数单位，z 是z 的共轭复数，则复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ）A ．一B ．二C ．三D ．四解：设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），由2z −z =3+12i ，得2a +2bi ﹣a +bi ＝a +3bi ＝3+12i ，∴a ＝3，b ＝4．则复数z 在复平面内对应的点的坐标为（3，4），所在的象限是第一象限． 故选：A ．2．已知向量a →=（﹣1，2），b →=（3，4），c →=2a →−λb →，若c →⊥b →，则实数λ＝（ ）A ．−25B ．12C ．−12D ．25解：由于知向量a →=（﹣1，2），b →=（3，4），c →=2a →−λb →=（﹣2﹣3λ，4﹣4λ），由于c →⊥b →，故：3×（﹣2﹣3λ）+4×（4﹣4λ）＝0，解得λ=25．故选：D ．3．甲、乙两人独立地破译某个密码，如果每人译出密码的概率均为0.4，则密码被破译的概率为（） A ．0.36 B ．0.48 C ．0.64 D ．0.54解：甲乙都不能译出密码的概率为P 1＝（1﹣0.4）×（1﹣0.4）＝0.36，故密码被破译的概率为1﹣P 1＝0.64．故选：C ．4．经过点（1，3）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（ ）A ．x +y ＝4B ．y ＝x +2C ．y ＝3x 或x +y ＝4D ．y ＝3x 或y ＝x +2解：当直线过原点时，由于斜率为3−01−0=3，故直线方程为y ＝3x ；当直线不过原点时，设方程为x a +y −a =1，把点（1，3）代入可得a ＝﹣2，故直线的方程为y ＝x +2，故选：D ．5．关于空间中两条不同的直线m ，n 与两个不同的平面α，β，下列说法正确的是（ ）A ．若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m ∥nB ．若m ⊥α，n ⊥β，α∥β，则m ⊥nC．若n∥α，m⊥n，α⊥β，则m∥βD．若n⊥α，m∥n，α∥β，则m⊥β解：根据题意，依次分析选项：对于A，直线m、n可以平行、相交，也可以异面，A错误；对于B，若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n，B错误；对于C，若n∥α，m⊥n，α⊥β，则m可以与平面β相交，C错误；对于D，若n⊥α，m∥n，则m⊥α，又由α∥β，则m⊥β，D正确．故选：D．6．东寺塔和西寺塔为昆明市城中古景，分别位于昆明市南面的书林街和东寺街，一东一西隔街相望，距今已有1100多年历史，在二月的梅花和烟雨中，“双塔烟雨”成为明清时的“昆明八景”之一．东寺塔基座为正方形，塔身有13级，塔顶四角立有四只铜皮做成的鸟，俗称金鸡，所以也有“金鸡塔”之称．如图，从东到西的公路上有相距80（单位：m）的B、A两个观测点，在A点测得塔在北偏东60°的点D 处，在B点测得塔在北偏西30°，塔顶C的仰角为45°，则塔的高度CD约为（）A．40m B．37m C．35m D．23m解：从东到西的公路上有相距80（单位：m）的B、A两个观测点，在A点测得塔在北偏东60°的点D 处，在B点测得塔在北偏西30°，则∠DAB＝90°﹣60°＝30°，∠DBA＝90°﹣30°＝60°，则∠ADB＝90°，又|AB|＝80，则|BD|＝40，又在B点测得塔顶C的仰角为45°，则∠CBD＝45°，则|CD|＝|BD|＝40，则塔的高度CD约为40m．故选：A．7．已知圆C：x2+y2﹣2x＝0，直线l：x+y+1＝0，P为l上的动点，过点P作圆C的两条切线P A、PB，切点分别A 、B ，当|PC |•|AB |最小时，直线AB 的方程为（ ）A ．x +y ＝0B ．x ﹣y ＝0C ．2x ﹣2y +1＝0D ．2x +2y +1＝0 解：化圆C 为（x ﹣1）2+y 2＝1，则圆心C （1，0），半径r ＝1．∵四边形P ACB 面积S =12|PC |•|AB |＝2S △P AC ＝|P A |•|AC |＝2|P A |＝2√PC 2−4，∴要使|PC |•|AB |最小，则需|PC |最小，此时PC 与直线l 垂直，则直线PC 的方程为y ＝x ﹣1，联立{y =x −1x +y +1=0，解得P （0，﹣1）． 则以PC 为直径的圆的方程为（x −12）²+（y +12）²=12．则两圆方程相减可得直线AB 的方程为x +y ＝0．故选：A ．8．如图，棱长为2的长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段B 1D 1上动点（包括端点）．则以下结论正确的为（ ）A ．三棱锥P ﹣A 1BD 中，点P 到面A 1BD 的距离为定值4√33B ．过点P 平行于面A 1BD 的平面被正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1截得的多边形的面积为3√3C ．当点P 为B 1D 1中点时，三棱锥P ﹣A 1BD 的外接球体积为11√11π3 D ．直线P A 1与面A 1BD 所成角的正弦值的范围为[√33，√63] 解：对于A 中，由题意可得：BB 1∥DD 1且BB 1＝DD 1∴BB 1D 1D 为平行四边形，则BD ∥B 1D 1，且B 1D 1⊄平面A 1BD ，BD ⊂平面A 1BD ， ∴B 1D 1∥平面A 1BD ，又P 为线段B 1D 1上，则点P 到平面A 1BD 的距离为定值，设点P 到面A 1BD 的距离为h ，△A 1BD 为等边三角形，∴S △A 1BD =12×2√2×2√2×√32=2√3， ∵V P−A 1BD =V A 1−PBD ，∴13×2√3×ℎ=13×√2×12×2√2×2，解得ℎ=2√33，∴A 错误； 对于B 中，过点P 平行于平面A 1BD 的平面被正方体所截的截面为△B 1D 1C ， 此时三角形B 1D 1C 为边长为2√2的等边三角形，其面积为12×2√2×2√2×√32=2√3，∴B 不正确； 设直线P A 1与平面A 1BD 所成角为θ，则sinθ=ℎA 1P =2√33A 1P ， ∵A 1P ∈[√2，2]，则sinθ∈[√33，√63]，∴D 正确； 对于C 中，当点P 为B 1D 1中点时，则A 1P ⊥B 1D 1，∵BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，A 1P ⊂平面A 1B 1C 1D 1，∴A 1P ⊥BB 1，又BB 1∩B 1D 1＝B 1，BB 1，B 1D 1⊂平面BB 1D 1D ，∴A 1P ⊥平面BB 1D 1D ，设△PBD 的外接圆圆心为O 1，半径为r ，三棱锥P ﹣A 1BD 的外接球的球心O ，半径为R ，连接OO 1，O 1B ，OB ，则OO 1⊥平面PBD ，且OO 1=12A 1P =√22，对于△PBD ，则PB =PD =√6，BD =2√2，∴cos ∠BPD =PB 2+PD 2−BD 22PB⋅PD=13， 则sin ∠BPD =√1−cos 2∠BPD =2√23，∵2r =BD sin∠BPD =3，则r =32，∴R 2=r 2+OO 12=114，即R =√112， 则三棱锥P ﹣A 1BD 的外接球的体积为43πR 3=11√11π6，∴C 错误．故选：D ．二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分）9．已知事件A ，B ，且P （A ）＝0.5，P （B ）＝0.2，则下列结论正确的是（ ）A ．如果B ⊆A ，那么P （AB ）＝0.5B ．如果A 与B 互斥，那么P （AB ）＝0C ．如果A 与B 相互独立，那么P(AB)=0.4D ．如果A 与B 相互独立，那么P （AB ）＝0解；对于A ，由B ⊆A 得A ∩B ＝B ，则P （AB ）＝P （A ∩B ）＝P （B ）＝0.2，A 错； 对于B ，由A 与B 互斥得A ∩B ＝∅，则P （AB ）＝P （A ∩B ）＝P （∅）＝0，B 对； 对于CD ，A 与B 相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.8=0.4，P （AB ）＝P （A ）P （B ）＝0.5×0.2＝0.1，故C 对D 错；故选：BC ．10．已知圆O ：x 2+y 2＝4，过点M （﹣1，0）直线l 与圆O 交于P ，Q 两点．下列说法正确的是（） A ．|PQ |的最小值为2√2 B ．PO →⋅PQ →∈[6，8]C ．OP →⋅OQ →的最小值为﹣4D ．线段PQ 中点的轨迹为圆解：对于选项A ：由题意可知，当l ⊥x 轴时，|PQ |最小，所以|PQ |的最小值为2×√4−1=2√3，故选项A 错误；对于选项B ：设N 是PQ 的中点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，PO →⋅PQ →=|PO →|⋅|PQ →|⋅cos∠OPQ =|PQ →|⋅|PN →|=12|PQ →|2，∵|PQ →|的最小值为2√3，最大值为4，∴PO →⋅PQ →∈[6，8]，故选项B 正确；对于选项C ：当直线l 的斜率为0时，OP →⋅OQ →=2×2×cosπ=−4，当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为x ＝my ﹣1，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 联立方程{x =my −1x 2+y 2=4，消去x 得（m 2+1）y 2﹣2my ﹣3＝0， ∴y 1+y 2=2m m 2+1，y 1y 2=−3m 2+1， ∴OP →⋅OQ →=(m 2+1)y 1y 2−m(y 1+y 2)+1=−3(m 2+1)−2m 2m 2+1+1=−4m 2−2m 2+1=−4+2m 2+1∈(−4，−2]，∴OP →⋅OQ →∈[−4，−2]，∴OP →⋅OQ →的最大值为﹣2，当且仅当m ＝0，即l ：x ＝﹣1时取等号，故选项C 正确； 对于选项D ：由于MN ⊥ON ，则点N 在以MO 为直径的圆上，圆心为(−12，0)，半径为12，∴点N 的轨迹方程为(x +12)2+y 2=14，即线段PQ 中点的轨迹为圆，故选项D 正确． 故选：BD ．11．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，点D 是BB 1的中点，AA 1＝AB ＝4，AC ＝2，∠BAC ＝60°，点P 为侧面AA 1C 1C （含边界）上一点，BP ∥平面ADC 1，则下列结论正确的是（ ）A ．BC ⊥AC 1B ．直线C 1D 与直线A 1C 所成角的余弦值是2√55C ．点A 1到平面AC 1D 的距离是√3D ．线段BP 长的最小值是8√55解：直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，C 1C ⊥BC ， 在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝2，∠BAC ＝60°，可得BC 2＝AB 2+AC 2﹣2AB •AC •cos60°＝16+4﹣2×4×2×12=12， 所以AC 2+BC 2＝12＝AB 2，可得AC ⊥BC ，结合AC ∩C 1C ＝C ，可知BC ⊥平面AA 1C 1C ，所以BC ⊥AC 1，故A 正确；由前面的分析，可知CA 、CB 、CC 1两两垂直，可知CA →⋅CB →=CB →⋅CC 1→=CC 1→⋅CA →=0，而A 1C →=A 1A →+AC →=−CA →−AA 1→=−CA →−CC 1→，C 1D →=C 1B 1→+B 1D →=CB →−12CC 1→，所以A 1C →⋅C 1D →=(−CA →−CC 1→)⋅(CB →−12CC 1→)=−CA →⋅CB →+12CA →⋅CC 1→−CC 1→⋅CB →+12CC 1→2=12CC 1→2=12×42=8，结合|A 1C →|=√42+22=2√5，|C 1D →|=√12+22=4， 可得cos ＜A 1C →，C 1D →＞=A 1C →⋅C 1D →|A 1C →|⋅|C 1D →|=825×4=√55，所以直线C 1D 与直线A 1C 所成角的余弦值是√55，故B 不正确；根据A 1C 1＝AC ＝2，AA 1＝4，可知D 到平面AA 1C 1的距离等于BC =2√3，可得V D−AA 1C 1=13×12×2×4×2√3=8√33，AD =√16+4=2√5，AC 1=√16+4=2√5，DC 1=√4+12=4， 所以S △AC 1D =12×4×√20−4=8，设A 1到平面AC 1D 的距离为h ， 可得13×8×ℎ=8√33，解得h =√3，即点A 1到平面AC 1D 的距离是√3，故C 正确；分别取CC 1、AC 的中点G 、H ，连接BG ，BH ，GH ，可得BG ∥DC 1，GH ∥AC 1， 又因为BG ⊄平面AC 1D ，DC 1⊂平面AC 1D ，所以BG ∥平面AC 1D ，同理GH ∥平面AC 1D ， 结合BG ∩GH ＝G ，可得平面BGH ∥平面AC 1D ，所以BP ∥平面AC 1D ， 因此，P 点的轨迹为线段GH ，因为BH =√12+1=√13，GH =√4+1=√5，BG =√12+4=4， 所以cos ∠BHG =2×√13×√5=√6565，可得sin ∠BHG =√1−165=8√6565． 所以S △BGH =12×√13×√5×8√6565=4， 设B 到GH 的距离为d ，由等面积法可得：12×√5d =4，即d =8√55，可得线段BP 长的最小值是8√55，故D 正确．故选：ACD ．12．已知F 为椭圆C ：x 24+y 22=1的左焦点，直线l ：y ＝kx （k ≠0）与椭圆C 交于A 、B 两点，AE ⊥x 轴，垂足为E ，BE 与椭圆C 的另一个交点为P ，则（ ） A ．1|AF|+4|BF|的最小值为2B ．△ABE 的面积的最大值为√2C ．直线BE 的斜率为k 2D ．∠P AB 为直角解：对于A ：因为O 为AB 的中点，O 也是FF 2的中点， 所以AFBF 2为平行四边形，所以BF ＝AF 2， 所以AF +BF ＝AF +AF 2＝2a ＝4， 所以1AF+4BF=14（1AF+4BF）（AF +BF ）=14（5+BF AF +4AF BF ）≥14（5+4）=94，故A 错误； 对于B ：设A （m ，n ），B （﹣m ，﹣n ），E （m ，0），P （x 1，y 1）， 因为A 在椭圆上，所以m 24+n 22=1≥2√m 2n 28，即mn ≤√2，所以S =12•m •2n ＝mn ≤√2，当且仅当m =√2，n ＝1时取等号，故B 正确； 对于C ：因为k ＝k OA =n m ，所以k BE =n 2m =k2，故C 正确； 对于D ：因为A ，P 在椭圆上，所以m 24+n 22=1，x 124+y 122=1，两式相减得n 2−y 12m 2−x 12=−12，即(n+y 1)(n−y 1)(m+x 1)(m−x 1)=−12，即k PB •k P A =−12，所以k 2•k P A =−12，所以k •k P A ＝﹣1，所以∠P AB 为直角，故D 正确， 故选：BCD ．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．已知有8个样本数据分别为4，7，8，10，12，15，20，22，则估计该组数据的总体的第三四分位数为 17.5 ．解：由题意，数据的总体的第三四分位数即第75百分位数，又样本数据有8个， 所以8×75%＝6，所以第三四分位数为15+202=17.5．故答案为：17.5．14．已知圆C 1：x 2+y 2＝4和圆C 2：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝4，若点P （a ，b ）（a ＞0，b ＞0）在两圆的公共弦上，则1a+9b 的最小值为 8 ．解：由题意，两圆的方程相减，可得x +y ＝2， ∵点P （a ，b ）（a ＞0，b ＞0）在两圆的公共弦上， ∴a +b ＝2，∴1a+9b =12（1a +9b）（a +b ）=12（10+b a +9a b ）≥12(10+6)=8， 当且仅当ba=9a b ，即b ＝3a 时，取等号，1a+9b的最小值为8，故答案为8．15．如图，在矩形ABCD 中，已知AB ＝2AD ＝6，E 是AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE ，连接A 1C ．当三棱锥A 1﹣CDE 的体积取得最大值时，此时三棱锥A 1﹣CDE 外接球的体积为 36π ．解：因为三棱锥A 1﹣CDE 的底面积S △CDE ＝9为定值，故当高最大值时，体积最大，又因为DE =CE =3√2，且△A 1DE 为等腰直角三角形，取DE 中点为F ， 连接A 1F ，故A 1F ⊥DE ，且A 1F =3√22，所以当A 1F ⊥平面DEBC 时，三棱锥A 1﹣CDE 的高最大为3√22， 可知DE 2+CE 2＝CD 2，即∠CED ＝90°，则△DEC 为等腰直角三角形，所以球心O 在平面DEBC 的投影为DC 中点G ，且△DEC 的外接圆半径为r ＝3， 设OG ＝h ，则FG =12EC =3√22， 由题意可得{R 2=ℎ2+9R 2=92+(3√22−ℎ)2，解得{R =3ℎ=0， 所以三棱锥A 1﹣CDE 外接球的体积为V =43πR 3=36π． 故答案为：36π． 16．设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的焦点为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，且∠F 1PF 2=π3，若△F 1PF 2的外接圆和内切圆的半径分别为R ，r ，当R ＝4r 时，椭圆的离心率为 23．解：△F 1PF 2的外接圆的半径R ，由正弦定理2R =|F 1F 2|sin∠F 1PF 2=2c sin π3，所以R =2√33c ， 又由于R ＝4r ，所以r =√36c ，在△F 1PF 2中，由余弦定理可得|F 1F 2|2＝|PF 1|2+|PF 2|2﹣2|PF 1||PF 2|•cos ∠F 1PF 2，而∠F 1PF 2=π3， 所以4c 2＝4a 2﹣3|PF 1||PF 2|，所以可得：|PF 1||PF 2|=43（a 2﹣c 2），由三角形的面积相等可得：12（|PF 1|+|PF 2|+|F 1F 2|）•r =12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2，所以（2a +2c ）r =43（a 2﹣c 2）•√32， 所以2（a +c ）√36c =43（a 2﹣c 2）•√32， 整理可得：c ＝2（a ﹣c ）＝0，即3c ＝2a ，解得e =23， 故答案为：23．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量为n ）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，已知得分在[50，60），[90，100]的频数分别为8，2．（1）求样本容量n 和频率分布直方图中的x ，y 的值； （2）估计本次竞赛学生成绩的众数、中位数、平均数．解：（1）由频率分布直方图得[50，60）的频率为0.016×10＝0.16， ∵得分在[50，60），[90，100]的频数分别为8，2． ∴n =80.016×10=50，y =2n×10=2500=0.004， ∴x ＝[1﹣（0.016+0.04+0.01+0.004）×10]÷10＝0.03． （2）估计本次竞赛学生成绩的众数为：70+802=75，∵[50，70）的频率为：（0.016+0.03）×10＝0.46，[70，80）的频率为：0.04×10＝0.4，∴中位数为：70+0.5−0.460.4×10=71，平均数为：55×0.16+65×0.3+75×0.4+85×0.1+95×0.04＝70.6．18．（12分）法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名．对△ABC而言，若其内部的点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CP A＝120°，则称P为△ABC的费马点．如图所示，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，设P为△ABC的费马点，且满足∠PBA＝45°，P A＝2．（1）求△P AC的面积；（2）求PB的长度．解：（1）由已知可得∠P AB＝180°﹣120°﹣45°＝15°，∴∠P AC＝45°﹣15°＝30°，在△P AC中，∠PCA＝180°﹣120°﹣30°＝30°，∴P A＝PC＝2，∴△P AC的面积S=12P A•PC•sin∠P AC=12×2×2×√32=√3．（2）∵sin15°＝sin（45°﹣30°）=√22×√32−√22×12=√6−√24，sin45°=√22，∴在△P AB中，由正弦定理PBsin15°=PAsin45°，可得PB=2sin15°sin45°=2×√6−√24√22=√3−1．19．（12分）在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝DC，E是SC的中点．（1）证明：SA∥平面BDE；（2）若点G在棱SC上，且SG：GC＝2：1，在棱SB上求一点H使得AH∥平面BDG．解：（1）证明：连接AC交BD于O，连接EO，由题意得：在△SAC中，EO∥SA，又EO⊂平面EDB，SA⊄平面EDB，∴SA∥平面EDB；（2）连接AC交BD于O，连接GO，取SG的中点F，连接AF，则根据题意可得G为FC的中点，又O为AG中点∴AF∥OG，取SB的中点H，连接FH，则FH∥GB，又AF∩FH＝F，∴平面AFH∥平面BDG，又AH⊂平面AFH，∴AH∥平面BDG，∴当点H为棱SB的中点时，AH∥平面BDG．20．（12分）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆．已知平面直角坐标系中A（﹣2，0），B（1，0）且|P A|＝2|PB|．（1）求点P的轨迹方程；（2）若点P在（1）的轨迹上运动，点M为AP的中点，求点M的轨迹方程；（3）若点P（x，y）在（1）的轨迹上运动，求t=y+4x−6的取值范围．（1）设P（x，y），|P A|＝2|PB|．则（x+2）2+y2＝4[（x﹣1）2+y2]，化简得：x2﹣4x+y2＝0，故点P的轨迹方程为x2﹣4x+y2＝0；（2）设M（a，b），因为点M为AP的中点，所以点P的坐标为（2a+2，2b），将P（2a+2，2b）代入x2﹣4x+y2＝0中，得到a2+b2＝1，所以点M的轨迹方程为x2+y2＝1；（3）因为点P（x，y）在（1）的轨迹上运动，所以x2﹣4x+y2＝0，变形为（x﹣2）2+y2＝4，即点P（x，y）为圆心为（2，0），半径为2的圆上的点，则t=y+4x−6表示的几何意义为圆上一点与（6，﹣4）连线的斜率，当过（6，﹣4）的直线与圆相切时，取得最值，设y+4＝k（x﹣6），则由点到直线距离公式可得：√1+k2=2，解得k=−4−√73或−4+√73，故t=y+4x−6的取值范围是[−4−√73，−4+√73]．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面P AB⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，P A＝BC＝3，AB ＝AD＝2，PB=√13．E为PD中点，点F在PC上，且PC＝3FC．（1）求证：AB⊥平面P AD；（2）求二面角F﹣AE﹣D的余弦值；（3）线段AC上是否存在点Q，使得DQ∥平面F AE？说明理由．（1）证明：在△P AB中，∵P A＝3，AB＝2，PB=√13，∴PA 2+AB 2=32+22=(√13)2=PB 2． ∴∠P AB ＝90°，即AB ⊥P A ．又∵AB ⊥AD ，在平面P AD 中，P A ∩AD ＝A ， ∴AB ⊥平面P AD ；（2）解：∵平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，AB ⊥AD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴AD ⊥平面P AB ，得AD ⊥P A ，已证AB ⊥P A ，且已知AB ⊥AD ，∴以A 为坐标原点，分别以AD 、AB 、AP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则D （2，0，0），P （0，0，3），C （3，2，0）．AP →=(0，0，3)，AD →=(2，0，0)，AC →=(3，2，0)，CP →=(−3，−2，3)， ∵E 为PD 中点，∴AE →=12(AP →+AD →)=(1，0，32)．由PC ＝3FC 知，AF →=AC →+CF →=AC →+13CP →=(3，2，0)+(−1，−23，1)=(2，43，1)．设平面AEF 的法向量为n →=(x ，y ，z)，由{n →⋅AE →=x +32z =0n →⋅AF →=2x +43y +z =0，令z ＝2，得n →=(−3，3，2)．又AB ⊥平面P AD ，∴平面P AD 的法向量为AB →=(0，2，0)． ∴cos〈n →，AB →〉=n →⋅AB→|n →||AB →|=3×22×9+9+4=3√2222，由题知，二面角F ﹣AE ﹣D 为锐角， ∴二面角F ﹣AE ﹣D 的余弦值为3√2222； （3）解：设Q 是线段AC 上一点，则存在λ∈[0，1]使得AQ →=λAC →． ∵AC →=(3，2，0)，DA →=(−2，0，0)，∴DQ →=DA →+AQ →=DA →+λAC →=(3λ−2，2λ，0)．∵DQ ⊄平面AEF ，∴要使DQ ∥平面AEF ，则DQ →⋅n →=0，即（3λ﹣2，2λ，0）•（﹣3，3，2）＝0．即（3λ﹣2）×（﹣3）+2λ×3+0×2＝0．解得λ＝2． ∵λ＝2∉[0，1]，∴线段AC 上不存在Q ，使得DQ ∥平面AEF ．22．（12分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)过点M(√3，12)，点A 为下顶点，且AM 的斜率为√32．（1）求椭圆E 的方程；（2）如图，过点B （0，4）作一条与y 轴不重合的直线，该直线交椭圆E 于C 、D 两点，直线AD ，AC 分别交x 轴于H ，G 两点，O 为坐标原点．求证：|OH ||OG |为定值，并求出该定值．（1）解：∵椭圆过点M(√3，12)，点A 为下顶点，坐标为（0，﹣b ），又AM 的斜率为√32，则有：{ 3a 2+14b2=112+b 3=√32，解得a ＝2，b ＝1．故求椭圆E 的方程为x 24+y 2=1．（2）证明：由题意知，直线BC 的斜率存在，设直线BC ：y ＝kx +4，由{x 24+y 2=1，y =kx +4整理得，（1+4k 2）x 2+32kx +60＝0．设D （x 1，y 1），C （x 2，y 2），则x 1+x 2=−32k 1+4k2，x 1x 2=601+4k2．Δ＝（32k ）2﹣4（1+4k 2）×60＝16（4k 2﹣15）＞0，得|k|＞√152．因为A （0，﹣1），直线AD 的方程为y =y 1+1x 1x −1，令y ＝0，解得x =x1y 1+1， 则H(x 1y 1+1，0)，同理可得G(x2y 2+1，0)， ∴|OH||OG|=|x 1y 1+1||x 2y 2+1|=|x 1x 2(kx 1+5)(kx 2+5)|=|x 1x 2k 2x 1x 2+5k(x 1+x 2)+25| =|601+4k2k 2⋅601+4k2+5k(−32k 1+4k2)+25|=|6060k 2−160k 2+25(1+4k 2)|=125．（定值）。
高二上册数学期中试卷及答案精选
高二上册数学期中试卷及答案精选学生的时代只有课本、作业、同学和试卷，单纯却美好。
下面小编整理了高二上册数学期中试卷及答案精选，欢迎阅读参考。
高二上册数学期中试卷及答案精选(一)一、单项选择(注释)1、在△ABC中，已知60°，如果△ABC 两组解，则x的取值范围是 ( )A.(1，2)B. (3，+∞)C.( 2，+∞)D.( 1，+∞)2、已知函数，若则实数的取值范围是 ( )A.(1，+∞)B. (1，-∞)C. (+∞，2)D.(-∞，2)3、设函数则不等式的解集是( )A.(1，2) (3，+∞)B.(1，2) (2，+∞)C. (1，2) (3，-∞)D.(1，2) (2，-∞)4、已知正数满足 , ,则的取值范围是______ .5、已知实数满足则的最大值是( )A.4B.5C. 7D.46、设f(x)= 则不等式f(x)>2的解集为( )A.(1，2) (3，+∞)B.( ，+∞)C.(1，2) ( ，+∞)D.(1，2)7、下列不等式(1)m-3>m-5;(2)5-m>3-m;(3)5m>3m ;(4)5+m>5-m其中正确的有( )(A)1个 (B)2个(C)3个 (D)4个8、已知等差数列的前项和为，，，取得最小值时的值为( )A. B. C. D.9、设等差数列的前项和为 ,若 ,则等于( )A.18B.36C.45D.6010、S={1,2,…,2003}，A是S的三元子集，满足：A中的所有元素可以组成等差数列.那么，这样的三元子集A的个数是( )A. B.C. D.11、设等差数列满足： ,则 ( )A.14B.21C.28D.3512、在中，，，分别是，，的对边，已知，，成等比数列，且，则的值为( )A. 4B.2C. 1D.5评卷人得分二、填空题(注释)13、已知 ,若恒成立,则实数的取值范围_________14、已知不等式(x+y) 对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为__________15、在△ 中，若，则△ 的形状是16、在△ABC中，已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC=________.评卷人得分三、解答题(注释)17、设数列满足下列关系：为常数)， ;数列满足关系： .(1)求证：(2)证明数列是等差数列.18、已知集合A={x|x2<4}，B={x|1< }.(1)求集合A∩B;(2)若不等式2x2+ax+b<0的解集为B，求a、b的值.19、已知数列的各项均为正整数,且 ,设集合 .性质1 若对于 ,存在唯一一组 ( )使成立,则称数列为完备数列,当k取最大值时称数列为k阶完备数列.性质2 若记 ,且对于任意 , ,都有成立,则称数列为完整数列,当k取最大值时称数列为k阶完整数列.性质3 若数列同时具有性质1及性质2,则称此数列为完美数列,当取最大值时称为阶完美数列;(Ⅰ)若数列的通项公式为 ,求集合 ,并指出分别为几阶完备数列,几阶完整数列,几阶完美数列;(Ⅱ)若数列的通项公式为 ,求证:数列为阶完备数列,并求出集合中所有元素的和 .(Ⅲ)若数列为阶完美数列,试写出集合 ,并求数列通项公式.20、已知数列为等差数列,公差 ,其中恰为等比数列,若 , , ,⑴求等比数列的公比⑵试求数列的前n项和21、已知是各项均为正数的等比数列,且 ,;(1)求的通项公式;(2)设 ,求数列的前项和 .22、在数列中, .(1)证明数列是等比数列;(2)设是数列的前项和,求使的最小值.参考答案一、单项选择1、【答案】C2、【答案】C【解析】由题知在上是增函数，由题得，解得，故选择C。
高二数学上学期期中试题(含答案)
高二数学上学期期中试题（考试时间：120分钟，满分：150分）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一个项是符合题目要求的。
1．若a b c R ∈,,，且0b a <<，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．b a <B ．2ab a <C ．33b a <D ．22b a <2．等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 的公差为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．在ABC ∆中，若BC =sin 2sin C A =，则AB ＝（ ） A．．．．4. 已知0x >，函数x xy +=4的最小值是（ ） A.8 B.6 C.5 D.45．正项等比数列{}n a 中，26a a ,是方程234640x x -+=的两根，则4a 等于（ ） A ．7 B ．8 C ．9D ．以上都不对6．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且222a b c =-，则角B 的大小是（ ） A ．45° B ．60°C ．90°D ．135°7．若变量,x y 满足约束条件1020y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最小值为( )A ．3B ．1C ．1-D ．3-8．已知数列121,,9a a ,是等差数列，数列1231,,16b b b ,,是等比数列，则212b a a +等于（ ） A ．710 B ．12 C ．310 D ．259. 在ABC △中，,,a b c 分别为,,A B C 的对边，如果,,a b c 成等差数列，60B =， 6ac =，那么b =（ ） Ａ．2Ｃ．3Ｄ．10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-，则2018a 等于( )A.20212B. 20202C. 20192D. 2018211. 在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，2a =，45B =，4ABC S ∆=，则ABC △的外接圆直径为( )A.B.D.12. 数列{}n a 的首项为2，{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈,若32b =-，1012b =，则8a =（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1第II 卷（非选择题 共90分）注意事项：用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。
【典型题】高二数学上期中试卷含答案
【典型题】高二数学上期中试卷含答案一、选择题1．执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =( )A ．203B ．72C ．165D ．1582．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a =（ ）A ．0B ．2C ．4D ．143．抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A 为“向上的点数是偶数”，事件B 为“向上的点数不超过3”，则概率()P A B =U （ ） A ．12B ．13C ．23D ．564．甲、乙两名射击运动员分别进行了5次射击训练，成绩（单位：环）如下： 甲：7，8，8，8，9 乙：6，6，7，7，10；若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用12,x x 表示，方差分别为2212,S S 表示，则（ ）A ．221212,x x s s >> B ．221212,x x s s >< C ．221212,x x s s << D ．221212,x x s s <> 5．某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给4位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为（ ） A ．25B ．1225C ．1625D ．456．执行如图的程序框图，则输出x 的值是 ( )A ．2018B ．2019C ．12D ．27．远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是( )A ．336B ．510C ．1326D ．36038．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中. （a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2ii ξ=；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =. 则A ．()()1212,p p E E ξξ><B ．()()1212,p p E E ξξC ．()()1212,p p E E ξξ>>D ．()()1212,p pE E ξξ<<9．某高校大一新生中,来自东部地区的学生有2400人、中部地区学生有1600人、西部地区学生有1000人.从中选取100人作样本调研饮食习惯,为保证调研结果相对准确,下列判断正确的有（ ）①用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人；②用简单随机抽样的方法从新生中选出100人； ③西部地区学生小刘被选中的概率为150； ④中部地区学生小张被选中的概率为15000A ．①④B ．①③C ．②④D ．②③10．若同时掷两枚骰子，则向上的点数和是6的概率为（ ） A ．16B ．112C ．536D ．51811．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，...，960，分组后某组抽到的号码为41．抽到的32人中，编号落入区间[]401,755 的人数为（ ） A ．10B ．11C ．12D ．1312．同时掷三枚硬币，至少有1枚正面向上的概率是（ ） A ．78B ．58C ．38D ．18二、填空题13．判断大小，，，，则、、、大小关系为_____________.14．如果执行如图所示的程序框图，输入正整数()2N N ≥和实数12,,...,N a a a ，输出,A B ，若输入的N 为20，12,,...,N a a a 依次为87，76，89，98，68，76，89，94，83，86，68，79，95，93，89，87，76，77，84，96，则A B =－________．15．如图所示，正六边形ABCDEF中，线段AD与线段BE交于点G，圆O1，O2分别是△ABG 与△DEG的内切圆，圆O3，O4分别是四边形BCDG与四边形AGEF的内切圆，则往六边形ABCDEF中任意投掷一点，该点落在图中阴影区域内的概率为_________．16．执行如图所示的算法流程图，则输出x的值为__________．17．若按右上图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是__________。
高二上学期期中考试数学试卷含答案(共5套)
高二上学期期中考试数学试题本卷分Ⅰ（选择题）、Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中Ⅰ卷1至2页，第二卷2至4页，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共12个小题，每小题5分1．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．有下列四个命题：（1）“若，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若，则有实数解”的逆否命题；（4）“若，则”的逆否命题.其中真命题为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（1）（2）（3）3．若则为（）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．有一个内角为30°的直角三角形 D．有一个内角为30°的等腰三角形4．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A．(1，+∞)B．(－∞，3)C．(1，3)D．5．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为A．B．C．D．6．已知中，，则等于（）A．B．或C．D．或7．等差数列的前项和为，若，则等于（）A．58B．54C．56D．528．已知等比数列中，，，则（）A．2B．C．D．49．已知，则z=22x+y的最小值是A．1 B．16 C．8 D．410．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（）A．B．C．D．11．当ａ＞０，关于代数式，下列说法正确的是（）A．有最小值无最大值B．有最大值无最小值C．有最小值也有最大值D．无最小值也无最大值12．在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为A．B．3C．4D．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分13．命题的否定是______________．14．已知的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长为________.15．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，当n≥2时，a n＋2S n－1＝n，则S2 017的值____ ___ 16．已知变量满足约束条件若目标函数的最小值为2，则的最小值为__________．三、解答题：共6题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
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【典型题】高二数学上期中试卷带答案(1)一、选择题1．如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是 （ ）A ．18π-B ．4π C ．14π-D ．与a 的值有关联2．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则 A ．270,75x s =<B ．270,75x s =>C ．270,75x s ><D ．270,75x s <>3．设样本数据1210,,,x x x L 的均值和方差分别为1和4，若(i i y x a a =+为非零常数，1,2,,10)i =L ，则1210,,,y y y L 的均值和方差分别为（ ）A ．1,4a +B ．1,4a a ++C ．1,4D ．1,4a +4．如图1为某省2019年1~4月快递义务量统计图，图2是该省2019年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是( )A ．2019年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B ．2019年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C ．从两图来看2019年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D ．从1~4月来看，该省在2019年快递业务收入同比增长率逐月增长5．已知变量,x y 之间满足线性相关关系ˆ 1.31yx =-，且,x y 之间的相关数据如下表所示：x 1 2 3 4 y0.1m3.14则实数m =（ ） A ．0.8B ．0.6C ．1.6D ．1.86．统计某校n 名学生的某次数学同步练习成绩，根据成绩分数依次分成六组：[)[)[)[)[)[]90,100,100,110,110,120,120,130,130,140,140,150，得到频率分布直方图如图所示，若不低于140分的人数为110.①0.031m =；②800n =；③100分以下的人数为60；④分数在区间[)120,140的人数占大半．则说法正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④7．执行如图所示的程序框图，则输出的n 值是（ ）A ．5B ．7C ．9D ．118．下面的算法语句运行后，输出的值是（ ）A ．42B ．43C ．44D ．459．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A ．5B ．7C ．9D ．1110．下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A ，B ，C 彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A ，B 满足P(A)＋P(B)＝1，则A 与B 是对立事件． 其中正确命题的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．411．从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 A ．4n mB ．2n mC ．4mnD ．2mn12．抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A 或事件B 至少有一个发生的概率为（ ） A ．23B ．13C ．1 2D ．56二、填空题13．执行如图所示的程序框图，则输出的m 的值为____.14．在区间[2,4]-上随机地取一个实数x ，若实数x 满足||x m ≤的概率为23，则m =_______.15．运行如图所示的流程图，则输出的结果S 为_______．16．连续抛掷一颗骰子2次，则掷出的点数之和不超过9的概率为______． 17．执行如图所示的程序框图,如果输入3n =，则输出的S 为 ________．18．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点M．则点M恰好取自阴影部分的概率是．19．下方茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：的值为分)．已知甲组数据的中位数为14，乙组数据的平均数为16，则x y__________．20．如图程序框图的输出结果是_________.三、解答题21．一台还可以用的机器由于使用的时间较长，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺陷，每小时生产有缺陷零件的多少随机器运转的速率而变化，下表为抽样试验结果：转速x （转/秒） 16 14 12 8 每小时生产有缺陷的零件数y （件）11985（1）画出散点图；（2）如果y 与x 有线性相关的关系，求回归直线方程；（3）若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺陷的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？22．画出解关于x 的不等式0ax b +<的程序框图，并用语句描述.23．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（I ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i ）用X 表示抽取的3人中睡眠不足．．的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望； （ii ）设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率.24． 2.5PM 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.我国2.5PM 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 2.5PM 日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米至75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标.某市环保局从市区2016年全年每天的 2.5PM 监测数据中，随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示：（十位为茎，个位为叶）（1）从这15天的数据中任取3天的数据，求空气质量至少有一天达到一级的概率； （2）以这15天的 2.5PM 日均值来估算一年的空气质量情况，则一年（按360天计算）中大致有多少天的空气质量达到一级.25．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40,50),[50,60),...,[80,90),[90,100]（1）求频率分布直方图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40,50)的概率. 26．2019年的流感来得要比往年更猛烈一些.据四川电视台4SCTV-“新闻现场”播报，近日四川省人民医院一天的最高接诊量超过了一万四千人，成都市妇女儿童中心医院接诊量每天都在九千人次以上.这些浩浩荡荡的看病大军中，有不少人都是因为感冒来的医院.某课外兴趣小组趁着寒假假期空闲，欲研究昼夜温差大小与患感冒人数之间的关系，他们分别到成都市气象局与跳伞塔社区医院抄录了去年1到6月每月20日的昼夜温差情况与患感冒就诊的人数，得到如下资料：日期1月20日2月20日3月20日4月20日5月20日6月20日昼夜温差()x℃1011131286就诊人数(y人)222529261612该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．()1若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2月至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程y bx a=+$$$；()2若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？(参考公式：b$()1122211()()n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nxyx x x nx====---==--∑∑∑∑，a y bx=-$$)【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】试题分析：本题考查几何概型问题，击中阴影部分的概率为222()214a a a ππ-=-．考点：几何概型，圆的面积公式． 2．A解析：A 【解析】 【分析】分别根据数据的平均数和方差的计算公式，求得2,x s 的值，即可得到答案． 【详解】由题意，根据平均数的计算公式，可得7050806070907050x ⨯+-+-==，设收集的48个准确数据分别记为1248,,,x x x L ， 则()()()()()2222212481757070706070907050x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦L ()()()2221248170707050050x x x L ⎡⎤=-+-++-+⎣⎦， ()()()()()222222124817070708070707050s x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦L ()()()222124817070701007550x x x ⎡⎤=-+-++-+<⎣⎦L ， 故275s <．选A ． 【点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记数据的平均数和方差的公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，数基础题．3．A解析：A 【解析】试题分析：因为样本数据1210,,,x x x L 的平均数是1,所以1210,,...y y y 的平均数是121012101210.........1101010y y y x a x a x a x x x a a ++++++++++++==+=+；根据i i y x a =+（a 为非零常数，1,2,,10i =L ），以及数据1210,,,x x x L 的方差为4可知数据1210,,,y y y L 的方差为2144⨯=，综上故选A.考点：样本数据的方差和平均数．4．D解析：D 【解析】 【分析】由题意结合所给的统计图确定选项中的说法是否正确即可. 【详解】对于选项A ： 2018年1～4月的业务量，3月最高，2月最低， 差值为439724111986-=，接近2000万件，所以A 是正确的；对于选项B ： 2018年1～4月的业务量同比增长率分别为55%,53%,62%,58%，均超过50%，在3月最高，所以B 是正确的；对于选项C ：2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C 是正确的；对于选项D ，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D 错误. 本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查统计图及其应用，新知识的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．D解析：D 【解析】分析：由题意结合线性回归方程的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意可得：12345 2.542x +++===，0.1 3.14 1.844m my +++==+， 线性回归方程过样本中心点，则：1.8 1.3 2.514m+=⨯-， 解得：8.1=m . 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查线性回归方程的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．B解析：B 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的性质和频率分布直方图中样本估计总体，准确运算，即可求解. 【详解】由题意，根据频率分布直方图的性质得10(0.0200.0160.0160.0110.006)1m +++++=，解得0.031m =.故①正确；因为不低于140分的频率为0.011100.11⨯=，所以11010000.11n ==，故②错误； 由100分以下的频率为0.00610=0.06⨯，所以100分以下的人数为10000.06=60⨯，故③正确；分数在区间[120,140)的人数占0.031100.016100.47⨯+⨯=，占小半.故④错误. 所以说法正确的是①③. 故选B. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答熟记频率分布直方图的性质，以及在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所有小长方形的面积的和等于1，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7．C解析：C 【解析】 【分析】根据程序框图列出算法循环的每一步，结合判断条件得出输出的n 的值. 【详解】执行如图所示的程序框图如下：409S =≥不成立，11S 133==⨯，123n =+=； 1439S =≥不成立，1123355S =+=⨯，325n =+=； 2459S =≥不成立，2135577S =+=⨯，527n =+=； 3479S =≥不成立，3147799S =+=⨯，729n =+=. 4499S =≥成立，跳出循环体，输出n 的值为9，故选C. 【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，对于这类问题，通常利用框图列出算法的每一步，考查计算能力，属于中等题.8．C解析：C 【解析】 【分析】根据算法语句可知，程序实现功能为求满足不等式22000i <的解中最大自然数，即可求解. 【详解】由算法语句知，运行该程序实现求不等式22000i <的解中最大自然数的功能， 因为24520252000=>，24419362000=<，所以44i =， 故选：C 【点睛】本题主要考查算法语句，考查了对循环结构的理解，属于中档题.9．C解析：C 【解析】循环依次为123,123;S K =+==+=369,325;S K =+==+=91019,527;S K =+==+=191433,729;S K =+==+=结束循环,输出9;K =选C.10．A解析：A 【解析】 【分析】根据互斥之间和对立事件的概念，及互斥事件和对立事件的关系和概率的计算，即可作出判断，得到答案． 【详解】由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；②中，当A 与B 是互斥事件时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A ，B 满足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正确的；③也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A ＝{摸到红球或黄球}，事件B ＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A 与B 不互斥，但P(A)＋P(B)＝＋＝1. 【点睛】本题主要考查了互斥事件和对立事件的基本概念、互斥事件与对立时间的关系及其应用，其中熟记互斥事件和对立事件的概念和关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．11．C解析：C 【解析】此题为几何概型．数对(,)i i x y 落在边长为1的正方形内，其中两数的平方和小于1的数落在四分之一圆内，概型为41m P n π==，所以4mnπ=．故选C ．解析：A 【解析】 【分析】由古典概型概率公式分别计算出事件A 和事件B 发生的概率，又通过列举可得事件A 和事件B 为互斥事件，进而得出事件A 或事件B 至少有一个发生的概率即为事件A 和事件B 的概率之和． 【详解】事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“不小于5的点数出现”， ∴P (A )2163==，P (B )2163==， 又小于5的偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6， 所以事件A 和事件B 为互斥事件，则一次试验中，事件A 或事件B 至少有一个发生的概率为 P （A ∪B ）＝P (A )+P (B )112333=+=， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，以及互斥事件概率加法公式的应用，属于中档题．二、填空题13．【解析】【分析】执行如图所示的程序框图逐次计算根据判断条件即可求解得到答案【详解】执行如图所示的程序框图可得：第1次循环满足判断条件；第2次循环满足判断条件；第3次循环满足判断条件；第4次循环满足判 解析：6【解析】 【分析】执行如图所示的程序框图，逐次计算，根据判断条件，即可求解，得到答案. 【详解】执行如图所示的程序框图，可得：0,1S m ==， 第1次循环，满足判断条件，10122,2S m =+⨯==； 第2次循环，满足判断条件，222210,3S m =+⨯==； 第3次循环，满足判断条件，3103234,4S m =+⨯==； 第4次循环，满足判断条件，4344298,5S m =+⨯==； 第5次循环，满足判断条件，59852258,6S m =+⨯==； 不满足判断条件，此时输出6m =. 故答案为6.本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中根据给定的程序框图，逐次计算，结合判断条件求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14．2【解析】【分析】画出数轴利用满足的概率可以求出的值即可【详解】如图所示区间的长度是6在区间上随机地取一个数若满足的概率为则有解得故答案是：2【点睛】该题考查的是有关长度型几何概型的问题涉及到的知识解析：2 【解析】 【分析】画出数轴，利用x 满足||x m ≤的概率，可以求出m 的值即可. 【详解】 如图所示，区间[2,4]-的长度是6，在区间[2,4]-上随机地取一个数x ， 若x 满足||x m ≤的概率为23， 则有2263m =，解得2m =， 故答案是：2. 【点睛】该题考查的是有关长度型几何概型的问题，涉及到的知识点有长度型几何概型的概率公式，属于简单题目.15．【解析】【分析】【详解】由题设中提供的算法流程图中的算法程序可知当则执行运算;继续运行:;继续运行:;当时;应填答案 解析：12【解析】 【分析】 【详解】由题设中提供的算法流程图中的算法程序可知当2,135S i ==<,则执行运算132,222S i =-==;继续运行: 325,3236S i =-==;继续运行: -----;当35i =时;12S =,应填答案12．16．【解析】【分析】根据古典概型概率公式求解【详解】连续抛掷一颗骰子2次共有36种基本事件其中掷出的点数之和不超过9的事件有种故所求概率为【点睛】本题考查古典概型概率考查基本分析与运算能力属基础题解析：56【解析】 【分析】根据古典概型概率公式求解. 【详解】连续抛掷一颗骰子2次，共有36种基本事件，其中掷出的点数之和不超过9的事件有66654330+++++=种，故所求概率为305366=. 【点睛】本题考查古典概型概率，考查基本分析与运算能力，属基础题.17．【解析】【分析】根据框图可知该程序实现了对数列求和的功能输入时求【详解】根据框图可知执行该程序实现了对数列求和当时故填【点睛】本题主要考查了程序框图裂项相消法求和属于中档题解析：37【解析】 【分析】根据框图可知，该程序实现了对数列1(21)(21)n a n n =-+ 求和的功能，输入3n =时，求3S .【详解】根据框图可知，执行该程序，实现了对数列1(21)(21)n a n n =-+ 求和，当3n =时，3111111111=++=1)133557233557S -+-+-⨯⨯⨯（ 1131)277-=（， 故填37. 【点睛】本题主要考查了程序框图，裂项相消法求和，属于中档题.18．【解析】试题分析：根据题意正方形的面积为而阴影部分由函数与围成其面积为则正方形中任取一点点取自阴影部分的概率为则正方形中任取一点点取自阴影部分的概率为考点：定积分在求面积中的应用几何概型点评:本题考解析：【解析】试题分析：根据题意，正方形的面积为而阴影部分由函数与围成，其面积为，则正方形中任取一点,点取自阴影部分的概率为.则正方形中任取一点，点取自阴影部分的概率为 考点：定积分在求面积中的应用 几何概型点评:本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积.19．9【解析】阅读茎叶图由甲组数据的中位数为可得乙组的平均数：解得：则:点睛：茎叶图的绘制需注意：(1)叶的位置只有一个数字而茎的位置的数字位数一般不需要统一；(2)重复出现的数据要重复记录不能遗漏特别解析：9 【解析】阅读茎叶图，由甲组数据的中位数为14 可得4x = ，乙组的平均数：824151810165y+++++= ，解得：5y = ，则:459x y +=+= .点睛：茎叶图的绘制需注意：(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一；(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置的数据．20．【解析】执行程序框图第一次循环；第二次循环；第三次循环；第十五次循环；退出循环输出故答案为【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图属于中档题解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆 解析：15S =【解析】执行程序框图，第一次循环，1S = ；第二次循环，2S = ；第三次循环，3S = ；... 第十五次循环，15S = ；退出循环，输出15S =，故答案为15.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.三、解答题21．（1）见解析；（2）ˆ0.72860.8575yx =-；（3）机器的转速应控制在14.9转/秒以下 【解析】 【分析】（1）由表中数据做图（2）根据线性回归方程中公式求ˆ,ba 即可写出方程（3）利用线性回归方程建立不等式求解. 【详解】（1）画出散点图，如图所示：（2）4421112.5,8.25,438,660,i ii i i x y x yx ======∑∑41422214438412.58.250.7286660412.ˆ54i i i i i x y xy bx x ==--⨯⨯∴==≈-⨯-∑∑， 8.250.728612.50.857ˆˆ5ay bx =-≈-⨯=-. 故回归直线方程为0.72860.8575ˆyx =-. （3）要使100.72860.857510y x ≤-≤，则，14.9019x ≤.故机器的转速应控制在14.9转/秒以下. 【点睛】本题主要考查了散点图，线性回归方程，利用线性回归方程解决问题，属于中档题. 22．见解析 【解析】 【分析】 【详解】 解：流程图如下：程序如下：INPUT a，bIF a＝0 THENIF b＜0 THENPRINT“任意实数”ELSEPRINT“无解”ELSEIF a＞0 THENPRINT“x＜“；﹣b/aELSEPRINT“x＞“；﹣b/aENDIFENDIFENDIFEND点睛：解决算法问题的关键是读懂程序框图，明晰顺序结构、条件结构、循环结构的真正含义，本题巧妙而自然地将算法、不等式、交汇在一起，用条件结构来进行考查.这类问题可能出现的错误：①读不懂程序框图；②条件出错；③计算出错.23．（Ⅰ）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）答案见解析；（ii）67．【解析】分析：（Ⅰ）由分层抽样的概念可知应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．且分布列为超几何分布，即P（X=k）=34337C CCk k-⋅（k=0，1，2，3）．据此求解分布列即可，计算相应的数学期望为()127E X=．（ii）由题意结合题意和互斥事件概率公式可得事件A发生的概率为67．详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．P（X=k）=34337C CCk k-⋅（k=0，1，2，3）．所以，随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望()0123353535357E X=⨯+⨯+⨯+⨯=．（ii）设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A=B∪C，且B与C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=67．所以，事件A发生的概率为67．点睛：本题主要在考查超几何分布和分层抽样.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)nN=样本容量该层抽取的个体数总体的个数该层的个体数；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．24．（1）6791；（2）一年中平均有120天的空气质量达到一级．【解析】【分析】（1）由茎叶图知随机抽取15天的数据中， 2.5PM日均值在35微克/立方米以下的天数有5天，由此能求出从这15天的数据中任取3天的数据，至少有一天空气质量达到一级的概率．（2）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为51153P ==，一年中空气质量达到一级的天数为η，则1~(360,)3B η，由此能求出一年中大致有多少天的空气质量达到一级． 【详解】解：（1）由茎叶图知随机抽取15天的数据中，2.5PM 日均值在35微克/立方米以下的天数有5天， ∴从这15天的数据中任取3天的数据， 则至少有一天空气质量达到一级的概率为：1221351051053331515156791C C C C C p C C C =++=． （2）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为51153P ==， 一年中空气质量达到一级的天数为η，则1~(360,)3B η，13601203E η∴=⨯=（天)，∴一年中平均有120天的空气质量达到一级．【点睛】本题考查等可能事件概率的求法，以及离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题． 25．（Ⅰ）0.006；（Ⅱ）0.4；（Ⅲ）110【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）在频率分布直方图中，由频率总和即所有矩形面积之和为1，可求a ；（Ⅱ）在频率分布直方图中先求出50名受访职工评分不低于80的频率为0.4，由频率与概率关系可得该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4;（Ⅲ）受访职工评分在[50,60)的有3人，记为123,,A A A ，受访职工评分在[40,50)的有2 人，记为12,B B ，列出从这5人中选出两人所有基本事件，即可求相应的概率. 试题解析：（Ⅰ）因为，所以……..4分)（Ⅱ）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4………8分（Ⅲ）受访职工评分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3（人），即为;受访职工评分在[40,50)的有： 50×0.004×40＝2（人），即为.从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即，故所求的概率为考点：1.频率分布直方图；2.概率和频率的关系；3.古典概型. 【名师点睛】本题考查频率分布直方图、概率与频率关系、古典概型，属中档题；利用频率分布直方图解题的时，注意其表达的意义，同时要理解频率是概率的估计值这一基础知识；在利用古典概型解题时，要注意列出所有的基本事件，千万不可出现重、漏的情况.26．（1）1830ˆ77yx =-；（2）见解析 【解析】 【分析】()1根据数据求出x ，y 以及ˆb，ˆa 的值，即可求出y 关于x 的线性回归方程； ()2分别计算出1月份和6月份对应的预测值，和22作差，进行比较即可得到结论．【详解】() 1由表中2月至5月份的数据，得()14411131281144x =+++==，()196252926162444y =+++==， 故有()()()52()0125123836iii x x y y =--=⨯+⨯+⨯+-⨯-=∑，5222222()021(3)14ii x x =-=+++-=∑，由参考公式得ˆ187b=，由ˆˆay bx =-得ˆ307a =-， ∴y 关于x 的线性回归方程183077ˆˆˆybx a x =+=-． ()2由1月份数据得当10x =时，183015010ˆ777y=⨯-=． 150422277-=<， 由6月份数据得当6x =时，18307867ˆ77y=⨯-=．786-=<，22277则该小组所得线性回归方程是理想的．【点睛】本题主要考查线性回归方程的求解，根据条件求出x，y以及ˆb，ˆa的值是解决本题的关.考查学生的运算能力．键。