北京四中初二数学期中试卷

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北京初二初中数学期中考试带答案解析

北京初二初中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.如果有意义，那么字母的取值范围是( )．北京四中网校A ．B ．C ．D ．2.下列各式是最简二次根式的是( )． A ．B ．C ．D ．3.下列变形中，正确的是( )． A ．(2)2＝2×3＝6B ．＝－C ．＝D ．＝4.已知点、、都在反比例函数上，则( )．A ．B ．C ．D ．5.正比例函数与反比例函数(是非零常数)的图象交于两点．若点的坐标为(1，2)，则点的坐标是( )．A ．B ．C ．D ．6.如图，在□ABCD 中，已知AD ＝8cm ，AB ＝6cm ，DE 平分∠ADC 交BC 边于点E ，则BE 等于( )．A ．2cm;B ．4cm;C ．6cm;D ．8cm7.如图，□ABCD 中，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，BD 分别交AN 、CM 于点 P 、Q. 在结论： ①DP=PQ=QB ②AP=CQ ③CQ=2MQ ④S △ADP =S □ABCD 中，正确的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 48.如图，平行四边形ABCD 中，AC 、BD 为对角线，BC ＝6，BC 边上的高为4，则阴影部分的面积为( )．A ．3;B ．6;C ．12;D ．24 9.如图，直线上有三个正方形，若的面积分别为5和11，则的面积为（）Ａ．4 Ｂ．6 C ． 16 Ｄ．5510.已知四边形ABCD 中，AC 交BD 于点O ，如果只给出条件“AB ∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD 为平行四边形，给出以下四种说法：①如果再加上条件“BC ＝AD”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形．②如果再加上条件“∠BAD ＝∠BCD”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形． ③如果再加上条件“AO ＝OC”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形．④如果再加上条件“∠DBA ＝∠CAB”，那么平行四边形ABCD 一定是平行四边形．其中正确的说法是( )． A ．①和② B ．①、③和④ C ．②和③ D ．②、③和④二、填空题1.比较大小：________．2.如图，四边形OABC 是边长为1的正方形，反比例函数的图象过点B ，则k 的值为_________．3.如图，把两块相同的含角的三角尺如图放置，若cm ，则三角尺的最长边长为____________．4.已知A （－，y 1）、B （－1，y 2）、C （，y 3）在函数＝的图象上，则的大小关系是______________________． 5.等腰三角形的周长为，腰长为1，则它的底边上的高为_______． 6.观察一下几组勾股数，并寻找规律：① 3， 4， 5； ② 5，12，13； ③ 7，24，25；④ 9，40，41；……请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：三、解答题1.如图，E 、F 是平行四边形ABCD 对角线BD 上的两点，请你添上一个适当的条件：，使四边形AECF 为平行四边形.2.将代入反比例函数中，所得函数值记为，又将代入反比例函数的关系式中，所得函数值记为，再将代入反比例函数中，所得函数值记为，……，如此继续下去，则＝_____________．3.如图是一个边长6厘米的立方体ABCD---EFGH，一只甲虫在棱EF上且距F点1厘米的P处. 它要爬到顶点D，需要爬行的最近距离是__________厘米.4.计算：(1)；(2)5.已知，求的值．6.如图ABCD中, ∠C=90度，沿着直线BD折叠，使点C落在处，交AD于E，，，求DE的长．7.已知: 如图, 在□ABCD中, E、F是对角线AC上的两点, 且AE = CF.求证: 四边形BFDE是平行四边形8.如图，直线AB与双曲线的一个交点为点C，轴于点D，OD＝2OB＝4OA＝4．求一次函数和反比例函数的解析式．9.某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y个之间有如下关系：①请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、反比例函数和其它函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式；②设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出W（元）与x（元）之间的函数关系式. 若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润？10.已知，如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，求四边形ABCD的面积。

2023年北京四中初二(下)期中数学试卷及答案

数学试卷班级__________ 姓名__________学号__________ 成绩__________一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1．下列选项中，属于最简二次根式的是（） AB C D 2．以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（） A ．2,3,4B ,3,5C ．6,8,10D．5,12,123．下列化简正确的是（） A．(22=B 2=−C ．2=D =4．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，要使四边形ABCD 是平行四边形，下列添加的条件不正确的是（） A ．AD ＝BCB ．AB ＝CDC ．AD ∥BCD ．∠A ＝∠C5．如图，四边形ABCD 是平行四边形，O 是对角线AC 与BD 的交点，AB ⊥AC ，若AB ＝8，AC ＝12，则BD 的长是（） A ．20B ．21C ．22D ．236．如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 交于点O . M ，N 分别为BC ，OC 的中点．若∠ACB ＝30°，AB ＝8，则MN 的长为（） A ．2B ．4C ．8D ．16（第4题）(第5题)(第6题)7．如图，在长方形ABCD 中无重叠放入面积分别为8和16的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（） A．8−B．12−C．4−D．28．在菱形ABCD 中，M ，N ，P ，Q 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 上的点(不与端点重合)，对于任意菱形ABCD ，下面四个结论中， ①存在无数个四边形MNPQ 是平行四边形； ②存在无数个四边形MNPQ 是矩形； ③存在无数个四边形MNPQ 是菱形； ④至少存在一个四边形MNPQ 是正方形．其中正确的有（）个 A ．1 B ．2 C ．3D ．4(第7题) (第8题)二、填空题（本题共16分，每小题2分）9x 的取值范围是． 10．如图，校园内有一块矩形草地，为了满足人们的多样化需求，在草地内拐角位置开出了一条“路”，走此“路”至少可以省 m 的路程． 11．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝4，CD 是△ABC 的中线，E 是CD 的中点，连接AE ，BE ，若AE ⊥BE ，垂足为E ，则AC 的长为． 12．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O . E ,F ,G ,H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点. 只需添加一个条件，即可使四边形EFGH 是矩形，这个条件可以是（写出一个即可）．(第10题) (第11题) (第12题)DA EF OCGH13．已知a ，b ，c 分别为Rt △ABC 中∠A ，∠B ，∠C 的对边，且∠C ＝90°， a 和b()230b +−=，则c 的长为．14．如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点，BF 与AC 交于点E ，若∠CBF ＝20°，则∠AED 的度数为．15．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”．若BC =3，AC ＝4，则图中阴影部分的面积为．16．如图，线段AB 的长为10，点D 在线段AB 上运动，以AD 为边长作等边三角形ACD .再以CD 为边长，在线段AB 上方作正方形CDGH . 记正方形CDGH 的对角线交点为O . 连接OB ，则线段BO 的最小值为．（第14题） (第15题) (第16题) 三、解答题（本题共68分） 17．（本题12分）计算：（1（2）2−；（3．18．（本题8分）如图，□ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，点F 在线段BD 上，且DE ＝BF ．求证：AE ∥CF ．如图，正方形网格的每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC 的顶点都在格点上．（1）△ABC 的面积为；（2）通过计算判断△ABC 的形状；（3）求AB 边上的高．20．（本题8分）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC 为0.7m ，梯子顶端到地面的距离AC 为2.4m ．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A 'D 为1.5m ．求小巷的宽CD ．21．（本题8分）如图，在东西方向的海岸线上有A ，B 两个港口，甲货船从A 港出发沿东北方向（北偏东45°）行驶，同时乙货船从B 港口出发沿北偏西60°方向行驶，乙货船行驶10海里后和甲货船相遇在点P 处．求A 港与B 港相距多少海里．C D北如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作BE 的垂线交BE于点F，交BC于点G，连接EG，CF．（1）求证：四边形ABGE是菱形；（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，AD＝5，求CF的长．23．（本题8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点P从点A出发，沿射线AC以每秒2个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）当点P在AC延长线上运动时，CP的长为；（用含t的代数式表示）（2）若点P在∠ABC的角平分线上，求t的值；（3）在整个运动中，直接写出△ABP是等腰三角形时t的值．24．（本题8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点A作BC的垂线AD，垂足为点D. 点E为线段DC上一动点（不与点C重合），连接AE，以点A为中心，将线段AE逆时针旋转90°得到线段AF，连接BF，与线段AD交于点G，连接CF．（1）依题意补全图形；直接写出BC与CF的位置关系；（2）求证：12AG DE BE+=；（3）直接写出AE，BE，AG之间的数量关系．备用图附加题（共10分）1．（本题4分）在学习了二次根式一章后，老师给小郭同学出了这样一道思考题：小郭同学认真分析了式子的结构，做出如下解答：设x =，两边平方得：222x =++，即2334x =++，210x =，x ∴=．350+>,=．的值． 2．（本题6分）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和正方形OABC ，给出如下定义：若点P 在正方形OABC 内部（不包括边界）,且P 到正方形OABC 的边的最大距离是最小距离的2倍，则称点P 是正方形OABC 的2倍距离内点．已知: ()(),0,,A a B a a ．（1）当a =6时，①点()()()1231,3,3,2,4,1P P P −三个点中，是正方形OABC 的2倍距离内点； ②点(),4P n 是正方形OABC 的2倍距离内点，请直接写出n 的取值范围；（2）点()()1,1,2,2E F ，若线段EF 上存在正方形OABC 的2倍距离内点，请直接写出a 的取值范围；（3）当69a ≤≤时，请直接写出所有正方形OABC 的所有2倍距离内点组成的图形面积．数学参考答案一、选择题1.C2. C3.A4. A5. A6. B7. A8.D二、填空题9. x≥3210. 2 11. 2√312. 答案不唯一，如：AC⊥BD13. √1314. 65︒15. 6 16. 5三、解答题17. (1) 原式=3√2−√24−2√2=3√24(2) 原式=5−2√6−1=4−2√6(3) 原式=2√3×(5√3+√3−4√3)=2√3×2√3=12或原式=30+6−24=1218. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBF，在△ADE和△CBF中，{AD=CB∠ADE=∠CBFDE=BF，∴△ADE≌△CBF（SAS），∴∠AED＝∠CFB，∴AE∥CF．19. 解：（1）5；（2）由图可得，BC＝√12+22=√5，AC＝√22+42=2√5，AB＝√32+42=5，∴BC2+AC2＝(√5)2+(2√5)2＝52＝AB2，∴△ABC是直角三角形；（3）设AB边上的高为x，∵△ABC是直角三角形，，∴5=AB∙x2，即5=5∙x2解得x＝2，即AB边上的高是2．20. 解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝√2.42+0.72＝2.5（m），∴A′B＝AB＝2.5米，在Rt△A′BD中，由勾股定理得：BD＝√2.52−1.52＝2（m），∴CD＝BC+BD＝2+0.7＝2.7（m）.即小巷的宽为2.7米.21. 解：作PH⊥AB于点H，∵乙货船从B港口沿北偏西60°方向行驶，∴∠PBH＝30°，又∵BP＝10海里，H ∴PH＝5海里, BH＝5√3海里,∵∠PAH＝45°，∴PH＝AH＝5海里，∴AB＝AH+BH＝（5+5√3）海里，即：A港与B港相距（5+5√3）海里.22. （1）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC且AD＝BC，∴∠CBE＝∠AEB，∴∠ABE＝∠AEB＝∠CBE，∴AB＝AE，∵AF⊥BE，∴∠AFB ＝∠GFB ＝90°，在△ABF 和△GBF 中 {∠ABE =∠CBEBF =BF∠AFB =∠GFB ， ∴△ABF ≌△GBF （ASA ）， ∴AB ＝GB ， ∴AE ＝GB ，又∵AD ∥BC ，∴四边形ABGE 是平行四边形，又∵AB ＝GB ，∴四边形ABGE 是菱形；（2）解：过点F 作FM ⊥BC 于点M ，如图所示： ∵四边形ABGE 是菱形，∴∠GBE ＝12∠ABC ＝30°，BG ＝AB ＝4，BC ＝AD ＝5，在Rt △BFG 中，BF ＝2√3，在Rt △BFM 中，FM ＝12BF ＝12×2√3＝√3，BM ＝3， ∴CM ＝BC ﹣BM ＝5﹣3＝2，∴Rt △FMC 中，CF ＝√(√3)2+22=√7． 23. 解：(1)2t ﹣4．………………2分 (2)若点P 在∠ABC 的角平分线上，则：设PM ＝PC ＝y ，则AP ＝4﹣y ，在Rt △APM 中，AM 2+PM 2＝AP 2， ∴22+y 2＝（4﹣y ）2，解得y =32，(4−32)÷2=54，即若点P 在∠ABC 的角平分线上，则t 的值为54．（3）t 的值为2516或52或4．24.（1）补全图形如右图猜想：BC ⊥CF（2）证明：过F 作FH ⊥AD ，交AD 延长线于H ∵∠BAC ＝∠EAF ＝90°， ∴∠BAE ＝∠CAF ，在△ABE 和△ACF 中， {AB =AC∠BAE =∠CAF AE =AF ，∴△ABE ≌△ACF （SAS ）， ∴∠ABE ＝∠ACF ＝45°，CF=BE , ∵∠ACB ＝45°，∴∠BCF ＝45°+45°＝90°， ∴BC ⊥CF ；∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴BD ＝CD ，∵∠FCD ＝∠ADC =∠H =90°， ∴四边形HFCD 为矩形， ∴HF ＝CD=BD ，CF=HD ,又∵∠ADB =∠H =90°, ∠BGD =∠HGF , ∴△BDG ≌△HGF （AAS ）， ∴HG ＝DG =12CF=12BE ，∵∠ADE =∠H =90°, ∠HAF =90°-∠DAE=∠AED , AF=AE, ∴△ADE ≌△HAF （AAS ）， ∴HA ＝DE ∴AG +DE=AG+HA=GH ∴AG +DE = 12BE ．（3）2AE 2＝BE 2+4AG 2. 附加题1. 解：根据题意，设x ＝√4+√7+√4−√7，2022-2023学年度第二学期初二年级期中测验数学学科参考答案 5 / 5 两边平方得：x 2＝（√4+√7）2+（√4−√7）2+2√(4−√7)(4+√7)， x 2＝4+√7+4﹣√7+2×√16−7，即x 2＝4+√7+4﹣√7+6，x 2＝14，∴x ＝±√14，∵√4+√7+√4−√7＞0，∴x ＝√14．2. (1)①P 2②2≤n ≤4(2)32≤a ≤6(3)13。

北京四中2021～2021学年度第一学期期中考试初二年级数学试题

数学试卷（考试时间：100 分钟满分：120 分）姓名：班级：成绩:一、选择题（本题共30 分，每小题 3 分）1．剪纸艺术是我国文化宝库中的优秀遗产，在民间广泛流传．下面四幅剪纸作品中，属于轴对称图形的是（）．A．B．C．D．2．下列各式不．能．分解因式的是（）．A．2x2 - 4x B．x2 +x +14C．x2 + 9 y2D．1-m23．点P（－3，5）关于y 轴的对称点的坐标是（）．A．（3，5）B．（3，－5）C．（5，－3）D．（－3，－5）4. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC 于点D，若则点D到AB 的距离是（）．A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm5．下列各式中，正确的是（）．CD=m c3，A．--3x=5y3x-5yB．-a +b=-a +b Dc cC．-a -b=a -b D．- a =a B （第4 题图）c -c b -a a -b6．下列命题是真命题的是（）．A．等底等高的两个三角形全等B．周长相等的直角三角形都全等C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等D．有一边对应相等的两个等边三角形全等7．如图，D 是等腰Rt△ABC 内一点，BC 是斜边，如果将D'△ABD 绕点A 逆时针方向旋转到△ACD′的位置，则∠ADD′的度数（）．A．25︒B．30︒C．35︒D．45︒A B（第7 题图）8．在等腰∆ABC 中，已知AB=2BC，AB=20，则∆ABC 的周长为（）．A．40 B．50 C．40 或50 D．无法确定9．已知三角形的两边长分别为5 和7，则第三边的中线长x 的范围是（）．A．2 < x < 12 B．5 < x < 7 C．1 < x < 6 D．无法确定10．如图，在RtΔABC 中，AC=BC，∠ACB=90°，AD 平分∠BAC，BE ⊥ AD 交AC 的延长线于F，E 为垂足．则结论：（1）AD=B F；（2）C F=C D；（3）AC+CD=A B；（4）BE=C F；（5）BF=2BE，其中正确的结论个数是（）．A．1 B．2 C．3 D．4（第10 题图）CD二、填空题（本题共 20 分，每小题 2 分） x 211．若式子x - 4 有意义，则 x 的取值范围是.12．计算 12 + 2= ．m 2- 9 3 - m 13．如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =20°, 线段 AB 的垂直平分线交 AB 于 D ，交 AC 于 E ，连接 BE ，则∠CBE 为度．B C （第13 题图） 14．若关于 x 的二次三项式 x 2+kx + b 因式分解为(x -1)(x - 3) ，则k +b 的值为． 15．若 a + b = 7, ab = 5, 则 a 2 - ab + b 2 = ．16．当 x 取值时， x 2 + 6x +10 有最小值，最小值是．17．某农场挖一条 480 米的渠道，开工后，每天比原计划多挖 20 米，结果提前 4 天完成任务，若设原计划每天挖 x 米，则列出的方程是．18．如图，在等腰直角三角形 ABC 中，∠BAC =90°，在 BC 上截取 BD ＝BA ，作 ∠ABC 的平分线与 AD 相交于点 P ，连结 PC ，若 B D=2C D ，△ABC 的面积为2cm 2 ，则△D PC 的面积为．A C' A2CB' 1FEBC（第 18 题图）（第 19 题图）19．如图，把△ ABC 沿 EF 对折，叠合后的图形如图所示．若∠A = 60︒ ，∠1 = 95︒ ，则∠2 的度数为． 20．如果满足条件“∠ABC =30°，AC =1， BC =k （k >0）”的△ABC 是唯一的，那么 k 的取值范围是．三、解答题21. 把多项式分解因式（每题 4 分，共 8 分）. (1) 3a 3b -12ab 3(2) (x 2 - x )2 - 4(x 2 - x ) + 4解：解：ADE22.（每题4 分，共8 分）(1)计算：1÷a-a. (2)解方程：x+5= 4 .a -1 a 2 -1 a -1 2x - 3 3 -2x解：解：23.（本题5 分）已知：如图，A、B、C、D 四点在同一直线上，AB=CD，AE∥BF 且AE=BF．求证：EC=FD．证明： E FA B C D 24．（每题4 分，共8 分）(1)先化简，再求值：(解：1+m - 31) ÷m + 32mm2 -6m +9，其中m = 9 ．(2)已知1-1= 3 ，求代数式2x -14xy - 2 y的值. x y x - 2xy -y解：25．列分式方程解应用题：（本题5 分）（温馨提示：你可借助图示、表格等形式“挖掘”等量关系）赵老师为了响应市政府“绿色出行”的号召，上下班由自驾车方式改为骑自行车方式．已知赵老师家距学校20 千米，上下班高峰时段，自驾车的速度是自行车速度的2 倍，骑自行车所用时间比自驾车所用时间多59小时．求自驾车和自行车的速度．四、解答题26.（本题4 分）某地区要在区．域．S．内．(即 C OD内．部．) 建一个超市M, 如图所示, 按照要求, 超市M 到两个新建的居民小区A, B 的距离相等, 到两条公路OC, OD 的距离也相等. 这个超市应该建在何处？(要求：尺规作图, 不写作法, 保留作图痕迹)C⎨⎩27. （本题 5 分）阅读下列材料：如图，在四边形 ABCD 中，已知∠ACB = ∠BAD = 105 ，∠ABC = ∠ADC = 45 . 求证：CD=AB.小刚是这样思考的：由已知可得，∠DCA = 60 ，∠DAC = 75 ，∠CAB = 30 ，∠ACB + ∠DAC = 180 ，由求证及特殊角度数可联想到构造特殊三角形.即过点 A 作 AE ⊥ AB 交 BC 的延长线于点 E ，则 AB=AE ，∠E=∠D.∵在∆ADC 与∆CEA 中，⎧∠D = ∠E D E⎪∠DAC = ∠ECA = 75 ⎪ AC = CA C∴∆ADC ≌∆CEA ，得CD = AE = AB .A B请你参考小刚同学思考问题的方法，解决下面问题：如图，在四边形 ABCD 中，若∠ACB + ∠CAD = 180 ， ∠B = ∠D ，请问：CD 与 AB 是否相等？若相等，请你给出证明；若不相等，请说明理由．DA B28. （本题 7 分）在等边△ABC 中，D 为射线 BC 上一点，CE 是∠ACB 外角的平分线，∠ADE ＝60°，EF ⊥BC 于 F ．（1）如图 1，若点 D 在线段 BC 上．求证：①AD ＝DE ；②BC ＝DC ＋2CF ；（2）如图 2，若点 D 在线段 BC 的延长线上，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由．EAB C F 图 1图 2EA附加题（满分20 分）：1.（本题4 分）已知a2 -3a -1 = 0 ，求a6 +120a-2 = ．2.（本题4 分）右图中，∠ABC=∠BCD=∠DAB=45°，BD=2，求四边形ABCD 的面积为．3.（本题 6 分）已知m2 =n + 2 ，n2 =m + 2 ，m≠n，求m3 - 2mn +n3 的值．4.（本题6 分）已知：△ABC 中，∠ABC＝2∠ACB，∠ABC 的平分线BD 与∠ACB 的平分线CD 相交于点D，且CD＝AB，求证：∠A＝60°．ADB C⎨⎩- =一、选择题 1、D 2、C 3、A 4、C 5、D 6、D 7、D 8、B 9、C 10、D 二、填空题11. x ≠ 4 ； 12. -2m + 3； 13.60； 14.-1； 15.34； 16.x =-3，1； 17. 480 - x 18. 1；19.25°； 20. k = 2 或 0<k ≤1. 3480x + 20= 4 ；21.(1)解：原式= 3ab (a 2 - 4b 2 ) = 3ab (a + 2b )(a - 2b ). （2）解：原式= (x 2 - x - 2)2 = [(x - 2)(x +1)]2 = (x - 2)2 (x +1)2 .22. （1） -1a (a -1)；（2） x = 1.23.解：∵AE ∥BF ，∴∠A =∠FBD ．又∵AB = CD ， ∴AB ＋BC = CD ＋BC ．即 AC =BD ．在△AEC 和△BFD 中，⎧ A E = B ,F ⎪∠A = ∠F B , ⎪ A C = B ,D∴△AEC ≌△BFD （SAS ）． ∴EC =FD ．24.(1)解：( 1 + m - 3 1 ) ÷ m + 3 2m m 2 - 6m + 9＝2m⋅ (m - 3) 2 (m - 3)(m + 3)2m＝m - 3 ．m + 3当 m = 9 时，原式＝ 9 - 3 = 1．9 + 3 2（2）解：∵ 1 - 1= 3,∴ x - y = -3xyx y2(x - y ) -14xy ∴上式=x - y - 2xy=- 6xy -14xy- 3xy - 2xy= 4.25.解：设自行车速度为 x 千米/小时20 20 5依题意得： x 2x 9A G E⎨⎩解方程得 x=18.经检验 x=18 是原方程的解且符合实际意义2x=36答：自行车的速度是 18 千米/小时，自驾车的速度是 36 千米/小时.26.略27.解：CD=AB证明：延长 BC 至 E 使 AE=AB则∠B=∠E ∵∠B=∠D ∴∠D=∠E∵ ∠ACB + ∠CAD = 180 ∴∠CAD=∠ACE在ΔCAD 与ΔACE 中 ⎧∠CAD = ∠ACE ⎪AC = CA ⎪∠D = ∠E ∴ΔCAD ≅ ΔACE ∴CD=AE ∴CD=AB.∠ACB+∠ACE=180°28.（1）①过 D 作 DG ∥AC 交 AB 于 G∵△ABC 是等边三角形，AB ＝BC ，∴∠B ＝∠ACB ＝60°∴∠BDG ＝∠ACB ＝60°，∴∠BGD ＝60° A∴△BDG 是等边三角形，∴BG ＝BD ∴AG ＝DC∵CE 是∠ACB 外角的平分线，∴∠DCE ＝120°＝∠AGD ∵∠ADE ＝60°，∴∠ADB ＋∠EDC ＝120°＝∠ADB ＋∠DAG ∴∠EDC ＝∠DAG ，∴△AGD ≌△DCE∴AD ＝DEB DC F②∵△AGD ≌△DCE ，∴GD ＝CE ，∴BD ＝CE∴BC ＝CE ＋DC ＝DC ＋2CFGE（2）①成立；②不成立，此时 BC ＝2CF －CD证明：过 D 作 DG ∥AC 交 AB 延长线于 G 以下略BCDF1 2 OD 4 5 3 6 7 附加题：1、1309； 2、2； 3. -24.证明：过点 A 作 AE ∥BC 交 BD 延长线于 E ，连接 CE ，设 AC 、BE 相交于点 O 则∠1＝∠ACB ，∠2＝∠3∵∠ABC ＝2∠ACB ，∴∠3＝∠ACB∴OB ＝OC ，∠1＝∠2 A E∴OA ＝OE又∠AOB ＝∠EOC ，∴△AOB ≌△EOC∴∠BAC ＝∠CED ，∠5＝∠4＝∠3，AB ＝CE∵CD ＝AB ，∴CD ＝CE ∴∠CED ＝∠CDE ＝∠3＋∠6B C 又∠DCE ＝∠5＋∠7，∠6＝∠7 ∴∠CED ＝∠CDE ＝∠DCE ＝60° ∴∠BAC ＝∠CED ＝60°。

北京四中初二中期数学试卷

数学练习选填题（每题5分）1. 下列各式中，是最简二次根式的是（）．A． BCD2. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（）．A ．2，3，4 B2 C ．9，16，25 D ．6，8，10 3. 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别记为a ，b ，c ，下列条件中，不能判定△ABC 是直角三角形的是（）．A ．()()2a c b c b =−+B ．()()2a b c a b c bc −++−=C ．::3:4:5a b c =D ．2A C B ∠+∠=∠4. 下列命题中，正确的是（）．A ．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形B ．两组对边分别平行的四边形是平行四边形C ．两组邻边分别相等的四边形是平行四边形D ．对角线互相垂直的四边形是平行四边形5. 如图，在□ABCD 中，AD =8，E 为AD 上一动点，M ，N 分别为BE ，CE 的中点，则MN 的长为（）．A ．4B ．3C ．2D ．不确定6. 某函数的图象如图所示，随着x 的增大，函数y （）．A ．增大B ．减小C ．不变D ．有时增大有时减小7. 如果点(),P a b 在直线4y x =−+上，且a b ≠，那么代数式2221a a b b a +−−的值为（）．A ．14− B ．14 C ．4− D ．4 8. 下列各曲线中，y 不是x 的函数的是（）．C ．A ．B ．C ．D ．9. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，只需添加一个条件，即可证明菱形ABCD 是正方形，这个条件可以是（）．A ．AC BD ⊥B ．AB BC =C ．90ABC ∠=︒D ．AB CD =10. 是整数，则正整数n 的最小值是（）．A ．3B ．7C ．9D ．6311.选择（）．A ．甲和乙B ．甲和丙C ．甲和丁D ．乙和丙12.A ．80，2B ．81，80C ．80，80D ．81，2 13. 在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()0y kx b k =+≠的图象由函数12y x =的图象平移得到，且经过点()2,0−．当x m >时，对于x 的每一个值，函数34y x =−的值大于一次函数y kx b =+的值，则m 的取值范围为（）．A ．2m <B ．2m ≤C ．2m >D ．2m ≥14. 一次函数1y ax b =+与2y cx d =+的图象如图所示，下列结论中正确的有（）．①对于函数y ax b =+来说，y 随x 的增大而减小②函数y ax d =+的图象不经过第一象限③3d b a c −−=④d a b c <++A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 15. 如图所示，直线223y x =+分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，以线段AB 为边，在第二象限内作等腰直角ABC ∆，90BAC ∠=︒，则过B ，C 两点直线的解析式为（）． A ．123y x =−+ B ．125y x =−+ C ．124y x =−+ D ．22y x =−+16. 如图，四边形ABCD 是边长为4的正方形，点E 在边CD 上，且1DE =，作//EF BC 分别交AC ,AB 于点G ,F ，点P ,H 分别是AG ,BE 的中点，则PH 的长是（）．A ．2B ．2.5C ．3D ．417. 如图，已知四边形ABCD 为正方形，AB =点E 为对角线AC 上一点，连接DE ，过点E 作EF DE ⊥，交BC 延长线于点F ，以DE ，EF 为邻边作矩形DEFG ，连接CG ．在下列结论中：①矩形DEFG 是正方形； ②2CE CG +=；③CG 平分DCF ∠； ④CE CF =．其中正确的结论有( )A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①②③④18. 如图，已知直线:AB y =+分别交x 轴，y 轴于点B ，A 两点，(3,0)C ，D ，E 分别为线段AO 和线段AC上一动点，BE 交y 轴于点H ，且AD CE =．当BD BE+的值最小时，则H 点的坐标为（）．A ．B ．(0,5)C ．(0,4)D ．阅读下述材料，解决第19-20题:在平面直角坐标系xOy 中，对于点()11,P x y ，给出如下定义：当点()22,Q x y 满足1212x x y y +=+时，称点Q 是点P 的等和点．已知点()2,0P ．依照定义，点()()()()12341,1,0,2,3,1,2,4Q Q Q Q −−−均是点P 的等和点.19. 已知点A 在直线6y x =−+上，若点P 的等和点也是点A 的等和点，则点A 的坐标为（）．A ．()3,1B ．()2,4C ．()3,3D ．()4,220. 已知点(),0B b 和线段MN ，对于以点B 为中心，边长为2且各边与坐标轴平行的正方形T 上的点C ，线段MN 上总存在线段PC 上每个点的等和点．若MN 的最小值为5，则b 的取值范围为．。

北京四中八年级下数学期中试卷

北京市第四中学 -----------八年级下数学期中试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．不等式x 4316+>的正整数解的个数是（）(A) 1个 (B) 3个 (C) 4个 (D) 无数个 2.下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（） (A)(a+3)(a-3)=a 2-9 (B)x 2+x-5=(x-2)(x+3)+1 (C) x 2+1=x(x+x1) (D) a 2b+ab 2=ab(a+b)3. 使分式1122+-x x 有意义的x 的取值为（）(A)x≠±1 ; (B)x≠1; (C) x≠-1; (D) x 为任意实数 .4. 把△ABC 的各边分别扩大为原来的3倍，得到△A ′B ′C ′，下列结论不能成立的是（）A ．△ABC ∽△A ′B ′C ′B ．△ABC 与△A ′B ′C ′的各对应角相等C ．△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为41 D ．△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为315．如果32-a 是多项式942-+ma a 的一个因式，则m 的值是（）A ．0B ．6C ．12D ．—126．如果（m+3）x >2m+6的解集为x < 2，则m 的取值范围是（）(A)m<0 (B) m<-3 (C)m>-3 (D)m 是任意实数 7．解关于x 的方程113-=--x m x x 产生增根，则常数m 的值等于（）(A) -1 (B) -2 (C) 1 (D) 2.8.下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（）9.若矩形的半张纸与整张纸相似，那么整张纸的长是宽的（）A.2B.4倍C.2倍D.3倍第11题A B C D10．在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时1ν千米，下坡时的速度为每小时2ν千米，则他在这段路上、下坡的平均速度是（）千米/时 A 、221v v + B 、2121v v v v + C 、21212v v v v + D 、无法确定二、填空题（每小题3分，共24分） 11．当x=1时,分式nx m x -+2无意义，当x=4时分式的值为零, 则n m +=__________.12．①若x:y:z=3:4:5 则zy x z y x ++-+234= 。

北京四中2020-2021学年上学期初中八年级期中考试数学试卷

A．三条中线的交点B．三条角平分线的交点
C．三条高线的交点D．三条边的垂直平分线的交点
8．某工程队准备修建一条长1200米的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快20％，结果提前两天完成任务，若设原计划每天修建道路x米，则根据题意可列方程为（）.
A． B．
C． D．
9．对于非零实数，规定，若，则的值为
A．1B． C．6D．9
5．如图，已知△ABC≌△DCB，AB=10，∠A=60°，∠ABC=80°，那么下列结论中错误的是（）.
A．∠D=60°B．∠DBC=40°C．AC=DBD．BE=10
6．下列算式中，你认为正确的是（）.
A． B．1÷ . =l
C． D．
7．到的三顶点距离相等的点是的是()
（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2-2x）（x2-2x+2）+1进行因式分解．
26．如图，△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D．
（1）请你利用尺规作图作出点D；
（2）过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若AB=6，AC=3，则BE=________.
27．列方程或方程组解应用题：
B.没把一个多项式转化成几个整式积，故B错误；
C.把一个多项式转化成几个整式积，故C正确；
D.没把一个多项式转化成几个整式积，故D错误；
故选C.
3．D
【分析】
根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
【详解】
∵点A，点B关于y轴对称，点A的坐标是(2，−8)，
∴点B的坐标是(−2，-8)，
（3）作直线PQ．
所以直线PQ就是所求的垂线．
请回答：该作图的依据是_________________________________________．

北京四中上学期初中八年级期中考试数学试卷

已知：直线l和l外一点P．（如图1）
求作：直线l的垂线，使它经过点P．
作法：如图2
（1）在直线l上任取两点A，B；
（2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；
（3）作直线PQ．
所以直线PQ就是所求的垂线．
请回答：该作图的依据是_________________________________________．
（1）请你利用尺规作图作出点D；
（2）过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若AB=6，AC=3，则BE=________．
25.列方程或方程组解应用题：
为了响应市政府“绿色出行” 号召，小张上下班由自驾车方式改为骑自行车方式.已知小张单位与他家相距20千米，上下班高峰时段，自驾车的平均速度是自行车平均速度的2倍，骑自行车所用时间比自驾车所用时间多小时.求自驾车平均速度和自行车平均速度各是多少?
A. B.
C. D.
9.对于非零实数，规定，若，则的值为
A. B. C. D.
10.如图，AD为∠CAF的角平分线，BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠DCA=∠ABD，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE=AB+AE；③∠BDC=∠BAC；④∠DAF=∠CBD.其中正确的结论有（）
29.若关于x的分式方程无解，则实数m=_______．
30.阅读下面材料，并解答问题
将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式.
解：由分母 x2-1，可设x4+x2-3=（x2-1）（x2+a）+b.
则x4+x2-3=（x2-1）（x2+a）+b=x4-x2+ax2-a+b=x4+（a-1）x2-a+b

北京四中八年级(上)期中数学试卷

北京四中八年级（上）期中数学试卷一、选择（每小题3分，共30分）1．（3分）下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是（）A．x2﹣x﹣2=x（x﹣1）﹣2B．（x+1）（x﹣1）=x2﹣1C．x2﹣4x+4=（x﹣2）2D．x﹣1=x（1﹣）2．（3分）下列不适合全面调查的是（）A．老师检查全班同学完成作业情况B．人口普查C．汽车公司检测安全气囊在撞击时的保护作用D．机场安检3．（3分）用科学记数法表示0.00003082为（）A．3.082×10﹣5B．308.2×10﹣7C．0.3082×10﹣4D．30.82×10﹣64．（3分）已知x≠0，等于（）A．B．C．D．5．（3分）已知，如图AB=CD，BC=AD，∠B=23°，则∠D=（）A．67°B．46°C．23°D．不能确定6．（3分）已知一个样本27，23，25，27，29，31，27，30，32，28，31，28，26，27，29，18，24，26，27，30，那么频数为8的范围是（）A．24.5～26.5B．26.5～28.5C．28.5～30.5D．30.5～32.5 7．（3分）下列各式正确的有（）（1）；（2）；（3）；（4）．A．1个B．2个C．3个D．4个8．（3分）如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，如果∠BAF=60°，那么∠DAE等于（）A．60°B．45°C．30°D．15°9．（3分）以图中方格纸的3个格点为顶点画出三角形，不全等的三角形有（）种．A．8B．9C．10D．1110．（3分）若三角形的三条边的长分别为a，b，c，且a2b﹣a2c+b2c﹣b3=0，则这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形二、填空（每小题4分，共24分）11．（4分）当x时，分式的值为正数；当x时，分式的值为﹣1．12．（4分）写出中间过程及结果：+（）0=+ =．13．（4分）如图，已知BD是△ABC的中线，CF是△BCD的中线，AE∥CF交BD 的延长线于点E．若△ADE的面积为3，则△ABC的面积是．14．（4分）为使x2+bx+5在整数范围内可以分解因式，则b可能取的值为．15．（4分）如图，AD是△ABC的角平分线，若AB：AC=5：3，则S△ABD：S△ACD=，进而BC：CD=．16．（4分）已知△ABC如图，现将△ABC绕点B逆时针旋转，使点A落在射线BP上，求作△A′C′B．作法：在BP上截BA′=BA，以点B为圆心、BC为半径作弧，以点A′为圆心、AC 为半径作弧，两弧在射线BP右侧交于点C′，则△A′C′B即为所求．请简述操作原理：．三、解答（共46分）17．因式分解：（1）x2y﹣4y（2）﹣x3+x（2x﹣1）18．分式化简：（1）（2）．19．解方程：（1）+=2﹣（2）（）x﹣1×（）2x﹣3=．20．先化简，再求值：（﹣2）÷，其中a2﹣4=0．21．如图，OC是∠AOB的角平分线，点P、F在OC上，PD⊥AO于点D，PE⊥BO于点E，连接DF、EF．求证：DF=EF．22．列方程解应用题：在生产操作中，有些化工原料对人体有害，所以需要用机器人来搬运．现有A、B两种机器人，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg，A型机器人搬运900kg所用时间与B型机器人搬运600kg所用时间相等，则两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？23．将4×4的棋盘沿格线划分成两个全等图形，参考图例补全另外几种．24．我市中小学全面开展“阳光体育”活动，某校在大课间中开设了A：体操，B：跑操，C：舞蹈，D：健美操四项活动，为了解学生最喜欢哪一项活动，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：（1）这次被调查的学生共有人．（2）请将统计图2补充完整．（3）统计图1中B项目对应的扇形的圆心角是度．（4）已知该校共有学生3600人，请根据调查结果估计该校喜欢健美操的学生人数．25．小明做数学作业时遇到一道证明题：求证三角形的三条角平分线交于一点．小明首先根据题意画出图形如图1．然后他将原命题转化为：已知：在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点I，求证：AI是．（1）请帮小明补全命题的结论：AI是；（2）结合图2，补全下面证明过程（括号中填写定理内容）作IP⊥BC于点P，IQ⊥AC于点Q，IR⊥AB于点R．∵BI平分∠ABC，IP⊥BC，IR⊥AB∴IP=IR（）同理：∴IQ=IR又∵IQ⊥AC，IR⊥AB∴（）（3）根据上述结论，完成下述作图任务：如图3，有一张矩形纸片，上面画有一个角的两边m，n，但是这个角的顶点P 在纸片的外部，试在纸片上作出∠P的平分线．（要求：尺规作图，不得折纸，不得超出矩形纸片，保留作图痕迹，不必写作法）26．在平面直角坐标系中，点A（0，6），B（8，0），AB=10，如图作∠DBO=∠ABO，∠CAy=∠BAO，直线CD过点O．（1）写出线段AC、BD的关系；（2）动点P从A出发，沿A﹣O﹣B路线运动，速度为1，到B点处停止；动点Q从B出发，沿B﹣O﹣A运动，速度为2，到A点处停止．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作PE⊥CD于点E，QF⊥CD 于点F．问两动点运动多长时间时△OPE与△OQF全等？B卷27．已知n是整数，且|n2+2n﹣224|是质数，则n=．28．如图，△ABC中，AB=AC，∠B=∠C=40°，点E、F在BC边上，∠AEF=70°，∠AFE=60°，求线段BE、EF、CF围成的三角形的各内角度数．29．在笔直的公路上，一只老虎想捕获距离它14米远的一只兔子．老虎跑5步的距离，兔子要跑9步；老虎跑3步的时间，兔子能跑4步．问老虎能否追上兔子．如果能追上，求老虎跑多远追上；如果不能追上，叙述理由．30．“三角形的三条角平分线交于一点”，这点I叫做△ABC的内心，显然内心I 到三角形三边的距离相等，这个距离叫做三角形的“内切圆半径”，记作r，下面我们来讨论r的求法（1）已知，如图1，△ABC的三边长AB=c，AC=b，BC=a，面积为S，则S=S△IAB+S△IBC +S△IAC=∴r=（用a、b、c、S表示）（2）特别地，在Rt△ABC中∠ACB=90°，如图2，（1）中结论仍然成立，而S=故r=（用a、b、c表示），记作①式；另外，容易证明四边形IPCQ为正方形，即CP=CQ=r，所以可以得到r的另一种表达方式r=（用a、b、c表示），记作②式；由上述①式②式相等，请继续推导直角三角形中a、b、c的关系．北京四中八年级（上）期中数学试卷参考答案一、选择（每小题3分，共30分）1．C；2．C；3．A；4．D；5．C；6．B；7．A；8．D；9．A；10．A；二、填空（每小题4分，共24分）11．＜8；≤0且不等于﹣3；12．﹣50；1；﹣49；13．12；14．±6；15．5：3；8：3；16．三边分别相等的两个三角形全等；三、解答（共46分）17．；18．；19．；20．；21．；22．；23．；24．500；54；25．∠BAC的角平分线；∠BAC的角平分线；角的平分线上的点，到角两边的距离相等；IP=IQ；AI平分∠BAC；到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上；26．；B卷27．﹣15或﹣17或15或13；28．；29．；30．；；；；。

北京市第四中学2020-2021学年下学期八年级数学期中试卷(PDF版含答案)

20．（1） x(x − 2)=0 ， x1 = 0, x2 = 2 ．
△ABF 的位置，连接 EF，过点 A 作 EF 的垂线，垂足为点 H，与 BC 交于点
G．若 BG = 3，CG = 2 ，则 CE 的长为（）．
A． 5 4
B． 15 4
C．4
D． 9 2
（第 8 题图）
（第 9 题图）
10. 如图 1，点 P 从△ABC 的顶点 B 出发，沿 B→C→A 匀速运动到点 A，图 2 是
一点（端点除外），线段 CE 的垂直平分线交 BD,CE 分别于点 F,G，AE,EF 的
中点分别为 M,N．
（1）求证： AF = EF ；
（2）① CEF =
；
② MN + NG 的最小值为
．
25. （7 分）如图，正方形 ABCD 中，点 E 在 AB 上，点 F 在 BC 的延长线上， DF ⊥ DE ，EG 平分 BEF 交 BD 于点 G．
则对角线 AC 等于（）．
A．5
B．10
C．15
D．20
5. 下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（）．
A．2,3,4
B．4,5,6
C．8,15,17
D．11,12,13
6. 在下列条件中，不．能．判定四边形为平行四边形的是（）．
A．一组对边平行且相等
B．两组对边分别平行
C．一组对边平行，另一组对边相等 D．对角线互相平分
（1）求证： DE = DF ；（2）请写出线段 DG 和 DF 的数量关系并证明；（3）作 GH ⊥ EF 于点 H，请直接写出线段 AB、GH 与 EF 的数量关系．
A
D

2023-2024学年北京四中八年级(上)期中数学试卷(含解析)

2023-2024学年北京四中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1．（2分）下列博物院的标识中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（2分）如图，用三角板作△ABC的边AB上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（）A．B．C．D．3．（2分）下列计算正确的是（）A．（4ab）2＝4a2b2B．a2⋅a3＝a6C．a2+a2＝a4D．（﹣3a3b）2＝9a6b24．（2分）如图，△ABC被木板遮住了一部分，其中AB＝6，则AC+BC的值不可能是（）A．11B．9C．7D．55．（2分）根据分式的基本性质，分式可变形为（）A．B．C．D．6．（2分）如图，已知AD∥BC，欲用“边角边”证明△ABC≌△CDA，需补充条件（）A．AB＝CD B．∠B＝∠D C．AD＝CB D．∠BAC＝∠DCA 7．（2分）如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，连接CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连接AP，则∠PAH的度数（）A．随着θ的增大而增大B．随着θ的增大而减小C．不变D．随着θ的增大，先增大后减小8．（2分）用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充一个平面，并且每个顶点周围的多边形排列是相同的，所得到的图案叫做“半正密铺”图案．如图所示的三个“半正密铺”图案可以依次用记号（4，8，8），（3，6，3，6），（3，3，4，3，4）表示．下列记号中，不能表示“半正密铺”图案的是（）A．（3，12，12）B．（3，4，6，4）C．（3，3，4，12）D．（3，4，3，3，6）二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）9．（2分）计算：（π﹣3.14）0＝；＝．10．（2分）要使分式有意义，则x的取值范围是．11．（2分）一个多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形是边形．12．（2分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是20°，则等腰三角形的顶角等于．13．（2分）如图，∠ABC＝60°，AB＝3，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP是直角三角形时，t ＝．14．（2分）有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得图甲，将A、B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和10，则正方形A，B的面积之和为．15．（2分）数学课上，老师提出问题：任画两条长度不等的线段a、b，利用“尺规作图”作Rt△ABC使所画线段分别为三角形的一条直角边和斜边．在交流讨论环节，小明看到小勇所作之图如下，请你回答下列问题：所以，Rt△ABC为所求作的三角形．（1）在以下作图步骤中，小勇的作图顺序可能是；（只填序号）①以点B为圆心，BA的长为半径画弧，交射线AG于点D；②画直线BF；③分别以点A，D为圆心，大于线段AB的长为半径画弧，交于点F；④以点A为圆心，线段b的长为半径画弧，交直线BF于点C，连接AC；⑤画射线AG，并在AG上截取线段AB＝a．（2）∠ABC＝90°的理由是．16．（2分）在等边△ABC中，M、N、P分别是边AB、BC、CA上的点（不与端点重合），对于任意等边△ABC，下面四个结论中：①存在无数个△MNP是等腰三角形；②存在无数个△MNP是等边三角形；③存在无数个△MNP是等腰直角三角形；④存在一个△MNP在所有△MNP中面积最小．所有正确结论的序号是．二、解答题（本大题共8小题，第17题每小题24分，共24分，第18，19，20，21，23题每题6分，第22，24题每题7分，共68分）17．（24分）（1）计算：；（2）计算：20222﹣2020×2024 （需简便运算）；（3）计算：（15x2y﹣10xy2）÷5xy；（4）计算：（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）；（5）因式分解：（x+m）2﹣（x+n）2；（6）因式分解：3ax2+6axy+3ay2．18．（6分）如图，A，C，D三点共线，△ABC和△CDE落在AD的同侧，AB∥CE，BC＝DE，∠B＝∠D，求证：（1）△ABC≌△CDE；（2）AB+CE＝AD．19．（6分）先化简：，再从0，﹣1，﹣2，2中选择一个合适的数作为x 的值代入求值．20．（6分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC顶点都在网格线的交点上，点A坐标为（﹣4，﹣1），点B坐标为（﹣1，﹣1），点C坐标为（﹣3，3）．（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；（2）请写出点B关于x轴对称点的坐标为；（3）点P在y轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，则点P的坐标为．21．（6分）中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题：原文释义甲乙丙为定直角．如图2，∠ABC为直角，以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧；以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己；再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚；乙与己及庚相连作线．以点B 为圆心，以任意长为半径画弧，交射线BA ，BC 分别于点D ，E ；以点D 为圆心，以BD 长为半径画弧与交于点F ；再以点E 为圆心，仍以BD 长为半径画弧与交于点G ；作射线BF ，BG ．（1）根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）；（2）根据（1）完成的图，直接写出∠DBG ，∠GBF ，∠FBE 的大小关系．22．（7分）如图（1），等边△ABC 中，D 是AB 边上的动点，以CD 为一边，向上作等边△EDC ，连接AE ．（1）△DBC 和△EAC 会全等吗？请说说你的理由；（2）试说明AE ∥BC 的理由；（3）如图（2），将（1）动点D 运动到边BA 的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE ∥BC ？证明你的猜想．23．（6分）阅读下列材料：对于多项式x 2+x ﹣2，如果我们把x ＝1代入此多项式，发现x 2+x ﹣2的值为0，这时可以确定多项式中有因式（x﹣1）；同理，可以确定多项式中有另一个因式（x+2），于是我们可以得到：x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+2）．又如：对于多项式2x2﹣3x﹣2，发现当x＝2时，2x2﹣3x﹣2的值为0，则多项式2x2﹣3x﹣2 有一个因式（x﹣2），我们可以设2x2﹣3x﹣2＝（x﹣2）（mx+n），解得m＝2，n＝1．于是我们可以得到：2x2﹣3x﹣2＝（x﹣2）（2x+1）请你根据以上材料，解答以下问题：（1）当x＝时，多项式6x2﹣x﹣5的值为0，所以多项式6x2﹣x﹣5有因式，从而因式分解6x2﹣x﹣5＝；（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，常用来分解一些比较复杂的多项式，请你尝试用试根法分解多项式：x3﹣7x+6．24．（7分）如图1，已知△ABC是等边三角形，点E在射线AB上，且∠ACE＝2α，在射线CE上取点D使得CD＝CA，连接AD并延长交射线CB于点F．（1）当0°＜2α＜60°时，①∠DAB＝；（请用含α的代数式表示）②求证：CE+BE＝CF；（2）当60°＜2α＜120°时，请根据题意补全图2，并写出线段CE，BE，CF间的数量关系．第二部分附加题（共10分）25．（5分）找规律．第1组：，42+32＝52；第2组：，82+152＝172；第3组：，122+352＝372；……（1）请写出第4组等式，；（2）请写出第n组等式，；（3）若k2+96032＝96052（k＞0）则k＝．26．（5分）为了比较两个实数的大小，常用的方法是判定这两个数的差的符号，我们称这种方法为“作差比较法”．要比较两个代数式的大小，同样可以采用类似的方法．因此，可以利用不等式比较大小．如果要证明A＞B，只需要证明A﹣B＞0；同样的，要证明A ＜B，只需要证明A﹣B＜0．例如：小明对于命题：任意的实数a和b，总有a2+b2≥2ab，当a＝b并且只有a＝b时，等号成立，给出了如下证明：证明：∵a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2≥0，∴a2+b2≥2ab，当a＝b并且只有a＝b时，等号成立．（1）请仿照小明的证明方法，证明如下命题：若a，b，x，y≥0，且a≥x，则（a﹣x）2+（b﹣y）2≤（a+b﹣x）2+y2．（2）若a1≥a2≥……≥a n≥0，b1≥b2≥……≥b n≥0，且a1+a2+……+a n＝b1+b2+……+b n＝1，求（a1﹣b1）2+（a2﹣b2）2+……+（a n﹣b n）2的最大值．2023-2024学年北京四中八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误；故选：B．2．【解答】解：△ABC的边AB上的高是经过点C与AB垂直，故选：A．3．【解答】解：A．（4ab）2＝16a2b2，故A错误，不符合题意；B．a2⋅a3＝a5，故B错误，不符合题意；C．a2+a2＝2a2，故C错误，不符合题意；D．（﹣3a3b）2＝9a6b2，故D正确，符合题意．故选：D．4．【解答】解：在△ABC中，AC+BC＞AB，∵AB＝6，∴AC+BC＞6，∴AC+BC的值不可能是5，故选：D．5．【解答】解：原式＝﹣＝，故选：D．6．【解答】解：添加的条件是AD＝CB，理由是：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（SAS），故选：C．7．【解答】解：∵将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，∴BC＝BP＝BA，∴∠BCP＝∠BPC，∠BPA＝∠BAP，∵∠CBP+∠BCP+∠BPC＝180°，∠ABP+∠BAP+∠BPA＝180°，∠ABP+∠CBP＝90°，∴∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA，∵∠CPA＝∠AHC+∠PAH＝135°，∴∠PAH＝135°﹣90°＝45°，∴∠PAH的度数是定值，故选：C．8．【解答】解：A、∵正三角形一个内角为60°，正十二边形一个内角为150°，60°+2×150°＝360°，∴（3，12，12）可以得到“半正密铺”图案，故不符合题意；B、∵正三角形一个内角为60°，正方形一个内角为90°，正六边形一个内角为120°，60°+2×90°+120°＝360°，∴（3，4，6，4）可以得到“半正密铺”图案，故不符合题意；C、∵2×60°+90°+150°＝360°，∴（3，3，4，12）可以得到“半正密铺”图案，故不符合题意；D、3×60°+90°+120°＝390°≠360°，∴（3，4，3，3，6）不可以得到“半正密铺”图案，故符合题意；故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）9．【解答】解：（π﹣3.14）0＝1；＝．故答案为：0；﹣．10．【解答】解：∵x﹣3≠0，∴x≠3．故答案为：x≠3．11．【解答】解：由题意可得：180°•（n﹣2）＝150°•n，解得n＝12．故多边形是十二边形．12．【解答】解：当高在三角形内部时（如图1），顶角是70°；当高在三角形外部时（如图2），顶角是110°．故答案为：70°或110°．13．【解答】解：分两种情况：①当∠APB＝90°时，过A作AP⊥BC于点P，∵∠ABC＝60°，AB＝3，∴BP＝，∵动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，∴t＝；②当∠BAP＝90°时，过A作P'A⊥AB交BC于点P'，∵∠ABC＝60°，AB＝3，∴BP'＝6，∵动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，∴t＝6，综上所述，当△ABP是直角三角形时，t＝或6，故答案为：或6．14．【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图甲得a2﹣b2﹣2（a﹣b）b＝1即a2+b2﹣2ab＝1，由图乙得（a+b）2﹣a2﹣b2＝10，2ab＝10，所以a2+b2＝11，故答案为：11．15．【解答】解：（1）⑤①③②④，故答案为：⑤①③②④；（2）∠ABC＝90°的理由是：等腰三角形的三线合一；故答案为：等腰三角形的三线合一．16．【解答】解：如图1中，满足AM＝BN＝PC，可证△PMN是等边三角形，这样的三角形有无数个．如图2中，当NM＝NP，∠MNP＝90°时，△MNP是等腰直角三角形，这样的三角形有无数个（见图3）．故①②③正确，△PNM的面积不存在最小值（面积可以接近O，没有最小值）．故答案为①②③．二、解答题（本大题共8小题，第17题每小题24分，共24分，第18，19，20，21，23题每题6分，第22，24题每题7分，共68分）17．【解答】解：（1）原式＝﹣6a3b2；（2）原式＝20222﹣（2022﹣2）×（2022+2）＝20222﹣（20222﹣22）＝20222﹣20222+22＝4；（3）原式＝15x2y÷5xy﹣10xy2÷5xy＝3x﹣2y；（4）原式＝4x2+12xy+9y2﹣（4x2﹣y2）＝4x2+12xy+9y2﹣4x2+y2＝12xy+10y2；（5）（x+m）2﹣（x+n）2＝（x+m+x+n）（x+m﹣x﹣n）＝（2x+m+n）（m﹣n）；（6）3ax2+6axy+3ay2＝3a（x2+2xy+y2）＝3a（x+y）2．18．【解答】证明：（1）∵AB∥CE，∴∠A＝∠ECD，在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（AAS）；（2）∵△ABC≌△CDE；∴AC＝CE，AB＝CD，∴AB+CE＝CD+AC＝AD．19．【解答】解：＝＝．∵x≠±2且x≠0，∴x＝﹣1时，．20．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）B（﹣1，﹣1）关于x轴的对称点的坐标为（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）；（3）设P（0，m），由题意×3×|m+1|＝×3×4，∴m＝3或﹣5，∴P（0，3）或（0，﹣5）．故答案为：（0，3）或（0，﹣5）．21．【解答】解：（1）如图，射线BG，BF即为所求．（2）∠DBG＝∠GBF＝∠FBE．理由：连接DF，EG，则BD＝BF＝DF，BE＝BG＝EG，即△BDF和△BEG均为等边三角形，∴∠DBF＝∠EBG＝60°，∵∠ABC＝90°，∴∠DBG＝∠GBF＝∠FBE＝30°．22．【解答】解：（1）△DBC和△EAC会全等证明：∵∠ACB＝60°，∠DCE＝60°∴∠BCD＝60°﹣∠ACD，∠ACE＝60°﹣∠ACD ∴∠BCD＝∠ACE在△DBC和△EAC中，∵，∴△DBC≌△EAC（SAS），（2）∵△DBC≌△EAC∴∠EAC＝∠B＝60°又∠ACB＝60°∴∠EAC＝∠ACB∴AE∥BC（3）结论：AE∥BC理由：∵△ABC、△EDC为等边三角形∴BC＝AC，DC＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°∠BCA+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE在△DBC和△EAC中，∵，∴△DBC≌△EAC（SAS），∴∠EAC＝∠B＝60°又∵∠ACB＝60°∴∠EAC＝∠ACB∴AE∥BC．23．【解答】解：（1）当x＝1时，6x2﹣x﹣5＝6×12﹣1﹣5＝0，所以多项式6x2﹣x﹣5有因式x﹣1，即6x2﹣x﹣5＝（x﹣1）（6x+5）．故答案为：1，x﹣1，（x﹣1）（6x+5）；（2）当x＝1时，x3﹣7x+6＝13﹣7×1+6＝0，所以x3﹣7x+6＝（x﹣1）（x2+x﹣6）＝（x﹣1）（x+3）（x﹣2）．24．【解答】（1）①解：∵CD＝CA，∴∠CAD＝∠CDA，∵∠ACE＝2α，∴∠CAD＝（180°﹣2α）＝90°﹣α，∵△ABC为等边三角形，∴∠CAB＝60°，∴∠DAB＝∠CAD﹣∠CAB＝90°﹣α﹣60°＝30°﹣α，故答案为：30°﹣α；②证明：在CF上截取CM＝CE，连接DM，BD，∵∠ABC＝60°，∠DAB＝30°﹣α，∴∠F＝60°﹣（30°﹣α）＝30°+α，∵CD＝CB，∠DCM＝∠BCE，CM＝CE，∴△CMD≌△CEB（SAS），∴∠CMD＝∠CEB，DM＝BE，∴∠DEB＝∠DMF，∵∠DEB＝∠DAB+∠CDA＝120°﹣2α，∴∠DMF＝120°﹣2α，∴∠MDF＝180°﹣30°﹣α﹣120°+2α＝30°+α，∴∠F＝∠MDF，∴DM＝MF，∴BE＝MF，∴CF＝CM+MF＝CE+BE；（2）解：补全图形如下：在CE上截取CN＝CF，连接BN，BD，则CA＝CB＝CD，同（1）可知△BCN≌△DCF（SAS），∴∠CNB＝∠CFD，∴∠BNE＝∠BFD，∵∠BCE＝2α﹣60°，CD＝CB＝CA，∴∠CAD＝∠CDA＝（180°﹣2α）＝90°﹣α，∴∠DAB＝60°﹣（90°﹣α）＝α﹣30°，∴∠E＝∠CDA﹣∠DAB＝120°﹣2α，∵∠CFD＝90°﹣α+60°＝150°﹣α，∴∠CNB＝150°﹣α，∴∠BNE＝30°+α，∴∠NBE＝180°﹣∠BNE﹣∠E＝30°+α，∴∠BNE＝∠NBE，∴BE＝NE，∴CE＝NC+NE＝CF+BE．故答案为：CE＝CF+BE．第二部分附加题（共10分）25．【解答】解：∵第1组：，42+32＝52；第2组：，82+152＝172；第3组：，122+352＝372；∴（1）请写出第4组等式，162+632＝652；故答案为：，（2）请写出第n组等式＝，（4n）2+（4n2﹣1）2＝（4n2+1）2；故答案为：＝，（4n）2+（4n2﹣1）2＝（4n2+1）2；（3）∵k2+96032＝96052（k＞0），设x+（x+2）＝k，则x（x+2）＝9603，解得x＝97，k＝196，故答案为：196．26．【解答】（1）证明：由题意得，（a﹣x）2+（b﹣y）2﹣（a+b﹣x）2﹣y2＝（a﹣x）2﹣（a+b﹣x）2+（b﹣y）2﹣y2＝（a﹣x+a+b﹣x）（a﹣x﹣a﹣b+x）+（b﹣y+y）（b﹣y﹣y）＝﹣b（2a+b﹣2x）+b（b﹣2y）＝b（﹣2a﹣b+2x+b﹣2y）＝2b（x﹣a﹣y）．∵a，b，x，y≥0，且a≥x，∴x﹣a≤0，﹣y≤0．∴x﹣a﹣y≤0．∴2b（x﹣a﹣y）≤0．∴（a﹣x）2+（b﹣y）2﹣（a+b﹣x）2﹣y2≤0．∴（a﹣x）2+（b﹣y）2≤（a+b﹣x）2+y2．（2）解：设a1≥b1，∵b1≥b2≥……≥b n≥0，b1+b2+……+b n＝1，∴b1≥．又++……+≤+b1b2+……+b1b n＝b1（b1+b2+……+b n）＝b1，∴b1（a1+a2+……+a n）＝a1b1+b1（a2+……+a n）≤a1b1+a1（a2+……+a n）≤a1b1+a2b2+…+a n b n+a1a2+a2a3+……+a n﹣1a n．∴a1b1+a2b2+…+a n b n≥b1（a2+……+a n）﹣（a1a2+a2a3+……+a n﹣1a n）．∴（a1﹣b1）2+（a2﹣b2）2+……+（a n﹣b n）2＝（++……+）﹣2（a1b1+a2b2+…+a n b n）+（++……+）≤（++……+）﹣2b1（a1+a2+……+a n）+2（a1a2+a2a3+……+a n﹣1a n）+b1＝（a1+a2+……+a n）2﹣2b1+b1＝1﹣2b1+b1＝1﹣b1≤1﹣＝．∴（a1﹣b1）2+（a2﹣b2）2+……+（a n﹣b n）2的最大值为．。

北京四中2020-2021学年第一学期期中考试初二数学试题及答案

北京四中2020-2021学年第一学期期中考试初二数学试卷一、选择题（每小题3分，共计30分）1. 下列轴对称图形中，有4条对称轴的图形是（）A. B. C. D.2. 下列运算正确的是（）A. 236a a a ⋅=B. ()326a a =C. 3362a a a +=D. 842a a a ÷=3. 下列变形属于因式分解的是（）A. ()()2224x x x +-=-B. ()1110x x x x ⎛⎫-=-≠ ⎪⎝⎭C. ()3222121x x xx ++=++ D. ()()2933x x x -=+-4. 在平面直角坐标系上，已知点A 关于直线x ＝1对称的点为B （﹣2，4），则点A 的坐标为（）A. （4，4）B. （﹣2，﹣2）C. （2，4）D. （3，4）5. 电子文件的大小常用, ,,B KB MB GB 等作为单位，其中10101012,12,12GB MB MB KB KB B ===，某视频文件的大小约为1,1GB GB 等于( ) A. 302BB. 308BC. 10810B ⨯D. 30210B ⨯6. 已知210,5a b ab -==，则a 2+4b 2的值是（）A. 110B. 120C. 125D. 1307. 如图所示，图()1是一个长为2a ，宽为()2b a b >的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图()2那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（）A. abB. ()2a b +C. ()2a b -D. 22a b -8. 如图所示，三角形纸片被正方形纸板遮住了一部分，小明根据所学知识画出了一个与该三角形完全重合三角形，那么这两个三角形完全重合的依据是（）A. SSSB. SASC. AASD. ASA9. 我们利用尺规作图可以作一个角()''A O B ∠等于已知角()AOB ∠，如下所示：（1）作射线OA ；（2）以O 为圆心，任意长为半径作弧，交OA 于C ，交OB 于D ；（3）以O '为圆心，OC 为半径作弧，交OA '于'C ；（4）以C '为圆心，OC 为半径作弧，交前面的弧于D ；（5）连接'O D '作射线,O B ''则A O B '''∠就是所求作的角．以上作法中，错误的一步是（） A. ()2B. ()3C. ()4D. ()510. △BDE 和△FGH 是两个全等等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC 内．若求五边形DECHF 的周长，则只需知道（）的A. △ABC 的周长B. △AFH 的周长C. 四边形FBGH 的周长D. 四边形ADEC 的周长二、填空题（每题2分，共16分）11. 分解因式：233ma mb -=_____________________．12. 在正方形网格中，AOB ∠的位置如图所示，则点P Q M N 、、、中在AOB ∠的平分线上是______________点．13. 若3x +2y ﹣2=0，则84x y 等于_____．14. 如图,在△ABC 中,点D 在BC 上,将点D 分别以AB 、AC 为对称轴,画出对称点E 、F,并连接AE 、AF.根据图中标示的角度,则∠EAF=__________°.15. 已知关于x 的代数式2x bx c ++，设代数式的值为y ，则2y x bx c =++．下表中列出了当x 分别取…，1,0,1,2,3,4,5,-…，,1m m +…时对应的y 值．（2）当x =______________时，y 有最小值，最小值是________________；（3）p ___________q ．（填,,<>=）16. 已知等腰三角形一个外角的度数为108，则顶角度数为____________. 17. 已知锐角,AOB ∠如图（1）在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作弧MN ，交射线OB 于点D ，连接CD ；（2）分别以点,C D 为圆心，CD 长为半径作弧，两弧交于点,P 连接,CP DP ；（3）作射线OP 交CD 于点Q ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是_______________；//CP OB ；2CP QC =②；AOP BOP ∠=∠③；CD OP ⊥④18. 如图，已知每个小方格的边长为1,,A B 两点都在小方格的顶点上（即为格点），请在图中找一个格点C ，使ABC ∆为等腰三角形，则这样的格点C 有_________________个．三．解答题 19. 分解因式：（1）249x -；（2）22344ab a b b --．20. 计算：（1）()()36x y x --（2）()422682x x y x -÷；（3）()()12x x -+；（4）()()33x y x y +--+．21. 先化简，再求值：()()()()223a b a b a b a a b +-+---，其中1,12a b =-=22. 如图，//AB CD ，AD 和BC 相交于点O ，OA OD =．求证：OB OC=．23. 小宇遇到了这样一个问题：已知：如图，90MON ∠=︒，点A ，B 分别在射线OM ，ON 上，且满足2OB OA >．求作：线段OB 上的一点C ，使AOC △的周长等于线段OB 的长．以下是小宇分析和求解的过程，请补充完整：首先画草图进行分析，如图1所示，若符合题意得点C 已经找到，即AOC △得周长等于OB 的长，那么由OA OC AC OB OC BC ++==+，可以得到OA AC += ．对于这个式子，可以考虑用截长得办法，在BC 上取一点D ，使得BD AO =，那么就可以得到CA = ．若连接AD ，由．（填推理依据）．可知点C 在线段AD 得垂直平分线上，于是问题得解法就找到了．请根据小宇得分析，在图2中完成作图（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）．24. 阅读材料小明遇到这样一个问题：求计算()()()22334x x x +++所得多项式一次项系数.小明想通过计算()()()22334x x x +++所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法.他决定从简单情况开始，先找()()223x x ++所得多项式中的一次项系数，通过观察发现：也就是说，只需用2x +中的一次项系数1乘以23x +中的常数项3，再用2x +中的常数项2乘以23x +中的一次项系数2，两个积相加13227⨯+⨯=，即可得到一次项系数.延续上面的方法，求计算()()()22334x x x +++所得多项式的一次项系数，可以先用2x +的一次项系数1，23x +的常数项3，34+x 的常数项4，相乘得到12；再用23x +的一次项系数2，2x +的常数项2，34+x 的常数项4，相乘得到16；然后用34+x 的一次项系数3，2x +的常数项223x +的常数项3，相乘得到18.最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46. 参考小明思考问题的方法，解决下列问题：(1)计算()()443x x ++所得多项式的一次项系数为____________________. (2)计算()()()13225x x x +-+所得多项式的一次项系数为_____________. (3)若231x x -+是422x ax bx +++的一个因式，求a 、b 的值.的25. 如图1，点D 是等腰三角形ABC 外一点，,2,AB AC BDC ABC =∠=∠过点A 作AE BD ⊥于点E ．（1）依据题意，补全图形．（2）求证：DE BE CD =+．（3）如图2，AD 与BC 交于点F ，当F 是AD 的中点时，翻折BCD ∆得到BCG ∆，连接,AG 求证：,A G 两点到直线BC 的距离相等．附加题 26. 若k正奇数，则()kk k k ---⋅⋅⋅-=_________________ (底数中含k 个k)；若k 为正偶数，则()kk k k ---⋅⋅⋅-=_________________ (底数中含k 个k)；27. 用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为a ，小正方形地砖面积为依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD ．则正方形ABCD 的面积为____________（用含a ，b 的代数式表示）．28. 小明同学研究如下问题：从1,2,3，…，(n n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取()1a a n <<个整数，这a 个整数之和共有多少种不同的结果？他采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．他进行了如下几个探究：探究一：（1）从1,2,3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？如上表，所取的个整数之和可以为，也就是从到的连续整数，其中最小是最大是所以共有3种不同的结果．（2）从1,2,3,4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？如上表，所取的个整数之和可以为，也就是从到7的连续整数，其中最小是，最大是7，所以共有5种不同的结果．（3）从1,2,3,4,5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有_ 种不同的结果．（4）从1,2,3，…，(n n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有_ _种不同的结果．探究二：（1）从1,2,3,4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有__________种不同的结果．（2）从1,2,3，…，(n n 为整数，且4n ≥）这n 个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有_________种不同的结果．探究三：从1,2,3，…，(n n 为整数，且5n ≥这n 个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有________________种不同的结果．归纳结论：从1,2,3，…，(n n 为整数，且3n ≥这n 个整数中任取()1a a n <<个整数，这a 个整数之和共有___________种不同的结果．拓展延伸：从1,2,3，…，36这36个整数中任取_______________个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？（写出解答过程）29. 如图，ABC ∆中，,60120AB AC BAC =︒<∠<︒，将线段AB 绕点A 逆时针旋转60︒得到点D ，点E 与点D 关于直线BC 对称，连接,,CD CE DE ．（1）依题意补全图形；（2）判断CDE ∆的形状，并证明；（3）请问在直线CE 上是否存在点P ，使得PB PA CD -=成立？若存在，请用文字描述出点P 的准确位置，并画图证明：若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（每小题3分，共计30分）1. 【答案】D【解析】【分析】利用轴对称图形定义进行解答即可．【详解】解：A 、是轴对称图形，有5条对称轴，故此选项不符合题意；B 、是轴对称图形，有3条对称轴，故此选项不符合题意；C 、是轴对称图形，有1条对称轴，故此选项不符合题意；D 、是轴对称图形，有4条对称轴，故此选项符合题意；故选：D ．【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．2. 【答案】B【解析】【分析】根据同底数幂的乘法法则对A 进行判断；根据幂的乘方法则对B 进行判断；根据合并同类项对C 进行判断；根据同底数幂的除法法则对D 进行判断．【详解】解：A 、a 3•a 2=a 5，所以A 选项不正确；B 、()326a a =，所以B 选项正确；C 、3332a a a +=，所以C 选项不正确；D 、844a a a ÷=，所以D 选项不正确．故选：B ．【点睛】本题考查了同底数幂的除法：a m÷a n=a m-n（m、n为正整数，m＞n）．也考查了同底数幂的乘法、幂的乘方以及合并同类项．3. 【答案】D【解析】【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【详解】解：A．是整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B．右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；C．右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；D．从左边到右边的变形，属于因式分解，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．4. 【答案】A【解析】【分析】根据对称的性质即可得点A的坐标．【详解】∵点A关于直线x＝1对称的点为B（﹣2，4），∴点A的坐标为（4，4）．故选：A．【点睛】本题考查了坐标与图形变化-对称、关于平行于x轴或y轴的直线的对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握对称的性质．5. 【答案】A【解析】【分析】根据题意及幂的运算法则即可求解．【详解】依题意得1010101010101222222GB MB KB B ==⨯=⨯⨯=302B故选A ．【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知同底数幂的运算法则．6. 【答案】B【解析】【分析】先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可．【详解】解：∵a-2b=10，ab=5，∴a 2+4b 2=（a-2b ）2+4ab=102+4×5=120．故选：B ．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键．7. 【答案】C【解析】【分析】中间部分的四边形是正方形，表示出边长，则面积可以求得．【详解】解：中间部分的四边形是正方形，边长是a-b ，则面积是（a-b ）2．故选：C ．【点睛】本题考查了列代数式，正确表示出小正方形的边长是关键．8. 【答案】D【解析】分析】图中三角形没被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可．【详解】解：由图可知，三角形两角及夹边还存在，∴根据可以根据三角形两角及夹边作出图形，所以，依据是ASA．故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．9. 【答案】C【解析】【分析】根据作一个角等于已知角的方法解决问题即可．【详解】解：（4）错误．应该是以C'为圆心，CD为半径作弧，交前面的弧于D'；故选：C．【点睛】本题考查作图-复杂作图，作一个角等于已知角，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．10. 【答案】A【解析】【分析】由等边三角形的性质和三角形的内角和定理可得：FH＝GH，∠ACB＝∠A＝60°，∠AHF＝∠HGC，进而可根据AAS证明△AFH≌△CHG，可得AF＝CH，然后根据等量代换和线段间的和差关系即可推出五边形DECHF 的周长＝AB+BC，从而可得结论．【详解】解：∵△GFH为等边三角形，∴FH＝GH，∠FHG＝60°，∴∠AHF+∠GHC＝120°，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，∴∠GHC+∠HGC＝120°，∴∠AHF＝∠HGC，∴△AFH≌△CHG（AAS），∴AF＝CH．∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，∴BE＝FH，∴五边形DECHF的周长＝DE+CE+CH+FH+DF＝BD+CE+AF+BE+DF＝（BD+DF+AF）+（CE+BE），＝AB+BC．∴只需知道△ABC的周长即可．故选：A．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及多边形的周长问题，熟练掌握等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质是解题的关键．二、填空题（每题2分，共16分）11. 【答案】3m（a2-b）．【解析】【分析】原式提取公因式即可．【详解】解：原式=3m（a2-b）．【点睛】此题考查了提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12. 【答案】Q【解析】【分析】，即可进行判断．先找到OA、OB上的格点E、F，连接EQ、FQ，证明EOQ FOQ【详解】解：如图,连接EQ、FQ，由图可知OE=OF，EQ=FQ，OQ=OQ，≅∴EOQ FOQ∠=∠∴EOQ FOQ∠，∴OQ平分AOB∴点Q在∠AOB的平分线上．故答案为：Q．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟悉SSS判定是解题关键．13. 【答案】4．【解析】【分析】x y变形得23x+2y，进而得出答案．将3x+2y﹣2=0化简得3x+2y=2，再利用幂的乘方运算法则将84【详解】由3x+2y﹣2=0可得：3x+2y=2，x y=23x+2y=22=4．所以84故答案为：4．【点睛】此题主要考查了幂的乘方运算和同底数幂的乘法运算，熟练应用幂的乘方运算法则是解题关键．14. 【答案】134【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，然后由轴对称的性质得到∠EAF=2∠BAC即可.【详解】解：∵∠B＝62°，∠C＝51°，∴∠BAC ＝180°－62°－51°＝67°，连接AD ，根据轴对称的性质可得：∠EAB ＝∠BAD ，∠FAC ＝∠CAD ，∴∠EAF=2∠BAC ＝134°，故答案为134.【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及轴对称性质，难度不大，熟练掌握基础知识是解题关键． 15. 【答案】 (1). 10. (2). 2. (3). 1. (4). ＜．【解析】【分析】（1）根据表格中的数据可以得到b 、c 的值，从而可以求得n 的值；（2）根据（1）中y 与x 的关系式，根据完全平方公式进行变形，可以得到当x 为何值时，y 有最小值；（3）计算p-q 的值，即可判断p 和q 的大小．【详解】解：（1）由表格可得：2(1)105b c c ⎧--+⎨=⎩＝，解得45b c -⎧⎨=⎩＝．则y=x 2-4x+5，当x=5时，n=52-4×5+5=25-20+5=10．故答案为：10；（2）由（1）知，y=x 2-4x+5=（x-2）2+1，当x=2时，y 有最小值，最小值是1，的故答案为：2，1；（3）由（1）知，p=m2-4m+5，q=(m+1)2-4(m+1)+5= m2-2m+2，∴p-q=( m2-4m+5)-( m2-2m+2)= -2m+3由表可知m＞2，∴-2m+3＜0，∴p＜q．故答案为：＜．【点睛】本题考查代数式的值、二元一次方程组的解法、完全平方公式的应用，解答本题的关键是明确题意，求出b、c的值．16. 【答案】72︒或36︒【解析】【分析】等腰三角形的一个外角等于108，则等腰三角形的一个内角为72°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．【详解】∵一个外角为108，∴三角形的一个内角为72°，当72°为顶角时，其他两角都为54︒、54︒，当72°为底角时，其他两角为72°、36°，所以等腰三角形的顶角为72︒或36︒．故答案为：72︒或36︒【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．17. 【答案】②③④．【解析】【分析】根据作图信息判断出OP平分∠AOB，由此即可一一判断．【详解】解：由作图可知，OC=OD，PC=PD，PC=PD=CD，OP平分∠AOB，∴OP垂直平分线段CD，∴CQ=DQ∴CP=2QC故②③④正确，故答案为②③④．【点睛】本题考查角平分线的作图-复杂作图及线段垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．18. 【答案】8．【解析】【分析】分AB为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数．【详解】解：当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有5个，当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，可找出格点C的个数有3个；∴这样的点C有8个．故答案是：8．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题．三．解答题19. 【答案】（1）（2x+3）（2x-3）；（2）-b（2a-b）2．【解析】【分析】（1）运用平方差公式进行分解即可；（2）先提取-b ，再运用完全平方公式进行分解即可．【详解】解：（1）4x 2-9，=（2x ）2-32，=（2x+3）（2x-3）；（2）22344ab a b b --，=-b （4a 2-4ab+b 2），=-b （2a-b ）2．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．20. 【答案】（1）-6x 2+18xy ；（2）3x 2-4y ；（3）x 2+x-2；（4）x 2-y 2+6y-9．【解析】【分析】（1）直接利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案；（2）直接利用整式的除法运算法则计算得出答案；（3）直接利用多项式乘以多项式计算得出答案；（4）直接利用乘法公式计算得出答案．【详解】解：（1）（x-3y ）（-6x ）=-6x 2+18xy ；（2）（6x 4-8x 2y ）÷2x 2 =3x 2-4y ；（3）（x-1）（x+2）=x 2+2x-x-2=x 2+x-2；（4）（x+y-3）（x-y+3）=[x+（y-3）][x-（y-3）]=x 2-（y-3）2=x 2-y 2+6y-9．【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确运用乘法公式是解题关键．21. 【答案】12ab -，【解析】【分析】原式利用平方差公式，完全平方公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a 与b 的值代入计算即可求出值．【详解】解：原式=a 2-b 2+a 2-2ab+b 2-2a 2+3ab=ab ，当a=12-，b=1时，原式=12-．【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22. 【答案】证明见解析.【解析】【分析】由平行线的性质先得到A D ∠=∠， B C ∠=∠，继而利用AAS 证明AOB DOC ∆≅∆，根据全等三角形的性质即可证得结论.【详解】//AB CD ，A D ∴∠=∠，BC ∠=∠，在AOB ∆和DOC ∆中， A D B C OA OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOB DOC AAS ∴∆≅∆，OB OC ∴=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.23. 【答案】BC ，DC ，线段的垂直平分线的判定【解析】【分析】在线段BO 上截取BD=OA ，连接AD ，作线段AD 的垂直平分线交OD 于点C ，连接AC ，△AOC 即为所求．【详解】解：如图，△AOC 即为所求．故答案为：BC ，DC ，线段的垂直平分线的判定．【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24. 【答案】(1)19;(2)1;(3) a= -6，b= -3．【解析】【分析】（1）根据两多项式常数项与一次项系数乘积的和即为所得多项式一次项系数可得；（2）根据三个多项式中两个多项式的常数项与另一个多项式一次项系数的乘积即为所求可得；（3）由x 4+ax 2+bx+2中4次项系数为1、常数项为2可设另一个因式为x 2+mx+2，根据三次项系数为0、二次项系数为a 、一次项系数为b 列出方程组求出a 、b 的值，可得答案．【详解】解：（1）（x+4）（4x+3）所得多项式的一次项系数为1×3+4×4=19，故答案为19；（2）()()()13225x x x +-+所得多项式的一次项系数为1×(-2)×5+1×3×5+1×(-2)×2=1，故答案为1；（3）由x 4+ax 2+bx+2中4次项系数为1、常数项为2可设另一个因式为x 2+mx+2，则（x 2-3x+1）（x 2+mx+2）=x 4+ax 2+bx+2，13101211(3)321m m a m b ⨯-⨯=⎧⎪∴⨯+⨯+-⨯=⎨⎪-⨯+⨯=⎩解得： 363m a b =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩故答案为a= -6，b= -3．【点睛】本题考查多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．25. 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．【解析】【分析】（1）依据题意画出图形即可；（2）过点A 作AH ⊥CD ，交DC 的延长线于H ，由“AAS”可证△ABE ≌△ACH ，可得AE ＝AH ，BE ＝CH ，由“HL”可证Rt △AED ≌Rt △AHD ，可得结论；（3）过点A 作AG ⊥BC 于G ，连接GD 交BC 延长线于N ，由“AAS”可证△AGF ≌△DNF ，可得AG ＝DN ＝GN ，可得结论．【详解】（1）解：如图3所示即为所求：证明：（2）如图4，过点A 作AH ⊥CD ，交DC 的延长线于H ，∵AE⊥BD，AH⊥DH，∴∠AED＝∠H＝90°．∴∠EDH＋∠EAH＝180°．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∴∠BAC＋2∠ABC＝180°．又∵∠BDC＝2∠ABC，∴∠BDC＋∠BAC＝180°．∴∠BAC＝∠EAH．∴∠BAC-∠CAE＝∠EAH-∠CAE．即∠BAE＝∠CAH．在△ABE和△ACH中，∠AEB＝∠H，∠BAE＝∠CAH，AB＝AC，∴△ABE≌△ACH（AAS）．∴AE＝AH，BE＝CH．在Rt△AED和Rt△AHD中，AE＝AH，AD＝AD，∴Rt△AED≌Rt△AHD（HL）．∴DE＝DH．∴DE＝BE＋CD；证明：（3）如图5，过点A 作AG ⊥BC 于点G ，连接GD 交BC 的延长线于点N ，∵翻折△BCD 得到△BCG ，∴BN ⊥GD ，GN ＝DN ，∵F 是AD 的中点，∴AF ＝DF ，在△AGF 和△DNF 中，∠AFG ＝∠DFN ，∠AGF ＝∠DNF ，AF ＝DF ，∴△AGF ≌△DNF （AAS ）．∴AG ＝DN ．∴AG ＝GN ．∴A ，G 两点到直线BC 的距离相等．【点睛】本题几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、翻折的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．附加题26. 【答案】 (1). 2k k - (2). 2k k .【解析】【分析】先算括号里的减法，再算乘方即可.【详解】解：当k 为正奇数，()kk k k ---⋅⋅⋅-=2()k k -=2k k -；当k 为正偶数，()kk k k ---⋅⋅⋅-=2()k k -= 2k k . 故答案是：2k k -；2k k .【点睛】本题考查了乘方运算，注意负数的奇次方是负数，负数的偶次方是正数.27. 【答案】+a b【解析】【分析】如图，连接AE 、AF ，先证明△GAE ≌△HAF ，由此可证得AEF GAHE S S =△四边形，进而同理可得，根据正方形ABCD 的面积等于四个相同四边形的面积之和及小正方形的面积即可求得答案．【详解】解：如图，连接AE 、AF ，∵点A 为大正方形的中心，∴AE =AF ，∠EAF =90°，∴∠AEF =∠AFE =45°，∵∠GEF =90°，∴∠AEG =∠GEF -∠AEF =45°，∴∠AEG =∠AFE ，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠DAB =∠EAF =90°，∴∠GAE =∠HAF ，在△GAE 与△HAF 中，GAE HAFAE AF AEG AFH∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△GAE ≌△HAF （ASA ），∴GAE HAF S S =△△，∴GAE AEH HAF AEH S S S S +=+△△△△，即AEF GAHE S S =△四边形， ∵11=44AEF S S a =△大正方形，∴11=44GAHE S S a =四边形大正方形， ∴同理可得：1=44ABCD S a b ⨯+正方形，即=ABCD S a b +正方形，故答案为：+a b ．【点睛】本题考查了正方形的性质及全等三角形的判定及性质，熟练掌握正方形的性质并能作出正确的辅助线是解决本题的关键．28. 【答案】探究一：（3）7；（4）（2n-3）；探究二：（1）4；（2）（3n-8）；探究三：（4n-15），（an-a 2+1），7或29．【解析】【分析】探究一：（3）根据探究一的（1）和（2）可得结果；（4）结合（3）即可得到结果．探究二：（1）根据探究一的方法即可得结果．（2）结合以上（1），总结规律，即可得结果．探究三：根据探究一和探究二的方法即可得结果．归纳结论：根据探究一和探究二的方法即可得结果．拓展延伸：根据以上结论：当n=36时，36a-a 2+1=204，解方程即可得a 的值．【详解】解：根据探究一：（1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有3种不同的结果；（2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有5种不同的结果；（3）∵1+2=3，1+3=4，1+4=5，1+5=6，2+5=7，3+5=8，4+5=9，∴从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有7种不同的结果．故答案为：7；（4）根据探究一：从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有3种不同的结果；从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有5种不同的结果；从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有7种不同的结果；所以从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有（2n-3）种不同的结果．故答案为：（2n-3）；探究二：（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和分别为：6，7，8，9，共有4种不同的结果．（2）从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥4）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有（3n-8）种不同的结果．故答案为：4；（3n-8）；探究三：从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥5这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有（4n-15）种不同的结果．故答案为：（4n-15）；归纳结论：从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3这n个整数中任取a（1＜a＜n）个整数，这a个整数之和共有（an-a2+1）种不同的结果．故答案为：（an-a2+1）；拓展延伸：当n=36时，36a-a2+1=204，解得a1=7，a2=29．所以从1，2，3，…，36这36个整数中任取7或29个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果．【点睛】此题考查规律型：数字的变化类，找出数字之间的运算规律，利用规律，解决问题是关键．29. 【答案】（1）见解析；（2）等边三角形，证明见解析；（3）存在，作AG⊥BC于G，直线CE与AG的交点即为点P，画图证明见解析【解析】【分析】（1）依题意补全图形即可；（2）连接BD，设BC与DE交于F，由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB，根据旋转的性质得AD=AB=AC，证出△ABD是等边三角形，∠ACD=∠ADC，求出∠DCE=60°．可得△CDE为等边三角形；（3）作AG⊥BC于G，直线CE与AG的交点即为点P，延长AG与CD交于点Q，连接QB，BD，得出△PCQ 为等边三角形，证明四边形PBQC是菱形，证明△ACP≌△DBQ，得出AP=DQ．则PB-PA=CD成立．【详解】解：（1）补全图形如图1：（2）△CDE为等边三角形，理由如下：连接BD，设BC与DE交于F，如图2：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵线段AB绕点A逆时针旋转60°得到点D，∴AD=AB=AC，∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∠ACD=∠ADC，∴∠ABD=∠ADB=60°，∴∠ABC+∠DBC=60°，∴∠ACB+∠DBC=60°，在△BCD中，∠DBC+∠BDC+∠DCB=180°，∴∠DBC+∠ADB+∠ADC+∠DCB=180°，∴∠DBC+∠ADB+∠ACD+∠DCB=180°，∴∠DBC+∠ADB+∠ACB+∠DCB+∠DCB=180°，即60°+60°+2∠DCB=180°，∴∠DCB=30°，∵点E与点D关于直线BC对称，∴∠ECF=∠DCB=30°，CD=CE，∴∠DCE=60°．∴△CDE是等边三角形；（3）存在，作AG⊥BC于G，直线CE与AG的交点即为点P，理由如下：延长AG、CD交于点Q，连接QB，BD，由（2）可知，∠PCQ=60°，点P与Q关于BC对称，∴PC=QC，∴△PCQ为等边三角形，∴∠QPC=60°，∴∠APC=120°，∵AG⊥BC，AC=AB，∴AG垂直平分BC，PG=QG，第 31 页共 31 页 ∴PB=PC=QB=QC ，∴四边形PBQC 是菱形，∴CP=BQ=CQ=PB ，∠PBQ=∠PCQ=60°，∠DQB=120°=∠APC ， ∵QB=QC ，∴∠QBC=∠QCB ，∴∠ABQ=∠ACQ ，由（2）得：△ABD 为等边三角形，∴∠ABD=60°=∠PCQ ， ∴∠ABQ-∠ABD=∠ACQ-∠PCQ ，∴∠DBQ=∠ACP ，在△ACP 和△DBQ 中，ACP DBQ CP BQAPC DQB ∠∠∠⎧⎪⎪⎩∠⎨＝＝＝， ∴△ACP ≌△DBQ （ASA ），∴AP=DQ ，∵PB=CQ ，CQ-DQ=CD ，∴PB-AP=CD即PB-PA=CD 成立．【点睛】本题是几何变换综合题，考查旋转变换的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定与性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握旋转的性质和轴对称的性质是解题的关键．。

北京四中八年级下册期中数学试卷(解析版)

八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本部分共12小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个选项正确）1．已知a＞b，下列不等式中正确的是（）A．a+3＜b+3 B．a﹣1＜b﹣1 C．﹣a＞﹣b D．＞2．下列各式从左到右，不是因式分解的是（）A．x2+xy+1=x（x+y）+1 B．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）C．x2﹣4xy+4y2=（x﹣2y）2D．ma+mb+mc=m（a+b+c）3．下列多项式中，不能运用平方差公式因式分解的是（）A．﹣m2+4 B．﹣x2﹣y2C．x2y2﹣1 D．（m﹣a）2﹣（m+a）24．将一把直尺与一把三角板如图那样放置，若∠1=35°，∠2的度数是（）A．65°B．70°C．75°D．80°5．已知点P（3﹣m，m﹣1）在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B． C． D．6．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．7．若a﹣b=2，ab=3，则ab2﹣a2b的值为（）A．6 B．5 C．﹣6 D．﹣58．等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（）A．16 B．18 C．20 D．16或209．如果关于x的不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，那么a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＜0 C．a＞﹣1 D．a＜﹣110．已知△ABC中，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PB=PC，则下列确定P点的方法正确的是（）A．P是∠A与∠B两角平分线的交点B．P是AC、AB两边上中垂线的交点C．P是∠A的角平分线与BC的中垂线的交点D．P是∠A的角平分线与AB的中垂线的交点11．某校举行关于“保护环境”的知识竞赛，共有25道题，答对一题得10分，答错（或不答）一题倒扣5分，小明参加本次竞赛，得分超过了100分，则他至少答对的题数是（）A．17 B．16 C．15 D．1212．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S=4cm2，△ABC 等于（）则S阴影A．2cm2 B．1cm2 C．cm2D．cm2二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）13．分解因式：4x2﹣8x+4=______．14．如图，△ABC中，AD⊥BC，AE是∠BAC的平分线，∠B=60°，∠BAC=84°，则∠DAE=______．15．如图，已知一次函数y1=kx1+b1与一次函数y2=kx2+b2的图象相交于点（1，2），则不等式kx1+b1＜kx2+b2的解集是______．16．如图，已知Rt△ABC中，AC⊥BC，∠B=30°，AB=10，过直角顶点C作CA1⊥AB，垂足为A1，再过A1作A1C1⊥BC，垂足为C1，过C1作C1A1⊥AB，垂足为A2，再过A2作A2C2⊥BC，垂足为C2，…，这样一直做下去，得到了一组线段A1C1，A2C2，…，则A1C1=______；则A3C3=______；则A n C n=______．三、解答题（本题共7小题，共52分）17．计算：（1）解不等式：x ﹣（2x ﹣1）≤3 （2）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．（3）因式分解：﹣4a 2x +12ax ﹣9x ．18．先因式分解，再求值：4x （m ﹣1）﹣3x （m ﹣1）2，其中x=，m=3．19．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，Rt △OAB 的B 点在第三象限，到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为4，直角顶点A 在y 轴，画出△OAB ．①点B 的坐标是______；②把△OAB 向上平移5个单位后得到对应的△O 1A 1B 1，画出△O 1A 1B 1，点B 1的坐标是______；③把△OAB 绕原点O 按逆时针旋转90°，画出旋转后的△O 2A 2B 2，点B 2的坐标是______．20．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，∠ABC=60°，AB 的垂直平分线分别交AB ，AC 于点D ，E ．（1）求证：AE=2CE ；（2）求证：DE=EC ．21．某产品生产车间有工人10名．已知每名工人每天可生产甲种产品12个或乙种产品10个，且每生产一个甲种产品可获利润100元，每生产一个乙种产品可获利润180元．在这10名工人中，如果要使此车间每天所获利润不低于15600元，你认为至少要派多少名工人去生产乙种产品才合适．22．某校张老师寒假准备带领他们的“三好学生”外出旅游，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人400元，经协商，甲旅行社表示：“如果带队张老师买一张全票，则学生可半价”；乙旅行社表示：“所有游客全部享受6折优惠．”则：（1）设学生数为x （人），甲旅行社收费为y 甲（元），乙旅行社收费为y 乙（元），两家旅行社的收费各是多少？（2）哪家旅行社收费较为优惠？23．如图，已知△ABC中AB=AC=12厘米，BC=9厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA 上由C点向A点运动．①若点P点Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点P点Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP 全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间，点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本部分共12小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个选项正确）1．已知a＞b，下列不等式中正确的是（）A．a+3＜b+3 B．a﹣1＜b﹣1 C．﹣a＞﹣b D．＞【考点】不等式的性质．【分析】根据不等式的性质1，可判断A，B；根据不等式的性质3，可判断C；根据不等式的性质2，可判断D．【解答】解；A、不等式的两边都加上那个同一个数，不等号的方向不变，故A错误；B、不等式的两边都减去同一个数，不等号的方向不变，故B错误；C、不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，故C错误；D、不等式的两边都除以同一个负数不等号的方向改，故D正确；故选：D．2．下列各式从左到右，不是因式分解的是（）A．x2+xy+1=x（x+y）+1 B．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）C．x2﹣4xy+4y2=（x﹣2y）2D．ma+mb+mc=m（a+b+c）【考点】因式分解的意义．【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，根据定义即可判断．【解答】解：A、结果不是乘积的形式，不是分解因式，选项正确；B、是分解因式，选项错误；C、是分解因式，选项错误；D、是分解因式，选项错误．故选A．3．下列多项式中，不能运用平方差公式因式分解的是（）A．﹣m2+4 B．﹣x2﹣y2C．x2y2﹣1 D．（m﹣a）2﹣（m+a）2【考点】因式分解-运用公式法．【分析】能运用平方差公式因式分解的式子的特点是：两项平方项；符号相反．【解答】解：A、﹣m2+4符合平方差公式因式分解的式子的特点，故A错误；B、﹣x2﹣y2两项的符号相同，所以不能用平方差公式因式分解，故B正确；C、x2y2﹣1符合平方差公式因式分解的式子的特点，故C错误；D、（m﹣a）2﹣（m+a）2符合平方差公式因式分解的式子的特点，故D错误．故选B．4．将一把直尺与一把三角板如图那样放置，若∠1=35°，∠2的度数是（）A．65°B．70°C．75°D．80°【考点】平行线的性质．【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵直尺的两边互相平行，∠1=35°，∴∠3=∠1=35°，∴∠2=35°+30°=65°．故选A．5．已知点P（3﹣m，m﹣1）在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B． C． D．【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组；点的坐标．【分析】根据第二象限内点的坐标特点，可得不等式，根据解不等式，可得答案．【解答】解：已知点P（3﹣m，m﹣1）在第二象限，3﹣m＜0且m﹣1＞0，解得m＞3，m＞1，故选：A．6．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】依据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义回答即可．【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A错误；B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故B错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D正确．故选：D．7．若a﹣b=2，ab=3，则ab2﹣a2b的值为（）A．6 B．5 C．﹣6 D．﹣5【考点】因式分解-提公因式法．【分析】直接将原式提取公因式ab，进而分解因式将已知代入求出答案．【解答】解：∵a﹣b=2，ab=3，则b﹣a=﹣2，∴ab2﹣a2b=ab（b﹣a）=3×（﹣2）=﹣6．故选：C．8．等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（）A．16 B．18 C．20 D．16或20【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．【解答】解：①当4为腰时，4+4=8，故此种情况不存在；②当8为腰时，8﹣4＜8＜8+4，符合题意．故此三角形的周长=8+8+4=20．故选：C．9．如果关于x的不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，那么a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＜0 C．a＞﹣1 D．a＜﹣1【考点】解一元一次不等式．【分析】本题可对a＞﹣1，与a＜﹣1的情况进行讨论．不等式两边同时除以一个正数不等号方向不变，同时除以一个负数不等号方向改变，据此可解本题．【解答】解：（1）当a＞﹣1时，原不等式变形为：x＞1；（2）当a＜﹣1时，原不等式变形为：x＜1．故选：D．10．已知△ABC中，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PB=PC，则下列确定P点的方法正确的是（）A．P是∠A与∠B两角平分线的交点B．P是AC、AB两边上中垂线的交点C．P是∠A的角平分线与BC的中垂线的交点D．P是∠A的角平分线与AB的中垂线的交点【考点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．【分析】分别作出∠BAC的平分线及线段BC的垂直平分线，其交点即为所求点．【解答】解：作出∠BAC的平分线及线段BC的垂直平分线，其交点即为所求点，故选C．11．某校举行关于“保护环境”的知识竞赛，共有25道题，答对一题得10分，答错（或不答）一题倒扣5分，小明参加本次竞赛，得分超过了100分，则他至少答对的题数是（）A．17 B．16 C．15 D．12【考点】一元一次不等式的应用．【分析】根据竞赛得分=10×答对的题数+（﹣5）×未答对的题数，根据本次竞赛得分要超过100分，列出不等式求解即可．【解答】解：设要答对x道．10x+（﹣5）×（20﹣x）＞100，10x﹣100+5x＞100，15x ＞200，解得：x ＞，根据x 必须为整数，故x 取最小整数14，即小彤参加本次竞赛得分要超过100分，他至少要答对14道题．故选C ． 12．如图所示，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点，且S △ABC =4cm 2，则S 阴影等于（）A ．2cm 2B ．1cm 2C ． cm 2D ． cm 2【考点】三角形的面积．【分析】根据三角形的面积公式，知：等底等高的两个三角形的面积相等．【解答】解：S 阴影=S △BCE =S △ABC =1cm 2．故选：B ．二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分） 13．分解因式：4x 2﹣8x +4= 4（x ﹣1）2 ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式4，再根据完全平方公式进行二次分解即可求得答案．【解答】解：4x 2﹣8x +4=4（x 2﹣2x +1）=4（x ﹣1）2．故答案为：4（x ﹣1）2． 14．如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，AE 是∠BAC 的平分线，∠B=60°，∠BAC=84°，则∠DAE= 12° ．【考点】三角形内角和定理．【分析】由角平分线的定义可求得∠BAE ，在Rt △ABD 中可求得∠BAD ，再利用角的和差可求得∠DAE 的大小．【解答】解：∵AE 是∠BAC 的平分线，∠BAC=84°，∴∠BAE=∠BAC=×84°=42°，∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=90°﹣∠B=90°﹣60°=30°，∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=42°﹣30°=12°，故答案为：12°15．如图，已知一次函数y1=kx1+b1与一次函数y2=kx2+b2的图象相交于点（1，2），则不等式kx1+b1＜kx2+b2的解集是x＜1．【考点】一次函数与一元一次不等式．【分析】看两函数交点坐标左边的图象所对应的自变量的取值即可．【解答】解：一次函数y1=kx1+b1与一次函数y2=kx2+b2的图象相交于点（1，2），所以不等式kx1+b1＜kx2+b2的解集是x＜1．故答案为：x＜1．16．如图，已知Rt△ABC中，AC⊥BC，∠B=30°，AB=10，过直角顶点C作CA1⊥AB，垂足为A1，再过A1作A1C1⊥BC，垂足为C1，过C1作C1A1⊥AB，垂足为A2，再过A2作A2C2⊥BC，垂足为C2，…，这样一直做下去，得到了一组线段A1C1，A2C2，…，则A1C1=5×（）2；则A3C3=5×（）6；则A n C n=5×（）2n．【考点】勾股定理；含30度角的直角三角形．【分析】首先求出∠A的度数和AC的长，根据角的正弦函数与三角形边的关系，可求出各边的长，然后再总结出规律．【解答】解：∵Rt△ABC中，AC⊥BC，∠B=30°，AB=10，∴∠A=60°，AC=AB=5，∴sinA=，∴A1C=AC×=5×，又∵A1C1⊥BC，CA1⊥AB，∴∠A1CC1=∠A，∴在Rt△A1C1C中，根据锐角三角函数得，A1C1=5×（）2，以此类推，则A3C3=5×（）6；（）2n；∴A n C n，5×故答案为：，5×（）6，5×（）2n．三、解答题（本题共7小题，共52分）17．计算：（1）解不等式：x﹣（2x﹣1）≤3（2）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．（3）因式分解：﹣4a2x+12ax﹣9x．【考点】解一元一次不等式组；提公因式法与公式法的综合运用；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．【分析】（1）先去括号，再移项，合并同类项，把x的系数化为1即可；（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可；（3）先提取公因式，再利用公式法进行因式分解即可．【解答】解：（1）去括号得，x﹣2x+1≤3，移项得，x﹣2x≤3﹣1，合并同类项得，﹣x≤2，把x的系数化为1得，x≥﹣2；（2）由①得，x≥﹣3，由②得，x＜2，故不等式组的解集为：﹣3≤x＜2．在数轴上表示为：；（3）原式=﹣x（4a2﹣12a+9）=﹣x（2a﹣3）2．18．先因式分解，再求值：4x（m﹣1）﹣3x（m﹣1）2，其中x=，m=3．【考点】因式分解的应用．【分析】先分解因式，再代入求值．【解答】解：4x（m﹣1）﹣3x（m﹣1）2，=（m﹣1）[4x﹣3x（m﹣1）]，=（m﹣1）（4x﹣3mx+3x），=（m﹣1）（7x﹣3mx），当x=，m=3时，原式=（3﹣1）（7×﹣3×3×）=2×（﹣3）=﹣6．19．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，Rt△OAB的B点在第三象限，到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，直角顶点A在y轴，画出△OAB．①点B的坐标是（﹣4，﹣3）；②把△OAB向上平移5个单位后得到对应的△O1A1B1，画出△O1A1B1，点B1的坐标是（﹣4，1）；③把△OAB绕原点O按逆时针旋转90°，画出旋转后的△O2A2B2，点B2的坐标是（3，﹣4）．【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换．【分析】①根据第三象限内点的坐标特征写出B点坐标；②利用网格特点和平移性质写出A、B、O的对应点A1、B1、O1的坐标，然后描点得到△O1A1B1；③利用网格特点和旋转的性质画出A、B、O的对应点A2、B2、O2，从而得到△O2A2B2．【解答】解：①点B的坐标是（﹣4，﹣3）；②如图，△O1A1B1为所作，点B1的坐标是（﹣4，1）；③如图，△O2A2B2为所作，点B2的坐标是（3，﹣4）．故答案为（﹣4，﹣3），（﹣4，1），（3，﹣4）．20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠ABC=60°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E．（1）求证：AE=2CE；（2）求证：DE=EC．【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．【分析】（1）首先连接BE，由在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，可求得∠ABC的度数，又由AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=BE，继而可求得∠CBE的度数，然后由含30°角的直角三角形的性质，证得AE=2CE；（2）通过BE=AE，得到∠ABE=∠A=30°，求得∠CBE=∠ABE=30°，根据角平分线的性质即可得到结论．【解答】解：（1）连接BE，∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴∠ABC=90°﹣∠A=60°，∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=30°，∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=30°，在Rt△BCE中，BE=2CE，∴AE=2CE；（2）∵BE=2CE，AE=2CE；∴BE=AE，∴∠ABE=∠A=30°，∴∠CBE=∠ABE=30°，∵DE⊥AB，∠C=90°，∴DE=CE．21．某产品生产车间有工人10名．已知每名工人每天可生产甲种产品12个或乙种产品10个，且每生产一个甲种产品可获利润100元，每生产一个乙种产品可获利润180元．在这10名工人中，如果要使此车间每天所获利润不低于15600元，你认为至少要派多少名工人去生产乙种产品才合适．【考点】一元一次不等式的应用．【分析】首先设车间每天安排x 名工人生产甲种产品，其余工人生产乙种产品，利用使此车间每天所获利润不低于15600元，得出不等关系进而求出即可．【解答】解：设车间每天安排x 名工人生产甲种产品，其余工人生产乙种产品．根据题意可得，12x ×100+10（10﹣x ）×180≥15600，解得；x ≤4，∴10﹣x ≥6，∴至少要派6名工人去生产乙种产品才合适．22．某校张老师寒假准备带领他们的“三好学生”外出旅游，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人400元，经协商，甲旅行社表示：“如果带队张老师买一张全票，则学生可半价”；乙旅行社表示：“所有游客全部享受6折优惠．”则：（1）设学生数为x （人），甲旅行社收费为y 甲（元），乙旅行社收费为y 乙（元），两家旅行社的收费各是多少？（2）哪家旅行社收费较为优惠？【考点】一次函数的应用．【分析】（1）设我校区级“三好学生”的人数为x 人．则选甲旅行社时总费用=400+400×50%x ，选乙旅行社时总费用=400×60%（x +1）；（2）当400+400×50%x ＜400×60%（x +1）时，甲旅行社较为优惠．反之，乙旅行社优惠，相等时，两旅行社一样．【解答】解：（1）根据题意得，甲旅行社时总费用：y 甲=400+400×50%x ，乙旅行社时总费用：y 乙=400×60%（x +1）；（2）设我校区级“三好学生”的人数为x 人，根据题意得：400+400×50%x ＜400×60%（x +1），解得：x ＞10，当学生人数超过10人，甲旅行社比较优惠，当学生人数10人之内，乙旅行社比较优惠，刚好10人，两个旅行社一样．23．如图，已知△ABC 中AB=AC=12厘米，BC=9厘米，点D 为AB 的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．①若点P 点Q 的运动速度相等，经过1秒后，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由； ②若点P 点Q 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP 全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间，点P 与点Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇？【考点】三角形综合题．【分析】（1）①先求得BP=CQ=3，PC=BD=6，然后根据等边对等角求得∠B=∠C，最后根据SAS即可证明；②因为V P≠V Q，所以BP≠CQ，又∠B=∠C，要使△BPD与△CQP全等，只能BP=CP=4.5，根据全等得出CQ=BD=6，然后根据运动速度求得运动时间，根据时间和CQ的长即可求得Q的运动速度；（2）因为V Q＞V P，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得．【解答】解：（1）①∵t=1（秒），∴BP=CQ=3（厘米）∵AB=12，D为AB中点，∴BD=6（厘米）又∵PC=BC﹣BP=9﹣3=6（厘米）∴PC=BD∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BPD与△CQP中，，∴△BPD≌△CQP（SAS），②∵V P≠V Q，∴BP≠CQ，又∵∠B=∠C，要使△BPD≌△CPQ，只能BP=CP=4.5，∵△BPD≌△CPQ，∴CQ=BD=6．∴点P的运动时间t===1.5（秒），此时V Q===4（厘米/秒）．（2）因为V Q＞V P，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，设经过x秒后P与Q第一次相遇，依题意得4x=3x+2×12，解得x=24（秒）此时P运动了24×3=72（厘米）又∵△ABC的周长为33厘米，72=33×2+6，∴点P、Q在BC边上相遇，即经过了24秒，点P与点Q第一次在BC边上相遇．2016年9月27日。

北京四中2020—2021学年初二上期中考试数学试题及答案

第6题图DCBA北京四中2020—2021学年初二上期中考试数学试题及答案（考试时刻：100分钟满分：120分）姓名：班级：成绩: ____________一、选择题（本题共30分，每小题3分） 1.下列图形中，不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2.把多项式24a a -分解因式，结果正确的是（）A. ()4a a -B. (2)(2)a a +-C. (2)(2)a a a +-D. 2(2)4a -- 3.分式有意义，则x 的取值范畴是（）A ． x ≠1B ． x =1C ． x ≠﹣1D ． x =﹣14. 点A （2,3）关于y 轴成轴对称的点的坐标是（） A ．（3,-2） B ．（-2, 3） C ．（-2,-3） D ．（2,-3）5. 在△ABC 和△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，AB=A′B′，添加下列条件中的一个，不能．．使△ABC ≌△A′B′C′一定成立的是（）． A ．AC =A′C ′ B ．BC=B ′C ′ C ．∠B=∠B ′ D ．∠C=∠C ′ 6. 下列各式中，正确的是（）．A ．1a b b ab b ++= B ．22x y x y-++=-C ． 23193x x x -=-- D ．222()x y x y x y x y --=++ 7.等腰三角形的两边长分别为3和6，则那个等腰三角形的周长为（） A ． 12B ． 15C ． 12或15D ． 188.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 是AC 边上的高，则∠DBC 的度数是（）A ．18°B ．24°C ．30°D ．36°第8题图 9.如图，∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直截了当撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为（） A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°10.如图，∠BAC=130°，若MP 和QN 分别垂直平分AB 和AC ，则∠PAQ 等于（）A ．50°B ．75°C ．80°D ．105°第9题图第10题图二、填空题（本题共20分，每小题2分）11.已知某种植物花粉的直径为35000纳米，即0.000035米，把0.000035用科学记数法表示为 _____________________.12. 分解因式：=+-3632x x ．13．运算：=-+---|3|)12()21(01__ ____．14. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ．若DE=1cm ，则BC =_______ cm ．第14题图 15.如图，已知△ABC 是等边三角形，点B 、C 、D 、E 在同一直线上，且CG=CD ， DF=DE ，则∠E=_____度．第15题图第16题图第18题图 16.如图，△ABC 中，BO 、CO 分别平分∠ABC 、∠ACB ，OM ∥AB ，ON ∥AC ， BC ＝10cm ，则ΔOMN 的周长＝______cm ．DCBAE17. 已知113x y -=，则代数式21422x xy yx xy y----= .18. 如图ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，4=AB ，2=AC ，且ABD ∆的面积为3，则ACD ∆的面积为。

北京四中学初二八年级上学期期中考试数学试卷及参考答案

北京四中2017-2018学年上学期初中八年级期中考试数学试卷时间：100分钟满分：120分一、选择题（每小题3分，共30分）1. 下列四个汽车标志图中，不是轴对称图形的是（）.2. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（）. A. x （a-b ）=ax-bxB. x 2-1+y 2=（x-1）（x+1）+y 2C. y 2-1=（y+1）（y-1）D. ax+bx+c=x （a+b ）+c3. 在平面直角坐标系中，点A ，点B 关于y 轴对称，点A 的坐标是（2，-8），则点B 的坐标是（）. A. （-2，-8）B. （2，8）C. （-2，8）D. （8，2）4. 已知x=3是分式方程1-x k=3的解，那么实数k 的值为（）. A. 1B. 23C. 6D. 95. 如图，已知△ABC ≌△DCB ，AB=10，∠A=60°，∠ABC=80°，那么下列结论中错误的是（）.A. ∠D=60°B. ∠DBC=40°C. AC=DBD. BE=106. 下列算式中，你认为正确的是（）. A.1-=---ab ab a b B. 1÷a b .ba =l C. aa 3131=-D. b a ba b a b a +=--⋅+1)(12227. 在三角形内，到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）.A. 三条高的交点B. 三条角平分线的交点C. 三条边的垂直平分线的交点D. 三条中线的交点8. 某工程队准备修建一条长1200米的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快20％，结果提前两天完成任务，若设原计划每天修建道路x 米，则根据题意可列方程为（）.A.2%)201(12001200=+-x x B.21200%)201(1200=--x xC. 21200%)201(1200=-+xxD.2%)201(12001200=--xx 9. 对于非零实数a 、b ，规定a ⊗b=b 1-a1，若2⊗（2x-1）=1，则x 的值为（）. A.65B. 45C. 23D. -6110. 如图，D 为∠BAC 的外角平分线上一点并且满足BD=CD ，∠DBC=∠DCB ，过D 作DE ⊥AC 于E ，DF ⊥AB 交BA 的延长线于F ，则下列结论：①△CDE ≌△BDF ；②CE=AB+AE ； ③∠BDC=∠BAC ；④∠DAF=∠CBD. 其中正确的结论有（）. A. 1个 B. 2个 C. 3个D. 4个二、填空题（每小题2分，共16分）11. 若分式12+-x x 的值为0，则x 的值为___________. 12. 32-=___________；用科学记数法表示0.000314=___________.13. 化简：168422+--x x xx =___________.14. 若a 2+b 2-2a-6b+10=0，则a+b=___________.15. 如图，AC=DC ，BC=EC ，请你添加一个适当的条件：___________，使得△ABC ≌△DEC.16. 如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，AE 是BC 边上的中线，过点C 作CF ⊥AE ，垂足为点F ，过点B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于点D ，BD=2，则△ABE 的面积为________.17. 若关于x 的分式方程xmx m x -+-+222=3的解为正实数，则实数m 的取值范围是____________。