【KS5U推荐】高中数学破题致胜微方法(双曲线进阶性质)：共轭双曲线+Word版含解析【KS5U+高
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今天我们研究共轭双曲线的性质。以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫
做原双曲线的共轭双曲线。将双曲线22
221x y a b
-=的实、虚轴互易，所得双曲线方程为：22
221-=y x b a
,这两个双曲线就是互相共轭的双曲线。互为共轭的一对双曲线方程合起来可写为22
22
1-=±x y a b 。共轭双曲线的主要性质有：它们有共同的渐近线，它们的四个焦点共圆，它们的离心率的倒数的平方和等于1。
先看例题：
例：双曲线22
1364
-=x y 的共轭双曲线的方程是( )，它们的四个焦点都在圆( )上。 解：将双曲线221364=x y 的实、虚轴互易，所得共轭双曲线方程为：22
1436
-=y x ； 双曲线22
1364
=x y 的焦点4040（,0）,（-,0）; 双曲线22
1436
-=y x 的焦点4040（0,）,（0,-）; 四个焦点都在圆22
40+=x y 上。
归纳整理：
共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，称为其共轭双曲线。 性质： 互为共轭的一对双曲线22221x y a b =与双曲线22
221-=y x b a
，
它们有共同的渐近线， 它们的四个焦点共圆，
它们的离心率的倒数的平方和等于1。
再看一个例题，加深印象
例：两共轭双曲线的离心率分别为21,e e ，证明：2212
11e e +=1. 证明：双曲线22221x y a b -=的离心率222
21122c c a b e e a a a
+=⇒==； 双曲线22
221-=y x b a
的离心率22222222c c a b e e b b b +=⇒==. ∴22
22222212111a b e e a b a b
+=+=++.
总结： 1.双曲线22221x y a b -=与双曲线22
221-=y x b a
互为共轭。 2.互为共轭的双曲线主要性质有：
它们有共同的渐近线，
它们的四个焦点共圆，
它们的离心率的倒数的平方和等于1。
练习：
1. 双曲线的离心率为2，则共轭双曲线的离心率为（），
2.双曲线22
11625
-=x y 的共轭双曲线的渐近线方程是( )。 3．双曲线122
22=-b
y a x 的共轭双曲线的准线方程是（）
（A）x=±
2
b
c
（B）x=±
2
a
c
（C）y=±
2
b
c
（D）y=±
2
a
c
4．设双曲线与其共轭双曲线的离心率分别为e1, e2，则e1+e2的最小值为.
答案：
1.
解：根据
22
12
11
1
+=
e e
，
1
2
=
e，得
2
23
3
=
e.
3.
解：双曲线1
2
2
2
2
=
-
b
y
a
x
的共轭双曲线是
22
22
1
-=
y x
b a
，准线方程是y=±
2
b
c
，故选C。
4.
解：设双曲线
22
22
1
x y
a b
-=的离心率
1
=
c
e
a
；
共轭双曲线
22
22
1
-=
y x
b a
的离心率
2
=
c
e
b
.
∴22121
11111()()22+=+=++≥⋅=e e c a b ab a b a b a b
a =
b 取等号，最小值为22