Part2-第11章-桥梁结构几何非线性计算理论解析
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性挠度理论
我国李国豪教授于 1941 年提出了用于悬索桥分析的等
代梁法
将挠度理论中的非线性项等代于偏心受拉梁的弯矩减小系数 揭示了悬索桥受力的本质
1.3 桥梁结构中的几何非线性研究(续)
悬索桥一阶和二阶理论对比分析
加劲梁挠度
C—挠度折减系数
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
o
2
4
1.3 桥梁结构中的几何非线性研究(续)
悬索桥一阶和二阶理论对比分析
杨浦大桥160+580+160m悬索桥方案 主跨包络图（1—一阶理论；2—二阶理论）
悬索桥一阶和二阶理论对比分析
影响线 1—一阶理论；2—H=Hg；3—H=Hg+maxHp0
Hp影响线
Q1/4 影响线
1.3 桥梁结构中的几何非线性研究(续)
悬索桥一阶和二阶理论对比分析
影响线 1—一阶理论；2—H=Hg；3—H=Hg+maxHp0
M1/4 影响线
位移η
1/4
影响线
（×10 -7）
1888年，Melan在悬索桥结构分析中提出了挠度理论
考虑主缆拉力二阶影响 将平衡方程建立在变形后的位置上 忽略了吊杆伸长、结构水平位移及加劲梁剪切变形的影响
挠度理论从1908年开始应用于纽约的Manhattan大桥设计，大
大节省了工程造价，充分显示了它的优越性
此后的数十年中，挠度理论为悬索桥和大跨径拱桥的发展作
第十一章
桥梁结构几何非线性 计算理论
同济大学桥梁工程系
大跨度桥梁研究室
第十一章
桥梁结构几何非线性计算理论
本章主要内容
1 概 述
2 桥梁结构几何非线性分析的有限元方法
3 桥梁结构分析常用单元的切线刚度矩阵
4 桥梁结构几何非线性分析若干问题的讨论
5 非线性方程的求解 6 算 例 7 小 结
1 概述
二十世纪中叶，奠定了非线性力学的理论基础L —桥梁柔度
挠度折减系数与桥梁柔度关系图
1.3 桥梁结构中的几何非线性研究(续)
悬索桥一阶和二阶理论对比分析
加劲梁弯矩和剪力
C—折减系数
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
剪力 弯矩
o
0.1
0.2
0.3
0.4
1 S= L
EI Hg
加劲梁弯矩和剪力折减系数图
1.3 桥梁结构中的几何非线性研究(续)
1.1 非线性问题及其分类(续)
固体力学中有三组基本方程——
本构方程、几何运动方程和平衡方程
平衡方程——点的应力状态
x yx zx X 0 x y z xy y zy Y 0 x y z xz yz z Z 0 x y z
由于计算繁复，许多非线性微分方程的边值问题无法求解
用解析法解决非线性工程问题仍显得无能为力
二十世纪六十年代末，有限元法与计算机相结合，才使工
程中的非线性问题逐步得以解决
1.1 非线性问题及其分类
固体力学中有三组基本方程——
本构方程、几何运动方程和平衡方程
本构方程（广义胡克定律）
——应力与应变的关系
1.1 非线性问题及其分类(续)
经典线性理论基于三个基本假定，这些假定使得三组基本
方程成为线性
材料的应力、应变关系满足广义虎克定律
位移是微小的
约束是理想约束 不满足其中任何一个假定，就转化为非线性问题
1.1 非线性问题及其分类(续)
非线性问题的分类及基本特点
桥梁工程中 非线性问题 定 义 由材料的非线性应力、应变关 材料非线性 系引起基本控制方程的非线性 材料不满足虎克定律 问题 放弃小位移假设，从几何上严 几何运动方程为非线性，平衡 格分析单元体的尺寸、形状变 方 程 建 立 在 结 构 变形后的位 几何非线性 化，得到非线性的几何运动方 置上，结构刚度除了与材料及 计算问题； 桥梁结构的稳定 程，由此造成基本控制方程的 初始构形有关外，与受载后的 非线性问题 应力、位移整体也有关 分析问题 悬索桥主缆与鞍座的接触 不满足理想约束假定而引起的 受 力 后 的 边 界 条 件在求解前 接触问题 边界约束方程的非线性问题 未知 后的部分落架现象 状态； 支架上预应力梁张拉 柔性结构的恒载状态确定 问题；柔性结构的恒、活载 砼徐变、 收缩和弹塑性问题 特 点 的典型问题
1 x [ x ( y x )] E 1 y [ y ( x z )] E 1 z [ z ( x y )] E
yz xz xy
2(1 ) yz E 2(1 ) xz E 2(1 ) xy E
按几何非线性分析方法求解，可以找到平衡位置B’ ， 即为B点 受力状态因变形而发生明显改变时，就必须用几何非线性方法进
行分析
几何非线性理论一般可以分成大位移小应变即有限位移理
论和大位移、大应变理论，即有限应变理论两种
桥梁工程中的几何非线性问题一般都是有限位移问题
1.3 桥梁结构中的几何非线性研究
1.2 几何非线性问题
几何非线性理论将平衡方程建立在结构变形后位置上
任何结构的平衡只有在其变形后的位置上满足，才是真实
意义上平衡的
一般结构的平衡状态不因变形而发生明显改变,线性理论才
得以广泛应用
1.2 几何非线性问题(续)
A
P
B P B’ C
按线性理论求解无法找到平衡位置
位移的解
1.1 非线性问题及其分类(续)
固体力学中有三组基本方程——
本构方程、几何运动方程和平衡方程
几何方程——位移与应变的关系
u x x v y y w z z w v yz y z u w yz z x v u yz x y
出了巨大贡献
1.3 桥梁结构中的几何非线性研究(续)
挠度理论平衡微分方程的求解仍是十分复杂的
d 4 d 2 d2y EI 4 ( Hq H p ) 2 p ( x) H p 2 dx dx dx Timoshenko于1928年提出了三角级数解
Godard 通过忽略后期荷载对结构刚度的影响提出了线
我国李国豪教授于 1941 年提出了用于悬索桥分析的等
代梁法
将挠度理论中的非线性项等代于偏心受拉梁的弯矩减小系数 揭示了悬索桥受力的本质
1.3 桥梁结构中的几何非线性研究(续)
悬索桥一阶和二阶理论对比分析
加劲梁挠度
C—挠度折减系数
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
o
2
4
1.3 桥梁结构中的几何非线性研究(续)
悬索桥一阶和二阶理论对比分析
杨浦大桥160+580+160m悬索桥方案 主跨包络图（1—一阶理论；2—二阶理论）
悬索桥一阶和二阶理论对比分析
影响线 1—一阶理论；2—H=Hg；3—H=Hg+maxHp0
Hp影响线
Q1/4 影响线
1.3 桥梁结构中的几何非线性研究(续)
悬索桥一阶和二阶理论对比分析
影响线 1—一阶理论；2—H=Hg；3—H=Hg+maxHp0
M1/4 影响线
位移η
1/4
影响线
（×10 -7）
1888年，Melan在悬索桥结构分析中提出了挠度理论
考虑主缆拉力二阶影响 将平衡方程建立在变形后的位置上 忽略了吊杆伸长、结构水平位移及加劲梁剪切变形的影响
挠度理论从1908年开始应用于纽约的Manhattan大桥设计，大
大节省了工程造价，充分显示了它的优越性
此后的数十年中，挠度理论为悬索桥和大跨径拱桥的发展作
第十一章
桥梁结构几何非线性 计算理论
同济大学桥梁工程系
大跨度桥梁研究室
第十一章
桥梁结构几何非线性计算理论
本章主要内容
1 概 述
2 桥梁结构几何非线性分析的有限元方法
3 桥梁结构分析常用单元的切线刚度矩阵
4 桥梁结构几何非线性分析若干问题的讨论
5 非线性方程的求解 6 算 例 7 小 结
1 概述
二十世纪中叶，奠定了非线性力学的理论基础L —桥梁柔度
挠度折减系数与桥梁柔度关系图
1.3 桥梁结构中的几何非线性研究(续)
悬索桥一阶和二阶理论对比分析
加劲梁弯矩和剪力
C—折减系数
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
剪力 弯矩
o
0.1
0.2
0.3
0.4
1 S= L
EI Hg
加劲梁弯矩和剪力折减系数图
1.3 桥梁结构中的几何非线性研究(续)
1.1 非线性问题及其分类(续)
固体力学中有三组基本方程——
本构方程、几何运动方程和平衡方程
平衡方程——点的应力状态
x yx zx X 0 x y z xy y zy Y 0 x y z xz yz z Z 0 x y z
由于计算繁复，许多非线性微分方程的边值问题无法求解
用解析法解决非线性工程问题仍显得无能为力
二十世纪六十年代末，有限元法与计算机相结合，才使工
程中的非线性问题逐步得以解决
1.1 非线性问题及其分类
固体力学中有三组基本方程——
本构方程、几何运动方程和平衡方程
本构方程（广义胡克定律）
——应力与应变的关系
1.1 非线性问题及其分类(续)
经典线性理论基于三个基本假定，这些假定使得三组基本
方程成为线性
材料的应力、应变关系满足广义虎克定律
位移是微小的
约束是理想约束 不满足其中任何一个假定，就转化为非线性问题
1.1 非线性问题及其分类(续)
非线性问题的分类及基本特点
桥梁工程中 非线性问题 定 义 由材料的非线性应力、应变关 材料非线性 系引起基本控制方程的非线性 材料不满足虎克定律 问题 放弃小位移假设，从几何上严 几何运动方程为非线性，平衡 格分析单元体的尺寸、形状变 方 程 建 立 在 结 构 变形后的位 几何非线性 化，得到非线性的几何运动方 置上，结构刚度除了与材料及 计算问题； 桥梁结构的稳定 程，由此造成基本控制方程的 初始构形有关外，与受载后的 非线性问题 应力、位移整体也有关 分析问题 悬索桥主缆与鞍座的接触 不满足理想约束假定而引起的 受 力 后 的 边 界 条 件在求解前 接触问题 边界约束方程的非线性问题 未知 后的部分落架现象 状态； 支架上预应力梁张拉 柔性结构的恒载状态确定 问题；柔性结构的恒、活载 砼徐变、 收缩和弹塑性问题 特 点 的典型问题
1 x [ x ( y x )] E 1 y [ y ( x z )] E 1 z [ z ( x y )] E
yz xz xy
2(1 ) yz E 2(1 ) xz E 2(1 ) xy E
按几何非线性分析方法求解，可以找到平衡位置B’ ， 即为B点 受力状态因变形而发生明显改变时，就必须用几何非线性方法进
行分析
几何非线性理论一般可以分成大位移小应变即有限位移理
论和大位移、大应变理论，即有限应变理论两种
桥梁工程中的几何非线性问题一般都是有限位移问题
1.3 桥梁结构中的几何非线性研究
1.2 几何非线性问题
几何非线性理论将平衡方程建立在结构变形后位置上
任何结构的平衡只有在其变形后的位置上满足，才是真实
意义上平衡的
一般结构的平衡状态不因变形而发生明显改变,线性理论才
得以广泛应用
1.2 几何非线性问题(续)
A
P
B P B’ C
按线性理论求解无法找到平衡位置
位移的解
1.1 非线性问题及其分类(续)
固体力学中有三组基本方程——
本构方程、几何运动方程和平衡方程
几何方程——位移与应变的关系
u x x v y y w z z w v yz y z u w yz z x v u yz x y
出了巨大贡献
1.3 桥梁结构中的几何非线性研究(续)
挠度理论平衡微分方程的求解仍是十分复杂的
d 4 d 2 d2y EI 4 ( Hq H p ) 2 p ( x) H p 2 dx dx dx Timoshenko于1928年提出了三角级数解
Godard 通过忽略后期荷载对结构刚度的影响提出了线