华师大版数学九年级下册27.2.1 点和圆的位置关系

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华师大版数学九年级下册同步课件：27. 点与圆的位置关系

(2)锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心在斜边中点处；钝角三角形的外心在三角形的外部．
(3)三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等．
例题讲授
例1 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，
BC=4cm，以点A为圆心、3cm为半径画圆，并判断：
随堂演练
1.圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若OP= 3 ，则点P
在（D ）
A.大圆内 B.小圆内
C.小圆外 D.大圆内，小圆外
o
2.三角形的外心具有的性质是（ B ）
A.到三边的距离相等. B.到三个顶点的距离相等. C.外心在三角形的外. D.外心在三角形内.
3.等腰三角形底边上的高与一腰的垂直平分线的交点是（ C ）
线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点，而l1⊥l，
C l2⊥l这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾，所以过同一
条直线上的三点不能作圆．
定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆.
位置关系
有且只有
已知：不在同一直线上的三点A、B、C. 求作： ⊙O,使它经过点A、B、C.
A.重心 B.垂心 C.外心 D.无法确定.
4.已知AB＝4 cm，则过点A，B且半径为3 cm的圆有( B )
A．1个
B．2个
C．3个 D．4个
5.如图，在△ABC中，点O在边AB上，且点O为△ABC的外心，求 ∠ACB的度数．解：∵点O为△ABC的外心， ∴OA＝OB＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA，∠OCB＝∠OBC. ∵∠OAC＋∠OCA＋∠OCB＋∠OBC＝180°， ∴∠OCA＋∠OCB＝90°，即∠ACB＝90°.

九年级数学下册(华师大版)课件 27.2.1 点与圆的位置关

5．如图，平面直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C.其中B点坐标为(4，4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为( C ) A．(2，1) B．(2，2) C．(2，0) D．(2，－1)
6．如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A，B，
C 均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形
的最小圆面的半径是( D )
A. 5
7．若一个三角形的外心在它的一边上，则这个三角形一定是( B ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 8．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2.下列说法中不正确的是( A ) A．当a＜5时，点B在⊙A内 B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内 C．当a＜1时，点B在⊙A外 D．当a＞5时，点B在⊙A外
以点C为圆心，以为半径画圆，则A，B，D三点与圆C的位置关系叙述
不正确的是( C ) A．点B在⊙C外
B．点A在⊙C内
C．点D在⊙C外
D．点D在⊙C上
3．有一个矩形ABCD其长为4 cm，宽为3 cm，以D点为圆心作圆，使A， B，C三点其中有两点在圆内，一点在圆外，则⊙O的半径r的取值范围为( C) A．3＜r＜4 B．3＜r＜5 C．4＜r＜5 D．4≤r≤5 知识点❷：三角形的外接圆 4．下列命题正确的是( D ) A．三点确定一个圆 B．圆有且只有一个内接三角形 C．三角形的外心是三角形三个角的平分线的交点 D．三角形的外心是三角形任意两边的垂直平分线的交点
12．(练习1变式)如图，小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上． (1)请你帮小明把花坛的位置画出来．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)若在△ABC中，AB＝8 m，AC＝6 m，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．

秋九年级数学下册第27章圆27.2与圆有关的位置关系27.2.1点和圆的位置关系课件新版华东师大版

5．如图所示，AC，BE 是⊙O 的直径，弦 AD 与 BE 交于点 F，下列三角形中，外心不是点 O 的是( B )
A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE
6．设 AB＝4 cm，作出满足下列要求的图形： (1)到点 A 的距离等于 3 cm 的所有点组成的图形，到点 B 的距离等于 2 cm 的所有点组成的图形； (2)到点 A 的距离等于 3 cm，且到点 B 的距离等于 2 cm 的所有点组成的图形； (3)到点 A 的距离小于 3 cm，且到点 B 的距离小于 2 cm 的所有点组成的图形； (4)到点 A 的距离大于 3 cm，且到点 B 的距离小于 2 cm 的所有点组成的图形．
学习指南
★教学目标★ 理解并掌握点和圆的三种位置关系及数量关系，探求过点画圆的过程，掌握过不在同一直线上的三点画圆的方法．
★情景问题引入★
我国射击运动员在奥运会上屡获金牌，为祖国赢得荣誉．下图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆(圆心相同、半径不等的圆)构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？
∵CA＝10 cm＞25 5 cm，∴点 A 在⊙C 外；
∵CB＝5 cm＜52 5 cm，∴点 B 在⊙C 内； ∵CD＝25 5 cm，∴点 D 在⊙C 上．
【点悟】要判定一个点与圆的位置关系，只需比较该点到圆心的距离 d 与半径 r 的大小．当 d＞r 时，点在圆外；当 d＝r 时，点在圆上；当 d＜r 时，点在圆内．
在 Rt△ODB 中，OB2＝BD2＋OD2， ∴x2＝32＋(4－x)2，解得 x＝285， ∴△ABC 的外接圆半径为285. 【点悟】构造直角三角形，设出未知数，利用勾股定理建立关于未知数的方程，是解决几何问题中求线段长度的常用方法．

新华师版初中数学九年级下册精品课件27.2.1 点与圆的位置关系

第27章圆
27.2 与圆有关的位置关系
第1课时点与圆的位置关系
1 课堂讲解点和圆的位置关系
确定圆的条件
2 课时流程三角形的外接圆
逐点导讲练
课堂小结
作业提升
我国射击运动员在里约奥运会上获得金牌，为我国赢得荣誉，如图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆（圆心相同，半径不相同）构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？提示：解决这个问题要研究点和圆的位置关系．
作这两条弦的垂直平分线即可确定圆轮所在圆的圆心．
解：如图②所示：
(1)在圆轮所在的圆弧上任取三点A，
B，C，并连结AB，BC；
(2)分别作AB，BC的垂直平分线DE，
FG，DE，FG相交于点O；
(3)以O为圆心，OA为半径作⊙O，
⊙O就是圆轮所在的圆．
（来自《》）
总结
知2－讲
经过不在同一条直线上的三点A，B，C作圆，圆心O 是线段AB，BC的垂直平分线的交点，再以OA(或OB, OC)为半径作圆即可，这样的圆只能作一个．
导引：要判断点和圆的位置关系，实质上是要比较点到圆心的距离与半径的大小，而半径为已知量，即需求出相关点到圆心的距离．
（来自《》）
知2－讲
解：如图，连结OR，OP，OQ.
∵PD＝4 cm，OD＝3 cm，且OD⊥l，
∴OP＝ PD2 OD2 42 32 ＝5 (cm)＝r，
∴点P在⊙O上；
知识点 1 点和圆的位置关系
知1－导
问题１：观察图中点A，点B，点C与圆的位置关系？答：点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外
（来自《》）
知1－导
问题２：设⊙O半径为r,说出来点A，点B，点C与圆心O的距离与半径的关系。答：OA < r，OB = r，OC > r 问题3：反过来，已知点到圆心的距离和圆的半径，能否判断点和圆的位置关系？答：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP = d，则有：

九年级数学下册第27章圆27、2与圆有关的位置关系27、2、1点与圆的位置关系教学课件新版华东师大版

随堂练习
7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8， CD⊥AB于点D，O为AB的中点.
（1）以点C为圆心，6为半径作圆C，试判断点A，D，
B与⊙C的位置关系；（2）⊙C的半径为多少时，点O在⊙C上？
随堂练习
解在△ABC中， ∠ACB=90°，
AB=10，BC=8，CD⊥AB，
课程讲授
1 点和圆的位置关系
练一练：已知⊙O的直径为6 cm，点A不在⊙O内，则
OA的长（ B ）
A.大于3 cm B.不小于3 cm C.大于6 cm D.不小于6 cm
课程讲授
2 确定圆的条件
问题1：如何过一个点A作一个圆？过可以作多少个圆？
v
A
确定想要作的圆的半径，我们可以过点A作无数个圆.
课程讲授
3 三角形的外接圆与外心
A
B
O
C
归纳：不在同一直线上的三个点确定一个圆.
课程讲授
3 三角形的外接圆与外心
A
定义：经过三角形的三个顶来自点可以作一个圆，这个圆叫做
B
O
三角形的外接圆.
C
三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心,
它是三角形三条边垂直平分线的交点..
课程讲授
3 三角形的外接圆与外心
练一练：下列说法正确的是（ C ）
反过来说：如果OA<r，点A在圆__内__
OB=r，点B在圆_上___ B
OC>r，点C在圆__外___
课程讲授
1 点和圆的位置关系
点和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：
（1）点P在⊙O内 ___d_<_r____ （2）点P在⊙O上 ___d_=_r____ （3）点P在⊙O外 ___d_>_r____

华师大版初中数学九年级下册《27.2.1 点与圆的位置关系》同步练习卷(含答案解析

华师大新版九年级下学期《27.2.1 点与圆的位置关系》同步练习卷一．选择题（共16小题）1．在平面直角坐标系中，圆心为坐标原点，⊙O的半径为5，则点P（﹣3，4）与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．无法确定2．下列说法：①过三点可以作圆；②同弧所对的圆周角度数相等；③一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．其中正确的有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则这个三角形的外接圆的半径是（）A．10B．5C．4D．34．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为4，AB=4，则∠C为（）A．60°B．30°C．45°D．90°5．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为x的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是（）A．3＜r＜4B．3＜r＜5C．3≤r≤5D．r＞46．如图，△ABC为⊙O的内接等边三角形，BC=12，点D为上一动点，BE⊥OD于E，当点D由点B沿运动到点C时，线段AE的最大值是（）A．2+2B．2﹣2C．6D．+27．如图，数轴上有A、B、C三点，点A，C关于点B对称，以原点O为圆心作圆，若点A，B，C分别在⊙O外，⊙O内，⊙O上，则原点O的位置应该在（）A．点A与点B之间靠近A点B．点A与点B之间靠近B点C．点B与点C之间靠近B点D．点B与点C之间靠近C点8．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AB=10，AC=BC，点E，F分别是边AC，BC的中点，点P是线段EF上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP 的周长的最小值为（）A．5B．5+5C．10D．159．如图，△ABC外接圆的半径长为3，若∠OAC=∠ABC，则AC的长为（）A．4B．2C．3D．310．如图，已知点平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P 经过点A、B、C，则点P的坐标为（）A．（6，8）B．（4，5）C．（4，）D．（4，）11．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（3，0），在y轴的正半轴上取一点C，使A、B、C三点确定一个圆，且使AB为圆的直径，则点C的坐标是（）A．（0，）B．（，0）C．（0，2）D．（2，0）12．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（）A．①B．②C．③D．均不可能13．下列四边形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形，其中四个顶点一定能在同一个圆上的有（）A．①②③④B．②③④C．②④D．③④14．如图，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC边BC上的高，D为垂足．若BD=1，AD=3，BC=7，则⊙O的半径是（）A．B．C．D．15．如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A=60°，连接OB、OC，则边BC 的长为（）A．B．C．D．16．如图，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，AD是△ABC的高，若AB=8，AC=10，AD=8，则AE的值为（）A．10B．10C．12D．12二．填空题（共2小题）17．当点A（1，2），B（3，﹣3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，m，n需要满足的条件．18．如图，点O为△ABC的外接圆圆心，点E为圆上一点，BC、OE互相平分，CF⊥AE于F，连接DF．若OE=2，DF=1，则△ABC的周长为．三．解答题（共22小题）19．如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=5，BC=8，CD=6，AD=5，试判断点A、B、C、D是否在同一个圆上，并证明你的结论．20．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．（1）如图1，损矩形ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，则该损矩形的直径是线段．（2）在线段AC上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并说明你的理由．友情提醒：“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．（3）如图2，△ABC中，∠ABC=90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF的中心，连接BD，当BD平分∠ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由．若此时AB=3，BD=，求BC的长．21．如图①，在直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以OA为边在第一象限内作正方形OABC，点D是x轴正半轴上一动点（OD＞1），连接BD，以BD 为边在第一象限内作正方形DBFE，设M为正方形DBFE的中心，直线MA交y轴于点N．如果定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形．（1）试找出图1中的一个损矩形；（2）试说明（1）中找出的损矩形的四个顶点一定在同一个圆上；（3）随着点D位置的变化，点N的位置是否会发生变化？若没有发生变化，求出点N的坐标；若发生变化，请说明理由；（4）在图②中，过点M作MG⊥y轴于点G，连接DN，若四边形DMGN为损矩形，求D点坐标．22．如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．（1）求证：BD=CD；（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．23．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．（1）如图，损矩形ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，则该损矩形的直径是线段．（2）①在损矩形ABCD内是否存在点O，使得A、B、C、D四个点都在以O为圆心的同一圆上？如果有，请指出点O的具体位置；②如图，直接写出符合损矩形ABCD的两个结论（不能再添加任何线段或点）．24．已知：如图，在△ABC中，点D是∠BAC的角平分线上一点，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E．求证：点E是过A，B，D三点的圆的圆心．25．如图，直线l1、l2相交于点A，点B、点C分别在直线l1、l2上，AB=k•AC，连接BC，点D是线段AC上任意一点（不与A、C重合），作∠BDE=∠BAC=α，与∠ECF的一边交于点E，且∠ECF=∠ABC．（1）如图1，若k=1，且∠α=90°时，猜想线段BD与DE的数量关系，并加以证明；（2）如图2，若k≠1，且∠α≠90°时，猜想线段BD与DE的数量关系，并加以证明．26．如图，△ABC内接于⊙O且AB=AC，延长BC至点D，使CD=CA，连接AD交⊙O于点E，连接BE、CE．（1）求证：△ABE≌△CDE；（2）填空：①当∠ABC的度数为时，四边形AOCE是菱形；②若AE=6，EF=4，DE的长为．27．如图，△ABC为⊙O的内接三角形．点D为劣弧上一点，连接AD、CD、CO、BO，延长CO交AB于点F，CD=BC．（1）求证：∠DAC=∠ACO+∠ABO；（2）点E在OC上，连接EB，若∠DAB=∠OBA+∠EBA，求证：EF=EB．28．已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O直径，BC=6，AC=8，OE⊥AE，垂足为E，交⊙O于点P，连结BP交AC于D．（1）求PE的长；（2）求△BOP的面积．29．如图，在钝角△ABC中，∠C=45°，AE⊥BC，垂足为E点，且AB与AC的长度为方程x2﹣9x+18=0的两个根，⊙O是△ABC的外接圆．求：（1）⊙O的半径；（2）BE的长．30．如图，已知锐角△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D．（1）求证：∠ACB+∠BAD=90°；（2）过点D作DE⊥AB于E，若∠ADC=2∠ACB．求证：AC=2DE．31．如图：△ABC是圆的内接三角形，∠BAC与∠ABC的角平分线AE、BE相交于点E，延长AE交圆于点D，连接BD、DC，且∠BCA=60°．（1）求证：△BED为等边三角形；（2）若∠ADC=30°，⊙O的半径为，求BD长．32．如图，已知△ABC内接于⊙O，AD、AE分别平分∠BAC和△BAC的外角∠BAF，且分别交圆于点D、F，连接DE，CD，DE与BC相交于点G．（1）求证：DE是△ABC的外接圆的直径；（2）设OG=3，CD=2，求⊙O的半径．33．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过O作OD∥BC交AB于点D．延长DO交⊙O于点E，作EF⊥AC于点F．连接DF并延长交直线BC于点G，连接EG．（1）求证：FC=GC；（2）求证：四边形EDBG是矩形．34．如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠BAC=60°，H为边AC，AB上的高BD，CE 的交点，在BD上取点M，使BM=CH．（1）求证：∠BOC=∠BHC；（2）求证：△BOM≌△COH；（3）求的值．35．如图，△ABC内接于半圆O，AB为⊙O直径，点D是的中点，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．（1）求证：AP=DP．（2）若⊙O的半径为5，AD=6，求DP的长．36．已知，△ABC内接于⊙O，∠BAC=60°，AE⊥BC，CF⊥AB．AE，CF相交于点H，点D为弧BC的中点，连接HD，AD．求证：△AHD为等腰三角形．37．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上的一点，CD⊥AB于点D，E为上一点，=，AE与CD相交于点F，与CB相交于点G．（1）求证：AE=2CD，（2）求证：点F是△ACG的外心．38．如图，已知锐角△ABC的外心为O，线段OA和BC的中点分别为点M、N，若∠OBN=2∠OMN，的度数为90°，求∠OMN的大小．39．如图．⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I，延长AI交⊙O于点D，连接BD，CD．求证：BD=CD=DI．40．如图，在⊙O中，两条弦AC，BD垂直相交于点E，等腰△CFG内接于⊙O，FH为⊙O直径，且AB=6，CD=8．（1）求⊙O的半径；（2）若CF=CG=9，求图中四边形CFGH的面积．华师大新版九年级下学期《27.2.1 点与圆的位置关系》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．在平面直角坐标系中，圆心为坐标原点，⊙O的半径为5，则点P（﹣3，4）与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．无法确定【分析】先根据勾股定理求出OP的长，再与⊙O的半径为5相比较即可．【解答】解：∵圆心P的坐标为（﹣3，4），∴OP==5．∵⊙O的半径为5，∴点P在⊙O上．故选：B．【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．2．下列说法：①过三点可以作圆；②同弧所对的圆周角度数相等；③一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．其中正确的有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【分析】根据确定圆的条件，圆周角定理，菱形的判定，三角形外心的性质即可一一判断；【解答】解：①过三点可以作圆；错误，应该是过不在同一直线上的三点可以作圆；②同弧所对的圆周角度数相等；正确；③一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；正确；④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．正确；故选：C．【点评】本题考查圆、圆周角定理、菱形的判定、三角形的外接圆的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则这个三角形的外接圆的半径是（）A．10B．5C．4D．3【分析】首先根据勾股定理，得其斜边是10，再根据直角三角形的外接圆的半径是斜边的一半，得其半径是5．【解答】解：∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴BA===10，∴其外接圆的半径为5．故选：B．【点评】本题考查三角形的外接圆与外心、勾股定理等知识，解题的关键是记住直角三角形的斜边就是外接圆的直径．4．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为4，AB=4，则∠C为（）A．60°B．30°C．45°D．90°【分析】连接AO与BO，根据等边三角形的性质求出∠AOB的度数，再根据圆周角定理求出∠C的度数．【解答】解：连接AO和BO，∵⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为4，AB=4，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠C=∠AOB=×60°=30°，故选：B．【点评】本题主要考查了三角形的外接圆与外心的知识，解题的关键是正确作出辅助线，此题难度一般．5．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为x的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是（）A．3＜r＜4B．3＜r＜5C．3≤r≤5D．r＞4【分析】要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断．当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．【解答】解：在直角△ABD中，CD=AB=4，AD=3，则BD==5．由图可知3＜r＜5．故选：B．【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，解决本题要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系．6．如图，△ABC为⊙O的内接等边三角形，BC=12，点D为上一动点，BE⊥OD于E，当点D由点B沿运动到点C时，线段AE的最大值是（）A．2+2B．2﹣2C．6D．+2【分析】E在以M为圆心，BM为半径的圆上，由△ABC是等边三角形可得AH=BH=6，BH=6，BO=MH=4，BM=2，根据勾股定理可得AM的长即可求AE的最大值．【解答】解：如图连接BO，取BO中点M，连接ME∵DE⊥BE，M是BO中点∴ME=BO∴E在以M为圆心，BM为半径的圆上∴当A，M，E共线且E在AM的延长线上时，AE的值最大延长BO交AC于H∵△ABC为⊙O的内接等边三角形∴HB⊥AC，且△ABC是等边三角形，BC=12∴CH=AH=6∴AH=6，AO=4，OM=2，MH=4∴AM==2∴AE的最大值为2+2故选：A．【点评】本题考查了三角形外接圆和外心，等边三角形的性质，关键是找到E 的运动轨迹．7．如图，数轴上有A、B、C三点，点A，C关于点B对称，以原点O为圆心作圆，若点A，B，C分别在⊙O外，⊙O内，⊙O上，则原点O的位置应该在（）A．点A与点B之间靠近A点B．点A与点B之间靠近B点C．点B与点C之间靠近B点D．点B与点C之间靠近C点【分析】画出图象，利用图象法即可解决问题；【解答】解：如图，观察图象可知，原点O的位置应该在点B与点C之间靠近B点，故选：C．【点评】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题．8．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AB=10，AC=BC，点E，F分别是边AC，BC的中点，点P是线段EF上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP 的周长的最小值为（）A．5B．5+5C．10D．15【分析】连接：OC，PC．先证明EF为OC的垂直平分线，从而可得到PC=OP，然后依据三角形的三边关系可知当点A、P、C在一条直线上时，AP+OP有最小值，然后由OA为定值可知当AP+OP最小时，△APO的周长最小．【解答】解：连接：OC，PC．∵AC=BC，AO=OB，OC=OC，∴△AOC≌△BOC，∴OC⊥AB．∵点E，F分别是边AC，BC的中点，∴EF∥AB．∴OC⊥EF，且CG=OG．∴GP为CO的垂直平分线，∴CP=OP．∴AP+OP=AP+CP．∴当点A、P、C在一条直线上时（点P与点E重合时），AP+OP有最小值．又∵OA为定值，∴当AP+OP最小时，△APO的周长有最小值．∴△APO的周长最小值=AO+AC=AO+OA=5+5．故选：B．【点评】本题主要考查的是三角形的外接圆与外心、找出△APO周长取得最小值的条件是解题的关键．9．如图，△ABC外接圆的半径长为3，若∠OAC=∠ABC，则AC的长为（）A．4B．2C．3D．3【分析】延长AO交圆于H，连接CH、OC，根据圆周角定理、结合题意得到∠OAC=∠CHO，得到∠OAC=45°，CO⊥AN，根据余弦的概念计算即可．【解答】解：延长AO交圆于H，连接CH、OC，由圆周角定理得，∠AHC=∠ABC，∠ACH=90°，∵∠OAC=∠ABC，∴∠OAC=∠CHO，∴CA=CH，又AO=OH，∴∠OAC=45°，CO⊥AN，故选：D．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、解直角三角形的知识是解题的关键．10．如图，已知点平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P 经过点A、B、C，则点P的坐标为（）A．（6，8）B．（4，5）C．（4，）D．（4，）【分析】根据题意可知点P的横坐标为4，设点P的坐标为（4，y），根据PA=PC 列出关于y的方程，解方程得到答案．【解答】解：∵⊙P经过点A、B、C，∴点P在线段AB的垂直平分线上，∴点P的横坐标为4，设点P的坐标为（4，y），作PE⊥OB于E，PF⊥OC与F，由题意得，=，解得，y=，故选：C．【点评】本题考查的是确定圆的条件，解题的关键是理解经过不在同一直线上的三点作圆，圆心是过任意两点的线段的垂直平分线的交点．11．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（3，0），在y轴的正半轴上取一点C，使A、B、C三点确定一个圆，且使AB为圆的直径，则点C的坐标是（）A．（0，）B．（，0）C．（0，2）D．（2，0）【分析】直接根据相交弦定理得出OC2=OA•OB，即可求出OC的长，即可得出C 点坐标．【解答】解：如图，连结AC，CB．依相交弦定理的推论可得：OC2=OA•OB，即OC2=1×3=3，解得：OC=或﹣（负数舍去），故C点的坐标为（0，）．故选：A．【点评】本题考查了确定圆的条件，坐标与图形性质，注意辅助线的作法．12．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（）A．①B．②C．③D．均不可能【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．【解答】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选：A．【点评】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．13．下列四边形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形，其中四个顶点一定能在同一个圆上的有（）A．①②③④B．②③④C．②④D．③④【分析】根据四个点共圆的条件：对角互补，进行判断．【解答】解：平行四边形、菱形的对角不一定互补，不一定能够四个点共圆；矩形、正方形的对角互补，四点一定共圆．故选：C．【点评】掌握四点共圆的条件以及特殊四边形的性质．14．如图，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC边BC上的高，D为垂足．若BD=1，AD=3，BC=7，则⊙O的半径是（）A．B．C．D．【分析】过点A作直径AH，连接CH，根据勾股定理分别求出AB、AC，证明△ABD∽△AHC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【解答】解：过点A作直径AH，连接CH，∵BD=1，BC=7，∴CD=6．∵AD⊥BC，∴AB==，AC==3，∵AH为⊙O的直径，∴∠ACH=90°，∴∠ADB=∠ACH，由圆周角定理得，∠B=∠H，∴△ABD∽△AHC，∴=，即=，解得，AH=5，∴⊙O的半径=，故选：C．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握相似三角形的判定和性质、圆周角定理是解题的关键．15．如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A=60°，连接OB、OC，则边BC 的长为（）A．B．C．D．【分析】延长BO交圆于D，连接CD，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°；又BD=2R，根据锐角三角函数的定义得BC=R．【解答】解：延长BO交⊙O于D，连接CD，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°，∴∠CBD=30°，∵BD=2R，∴DC=R，∴BC=R，故选：D．【点评】此题综合运用了圆周角定理、直角三角形30°角的性质、勾股定理，注意：作直径构造直角三角形是解决本题的关键．16．如图，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，AD是△ABC的高，若AB=8，AC=10，AD=8，则AE的值为（）A．10B．10C．12D．12【分析】根据圆周角定理得到∠ABE=90°，证明△ABE∽△ADC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【解答】解：∵AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，∴∠ABE=90°，∵AD是△ABC的高，∴∠ADC=90°，∴∠ABE=∠ADC，又∠E=∠C，∴△ABE∽△ADC，∴=，∴AE==10，故选：B．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．二．填空题（共2小题）17．当点A（1，2），B（3，﹣3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，m，n需要满足的条件5m+2n≠9．【分析】能确定一个圆就是不在同一直线上，首先确定直线AB的解析式，然后点C不满足求得的直线即可．【解答】解：设直线AB的解析式为y=kx+b，∵A（1，2），B（3，﹣3），∴解得：k=﹣，b=，∴直线AB的解析式为y=﹣+，∵点A（1，2），B（3，﹣3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，∴点C不在直线AB上，∴5m+2n≠9，故答案为：5m+2n≠9．【点评】本题考查了确定圆的条件及坐标与图形的性质，能够了解确定一个圆时三点不共线是解答本题的关键．18．如图，点O为△ABC的外接圆圆心，点E为圆上一点，BC、OE互相平分，CF⊥AE于F，连接DF．若OE=2，DF=1，则△ABC的周长为6+2．【分析】由BC、OE互相平分可证明四边形BECO为平行四边形，由OC=OB可得BECO为菱形，可得∠BOD=60°，∠BAE=∠EAC=30°，CF⊥AE于F，可证△AGC 为等边三角形，F为中点，则由中位线性质可得BG=2DF．在Rt△BHC中利用勾股定理可求GH，进而得到AB、AC，得到△ABC的周长．【解答】解：延长CF交AB于点G，过C作CH⊥AB于H，连BO．∵BC、OE互相平分∴四边形BECO为平行四边形∵OB=OC∴四边形BECO为菱形∴=∵OE=2∴Rt△BOD中，tan∠BOD=∴∠BOD=60°∴∠BAE=∠EAC=30°∵CF⊥AE∴F为GC中点，△AGC为等边三角形∴BG=2DF=2在Rt△BCH中BH2+HC2=BC2∴（2+GH）2+（）2=62解得GH=（舍去）或GH=，∴AG=AC=﹣1+，∴△ABC的周长为6+2．故答案为：6+2．【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关计算、菱形判定和性质、中位线性质以及勾股定理，解答关键是时数形结合．三．解答题（共22小题）19．如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=5，BC=8，CD=6，AD=5，试判断点A、B、C、D是否在同一个圆上，并证明你的结论．【分析】连接BD，在△ABD中，利用勾股定理求得BD的长，然后利用勾股定理的逆定理证明△BCD是直角三角形即可证得．【解答】解：A、B、C、D在同一个圆上．证明：连接BD．在直角△ABD中，BD==10，在△BCD中，∵82+62=100，即BC2+CD2=BD2，∴△BCD是直角三角形．∴B、C、D在以BD为直径的圆上．又∵△ABD是直角三角形，则A、B、D在以BD为直径的圆上．∴点A、B、C、D在以BD为直径的圆上．【点评】本题考查了直角三角形的性质，直角三角形的三个顶点在以斜边为直径的圆上．20．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．（1）如图1，损矩形ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，则该损矩形的直径是线段AC．（2）在线段AC上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并说明你的理由．友情提醒：“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．（3）如图2，△ABC中，∠ABC=90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF的中心，连接BD，当BD平分∠ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由．若此时AB=3，BD=，求BC的长．【分析】（1）根据题中给出的定义，由于∠DAB和∠DCB不是直角，因此AC就是损矩形的直径．（2）根据直角三角形斜边上中线的特点可知：此点应是AC的中点，那么可作AC的垂直平分线与AC的交点就是四边形外接圆的圆心．（3）本题可用面积法来求解，具体思路是用四边形ABCD面积的不同表示方法来求解，四边形ABCD的面积=三角形ABD的面积+三角形BCD的面积=三角形ABC的面积+三角形ADC的面积；三角形ABD的面积已知了AB的长，那么可过D作AB边的高，那么这个高就应该是BD•sin45°，以此可得出三角形ABD 的面积；三角形BDC的面积也可用同样的方法求解，只不过AB的长，换成了BC；再看三角形ABC的面积，已知了AB的长，可用含BC的式子表示出ABC的面积；而三角形ACD的面积，可用正方形面积的四分之一来表示；而正方形的边长可在直角三角形ABC中，用勾股定理求出．因此可得出关于BC 的方程，求解即可得出BC的值．【解答】解：（1）只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．因此AC是该损矩形的直径；（2）作图如图：∵点P为AC中点，∴PA=PC=AC．∵∠ABC=∠ADC=90°，∴BP=DP=AC，∴PA=PB=PC=PD，∴点A、B、C、D在以P为圆心，AC为半径的同一个圆上；（3）∵菱形ACEF，∴∠ADC=90°，AE=2AD，CF=2CD，∴四边形ABCD为损矩形，∴由（2）可知，点A、B、C、D在同一个圆上．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=45°，∴，∴AD=CD，∴四边形ACEF为正方形．∵BD平分∠ABC，BD=，∴点D到AB、BC的距离h为4，=AB×h=2AB=6，∴S△ABDS△ABC=AB×BC=BC，S△BDC=BC×h=2BC，S△ACD=S正方形ACEF=AC2=（BC2+9），=S△ABC+S△ADC=S△ABD+S△BCD∵S四边形ABCD∴BC+（BC2+9）=6+2BC∴BC=5或BC=﹣3（舍去），∴BC=5．【点评】本题主要考查了菱形的性质，正方形的判定，圆的内接四边形等知识点．（3）中如果无法直接求出线段的长，可通过特殊的三角形用面积法来求解．21．如图①，在直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以OA为边在第一象限内作正方形OABC，点D是x轴正半轴上一动点（OD＞1），连接BD，以BD 为边在第一象限内作正方形DBFE，设M为正方形DBFE的中心，直线MA交y轴于点N．如果定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形．（1）试找出图1中的一个损矩形；（2）试说明（1）中找出的损矩形的四个顶点一定在同一个圆上；（3）随着点D位置的变化，点N的位置是否会发生变化？若没有发生变化，求出点N的坐标；若发生变化，请说明理由；（4）在图②中，过点M作MG⊥y轴于点G，连接DN，若四边形DMGN为损矩形，求D点坐标．【分析】（1）根据题中给出的损矩形的定义，从图找出只有一组对角是直角的四边形即可；（2）证明四边形BADM四个顶点到BD的中点距离相等即可；（3）利用同弧所对的圆周角相等可得∠MAD=∠MBD，进而得到OA=ON，那么就求得了点N的坐标；（4）根据正方形的性质及损矩形含有的直角，利用勾股定理求解．【解答】解：（1）从图中我们可以发现四边形ADMB就是一个损矩形．∵点M是正方形对角线的交点，∴∠BMD=90°，∵∠BAD=90°，∴四边形ADMB就是一个损矩形．（2）取BD中点H，连接MH，AH．∵四边形OABC，BDEF是正方形，∴△ABD，△BDM都是直角三角形，∴HA=BD，HM=BD，∴HA=HB=HM=HD=BD，∴损矩形ABMD一定有外接圆．（3）∵损矩形ABMD一定有外接圆⊙H，∴∠MAD=∠MBD，∵四边形BDEF是正方形，∴∠MBD=45°，∴∠MAD=45°，∴∠OAN=45°，∵OA=1，∴ON=1，∴N点的坐标为（0，﹣1）．（4）延长AB交MG于点P，过点M作MQ⊥x轴于点Q，设点MG=x，则四边形APMQ为正方形，∴PM=AQ=x﹣1，∴OG=MQ=x﹣1，∵△MBP≌△MDQ，∴DQ=BP=CG=x﹣2，∴MN2=2x2，ND2=（2x﹣2）2+12，MD2=（x﹣1）2+（x﹣2）2，∵四边形DMGN为损矩形，∴2x2=（2x﹣2）2+12+（x﹣1）2+（x﹣2）2，∴2x2﹣7x+5=0，∴x=2.5或x=1（舍去），∴OD=3，∴D点坐标为（3，0）．【点评】解决本题的关键是理解损矩形的只有一组对角是直角的性质，综合考查了四点共圆的判定及勾股定理的应用．22．如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．（1）求证：BD=CD；（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．【分析】（1）利用等弧对等弦即可证明．（2）利用等弧所对的圆周角相等，∠BAD=∠CBD再等量代换得出∠DBE=∠DEB，从而证明DB=DE=DC，所以B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．【解答】（1）证明：∵AD为直径，AD⊥BC，∴由垂径定理得：∴根据圆心角、弧、弦之间的关系得：BD=CD．（2）解：B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．理由：由（1）知：，∴∠1=∠2，又∵∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴∠DBE=∠3+∠4，∠DEB=∠1+∠5，∵BE是∠ABC的平分线，∴∠4=∠5，∴∠DBE=∠DEB，∴DB=DE．由（1）知：BD=CD∴DB=DE=DC．∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．（7分）【点评】本题主要考查等弧对等弦，及确定一个圆的条件．23．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．（1）如图，损矩形ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，则该损矩形的直径是线段AC．（2）①在损矩形ABCD内是否存在点O，使得A、B、C、D四个点都在以O为圆心的同一圆上？如果有，请指出点O的具体位置；②如图，直接写出符合损矩形ABCD的两个结论（不能再添加任何线段或点）．【分析】△ADC和△ABC都是直角三角形，且有共同的斜边，直角三角形的三个顶点在以斜边为直径的圆上．因而ABCD四个顶点共圆．【解答】解：（1）线段AC；（2）①在损矩形ABCD内存在点O，使得A、B、C、D四个点都在以O为圆心的同一个圆上，O是线段AC的中点．②ABCD是圆内接四边形；∠ADB=∠ACB．【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，三个顶点在以斜边为直径的圆上．24．已知：如图，在△ABC中，点D是∠BAC的角平分线上一点，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E．求证：点E是过A，B，D三点的圆的圆心．【分析】要求证：点E是过A，B，D三点的圆的圆心，只要证明AE=BE=DE即可，可以根据等角对等边可以证得．【解答】证明：∵点D在∠BAC的平分线上，∴∠1=∠2．（1分）又∵DE∥AC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3．（2分）∴AE=DE．（3分）又∵BD⊥AD于点D，∴∠ADB=90°．（4分）∴∠EBD+∠1=∠EDB+∠3=90°．（5分）∴∠EBD=∠EDB．（6分）∴BE=DE．（7分）∴AE=BE=DE．（8分）∵过A，B，D三点确定一圆，又∠ADB=90°，∴AB是A，B，D所在的圆的直径．（9分）∴点E是A，B，D所在的圆的圆心．（10分）【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定方法，等角对等边．25．如图，直线l1、l2相交于点A，点B、点C分别在直线l1、l2上，AB=k•AC，连接BC，点D是线段AC上任意一点（不与A、C重合），作∠BDE=∠BAC=α，与∠ECF的一边交于点E，且∠ECF=∠ABC．（1）如图1，若k=1，且∠α=90°时，猜想线段BD与DE的数量关系，并加以证明；（2）如图2，若k≠1，且∠α≠90°时，猜想线段BD与DE的数量关系，并加以证明．【分析】（1）连接BE．若k=1，且∠α=90°时，要求线段BD与DE的数量关系，可以通过证明△BED∽△BCA得出；（2）连接BE．若k≠1，且∠α≠90°时，要求线段BD与DE的数量关系，可以通过证明△BED∽△BCA得出．【解答】证明：（1）连接BE．∵∠ECF=∠ABC，∠ECF+∠BCE+∠BCA=∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，∴∠BCE=∠BAC；∵∠BDE=∠BAC=α=90°，∴B、E、D、C四点共圆，。

九年级数学下册第27章圆27.2直线与圆的位置关系1点与圆的位置关系教案新版华东师大版2021072

word2 与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系1．能从点和圆的位置关系，判断点和圆心的距离与半径的大小关系．（重点）2．学会用已知点到圆心的距离与半径的大小关系，判断点与圆的位置关系．（重点）3．认识三角形的外接圆，三角形的外心的概念，会画三角形的外接圆．（难点）一、情境导入同学们看过奥运会的射击比赛吗？射击的靶子是由许多圆组成的，射击的成绩是由击中靶子不同位置所决定的；如图是一位运动员射击6发子弹在靶上留下的痕迹．你知道这个运动员的成绩吗？请同学们算一算．(击中最里面的圆的成绩为10环，依次为9、8、…、1环)二、合作探究探究点一：点和圆的位置关系【类型一】判断点和圆的位置关系如图，已知矩形ABCD的边AB＝3cm，AD＝4cm.(1)以点A为圆心，4cm为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系如何？(2)若以点A为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值X围是什么？解析：（1）根据勾股定理求出AC的长，进而得出点B、C、D与⊙A的位置关系；（2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值X围．解：(1)∵AB＝3cm＜4cm，∴点B在⊙A 内；∵AD＝4cm，∴点D在⊙A上；∵AC＝32＋42＝5cm＞4cm，∴点C在⊙A外．(2)由题意得，点B一定在圆内，点C 一定在圆外．∴3cm＜r＜5cm.方法总结：判断点与圆的位置关系，只需比较点到圆心的距离d与圆的半径rd ＜r，则点在圆内；若d=r，则点在圆上；若d＞r，则点在圆外.【类型二】点和圆的位置关系的应用如图，点O处有一灯塔，警示⊙O内部为危险区，一渔船误入危险区点P处，该渔船应该按什么方向航行才能尽快离开危险区？试说明理由．解析：⊙O的内部为危险区域，因而渔船应沿半径向远离圆心的方向行驶.解：渔船应沿着灯塔O过点P的射线OP方向航行才能尽快离开危险区．理由如下：设射线OP交⊙O与点A，过点P任意作一条弦CD，连接OD，在△ODP中，OD－OP＜PD，又∵OD＝OA，∴OA－OP＜PD，∴PA＜PD，即渔船沿射线OP方向航行才能尽快离开危险区．方法总结：在圆内的一点P应沿着圆心O与该点的连线的方向（即射线OP）运动,才能最快离开圆的区域.探究点二：确定圆的条件经过不在同一直线上的三个点作一个圆已知：不在同一直线上的三个已知点A、B、C(如图)，求作：⊙O，使它经过点A、B、C.解析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作出边AB、BC 的垂直平分线相交于点O，以点O为圆心，以OC为半径，作出圆即可．解：(1)连接AB、BC；(2)分别作出线段AB、BC的垂直平分线DE、GF，两垂直平分线相交于点O，则点O就是所求作的⊙O的圆心；(3)以点O为圆心，OC长为半径作圆，则⊙O就是所求作的圆．方法总结：线段垂直平分线的作法，需熟练掌握．探究点三：三角形的外接圆与外心【类型一】与圆的内接三角形有关的角的计算如图，△ABC 内接于⊙O ，∠OAB ＝20°，则∠C 的度数是________．解析：由OA ＝OB ，知∠OAB ＝∠OBA ＝20°，所以∠AOB ＝140°，根据圆周角定理，得∠C ＝12∠AOB ＝70°.方法总结：在圆中求圆周角的度数，可以根据圆周角定理找相等的角实现互换，也可以寻找同弧所对的圆周角与圆心角的关系．【类型二】与圆的内接三角形有关的线段的计算如图，在△ABC 中，O 是它的外心，BC ＝24cm ，O 到BC 的距离是5cm ，求△ABC 的外接圆的半径．解析：根据外心的性质可知OD 垂直平分BC ，可知△BOD 为直角三角形，BD =21BC =12，OD =5，由勾股定理可求半径OB .解：如图，连接OB ，过点O 作OD ⊥BC ，则OD ＝5cm ，BD ＝12BC △OBD 中，OB ＝OD 2＋BD 2＝52＋122△ABC 的外接圆的半径为13cm.方法总结：由外心的定义可知外接圆的半径等于OB ，过点O 作OD ⊥BC ，易得BD ＝12cm.由此可求它的外接圆的半径．三、板书设计教学过程中，强调三角形的外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等，它是三角形三边垂直平分线的交点．在圆中充分利用这一点可解决相关的计算问题.。

九年级数学下册第27章圆27.2与圆有关的位置关系27.2.1点与圆的位置关系导学课件新版华东师大版

27.2.1 点与圆的位置关系
例 3 [高频考题] 下列结论正确的是( C ) ①三角形有且只有一个外接圆；②圆有且只有一个内接三角形；
③三角形的外心是各边垂直平分线的交点；④三角形的外心到三角
形三边的距离相等．
A. ①②③④
B. ②③④
C. ①③
D. ①②④
27.2.1 点与圆的位置关系
[解析] ①正确；圆有无数个内接三角形，所以②错误；由三角形外接圆的作法可知外心是三角形三边垂直平分线的交点，③正确；等边三角形的外心到三角形三边的距离相等，其他三角形的外心到三角形三边的距离不相等，④错误．
27.2.1 点与圆的位置关系
[拓展] 三角形的外心在三角形的内部⇔三角形为锐角三角形；三角形的外心在三角形的一边上⇔三角形为直角三角形；三角形的外心在三角形的外部⇔三角形为钝角三角形．
27.2.1 点与圆的位置关系
反思
学习本节后在反思环节，有几名同学的发言如下，你觉得他们说的正确吗？
甲：直角三角形的外心是斜边的中点；乙：锐角三角形的外心在三角形的内部；丙：钝角三角形的外心在三角形的外部 ; 丁：过三点可以确定一个圆．
小结知识点一点与圆的位置关系
点在圆外，则这个点到圆心的距离__大__于__半径；点在圆上，则这个点到圆心的距离__等_于___半径；点在圆内，则这个点到圆心的距离__小__于__半径．
27.2.1 点与圆的位置关系
[明确] (1)列表表示点与圆的位置关系：
点与圆的位置关系
图形
数量(点到圆心的距离 d 与圆的半径 r)的大小关系
27.2.1 点与圆的位置关系
解： (1)如图，⊙O 即为所求．
(2)∵∠BAC＝90°，AB＝8 米，AC＝6 米， ∴BC＝10 米，且 BC 为⊙O 的直径， ∴△ABC 外接圆的半径为 5 米，

[初中++数学] 点与圆的位置关系++课件+华东师大版数学九年级下册

径,即0 cm≤OP<2 cm.
(3)点P在圆外.
(3)因为点P在圆外,所以线段OP的长度大于☉O的半
径,即OP>2 cm.
确定圆的条件及方法
要将如图所示的圆轮残片复制完成,怎样确定这个圆轮
残片的圆心和半径?(写出找圆心和半径的步骤)
[分析] 需要确定的是圆心和半径,根
据圆的确定条件可在这个圆轮残片
解:如答案图,连结OB、OC,
连结OA交BC于点D.由圆、
等腰三角形及圆内接三角
形的性质可得OA垂直平分
BC,且OA平分∠BAC.
∵∠BAC=120°,
∴∠BAO=60°,
(答案图)
∴△OAB为等边三角形,∴OA=AB.
1
9
在Rt△ABD中,BD= BC= ,
2
2

则OA=AB=
=
3
60°
过点O作OD⊥AB于点D,可在Rt△AOD中求出AO的长,
由此求出该三角形外接圆的面积.
解:如答案图,在等边△ABC中,O为△ABC外接圆的圆心,连
结AO,过点O作OD⊥AB于点D.由于△ABC为等边三角形,
易得OA平分∠BAC,
1
1
∴∠DAO=2∠BAC=2×60°=30°.
∵OD⊥AB,☉O为△ABC的外接圆.
1
1
∴AD=2AB=2a.
1

2

3
在Rt△AOD中,AO=
=
=
a
,
(答案图)
∠ 30° 3
2
3
3
1
即☉O的半径为 a.∴☉O的面积为π = πa2.
3
3
3
[技巧归纳] 解决圆内接等边三角形问题时,通常过圆心

华师版九年级数学下册_27.2.1 点与圆的位置关系

以点A 以外的任过一点A 意一点为圆心，
作圆以该点与点A 的距离为半径作圆
无数个
知2－讲
图示
感悟新知
条件
作法
作圆的个数
连结AB，作线段AB 的垂直平分线l，以过两点A，其垂直平分线上任意 B 作圆一点为圆心，以该点与点A(或点B)的距离
为半径作圆
无数个
知2－讲
图示
感悟新知
条件
作法
作圆的个数
感悟新知
知1－练
例 1 如图27.2-1，已知⊙ O 的半径r=5 cm，圆心O 到直线 l 的距离d=OD=3 cm，在直线l 上有P，Q，R 三点，且有PD=4 cm，QD=5 cm，RD=3 cm，那么P，Q，R 三点与⊙ O 的位置关系各是怎样的？
感悟新知
知1－练
解题秘方：比较点到圆心的距离与半径的大小确定点的位置情况.
连结AB，BC，分别作过不在同线段AB，BC 的垂直一条直线平分线DE 和FG，DE 上的三点和FG 相交于点O，以 A，B，C O 为圆心，以OA(或
作圆 OB，OC)为半径作圆， ⊙ O 就是所求作的圆
一个
知2－讲
图示
感悟新知
2. 确定一个圆的条件 (1)已知圆心、半径，可以确定一个圆. (2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
感悟新知
知识点 3 三角形的外接圆
知3－讲
1. 三角形的外接圆经过三角形三个顶点的圆就是这个三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心. 这个三角形叫做这个圆的内接三角形.
感悟新知
知3－讲
2. 三角形的外心 (1)定义：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心. (2)性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径.