近世代数期末试题

近 世 代 数 试 卷
一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）
1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。

（ ）
2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。

（ ）
3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f 。

（ ）
4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。

（ ）
5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。

（ ）
6、群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ⊆∈∀∈∀-1;,。

（ ）
7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。

（ ）
8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。

（ ） 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。

（ ）
10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整数环，()p 是由素数p 生成的主理想。

（ ）
二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。

答案选错或未作选择者，该题无分。

每小题1分，共10分）
1、设n A A A ,,,21Λ和D 都是非空集合，而f 是n A A A ⨯⨯⨯Λ21到D 的一个映射，那么（ ）
①集合D A A A n ,,,,21Λ中两两都不相同；②n A A A ,,,21Λ的次序不能调换； ③n A A A ⨯⨯⨯Λ21中不同的元对应的象必不相同；
④一个元()n a a a ,,,21Λ的象可以不唯一。

2、指出下列那些运算是二元运算（ ） ①在整数集Z 上，ab b a b a +=ο； ②在有理数集Q 上，ab b a =ο；
③在正实数集+R 上，b a b a ln =ο；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -=ο。

3、设ο是整数集Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,m ax =ο（即取a 与b 中的最大者），那么ο在Z 中（ ）
①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。

4、设()ο,G 为群，其中G 是实数集，而乘法k b a b a ++=οο:，这里k 为G 中固定的常数。

那么群()ο,G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是（ ）
①0和x -； ②1和0； ③k 和k x 2-； ④k -和)2(k x +-。

5、设c b a ,,和x 都是群G 中的元素且xac acx bxc a x ==-,12，那么=x （ ） ①11--a bc ； ②11--a c ； ③11--bc a ； ④ca b 1-。

6、设H 是群G 的子群，且G 有左陪集分类{}cH bH aH H ,,,。

如果6，那么G 的阶=G （ ）
①6； ②24； ③10； ④12。

7、设21:G G f →是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（ ） ①f 的同态核是1G 的不变子群； ②2G 的不变子群的逆象是1G 的不变子群；③1G 的子群的象是2G 的子群； ④1G 的不变子群的象是2G 的不变子群。

8、设21:R R f →是环同态满射，b a f =)(，那么下列错误的结论为（ ） ①若a 是零元，则b 是零元； ②若a 是单位元，则b 是单位元； ③若a 不是零因子，则b 不是零因子；④若2R 是不交换的，则1R 不交换。

9、下列正确的命题是（ ）
①欧氏环一定是唯一分解环； ②主理想环必是欧氏环；
③唯一分解环必是主理想环； ④唯一分解环必是欧氏环。

10、若I 是域F 的有限扩域，E 是I 的有限扩域，那么（ ）
①()()()F I I E I E :::=； ②()()()I E F I E F :::=；
③()()()I F F E F I :::=； ④()()()F I I E F E :::=。

三、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分。

每空1分，共10分）
1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=⨯A B 。

2、如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1 。

3、设集合A 有一个分类，其中i A 与j A 是A 的两个类，如果j i A A ≠，那么=j i A A I 。

4、设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那么m 与n 存在整除关系为 。

5、凯莱定理说：任一个子群都同一个 同构。

6、给出一个5-循环置换)31425(=π，那么=-1π 。

7、若I 是有单位元的环R 的由a 生成的主理想，那么I 中的元素可以表达为 。

8、若R 是一个有单位元的交换环，I 是R 的一个理想，那么I
R 是一个域当且仅当I 是 。

9、整环I 的一个元p 叫做一个素元，如果 。

10、若域F 的一个扩域E 叫做F 的一个代数扩域，如果 。

四、改错题（请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在预备的横线上面。

指出错误1分，更正错误2分。

每小题3分，共15分）
1、如果一个集合A 的代数运算ο同时适合消去律和分配律，那么在n a a a οΛοο21里，元的次序可以掉换。

2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果满足G 对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。

3、设I 和S 是环R 的理想且R S I ⊆⊆，如果I 是R 的最大理想，那么0≠S 。

4、唯一分解环I 的两个元a 和b 不一定会有最大公因子，若d 和'd 都是a 和b 的最大公因子，那么必有'd d =。

5、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的都不等于零的元n a a a ,,,10Λ使得010=+++n n a a a ααΛ。

五、计算题（共15分，每小题分标在小题后）
1、给出下列四个四元置换
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=34124321,43124321,34214321,432143214321ππππ 组成的群G ，试写出G 的乘法表，并且求出G 的单位元及14131211,,,----ππππ和G 的所有子群。

2、设[][][][][][]{}5,4,3,2,1,06=Z 是模6的剩余类环，且[]x Z x g x f 6)(),(∈。

如果
[][][]253)(3++=x x x f 、[][][]354)(2++=x x x g ，计算)()(x g x f +、)()(x g x f -和)()(x g x f 以及它们的次数。

六、证明题（每小题10分，共40分）
1、设a 和b 是一个群G 的两个元且ba ab =，又设a 的阶m a =，b 的阶n b =，并且1),(=n m ，证明：ab 的阶mn ab =。

2、设R 为实数集，0,,≠∈∀a R b a ，令R x b ax x R R f b a ∈∀+→,,:),(α，将R 的所有这样的变换构成一个集合{}
0,,),(≠∈∀=a R b a f G b a ，试证明：对于变换普通的乘法，G 作成一个群。

3、设1I 和2I 为环R 的两个理想，试证21I I I 和{}2121,I b I a b a I I ∈∈+=+都是R 的理想。

4、设R 是有限可交换的环且含有单位元1，证明：R 中的非零元不是可逆元就是零因子。

近世代数试卷参考解答
一、判断题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
× × √ √ × √ √ √ × ×
二、单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ② ④ ③ ④ ① ② ④ ③ ① ④
三、填空题
1、()()()()()(){}1,2,0,2,1,21,1,0,1,1,1--。

2、a 。

3、φ。

4、n m 。

5、变换群。

6、()13524。

7、R y x ay x i i i i ∈∑,,。

8、一个最大理想。

9、p 既不是零元，也不是单位，且q 只有平凡因子。

10、E 的每一个元都是F 上的一个代数元。

四、改错题
1、如果一个集合A 的代数运算ο同时适合消去律和分配律，那么在n a a a οΛοο21里，元的次序可以掉换。

结合律与交换律
2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果满足G 对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。

消去律成立
3、设I 和S 是环R 的理想且R S I ⊆⊆，如果I 是R 的最大理想，那么0≠S 。

S=I 或S=R
4、唯一分解环I 的两个元a 和b 不一定会有最大公因子，若d 和'd 都是a 和b 的
最大公因子，那么必有d=d ′。

一定有最大公因子；d 和d ′只能差一个单位因子
5、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的都不等于零的元n a a a ,,,10Λ使得010=+++n n a a a ααΛ。

不都等于零的元。