静电场力做功与路径无关静电场力是保守力(精)
静电场的环路定理
静电场的环路定理物理学第五版一、静电场力所做的功0d d A q E l=⋅l rrεqq d ˆπ4200⋅=020d d 4πqq A r εr= 点电荷的电场qq Ar ABBr Errˆl d θrd r θl l rd cos d d ˆ==⋅物理学第五版20d 4πBAr r qq r A εr=⎰)11(π400BA r r εqq -=结论: A 仅与q 0的始末位置有关，与路径无关20d d 4πqq A r εr=qq Ar ABBr Errˆl d θrd物理学第五版任意带电体的电场∑=iiE E 0d lA q E l =⋅⎰⎰∑⋅=li ilE qd 0结论：静电场力做功，与路径无关。
静电场力是保守力。
（点电荷的组合）++=+⋅+⋅=⎰⎰212010A A l d E q l d E q baba物理学第五版二、静电场的环路定理⎰⎰⋅=⋅ADCABCl E q l E qd d 000)d d (0=⋅+⋅⎰⎰CDAABCl E l E qd =⋅⎰ll E静电场是保守场结论：沿闭合路径一周，电场力作功为零.EABCD物理学第五版静电场的环流定理反映了静电场的一个重要性质。
它说明静电场是保守场（无旋场），可以引入势的概念，所以也叫势场。
根据斯托克斯公式s d E l d E ls⋅⨯∇=⋅⎰⎰)(0=⨯∇E静电场的旋度为零，静电场是无旋场物理学第五版例：用环流定理证明“静电场电力线不会闭合”。
证：用反证法证明：先假设电力线形成闭合线，则以此闭合线为路径应用环流定理El⎰⎰⎰>==⋅lEdl Edl l d E 0cos 0与 ⎰=⋅ll d E 0相矛盾说明：假设不正确，静电场的电力线不会闭合物理学第五版例：证明非无限大平行板电容器电力线不可能只分布内部。
带电平行板电容器的电场线+ + + + + + + + + + + + +- - - - - - - - - - - - -物理学第五版+ + + + + + + + + + + + +- - - - - - - - - - - - - 证：用反证法，假设外部 0=E 如图作一闭合回路 ⎰=⋅ll d E⎰⎰⎰⎰⋅+⋅+⋅+⋅DACD AB BC l d E l d E l d E l d E EL =与 ⎰=⋅l l d E 0相矛盾，A B CD说明：假设不正确。
63静电场环路定理电势
E2
q1
4 0 r 2
R1 r R2
E3
q1 +q2
40r 2
r R2
q1 II
I R1
R2 •
III
rE
P•
III区：U3
E dl
P
q2 q1 II III
E3 dr E3dr
r
r
I R1
R2 •
r
q1 q2
4 0 r 2
dr
q1 q2
40r
rr
P• P•
R2
II区： U3
R r
Q
4 0 R3
rdr
Q
R 4 0r 2 dr
Q
8 0 R
Qr 2
8 0 R3
Q
4 0 R
Q (3R 2 r 2 )
8 0 R3
o rp R
rp
路径的线积分为零（电场强度的环流为
零）
3. 电势能 比 重力做功 保守力 重力势能
较 静电场力做功 保守力 电势能
静电场力对电荷所做功等于电荷电势能 增量的负值
B
WAB A q0E • dl EpB EpA
令 B点为电势能零点，则可得任一点 A
的电势能
0
E p A
q0
E • dl
E dl
P
E dr
E2dr
E3dr
r
r
R2
R2 r
q1
4 0 r 2
dr
R2
q1 q2
4 0 r 2
dr
1
4 0
( q1 r
q2 R2
)
I区：
U3
E dl
静电场的环路定理
例3、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知 ，q 、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知R 微元法) 微元法 解: 方法一 叠加法 (微元法
dq = σdS = σ 2πR2 sinθdθ π 任一圆环 dS = 2 RsinθRdθ
dq 1 σ 2πR sinθdθ du = = 4πε0l 4πε0 l
B A
1 1 dr = ( − ) 2 4πε0r 4πε0 RA RB RA
q
q
2.如图已知 、-q、R 如图已知+q 如图已知 、 移至c ①求单位正电荷沿odc 移至 ，电场力所作的功 求单位正电荷沿
d q −q A = uo − uc = 0−( ) + oc 4πε0 3R 4πε0R a b c q 0 +q −q = 6 0R πε R R R
方法二
定义法
∞ P
q 4 0r2 πε
由高斯定理求出场强分布 E =
r>R r<R
r r 由定义 u = ∫ E • dl
r<R R r r ∞r r u = ∫ E • dl + ∫ E • dl
r R
0
r>R
R
dθ
O∞θຫໍສະໝຸດ lP= 0+ ∫
∞
q
4 0r πε R q = 4 0R πε
dr 2
u= ∫
r r uP = ∫ E • dl
P
∞
♠由点电荷电势公式，利用电势叠加原理计算 由点电荷电势公式，
求电偶极子电场中任一点P的电势 例1 、求电偶极子电场中任一点 的电势
Y
由叠加原理
q(r2 − r1) uP = u1 + u2 = − = 4πε0r1 4πε0r2 4πε0r1r2 q q
一、静电场力所做的功
Q
4π 0 r
或
2(r)
r E2 dr
Q
r 4π 0r 2 dr
Q
4π 0r
5.4 电势
（4） r R
由
2 (r )
Q
4π 0r
可得
(R) Q 4π 0 R
1
或 1(r)
R
r E1 dr
R E2 dr
Q
4π0 R
2 (r )
Q
4π 0r
1 (r )
Q
4π 0 R
Q
4π 0 R
四、电势的计算
1) 若已知在积分路径上电场 E 的分布函数，
由定义：
E dl
P
范围：能用高斯定理求场强的场。
2) 利用点电荷电势
q 4 0r
及电势叠加原理
dq
4 0r
、
i
qi
4 0ri
条件：有限大带电体，选无限远处电势为零。
5.4 电势
例1 正电荷 q 均匀分布在半径为R 的细圆环上。求圆环 轴线上距环心为 x 处点 P 的电势。
真空中，有一带电为Q，半径为R的带电球壳.
试求（1）球壳外两点间的电势差；（2）球壳内两点
间的电势差；（3）球壳外任意点的电势；（4）球壳
内任意点的电势.
解
r r
R，E1 R，E2
0 q
4π 0r 2
er
（1） a b
rb ra
E2
dr
+
+ +
R
o
Q+ +
++
+
+er+
+
静电场的保守性和环路定理
q i U ( p ) E d l i i p 4 r 0 ip q U(p) i 0r i 4 i
q1
q2
r1 r2
p
q3
ri
r3
qi
当电荷连续分布时，可以设想它由许多电荷元 组成，将每个电荷元看成点电荷，它产生的电 势的叠加就是总的电势。可写为：
集的地方，场强较大。等势面较稀疏的地方，场强较小。
q
q
2 电势梯度 电势分别为 U和U 的邻近等势面，其电力线 U 与二等势面分别相交于P、Q，两点间的垂直距离 为 PQ n ，又等势面法向指向电势升高的方向。
U U d l P Q E
Q P
E
U
E n E n U n
l 方向，在两个
考 方虑 向任 一
l
P
n
Q
n
n l cos U U n 于是可求出电势在 l 方向的变化率：
U U cos E cos E l n
n l
l
n l
结论：
U沿 n 方向的微商最大。
P
电势差与电势的零点选 取无关。
电势差和电势的单位相同，在国际单位制中， 电势的单位为：焦耳/库仑（记作J/C），也称 为伏特（Volt,V），即1V＝1J/C
因此，当已知电势分布时，可用电势差求出 点电荷在电场中移动时电场力所做的功：
二、举例： 例一、点电荷产生的电场中的电势分布 用场强分布和电势的定义直接积分。
电力线的方向指向电势降落的方向。
因沿电力线方向移动正电荷场力做正功，电势能减少。
等势面的性质： 除电场强度为零处外，电力线与等势面正交。 N 证明：因为将单位正电荷从等势面上M点移到N点， d l 电场力做功为零，而路径不为零 dl0 E
电场能的性质--2024高三物理一轮复习题型归纳(解析版)
第八章 静电场电场能的性质【考点预测】1. 利用功能关系计算电场力做功和电势能的变化2.电势、电势差、等势面、和电势能3.φ-x图像、E p-x图像4. 带电粒子在电场中的运动【方法技巧与总结】一、静电力做功和电势能1.静电力做功(1)特点：静电力做功与路径无关，只与电荷量和电荷移动过程始、末位置间的电势差有关．(2)计算方法①W=qEd，只适用于匀强电场，其中d为带电体在沿电场方向的位移．②W AB=qU AB，适用于任何电场．2.电势能(1)定义：电荷在电场中具有的势能，称为电势能．(2)说明：电势能具有相对性，通常把无穷远处或大地的电势能规定为零．3.静电力做功与电势能变化的关系(1)静电力做的功等于电荷电势能的减少量，即W AB=E p A-E pB.(2)通过W AB=E p A-E pB可知：静电力对电荷做多少正功，电荷电势能就减少多少；电荷克服静电力做多少功，电荷电势能就增加多少．(3)电势能的大小：由W AB=E p A-E pB可知，若令E pB=0，则E p A=W AB，即一个电荷在电场中某点具有的电势能，数值上等于将其从该点移到零电势能位置过程中静电力所做的功．二、电势 等势面1.电势(1)定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值．(2)定义式：φ=E p q.(3)矢标性：电势是标量，有正负之分，正(负)号表示该点电势比零电势高(低)．(4)相对性：电势具有相对性，同一点的电势因选取零电势点的不同而不同．2.等势面(1)定义：电场中电势相同的各点构成的面．(2)四个特点：①在同一等势面上移动电荷时电场力不做功．②电场线一定与等势面垂直，并且从电势高的等势面指向电势低的等势面．③等差等势面越密的地方电场强度越大，反之越小．④任意两个等势面都不相交．三、电势差1.定义：电荷在电场中由一点A移到另一点B时，电场力所做的功W AB与移动电荷的电荷量q的比值．2.定义式：U AB=W AB q.3.影响因素电势差U AB由电场本身的性质决定，与移动的电荷q及电场力做的功W AB无关，与零电势点的选取无关．4.电势差与电势的关系：U AB=φA-φB，U AB=-U BA.5.匀强电场中电势差与电场强度的关系(1)电势差与电场强度的关系式：U AB=E·d，其中d为电场中两点间沿电场方向的距离．(2)电场强度的方向和大小与电势差的关系：电场中，电场强度方向指向电势降低最快的方向；在匀强电场中，电场强度在数值上等于沿电场强度方向每单位距离上降低的电势．四、静电感应和静电平衡1.静电感应当把一个不带电的金属导体放在电场中时，导体的两端分别感应出等量的正、负电荷，“近端”出现与施感电荷异种的感应电荷，“远端”出现与施感电荷同种的感应电荷．这种现象叫静电感应．2.静电平衡(1)定义：导体放入电场中时，附加电场与原电场的场强在导体内部大小相等且方向相反，使得叠加场强为零时，自由电荷不再发生定向移动，导体处于静电平衡状态．(2)处于静电平衡状态的导体的特点①导体内部的场强处处为零；②导体是一个等势体，导体表面是等势面；③导体表面处的场强方向与导体表面垂直；④导体内部没有净电荷，净电荷只分布在导体的外表面上；⑤在导体外表面越尖锐的位置，净电荷的密度(单位面积上的电荷量)越大，凹陷的位置几乎没有净电荷.【题型归纳目录】题型一：描述电场能的性质的物理量题型二：电势差与电场强度的关系题型三：电场线、等势面及运动轨迹问题题型四：静电场中的图像问题【题型一】描述电场能的性质的物理量【典型例题】1(2024·云南大理·云南省下关第一中学校联考模拟预测)空间中P、Q两点处各固定一个点电荷，电荷量大小相等，其中P处为正电荷。
静电场的环路定理
它是反映电场本身“能的属性”的物理量，与 场中是否存在电荷无关。 要注意，电势和电势能是两个不同的概念，不 能混为一谈。
Wa E dl 定义电势 ua q0 a
单位正电荷在该点 所具有的电势能
Wa q0 E dl
a
单位正电荷从该点到无穷远 点(电势零)电场力所作的功
三 电势
电势差
1、电势能 分析：当检验电荷 q 0 从a点移到b点，电 场力要做功，而功是能量转化的量度， 这说明 q 0 从a点移到b点有能量变化。不 管 q 0 从a点沿哪一条路径移到b点，电 场力对电荷 q 0 做的功都是相同的，这说 明电荷 q 0 在a﹑b两点的能量差是一定 的，其值由这两点的位置决定。这种由 电荷在电场中的位置决定的能量，叫做 电势能。显然，电势能是电荷 q 0 和电场 共同具有的。检验电荷在a﹑b两点的电 位能，分别用 W a ﹑W b 表示。
电势能
例2、求均匀带电圆环轴线 上的电势分布。 已知：R、q
解:方法一 微元法
Y
dl
r
x
P
Z
R
X
O
方法二 定义法 由电场强度的分布 qx E 2R 3 dl 2R 2 2 2 4 0 ( x R ) uP du 4 0 r 4 0 r 0 qxdx u Edx 3 q 2 2 2 xp x p 4 ( x R ) 0 2 2 4 0 R x
则ab电场力的功 Aab q0 E dl Wa Wb
b
取 W 0
注意
Wa Aa
q0 E dl
物理静电学3
r dr dr E
1 .点电荷的场中电场力做的功： q q
r
q0
b
dW q0E dr q0Edr q0 40r2 dr
W
b
dW
a
b a
q0q
4 0 r
2
dr
q
q0q ( 1 1 )
rb
ra
a
q0
dr
4 0 ra rb
做功与路径无关
2. 任意静电场中电场力做的功：
b
b
Wab a q0E dl q0 a (E1 E2 En ) dl
2、利用电势定义
电势零点
V
E dl
任一位置
3、利用电场力做功（电势差）
U ab
Wab q0
例：已知某空间的电势函数V=x2+2xy，求(1)电场强度 函数；(2)坐标(2,2,3)点的电势及其与原点的电势差。
Ex
V x
2(x y)
Ey
V y
2x
E Exi Ey j 2(x y)i 2xj
若仍然选取无穷远为电势零点，则由积分可知各点电势将为 无限大而失去意义。此时，我们可以选取某一距带电直导线
p 为 r0的 p0 点为电势零点，则距带电直线为r 的 点的电势：
p'
p0
p0
V E dl E dl 0
dr
p
p'
p' 20r
rp
20 ln r 20 ln r0 20 ln r C
即 V (x, y, z) C的空间曲面称为等势面。
等势面的性质：
除电场强度为零处外，电场线与等势面正交。
证明： dWMN E dl Edl cos 0
静电场的环路定理、电势
R2
3
)2
=……
例3：求无限长均匀带电直线的电场中的电势 分布。
解：选取B点为电势零点，B点距带电直导 线为 rB 。
B B
U E dl
dr
p
p 2 0r
2 0 ln r 2 0 ln r0 2 0 ln r C
rp
Q rB B
☆当电荷分布扩展到无穷远时，电势零点不能 再选在无穷远处。
a
b
a
a、b两点的电势差等于将单位正电荷从a点移
到b时，电场力所做的功。
电势和电势能的区别：
电势是电场的属性，与试验电荷无关； 电势能是属于电荷和电场系统所共有。
注意:
1、电势是相对量，电势零点的选择是任意的。 对于有限带电体而言,电势零点的选择在无限 远点;对于仪器而言电势零点选择在底板上.
2、两点间的电势差与电势零点选择无关。
六、电势的计算
1、点电荷电场中的电势
q • r0
•P
距q为r（P点）的场强为
q
E 4 0r 2 r0
r
由电势定义得：uP
P
E • dl
q
r
4
0r
2
dr
q
4 0r
讨论：
➢大小
q 0 u 0 r u r u最小 q 0 u 0 r u r u最大
就等于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功
五、电势、电势差
定义电势
ua
Wa q0
E dl
a
Wa q0 E dl
a
单位正电荷在该点 所具有的电势能
单位正电荷从该点到无穷远 点(电势零)电场力所作的功
定义电势差 ua ub
电场中任意两点 的 电势之差（电压）
环流定理
11.6.3 电势
一、电势 电势差
1、电势
W Va = a = ∫ E • dl q0 a
b
Vb = 0
任意场点的电势等于单位正电荷在该点所具有的电势能 单位正电荷从该点到电势零点电场力所作的功 当场源电荷分布在有限区域内时通常电势零点取在无限远处！ 当场源电荷分布在有限区域内时通常电势零点取在无限远处！
∞ n 1
up = ∫ E ⋅ dl
p
有
p
∑E ⋅ dl
i
= ∑(∫ Ei ⋅ dl )
1 p
n
∞
= ∑Vip
1
n
在点电荷系的电场中， 在点电荷系的电场中，某一点的电势等于各点电荷单独 存在时，在该点产生的电势的代数和。 存在时，在该点产生的电势的代数和。这一结论称为电 n 势叠加原理。 势叠加原理。
Vp = ∫ E ⋅ dl
p
Z
+
+
• P
X
E=
x
qx 4πε0 (R + x )
2 2 3 2
3 2
Vp = ∫ E ⋅ dl = ∫
p
∞
qx
4πε0 (R2 + x2 )
⋅ dx
11-11求均匀带电球面电场中电势的分布， 11-11求均匀带电球面电场中电势的分布，已知R ，q 求均匀带电球面电场中电势的分布
电势及电势差的单位都是“伏特” 符号: 电势及电势差的单位都是“伏特”, 符号: V
a
b
.
电势差、 功、电势差、电势能之间的关系
A = q∫ E • dl = q(Va −Vb ) =W −W ab a b
a b
二、电势的计算
华南师范大学电磁学第一章 静电学的基本规律(电势与静电能)
因为各 E i q 0 dr 与路径无关，所以A与路径无关.
b a
a
a
a
结论：静电场力(库 仑力)是保守力！
2
2.静电场的环路定理
静电场中场强沿任意闭合环路的线积分恒 等于零.
E dr 0
L
证明: 将一点电荷q在静电场中沿任意闭合路径走一圈 静电场力是保守力
f dr qE dr 0
dq 4 0 r
d
Q
Q
dφ •P r
2）叠加 式中的 i 和d的物 理意义是 什么？
9
点电荷系的场
连续带电体的场
4. 电势的计算
（1）点电荷场电势公式
P E dr
P
Q
Q 4π 0 r
r
P dr E
dr
E dr
上式表明：当 p 与 E 方向相同时，电势能最小；当 p 与E 方向相反时，电势能最大.由于系统势能最小时的平衡 是稳定平衡，而势能最大时的平衡是不稳定平衡 ,所以 在外电场中，电偶极子总力求转到 p 与 E 方向相同30 .
W pE
五、电荷系的静电能 状态a时的静电能是什么？ 定义1：把系统从状态 a 无限 分散到彼此相距无限远的状态 中静电场力作的功 叫作系统 在状态a时的静电势能简称静 电能.也称为相互作用能(互能). 或:把这些带电体从无限远离 的状态聚合到状态a的过程中 外力克服静电力作的功
点电荷的电场线与等势面
+
19
电偶极子的电场线与等势面
+
20
平行板电容器的电场线与等势面
第七章 静电场03-静电场力做功、电势
r < R， E1 = 0
q r > R，E2 = r 2 0 4 πε 0 r
（1） r > R 时 ）
+ + A R + + + + + + rA
+ + +
dr B
or
r
r rB
q
∞ q U 外 (r ) = E2 dr = r 4πε 0
∫
∫r
∞
1 r dr 2 0 r
q ∞ dr = 4πε 0 ∫r r 2
o
+L 2
y dy
U = ∫ dU = ∫
L2
L 2
4πε 0 ( r y )
L r+ λ 2 = ln 4πε 0 r L 2
λ dy
r
y
P
λ = 4πε 0
dy ∫ L 2 r y
L2
∫
E dl
（3）电势的物理意义：把单位正试验电荷从点 A 移到无穷 电势的物理意义： 远时，静电场力所作的功。 远时，静电场力所作的功。 （4）静电场力的功
AAB = q0 (U A U B )
五、电势差
U AB = U A U B = ∫ E dl
A
B
——将单位正电荷从 ——将单位正电荷从
说明： 说明： 伏特）； （1）单位： V （伏特）； ）单位：
1J 1V = 1C
（2）电势零点的选择：有限带电体以无穷远为电势零点。 电势零点的选择：有限带电体以无穷远为电势零点。 （实际问题中常常选择地球为零电势体） 实际问题中常常选择地球为零电势体） 令
∞ A
UB→∞ = 0 B→∞
静电场的保守性和环路定理
QU P −UQ =
v v = E ⋅ ∆n = En∆n = −∆U
∆U ∂U ∴ E n = − lim | |= − ∆n → 0 ∆ n ∂n
U + ∆U
∫
Q
P
v v Edl
v E
P
U
v ∆n
Q
v n
电场强度沿等势面法线方向做负功。 电场强度沿等势面法线方向做负功。
∆U ∂U ∴ E n = − lim | |= − ∆n → 0 ∆ n ∂n
Q dA MN
v v = E ⋅ d l = Edl cos θ = 0
∴θ = π / 2
M
电力线的方向指向电势降落的方向。 电力线的方向指向电势降落的方向。
因沿电力线方向移动正电荷场力做正功，电势能减少。 因沿电力线方向移动正电荷场力做正功，
规定两个相邻等势面的电势差相等， 规定两个相邻等势面的电势差相等，所以等势面较密 两个相邻等势面的电势差相等
等势面的性质： 等势面的性质： 除电场强度为零处外，电力线与等势面正交。 除电场强度为零处外，电力线与等势面正交。 N v 证明：因为将单位正电荷从等势面上M点移到 点移到N点 证明：因为将单位正电荷从等势面上 点移到 点， dl v 电场力做功为零， 电场力做功为零，而路径不为零 dl ≠ 0 E
例三、 例三、求无限长均匀带电直线的电场中的电势分布
λ E 已知场强为： 方向垂直于带电直线。 已知场强为： = 方向垂直于带电直线。 2πε 0 r 电荷线密度
若仍然选取无穷远为电势零点， 若仍然选取无穷远为电势零点，则由积分可知各点电势将为 无限大而失去意义。此时， 无限大而失去意义。此时，我们可以选取某一距带电直导线 点为电势零点， 点的电势： 为 r0的 p0 点为电势零点，则距带电直线为 r 的 点的电势：
2017-2018大学物理4-1试卷B答案
2017—2018学年第一学期《大学物理4-1》B 答案一、简答题（共20分,每小题4分）1. 简述保守力与非保守力区别，根据保守力做功特点引入什么物理量？答：保守力做功与路径无关，非保守力做功与路径有关，根据保守做功与路径无关的特点引入势能概念。
2. 什么是转动定律？刚体定轴转动时角动量守恒的表达式及条件是什么？答：转动定律：刚体作定轴转动时，其角加速正比于所受的合外力矩，反比于刚体的转动惯 量（2分）。
刚体定轴转动时角动量守恒的表达式L=Jω=恒矢量，条件是刚体所受合外力矩为 零（2分）。
3. 说明静电场及恒定磁场中的高斯定理和环路定理，并指出静电场、恒定磁场的性质。
静电场高斯定理：0ε∑⎰⎰=⋅=Φi q s s d E e （有源场）,磁场高斯定理：0==s s d B ϕ,（无源场）；静电场环路定理0l E dl ⋅=⎰(保守场或无旋场），磁场安培环路定理0l B dl I μ⋅=⎰（有旋场）。
4. 简述静电平衡条件及静电平衡时导体表面电荷密度与导体表面曲率半径的关系。
答案：导体达到静电平衡时，导体内部的任意处的电场强度为零；导体表面电场强度的方向都与导体面垂直。
或：导体内部场强为零；导体为等势体；净电荷分布在导体的外表面。
静电平衡时，曲率半径较小处电荷密度较大，电场较强，曲率半径较大处电荷密度较小，电场较弱。
5. 简述感生电场与静电场的区别。
静电场为保守场、有源场，静电力做功与路径无关，即0=d 感生电场为非保守场、有旋电场，即ds t Bl d k E ⎰⎰∂∂=⋅s -静电场由电荷产生，感生电场由变化磁场产生。
二、选择题（共30分,每小题3分） 1.质点作曲线运动，元位移r d 、元路程ds ，位移r ∆，路程△s,们之间量值相等的是( C ) 。
(A) s r ∆=∆ (B) s r d ∆=(C) ds r d = (D) r r d ∆= (E ) ds r =∆2.如图所示， 物体A 放在三角形物体B 的斜面上，物体B 与水平面间无摩擦力，在物体A 从斜面上滑下来的过程中，若A ，B 两物体组成的系统，沿水平方向的动量为P 系统的机械能为E ，则对A ，B 两物体所组成的系统，有 ( B ) （A ）P ，E 都守恒； （B ）P 守恒，E 不守恒； （C ）P 不守恒，E 守恒； （D ）P ，E 均不守恒。
电磁学_静电场_1.4 环路定理
P、Q两点之间的电势差定义为
从P点到Q点移动单位正电荷时电场力所作的功 单位正电荷的电势能差
空间某点的电势值
为了确定某点的值，还需要选择零点 一般选择无穷远为势能零点,P点电势值为 AP U ( p) U P E dl P q0 两点之间电势差可表为两点电势值之差
点电荷的势能零点是否可以选在电荷上？ 无限大平面板ห้องสมุดไป่ตู้势能零点能否选在无穷远？
例题10一示波器中阳极A和阴极K之间的电压是 3000 V，试求阴极发射的电子到达阳极时的速度， 设电子从阴极出发时初速为零。
[解]电子带负电，它沿电势升高的方向加速运动，即从阴极 K出发到达阳极 A. 静电场力是保守力，按能量守恒
连续带电体有
1
U P E d l dU
P
i
dq 1 dq 1 dq dU ( 2 4 0 P r 4 0 r P 4 0 rP
讨论
电势与场强一样是一个描述场本身性质的物理量， 与试探电荷无关，是标量。电势叠加是标量叠加。 电势UP：P与无穷处电势差 电势零点 选取
可以任意选取 选择零点原则：场弱、变化不太剧烈 选无穷远为零点？选地为零点即地和无穷远等电 势吗？
问题
地与无穷远的电势差
实际地球周围大气中有一个方向向下的静电场 是地球所带的负电荷和大气中的等离子体产生 的 若以无穷远为势能零点，则地球的电势为
U地 5.4 10 V
8
思考：
电势能、电势差、电势
电场力 的功 定义
Q
静电场与 q0有能量交换
如何证明静电场力是保守力
如何证明静电场力是保守力静电场力是一种保守力，这意味着无论沿着任何闭合路径进行线积分，其结果都会等于零。
这个性质可以用来解释静电场中的一些重要现象。
我们需要了解什么是保守力。
在物理学中，保守力是指该力所做的功只取决于起点和终点，而与路径无关。
换句话说，如果我们在同一起点和终点之间沿不同路径移动，所做的功是一样的。
这与非保守力不同，非保守力的功与路径有关。
对于静电场力来说，它是由电荷之间的相互作用引起的。
根据库伦定律，两个电荷之间的静电力与它们之间的距离成反比，与电荷的大小成正比。
这意味着当我们沿着一条闭合路径进行线积分时，静电场力的大小和方向会随着路径的变化而变化。
由于静电场力是保守力，线积分的结果总是等于零。
这是因为静电场力是由一个势能函数所导出的。
在静电场中，我们可以定义一个电势能函数，它表示单位正电荷在静电场中的势能。
根据这个定义，沿着任何闭合路径进行的线积分就等于起点和终点之间电势能的差值。
无论我们选择哪条路径，只要起点和终点相同，线积分的结果都会是相同的。
这意味着静电场力不会产生任何环路的功，也就是说，它不会在回路上做功。
因此，静电场力对环路的总功为零。
这个性质在电场中有很多实际应用。
例如，在电容器中，我们可以利用静电场力来存储电荷。
电容器由两个带电板之间的介质组成，当我们在电容器上施加电压时，电荷会在两个板之间移动，但总功为零。
这意味着我们可以以零的能量损失来存储电荷。
静电场力是一种保守力，它沿着任何闭合路径的线积分等于零。
这个性质使得静电场力在电学中有很多重要应用，如电容器的工作原理。
这也说明了静电场力与路径无关，只与起点和终点有关。
我们可以通过以下步骤来证明这一点：1.定义静电场力：在电场中，一个带电粒子受到的力可以表示为F = qE，其中q是粒子的电荷量，E是粒子所在位置的电场强度。
2.计算线积分：对于任意一条闭合路径C，我们可以计算静电场力沿着这条路径的线积分。
线积分的定义是∫L F·dl，其中L是路径的长度，F·dl是力向量和路径上一小段向量的点积。
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国际单位制(SI制)单位为：焦耳/库仑 记作: J C1 也称为: 伏特 (Volt,V) 1J C1 1V
二、点电荷的电场的电势 ～用场强分布和电势的定义直接积分。
p E
E
q
4 0r 2
rˆ
r
q
V
v v E dl
r
p
电场所做的功为：
A r rA r
r
L
q0
r E
r
qg
rr '
dl
dr
r
rB
B
W
B
dW
A
rB rA
q0q dr
40r 2
q0q
4 0
1 ( rA
1 rB
)
②对于由多个静止点电荷组成的系统或静止的连续带
电体，可看成是由无数电荷元组成的点电荷系。
vv v
v
由场强叠加原理: E E1 E2 L En
q
4 0 r
2
dr
q
4 0 r
•电势的正负与源电荷q正负有关
①正点电荷周围的场电势为正，离电荷越远，电 势越低。
②负点电荷周围的场电势为负，离电荷越远，电 势越高。
•场强总是从电势高处指向电势低处。
三、电势的叠加原理 由场强叠加原理和电势的定义，直接得出电势叠加原理。
表述：一个电荷系的电场中,任一点的电势等于每一个 带电体单独存在时在该点所产生电势的代数和。
一般,场源电荷有限分布:选 V 0
场源电荷无限分布:不选 V 0
许多实际问题中选 V地球 0
2. 叠加法
①将带电体划分为电荷元 dq
②选零势点，写出 dq 在场点的电势 dV
v v
E pA q0
E dl
A
•在国际单位制中，电势能的单位:焦耳，符号为J
§8-7 电势 (electric potential)
一、电势
•依电势能（E p 0）
v v
E pA q0
E dl
A
EpA
v v E dl
q0
A
～与场中试验电荷 q0 无关，描述了静电场中A
q(VA VB ) q(VB VA )
① VA VB ② VA VB ③ VA VB
WAB
0
电场力
r F
对q
作正功
WAB
0
电场力
r F
对
q 作负功
WAB
0
电场力
r F
对q
不作功
•电势与电势的零点选取有关；而电势差与电势的零 点选取无关。
•在实际问题中，也常常选地球的电势为零电势。任何 导体接地后，就认为它的电势也为零。
•静电场的保守性表述为： 静电场中，场强沿任意闭合路径 的线积分等于零～称为静电场的 环路定理或环流定理。
LE dl 0
静电场为保守场
•运动电荷的场不是保守场，而是 非保守场，将在磁场部分讨论。
三、电势能
静到电B力点将静电电荷场q力0 做从正电功场时中，A静点电移
场的电势能减少。
B
rvB
Байду номын сангаас
表达式：VA
v v E dl
A
v v
v
A (E1 E2 L ) dl
Vi
i
Vi
VA
v v A Ei dl
qi
i 40ri
qi
4 0 ri
q1 q2
rr21
A
ri q3
r3 qi
当电荷连续分布时，可以设想它由许多电荷元
•任意点电荷系的电场力所作的功，等于组成此点电
荷系的各点电荷的电场力所作功的代数和，即
W
q0
l
v E
v
drv
v
q0
vv
l
(E1
v
E2
v
L
vv En ) dl
vv
q0 l E1 dl q0 l E2 dl L q0 l En dl
～上式中每一项都与路径无关，所以它们的代数和
点的性质的物理量。
•定义：
场点A的电势为：将单位正电荷从A点沿任意路径 移到电势为零的点时，静电力所做的功。
•当电荷只分布在有限区域时，
零点通常选在无穷远处。
VA
v v E dl
A
•注意：
①电势为标量，仅有大小、正负之分，而无方向可言。
v v
② VA
强度
取Ev 决。于
E dl ，不能认为仅取决于A点的电场
V
1
dl
4 0 l r
四、电势的计算（两种基本方法）
1.场强积分 法（由定义求） ①确定 E 分布
②选零势点和便于计算的积分路径
③由电势定义
Br r VA E dl VB
注意：
A
•若路径上各段E 的表达式不同，应分段积分。
•选取零势点的原则：使场中电势分布有确定值
组成，将每个电荷元看成点电荷，它产生的电
势的叠加就是总的电势。可写为：
1 dq
V V (r) 40 r
•电荷体密度为 的
带电体产生的电势：
1 dV
V
4 0 V r
•电荷面密度为 的
带电体产生的电势：
V
1
4 0
dS
S r
•电荷线密度为 的
带电体产生的电势：
§8-6 静电场的环路定理 电势能
一、静电场力做功：与路径无关～静电场力是保守力 用库仑定律和叠加原理证明
①从点电r荷到的r场 d中r移,电动场点做电的荷功q：0
v dW q0E
Q
err
v dl
v dl
1
4 0
dl cos
q0q r2
err
dr
r dl
点电荷 qo 从 A 到 B 点，
A
二、电势差
定义：静电场中A、B两点的电势差，在数值上等于
把单位正试验电荷从点A移到点B时，静电场力所作
的功。
Bv v
U AB VA VB (VB VA )
E dl
A
•静电力将电荷 q 从电场中 A点移到 B 点静电场力
作的功为：
Bv v
WAB
q
E dl
A
qU AB
q0
q
rvA A
Bv v
WAB EpA EpB Ep q0
E dl
A
•若选q0 在点B处的电势能为零，即 EpB 0
，则有：
Bv v
E pA q0
E dl
A
～试验电荷 q0在电场中某点处的电势能，在数值上
就等于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功。
•通常规定无限远处为电势能零点（E p 0）
也必然与路径无关。
•结论：静电场力作功，仅与试验电荷电量及路径
的起点和终点的位置有关，而与路径的形状无
关～静电场力为保守力。
二、静电场的环路定理 (Circuital theorem of electrostatic field)
rv
r
r
•静电场力为保守力: ÑL F dl 0 F q0E