第六章 微分中值定理及其应用

第六章 微分中值定理及其应用引言在前一章中,我们引进了导数的概念,详细地讨论了计算导数的方法.这样一来,类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决.但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题,那么,只知道怎样计算导数是远远不够的,而要以此为基础,发展更多的工具.另一方面,我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的的函数;（2）导数只是反映函数在一点的局部特征;（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态,因此如何解决这个矛盾？需要在导数及函数间建立起一一联系――搭起一座桥,这个“桥”就是微分中值定理.本章以中值定理为中心,来讨论导数在研究函数性态（单调性、极值、凹凸性质）方面的应用.§6.1 微分中值定理教学章节：第六章 微分中值定理及其应用——§6.1微分中值定理教学目标：掌握微分学中值定理,领会其实质,为微分学的应用打下坚实的理论基础.教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义,掌握三个定理的证明方法,知道三者之间的包含关系.教学重点：中值定理.教学难点：定理的证明.教学方法：系统讲解法.教学过程：一、一个几何命题的数学描述为了了解中值定理的背景,我们可作以下叙述：弧»AB 上有一点P,该处的切线平行与弦AB.如何揭示出这一叙述中所包含的“数量”关系呢？联系“形”、“数”的莫过于“解析几何”,故如建立坐标系,则弧»AB 的函数是y=f(x),x ∈[a,b]的图像,点P 的横坐标为x ξ=.如点P 处有切线,则f(x)在点x ξ=处可导,且切线的斜率为()f ξ';另一方面,弦AB 所在的直线斜率为()()f b f a b a --,曲线y=f(x)上点P 的切线平行于弦AB ⇔()()()f b f a f b aξ-'=-. 撇开上述几何背景,单单观察上述数量关系,可以发现：左边仅涉及函数的导数,右边仅涉及函数在端点的函数值.这样这个公式就把函数及其导数联系起来.在二者之间架起了一座桥梁,这座“桥”就是导数在研究函数方面应用的理论基础.鉴于(,)a b ξ∈,故把类似公式称为“中值公式”;把类似的定理称为中值定理.剩下的问题是：中值定理何时成立呢？观察如下事实,可以发现：如果y=f(x)在[a,b]上不连续或不可导（无切线）,是不一定有上述结论的.换言之,如保证类似点P 存在,曲线弧»AB 至少是连续的,而且处处有切线.反映到函数y=f(x)上,即要求y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.二、中值定理Lagrange 中值定理 若函数f 满足以下条件：（1）f 在[a,b]上连续;（2）f 在(a,b)内可导.则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得()()()f b f a f b aξ-'=-. 特别地,当f(a)=f(b)时,有如下Rolle 定理：Rolle 定理 若f 满足如下条件：（1）f ∈[a,b];（2）f 在(a,b)内可导;（3）f(a)=f(b),则存在ξ∈(a,b),使得()0f ξ'=.如把曲线弧»AB 用参数方程函数,则可得出以下中值定理： Cauchy 定理 若函数f,g （x ＝g(u),y ＝f(u),u ∈[a,b]）满足如下条件：（1）,[,]f g a b ∈;（2）f,g 在(a,b)内可导;（3）,f g ''至少有一个不为0;（4）g(a)≠g(b).在存在ξ∈(a,b),使得()()()()()()f f b f ag g b g a ξξ'-='-. 说明（1）几何意义：Rolle ：在每一点都可导的连续曲线,如果曲线两端点高度相同,则至少存在一水平切线（在具有水平弦的可微曲线上有水平曲线）;Lagrang ：可微曲线上存在一点,使其切线平行于端点的连线;Cauchy ：视为曲线的参数;u=f(x),v=g(x),x ∈[a,b],则以v 为横坐标,u 为纵坐标可得曲线上有一点,该处切线与曲线端点连线平行.（2）三个定理关系如下：()()()f a f b g x x Rolle Lagrang Cauchy ==←−−−−←−−−（3）三个定理中的条件都是充分但非必要.以Rolle 定理为例,三个条件缺一不可.1）不可导,不一定存在;2）不连续,不一定存在;3）f(a)≠f(b),不一定存在.“不一定存在”意味着一般情况如下：Rolle 定理不再成立.但仍可知有()0f ξ'=的情形发生.如y=sgnx,x ∈[-1,1]不满足Rolle 定理的任何条件,但存在无限多个ξ∈(-1,1),使得()0f ξ'=.（4）Lagrang 定理中涉及的公式：()()()f b f a f b aξ-'=-称之为“中值公式”.这个定理也称为微分基本定理.中值公式有不同形式：（ⅰ）f(b)-f(a)=()f ξ'(b-a) ,ξ∈(a,b);（ⅱ）f(b)-f(a)=(())()f a b a b a θ'+--,0<θ<1;（ⅲ）f(a+h)-f(a)=()f a h h θ'+,0<θ<1. 此处,中值公式对a<b,a>b 均成立.此时ξ在a,b 之间;（ⅱ）、（ⅲ）的好处在于无论a,b 如何变化,(0,1)θ∈易于控制.三、极值定义3（极值） 若函数f 在区间I 上有定义,0x I ∈.若存在0x 的邻域0()U x ,使得对于任意的0()x U x ∈,有0()()f x f x ≥,则称f 在点0x 取得极大值,称点0x 为极大值点.若存在0x 的邻域0()U x ,使得对于任意的0()x U x ∈,有0()()f x f x ≤,则称f 在点0x 取得极小值,称点0x 为极小值点.极大值、极小值统称为极值,极大值点、极小值点统称为极值点.注 1、极值是局部性概念,若0()f x 是极值,是和0x 点附近的函数值比较而言的,和离0x 较远的地方无关;最值显然是对整个区间而言的,是整体概念.2、闭区间[a,b]上的连续函数必有最值,且最大值和最小值各有一个,最大值小于最小值（常函数除外）,但可能无极值.即使有极值,也可能不止一个,极小值也可能大于极大值.因此若f(a)是函数的最值,则f(a)不可能是极值;若0()f x （0(,)x a b ∈）是函数的最值,则一定是极值.（即最值不一定是极值,反之,极值也不一定是最值,因此极值有很多,但若极值只有一个,即为最值.）极值存在的必要条件――费马（Fermat ）定理费马定理 若函数在点0x 的邻域内有定义,且在点0x 可导.若0x 为f 的极值点,则比有0()0f x '=.（即可导极值点的导数为零.）其几何意义：可导极值点出的切线平行于x 轴）,称满足方程0()0f x '=的点为稳定点.证明 无妨设)(0x f 为极大值,则当0>∆x 时,且)(00x U x x ∈∆+时,有 0)()(00≤∆-∆+x x f x x f令+→∆0x ,得0)(0≤'x f .当0<∆x 时,有 0)()(00≥∆-∆+x x f x x f .令-→∆0x ,得0)(0≥'x f ,由此推得0)(0='x f .Fermat 定理表明导数为0是极值必要条件,但是如果],[)(b a C x f ∈,那么它能达到最大值,如果它又可导,在),(b a 内0)(='x f 只有一个根,则比较)(a f ,)(0x f ,)(b f 就可定出最大值.由费马定理可知, 可导极值点是稳定点,反之不然.如3()f x x =,点x=0是稳定点,但不是极值点.达布（Darboux ）定理（导函数的介值定理） 若函数f 在[a,b]上可导,且()()f a f b +-''≠,k 为介于()f a +'和()f b -'之间的任一实数,则至少存在一点(,)a b ξ∈,使得()f k ξ'=.四、中值定理的证明(一) Rolle 定理证明 因为],[)(b a C x f ∈,)(x f 在],[b a 上有最大值M 与最小值m ,如果m M =,则M x f =)(,这时0)(='x f ,可取),(b a 中任意一点作为ξ,如果m M >,其中至少有一个不等于)()(b f a f =.不妨设)(a f M >,我们假定)(x f 在),(b a ∈ξ取到最大值,M f =)(ξ,即ξ为一个极值点,且)(ξf '存在,由 Fermat 定理,0)(='ξf .(二) Lagrange 中值定理证明 作辅助函数 1)(1)(1)()(b b f a a f x x f x G = ,它有明显几何意义,即它表示连接三点{})),((),),((),),((b b f a a f x x f 的三角形面积之二倍,那么],[)(b a C x G ∈,在),(b a 可导,且0)()(==b G a G ,用Rolle 定理,),(b a ∈∃ξ,使得0)(='ξG ,即1)(1)(01)(='b b f a a f f ξ, a b a f b f f --=')()()(ξ.辅助函数造法很多,比如可以用以下方法⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-=)()()()()()(a x b a b f a f a f x f x F , )]()()[())](()([)(a f b f a x a b a f x f x -----=Φ,)]()([))(()(a f b f x a b x f x ---=ψ.然后借助于Rolle 定理都可证明Lagrange 定理.注释 量b a b f a f --)()(表示连接两点))(,(a f a A 和))(,(b f b B 的弦的斜率,不管b a <还是b a >都对.Lagrange 定理表明存在),(b a 中一点,使)(ξf '恰等于这个斜率,Lagrange 定理也称Lagrange 公式,它也可以写成))(()()(a x f a f x f -'+=ξ,其中ξ介于x 与a 之间,它可以看成用线性函数))(()(a x f a f -'+ξ在a 局部对)(x f 的逼近.它还可写成))](([)()(a b a b a f a f b f --+'+=θ,h h a f a f h a f )()()(θ+'+=+,其中10<<θ,a b h -=.这里h a θξ+=,只要指出h a-=ξθ满足10<<θ.当0>h 时,h a a +<<ξ,h a <-<ξ0,10<<-h a ξ,得10<<θ.当0<h 时,a h a <<+ξ,h a -<-<ξ0 ,10<<--h a ξ,得10<<θ.(三) Cauchy 定理证明 对f 和g 分别应用Lagrange 定理,我们可得)()()()()()(ξξg f a g b g a f b f ''=--,这里1ξ与2ξ可能不一样,这是一条错误之路,本定理关键要求是一致的ξ.作函数 1)()(1)()(1)()()(b g b f a g a f x g x f x G =,它的几何意义是在参数曲线 ⎩⎨⎧==)()(x g Y x f X 上,三点 ,))(),((,))(),(({a g a f x g x f}))(),((b g b f 连成的三角形面积之二倍.则)(x G 满足Rolle 定理条件,故),(b a ∈∃ξ,使得0)(='ξG ,即)]()()[()]()()[(a g b g f a f b f g -'=-'ξξ,得证.注1与Lagrange 定理证明类似,我们也可借助其它形式的辅助函数,比如用)]()()[()]()()[()(a f b f x g a g b g x f x F ---=.注2 x x g =)(时,Cauchy 定理推出Lagrange 定理.注3 不管b a >还是b a <,Cauchy 定理都可写成 )()())(())(()()()()(h a g h a f a b a g a b a f a g b g a f b f θθθθ+'+'=-+'-+'=-- ,其中a b h -=,10<<θ.五、中值定理的一些推论及中值定理的应用初步(一) Rolle 定理的推论若f 在[1x ,2x ]上连续,在(1x ,2x )内可导,12()()0f x f x ==,则存在12(,)x x ξ∈,使得()0f ξ'=（简言之：可导函数的两个之间必有导数的零点）.(二) Lagrang 定理的推论推论1 若函数f 在区间I 上可导,且()0f x '=,x I ∈,则f 为I 上的一个常量函数.证明 Lagrange 定理给出,],[b a x ∈∀,0))(()()(=-'=-a x f a f x f ξ)(b a <<ξ,由此得C a f x f ≡≡)()(.几何意义：斜率处处为0的曲线一定是平行于x 轴的直线.简单应用：证明：（1）在[-1,1]上恒有：arcsin arccos 2x x π+=,（2）在(,)-∞+∞上恒有：arctan arccot 2x x π+=推广 若f(x)在区间[a,b]上连续,且在（a,b ）中除有限个点外有()0f x '=,则f 在I 上是常数函数.推论2 若函数f 和g 均在I 上可导,且()()f x g x ''=,x I ∈,则在区间I 上f(x)与g(x)只差一个常数,即存在常数C,使得()()f x g x C =+.证明 对)()(x g x f -应用推论1即得.推论 3 （导数极限定理）设函数f 在点0x 的某邻域0()U x 内连续,在0()U x 内可导,且0lim ()x x f x →'存在,则f 在点0x 可导,且00()lim ()x x f x f x →''=. 应用一：关于方程根的讨论（存在性）――主要应用Rolle 定理例1 设f 为R 上的可导函数,证明：若方程()0f x '=没有实根,则方程f(x)=0至多只有一个实根.例2 设f [,]a b ∈,在[,]a b 连续可微,在（a,b ）二阶可微,且()()()0f a f b f a '===,证明：()0f x ''=在(a,b)中至少有一个根.例3 已知10021n c c c n +++=+L ,证明：2012()0n n p x c c x c x c x =++++=L 至少有一正实根. 例4 设42()2f x x x x =-+,证明()f x '于（0,1）中至少有一根.应用二：证明中值点的存在性:例1 设函数f 在区间],[b a 上连续, 在),(b a 内可导, 则),(b a ∈∃ξ, 使得)()(a f b f -)(ln ξξf ab '⋅=. 证 在Cauchy 中值定理中取x x g ln )(=.例2 设函数f 在区间],[b a 上连续, 在),(b a 内可导, 且有0)()(==b f a f .试证明: 0)()( ),,(='-∍∈∃ξξξf f b a .例3 设f 在[a,b]（a>0）上连续;在(a,b)内可导,则存在ξ∈(a,b),使得 f(b)-f(a)=()ln b f aξξ'. 例4 设12,0x x >,证明：12(,)x x ξ∃∈满足211212(1)()x x x e x e e x x ξξ-=--.应用二：用中值定理证明公式例1 证明：对一切h>-1,h ≠0有公式ln(1)1h h h h<+<+ 例2 证明：当a>b>0时,ln a b a a b a b b --<<. 例3 证明：|sin sin |||x y x y -≤-,,x y R ∀∈.例4 设f 在[0,a]一阶连续可微,在(0,a)二阶可微,且存在正数M 使|()|f x M ''≤,又设f 在(0,a)存在稳定点c,证明：|(0)||()|f f a Ma ''+≤.例5 设函数f 和g 可导且 ,0)(≠x f 又 .0=''g f g f 则 )()(x cf x g =. (证明 0) (='f g . )例6 设对R ∈∀ , h x ,有2 |)()(|Mh x f h x f ≤-+,其中M 是正常数,则函数)(x f 是常值函数. (证明 0='f ).例 7 证明: 若],[)()(b a x g x f 在和上连续,在),(b a 内可导,且0)(≠'x g ,则),(b a ∈ξ∃,使得 )()()()()()(ξ--ξ=ξ'ξ'g b g a f f g f . (1) 分析 先把上面(1)式改写为:.0)()()()()()()()(=ξ'-ξ'-ξ'ξ+ξξ'g a f b g f g f g f (2) 若令 )()()()()()()(x g a f b g x f x g x f x h --=, 则 (2) 式即为 0)(=ξ'h . 这样,问题就化为检验],[)(b a x h 在上是否满足 Rolle 定理的条件.证明 由题设条件,上述],[)(b a x h 在上连续,在),(b a 内可导,且有)()()()(b h b g a f a h =-=.故),(b a ∈ξ∃,使得0)(=ξ'h ,即 (2) 式成立.又因0)(≠'x g ,故由导函数的性质（具有介值性）,)(x g '在),(b a 内不变号,由此推知)(x g 在),(b a 内严格单调;再由)(x g 在],[b a 上连续,所以)(x g 又在],[b a 上严格单调. 这就保证了0)()(≠ξ-g b g . 这样,便可由（2）式逆推至（1）式成立.作业 教材P124—125 4—9 ;P132—133 1—4.§6.2 Rolle Lagrange Cauchy 定理的进一步应用教学章节：第六章 微分中值定理及其应用—6.2 Rolle Lagrange Cauchy 定理的进一步应用 教学目标：掌握讨论函数单调性方法；掌握L ’Hospital 法则,或正确运用后求某些不定式的极限.教学要求： 熟练掌握L ’Hospital 法则,并能正确运用后迅速正确地求某些不定式的极限,深刻理解函数在一区间上单调以及严格单调的意义和条件；熟练掌握运用导数判断函数单调性与单调区间的方法；能利用函数的单调性证明某些不等式.教学重点: 利用函数的单调性,L ’Hospital 法则教学难点: L ’Hospital 法则的使用技巧；用辅助函数解决问题的方法；.教学方法: 问题教学法,结合练习.教学过程:一、中值定理与函数的单调性定理1 设f(x)在区间I 上可导,则f(x)在I 上递增（减）()0(0)f x '⇔≥≤.注1 这个定理的主要用途在于用它研究函数的单调性,确定单调区间.例1 设3()f x x x =-,试讨论函数f 的单调区间.注2 从实现充分性的证明中发现,若21()0(0)()()f x f x f x '><⇒>21(()())f x f x <,即f 严格递增（减）,从而有如下推论：推论 设函数f 在区间I 上可微,若()0(0)f x '><,则f 在I 上严格递增（减）.注3 上述推论是严格递增（减）的一个充分非必要条件.定理2 若函数f 在(a,b)内可导,则f 在(a,b)内严格递增（减）的充要条件是：（ⅰ）对一切(,)x a b ∈,有()0(0)f x '≥≤；（ⅱ）在(a,b)内的任何子区间上()0f x '≠.注4 一个问题：f(x)在[a,b]上有定义,在(a,b)内严格递增（减）,那么f(x)在[a,b]上是否一定严格递增（减）呢？答案：不一定.推论 若f(x)在(a,b)内可导,f(x)在(a,b)内严格递增（减）,且y=f(x)在右端点a 右连续,则f 在[a,b]上变为严格递增（减）,对左端点b 也有类似讨论.例2 证明等式：当0x ≠时,1x e x >+例3 证明：0x >时,3sin 3!x x x >- 例4 已知0f f '+≠,证明：()0f x =至多只有一个根例5 证明方程：sin 02x x -=只有一个根0x =. 二、中值定理与不定式极限(一) 什么是不定式极限在第3章函数的极限的学习中我们知道：0(1)+0(1)=0(1),但0(1)0(1)不一定是无穷小量,甚至于两个无穷小量极限不存在,例如：（1）当0x →,sin 0(1)x =,0(1)x =,0sin lim10x x x →=≠,即sin 0(1)x x ≠； （2）当0x →,20(1)x =,0(1)x =,20lim 0x x x →=,即0(1)x x=；（3）当0x →,20(1)x =,0(1)x =,20lim x x x →不存在. 由此可见,两个无穷小量之比的极限是不确定的,于是我们把这种类型的极限称为“00”型的不等式极限. 除了00型不等式极限外,还有许多类型的不等式极限,如：（ⅰ）∞∞型；（ⅱ）∞-∞型；（ⅲ）0⋅∞型；（ⅳ）00型；（ⅴ）1∞型；（ⅵ）0∞,0∞型等,其中最基本的是00型和∞∞型,其它类型都可化成这两种基本类型来解决.(二) 00不定式极限的计算 当0()lim ()x x f x g x →是00型时,困难在于极限商的运算失效！例：201cos lim x x x→-. 在此之前,我们是借助于0sin lim1x x x →=或等价变换来解决.这两种解决有些问题是有效的,但遗憾的是把0()lim ()x x f x g x →化为0sin lim x x x→类型时,或寻求等价变换时往往需要很大的运算量,甚至很难找到等价量. 例 21cos lim x x tan xπ→+. 例 1/220(12)lim ln(1)x x e x x →-++. 为此,我们引进求解这类极限的更为有效的工具－L ’Hospital （洛必达法则）.（有的同学可能会有疑问：既然这么好的工具,为什么不早介绍呢？因为L ’Hospital 法则要使用函数的导数,而且其理论依据在中值定理,所以放在中值定理的应用中来讲）. （00型极限的）洛必达法则 定理1 设1）)(x f ,)(x g 在);(0δa U 上连续,且=→)(lim x f a x 0)(lim =→x g a x ,2）)(x f ,)(x g 在);(0δa U 上可导,且0)(≠'x g ,3）k x g x f ax =''→)()(lim （k 为有限或∞±）, 则k x g x f x g x f a x a x =''=→→)()(lim )()(lim .证明 先证k x g x f a x =→)()(lim ,由1）,我们补充定义0)()(==a g a f ,则f ,g 成为在],[a a δ-连续,),(a a δ-上可导函数.),(a a x δ-∈∀,)(x f ,)(x g 在],[a x 满足 Cauchy 中值定理条件,所以有)]([)]([)()()()()()(a x a g a x a f a g x g a f x f x g x f -+'-+'=--=θθ, 10<<θ, 由3）,k a x a g a x a f a x =-+'-+'-→)]([)]([limθθ,所以kx g x f a x =-→)()(lim 0.同理k x g x f a x =+→)()(lim,综合起来有kx g x f a x =→)()(lim .注 把 a x → 改为0+→a x 或0-→a x 结论也成立. 定理2 设1） )(x f ,)(x g 在),(+∞a 连续,且=+∞→)(lim x f x 0)(lim =+∞→x g x ,2） )(x f ,)(x g 在),(+∞a 可导,且0)(≠'x g ,3）k x g x f x =''+∞→)()(lim（k 为有限或∞∞±,）,则k x g x f x =+∞→)()(lim.证明 先算极限,然后再验证条件.)(()((lim([([lim ((lim )()(lim 220001)11)1)]1)]1)1)1ttt t tt tt g f g f g f x g x f t t t x -'-'=''==+→+→+→+∞→)1()()(lim )()(lim110t x k x g x f g f x t t t ==''=''=+∞→+→。