第六章 微分中值定理及其应用

第六章 微分中值定理及其应用

引言

在前一章中,我们引进了导数的概念,详细地讨论了计算导数的方法.这样一来,类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决.但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题,那么,只知道怎样计算导数是远远不够的,而要以此为基础,发展更多的工具.

另一方面,我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的的函数;（2）导数只是反映函数在一点的局部特征;（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态,因此如何解决这个矛盾？需要在导数及函数间建立起一一联系――搭起一座桥,这个“桥”就是微分中值定理.

本章以中值定理为中心,来讨论导数在研究函数性态（单调性、极值、凹凸性质）方面的应用.

§6.1 微分中值定理

教学章节：第六章 微分中值定理及其应用——§6.1微分中值定理

教学目标：掌握微分学中值定理,领会其实质,为微分学的应用打下坚实的理论基础.

教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义,掌握三个定理的证明方法,知道三者之

间的包含关系.

教学重点：中值定理.

教学难点：定理的证明.

教学方法：系统讲解法.

教学过程：

一、一个几何命题的数学描述

为了了解中值定理的背景,我们可作以下叙述：弧»

AB 上有一点P,该处的切线平行与弦AB.如何揭示出这一叙述中所包含的“数量”关系呢？

联系“形”、“数”的莫过于“解析几何”,故如建立坐标系,则弧»

AB 的函数是y=f(x),x ∈[a,b]的图像,点P 的横坐标为x ξ=.如点P 处有切线,则f(x)在点x ξ=处可导,且切线的斜率为()f ξ';另一方面,弦AB 所在的直线斜率为

()()f b f a b a --,曲线y=f(x)上点P 的切线平行于弦AB ⇔()()()f b f a f b a

ξ-'=-. 撇开上述几何背景,单单观察上述数量关系,可以发现：左边仅涉及函数的导数,右边仅涉及

函数在端点的函数值.这样这个公式就把函数及其导数联系起来.在二者之间架起了一座桥梁,这座“桥”就是导数在研究函数方面应用的理论基础.鉴于(,)a b ξ∈,故把类似公式称为“中值公式”;把类似的定理称为中值定理.

剩下的问题是：中值定理何时成立呢？观察如下事实,可以发现：如果y=f(x)在[a,b]上不

连续或不可导（无切线）,是不一定有上述结论的.换言之,如保证类似点P 存在,曲线弧»

AB 至少是连续的,而且处处有切线.反映到函数y=f(x)上,即要求y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.

二、中值定理

Lagrange 中值定理 若函数f 满足以下条件：（1）f 在[a,b]上连续;（2）f 在(a,b)内可导.则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得()()()f b f a f b a

ξ-'=-. 特别地,当f(a)=f(b)时,有如下Rolle 定理：

Rolle 定理 若f 满足如下条件：（1）f ∈[a,b];（2）f 在(a,b)内可导;（3）f(a)=f(b),则存在ξ∈(a,b),使得()0f ξ'=.

如把曲线弧»

AB 用参数方程函数,则可得出以下中值定理： Cauchy 定理 若函数f,g （x ＝g(u),y ＝f(u),u ∈[a,b]）满足如下条件：（1）,[,]f g a b ∈;

（2）f,g 在(a,b)内可导;（3）,f g ''至少有一个不为0;（4）g(a)≠g(b).在存在ξ∈(a,b),使得()()()()()()

f f b f a

g g b g a ξξ'-='-. 说明（1）几何意义：Rolle ：在每一点都可导的连续曲线,如果曲线两端点高度相同,则至少存在一水平切线（在具有水平弦的可微曲线上有水平曲线）;Lagrang ：可微曲线上存在一点,使其切线平行于端点的连线;Cauchy ：视为曲线的参数;u=f(x),v=g(x),x ∈[a,b],则以v 为横坐标,u 为纵坐标可得曲线上有一点,该处切线与曲线端点连线平行.

（2）三个定理关系如下：

()()()f a f b g x x Rolle Lagrang Cauchy ==←−−−−←−−−

（3）三个定理中的条件都是充分但非必要.以Rolle 定理为例,三个条件缺一不可.1）不可导,不一定存在;2）不连续,不一定存在;3）f(a)≠f(b),不一定存在.“不一定存在”意味着一般情况如下：Rolle 定理不再成立.但仍可知有()0f ξ'=的情形发生.如y=sgnx,x ∈[-1,1]不满

足Rolle 定理的任何条件,但存在无限多个ξ∈(-1,1),使得()0f ξ'=.

（4）Lagrang 定理中涉及的公式：()()()f b f a f b a

ξ-'=-称之为“中值公式”.这个定理也称为微分基本定理.中值公式有不同形式：（ⅰ）f(b)-f(a)=()f ξ'(b-a) ,ξ∈(a,b);（ⅱ）f(b)-f(a)=(())()f a b a b a θ'+--,0<θ<1;（ⅲ）f(a+h)-f(a)=()f a h h θ'+,0<θ<1. 此处,中值公式对ab 均成立.此时ξ在a,b 之间;（ⅱ）、（ⅲ）的好处在于无论a,b 如何变化,(0,1)θ∈易于控制.

三、极值

定义3（极值） 若函数f 在区间I 上有定义,0x I ∈.若存在0x 的邻域0()U x ,使得对于任意的0()x U x ∈,有0()()f x f x ≥,则称f 在点0x 取得极大值,称点0x 为极大值点.若存在0x 的邻域0()U x ,使得对于任意的0()x U x ∈,有0()()f x f x ≤,则称f 在点0x 取得极小值,称点0x 为极小值点.

极大值、极小值统称为极值,极大值点、极小值点统称为极值点.

注 1、极值是局部性概念,若0()f x 是极值,是和0x 点附近的函数值比较而言的,和离0x 较远的地方无关;最值显然是对整个区间而言的,是整体概念.

2、闭区间[a,b]上的连续函数必有最值,且最大值和最小值各有一个,最大值小于最小值（常函数除外）,但可能无极值.即使有极值,也可能不止一个,极小值也可能大于极大值.因此若f(a)是函数的最值,则f(a)不可能是极值;若0()f x （0(,)x a b ∈）是函数的最值,则一定是极值.（即最值不一定是极值,反之,极值也不一定是最值,因此极值有很多,但若极值只有一个,即为最值.）

极值存在的必要条件――费马（Fermat ）定理

费马定理 若函数在点0x 的邻域内有定义,且在点0x 可导.若0x 为f 的极值点,则比有0()0f x '=.（即可导极值点的导数为零.）其几何意义：可导极值点出的切线平行于x 轴）,称满足方程0()0f x '=的点为稳定点.

证明 无妨设)(0x f 为极大值,则当0>∆x 时,且)(00x U x x ∈∆+时,有 0)()(00≤∆-∆+x x f x x f