线性回归模型及其函数形式
计量经济学期末考试名词解释
1. 总体回归函数：在给定解释变量X i 条件下被解释变量Y i 的期望轨迹称为总体回归线，或更一般地称为总体回归曲线.相应的函数:E(Y 〡X i ） = f (X i ) 称为（双变量)总体回归函数(population regression function, PRF)2. 样本回归函数：样本散点图近似于一条直线，画一条直线以尽好地拟合该散点图,由于样本取自总体，可以该线近似地代表总体回归线。
该线称为样本回归线.记样本回归线的函数形式为: 称为样本回归函数（sample regression function ，SRF ）。
3. 随机的总体回归函数：函数 Y =E(Y 〡X)=μ 或者在线性假设下,Y =β0+β1+μ式称为总体回归函数（方程）PRF 的随机设定形式。
表明被解释变量除了受解释变量的系统性影响外，还受其他因素的随机性影响.由于方程中引入了随机项，成为计量经济学模型，因此也称为总体回归模型。
4. 线性回归模型：假设1、回归模型是正确设定的。
假设2、解释变量X 是确定性变量，不是随机变量,在重复抽样中取固定值。
假设3、解释变量X 在所抽取的样本中具有变异性，而且随着样本容量的无限增加,解释变量X 的样本方差趋于一个非零的有限常数，即∞→→-∑=n Q n X X n i i ,/)(21__假设4、随机误差项μ具有零均值、同方差和不序列相关性：E(μi )=0 i=1，2, …,nVar (μi ）=σμ2 i=1,2， …,nCov(μi ， μj )=0 i≠j i,j= 1，2, …，n假设5、随机误差项μ与解释变量X 之间不相关：Cov （X i , μi ）=0 i=1,2， …，n假设6、μ服从零均值、同方差、零协方差的正态分布μi ～N(0, σμ2 ) i=1，2, …，n以上假设也称为线性回归模型的经典假设,满足该假设的线性回归模型，也i i i X X f Y 10ˆˆ)(ˆββ+==称为经典线性回归模型5. 随机误差项（μi ）和残差项（e i ）:（1）μi 为观察值Y i 围绕它的期望值E （Y ｜X i )的离差，是一个不可观测的随机变量，又称为随机干扰项或随机误差项。
线性统计模型知识点总结
线性统计模型知识点总结一、线性回归模型1. 线性回归模型的基本思想线性回归模型是一种用于建立自变量和因变量之间线性关系的统计模型。
它的基本思想是假设自变量与因变量之间存在线性关系，通过对数据进行拟合和预测，以找到最佳拟合直线来描述这种关系。
2. 线性回归模型的假设线性回归模型有一些假设条件，包括：自变量与因变量之间存在线性关系、误差项服从正态分布、误差项的方差是常数、自变量之间不存在多重共线性等。
3. 线性回归模型的公式线性回归模型可以用如下的数学公式来表示：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε，其中Y 是因变量，X是自变量，β是模型的系数，ε是误差项。
4. 线性回归模型的参数估计线性回归模型的参数估计通常使用最小二乘法来进行。
最小二乘法的目标是通过最小化残差平方和来寻找到最佳的模型系数。
5. 线性回归模型的模型评估线性回归模型的好坏可以通过很多指标来进行评价，如R-squared（R^2）、调整后的R-squared、残差标准差、F统计量等。
6. 线性回归模型的应用线性回归模型广泛应用于经济学、金融学、市场营销、社会科学等领域，用以解释变量之间的关系并进行预测。
二、一般线性模型（GLM）1. 一般线性模型的基本概念一般线性模型是一种用于探索因变量与自变量之间关系的统计模型。
它是线性回归模型的一种推广形式，可以处理更为复杂的数据情况。
2. 一般线性模型的模型构建一般线性模型与线性回归模型相似，只是在因变量和自变量之间的联系上，进行了更为灵活的变化。
除了线性模型，一般线性模型还可以包括对数线性模型、逻辑斯蒂回归模型等。
3. 一般线性模型的假设一般线性模型与线性回归模型一样，也有一些假设条件需要满足，如误差项的正态分布、误差项方差的齐性等。
4. 一般线性模型的模型评估一般线性模型的模型评估通常涉及到对应的似然函数、AIC、BIC、残差分析等指标。
5. 一般线性模型的应用一般线性模型可以应用于各种不同的领域，包括医学、生物学、社会科学等，用以研究因变量与自变量之间的关系。
回归模型的函数形式
回归模型的函数形式回归模型是一种描述自变量和因变量之间关系的数学模型。
它可以用来预测因变量的值，基于给定的自变量值。
回归模型可以是线性的或非线性的，具体选择哪种形式取决于数据的特点和研究的目标。
以下是一些常见的回归模型的函数形式：1.线性回归模型：线性回归模型假设因变量与自变量之间存在线性关系。
最简单的线性回归模型称为简单线性回归模型，可以使用一条直线来描述自变量和因变量之间的关系：Y=β0+β1X+ε其中，Y表示因变量，X表示自变量，β0表示Y截距，β1表示X的系数，ε表示误差项。
2.多元线性回归模型：多元线性回归模型用于描述多个自变量与因变量之间的线性关系。
它的函数形式为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε其中，Y表示因变量，Xi表示第i个自变量，βi表示Xi的系数，ε表示误差项。
3.多项式回归模型：多项式回归模型用于描述自变量和因变量之间的非线性关系。
它可以通过引入自变量的幂次项来逼近非线性函数：Y=β0+β1X+β2X^2+...+βnX^n+ε4.对数回归模型：对数回归模型适用于自变量与因变量之间存在指数关系的情况。
它可以将自变量或因变量取对数，将非线性关系转化为线性关系：ln(Y) = β0 + β1X + ε5. Logistic回归模型：Logistic回归模型用于描述分类变量的概率。
它的函数形式是Sigmoid函数，将自变量的线性组合映射到0和1之间的概率值：P(Y=1，X)=1/(1+e^(-β0-β1X))以上是几种常见的回归模型的函数形式。
回归模型的选择取决于数据的特征和研究的目标，需要考虑线性或非线性关系、自变量的数量、相关性等因素。
根据实际情况，可以选择合适的模型进行建模和预测。
线性回归方程公式
线性回归方程公式线性回归是一种常见的统计学方法，用于建立一个预测目标变量与一个或多个自变量之间的线性关系模型。
它是一种广泛应用的回归方法，适用于各种领域，如经济学、金融学、社会学、生物学和工程学等。
线性回归模型可以表示为以下形式：Y = b0 + b1*X1 + b2*X2+ ... + bp*Xp，其中Y是目标变量，X1、X2、...、Xp是自变量，b0、b1、b2、...、bp是回归系数。
这个方程描述了目标变量Y与自变量X之间的线性关系，通过调整回归系数的值可以拟合数据并预测未知数据的值。
线性回归模型的目标是找到最佳拟合直线，使得预测值与实际观测值之间的误差最小化。
常用的误差衡量指标是残差平方和（RSS），也可以使用其他指标如平均绝对误差（MAE）和均方根误差（RMSE）。
线性回归模型的建立过程包括两个主要步骤：参数估计和模型评估。
参数估计是通过最小化误差来确定回归系数的值。
最常用的方法是最小二乘法，通过最小化残差平方和来估计回归系数。
模型评估是用来评估模型的拟合优度和预测能力，常用的指标包括决定系数（R^2）、调整决定系数（Adjusted R^2）和F统计量。
线性回归模型的假设包括线性关系、误差项的独立性、误差项的方差恒定以及误差项服从正态分布。
如果这些假设不成立，可能会导致模型的拟合效果不佳或不可靠的预测结果。
对于线性回归模型的建立，首先需要收集相关的数据，然后进行数据的处理和变量选择。
数据处理包括缺失值处理、异常值处理和变量转换等。
变量选择是通过统计方法或经验判断来选择对目标变量有影响的自变量。
常见的变量选择方法包括逐步回归、岭回归和lasso回归等。
在建立模型之后，需要对模型进行评估和验证。
评估模型的拟合优度是通过决定系数和F统计量来实现的，较高的决定系数和较小的F统计量表明模型的拟合效果较好。
验证模型的预测能力可以使用交叉验证等方法。
线性回归模型还有一些扩展形式，如多项式回归、加权回归和广义线性回归等。
回归函数公式(一)
回归函数公式(一)回归函数公式回归函数是统计学中一种常用的建模方法，用于描述自变量与因变量之间的关系。
本文将列举一些常见的回归函数公式，并通过例子加以说明。
1. 线性回归函数线性回归函数是回归分析中最简单且最常用的一种函数形式。
它的表达式为：y=β0+β1x1+β2x2+⋯+βn x n其中，y表示因变量，x1,x2,…,x n表示自变量，β0,β1,β2,…,βn 表示回归系数。
例如，假设我们想预测一个人的身高（y）与体重（x1）和年龄（x2）之间的关系。
我们可以建立以下线性回归模型：y=β0+β1x1+β2x2其中，β0,β1,β2是需要通过回归分析得到的参数。
2. 多项式回归函数多项式回归函数是线性回归的扩展，它可以描述自变量与因变量之间的非线性关系。
其表达式为：y=β0+β1x+β2x2+⋯+βn x n其中，x表示自变量，y表示因变量，β0,β1,β2,…,βn表示回归系数。
例如，我们想通过某个人的学习时长（x）来预测其考试成绩（y）。
我们可以建立一个二次多项式回归模型：y=β0+β1x+β2x23. 对数回归函数对数回归函数是一种常用的回归函数形式，适合于因变量为二分类问题的建模。
其表达式为：P(Y=1|x)=11+e−(β0+β1x)其中，P(Y=1|x)表示当自变量x给定时因变量为1的概率，β0,β1表示回归系数。
例如，我们想预测某个人是否购买某个产品（Y），其中其收入（x）是一个重要的自变量。
我们可以使用对数回归函数来建立模型。
4. Logistic回归函数Logistic回归函数是对数回归函数的另一种表达形式，用于解决二分类问题。
其表达式为：P(Y=1|x)=11+e−(β0+β1x1+β2x2+⋯+βn x n)其中，P(Y=1|x)表示当自变量x1,x2,…,x n给定时因变量为1的概率，β0,β1,β2,…,βn表示回归系数。
例如，我们想通过一个人的年龄（x1）、性别（x2）和教育程度（x3）来预测其是否会购买某种产品（Y）。
线 性 回 归 方 程 推 导
线性回归——正规方程推导过程线性回归——正规方程推导过程我们知道线性回归中除了利用梯度下降算法来求最优解之外，还可以通过正规方程的形式来求解。
首先看到我们的线性回归模型：f(xi)=wTxif(x_i)=w^Tx_if(xi?)=wTxi?其中w=(w0w1.wn)w=begin{pmatrix}w_0w_1.w_nend{pmatrix}w=?w0?w1?. wn?，xi=(x0x1.xn)x_i=begin{pmatrix}x_0x_1.x_nend{pmatrix}xi?=?x0 x1.xn，m表示样本数，n是特征数。
然后我们的代价函数(这里使用均方误差)：J(w)=∑i=1m(f(xi)?yi)2J(w)=sum_{i=1}^m(f(x_i)-y_i)^2J(w) =i=1∑m?(f(xi?)?yi?)2接着把我的代价函数写成向量的形式：J(w)=(Xw?y)T(Xw?y)J(w)=(Xw-y)^T(Xw-y)J(w)=(Xw?y)T(Xw?y) 其中X=(1x11x12?x1n1x21x22?x2n?1xm1xm2?xmn)X=begin{pmatrix}1 x_{11} x_{12} cdots x_{1n}1 x_{21} x_{22} cdots x_{2n}vdots vdots vdots ddots vdots1 x_{m1} x_{m2} cdots x_{mn}end{pmatrix}X=?11?1?x11?x21?xm1?x12?x22?xm2?x1n?x2n?xmn?最后我们对w进行求导，等于0，即求出最优解。
在求导之前，先补充一下线性代数中矩阵的知识：1.左分配率：A(B+C)=AB+ACA(B+C) = AB+ACA(B+C)=AB+AC；右分配率：(B+C)A=BA+CA(B+C)A = BA + CA(B+C)A=BA+CA2.转置和逆：(AT)?1=(A?1)T(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T(AT)?1=(A?1)T，(AT)T=A(A^T)^T=A(AT)T=A3.矩阵转置的运算规律：(A+B)T=AT+BT(A+B)^T=A^T+B^T(A+B)T=AT+BT；(AB)T=BTAT(AB)^T=B^TA^T(AB)T=BTAT然后介绍一下常用的矩阵求导公式：1.δXTAXδX=(A+AT)Xfrac{delta X^TAX}{delta X}=(A+A^T)XδXδXTAX?=(A+AT)X2.δAXδX=ATfrac{delta AX}{delta X}=A^TδXδAX?=AT3.δXTAδX=Afrac{delta X^TA}{delta X}=AδXδXTA?=A然后我们来看一下求导的过程：1.展开原函数，利用上面的定理J(w)=(Xw?y)T(Xw?y)=((Xw)T?yT)(Xw?y)=wTXTXw?wTXTy?yTXw+yT yJ(w)=(Xw-y)^T(Xw-y)=((Xw)^T-y^T)(Xw-y)=w^TX^TXw-w^TX^Ty-y^TXw+y^TyJ(w)=(Xw?y)T(Xw?y)=((Xw)T?yT)(Xw?y)=wTXTXw?wTXTy?yT Xw+yTy2.求导，化简得，δJ(w)δw=(XTX+(XTX)T)w?XTy?(yTX)T=0?2XTXw?2XTy=0?XTXw=X Ty?w=(XXT)?1XTyfrac{delta J(w)}{delta w}=(X^TX+(X^TX)^T)w-X^Ty-(y^TX)^T=0implies2X^TXw-2X^Ty=0implies X^TXw=X^Tyimplies w=(XX^T)^{-1}X^TyδwδJ(w)?=(XTX+(XTX)T)w?XTy?(yTX)T=0?2XTX w?2XTy=0?XTXw=XTy?w=(XXT)?1XTy最后补充一下关于矩阵求导的一些知识，不懂可以查阅：矩阵求导、几种重要的矩阵及常用的矩阵求导公式这次接着一元线性回归继续介绍多元线性回归，同样还是参靠周志华老师的《机器学习》，把其中我一开始学习时花了较大精力弄通的推导环节详细叙述一下。
第2部分：线性回归(3)-回归方程的函数形式
多元对数线性回归模型
ln y = B1 + B2 ln x2 + B3 ln x3 + u
其中B2、B3又称为偏弹性系数。
二、对数－线性模型
ln y = B1 + B2 x + u
可用来测度增长率。
线性趋势模型
yt = B1 + B2t + ut
如果模型中的斜率为正，则称Y有向上的 趋势；若斜率为负，则称Y有向下的趋势。
三、线性－对数模型
（解释变量为对数形式） y = B1 + B 2 ln x + u y 的绝对变化量 y B2 = ＝ x 的相对变化量 x x 模型给出了 x 每变动一个百分点， y 的绝对变动量。
四、双曲函数模型
1 y = B1 + B2 ( ) + u x 比较有代表性的：恩格尔消费曲线 菲利普斯曲线
五、多项式模型
y = B1 + B2 x + B3 x + B4 x + u
2 3
实例：某企业在16个月的某产品产量和 单位成本资料，分析二者的关系。见 Eviews软件具体操作。其中X表示产量 （台)，Y表示单机成本（元/台）。
回归方程的函数形式 （非线性模型）
参数是线性的，而变量非y = B1 + B2 ln x + u
能对弹性的进行度量，模型中B2度量了 Y对X的弹性。由于由双对数模型所得到 的弹性是一个常数，所以双对数模型又 称为不变弹性模型。
如何选择（对数）线性模型
1、根据经验来选择。 2、根据数据作散点图，再比较。
回归方程的函数形式
P
P0
D2
A
dQ P Ed dP Q
D1
Q0
Q
对于对数线性回归模型， ln Y 3.9617 0.2272ln X
其回归系数-0.2272的经济意义是价格每上升1%， 平均而言，需求量会下降0.22%。
对于线性回归模型，
Y 49.667 2.1576 X
其回归系数-2.1576的经济意义是价格每增加1元 钱，平均而言，需求量会减少大约2个单位。
形如Yi B1 B2 X i B3 X i2 B4 X i3 ui的回归模型称为 多项式回归模型,
它只有一个解释变量,不过解释变量以 不同次幂的形式出现在回归模型中
由于参数B1 , B2 , B3 , B4是以一次方的形式出现在回归方程中 因而这是一个线性回归模型
问题？由于解释变量X的不同次幂同时出现在回归模型 中，是否会导致（多重）共线性呢？
Y
LNY
X
LNX
思考：是否可以根据判定系数决定模型形式 的选择？
注意：只有当两个模型的应变量相同时，才 可能根据判定系数的高低评价两个模型的拟合优 度。在线性回归模型中，应变量是绝对形式，在 对数线性回归模型中，应变量是对数形式。
判定系数并不是评价模型优劣的唯一标准， 像回归系数的符号是否与理论预期相一致，是 否在统计上显著等也是评价模型好坏的重要标 准。
X Y B2 ( ) X
5.6
倒数模型
1 形如Yi B1 B2 ( ) ui的模型称为倒数模型 Xi
它的特点是随着X取值的无限增大,应变量Y将趋向于 其渐进值B1
Y
B1 B2
0 0
B1
0
X
Y
B1
回归模型的函数形式
图5-2数学S.A.T分数的双对数模型散点图
9-12
5.1 如何度量弹性：双对数模型
数学S.A.T分数函数取对数后的回归过程
9-13
5.1 如何度量弹性：双对数模型
数学S.A.T分数函数取对数后的回归结果
ˆ InYi 4.887712773 0.1258045149InX i se (0.1573)(0.0148) t (31.0740)(8.5095) p (0.0000)(0.0000)
第5章 回归模型的函数形式
Essentials of Econometrics
第5章回归模型的函数形式
本章讨论以下几种形式的回归模型
(1) 双对数线性模型或不变弹性模型 (2) 半对数模型 (3) 倒数模型 (4) 多项式回归模型 (5) 过原点的回归模型，或零截距模型
9-2
5.1 如何度量弹性：双对数模型
ˆ ˆ ˆ B B B 1 2 ˆ Y e L K 3
9-28
5.3 多元对数线性回归模型
例5-2 excel原始数据表
9-29
5.3 多元对数线性回归模型
例5-2 取对数后Eviews数据表
9-30
5.3 多元对数线性回归模型
例5-2 C-D函数Eviews回归过程
9-31
5.3 多元对数线性回归模型
令变量 Yi ln Yi , X ki ln X ki
* *
， B1 LnA 则回归函数可变为：
* Yi* B1 B2 X * B X ui 3 2i 3i
根据解释变量的观测值，进行OLS估计，得到：
ˆ* B ˆ B ˆ X* B ˆ X ˆ* Y 1 2 3 i 2i 3i
回归模型的函数形式
回归模型的函数形式回归模型是一种用于研究变量之间关系的统计模型。
它可以帮助我们理解自变量和因变量之间的关系，并用于预测未来的观测值。
回归模型的函数形式通常包括线性回归和非线性回归两种。
一、线性回归模型线性回归模型是回归分析中最常见的一种模型，它假设自变量和因变量之间存在线性关系。
线性回归模型的函数形式可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε其中，Y是因变量，X1,X2,...,Xn是自变量，β0,β1,β2,...,βn 是回归系数，ε是误差项。
线性回归模型假设误差项ε服从正态分布，且均值为0，方差为常数σ^2、回归系数β表示自变量对因变量的影响程度，其值越大表示影响越大。
二、非线性回归模型当自变量和因变量之间的关系不是简单的线性关系时，我们可以使用非线性回归模型。
非线性回归模型的函数形式可以是各种形式的非线性函数，常见的形式包括指数函数、幂函数、对数函数等。
例如，指数函数形式的非线性回归模型可以表示为：Y=β0+β1e^(β2X)+ε幂函数形式的非线性回归模型可以表示为：Y=β0+β1X^β2+ε对数函数形式的非线性回归模型可以表示为：Y = β0 + β1ln(X) + ε需要注意的是，非线性回归模型的参数估计一般不像线性回归模型那样可以用最小二乘法直接求解，通常需要使用迭代算法。
三、多元回归模型多元回归模型用于研究多个自变量对因变量的影响。
多元回归模型的函数形式可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε其中，Y是因变量，X1,X2,...,Xn是多个自变量，β0,β1,β2,...,βn是对应的回归系数，ε是误差项。
多元回归模型可以通过估计回归系数，来衡量每个自变量对因变量的影响。
通过比较不同自变量的回归系数，我们可以判断它们之间的影响大小。
总结：回归模型是一种用于研究变量关系的统计模型。
线性回归模型假设自变量和因变量之间存在线性关系，可以用线性函数表示。
各种线性回归模型原理
各种线性回归模型原理线性回归是一种经典的统计学方法，用于建立自变量和因变量之间的线性关系。
在这个模型中，我们假设自变量和因变量之间存在一个线性函数关系，通过找到最佳的拟合直线，我们可以预测和解释因变量。
在线性回归中，我们通常使用以下三种模型：简单线性回归模型、多元线性回归模型和多项式回归模型。
1.简单线性回归模型：简单线性回归是最基本的线性回归模型。
它用于研究只有一个自变量和一个因变量之间的关系。
假设我们有一个自变量x和对应的因变量y。
简单线性回归模型可以表示为：y=β0+β1*x+ε其中，y是因变量，x是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。
我们的目标是找到最佳的回归系数，使得模型对观测数据的拟合最好。
2.多元线性回归模型：当我们需要考虑多个自变量对因变量的影响时，可以使用多元线性回归模型。
多元线性回归模型可以表示为：y = β0 + β1 * x1 + β2 * x2 + ... + βn * xn + ε其中，y是因变量，x1, x2, ..., xn是自变量，β0, β1,β2, ..., βn是回归系数，ε是误差项。
我们通过最小化误差项的平方和来估计回归系数。
3.多项式回归模型：多项式回归模型是在线性回归模型的基础上引入了多项式项的扩展。
在一些情况下，自变量和因变量之间的关系可能不是简单的线性关系，而是复杂的曲线关系。
多项式回归模型可以通过引入自变量的高次幂来建立非线性关系。
例如，二阶多项式回归模型可以表示为：y=β0+β1*x+β2*x^2+ε我们可以使用最小二乘法来估计回归系数，从而找到最佳的拟合曲线。
在以上三种线性回归模型中，我们以最小二乘法作为求解回归系数的方法。
最小二乘法通过最小化观测值与模型拟合值之间的残差平方和来选择最佳的回归系数。
通过最小二乘法，我们可以得到回归系数的闭式解，即可以明确得到回归系数的数值。
除了最小二乘法，还有其他求解回归系数的方法，例如梯度下降法和正规方程法。
古典线性回归模型(金融计量浙大蒋岳祥)
上课材料之五第四章古典线性回归模型在引论中，我们推出了满足凯恩斯条件的消费函数与收入有关的一个最普通模型：C=α+βX+ε，其中α＞0，0＜β＜1ε是一个随机扰动。
这是一个标准的古典线性回归模型。
假如我们得到如下例1的数据例1 可支配个人收入和个人消费支出年份可支配收入个人消费1970197119721973197419751976197719781979来源：数据来自总统经济报告，美国政府印刷局，华盛顿特区，1984。
（收入和支出全为1972年的十亿美元）一、线性回归模型及其假定一般地，被估计模型具有如下形式：y i=α+βx i+εi，i=1,…,n,其中y是因变量或称为被解释变量，x是自变量或称为解释变量，i标志n个样本观测值中的一个。
这个形式一般被称作y对x的总体线性回归模型。
在此背景下，y称为被回归量，x称为回归量。
构成古典线性回归模型的一组基本假设为：1. 函数形式：y i=α+βx i+εi，i=1,…,n,2. 干扰项的零均值：对所有i，有：E[εi]=0。
3. 同方差性：对所有i ，有：Var[εi ]=σ2，且2σ是一个常数。
4. 无自相关：对所有i ≠j ，则Cov[εi ,εj ]=0。
5. 回归量和干扰项的非相关：对所有i 和j 有Cov[x i ,εj ]=0。
6. 正态性：对所有i ，εi 满足正态分布N （0，2σ）。
模型假定的几点说明：1、函数形式及其线性模型的转换 具有一般形式i i i x g y f εβα++=)()(对任何形式的g(x)都符合我们关于线性模型的定义。
[例] 一个常用的函数形式是对数线性模型：βAx y =。
取对数得：x y ln ln βα+=。
（A ln =α） 这被称作不变弹性形式。
在这个方程中，y 对于x 的变化的弹性是βη===xd yd x dx y dy ln ln //， 它不随x 而变化。
与之相反，线性模型的弹性是：x xdx dy x x x y dxdy βαββαη+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛=。
第9章回归的函数形式
第9章回归的函数形式在统计学和机器学习中，回归是一种预测任务，目标是找到输入变量与输出变量之间的关系。
回归问题中，输入变量通常被称为特征，输出变量通常被称为目标变量。
在回归的函数形式中，我们试图找到一个可以预测目标变量的函数。
这个函数可以是线性的，也可以是非线性的。
在本章中，我们将介绍几种常见的回归函数形式，包括线性回归、多项式回归和非线性回归。
线性回归是回归问题中最简单的形式之一、在线性回归中，我们假设目标变量是输入变量的线性组合加上一个误差项。
我们可以使用最小二乘法来找到最佳的线性拟合。
线性回归模型的形式如下：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε其中，Y是目标变量，X1,X2,...,Xn是输入变量，β0,β1,β2,...,βn是回归系数，ε是误差项。
我们的目标是找到最佳的回归系数，使得预测值与观测值之间的残差平方和最小化。
多项式回归是线性回归的一种变形，它将输入变量的幂次作为特征。
多项式回归可以更好地拟合非线性关系。
多项式回归模型的形式如下：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + β11X1^2 + β22X2^2 + ... + βnnXn^n + ε其中，X1, X2, ..., Xn是输入变量的幂次，β0, β1, β2, ..., βn是回归系数，β11, β22, ..., βnn是多项式回归的系数。
非线性回归是回归问题中最灵活的形式之一，它不限制目标变量与输入变量之间的关系。
非线性回归可以采用各种不同的函数形式，如指数函数、对数函数、幂函数等。
非线性回归模型的形式如下：Y=f(X1,X2,...,Xn;β)+ε其中，Y是目标变量，X1,X2,...,Xn是输入变量，β是回归系数，f 是一个非线性函数，ε是误差项。
我们的目标是找到最佳的回归系数，使得预测值与观测值之间的残差平方和最小化。
在实际应用中，选择适当的回归函数形式非常重要。
线性回归模型及其函数形式
S
总体回归函数和样本回归函数
o 总体回归函数的另一种表述
o 误差（error）的来源 ❖其他解释变量的影响 ❖测量误差 ❖人类行为的随机性
总体回归函数和样本回归函数
o 总体回归函数图解
Wi E(W|Si)
A
ui
PRF C
Si
总体回归函数和样本回归函数
样本回归函数（sample regression function,SRF） o 样本：从上述总体中随机抽取了100人 o 问题：根据样本数据估计总体中工资W与受教育年限S的关系
variable
variable
回归分析中的常用术语
相关与回归（co目r的relation变&量r间eg的r关es系sion变）量的性质 指标
相关分析 分析变量之间 对称的
都是随机变量 相关系数
(correlation 的线性关联程 analysis) 度
回归分析 根据自变量的 不对称的
因变量是随机 回归系数
variable variable
Exogenous Predictor variable
Regressor
因变量
被解释变量 响应变量 内生变量
预测子
回归子
Dependent Explained Response Endogenous Predictand Regressand
variable
variable
o 请用最小二乘法估计出以D为因变量的样本回归方程 o 计算回归标准误和回归系数估计量的标准误
年份 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
P 0.77 0.74 0.72 0.73 0.76 0.75 1.08 1.81 1.39 1.20 1.17 D 2.57 2.50 2.35 2.30 2.25 2.20 2.11 1.94 1.97 2.06 2.02
第五章回归模型的函数形式
第五章回归模型的函数形式1.引言回归分析是统计学中一种重要的数据分析方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。
在回归分析中，我们需要确定一个合适的函数形式来描述变量之间的关系，这个函数形式即为回归模型的函数形式。
本章将介绍回归模型的函数形式的基本概念和常用的函数形式。
2.线性回归模型线性回归模型是最简单的回归模型之一，其函数形式为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε其中，Y是因变量，Xi是自变量，βi是参数，ε是误差项。
线性回归模型假设自变量与因变量之间的关系是线性的，并且误差项服从正态分布。
3.多项式回归模型多项式回归模型是线性回归模型的一种扩展形式，其函数形式为：Y=β0+β1X+β2X^2+...+βnX^n+ε多项式回归模型允许自变量的幂次大于1，通过引入幂项和交互项，可以更好地拟合非线性关系。
4.对数回归模型对数回归模型是一种特殊的回归模型，其函数形式为：ln(Y) = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε对数回归模型适用于因变量为正数且取值范围较广的情况，通过取对数可以将因变量的范围缩小，使得模型更易拟合。
5.非线性回归模型除了线性回归模型和多项式回归模型外，还存在许多其他形式的非线性回归模型。
非线性回归模型的函数形式通常不容易直接确定，需要通过试验和拟合来确定参数。
常见的非线性回归模型包括指数模型、幂函数模型、对数模型等。
在实际应用中，选择适当的函数形式是回归分析的一个重要问题。
选择不合适的函数形式可能导致模型的预测效果较差。
为了选择适当的函数形式，可以通过观察变量之间的散点图、拟合曲线图、残差图等进行初步判断，然后利用统计方法进行模型的比较和选择。
7.总结回归模型的函数形式是回归分析的基础，选择合适的函数形式对于模型的拟合和预测效果至关重要。
线性回归模型、多项式回归模型、对数回归模型和非线性回归模型是常用的函数形式。
选择适当的函数形式需要综合考虑变量之间的实际关系和统计分析的要求，可以通过观察图形和利用统计方法进行模型的比较和选择。
回归模型的函数形式
如果用符号 Y 代表Y的一个微小变动，X 代表X的一个微 小变动，则弹性E定义为：
E Y 变动的百分数 Y / Y •100 Y • X slop( X )
X变动的百分数 X / X •100 X Y
Y
从图形上看，变量线性的回归模型的图形是一条直线，而 双对数模型的图形是一条曲线，并且对于不同的X值来说， 都具有相同的弹性。所以，双对数模型又称为不变弹性模 型。
倒数模型的一个显著特征是，随着X 的无限增大，(1/ Xi ) 趋于零，Y 接近渐进值或极限值 B1 。因此，当变量 X 无限增大 时，倒数模型中的应变量的取值将逐渐靠近其渐进线或极值。
下图描绘了倒数模型的一些曲线形状： 倒数模型：Yi B1 B2 (1/ X i )
上图ａ）中，若Ｙ表示生产的平均固定成本(AFC)，Ｘ代表产出，则 根据经济理论，随着产出的不断增加，平均固定成本将逐渐降低，最 终接近产出轴。
４.线性－对数模型：解释变量是对数形式
考虑如下例子：个人总消费支出与服务支出的关系 （1993.1～1998.3,1992年美元价，10亿美元），数据见下表：
1993.1～1998.3个人总消费支出与各类支出的季度数据（10亿美元）
以个人总消费支出X与服务支出Y的关系为例，得到线性－ 对数模型如下：
Variable Coefficient
C
0.420412
DASSET 0.054930
Std. Error t-Statistic 0.012858 32.69715 0.022099 2.485610
Prob. 0.0000 0.0322
R-squared
0.381886
Adjusted R-squared 0.320075
回归模型的函数形式
回归模型的函数形式回归模型是一种用于预测连续变量的统计模型。
它通过建立自变量与因变量之间的关系来进行预测。
回归模型的函数形式通常有以下几种：线性回归、多项式回归、对数回归等。
线性回归是最基本的回归模型之一、它假设自变量与因变量之间存在线性关系，即因变量可以表示为自变量的线性组合。
线性回归的函数形式可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βpXp+ε其中，Y是因变量，X1、X2、..、Xp是自变量，β0、β1、β2、..、βp是待估计的回归系数，ε是随机误差项。
多项式回归是线性回归的一种推广形式。
它将自变量的高次幂引入回归模型中，以适应自变量与因变量之间的非线性关系。
多项式回归的函数形式可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X1^2+...+βpX1^p+ε其中，Y是因变量，X1是自变量，β0、β1、β2、..、βp是待估计的回归系数，ε是随机误差项。
对数回归是一种广义线性回归模型，适用于因变量为非负数且呈现指数增长或指数衰减的情况。
ln(Y) = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βpXp + ε其中，Y是因变量，X1、X2、..、Xp是自变量，β0、β1、β2、..、βp是待估计的回归系数，ε是随机误差项。
此外，还有其他形式的回归模型，如非线性回归、广义可加模型等。
非线性回归假设自变量与因变量之间存在非线性关系，其函数形式通常较为复杂，可以采用曲线拟合等方法进行求解。
广义可加模型是一种将线性回归和广义线性回归相结合的模型，可以适应不同类型的因变量分布。
以上是回归模型的几种常见函数形式，它们在实际应用中根据数据的特征和问题的需求选择合适的形式进行建模和预测。
线性回归模型
线性回归模型在机器学习和统计领域，线性回归模型是最简单的模型之⼀。
在现实⽣活中，往往需要分析若⼲变量之间的关系，如碳排放量与⽓候变暖之间的关系、某⼀商品⼴告投⼊量与该商品销售量之间的关系等。
回归分析：分析不同变量之间存在关系的研究。
回归模型：刻画不同变量之间关系的模型。
如果这个模型是线性的，则称为线性回归模型。
⼀旦确定了回归模型，就可以进⾏预测等分析⼯作，如从碳排放量预测⽓候变化程度、从⼴告投⼊量预测商品销售量等。
线性回归模型的决策函数为：y=ax+b其中，a,x为向量，y,b为标量。
模型训练的⽬的是为了求解参数w,b。
求解最佳参数，需要⼀个标准来对结果进⾏衡量，为此我们需要定量化⼀个⽬标函数式，使得计算机可以在求解过程中不断地优化。
将训练集数据(设数量为m)代⼊模型，都可以得到⼀组预测值f(x i)，对⽐已有的真实值y i，可以定义平⽅损失函数如下：L(w,b)=1mm∑i=1f(x i)−y i2=1mm∑i=1wx i+b−y i2现在的任务是求解最⼩化L时w和b的值，即核⼼⽬标优化式为(w∗,b∗)=arg minw,bm∑i=1wx i+b−y i2求解⽅式有两种：1）最⼩⼆乘法⼆乘就是平⽅的意思，这个⽅法就是最⼩平⽅和的意思。
现在要求⼀个多元函数的极⼩值，其必要条件就是各个变量的⼀阶偏导数为 0。
所以可对L(w,b) 参数w和 分别求导，令其偏导数值为零，再求取参数w和b的取值。
∂L ∂w=1mm∑i=12(wx i+b−y i)⋅x i=2m wm∑i=1x2i−m∑i=1(y i−b)x i∂L∂b=1mm∑i=12(wx i+b−y i)=2mm∑i=1(wx i−y i)+2b令上⾯两式为 0，可解得出b=1mm∑i=1(y i−wx i)=1mm∑i=1y i−w⋅1mm∑i=1x i=¯y−w⋅¯x将b=¯y−w⋅¯x代⼊第⼀个式⼦，可得wm∑i=1x2i−m∑i=1(y i−¯y+w⋅¯x)x i=0⇒wm∑i=1(x2i−x i¯x)−m∑i=1(y i x i−¯y x i)=0⇒w=∑m i=1x i y i−m¯x¯y∑m i=1x2i−m¯x2下⾯全部写成向量形式，重新推导⼀遍。
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ui表示Wi与其均值的偏差， 随称 机为 误差项或误, 差项 它度量的是除 S之了外，其他因W 素的对影响
o 误差（error）的来源 o 其他解释变量的影响 o 测量误差 o 人类行为的随机性
的估计，称为 SRF。表示这一函数关系
的直线称为样本回归线 。
Wi ：E (W | Si )的估计量
0
：截距参数
的估计量
0
1
：斜率参数
的估计量
1
S
总体回归函数和样本回归函数
o 样本回归函数的另一种表述
并非每一个
W
都在样本回归线上，
i
我们使用函数建立
W
i
与S
的对应关系：
i
W
Wi 0 1 Si ui ，作为对总体回归函数
自变量
解释变量 控制变量 外生变量
预测元
回归元
Independent Explanatory Control
variable
variable variable
Exogenous variable
Predictor
Regressor
因变量
被解释变量 响应变量 内生变量
预测子
回归子
Dependent variable
analysis)
分析变量之间 的线性关联程 度
对称的
都是随机变量 相关系数
回归分析 根据自变量的 (regression 给定值估计因
analysis) 变量的均值
不对称的
因变量是随机 回归系数 变量，自变量 判定系数 是给定的
从逻辑上说，回归分析本身并不意味着因果关系，对因果关 系的判断来源于经济理论
第三讲 线性回归模型 Linear Regression Model
一、基本概念 二、二元线性回归模型 三、多元线性回归模型 四、回归模型的函数形式 五、包含虚拟变量的回归模型
一、基本概念
1. 回归的涵义 2. 总体回归函数和样本回归函数 3. 回归分析中的常用术语 4. 经济数据的分类
回归的涵义
回归分析中的常用术语
o 确定性关系（deterministic relationship） o ——处理确定性变量
F
k
m1 m2 r2
G mg
o 统计关系（statistical relationship） o ——处理随机变量（random/stochastic variable）
CYu
b.指数模型Y： 0X1
c.对数模型: LnY 0 1LnX;Y 0 1LnX;LnY 0 1X
d.倒数模型Y：
0
1(
1 X
)
非线性模型：
Y 0
1
X；Y
0
(
Ln1
)X；Y
0
1
12
X
回归分析中的常用术语
YabScE x dp Ge n uder
总体回归函数和样本回归函数
o 总体回归函数图解
Wi E(W|Si)
A
ui
PRF C
Si
总体回归函数和样本回归函数
样本回归函数（sample regression function,SRF） 样本：从上述总体中随机抽取了100人 问题：根据样本数据估计总体中工资W与受教育年限S的关系
W
用Wi 0 1 Si表示对总体回归函数
Wi 0 1 Si ui的估计。
用0
1
S i 估计 0
1
S
，用
i
ui
估计ui。
ui 称为残差（ residual）
对于每一个样本都会有一个SRF，每一个 SRF都各不相同，都是PRF的一个近似。 至于真正的PRF是什么，我们不知道
SRF1 SRF2
S
总体回归函数和样本回归函数
特别W 地 i称： 为观o测 bs值 evr（ v ael） u de
W i 称为拟f合 ittve值 a dl） （ ue
回归分析中的常用术语
o 线性模型（Linear model）：所谓线性，是指对参数是 线性的，并非指对变量是线性的。
线性模型：
a.多项式模型Y： 0 1X;Y 0 1X2
E(W | Si ) 0 1 Si
这实际上是给定S时W的条件均值 或条件期望。表示上述关系的直线 称为总体回归线
W：因变量 S：；自变量
0：截距参数 1：； 斜率参数
S
总体回归函数和样本回归函数
o 总体回归函数的另一种表述 为了表示每 Wi个 和Si的对应关系，我们 函使 数:用
回归的涵义
o 例子
X 年龄 收入 消费 Y 收入 消费 效用
Y
U X
总体回归函数和样本回归函数
总体回归函数（population regression function,PRF） 总体：北京师范大学全体教职工（3000人） 问题：北京师范大学教职工的工资W与受教育年限S的关系
我们用以下函数考察S的变化对W的 W 均值的影响，称为PRF：
YabScExpu
经济数据的分类
根据数据的结构 时间序列数据（time series data） 横截面数据（cross-sectional data） 混合数据（pooled data） 平面板数据/综列数据（panel data）
o 图解
Wi
Wi
E(W|Si)
A SRF
B
PRF
C
AB : u i
AC : u i
Si
总体回归函数和样本回归函数
o 小结
确定性回归函数
随机回归函数
总体
E(W|Si )01Si W i 01Siui
样本
W i 01Si Nhomakorabea
W i 01Siui
o regress: return to an earlier or more primary form or state
o 最初的涵义：“回归”一词最早由英国生理学家高尔顿（ Galton,1886）提出，用以指儿女的身高有回复到人口总 体平均身高的趋势。
o 回归分析研究因变量对一个或多个自变量的依赖关系，其 用意在于通过后者的已知值，去估计或预测前者的总体均 值（古扎拉蒂，1995）
Explained Response Endogenous Predictand Regressand
variable
variable
variable
回归分析中的常用术语
相关与回归（correlation & regression）
目的
变量间的关系 变量的性质
指标
相关分析 (correlation