傅里叶光学答案
《傅里叶光学导论》历年考题.
《傅里叶光学导论》历年考题2002/2003(开卷)1.(24分) 一个衍射屏的振幅透射率函数为)()cos 2121()(2lr circ r r t β+=。
(1)这个屏的作用在什么方面像透镜？(2)给出此屏焦距的表达式。
(3)当用波长为m μλ6.0=的单色平面波垂直照明时，若23.0mm =β，mm l 20=，在其中的会聚焦点处的艾里斑半径0r 为多大（略去其他两项光束背景影响）？2.(20分) 某周期性物体的振幅透过率)()(nd x x t n -∑=∞-∞=δ，假定用均匀的平面波垂直照明，试证明这个物体是“自成像”的，意即物体后面周期性距离上能成自身的理想像，而不需要透镜。
3.(24分) 一成像系统光瞳函数为)2/()2/()()(),(l y rect l x rect l y rect l x rect y x P -=，mm l 20=，成像透镜焦距mm f 200'=，物像距mm d d o i 400==，照明波长m μλ5.0=。
(1)用非相干光照明时，求)2(2000ix d l f f f f λ=≤≤，这一区间的光学传递函数)0,(x f ℘，画出截面图（请注明标度尺）。
(2)用非相干光照明强度透射率)2cos 1(21)(02x f m x I π+=的物体，其中mm f 周252=，试求出其像的强度分布。
(3)用相干光照明时，求其频率传递函数)0,(x f H ，画出)0,(x f H 的截面图（请注明横纵坐标的标度尺）。
(4)用相干平面波垂直照明振幅透射率为)2cos 1(21)(01x f m x t π+=的物体，其中mm f 周5.371=，试求出其像的强度分布。
4.(20分) (1)波长m μλ5.0=的单色平面波。
（cm x 1043⨯=，cm y 1041⨯=，cm z 1023⨯=）。
试求光场x 轴和y 轴的空间频率。
(2)已知一个相干成像系统的截止频率cm c f 5000=，像面大小为cm cm 11⨯，最少可用多少个抽样点取值来表示。
傅里叶光学实验·
实验结果分析与讨论：一．测量小透镜的焦距1f （傅里叶透镜的焦距245.0f cm =）1. 实验光路：He-Ne 激光器→反射镜→直角三棱镜→望远镜（倒置）→小透镜→屏2. 测量焦距的方法：首先布置光路，使从望远镜射出的是平行光。
该平行光通过小透镜射到屏上。
我们知道，在透镜的焦点处，应该有光源的像点。
那么便可以通过移动接收屏找这个像点，以此位置作为焦点。
所以在实验中，我缓慢地移动屏，发现到某一个位置时屏上的像是明亮的一点。
在该位置附近左右移动屏，该点是被略微发散的圆形光斑。
选取那个像为亮点的位置为焦点的位置。
（也可以说，是选取屏上圆形光斑半径最小的位置。
）焦点与小透镜间的距离即为焦距。
所测数据如下：表一 小透镜的焦距得到12.413f cm =二．夫琅和费衍射1. 实验光路：He-Ne 激光器→反射镜→直角三棱镜→光栅→墙屏（此光路满足远场近似）2. 利用夫琅和费衍射测一维光栅常数光栅方程：()dsin =k k=0,1, 2, 3...θλ±±±（2）可以看到0级、1±级、2±级、3±级、4±级。
（3）0级、1±级、级光斑的位置：光斑都是等间距的。
如图三所示，间距为。
（4）计算光栅常数：934163310 1.96103.2210d m ---⨯⨯==⨯⨯三．观察并记录傅立叶频谱面上不同滤波条件的图样或特征1．实验光路：He-Ne激光器→反射镜→直角三棱镜→光栅→小透镜→滤波模板（位于空间频谱面上）→墙屏2. 观察并记录下述傅立叶频谱面上不同滤波条件的图样或特征（1）一维光栅：①滤波模板只让0级通过：无条纹图像，墙屏上一片红光。
如下图所示（下面两个图均为实验过程中当场拍摄）：②滤波模板只让级、级通过：有竖条纹，明亮，清晰。
如下图所示：③滤波模板只让级、级通过：竖条纹，类似于上图，但是条纹间隔变密，宽度变细，光强变暗。
傅立叶光学期末试题及答案
傅立叶光学期末试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 在傅立叶光学中，下列哪个定理描述了一个三维函数在频域中的傅立叶变换与该函数在空域中的傅立叶变换之间的关系？A. 傅立叶变换定理B. 空域传递函数定理C. 空域采样定理D. 空域衍射定理2. 对于一个透镜，在使用傅立叶光学方法进行分析时，下列哪个参数描述了透镜的厚度？A. 光程差B. 折射率C. 焦距D. 相位延迟3. 傅立叶光学中的角谱表达了光波通过一个系统时的哪个参数？A. 相位B. 振幅C. 空间频率D. 时间频率4. 下列哪个方法可以用来获取光波的角谱？A. 干涉仪B. 衍射仪C. 透镜组合D. 聚焦光束5. 在傅立叶变换光谱学中，通过对透镜进行不同衍射角度的空间频率编码，可以实现哪项功能？A. 相位重建B. 滤波C. 聚焦D. 强度调制6. 傅立叶光学中的矢量衍射理论考虑了光波的哪些性质？A. 偏振B. 相位C. 振幅D. 空间频率7. 对于一个平面波，其在通过一个傅立叶光学系统后，下列哪个效应不会改变？A. 振幅B. 相位C. 波长D. 入射角度8. 在傅立叶光学中，下列哪个方法可以用来恢复被透镜组合模糊化的图像？A. 相衬显微镜B. 斑点衍射模糊理论C. 叠加投影法D. 透镜阵列9. 傅立叶光学中的反射与传输不完全衍射补偿方法的基本思想是什么？A. 利用傅立叶变换来补偿光波的相位失真B. 利用远场衍射方法来补偿光波的振幅丧失C. 利用多物体干涉的通道选择性来补偿光波传播的路径差D. 利用时频域变换来补偿光波的波长丢失10. 傅立叶光学中的相移干涉方法可以用来实现下列哪个功能？A. 相位测量B. 聚焦控制C. 衍射成像D. 滤波操作二、简答题（每题10分，共60分）1. 请简述傅立叶光学的基本原理及其在实际应用中的意义。
傅立叶光学基于傅立叶变换理论，将光波的传输、衍射与成像等现象用数学方法进行分析和处理。
其基本原理是将光波通过光学系统时的传递函数进行傅立叶变换，从而可以得到频域上的光波信息。
傅里叶光学chap3-2
光学系统的一般描述
光学系统由孔径和透镜组成,光波由一个平面向另一个平面传播 光学系统由孔径和透镜组成,光波由一个平面向另一个平面传播 孔径 组成 Ul’ (x’,y’) 透镜: 透镜 Ul (x’,y’) 孔径:真实开孔,屏,透明片等 孔径:真实开孔, 描述, 用复振幅透过率t(x 用复振幅透过率 0,y0)描述, 描述
exp( jkz ) k exp[ j ( x 2 + y 2 )] jλ z 2z
+∞
U ( x, y ) =
1 k exp( jkz ) ∫ ∫ U ( x0 , y0 ) exp j [( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 ]dx0 dy0 jλz 2z −∞
∞
x y U ( x, y ) = c′ ∫ ∫ t ( x0 , y0 ) exp − j 2π λf x0 + λf y0 dx0 dy0 −∞ = c'
{t ( x0 , y0 )} f
x=
x y , fy= λf λf
= c' T ( f x , f y )
作业 3.00
的方孔， 一个边长为 a 的方孔，放在焦距为 f 的透镜的前焦面上， 的透镜的前焦面上，孔中心位于透镜 的光轴。 的光轴。用波长为λ 的单色平面波垂 直入射照明， 直入射照明，求透镜后焦面上的光场 复振幅分布和光强度分布。 复振幅分布和光强度分布。 如果孔中心与光轴的距离为b,结果会 如果孔中心与光轴的距离为 结果会 如何？ 如何？
x-y z S’
Ul’
∑p
t (x0,y0)
∑0: 输入面
输出面
d0
f
1 k 第三步： 第三步 直接写出 平面传输到观察平面x-y上造成的场分布 传输到观察平面 第一步：直接写出∑0 第一步：：由x0-y0平面传输到观察平面− j 上造成的场分布 2 2 U ( x0 , y0 ) = exp ( x0 + y0 ) f − d0 前表面的光场分布： 衍射的F.T.表达式， 2( f − z=f-d0 ）： 前表面的光场分布： 衍射的F.T.表达式，注意 d 0 ) Fresnel衍射的F.T.表达式 为（利用 Fresnel
傅里叶光学解析
20世纪上半叶
20世纪40年代至 60年代 20世纪60年代以来
1、傅里叶光学的发展历史
5）现代光学发展的三件大事
✓ 1948年，全息术的诞生，物理学家第一次精确地拍摄下一张立体的物体 像，它几乎记录了光波所携带的全部信息 (这正是“全息”名称的来历)！ ✓ 1955年，科学家第一次提出“光学传递函数”的新概念，并用它来评价 光学镜头的质量。 ✓ 1960年，一种全新的光源-激光器诞生了，它的出现极大地推动了相关学 科的发展。
2、傅里叶光学的研究内容和研究方法
1）傅里叶光学基于傅里叶变换的方法研究光学信息在线性系统中的 传递、处理、变换与存储等。 2）傅里叶光学主要的研究内容包括： ✓光在空间的传播（衍射和干涉问题） ✓光学成像（相干与非相干成像系统） ✓全息术（包括计算全息） ✓光学信息处理（相干滤波、相关识别等） ✓光学变换、光计算、光学传感等 3）傅里叶光学主要的研究方法：
傅里叶光学 Fourier Optics
薛常喜 光电工程学院
1、傅里叶光学的发展历史
1）光学是一门古老的学科，主要研究光波的本性、光 波
的传播以及光与物质的相互作用。 2）光学的发展历史可以追溯到公元前5世纪，到目前 已经
有2000多年的历史，并逐渐在物理学中形成了一门 独立
的基础学科。 3）光学的发展历史可以看成是人们对光本性认识的历
史，以及人们利用光学技术推动社会不断进步的历 史。 4）在整个发展历史中，光学也从经典光学发展到现代
光学的发展历程
第一阶段：17世纪 中叶之前
经典光学的早期发 展阶段
【几何光学】
傅里叶光学3-07
3.6光学成像系统的频率特性及其传递函数
MTF的重要性
调制度 modulation , 又称为对比度、反衬度，是评价像质 的定量方法之一。
像的调制度V的定义:
V IM Im IM Im
IM : 最大光强 Im : 最小光强
0, 即IM= Im，像面光强无变化; V= 1, 即Im=0，对比度最高, 条纹结构最清晰。
输入像调制度: V入 = m 调制传 递函数
M TF
V出
V出 V入
Hc Hc I0
Hc Hc
h ' x dx
I
F T h ' I x F T h ' I x
0
OTF
空频为ξ0，调制度为m的余弦条纹，经过非相干成像系统后，成为空频ξ0 ， 调制度为 m|OTF|ξ= ξ0的余弦条纹。这也是OTF的物理意义。
衍射受限系统的相干传递函数是光瞳函数的连续两次傅里叶变换。 当光学成像系统存在像差时，用广义光瞳函数代替光瞳函数，并 对其进行两次傅里叶变换得
m 2
h 'I
1
x d x
e
i 2 0 xi
h 'I
xe
2
2
i 2 0 x
dx
m 2
e
i 2 0 xi
h 'I ( x ) e
3
i 2 0 x
dx
第一项是像强度的直流分量（均值） 第二项中的积分是
F T h ' I x
I i xi 1 x x x 1 e x p i 2 i e x p i 2 i 1 c o s 2 i 2 d d d
傅里叶光学金典试题及答案和重要知识点总结
因位置不同而引起的位相色散
x , y
z z
菲涅耳衍射可视为函数
U
0
(
x0
,
y0 ) exp[
j
k 2z
( x0 2
y
0
2
)]
的傅里叶变换在处的值
（3）频域（角谱）表达式： A(u,v) A0 (u,v)exp( jkz)exp[ jz(u2 v2 )]
A(u, v) A0 , • H , H(u,v) exp( jkz)exp[ jz(u2 v2 )] A(u, v) 衍射场角谱 A0 , 孔径后角谱
3、脉冲响应是孔径的傅里叶变换或夫朗和费衍射图样，中心在（-Mx0, -My0）点。 8. 衍射受限系统, 阿贝成像理论；
所谓衍射受限 是指仅仅考虑系统的衍射限制， 不考虑系统的几何像差。
在衍射受限系统中，光的衍射仅受到系统孔径光阑尺寸的限制，因此在考察衍射受限系统时，实际上主要考察
孔径光阑的衍射作用。如果入（出）射光瞳无限大，则光的衍射不受系统的限制，点物应该成理想的点像。然而，
δ 函数的性质：①偶函数性质： （- x) （x) ②坐标缩放性质： (ax) 1 (x)
a
③筛选性质： f (x) (x x0 )dx f (x0 )
④乘积性质： f x• x x0 f x0 • x x0
⑤卷积性质： f x x f x
f x x x0 f x x0
成像过程包含了两次衍射过程：由物面到后焦面，物体衍射光波分解为各种频率的角谱分量，即不同方向传播
的平面波分量，在后焦面上得到物体的频谱。这是一次傅里叶变换过程。由后焦面到像面，各角谱分量又合成为
像，这是一次傅里叶变换逆过程。
9. 相干成像系统的点扩展函数, 相干传递函数； 相干照明系统中，脉冲响应是点物产生的衍射斑的振幅分布。
Questions and Answers for Fourier Optics_傅里叶光学问题解答
By Li Pei
2014 Questions and Answers for Fourier Optics
1.What is the Fourier transform of a two-dimensional function g(x,y)? A: F {g ( x, y )} G ( f X , fY )
-2-
2014 Questions and Answers for Fourier Optics
By Li Pei
transfer function z 1 ( f X ) 2 ( fY ) 2 exp j 2 H ( f X , fY ) 0 The H ( f X , fY ) is nonzero only for f X 2 fY 2 1 f X 2 fY 2 otherwise 1
, showing the propagation
phenomenon as a linear spatial filter with a finite bandwidth characterized by a circular region of radius 1 in frequency plane.
-1-
2014 Questions and Answers for Fourier Optics
By Li Pei
angular spectrum of the transmitted field can be described by the convolution of the angular spectrum of the incident field (A i ) with the angular spectrum of the aperture (T). That is At ( , ) Ai ( , ) T ( , )
傅里叶光学课后答案
傅里叶光学课后答案傅里叶光学课后答案【篇一：光学第二章习题】择题：2008．在菲涅耳圆屏衍射的几何阴影中心处（ b ）（a）永远是个亮点，其强度只与入射光强有关。
（b）永远是个亮点，其强度随着圆屏的大小而变。
（c）有时是亮点，有时是暗点。
2014．一波长为500nm的单色平行光，垂直射到0.02cm宽的狭缝上，在夫琅禾费衍射花样中心两旁第二条暗纹之间的距离为3mm，则所用透镜的焦距为（ d ）（a）60mm （b）60cm （c）30mm （d）30cm2026．一个衍射光栅宽为3cm，以波长为600nm的光照射，第二级主极大出现于衍射角为300处。
则光栅的总刻度线数为a（a）1.25*104 （b）2.5*104（c）6.25*103（d）9.48*1032028．x 射线投射在间距为d的平行点阵面的晶体中，试问发生布拉格晶体衍射的最大波长为多少？d（a）d/4（b）d/2 （c）d （d）2d2128. 菲涅尔圆孔衍射实验表明，几何光学是波动光学在一定条件下的近似，如果从圆孔露出来的波面对所考察的点作出的的半波带的数目为k，这种条件下可表达成：（ d ）（a）衍射波级数k~0；（b）衍射波级数k=1；（c）衍射波级数k〉1；（d）衍射波级数k〉〉1。
2129. 用半波带法研究菲涅尔圆孔的衍射的结果说明，圆孔轴线上的p点的明暗决定于：（c）（a）圆孔的大小；（b）圆孔到p点的距离；（c）半波带数目的奇偶；（d）圆孔半径与波长的比值。
2130 用半波带法研究菲涅尔圆孔衍射时，圆孔线上p点的明暗决定于：（d）（a）圆孔的直径；（b）光源到圆孔的距离；（c）圆孔到p的距离；（d）圆孔中心和边缘光线到p点的光程差。
2131 一波带片主焦点的光强约为入射光强的400倍，则波带片的开带数为：（ a ）（a）10；（b）20；（c）40；（d）100。
2132 在夫琅和费单缝衍射中，当入射光的波长变大时，中央零级条纹：（b ）（a）宽度变小；（b）宽度变大；（c）宽度不变；（d）颜色变红。
傅立叶光学习题解答及参考答案
第一章 傅里叶分析部份习题解答及参考答案[1-1] 试分别写出图X1－1中所示图形的函数表达式。
图X1-1 习题[1-1]各函数图形解：(a)−∧L x x a 0 (b) () ∧−−L x b a L x a 2rect(c) ()x L x a sgn 2rect (d) x L x cos 2rect[1-2] 试证明下列各式。
(1) += 21comb 21comb x x- (2) ()()x i e x x x πcomb comb 2comb +=(3)()()()x x N x N ππsin sin lim comb ∞→= (4) ()()xx x πωδωsin lim ∞→=(5)()()∫∞∞−=ωωπδd cos 21x x (6)()ωπδωd 21∫∞∞−±=x i e x解：(1)原式左端∑∑∞−∞=∞−∞=+−−=−−=m n m x n x 12121δδ 令()1−=m n=−+=∑∞−∞=m m x 21δ右端 (2)()∑∑∞−∞=∞−∞=−=−= n n n x n x x 2222comb δδ n 2只取偶数()()∑∞−∞=−=m m x x δcomb()()πδδππm m x e m x e x m im m x i cos 2comb ∑∑∞−∞=∞−∞=−=−=当=m 奇数时，()()0comb comb =+xi ex x π；当=m 偶数时，令n m 2=，则12 cos =x π，并且有： ()()()∑∞−∞=−=+n n x x x 22e comb comb xi δπ 得证。
(3)由公式(1-8-7)知：()∑∞−∞=−=n nxex π2i comb上式可视为等比级数求和，其前N 项之和为：()()()()()x Nx e e e e e e e e q q a S x i x i x i Nx i Nx i Nx i x i Nx i N N ππππππππππsin sin 1111221=−−=−−=−−=−−−−−− 所以 ()()()x Nx S x N N N ππsin sin limlim comb ∞→∞→==得证。
傅里叶光学-83
=
4.068
×
10−5m
dy
=
1 2.493 × 104m−1
=
4.011 × 10−5m
dx = 4.068 × 10−5m dy = 4.011 × 10−5m
4.观察并记录下述傅立叶频谱面上不同滤波条件的图样或特征 空间频谱面应在小透镜的焦平面上，图样应是衍射点阵。 (1)一维光栅： a.滤波模板只让 0 级通过 图样特征：一块光斑，光斑内无条纹. b.滤波模板只让 0、±1 级通过 图样特征：一块光斑，光斑内有细的平行的纵向的条纹。 c.滤波模板只让 0、±1，±2 级通过 图样特征：一块光斑，光斑内有细的平行的纵向的条纹,且条纹比刚才更加清晰。
9 / 10
斑的那一排纵向光斑的孔，将滤波模板放置到小透镜的焦平面上，使含 0 级亮斑 的那一排纵向光斑通过小孔射出，此时，屏上便会看到横条纹。
思考题：
1.透镜前焦面上是 50 条/mm 的一维光栅，其频谱面上的空间频率各是多少？ 相邻两衍射点间距离是多少？已知 f=50cm,波长为 632.8nm。
2. 利用夫琅和费衍射测量光栅常数： (1) 利用夫琅和费衍射测一维光栅常数；
一维光栅的衍射图样如下：
由原始数据，光栅与屏的距离D = 60cm,光波长λ = 632.8nm k=0 与 k=±1 的光斑在屏上的平均距离为x1 = 0.95cm,
3 / 10
k=0 与 k=±2 的光斑在屏上的平均距离为x2 = 1.88cm,
=
632.8
×
1.42 × 10−2m 10−9m × 45.0 ×
10−2m
=
4.987
×
104m−1
由基频fx1 = 2.528 × 104m−1和fy1 = 2.493 × 104m−1,且由公式
傅里叶光学教程(黄婉云)课后习题解答
傅里叶光学教程（黄婉云）课后习题解答第一章数学基础知识在信息光学中，有一些广泛使用的函数，包括脉冲函数、梳状函数等，用于描述各种物理量。
另外还有一些重要的数学运算，如卷积、相关、傅里叶变换等，用于讨论和分析各种物理过程。
本章主要介绍这些函数及计算方法。
1.1 常用函数1. 阶跃函数(Step function)x,00,,a,xx1,一维: step()0,,,aa2,x,10,,a,a的正负决定阶跃函数的取向，阶跃函数作用如同一个开关，可在某点开启或关闭一个函数。
2. 符号函数(Sign function)x,10,,a,xx, sgn()00,,,aa,x,,,10,a,a的正负决定符号函数的取向，符号函数用来改变一个变量或函数的正负。
xxx,,sgn11阶跃函数与符号函数的关系: stepxx()sgn(),，223. 矩形函数(Rectangle function)a,1x,x,rect(),一维: 2,a,0others,表示函数以0为中心，宽度为a(a>0)，高度为1的矩形。
在时间域，矩形函数可以描写照相机快门;在空间域，矩形函数可以描写无限大不透明屏上单缝的透过率，故被称为门函数。
并且矩形函数可以作为截取函数。
2xyxy二维: rectrectrect(,)()(),,ababab,1,,xy,,,, 22,,0,others,二维矩形函数可以描写无限大不透明屏上矩形孔的透过率。
矩形函数可以移位和改变比例以及高度:a,hxx,,,xx,,00 hrect(),2,a,0,others,4. 三角函数(Triangle function),xx1,,xa,一维: tri(),a,a,0others,xyxx二维: ,,,,(,)()()abab,xxxy(1)(1),,1,,,, ,abab,,0,others,可用来表示一个光瞳为矩形的非相干成像系统的光学传递函数。
5. Sinc 函数(Sinc function)xxasin(),,,sin(),0ca一维: axa,xxc,,0sin()1时， axxnac,,,时，sin()0 axyxy二维: sin(,)sin()sin()ccc, abab3可用来描述单缝和矩孔的夫琅和费衍射振幅分布，其平方表示衍射图样6. 高斯函数(Gaussian function)x2一维: Gausxa()exp[/],,,，，a高斯函数也称为正态分布函数。
光学蔡履中答案
1-19 解：空气中
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f′=−f =
1 ⎛ nL − 1 1 − nL ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ r + r ⎟ 2 ⎠ ⎝ 1
=
1 1 1 ( nL − 1)( − ) r1 r2
当在 cs2 中使用时：
两焦距之比:
f′=
n′
⎛ nL − n n′ − nL ⎞ ⎜ ⎜ r + r ⎟ ⎟ 2 ⎝ 1 ⎠
s′ =
af ′ a− f′
与 16 题不同 16 题是透镜不动。
u`=-f `2/(f `-a)2 该速度为相对透镜的 所以相对于光源的速度 v=u`+u=(a2-2af `)/(f `-a)2
1-29 解：
AB 经平面镜成象为 A`B`为正立的象β1=1 经 L1 成象 1/s`-1/s=1/f ` 所以 1/s`-1/[-(8+10)]=1/10 得 s1`=45/2 β2=s`/s=(45/2)/(-18)=-5/4 经 L2 成象 1/s`-1/(45/2-15)=1/(-15) s`=15cm β3=s`/s=15/(15/2)=2 β=β1β2β3=1*(-5/4)*2=-2.5
n = n′ = 1
nL = 1.5
r1 = −20r2 = −5代入数 f '=120 由成像公式
1 1 1 − = s′ s f ′
s=-40 所以代入数 s'=-60 β1=s`/ s=3/2 球面反射 1/s'+1/s=2/r 因 s=-60 r=-15 代入数 s`=-60/7 β2=s`/ s=-1/7 再成象 1/s`-1/s=1/f ` s=-60/7 f `=120 (光线自右向左传播) 所以 s`=-8 β3=s`/ s=14/15 所以β1β2β3=-1/5 象为缩小的倒立的实象
现代光学第3章 傅里叶光学基础
18
第3章 傅里叶光学基础
1) 索末菲辐射条件和SR上的积分 对于SR面上的积分，由于基尔霍夫积分定理中积分面 的选择的任意性，可以假定R→∞， 则SR为趋于无限大的 半球壳。考虑到U和G在SR面上都按1/R随R的增大而减小， 所以，R→∞时，在SR面上被积函数趋于零，但同时积分面 的面积SR按R2增大，故不能直接认为SR面上的积分为零。 下面具体讨论SR面上的积分。当R很大时，在SR面上有
(3.1-22)
相应光强分布为
(3.1-23)
33
第3章 傅里叶光学基础
3.1.3 瑞利-索末菲衍射公式
索末菲通过巧妙地选择格林函数G，排除了边界条件
中对U和
同时规定为零的要求，从而克服了基
尔霍夫理论的不自恰性。在解决了SR上的积分之后，式 (3.1-12)简化为
(3.1-24)
34
第3章 傅里叶光学基础
(3.1-3)
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第3章 傅里叶光学基础
式中: c为光在真空中的速度;
为拉普
拉斯算符。把式(3.1-2)代入式(3.1-3)，得到自由空间单色
光场满足的波动方程为
(3.1-4)
式中: k=2πν/c=2π/λ为波矢量的大小。该式称为亥姆霍兹方 程。这表明自由空间传播的任何单色光波的复振幅必然满 足亥姆霍兹方程。
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第3章 傅里叶光学基础
于是式(3.1-7)简化为 或
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(3.1 -8)
第3章 傅里叶光学基础
在Sε面上，n与r处处反向，有 故
(3.1-9)
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第3章 傅里叶光学基础
令ε→0，则有
(3.1-10)
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第3章 傅里叶光学基础
傅里叶光学实验
傅里叶光学实验实验原理：我们知道一个复变函数f(x,y)的傅立叶变换为⎰⎰+-=ℑ=dxdy vy ux 2i y x f y x f v u F )](ex p[),()},({),(π ( 1 )F (u,v)叫作f(x,y)的变换函数或频谱函数。
它一般也为复变函数，f(x,y)叫做原函数，也可以通过求F(u,v)逆傅立叶变换得到原函数f(x,y)， ⎰⎰+=ℑ=-dudv vy ux 2i v u F v u F y x f 1)](ex p[),()},({),(π （2）在光学系统中处理的是平面图形，当光波照明图形时从图形反射或透射出来的光波可用空间两维复变函数（简称空间函数）来表示。
在这些情况下一般都可以进行傅里叶变换或广义的傅里叶变换。
逆傅里叶变换公式（2）说明一个空间函数f(x,y)可以表示成无穷多个基元函数exp[i 2π(ux +vy )]的线性叠加，dudv v u F ),(是相应于空间频率u ,v 的权重，F (u ,v )称为f (x ,y )的空间频谱。
在光学成像的过程中如果将一个平面图形放在一个理想的透镜（傅立叶变换透镜）的前焦平面上，在透镜的后焦平面就可以得到它的准确的傅立叶变换，即得到它的频谱函数。
反之如果将一个平面图形的频谱放在一个理想的透镜的前焦平面上，在透镜的后焦平面就可以得到此平面图形（不过图形的坐标要反转）。
从电子学的通讯理论我们知道，如果对信号的频谱进行处理（如滤波处理）再将信号还原就可以改变信号的性质，如去除信号的噪声等等。
因此等效地可以在透镜的后焦平面上放置各种形状和大小的光阑改变图形的频谱，再对此图形用第二个透镜成像就可以对图形进行处理，得到经过处理的图形。
这个过程叫作光学信息处理，在透镜的后焦平面上放置的光阑叫做空间滤波器。
.最典型的空间滤波系统—两个透镜（光学信息处理系统或傅立叶光学变换系统）叫作4f 系统，如图1所示，激光经过扩束准直形成平行光照明物平面(其坐标为x 1,y 1)，透过物平面的光的复振幅为物函数f(x 1,y 1),这一光波透镜1到达后焦平面（频谱面）就得到物函数的频谱，其坐标为(u ,v )，再经透镜2 在透镜2的象平面上可以得到与物相等大小完全相似但坐标完全反转的象，设其坐标为(x 2,y 2)。
傅里叶光学课后答案
傅里叶光学课后答案【篇一：光学第二章习题】择题：2008．在菲涅耳圆屏衍射的几何阴影中心处（ b ）（a）永远是个亮点，其强度只与入射光强有关。
（b）永远是个亮点，其强度随着圆屏的大小而变。
（c）有时是亮点，有时是暗点。
2014．一波长为500nm的单色平行光，垂直射到0.02cm宽的狭缝上，在夫琅禾费衍射花样中心两旁第二条暗纹之间的距离为3mm，则所用透镜的焦距为（ d ）（a）60mm （b）60cm （c）30mm （d）30cm2026．一个衍射光栅宽为3cm，以波长为600nm的光照射，第二级主极大出现于衍射角为300处。
则光栅的总刻度线数为a（a）1.25*104 （b）2.5*104（c）6.25*103（d）9.48*1032028．x 射线投射在间距为d的平行点阵面的晶体中，试问发生布拉格晶体衍射的最大波长为多少？d（a）d/4（b）d/2 （c）d （d）2d2128. 菲涅尔圆孔衍射实验表明，几何光学是波动光学在一定条件下的近似，如果从圆孔露出来的波面对所考察的点作出的的半波带的数目为k，这种条件下可表达成：（ d ）（a）衍射波级数k~0；（b）衍射波级数k=1；（c）衍射波级数k〉1；（d）衍射波级数k〉〉1。
2129. 用半波带法研究菲涅尔圆孔的衍射的结果说明，圆孔轴线上的p点的明暗决定于：（c）（a）圆孔的大小；（b）圆孔到p点的距离；（c）半波带数目的奇偶；（d）圆孔半径与波长的比值。
2130 用半波带法研究菲涅尔圆孔衍射时，圆孔线上p点的明暗决定于：（d）（a）圆孔的直径；（b）光源到圆孔的距离；（c）圆孔到p的距离；（d）圆孔中心和边缘光线到p点的光程差。
2131 一波带片主焦点的光强约为入射光强的400倍，则波带片的开带数为：（ a ）（a）10；（b）20；（c）40；（d）100。
2132 在夫琅和费单缝衍射中，当入射光的波长变大时，中央零级条纹：（b ）（a）宽度变小；（b）宽度变大；（c）宽度不变；（d）颜色变红。
傅立叶光学习题与答案
云南师范大学2005-2006学年上学期统一测试学院物理与电子学院专业光学工程年级2005级班级学号姓名一、一个正复振幅光栅,振幅透过率为：/CWo)= g + ：cos2*放在一个直径为的圆形会聚透镜(焦距为f)之前,并且用平面单色波倾斜照射,平面波的传播方向在平面内,与轴夹角为8,如图1所示.(1)求通过物投射的光振幅分布的频谱.(2)假定4.=4 =27,问像平而上会出现强度变化的角8是多少⑶[㈣假定用的倾斜角就是这个最大值,求像平面上的强度分布.它与0 = 0时相应的强度分布比拟,情况如何(5)假定照明倾角e采用上述极大值,问使得像平面上出现强度变化的最大光栅频率是多少这个频率与0 = 0时的截止频率比拟,结论如何(40%)(1)解：倾斜单色平面波入射,在物平面上产生的入射光为Aexp(j/a°sine),那么物平面的投射光场为:Uo(x.,打)=Aexp( jR、o sin 0) - r(x0, y0) = Aexp(j7?.v0sin 6) • ： (1 + cos2毋%)A f … sinC 、 1 「・c /Sin6 八 1 r _ z r sin .、]]=3{exp .2mo)+ -exp[j2^v ()(—— + /) + -exp[-j2^0(/ - ——)]}ZA ZAZA它的频谱为：4(,/)= F{U(x (),yo) = F{U(x°,),o))A ° sin 0 -1『 -sin 0 1 『 『sin 0(2)解： 在相干光照明下,系统的截止频率为£)=」一, 为了取到尽可能大的e,即取最低的两个频率分量〔把它0〕,〔-- +Z丁 白sin6 / I 口 / j 『sin ./ /于是要求 ---- < ------ ；及 一 --- <-/ + ------- < -----A 2 人42 叫A 2M将4 = 2/代入上述两个不等式,得到满足两个频率分量通过系统的条件歹—一<sin^<——,最大值为*^ = sin-】(——)； 4/4/ 4/〔3〕解：直径为的圆形透镜相干传递函数为“〔/「/、〕 = 4,.〔卫1士〕, /方出当6取最大值,sin6 =——：此时物场的三个频率分量中只有一个较高频率分量超出系统 4/像的频谱为：亿/〕=3枇-苧/〕 +枭力-〔"苧〕⑷+ 口力-,-苧〕,加血/〕 A 〔 〔 sin 01sin 6 ]=不严/「丁?一十丁 /」sin ..〕的截止频率,因而〃〔2,/、.〕={却、=—J v =.以如,== 0AA当.=/ +—J y =0A解:像平面复振幅分布为:%(七,尢)=/「{& (/;/)}光强分布为:/3 (巧,y3)=卜,3 (%3,y3 r = 2 U + J e* (-/2K3 / )] X [ 1 + [ exp O'2K3 / )1 =' t + cos 2ml①当 8 = 0 时;设/< A ,贝ij/(J )'3)=2.+cos24乂) 24 2/ 3相应光强分布为：A (^3^3)=— 54 I /通过①②两式比拟,可看出e = q“ax 时,条纹比照度较差,且没有倍频成分.(4)解：照明倾角.为极大时德学一一 < sin .：/———工——;/« 丁或=「夕二.时,光栅频率不大于系统截止频率,即——或/^、= —— ............. ④4 fA 4 歹 比拟上式③④,可知e = %皿倾角的平面波照明,系统允许通过的物光栅的频率比垂直照 明大.x — 1二. f(x)=rect(x), h(x)=rect( ----------------- ).求：f(x)*h(x),并作图,说明其性质和意义.(10% )2A 2 A 2.c sin 0 '1 1 「'c 1, 72^3—— +-exp[72^3 -7 +人)2x[l + ^-exp(-J -2^-37)]sin 6lr+ 2 cos 2小 口 + — cos 4碇%2-1/2xg(x)=f(x)*h(x)= j / (a)h(x-a)cla -X当-8<x<-V2 时,g(x)=O1当一皿时6(x)= j"a=x+ —-1/2 23/2当 l/ZWxW 奖时,g(X )=卜/0=1-1/2I'25 5 当*时,g(x)= f J<Z = --x 当 xN 二时,g(x)=O-L 220,(工・< 1/2)A + 1/Z(-1/2<X <1/2)故： g(x) = /(x)*(x) = J L(l/2<x<3/2)5/2-x,(3/2<x<5/2)0,(x>5/2)-1/2 f (x 〞h(x)f (x)*h(z))1/2-1/21/21/2图为:三、在4f系统中,输入物是一个无限大的矩形光栅,设光栅常数d=4,线宽a=l,最大透过率为1,如不考虑透镜有限尺寸的影响：(1)写出傅立叶平而p2上的频谱分布表达式；(2)写出输出平面复振幅和光强分布表达式；(3)在频谱面上作高通滤波,挡住零频分量,写出输出面复振幅和光强分布表达式：(4)假设将一个"相位滤波器〃⑸,乃)= 孙三2.0 其它放在p2平面的圆点上,写出输出而复振幅和光强分布表达式,并用图形表示.(20%)解：(1)由于是无限大的矩形光栅,即B不用考虑所以t(x । )=(l/d).rect(x । /a)*comb(x । /d)可以在频谱而上得到它的傅立叶变换T(fJ=F5{t(x,))=(a/d){sinc(f v )+sinc(a/d).sinc(f v -1/d)+sinc(a/d).sinc(f x +l/d)+ .......... } 把a=l,d=4代入上式T (f A )=(装0 {sinc(f v )+sinc(lA)-sinc(f v -(l/4))+sinc(lA)sinc(f x +(l/4))+.....}={sinc(f x )+sinc(l/：l) J (f v -(1A))+sinc(lA) 3 (f v +(1A))+..…)(2)t(x 3)=(lA)rect(x3 )*comb(x3 A)l(x3 )= It(x3) I 2 =(V16)[rect(x3 )*comb(x3⑷]2⑶阻挡零频分量,可使像发生寸度反转t(x 3 )=(lA)[rect(x 3 )*comb(x 3川卜(㈣rect(x 3 A) l(x3)=|t(x3)|2⑷相位为"的滤波器相当于将寸度再次反转t(x 3 )=(l/4)[rect(x 3 )*comb(x 3 A)]-(Wrect(x 3 A)-(lA)rect(x 3 A)l(x3)=|t(x3)| 2四.以傅里叶变换全息为例,推导并解释如下概念：〔10%〕〔1〕全息再现像的分辩率〔2〕线模糊〕〔3〕色模糊解：〔1〕傅立叶变换全息图记录物的傅立叶谱,记录过程中物0〔%.比〕置于透镜前焦面上, 用平行光照明,将全息干板置于后焦面上,用斜入射的平行光作为参考光,设物光为°〔%,%〕 = °o 〔Xo.%〕exp［〕.〔/,比〕］,参考光由位于前焦面上的点光源产生的,坐标〔-b,o 〕,表述为/?〔%,〉,0〕=95〔玉〕+〃,凡〕, 经变换干板处的光振动U n =F{O} + F{R},其中F是傅氏变换,暴光光强为/〔＜J V〕 = |U〃『,其中人=力/〔寸〕为空间频率分量,“,力为透镜后焦面上的空间坐标,/为透镜焦距,经线性处理后,全息图的透过率/〃 a / ,再现中,用平行光C〔x,y〕 = C o exp〔;Vo〕= l垂直入射到全息图上,全息图后的光振动为：U'u=C-t H=t H ,再现像为U, =pT{U.}.对记录介质分辨率的要求不受物体本身精细结构的影响,而取决于全息图中最精细的光栅结构因而应该满足RN 4A»,其中R为记录介质分辨率,人.表示全息图的频谱成分,即空间频率.再现像的分辨率取决于全息图的宽度,它所记录的空间频率越丰富,分辨率越高.〔2〕线模糊：实际光源上每一点作为参考光源,会产生全息图上不同光栅结构,作为再现 光源会产生不同的再现像,一个物点将对产生多个像点也就是说,用扩展光源作为参考光源 和再现光源时会导致再现像的展窕,这个现象称做线模糊.设参考光源和再现光源的现度分别为AR 和AC, AL=于+宁,3• r •〔3〕色模糊：对于像全息,再现光源的光谱宽度对像清楚程度仍然是有影响,由于实际上 光不能使物上所有点均能满足I Z 0 I 为最小,这时一个物点不是对应一个像点,而是对应 一个线段.这种由于波长的不同而产生的像的扩展叫做像的色模糊,即使Z .足够小,当A/1 相当大时,仍然回形成不可无视的色模糊：色模糊〔弥散量〕：AZ J=A-Z 0A/l^2五、如图2所示,边长为2a 的正方形孔内在放置一个边长为a 的正方形掩模,其中央落在 〔岑,〃〕点.采用单位振幅的单色平而波垂直照明,求出与她相距为Z 的观察平面上夫琅禾 费衍射图样的光场强度分布,画出^ = 〃 = 0时,孔径频谱在x 方向上的截而图,〔20%〕 解：〔1〕孔径的振幅透射率函数可表示为两个矩形 函数之差它的傅里叶变换式为f 5 ｛|心1 0〕｝ = 4〃2 sin C 〔2af x 〕sin c 〔2af y 〕- a 2 sin c 〔r7/x 〕sin c 〔q& 〕把它代人夫琅禾费衍射方程："〔.,3'0〕= cPC expljj&J +yo ,〕］xJ j"〔』,y ］〕exp + 为丫网为］jAz 2z 」± Az得到孔的夫琅禾费衍射分布：“Go,〕'o 〕=l expU,002 + y 02〕］ x ［｛〃〔3,y ］〕｝ J A Z■\expQMexpU 轴2+记诏2曲.等〕由c 〔赞卜2 sbi c 佳〕改黝办〕3晦H 勤一时采用单位振幅平而波垂直照明,孔径平面透 射光场为2唔Ha强度分布:六、波长为的单位振幅平面波垂直入射到一孔径平而上,在孔径平面上有一足够大的摸板, 其振幅透过率为心°) = 0.5(l + cos2Ko/(3㈤),求紧靠孔径投射场的角谱.(20%) (五、六题选做一题) 解： 入射到孔径的场分布为S (x,y) = 1 ,模板的透过率为： 1(%) = 0.5(1 + cos2欣0/3A),所以模板后的透射场分布为：S(x,y) = U r (x,y)♦«x,y)设入射场的角谱和光场的角谱分别为A (:*,和4( A A由傅氏变换的卷积定理可得： z cosa CGS /3、 . z cosor cos/7、…,cos<z cos/7、 A( ^) =A (—,A A A AA Acosa cos/7 「、、 ―/Cos .cos/7、 其中A (—：— ,—：-): F{Uj (x, y)) = J(-：— , 一：—)A AA A〜COS2 cos/7、…,、、 r (—・「^)二/依x .)} A A1 -cose cos/7 1 -cos . 1 cos/7 1 —Osa 1 cos/7= -J( ----------- ,——-) + -J( --------------------- ,——-) + -J( ---------------- + ——,--) 2 2 2 4 2 32 2 4 2 32 2所以紧靠孔径衍射场的角谱为：z cosa cos/7、 . /cosc cos?、.〞cosc cos/7、4(^)= A (—A AA AA A1 c z cosa cos/3 1 -cos . 1、 1 ^cosa 1 cos .-d ( ------------ , --------- ) + -5( ------------------- ) + -J( ------------ + ——, -------- ) 2 2 2 4 A 32 4 2 3Z 2cosa ~rcos/? 丁'/(.%,%)=|小0,%)|2。