直线的参数方程ppt课件
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直线的参数方程(用)ppt课件
x x0 t cos , y y0 t sin
即，x x0 t cos , y y0 t sin
e (cos,sin )
x
3
问题：已知一条直线过点M0(x0,y0 )，倾斜角，
求这条直线的方程.
即，x x0 t cos , y y0 t sin
y
所： 在直线上任取一点M(x,y),则
M0M （x, y) (x0 y0 ) (x x0, y y0 ) 设e是直线l的单位方向向量，则
M(x,y)
y
e (cos ,sin )
因为M 0M // e,所以存在实数t R,
M0(x0,y0)
使M 0M te,即
(x x0, y y0 ) t(cos,sin ) O
直线的参数方程
1
请同学们回忆:
我们学过的直线的普通方程都有哪些?
点斜式: y y0 k(x x0 )
斜截式： y kx b
两点式: y y1 x x1
y2 y1 x2 x1
截距式： x y 1
ab
一般式: Ax By C 0
2
问题：已知一条直线过点M0(x0,y0 )，倾斜角，
O
x=-1+tcos
3
4
y
2
t
sin
3
(t为参数）
B
x
17
即
x
1
2t 2 (t为参数）
A
y
2
2t 2
把它代入抛物线y=x2的方程,得
t2 2t 2 0
t1 t2 2, t1t2 2
由参数t的几何意义得
AB t1 t2 10 MA MB t1 t2 t1t2 2
2.3 直线的参数方程 课件(人教A选修4-4)
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[例1]
已知直线l的方程为3x－4y＋1＝0，点P(1,1)在
直线l上，写出直线l的参数方程，并求点P到点M(5,4)的距 离． [思路点拨] 由直线参数方程的概念，先求其斜率，进
而由斜率求出倾斜角的正、余弦值，从而得到直线参数方
程．
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[解]
3 由直线方程 3x－4y＋1＝0 可知， 直线的斜率为 ， 4
返回
理解并掌握直线参数方程的转化，弄清参数t的 几何意义，即直线上动点M到定点M0的距离等于参 数t的绝对值是解决此类问题的关键．
返回
π 1．一直线过 P0(3,4)，倾斜角 α＝ ，求此直线与直线 3x＋ 4 2y＝6 的交点 M 与 P0 之间的距离．
x＝3＋ 解：设直线的参数方程为 y＝4＋ 2 2 得 3(3＋ t)＋2(4＋ t)＝6. 2 2 11 2 解得 t＝－ ， 5 ∴|MP0|＝|t|＝ 11 2 . 5 2 t， 2 2 t， 2
在 α∈[0，π)内无解；
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3 x＝－1＋－ 2 －2t， 而化成 y＝2＋1－2t 2 3 cos α＝－ 2 ， 则 sin α＝1 2 5π 得 α＝ . 6
时，
5π 故直线 l 的倾斜角为 . 6
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[例 2]
π 已知直线 l 经过点 P(1,1)，倾斜角 α＝ ， 6
返回
求解直线与圆或圆锥曲线有关的弦长时，不必求
出交点坐标，根据直线参数方程中参数t的几何意义 即可求得结果，与常规方法相比较，较为简捷．
返回
π 3．直线 l 通过 P0(－4,0)，倾斜角 α＝ ，l 与圆 x2＋y2 6 ＝7 相交于 A、B 两点． (1)求弦长|AB|； (2)求 A、B 两点坐标．
优秀课件人教版直线的参数方程(共22张PPT)
二、新课讲授
问题：已知一条直线过点M 0(x0 ,y0 )，倾斜角，
sin 要注意 把它变成 y y0 : ( x x0 ) x0, y0 都是常 cos y y0 x x0 进一步整理，得： 数,t才是参 sin cos 数 y y0 x x0 t 令该比例式的比值为t ,即 sin cos x=x0 t cos 整理，得到 (t是参数） y y0 t sin
三、例题讲解 2 例 2 例1.已知直线l : x y 1 0与抛物线y x 交于
A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B 两点的距离之积。
分析: 1.用普通方程去解还 是用参数方程去解; 2.分别如何解. 3.点M是否在直线上 A
y
M(-1,2)
O
B
x
三、例题讲解
求这条直线的方程. 解: 直线的普通方程为y y0 tan ( x x0 )
求这条直线的方程. 解: 在直线上任取一点M(x,y),则 （x, y) ( x0 y0 ) ( x x0 , y y0 ) M 0M 设 e是直线l的单位方向向量，则 y M(x,y) e (cos ,sin ) 因为M 0 M // e, 所以存在实数t R, M0(x0,y0) 使M 0 M te,即 ( x x0 , y y0 ) t (cos ,sin ) e x x0 t cos , y y0 t sin 所以 即，x x0 t cos , y y0 t sin (cos ,sin ) 所以，该直线的参数方程为 O
①
（ 3 ） AB 、 MA MB 与t1，t 2有什么关系？
选修4-4直线的参数方程优秀课件
设直线 l的倾斜角为 ，定点 M 0、动点 M的坐标 分别为 ( x0 , y0 )、 ( x, y )
(1)如何利用倾斜角 写出直线l的单位方向向量 e ？
( 2)如何用e和M 0的坐标表示直线上任意 一点M的坐标？
(1) e (cos , sin )
(2) M 0 M ( x, y ) ( x0 , y0 ) ( x x0 , y y0 )
x 线AB的方程为 3 y 2
1 2x 3y 6 0
6 13
d
| 6 cos 6 sin 6 | 22 32
2 sin( ) 4
所以当 =
4 这时点P的坐标为( 3 2 2 , 2)
时, d 有最大值, 面积最大
x2 y2 1、动点P(x,y)在曲线 1上变化 ，求2x+3y的最 9 4 大值和最小值
3 5 3 5 4 2
（ 1 ）如何写出直线 l的参数方程？
①
（ 2 ）如何求出交点 A，B所对应的参数 t1，t 2 ?
①
（ 3 ） AB 、 MA MB 与t1，t 2有什么关系？
（ 1 ） M 1 M 2 t1 t 2
t1 t 2 （ 2 ）t 2
四、课堂小结
A1
B2
A
F1
C
O B1
B
F2
X A2 X
练习3:已知A,B两点是椭圆 x 1 9 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭 圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
2
y2 4
解 : 椭圆参数方程 设点P(3cos ,2sin ) SABO 面积一定, 需求 SABP 最大即可 即求点P到线AB的距离最大值
(1)如何利用倾斜角 写出直线l的单位方向向量 e ？
( 2)如何用e和M 0的坐标表示直线上任意 一点M的坐标？
(1) e (cos , sin )
(2) M 0 M ( x, y ) ( x0 , y0 ) ( x x0 , y y0 )
x 线AB的方程为 3 y 2
1 2x 3y 6 0
6 13
d
| 6 cos 6 sin 6 | 22 32
2 sin( ) 4
所以当 =
4 这时点P的坐标为( 3 2 2 , 2)
时, d 有最大值, 面积最大
x2 y2 1、动点P(x,y)在曲线 1上变化 ，求2x+3y的最 9 4 大值和最小值
3 5 3 5 4 2
（ 1 ）如何写出直线 l的参数方程？
①
（ 2 ）如何求出交点 A，B所对应的参数 t1，t 2 ?
①
（ 3 ） AB 、 MA MB 与t1，t 2有什么关系？
（ 1 ） M 1 M 2 t1 t 2
t1 t 2 （ 2 ）t 2
四、课堂小结
A1
B2
A
F1
C
O B1
B
F2
X A2 X
练习3:已知A,B两点是椭圆 x 1 9 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭 圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
2
y2 4
解 : 椭圆参数方程 设点P(3cos ,2sin ) SABO 面积一定, 需求 SABP 最大即可 即求点P到线AB的距离最大值
2.3 直线的参数方程 课件(人教A选修4-4)
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x2 2 4．求经过点(1,1)，倾斜角为 120° 的直线截椭圆 ＋y ＝1 所 4 得的弦长．
解：由直线经过点(1,1)，倾斜角为 120° ，可得直线的 1 x＝1－2t， 参数方程为 y＝1＋ 3t 2
(t 为参数)，代入椭圆的方
1 2 1－ t 2 3 2 程，得 ＋(1＋ t) ＝1， 4 2
所以直线被椭圆所截得的弦长为
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(1)写出直线 l 的参数方程． (2)设 l 与圆 x2＋y2＝4 相交于两点 A、B，求点 P 到 A、 B 两点的距离之积． [思路点拨] (1)由直线参数方程的概念可直接写出方
程；(2)充分利用参数几何意义求解．
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[解]
π (1)∵直线 l 过点 P(1,1)，倾斜角为 ， 6
π x＝1＋tcos6 ， ∴直线的参数方程为 y＝1＋tsinπ， 6 3 x＝1＋ 2 t， 即 y＝1＋1t 2
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理解并掌握直线参数方程的转化，弄清参数t的 几何意义，即直线上动点M到定点M0的距离等于参 数t的绝对值是解决此类问题的关键．
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π 1．一直线过 P0(3,4)，倾斜角 α＝ ，求此直线与直线 3x＋ 4 2y＝6 的交点 M 与 P0 之间的距离．
x＝3＋ 解：设直线的参数方程为 y＝4＋ 2 2 得 3(3＋ t)＋2(4＋ t)＝6. 2 2 11 2 解得 t＝－ ， 5 ∴|MP0|＝|t|＝ 11 2 . 5 2 t， 2 2 t， 2
为所求．
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(2)因为点 A，B 都在直线 l 上，所以可设它们对应的参 数为 t1 和 t2，则点 A，B 的坐标分别为 3 1 3 1 A(1＋ t1,1＋ t1)，B(1＋ t2,1＋ t2)， 2 2 2 2 以直线 l 的参数方程代入圆的方程 x2＋y2＝4 整理得到 t2 ＋( 3＋1)t－2＝0， 因为 t1 和 t2 是方程①的解，从而 t1t2＝－2. 所以|PA|· |PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2. ①
2.3 直线的参数方程 课件(人教A选修4-4)
为所求．
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(2)因为点 A，B 都在直线 l 上，所以可设它们对应的参 数为 t1 和 t2，则点 A，B 的坐标分别为 3 1 3 1 A(1＋ t1,1＋ t1)，B(1＋ t2,1＋ t2)， 2 2 2 2 以直线 l 的参数方程代入圆的方程 x2＋y2＝4 整理得到 t2 ＋( 3＋1)t－2＝0， 因为 t1 和 t2 是方程①的解，从而 t1t2＝－2. 所以|PA|· |PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2. ①
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1．直线的参数方程 (1)过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数为 x＝x ＋tcos α 0 (t 为参数) y＝y0＋tsin α (2)由 α 为直线的倾斜角知 α∈[0，π) 时，sin α≥0.
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2．直线参数方程中参数t的几何意义 参数t的绝对值表 示参数t所对应的点M到定点M0的距离 ． (1)当M0M―→与e(直线的单位方向向量)同向时，t取 正数 ． (2)当M0M―→与e反向时，t取 负数 ，当M与M0重合时， t＝ . 0
所以直线被椭圆所截得的弦长为
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求解直线与圆或圆锥曲线有关的弦长时，不必求
出交点坐标，根据直线参数方程中参数t的几何意义 即可求得结果，与常规方法相比较，较为简捷．
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π 3．直线 l 通过 P0(－4,0)，倾斜角 α＝ ，l 与圆 x2＋y2 6 ＝7 相交于 A、B 两点． (1)求弦长|AB|； (2)求 A、B 两点坐标．
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[例1]
已知直线l的方程为3x－4y＋1＝0，点P(1,1)在
直线l上，写出直线l的参数方程，并求点P到点M(5,4)的距 离． [思路点拨] 由直线参数方程的概念，先求其斜率，进
2.2 直线的参数方程 课件 (北师大选修4-4)
(*)
由韦达定理得：1 x2 1，x1 x2 1 x
AB 1 k 2 ( x1 x 2 ) 2 4 x1 x 2 2 5 10
3 5 3 5 1 5 1 5 y1 ，y2 由(*)解得：x1 ，x 2 2 2 2 2 1 5 3 5 1 5 3 5 记直线与抛物线的交点 A( 坐标 , )，B( , ) 2 2 2 2
x x0 t cos （t为参数） y y0 t sin
问题：已知一条直线过点M 0(x0 ,y0 )，倾斜角， 求这条直线的方程. 解: 在直线上任取一点M(x,y),则
x
x 3 t sin 200 （）直线 1 （t为参数）的倾斜角是（ ） B 0 y t cos 20 A.200 B .700 C .1100 D.1600
一、课题引入
我们学过的直线的普通方程都有哪些? 点斜式: y y0 k ( x x0 )
y y1 x x1 两点式: y2 y1 x2 x1
y kx b
x y 1 a b
一般式: Ax By C 0
y2 y1 k x2 x1
tan
二、新课讲授
问题：已知一条直线过点M 0(x0 ,y0 )，倾斜角， 求这条直线的方程. 解: 直线的普通方程为y y0 tan ( x x0 ) sin 要注意: 把它变成y y0 ( x x0 ) x 0, y0 都是常 cos y y0 x x0 进一步整理，得： 数,t才是参 sin cos 数 y y0 x x0 t 令该比例式的比值为t ,即 sin cos x=x0 t cos 整理，得到 (t是参数） y y0 t sin
直线的参数方程 课件
当 θ＝π2时，|AB|min＝ 2，当 θ＝0 时，|AB|max＝2 2.
(2)∵t1t2＝－cos2θ＋12sin2θ＜0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴y1＝t1sin θ，y2＝t2sin θ，S△AOB＝12|OF|·(|y1|＋|y2|)＝12×1·|t1－t2|·sin θ＝1＋2ssiinn2θθ＝
【例题 1】 (1)化直线 l1：x＋ 3y－1＝0 的方程为标准形式的参数方程(参数为 t)，
并说明 t 和t的几何意义；
(2)化直线 l2的参数方程xy＝＝－1＋3＋3tt， (t 为参数)为普通方程，并说明t的几何意义．
• 思维导引：求直线的参数方程首先确定定点， 再确定倾斜角．化参数方程为普通方程关键 在于消参．
解析：(1)令
y＝0，得
x＝1，所以直线
l1
过定点(1,0)，斜率
k＝－
1 ＝－ 3
33，设倾
斜角为 α，tan α＝－ 33，α＝56π，∴cos α＝－ 23，sin α＝12.所以 l1 的参数方程为
x＝1－ 23t， y＝12t
(t 为参数)．t 是直线 l1 上定点 M0(1,0)到直线上任意一点 M(x，y)的有
(2)∵P 在 C1 上，将xy＝＝－3＋1＋tsintcαo.s α， 代入方程 x2＋y2－2x－2y＝0 得 t2－4(cos α
－sin α)t＋6＝0， 设点 B，D 对应的参数分别为 t1，t2. 则|PB|＝|t1|，|PD|＝|t2|，又 t1t2＝6，∴|PB|·|PD|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝6.
α，
(t 为参数，0≤α≤π)，
以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为ρ＝
(2)∵t1t2＝－cos2θ＋12sin2θ＜0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴y1＝t1sin θ，y2＝t2sin θ，S△AOB＝12|OF|·(|y1|＋|y2|)＝12×1·|t1－t2|·sin θ＝1＋2ssiinn2θθ＝
【例题 1】 (1)化直线 l1：x＋ 3y－1＝0 的方程为标准形式的参数方程(参数为 t)，
并说明 t 和t的几何意义；
(2)化直线 l2的参数方程xy＝＝－1＋3＋3tt， (t 为参数)为普通方程，并说明t的几何意义．
• 思维导引：求直线的参数方程首先确定定点， 再确定倾斜角．化参数方程为普通方程关键 在于消参．
解析：(1)令
y＝0，得
x＝1，所以直线
l1
过定点(1,0)，斜率
k＝－
1 ＝－ 3
33，设倾
斜角为 α，tan α＝－ 33，α＝56π，∴cos α＝－ 23，sin α＝12.所以 l1 的参数方程为
x＝1－ 23t， y＝12t
(t 为参数)．t 是直线 l1 上定点 M0(1,0)到直线上任意一点 M(x，y)的有
(2)∵P 在 C1 上，将xy＝＝－3＋1＋tsintcαo.s α， 代入方程 x2＋y2－2x－2y＝0 得 t2－4(cos α
－sin α)t＋6＝0， 设点 B，D 对应的参数分别为 t1，t2. 则|PB|＝|t1|，|PD|＝|t2|，又 t1t2＝6，∴|PB|·|PD|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝6.
α，
(t 为参数，0≤α≤π)，
以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为ρ＝
高中数学《参数方程-直线的参数方程》课件
§2 直线和圆锥曲线的参数方程
-1-
2.1
直线的参数方程
-2-
首 页
课程目标
1.掌握直线参数方程的标准形
式,理解参数 t 的几何意义.
2.能依据直线的几何性质,写出
它的两种形式的参数方程,体会
参数的几何意义.
3.能利用直线的参数方程解决
简单的实际问题.
学习脉络
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
3π
4
3π
= -1 + cos ,
4
3π (t
= 2 + sin
4
解:因为 l 过定点 M,且 l 的倾斜角为 ,
所以它的参数方程是
即
2
t,
2
(t
2
+ t
2
= -1=2
为参数).
为参数).①
把①代入抛物线方程,得 t2+ 2t-2=0.
解得 t1=
- 2+ 10
- 2- 10
,t2=
5
= 1 + t,
=
为参数).
因为 3×5-4×4+1=0,所以点 M 在直线 l 上.
4
5
由 1+ t=5,得 t=5,即点 P 到点 M 的距离为 5.
因为 3×(-2)-4×6+1≠0,所以点 N 不在直线 l 上.
由两点间距离公式得|PN|= (1 + 2)2 + (1-6)2 = 34.
π
6
即 α= 或
5π
3
时,|PA||PB|最小,其最小值为
1
6
2 1+4
6
-1-
2.1
直线的参数方程
-2-
首 页
课程目标
1.掌握直线参数方程的标准形
式,理解参数 t 的几何意义.
2.能依据直线的几何性质,写出
它的两种形式的参数方程,体会
参数的几何意义.
3.能利用直线的参数方程解决
简单的实际问题.
学习脉络
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
3π
4
3π
= -1 + cos ,
4
3π (t
= 2 + sin
4
解:因为 l 过定点 M,且 l 的倾斜角为 ,
所以它的参数方程是
即
2
t,
2
(t
2
+ t
2
= -1=2
为参数).
为参数).①
把①代入抛物线方程,得 t2+ 2t-2=0.
解得 t1=
- 2+ 10
- 2- 10
,t2=
5
= 1 + t,
=
为参数).
因为 3×5-4×4+1=0,所以点 M 在直线 l 上.
4
5
由 1+ t=5,得 t=5,即点 P 到点 M 的距离为 5.
因为 3×(-2)-4×6+1≠0,所以点 N 不在直线 l 上.
由两点间距离公式得|PN|= (1 + 2)2 + (1-6)2 = 34.
π
6
即 α= 或
5π
3
时,|PA||PB|最小,其最小值为
1
6
2 1+4
6
2.3 直线的参数方程 课件(人教A选修4-4)
(1)写出直线 l 的参数方程． (2)设 l 与圆 x2＋y2＝4 相交于两点 A、B，求点 P 到 A、 B 两点的距离之积． [思路点拨] (1)由直线参数方程的概念可直接写出方
程；(2)充分利用参数几何意义求解．
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[解]
π (1)∵直线 l 过点 P(1,1)，倾斜角为 ， 6
π x＝1＋tcos6 ， ∴直线的参数方程为 y＝1＋tsinπ， 6 3 x＝1＋ 2 t， 即 y＝1＋1t 2
为所求．
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(2)因为点 A，B 都在直线 l 上，所以可设它们对应的参 数为 t1 和 t2，则点 A，B 的坐标分别为 3 1 3 1 A(1＋ t1,1＋ t1)，B(1＋ t2,1＋ t2)， 2 2 2 2 以直线 l 的参数方程代入圆的方程 x2＋y2＝4 整理得到 t2 ＋( 3＋1)t－2＝0， 因为 t1 和 t2 是方程①的解，从而 t1t2＝－2. 所以|PA|· |PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2. ①
所以直线被椭圆所截得的弦长为
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π 解：∵直线 l 通过 P0(－4,0)，倾斜角 α＝ ， 6 3 x＝－4＋ 2 t， ∴可设直线 l 的参数方程为 y＝ t . 2 3 2 1 2 代入圆方程，得(－4＋ t)t＋9＝0. 设 A、B 对应的参数分别 t1 和 t2， 由韦达定理得 t1＋t2＝4 3，t1t2＝9 ∴|AB|＝|t2－t1|＝ t1＋t22－4t1t2＝2 3. 解得 t1＝3 3，t2＝ 3，代入直线参数方程 3 x＝－4＋ 2 t， y＝1t， 2 1 3 3 5 3 得 A 点坐标( ， )，B 点坐标(－ ， )． 2 2 2 2
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2.3 直线的参数方程 课件(人教A选修4-4)
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x2 2 4．求经过点(1,1)，倾斜角为 120° 的直线截椭圆 ＋y ＝1 所 4 得的弦长．
解：由直线经过点(1,1)，倾斜角为 120° ，可得直线的 1 x＝1－2t， 参数方程为 y＝1＋ 3t 2
(t 为参数)，代入椭圆的方
1 2 1－ t 2 3 2 程，得 ＋(1＋ t) ＝1， 4 2
所以直线被椭圆所截得的弦长为
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理解并掌握直线参数方程的转化，弄清参数t的 几何意义，即直线上动点M到定点M0的距离等于参 数t的绝对值是解决此类问题的关键．
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π 1．一直线过 P0(3,4)，倾斜角 α＝ ，求此直线与直线 3x＋ 4 2y＝6 的交点 M 与 P0 之间的距离．
x＝3＋ 解：设直线的参数方程为 y＝4＋ 2 2 得 3(3＋ t)＋2(4＋ t)＝6. 2 2 11 2 解得 t＝－ ， 5 ∴|MP0|＝|t|＝ 11 2 . 5 2 t， 2 2 t， 2
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整理，得 13t2＋4(4 3－1)t＋4＝0. 设方程的两实根分别为 t1，t2， 41－4 3 4 则 t1＋t2＝ ，t1t2＝ . 13 13 |t1－t2|＝ t1＋t22－4t1t2＝ 42 42 2 21－4 3 － 13 13
4 4 2 ＝ 1－4 3 －13＝ 49－2 3 13 13 ＝ 8 9－2 3 . 13 8 9－2 3 . 13
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[例1]
已知直线l的方程为3x－4y＋1＝0，点P(1,1)在
直线l上，写出直线l的参数方程，并求点P到点M(5,4)的距 离． [思路点拨] 由直线参数方程的概念，先求其斜率，进
而由斜率求出倾斜角的正、余弦值，从而得到直线参数方
参数方程直线的参数方程ppt
设定参数方程
对于直线，可以设定参数方程为 `x = tcosθ + ysinθ`，其中θ 为直线的倾斜角。
绘制直线
通过MATLAB的plot函数，将参数方程带入，即可绘制出直 线。
MATLAB实现两直线的交点求解
设定两直线参数方程
对于两条直线，可以设定各自的参数方程为 `x = tcosθ1 + ysinθ1` 和 `x = tcosθ2 + ysinθ2`，其中θ1和θ2分别为两条直线的倾 斜角。
06
总结与展望
总结本文主要贡献
详细阐述了直线参数方程的求解方法和步骤 ，并给出了具体的计算示例。
对直线参数方程在不同领域中的实际应用进 行了分析和探讨，并给出了相应的案例分析
。
引入了直线参数方程的概念和应用场景介绍 。
讨论了直线参数方程在计算机图形学、机器 人学等领域中的应用和实现。
展望未来研究方向
利用参数方程求解直线的长度
总结词
利用参数方程求解直线的长度，可以将其转化为求解 两点间距离的问题，通过代入参数方程计算得到直线 长度。
详细描述
已知直线的一般式方程为Ax+By+C=0，其中A和B不 全为0。设该直线上任意两点的坐标分别为(x1,y1)和 (x2,y2)，将其代入直线方程，得到两个等式 {(x1)A+(y1)B+C=0和(x2)A+(y2)B+C=0}。通过减法 运算，得到(x1-x2)A+(y1-y2)B=0，并将其变形为 B{(y1-y2)/(x1-x2)=-A}
03
利用参数方程求解直线相关问题
利用参数方程求解两直线的交点
总结词
利用参数方程求解两直线的交点，可以将其转化为联立 直线方程组的问题，通过消元得到方程组的解，从而得 到两直线的交点坐标。
对于直线，可以设定参数方程为 `x = tcosθ + ysinθ`，其中θ 为直线的倾斜角。
绘制直线
通过MATLAB的plot函数，将参数方程带入，即可绘制出直 线。
MATLAB实现两直线的交点求解
设定两直线参数方程
对于两条直线，可以设定各自的参数方程为 `x = tcosθ1 + ysinθ1` 和 `x = tcosθ2 + ysinθ2`，其中θ1和θ2分别为两条直线的倾 斜角。
06
总结与展望
总结本文主要贡献
详细阐述了直线参数方程的求解方法和步骤 ，并给出了具体的计算示例。
对直线参数方程在不同领域中的实际应用进 行了分析和探讨，并给出了相应的案例分析
。
引入了直线参数方程的概念和应用场景介绍 。
讨论了直线参数方程在计算机图形学、机器 人学等领域中的应用和实现。
展望未来研究方向
利用参数方程求解直线的长度
总结词
利用参数方程求解直线的长度，可以将其转化为求解 两点间距离的问题，通过代入参数方程计算得到直线 长度。
详细描述
已知直线的一般式方程为Ax+By+C=0，其中A和B不 全为0。设该直线上任意两点的坐标分别为(x1,y1)和 (x2,y2)，将其代入直线方程，得到两个等式 {(x1)A+(y1)B+C=0和(x2)A+(y2)B+C=0}。通过减法 运算，得到(x1-x2)A+(y1-y2)B=0，并将其变形为 B{(y1-y2)/(x1-x2)=-A}
03
利用参数方程求解直线相关问题
利用参数方程求解两直线的交点
总结词
利用参数方程求解两直线的交点，可以将其转化为联立 直线方程组的问题，通过消元得到方程组的解，从而得 到两直线的交点坐标。
2.3 直线的参数方程 课件(人教A选修4-4)
(1)写出直线 l 的参数方程． (2)设 l 与圆 x2＋y2＝4 相交于两点 A、B，求点 P 到 A、 B 两点的距离之积． [思路点拨] (1)由直线参数方程的概念可直接写出方
程；(2)充分利用参数几何意义求解．
返回
[解]
π (1)∵直线 l 过点 P(1,1)，倾斜角为 ， 6
π x＝1＋tcos6 ， ∴直线的参数方程为 y＝1＋tsinπ， 6 3 x＝1＋ 2 t， 即 y＝1＋1t 2
为所求．
返回
(2)因为点 A，B 都在直线 l 上，所以可设它们对应的参 数为 t1 和 t2，则点 A，B 的坐标分别为 3 1 3 1 A(1＋ t1,1＋ t1)，B(1＋ t2,1＋ t2)， 2 2 2 2 以直线 l 的参数方程代入圆的方程 x2＋y2＝4 整理得到 t2 ＋( 3＋1)t－2＝0， 因为 t1 和 t2 是方程①的解，从而 t1t2＝－2. 所以|PA|· |PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2. ①
返回
求解直线与圆或圆锥曲线有关的弦长时，不必求
出交点坐标，根据直线参数方程中参数t的几何意义 即可求得结果，与常规方法相比较，较为简4,0)，倾斜角 α＝ ，l 与圆 x2＋y2 6 ＝7 相交于 A、B 两点． (1)求弦长|AB|； (2)求 A、B 两点坐标．
在 α∈[0，π)内无解；
返回
3 x＝－1＋－ 2 －2t， 而化成 y＝2＋1－2t 2 3 cos α＝－ 2 ， 则 sin α＝1 2 5π 得 α＝ . 6
时，
5π 故直线 l 的倾斜角为 . 6
返回
[例 2]
π 已知直线 l 经过点 P(1,1)，倾斜角 α＝ ， 6
2.3 直线的参数方程 课件(人教A选修4-4)
返回
返回
1．直线的参数方程 (1)过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数为 x＝x ＋tcos α 0 (t 为参数) y＝y0＋tsin α (2)由 α 为直线的倾斜角知 α∈[0，π) 时，sin α≥0.
返回
2．直线参数方程中参数t的几何意义 参数t的绝对值表 示参数t所对应的点M到定点M0的距离 ． (1)当M0M―→与e(直线的单位方向向量)同向时，t取 正数 ． (2)当M0M―→与e反向时，t取 负数 ，当M与M0重合时， t＝ . 0
(1)写出直线 l 的参数方程． (2)设 l 与圆 x2＋y2＝4 相交于两点 A、B，求点 P 到 A、 B 两点的距离之积． [思路点拨] (1)由直线参数方程的概念可直接写出方
程；(2)充分利用参数几何意义求解．
返回
[解]
π (1)∵直线 l 过点 P(1,1)，倾斜角为 ， 6
π x＝1＋tcos6 ， ∴直线的参数方程为 y＝1＋tsinπ， 6 3 x＝1＋ 2 t， 即 y＝1＋1t 2
返回
理解并掌握直线参数方程的转化，弄清参数t的 几何意义，即直线上动点M到定点M0的距离等于参 数t的绝对值是解决此类问题的关键．
返回
π 1．一直线过 P0(3,4)，倾斜角 α＝ ，求此直线与直线 3x＋ 4 2y＝6 的交点 M 与 P0 之间的距离．
x＝3＋ 解：设直线的参数方程为 y＝4＋ 2 2 得 3(3＋ t)＋2(4＋ t)＝6. 2 2 11 2 解得 t＝－ ， 5 ∴|MP0|＝|t|＝ 11 2 . 5 2 t， 2 2 t， 2
返回
返回
[例1]
已知直线l的方程为3x－4y＋1＝0，点P(1,1)在
返回
1．直线的参数方程 (1)过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数为 x＝x ＋tcos α 0 (t 为参数) y＝y0＋tsin α (2)由 α 为直线的倾斜角知 α∈[0，π) 时，sin α≥0.
返回
2．直线参数方程中参数t的几何意义 参数t的绝对值表 示参数t所对应的点M到定点M0的距离 ． (1)当M0M―→与e(直线的单位方向向量)同向时，t取 正数 ． (2)当M0M―→与e反向时，t取 负数 ，当M与M0重合时， t＝ . 0
(1)写出直线 l 的参数方程． (2)设 l 与圆 x2＋y2＝4 相交于两点 A、B，求点 P 到 A、 B 两点的距离之积． [思路点拨] (1)由直线参数方程的概念可直接写出方
程；(2)充分利用参数几何意义求解．
返回
[解]
π (1)∵直线 l 过点 P(1,1)，倾斜角为 ， 6
π x＝1＋tcos6 ， ∴直线的参数方程为 y＝1＋tsinπ， 6 3 x＝1＋ 2 t， 即 y＝1＋1t 2
返回
理解并掌握直线参数方程的转化，弄清参数t的 几何意义，即直线上动点M到定点M0的距离等于参 数t的绝对值是解决此类问题的关键．
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π 1．一直线过 P0(3,4)，倾斜角 α＝ ，求此直线与直线 3x＋ 4 2y＝6 的交点 M 与 P0 之间的距离．
x＝3＋ 解：设直线的参数方程为 y＝4＋ 2 2 得 3(3＋ t)＋2(4＋ t)＝6. 2 2 11 2 解得 t＝－ ， 5 ∴|MP0|＝|t|＝ 11 2 . 5 2 t， 2 2 t， 2
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[例1]
已知直线l的方程为3x－4y＋1＝0，点P(1,1)在
第2讲3直线的参数方程课件人教新课标
应将t＝0，t＝1分别代入方程得到两点坐标(2，－1)和(5,0)，由两点间距
离公式来求出距离，
即 2－52＋－1－02＝ 10.
12345
解析 答案
2.直线
x＝－3＋tcos y＝2＋tsin α
α，(t为参数，α＝Fra bibliotekπ 6
)不经过
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
√D.第四象限
12345
答案
3.若直线 l1：yx＝＝21＋－2ktt， (t 为参数)与直线 l2：xy＝＝s1，－2s (s 为参数)垂直， 则 k＝_－__1_. 解析 由－2k·(－2)＝－1，得 k＝－1.
解答
类型三 直线参数方程的综合应用
x＝－4＋ 22t，
例4
已知曲线
C1：y＝
2 2t
(t 为参数)，C2：xy＝ ＝－1＋2＋ sincθos θ，
(θ 为参数).
(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
解答
(2)若曲线C1和C2相交于A，B两点，求|AB|.
解答
引申探究 1.若点P(－4,0)是曲线C1上的定点，本例其它条件不变，求|PA|＋|PB| 的值.
解答
2.在探究 1 条件不变的情况下，求|P1A|＋|P1B|的值.
解 由探究 1 知，t1＋t2＝3 2，t1·t2＝4，
所以|PA|＋|PB|＝|t1＋t2|＝3 2，
|PA|·|PB|＝|t1t2|＝4.
所以|P1A|＋|P1B|＝|P|PAA|＋|·|P|PBB| |＝3
4
2 .
解答
反思与感悟 (1)参数方程中一个确定的参数值对应着曲线上一个确定的 点，由参数方程求曲线交点坐标时，可以通过方程组求出参数值，再根 据参数值得出交点坐标. (2)解题时如果涉及求直线被曲线截得的线段的长度或者直线上的点与曲 线交点之间线段长度的和、乘积等，都可以利用直线参数方程中参数的 几何意义加以解决.
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O
x
x x0 t cos, y y0 t sin
即，x x0 t cos, y y0 t sin
3
直线的参数方程(标准式）
直
线
的
参
数
方
程xy
x0 y0
t t
cos sin
(t为
参
数)
思考：
（1）直线的参数方程中哪些是常量？哪些是变量？ （2）参数t的取值范围是什么？ （3）该参数方程形式上有什么特点？
2
2
2
2
3 5 3 5 4 2
8
（1）如何写出直线l的参数方程？
（2）如何求出交点A，B所对应的参数t1，t2 ?
（3）
AB、MA
MB
与t1，t
有什么关系？
2
9
10
···· y
B A M（x，y）
M0（x0，y0）
x
y
x0 y0
t cos t sin
(t是参数）
O
x
•t表示有向线段M0P的数量。|t|=| M0M|
4
（1）
直
线
x y
3 t sin20（0 t为 t cos 200
参
数
）
的
倾
斜
角
是
（B）
A.200 B.700 C .1100 D.1600
（2） 直 线x
y
1
x 1
0的
一
个
参
数
方
程
是
y
2 2
2
t
Hale Waihona Puke 2 （t为参数）t。
5
uuuuuur r 由M0M te, 你能得到直线l的参数方程中
•t只有在标准式中才有上述几何意义
设A,B为直线上任意两点，它们所对应的参 数值分别为t1,t2.
（1）|AB|＝t1 t2
（2）M是AB的中点，求M对应的参
t1 t2 2 11
小结:
1.直线参数方程的标准式
x=x0
y
y0
t cos t sin
(t是参数）
|t|=|M0M|
2.参数直线方程的应用
参数t的几何意义吗？
uuuuuur r uuuuuur r
解: Q M0M te M0M te
r
r
y
又Q e是单位向量， e 1
M
uuuuuur r M0M t e t
所以,直线参数方程中参 数t的绝对值等于直线上 动点M到定点M0的距离.
M0
r e
O
x
|t|=|M0M|
6
uuuuuur r Q M0M te
直线的参数方程
1
课题引入
1. 在平面直角坐标系中，确定一条直线的几 何条件是什么？
一个定点和倾斜角可惟一确定一条直线
3. 根据直线的这个几何条件，你认为应当怎 样选择参数？
直线的参数方程 的推导
2
问题：已知一条直线过点M0(x0,y0 )，倾斜角，
在直线上任取一点M(x,y),则
uuuuuur
M
求（线段）弦长
12
作业：
书面作业：习题2.3 第1题
课后思考：结合课本第26页习题第2题，思考：直线的 参数方程唯一吗？和本节课所学的参数方程
x=x0
y
y0
t cos t sin
(t是参数）
对比要注意什么？参数t的意义还一样吗？
13
AB 1 k2 ( x1 x2 )2 4x1 x2 2 5 10
由(*)解得：x1
1 2
5 ，x2
1 2
5
y1
3 2
5 ，y2
3 2
5
记直线与抛物线的交点坐标A( 1 5 , 3 5 )，B( 1 5 , 3 5 )
2
2
2
2
则 MA MB (1 1 5 )2 (2 3 5 )2 (1 1 5 )2 (2 3 5 )2
此时,若t>0,则 M0M 的方向向上;
若t<0,则 M0M 的点方向向下; 若t=0,则M与点M0重合.
y M(x,y)
r M0(x0,y0) e
O
x
7
解
：
由
x y
y x2
1
如0 果得在：x学2 习x 直1 线0 的参(数*) 方程之前,你会怎样
由韦达求定解理得本：题x1呢 x？2 1，x1 x2 1
0
M
r
（x,
y)
(
x0
y0
)
(x x0, y
y0 )
设re是直线l的单位方向向量，则
e (cos,sin )
y
M(x,y)
er(cos , sin )
uuuuuur r
因为uuuMuuu0rM
// e,所以存在实数t r
R,
使M0M te,即
M0(x0,y0)
(x x0, y y0) t(cos,sin)