数字匹配滤波器的设计

数字信号课外作业
数字匹配滤波器的设计
在数字通信系统中，最常用的准则是最大输出信噪比准则，在此准则下获得的最佳线性滤波器叫做匹配滤波器
1.匹配滤波器原理
在通信系统中，若接收机输入信噪比相同，所设计的接收机的输出信噪比最大，则能够最佳地判决出有用信号，从而可以得到系统最小误码率，这就是最大输出信噪比准则。

在数字通信系统里，可在接收机内采用一种线性滤波器，当加噪信号通过它时，使其中有用信号加强并使噪声衰减，并在采样时刻使输出信号的瞬时功率与噪声平均功率之比达到最大，这种线性滤波器称为匹配滤波器。

设接收滤波器的传输函数为H(w)，滤波器输入为 r(t)=s(t)+n(t) ⑴
式中，s(t)为输入有用信号，其频谱为S(w);n(t)为高斯白噪声。

由于线性滤波器满足叠加原理，因此滤波器输出为
y(t)=s0(t)+n0(t) ⑵式中，s0(t)和n0(t)分别为s(t)和n(t)单独通过此滤波器的输出。

由线性系统最大响应原理，设K为常数，可以导出当接收滤波器满足
H R(ω)= K S＊(ω)e−jωt0⑶
时，滤波器输出信噪比最大。

即当一个线性相位滤波器传输函数等于输入信号频谱复共轭时，称为匹配滤波器。

2.匹配滤波器设计
由无码间干扰（奈奎斯特准则）和最佳接收机原理可以导出，在理想信道的数字通信系统中，若接收和发送滤波器传输函数分别为H R (f)和H T (f)，而且有
S(f)=H R (f)H T (f) ⑷ 时，则系统无码间干扰，并可实现最佳接收。

在实用中，发送端输入信号频谱常用升余弦函数 S(f)=
{
T, 0≤|ω|≤(1−a)/2T T 2
｛1+cos[
π T a
(|f|−
1−a 2T
)]｝
1−a 2T
< |f| ≤
1+a
2T
0, |f| >
1+a 2T
⑸
式中，T 为脉冲间隔，0< a ≤1为频谱滚降系数，ω=2πf
图为按⑷和（5)式设计并用MATLAB 程序实现频率特性为HR(f)和HT(f)的滤波器，其中HR(f)是HT(f)的匹配滤波器。

解：设计符合题意的数字滤波器的最简便方法是采用线性相位FIR 滤波器，其幅度特性为
|H R (f)|=|H T (f)|=√S (f ) ⑹
式中，S(f)由（5）式给出。

设hR(f)为滤波器单位脉冲响应，N 为奇数是滤波器阶数，按频率响应与脉冲响应的关系有
H R (f)=∑h(n)(N−1)/2
n=−(N−1)/2e −j2π fnTS ⑺
式中，TS 为采样间隔，按采样定理，采样频率至少为 fs=2×1/T,为了保证一定的过渡带，选择
fs=1/Ts=4*1/T ⑻
因此，频谱重叠频率为fs/2=2/T ，所以可在△f=fs
N =4
NT 为间隔的
等间隔频率点上对S(f ）进行采样，因此可得
H R (m △f)=√S (m △f )=∑
h (n )N−12
n=−
(N−1)2
e
−j2π
mn N
⑼
按照时频关系，hR(n)亦可表达为
H R (n)= ∑
√S(
4m NT
)N−12
n=−
(N−1)2
e
−j2π
mn N
⑽
由于，滤波器为线性相位，要求滤波器单位脉冲响应h R (n)采用（N-1)/2个采样延迟，以保证h R (n)的对称性。

设N=31，a=1//4，满足题意的匹配滤波器实现程序如下 clear all; close all; N=31; T=1; alpha=1/4;
n=-(N-1)/2:1:(N-1)/2; %h_R 的表达式可由下段获得 for i=1:length(n); h_R(i)=0;
for m=-(N-1)/2:1:(N-1)/2;
h_R(i)=h_R(i)+sqrt(S(4*m/(N*T),alpha,T)*exp(j*2*pi*m*(n(i)) /N);
end;
end;
n2=0:N-1;
%求得滤波器频率特性
[H_R,W]=freqz(h_R,1);
%转换为归一化幅度频率特性
magH_R_in_dB=20*log10(abs(H_R)/max(abs(H_R)));
%求得包括收发端滤波器的系统脉冲响应
H_T=H_R;
imp_resp_of_cascade=conv(H_R,H_T);
n3=0:length(imp_resp_of_cascade)-1;
%h_R绘图
figure(1)
stem(n2,h_R);
%频率特性绘图
figure(2)
plot(W/max(W)/2,magH_R_in_dB);
%系统脉冲响应绘图
figure(3)
stem(n3,imp_resp_of_cascade);
%升余弦频谱子程序S.m
function[y]=S(f,alpha,T);
if(abs(f)>((1-alpha)/(2*T)))
y=0;
elseif(abs(f)>((1-alpha)/(2*T)))
y=(T/2)*(1+cos((pi*T/alpha)*(abs(f)-(1-alpha)/(2*T))));
else
y=T;
end;
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。