川大偏微分方程引言
偏微分方程：一门揭示宇宙奥秘、改变世界面貌的科学
偏微分方程：一门揭示宇宙奥秘、改变世界面貌的科学偏微分方程这门数学学科，对于广大中学生来说，恐怕是完全陌生的，难免会感到高不可攀；至于说它是一门揭示宇宙奥秘、改变世界面貌的科学，恐怕更显得匪夷所思了。
尽管如此，这篇短文仍希望能对此做一个简单的说明和介绍。
1.什么是偏微分方程？中学里的数学，已讲过函数，并涉及到一点简单的微积分。
说是自变量的一个函数，记为，是指当自变量在一给定的范围中变动时，函数的值也按一定的规则相应地变动。
例如，以匀速运动的物体，其位移是时间的一次函数：, 而自由落体的位移则是时间的二次函数：（其中为重力加速度），等等。
函数的变化率，表示函数值随着自变量变化的速率，则用其对的导数来表示。
在匀速运动的情形，位移对时间的导数就是速度；而在自由落体运动的情形，位移对时间的导数是 ,它也是一个的函数。
上面这些函数都只有一个自变量，统称为一元函数，是比较简单的情形。
在众多的实际应用中，一个函数所依赖的自变量往往不止一个。
例如，一个矩形的面积等于其长与宽的乘积，即。
当或变动时，的值都要相应的变化，就是及的一个二元函数。
当自变量的个数更多时，类似地有多元函数。
对一个多元函数，可以相应地考虑其对某个自变量的变化率，即当其他自变量暂时固定时、该函数对此自变量的变化率，称为该函数对此自变量的偏导数(在经济学中,称之为边际效益!),它一般也是已有一切自变量的函数。
例如，矩形的面积对其长的偏导数，记为，其值为；而对其宽的偏导数，则记为，其值为。
对于一个多元函数而言，不仅可以有一阶的偏导数及，而且由于一阶偏导数仍是一个多元函数，还可以继续求偏导数，从而还有二阶的偏导数，及，等等。
由于多元函数在应用中的重要性，对其研究必然会引起极大的重视。
这比研究一元函数要困难得多，对数学也提出了新的发展机遇与挑战。
在一元函数的情形，如果在决定未知函数的方程中包括其某些导数，则称其为常微分方程。
求解相应的常微分方程得到其解，即得到所求的未知函数，已经对解决很多应用问题带来了极大的推动与帮助。
《偏微分方程》课程教学大纲
《偏微分方程》课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：16002102课程名称：偏微分方程英文名称：Partial Differential Equations课程类别：专业课学时：32学分： 2适用对象: 数学与应用数学、信息与计算科学考核方式：考查先修课程：数学分析、常微分方程、高等代数二、课程简介偏微分方程是以建立数学模型、进行理论分析和解释客观现象并进而解决实际问题为内容的一门数学分支学科，是现代数学的一个重要分支。
它在微分几何、物理学、计算数学和计算机图形学、金融数学等学科中都有许多重要应用。
本课程主要内容包括：偏微分方程的基本概念，二阶方程的特征理论和分类，分离变量法，双曲型、抛物型及椭圆型方程的求解方法及基本理论。
通过本课程的学习使学生初步认识如何从实际问题出发建立微分方程模型，培养学生分析问题和解决某些实际问题的能力，为日后的学习和工作打下坚实的基础，提供强有力的工具。
Partial differential equation is a branch of mathematics that establishes mathematical models, analyzes and interprets objective phenomena and then solves practical problems, is an important branch of modern mathematics. It also has many important applications in differential geometry, physics, computational mathematics and computer graphics, financial mathematics and other disciplines. The main contents of this course include: the basic concept of partial differential equation, the characteristic theory and classification of the second order equations, the method of separation of variables, the methods of solving hyperbolic，parabolic and elliptic equations and the basic theory of them. Through learning of this course makes students to know how to establish a differential equation model starting from the practical problems, to cultivate students' ability to analyze problems and solve some practical problems, lay a solid foundation for future study and work and provide a powerful tool.三、课程性质与教学目的课程性质：专业选修教学目的：偏微分方程是数学专业的一门重要专业课程。
2偏微分方程数值解法引论精品PPT课件
u , y
u1
, u2
T
u
x x x
则方程组（2）可表示为
u
A
u
h
0
y x
（2）多维一阶方程组方程组
见8页
同理
u1
y
a1
u1 x
h1
0
u
p
y
ap
u p x
hp
0
（3）
可表示为
u
A
u
h
0
y x
（4）
其中
u1 y
,,
u p y
T
u , y
h1,, hp T h
n
考虑两个自变量的二阶偏微分方程
2u
2u 2u u u
a x2
2b xy
c
y 2
d
x
e y
fu
g
线性: a,b,c,d ,e, f , g 是x,y的二元函数;
拟线性:
a, b, c, d , e,
f
,
g
是
x,
y, u,
u x
,
u y
的函数;
对于二阶线性偏微分方程
2u
2u 2u u u
a x2
ui xk
1
p xi
ui ,
i 1, 2,（3 动量守恒）
3
uk
k1 xk
（0 质量守恒）
其中，u (u1, u2 , u3 )表示速度， 表示粘滞系数
（二）定解问题
1.
定解条件
边界条件 初始条件
2.定解问题 方程 定解条件
初值问题（Cauchy问题） 定解问题 边值问题（Drichlet / Numann / Robin）
川大17春《偏微分方程(理)(I)》17春在线作业1
川大17春《偏微分方程(理)(I)》17春在
线作业1
作业题目
本次在线作业的题目是《偏微分方程(理)(I)》第一次作业。
作业要求
本次作业要求完成以下任务：
1. 计算给定偏微分方程的特解；
2. 证明特定偏微分方程的解满足一定的条件。
解答过程
1. 计算给定偏微分方程的特解
首先，给出了一个偏微分方程，并要求计算出其特解。
为了解决这个问题，我们可以使用以下步骤：
1. 推导出偏微分方程的通解；
2. 根据给定的边界条件和初始条件，确定特解。
2. 证明特定偏微分方程的解满足一定的条件
其次，要求我们证明一个特定的偏微分方程的解满足一定的条件。
为了完成这个证明，我们可以按照以下步骤进行：
1. 根据给定的偏微分方程，推导出解的一般形式；
2. 使用解的一般形式验证给定的条件是否成立。
总结
本次作业涉及到计算偏微分方程的特解和证明解满足特定条件。
通过使用推导和验证的方法，我们可以完成这些任务。
请按照要求
完成作业，并在规定时间内提交。
以上是针对《偏微分方程(理)(I)》在线作业1的文档。
如有任
何疑问或需要进一步的解释，请随时联系我。
谢谢！。
数学学中的偏微分方程理论研究
数学学中的偏微分方程理论研究第一章引言数学学中的偏微分方程理论研究是数学领域的一个重要分支。
它涉及到了数学中的多个方面，如实数、复数理论、微积分学、概率论，统计学等等。
因此，它深刻地影响了数学学科的发展，并成为许多科学，工学和工程领域的基础原理。
在本文中，我将深入探讨偏微分方程理论研究中涉及的一些重要概念和技术。
第二章偏微分方程的定义和概述在数学中，“偏微分方程”描述了一个或多个未知函数的微分方程，这些未知函数与多个自变量（或称自变量）有关。
偏微分方程可以用于描述各种形式的自然现象和工程问题。
例如，波动，传输和量子现象等。
偏微分方程可以形式化地表示为：F(x1, x2, ..., xn, u, ∂u/∂x1, ∂u/∂x2, ..., ∂²u/∂x₁², ∂²u/∂x₂², ...,∂²u/∂x₁∂x₂, ..., ∂ⁿu/∂xnⁿ) = 0其中，u是未知函数，x1、x2、、、xn是自变量。
偏微分方程中还包含u的偏导数的各种组合，我们称其为偏微分项。
F是已知函数，我们称其为方程左边的函数。
解决偏微分方程的目标是找到函数u的表达式。
这个过程依赖于偏微分方程类型的具体形式，同时也需要其他辅助信息，例如初始条件和边界条件等。
第三章偏微分方程的类型偏微分方程被划分为许多不同类型，每种类型都具有其特殊性质和解决方法。
这里我将简单介绍偏微分方程的一些基本类型。
线性偏微分方程线性偏微分方程是指方程的所有偏导数项的系数都是线性的，即它们只有乘数关系。
非线性偏微分方程非线性偏微分方程是指方程的一个或多个偏导数项的系数是非线性的。
椭圆偏微分方程椭圆偏微分方程通常以二阶齐次形式出现，它们的解决方式需要使用解析或数值技术。
双曲线偏微分方程双曲线偏微分方程也是二阶偏微分方程，但是它们的部分导数的系数都有相反的符号。
抛物线偏微分方程抛物线偏微分方程通常以一阶或二阶偏导数的形式出现，是空间上的时间依赖型偏微分方程。
偏微分方程简介
偏微分方程简介偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDE）是描述自然界中许多现象的一个重要数学工具。
它涉及到物理、工程、经济、生物等领域的许多问题的建模与求解。
本文将对偏微分方程进行简要介绍。
一、偏微分方程的定义与分类偏微分方程是函数的偏导数与自变量之间的关系所构成的方程。
它可以分为几个主要的分类：1. 一阶偏微分方程：包含一阶偏导数的方程，如线性一阶偏微分方程和非线性一阶偏微分方程。
2. 二阶偏微分方程：包含二阶偏导数的方程，如椭圆型、抛物型和双曲型偏微分方程。
3. 高阶偏微分方程：包含更高阶偏导数的方程，如三阶、四阶甚至更高阶的偏微分方程。
二、偏微分方程的应用偏微分方程在各个领域中都有广泛的应用，下面以几个典型的应用为例进行介绍：1. 热传导方程：描述热传导现象，在工程领域中常用于热传导问题的建模与求解。
2. 波动方程：描述波动现象，如声波、光波等，广泛应用于声学、光学等领域。
3. 扩散方程：描述物质扩散现象，常用于描述化学反应、生物学扩散等问题。
4. 电磁场方程：描述电磁场分布，在电磁学领域中被广泛应用于电磁波传播、电磁感应等问题的研究。
三、偏微分方程的解法对于偏微分方程，求解其解析解往往是非常困难的。
因此，通常采用数值解法对其进行求解。
常见的数值方法包括：1. 有限差分法：将偏微分方程中的导数用差分代替，转化为代数方程组进行求解。
2. 有限元法：将区域分割成有限个小单元，通过对各个单元进行逼近，得到整个区域上的解。
3. 特征线法：通过沿特征线追踪，将偏微分方程转化为常微分方程进行求解。
四、总结偏微分方程作为一种重要的数学工具，广泛应用于各个领域中的问题建模与求解。
通过对偏微分方程的分类和应用进行了简要介绍，并介绍了常见的数值解法。
当然，这仅仅是对偏微分方程的简单概述，实际上，偏微分方程是一个复杂而庞大的研究领域，需要在数学、物理、计算机等多个学科的知识基础上深入研究，才能更好地理解和应用。
偏微分方程初步介绍
r x2 y2
u
u 3u
6. t 6u x x3 0
KDV方程
特解都不易找到
7. ut uux eu
拟线性PDE
8. vxvxx vy2vyy v2
拟线性PDE
9. a(x, y)(vxx vyy ) ev (vx vy ) 半线性PDE
10. ut ux sin u
11. ut 2 ux 2 u2
定义 ：
常微分方程（5）为PDE（1）的特征方程 （5）的积分曲线为PDE（1）的特征曲线。
a11(dy)2 2a12dxdy a22 (dx)2 0
dy a12 dx
a122 a11a22 a11
（6）
记 ( x, y) a122 a11a22
定义 方程(1)在点M处是
双曲型：若在点M处，有
三. 物理模型与定解问题的导出 • 弦振动方程
弦振动方程与定解问题
一长为L的柔软均匀细弦，拉紧后，当它 受到与平衡位置垂直的外力作用时，开始作微 小横振动。 假设这运动发生在同一平面内且 与方向垂直于平衡位置，求弦上各点位移随时 间变化规律。
弦上各点作往返运动的主要原因在于弦的张力作用，弦在运动过程中 各点的位移、加速度和张力都在不断变化，但它们遵循物理的运动规 律。由此可以建立弦上各点的位移函数所满足的微分方程。
非线性pde多元函数拉普拉斯laplace方程热传导方程波动方程pde定解条件初值条件边值条件初边值条件初值问题边值问题混合问题波动方程的初值问题一维第一边值问题dirichlet第二边值问题neumann第三边值问题robin热传导方程的初边值问题存在性唯一性连续依赖性稳定性适定性若pde在附加条件及求解域的一定要求下它的解在已知度量的某函数类中存在唯一而且关于附加条件为稳定的就称定解问题在相应的函弦振动方程弦振动方程与定解问题一长为l的柔软均匀细弦拉紧后当它受到与平衡位置垂直的外力作用时开始作微小横振动
偏微分方程 PDE-Ch1
(*)
在适当情况下, 方程中描述空间坐标的自变量数目可以减少. 例如当物体是各向同性的均匀细杆时, 如果它的侧面不产生热交 换(即绝热), 且在同一截面上温度的分布是相同的, 则温度函数u 仅与坐标x及时间t有关, 这时得到的就是一维热传导方程
ut a2uxx 0
21
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9
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《偏微分方程》第一章 绪论 第10页
1.1.4. 线性偏微分方程 如果方程中关于未知函数及其各阶偏导数都是线性的, 则称 它为线性偏微分方程。 例子：
一阶线性偏微分方程 二阶线性偏微分方程
在线性偏微分方程中, 不含有u及它的偏导数的项称为自由项; 当自由项为零时, 称方程为线性齐次方程。 当自由项不为零时, 称方程为线性非齐次方程。
《偏微分方程》第一章 绪论 第19页
类似地可导出二维波动方程和三维波动方程, 它们 的形式分别为
utt a2 (uxx uyy ) f ( x, y, t ) utt a2 (uxx uyy uzz ) f ( x, y, z, t )
二维波动方程可视为薄膜的振动所满足的运动规律, 即在平 面上放置一个框架, 对于固定在该框架上作微小横振动的薄膜上 各点的运动规律. 三维波动方程表示的是声波、电磁波的传播所 满足的规律. 类似地，我们可考虑函数 u u( x1 , x2 ,
Du (ux1 , ux2 ,
, uxn )
则偏微分方程的一般形式为
5
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《偏微分方程》第一章 绪论
第 6页
其中是F自变量x，未知函数u及u的有限多个偏导数的已知函数. 例如关系式
研究生毕业学术论文——求解偏微分方程
研究生毕业学术论文——求解偏微分方程简介本文旨在探讨研究生毕业学术论文中的一个重要课题：求解偏微分方程。
偏微分方程在数学和物理学领域具有广泛的应用，它们描述了许多自然现象的行为。
本文将介绍偏微分方程的基本概念和求解方法，并探讨其在实际问题中的应用。
偏微分方程的基本概念偏微分方程是包含多个变量的方程，其中包含函数及其各个变量的偏导数。
它们描述了不同变量之间的关系，以及这些变量随时间的变化。
偏微分方程可分为多种类型，包括椭圆型、双曲型和抛物型方程。
每种类型的方程都具有不同的特征和求解方法。
偏微分方程的求解方法在研究生毕业学术论文中，我们关注如何有效地解决偏微分方程。
以下是一些常见的求解方法：1. 分离变量法：通过假设解可分为两个或多个变量的乘积形式，将偏微分方程转化为一系列普通微分方程，然后解决这些普通微分方程。
2. 特征线法：通过引入特征线，将偏微分方程转化为一组常微分方程，然后求解这些常微分方程。
3. 数值方法：使用数值算法近似求解偏微分方程，例如有限差分法、有限元法和谱方法等。
使用适当的求解方法取决于偏微分方程的类型和实际问题的要求。
偏微分方程在实际问题中的应用偏微分方程在各个领域中都有广泛的应用。
以下是一些实际问题的例子：1. 热传导方程：描述了热能在物体中传播的行为，可以用于分析传热问题和温度分布。
2. 波动方程：描述了波动现象的行为，可以用于分析声波、光波等的传播。
3. 扩散方程：描述了物质扩散的行为，可以用于分析化学反应和溶质在流体中的传输。
4. 矩阵方程：描述了电路、管道等网络中的电流、液流等行为，可以用于分析电路和流体力学问题。
这些应用说明了偏微分方程在解决实际问题中的重要性。
结论本文介绍了研究生毕业学术论文中的一个重要课题：求解偏微分方程。
偏微分方程是描述自然现象行为的数学工具，其求解需要使用适当的数学方法。
我们讨论了偏微分方程的基本概念、常见的求解方法以及其在实际问题中的应用。
偏微分方程论文
偏微分方程论文偏微分方程是数学中的时空旅行工具，可以预测和控制自然现象的变化。
例如，偏微分方程可以描述热传导、流体流动、电磁场等现象。
想象一下，你是一位冒险家，身处一片神秘的沙漠。
你渴望找到水源，但是你不知道水的流动方向和速度。
这时，偏微分方程就是你的导航仪，帮助你预测水流的路径和强度，指引你找到宝贵的水源。
偏微分方程也如同数学的魔法笔，可以创造出无限的可能性。
它们是创新和发明的源泉。
想象一下，你是一位天才发明家，渴望创造出全新的科技。
你面临着一个难题，如何控制声音在材料中的传播。
偏微分方程就是你的魔法笔，可以帮助你理解声波在材料中的行为，从而设计出具有超凡性能的声学材料。
偏微分方程是数学的宇宙奥秘，它们引领人类超凡脑洞之旅。
它们如同数学的超能力，预测和控制自然现象的变化。
偏微分方程是数学中的黑洞，拥有无穷吸引力。
它们是创新和发明的源泉，帮助我们解决现实世界的难题。
让我们一起揭开偏微分方程的神秘面纱。
偏微分方程可以用数学语言来描述，其中最经典的偏微分方程之一就是热传导方程。
热传导方程描述了物体内部温度的变化过程，它的公式如下：在这个方程中，u表示物体的温度，t表示时间，∇²u表示温度的拉普拉斯算子（表示温度的曲率），而α则是热传导系数。
这个公式可以用一个生动有趣的例子来解释。
想象一下，你正在煮一锅热汤，而汤的温度在不同的位置上是不均匀的。
你想知道汤的温度如何随时间变化。
这时，热传导方程就派上了用场。
公式中的∂u/∂t表示温度随时间的变化率。
它告诉我们随着时间的推移，汤的温度如何变化。
而α*∇²u表示温度随空间的变化率。
它告诉我们汤的温度如何在不同位置上扩散或集中。
偏微分方程的解是一个关于时间和空间的函数，它描述了温度在不同位置和不同时间的分布情况。
通过解析或数值方法，我们可以得到温度在整个热汤中的变化规律，从而了解汤在不同时间点的热传导过程。
这个简单的热传导方程只是偏微分方程的冰山一角。
偏微分方程基本理论
偏微分方程基本理论
，关于微分方程的
偏微分方程（Partial Differential Equation，简称PDE）是一种重要的数学工具，用来解决多元函数的微分方程。
它与常微分方程的区别在于：偏微分方程涉及多变量函数，而常微分方程则只涉及单变量函数。
偏微分方程不仅仅是一个数学问题，而是解决实际问题及复杂程序的有力工具。
大部分这类方程都出现在物理学中，例如描述物理系统改变时的行为方程，比如电动势、电磁场、压力、气流和热传导等等。
偏微分方程经常被用于描述物体的运动方程，解决表面在某一条件下的变形问题，也可以用来描述物质的流动和分散的问题。
偏微分方程的基本理论是：求解多变量函数的微分方程，要把它分解成一些单变量函数的微分方程，通过特定的某个角度去看待这个多变量函数系统，再采用特定的分解技术把这个多变量系统分解成一组单变量函数系统。
再根据每个变量函数的独立变化特征，每个变量函数的求解简化成对应的单变量函数的微分方程。
使用偏微分方程解决问题的过程是：首先，根据物理原理，得出系统的偏微分方程式；其次，根据偏微分方程的类型，采用不同的解法解出解析解；最后，应力数值计算法，应用计算机技
术，将偏微分方程转换为相应的数值问题，然后采用特定的数值计算方法，求解导数及各种函数值，最终得出解析解或近似解。
偏微分方程是一种数学模型，它用来描述物理系统的变化的行为，它的应用范围非常广泛，在解决现实科学问题时有着重要的作用。
它不仅用于物理模型，而且在生物、经济、化学、声学等生物模型中也有着应用。
使用偏微分方程可以帮助人们对现实世界的行为建立一种模型，并且通过这种模型中的关系，帮助人们更好的理解和解决问题。
偏微分方程的概念
偏微分方程的概念嘿，朋友！咱今儿来聊聊偏微分方程这个听起来有点神秘的家伙。
你想想哈，数学世界就像一个大大的游乐场，里面有各种各样的玩意儿。
那偏微分方程呢，就是这个游乐场里比较特别的一个设施。
啥是偏微分方程？简单说，它就是描述自然现象和工程问题的一种有力工具。
比如说，热的传导，声音的传播，还有液体的流动，这些现象背后都藏着偏微分方程的影子。
就拿热传导来说吧，一块烧热的铁块，它的温度怎么变化？这可不是随便猜猜就能知道的，得靠偏微分方程来给出准确的描述。
它能告诉我们，在不同的位置，不同的时间，铁块的温度是多少。
这是不是很神奇？再比如电磁波的传播，你每天用手机打电话、上网，这信号咋传出去的？这里面也有偏微分方程在起作用呢！那偏微分方程长啥样呢？它一般包含着一些未知的函数，还有这些函数对不同变量的偏导数。
就好像一个复杂的拼图，你得把这些碎片正确地拼在一起，才能找到答案。
它可不像普通的方程那么简单直接，它更像是个调皮的小精灵，时不时就给你来点难题。
有时候，求解偏微分方程可不容易，得用上各种巧妙的方法和技巧。
这就好比你要解开一个超级复杂的密码锁，得尝试各种组合，还得有足够的耐心和智慧。
要是没点真本事，还真拿它没办法！但可别被它吓到了，虽然它有点难搞，但一旦你掌握了它的规律，那可就像是拥有了一把神奇的钥匙，能打开好多未知世界的大门。
你说，数学的世界是不是很奇妙？偏微分方程就像是这个奇妙世界里的宝藏，等着我们去挖掘。
只要我们用心去探索，说不定就能发现更多意想不到的惊喜！总之，偏微分方程虽然有点复杂，但它在科学和工程领域的作用那是杠杠的，是我们理解和解决很多实际问题的重要工具。
咱们可不能因为它有点难就退缩，得勇敢地去挑战它，说不定哪天，你就能成为玩转偏微分方程的高手呢！。
川大偏微分方程引言
19
1、掌握所需的基本知识。
数学分析、线性代数、常微分方程、复变函数、泛函分析等。
2、抓住主线
以三类典型的二阶线性偏微分方程为主线，通过它们的共 性和个性，掌握其基本性质及求解方法。
3、注意物理背景与方程的相互联系 。
10
五、起源与发展
经典理论 ：
d’Alembert： 弦振动方程
三类典型方程
Fourier：
2、 偏微分方程理论初步
①、一些基本的方法和技巧：包括分离变量法、Green 函数法、Fourier变换法、能量不等式、极值原理以及 基本解和广义解等。 ②、讨论三类典型的二阶方程定解问题的解的存在性、 唯一性和稳定性。
③、二阶线性偏微分方程的分类。
8
三、 《数学物理方程》的特点：
1、数学理论、解题方法与物理实际有机结合。
wangxiaohu@
1
一、什么是数学物理方程
数学物理方程是指自然科学和工程技术的各门 分支中出现的偏微分方程(有时也包括积分方程、 微分积分方程)，这些方程给出了所考察的物理 量关于自变量（时间变量和空间变量）的偏导数 的关系．
例如连续介质力学、电磁学、量子力学等方面的 基本方程都属于数学物理方程的范畴．
mathematicalphysics王小虎四川大学数学学院wangxiaohuscueducn一什么是数学物理方程数学物理方程是指自然科学和工程技术的各门分支中出现的偏微分方程有时也包括积分方程微分积分方程这些方程给出了所考察的物理量关于自变量时间变量和空间变量的偏导数的关系
数学物理方程
Equations of Mathematical Physics 王小虎 四川大学 数学学院
热传导方程
平衡态
偏微分方程引论 翟建
偏微分方程引论翟健2013年3月2目录第1章波动方程131.1弦微振动方程的导出 (13)1.2一维波动方程的初值问题(Cauchy问题) (15)1.2.1齐次方程的Cauchy问题 (15)1.2.2非齐次方程Cauchy问题 (17)1.2.3波动方程Cauchy问题的能量不等式 (21)1.2.4反射法求解半无界空间的初边值问题 (26)1.3二维与三维波动方程 (27)1.3.1三维球对称解 (27)1.3.2三维非球对称解 (28)1.3.3三维非齐次波动方程的解 (30)1.3.4降维法求解二维波动方程 (31)1.4分离变量法与初边值问题 (35)1.4.1分离变量法 (35)第2章热方程412.1Fourier变换解Cauchy问题 (42)2.1.1Fourier变换 (42)2.1.2Fourier变换的性质 (44)2.1.3用Fourier变换解热传导方程Cauchy问题 (48)2.2分离变量法解初边值问题 (51)2.2.1齐次热传导方程的初边值问题 (51)34目录2.2.2非齐次热传导方程的初边值问题 (53)第3章位势方程553.1基本解 (55)3.2Green函数 (58)3.3Laplace方程与调和函数 (62)第4章一阶偏微分方程组与二阶线性偏微分方程分类654.1二阶偏微分方程的分类 (65)4.1.1特征线 (65)4.1.2二阶线性偏微分方程分类 (67)4.2特征流形与一阶偏微分方程组Cauchy问题局部唯一可解性.694.2.1m阶拟线性方程组的特征流形 (69)4.2.2一阶偏微分方程组Cauchy问题局部唯一可解性(在实解析函数类中) (71)第5章Sobolev空间与广义函数735.1Sobolev空间 (73)5.1.1H¨o lder空间 (73)5.1.2光滑化 (74)5.1.3弱导数 (75)5.1.4Sobolev不等式 (76)5.2广义函数 (79)5.2.1广义函数及其性质 (79)5.2.2广义函数的应用 (85)5.3弱解 (88)第6章二阶线性椭圆型方程916.1极值原理 (91)6.1.1极值原理 (91)6.1.2应用极值原理估计解的上、下界 (95)6.1.3Harnack不等式 (97)目录56.2变分方法 (98)6.2.1变分方法 (98)6.2.2变分方法的应用 (101)6.3解的存在性与唯一性 (103)6.4Sturm-Liouville问题 (103)第7章二阶线性抛物型方程1157.1极值原理 (115)7.1.1极值原理 (115)7.1.2第一初边值问题解的上、下界估计 (117)7.1.3第二、第三初边值问题解的上、下界估计 (117)7.1.4Cauchy问题解的上、下界估计 (120)7.2能量不等式 (120)7.3解的存在性与唯一性 (122)第8章二阶线性双曲型方程1238.0.1能量不等式2 (123)8.1解的存在性与唯一性 (125)6目录目录7偏微分方程(方程组)是指未知函数和未知函数的偏导数满足的一个(一组)关系式.人类社会工业化时代的到来，近代物理学（特别是相对论和量子力学以及材料科学）的创立，二次大战期间及其后流体力学以及空间飞行器的研究进展等极大地丰富了偏微分方程的应用领域，推动了现代偏微分方程理论的发展。
偏微分方程讲义 arnold
偏微分方程讲义一、引言偏微分方程（partial differential equations，简称PDE）是数学中的一个重要分支，研究方程中包含多个未知函数及其偏导数的关系。
本文将介绍偏微分方程的基本概念和解法。
二、基本概念2.1 偏导数偏导数是函数在某一点上对某个自变量的变化率。
对于二元函数u(x,y)，其偏导数可表示为∂u∂x 和∂u∂y。
类似地，对于三元函数u(x,y,z)，其偏导数可表示为∂u∂x、∂u∂y和∂u∂z。
2.2 偏微分方程的分类偏微分方程可以分为线性偏微分方程和非线性偏微分方程两大类。
线性偏微分方程的解可以通过叠加已知解得到，而非线性偏微分方程的解则需要通过数值方法或近似解法求得。
2.3 常见的偏微分方程常见的偏微分方程包括波动方程、热传导方程、扩散方程等。
这些方程在物理学、工程学等领域中具有广泛的应用。
三、解偏微分方程的方法3.1 分离变量法分离变量法是解偏微分方程的常用方法之一。
通过假设解可以表示为各个自变量的乘积形式，将原方程化为一系列常微分方程，然后求解这些常微分方程得到解。
3.2 特征线法特征线法适用于一阶偏微分方程，通过引入新的自变量，将原方程转化为常微分方程。
然后通过求解常微分方程得到解，再通过逆变换得到原方程的解。
3.3 变换方法变换方法是通过引入适当的变换将原方程转化为简单的标准形式方程，然后通过求解标准形式方程得到解。
常用的变换方法包括相似变量法、变系数法等。
3.4 数值方法数值方法是通过离散化偏微分方程，将其转化为代数方程组，然后通过数值计算得到近似解。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法、谱方法等。
四、应用案例4.1 波动方程波动方程描述了波的传播过程，广泛应用于声学、光学等领域。
通过适当的边界条件和初始条件，可以求解波动方程得到波的传播情况。
4.2 热传导方程热传导方程描述了物体内部温度随时间的变化规律，广泛应用于热力学、材料科学等领域。
通过适当的边界条件和初始条件，可以求解热传导方程得到物体内部温度的分布。
PDE1 数理方程绪论
四川大学数学学院 邓瑾
热量 热量 － t ＝ tdt
通过边界的流入量 热源的生成量 ＋ (t, t dt) (t, t dt)
dQ1
dQ2
dQ3
(2) Fourier热传导定律: 在无穷小时间段(t, t dt)内, 沿点M(x,y,z)处的面积元素dS的法向n流过dS的热量 dQ与温度沿此方向的变化率 un, 面积dS和时间dt成 正比,即 n
x
(T是常数)
设作用在弦上的垂直 (横向)外力 线密度为F(x,t) (牛顿/米)
dx utt ( 1 , t ) T [ u x ( x dx , t ) u x ( x , t )] F ( 2 , t )dx
( 其中 x 1 , 2 x dx )
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四川大学数学学院 邓瑾
数学推导:
设物体是均匀的,各向同性的. 即, 质量 体密度, 热传导系数k和比热 c均为常 数. 热源密度(即,单位体积物体在单位 时间内释放出的热量)为F (x,y,z,t).
z
dz dy dx
M ( x, y, z )
y
在内任取体积元素dV
O
x
dV [ x , x d x ] [ y , y d y ] [ z , z dz ]
dQ k ( x , y , z; n)un dS dt ,
dS
其中k(x,y,z;n)为物体在M点沿n方向的热传导系数, 取 正值, 负号表示热量从高温向低温流动. k(x,y,z;n) un 称为沿n方向的热流密度(焦耳/秒.米2). 在介质均匀各 向同性假设下, 热传导系数为常数.
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弹性杆的纵振动, 弹性膜的横振动,电磁波的传播等, 都 可用类似方法导出同一类方程, 一般表示为
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谷超豪（1926-）
复旦大学教授，中国科学院院士。 1980年当选为中国科学院数学物理学部委 员，撰有《数学物理方程》等专著。 全国科学大会奖、国家自然科学二等奖、三等奖、 09年度国家最高科技奖。 2009年8月6日，经国际小行星中心和国际小行星 命名委员会批准，编号为171448的小行星命名为 “谷超豪星”。 2010年1月11日，获得2009年度国家最高科学技 术奖。
ut u f (u ).
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“数学物理方程” VS “偏微分方程”
大多数情况下看作一致的。但是，两者的侧 重点有所不同，前者侧重于模型的建立和定 解问题的解题方法，而后者则侧重于其自身 的数学理论。
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二、《数学物理方程》主要内容：
1、建立偏微分方程
应用数学理论 、方法和技巧，研究一些具有典型意义 的物理现象，导出相应的数学模型------偏微分方程。
一、什么是数学物理方程
数学物理方程是指自然科学和工程技术的各门 分支中出现的偏微分方程(有时也包括积分方程、 微分积分方程)，这些方程给出了所考察的物理 量关于自变量（时间变量和空间变量）的偏导数 的关系．
例如连续介质力学、电磁学、量子力学等方面的 基本方程都属于数学物理方程的范畴．
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偏微分方程 Partial Differential Equations
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1、掌握所需的基本知识。
数学分析、线性代数、常微分方程、复变函数、泛函分析等。
2、抓住主线
以三类典型的二阶线性偏微分方程为主线，通过它们的共 性和个性，掌握其基本性质及求解方法。
3、注意物理背景与方程的相互联系 。
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五、起源与发展
经典理论 ：
d’Alembert： 弦振动方程
三类典型方程
Fourier：
热传导方程
平衡态
Laplace方程
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一阶偏微分方程的求解问题 Cauchy，Lagrange，Kovalevskaya 二阶线性偏微分方程 du Bois-Reymond，Petrovsky 双曲型(Hyperbolic)、 抛物型(Parabolic)、 椭圆型(Elliptic)。
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李大潜、洪家兴、陈恕行等学生，都已成为
国内外有影响力的数学家。据统计，他直接 指导培养的研究生和听过他的课或受过指导 的学生中有中国科学院院士6人、工程院院士 3人，直接指导的博士生中有2篇论文获得全 国优秀博士论文奖。
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准备知识：
弧长公式：
一.直角坐标情形
光滑曲线方程: y f ( x ), (a x b) 弧长为
如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，
ห้องสมุดไป่ตู้
或者说如果未知函数和几个变量有关，而且 方程中出现未知函数对几个变量的导数，那 么这种微分方程就是偏微分方程。
2
偏微分方程（Partial Differential Equations） 是指含有多元未知函数 u u( x ) , x ( x1 , x2 , , xn ) 及其若干阶偏导数的关系式
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二阶线性偏微分方程
波动方程 utt a 2u xx 0. 完全非线性偏微分方程
Korteweg de Vries方程
三阶线性偏微分方程
ut cuu x u xxx 0. ut H ( Du, x) 0.
Hamilton Jacobi方程
半线性偏微分方程
反应扩散方程
P.L. Lions
J. Bourgain Terence Tao L. Nirenberg C. Villani ：
1994年Fields奖
1994年Fields奖 2006年Fields奖 2010年首届陈省生奖 2010年Fields奖
吴新谋、丁夏畦、郭柏灵、林芳华、辛周平、魏时 珍、陆文端、张旭 等。
u u u mu F ( x , u, , , , , , m1 m2 )0 mn x1 x2 xn x1 x2 xn
其 中 未 知 函 数 最 高 阶 导 数 的 阶 数
m m1 m2 mn 为方程的阶.
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若偏微分方程中与未知函数有关的部分是 u及 u 的偏导数的线性组合 , 则称为 线性偏微分方程 . 否 则称为非线性偏微分方程。 若方程对 u 的所有最高阶导数是线性的，并且 系数仅依赖于自变量及 u 的低阶偏导数，则称它为 拟线性偏微分方程。进而，若最高阶偏导数的系数 仅是自变量的函数，则称这种拟线性偏微分方程为 半线性偏微分方程。 不是拟线性的非线性方程称为完全非线性偏 微分方程。
二. 参数方程情形
s
b
a
1 [ f ( x)] dx
' 2
x x(t ) 设光滑曲线方程: , ( t ) y y(t ) ' 2 ' 2 s [ x (t )] [ y (t )] dt
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多重积分的计算及相应性质：
Fourier级数 常微分方程
根据物理现象建立偏微分方程模型及寻找求解方法，并用偏微 分方程有关理论来解释物理现象。
2、涉及范围广
物理、化学、生物、经济等自然学科、社会学科和工程技术 领域。
3、 多门学科知识的综合应用
数学分析、 线性代数、常微分方程、复变函数、泛函分析、 物理等。
4、解题过程复杂、计算量大。
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四、《数学物理方程》的学习方法：
现代理论:
建立于广义函数论与泛函分析基础上的偏微
分方程。 经典理论具有局限性。 在更一般的框架中讨论问题。
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五、 几类数学物理方程：
Navier-Stokes方程 Schrodinger方程 KdV方程
Boltzmann 方程
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六、 数学家： L. Hormander 1962年Fields奖，1988年Wolf奖
2、 偏微分方程理论初步
①、一些基本的方法和技巧：包括分离变量法、Green 函数法、Fourier变换法、能量不等式、极值原理以及 基本解和广义解等。 ②、讨论三类典型的二阶方程定解问题的解的存在性、 唯一性和稳定性。
③、二阶线性偏微分方程的分类。
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三、 《数学物理方程》的特点：
1、数学理论、解题方法与物理实际有机结合。