川大偏微分方程引言

二. 参数方程情形
s
b
a
1 [ f ( x)] dx
' 2
x x(t ) 设光滑曲线方程: , ( t ) y y(t ) ' 2 ' 2 s [ x (t )] [ y (t )] dt

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多重积分的计算及相应性质：
Fourier级数 常微分方程
ut u f (u ).
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“数学物理方程” VS “偏微分方程”
大多数情况下看作一致的。但是，两者的侧 重点有所不同，前者侧重于模型的建立和定 解问题的解题方法，而后者则侧重于其自身 的数学理论。
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二、《数学物理方程》主要内容：
1、建立偏微分方程
应用数学理论 、方法和技巧，研究一些具有典型意义 的物理现象，导出相应的数学模型------偏微分方程。
热传导方程
平衡态
Laplace方程
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一阶偏微分方程的求解问题 Cauchy，Lagrange，Kovalevskaya 二阶线性偏微分方程 du Bois-Reymond，Petrovsky 双曲型(Hyperbolic)、 抛物型(Parabolic)、 椭圆型(Elliptic)。

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二阶线性偏微分方程
波动方程 utt a 2u xx 0. 完全非线性偏微分方程
Korteweg de Vries方程
三阶线性偏微分方程
ut cuu x u xxx 0. ut H ( Du, x) 0.
Baidu Nhomakorabea
Hamilton Jacobi方程
半线性偏微分方程
反应扩散方程
u u u mu F ( x , u, , , , , , m1 m2 )0 mn x1 x2 xn x1 x2 xn
其 中 未 知 函 数 最 高 阶 导 数 的 阶 数
m m1 m2 mn 为方程的阶.
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若偏微分方程中与未知函数有关的部分是 u及 u 的偏导数的线性组合 , 则称为 线性偏微分方程 . 否 则称为非线性偏微分方程。 若方程对 u 的所有最高阶导数是线性的，并且 系数仅依赖于自变量及 u 的低阶偏导数，则称它为 拟线性偏微分方程。进而，若最高阶偏导数的系数 仅是自变量的函数，则称这种拟线性偏微分方程为 半线性偏微分方程。 不是拟线性的非线性方程称为完全非线性偏 微分方程。
如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，
或者说如果未知函数和几个变量有关，而且 方程中出现未知函数对几个变量的导数，那 么这种微分方程就是偏微分方程。
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偏微分方程（Partial Differential Equations） 是指含有多元未知函数 u u( x ) , x ( x1 , x2 , , xn ) 及其若干阶偏导数的关系式
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现代理论:
建立于广义函数论与泛函分析基础上的偏微
分方程。 经典理论具有局限性。 在更一般的框架中讨论问题。
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五、 几类数学物理方程：
Navier-Stokes方程 Schrodinger方程 KdV方程
Boltzmann 方程
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六、 数学家： L. Hormander 1962年Fields奖，1988年Wolf奖
根据物理现象建立偏微分方程模型及寻找求解方法，并用偏微 分方程有关理论来解释物理现象。
2、涉及范围广
物理、化学、生物、经济等自然学科、社会学科和工程技术 领域。
3、 多门学科知识的综合应用
数学分析、 线性代数、常微分方程、复变函数、泛函分析、 物理等。
4、解题过程复杂、计算量大。
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四、《数学物理方程》的学习方法：

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李大潜、洪家兴、陈恕行等学生，都已成为
国内外有影响力的数学家。据统计，他直接 指导培养的研究生和听过他的课或受过指导 的学生中有中国科学院院士6人、工程院院士 3人，直接指导的博士生中有2篇论文获得全 国优秀博士论文奖。
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准备知识：
弧长公式：
一.直角坐标情形
光滑曲线方程: y f ( x ), (a x b) 弧长为
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谷超豪（1926-）
复旦大学教授，中国科学院院士。 1980年当选为中国科学院数学物理学部委 员，撰有《数学物理方程》等专著。 全国科学大会奖、国家自然科学二等奖、三等奖、 09年度国家最高科技奖。 2009年8月6日，经国际小行星中心和国际小行星 命名委员会批准，编号为171448的小行星命名为 “谷超豪星”。 2010年1月11日，获得2009年度国家最高科学技 术奖。
一、什么是数学物理方程
数学物理方程是指自然科学和工程技术的各门 分支中出现的偏微分方程(有时也包括积分方程、 微分积分方程)，这些方程给出了所考察的物理 量关于自变量（时间变量和空间变量）的偏导数 的关系．
例如连续介质力学、电磁学、量子力学等方面的 基本方程都属于数学物理方程的范畴．
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偏微分方程 Partial Differential Equations
2、 偏微分方程理论初步
①、一些基本的方法和技巧：包括分离变量法、Green 函数法、Fourier变换法、能量不等式、极值原理以及 基本解和广义解等。 ②、讨论三类典型的二阶方程定解问题的解的存在性、 唯一性和稳定性。
③、二阶线性偏微分方程的分类。
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三、 《数学物理方程》的特点：
1、数学理论、解题方法与物理实际有机结合。
1、掌握所需的基本知识。
数学分析、线性代数、常微分方程、复变函数、泛函分析等。
2、抓住主线
以三类典型的二阶线性偏微分方程为主线，通过它们的共 性和个性，掌握其基本性质及求解方法。
3、注意物理背景与方程的相互联系 。
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五、起源与发展
经典理论 ：
d’Alembert： 弦振动方程
三类典型方程
Fourier：
P.L. Lions
J. Bourgain Terence Tao L. Nirenberg C. Villani ：
1994年Fields奖
1994年Fields奖 2006年Fields奖 2010年首届陈省生奖 2010年Fields奖
吴新谋、丁夏畦、郭柏灵、林芳华、辛周平、魏时 珍、陆文端、张旭 等。